Método SIMPLEX Mrcone Jmilson Freits Souz Deprtmento de Computção Progrm de Pós-Grdução em Ciênci d Computção Universidde Federl de Ouro Preto http://www.decom.ufop.br/prof/mrcone E-mil: mrcone@iceb.ufop.br
Resolução gráfic de PPL s Pssos pr resolver grficmente um PPL: Determinr o grdiente d função objetivo (Grdiente é perpendiculr à ret definid pel função objetivo b Cminhr no sentido e direção do grdiente d função objetivo té tngencir região viável c O ponto de tngênci represent solução ótim *
Fundmentção do Método SIMPLEX Sej resolver o seguinte PPL: m
Fundmentção do Método F * ( z* SIMPLEX A ( B ( C ( D ( E ( F ( G ( H ( m E D G z C A m z B H
Teorem Fundmentl d Progrmção Liner O ótimo de um PPL se eistir ocorre em pelo menos um vértice do conjunto de soluções viáveis. Situções que podem ocorrer com relção o conjunto M de soluções viáveis: M {} Neste cso não há solução viável > Não há solução ótim
Teorem Fundmentl d Progrmção Liner M é não vzio M é limitdo * * y* Únic solução ótim qul é vértice Infinidde de soluções ótims e pelo menos um é vértice (no cso dus são vértices
Teorem Fundmentl d Progrmção Liner M é não vzio b M é ilimitdo * * Únic solução ótim qul é vértice Infinidde de soluções ótims sendo um vértice
Teorem Fundmentl d Progrmção Liner M é não vzio b M é ilimitdo * y* Infinidde de soluções ótims e pelo menos um vértice (no cso dus são vértices Não há soluções ótims
Form-pdrão de um PPL PPL está n form-pdrão qundo é posto n form: n (minou (m z c j j j n j ij j bi i... j j... n m sendo b i i... m
Redução de um PPL qulquer à form-pdrão Restrições do tipo Restrições do tipo 6 7 6 7
Redução de um PPL qulquer à form-pdrão Eiste b i < Solução: Bst multiplicr restrição i por - Eistem vriáveis não-positivs: Sej k : Solução: Crir vriável k tl que k - k Assim modelo terá vriável k
Redução de um PPL qulquer à form-pdrão Eistem vriáveis livres isto é vriáveis k que podem ssumir qulquer vlor rel (negtivo nulo ou positivo: Solução: Substituir k por k k com k e k k > k k > k k k k < k k < PPL é de mimizção: m f( - min {-f(}
Crcterizção de vértice m m A b
Crcterizção de vértice A B C D E F G A ( B ( C ( D ( E ( F ( G ( H ( H m
Crcterizção de vértice Em um ponto no interior do conjunto (não pertencente nenhum rest não há vriáveis nuls Em um rest há pelo menos um vriável nul Em um vértice há pelo menos n-m vriáveis nuls n - m m R B m n
Crcterizção de vértice Pr gerr um vértice: Escolher um mtriz não-singulr B tl que: Fzer R B B R R b Se o resolver o sistem B B b for obtido B então ( B R t ( B t é vértice Deste procedimento result um Solução Básic Viável (SBV com o significdo geométrico de vértice.
Definições B bse ( B R t B vetor ds vriáveis básics R vetor ds vriáveis não-básics Solução Básic (SB: vetor tl que B B b e R Solução Básic Viável (SBV: vetor tl que B B b; B e R Solução Básic Viável Degenerd (SBVD: É um SBV em que eiste vriável básic nul
Princípio de funcionmento do Algoritmo SIMPLEX SBV inicil Est SBV pode ser melhord? Não Pre: Est SBV é ótim Sim Determine VNB que deve entrr n bse Determine VB que deve deir bse Encontre nov SBV
Princípio de funcionmento do Algoritmo SIMPLEX m z m z A b
Princípio de funcionmento do Algoritmo SIMPLEX VB z PPL n form cnônic: Bse é identidde e coeficientes ds VB s n função objetivo são todos nulos.
Princípio de funcionmento do Algoritmo SIMPLEX VB z VB { } VNB { } Solução inicil: ( ( t ; z
Princípio de funcionmento do Algoritmo SIMPLEX VB (L (L (L (L z Trnsformções elementres: L -L L L -L L
Princípio de funcionmento do Algoritmo SIMPLEX VB (L (L (L - (L - z- VB { } VNB { } Finl d Iterção : ( ( t ; z
Princípio de funcionmento do Algoritmo SIMPLEX VB (L (L (L - (L - z- L -L L L -L L
Princípio de funcionmento do Algoritmo SIMPLEX VB (L - (L (L - (L - - z- VB { } VNB { } Finl d Iterção : ( ( t ; z
Interpretção geométric A B C D E F G A ( B ( C ( D ( E ( F ( G ( H ( H m
Situção em que origem não pode ser solução inicil: Eemplo m z m z A b
Método ds Dus Fses A B C D E F G A ( B ( C ( D ( E ( F ( G ( H ( H m
Método ds Dus Fses Primeir fse (Crir problem uilir P : Introduzir vriáveis de folg e vriáveis rtificiis Vriáveis de folg: introduzids qundo há vriáveis do tipo ou Vriáveis rtificiis: introduzids qundo há restrições do tipo ou Crir função objetivo rtificil: z i i i Vriáveis básics iniciis: vriáveis de folg ssocids às restrições e vriáveis rtificiis Objetivo d primeir fse: minimizr função objetivo rtificil Cminhr de SBV em SBV de P té lcnçr SBV do problem originl P (situção que ocorre qundo tods s vriáveis rtificiis são nuls.
Método ds Dus Fses Segund fse: A prtir de um SBV do problem originl P gerr SBV cd vez melhores té se tingir solução ótim. Aplicndo o método ds dus fses o PPL ddo tem-se: m z z min
Método ds Dus Fses VB (L (L (L - (L z (L z Redução à form cnônic: L -L L
Método ds Dus Fses VB (L (L (L - (L - - z - (L z L -L L L L L L -L L
Método ds Dus Fses VB (L (L (L - - (L - z - (L - z- L -L L L L L L -L L
Método ds Dus Fses VB (L (L - (L - - (L z (L - z- Fim d primeir fse: z ( ; z
Método ds Dus Fses VB (L (L (L - - (L z- L L L L -L L
Método ds Dus Fses VB (L (L (L (L - - z-6 Solução ótim: * (; z* 6
Método ds Dus Fses: Interpretção Geométric A B C D E F G A ( B ( C ( D ( E ( F ( G ( H ( H m
Outro eemplo de plicção do Método ds Dus Fses: Eemplo m z m z A b
Método ds Dus Fses: Eemplo Introduzindo vriáveis rtificiis no PPL ddo tem-se: m z z min
Método ds Dus Fses VB (L - (L (L - (L z (L z Trnsf. pr form cnônic: L -L L L
Método ds Dus Fses VB (L - (L (L - (L - - z - (L z L -L L L L L L -L L
Método ds Dus Fses VB (L - (L (L - - (L - - z - (L - z- L -L L L L L L -L L
Método ds Dus Fses VB (L - (L - - (L - - (L z (L - - z- Fim d primeir fse: z ( ; z
Método ds Dus Fses VB (L - (L - (L - (L - z- L L L L -L L
Método ds Dus Fses VB (L - (L - (L (L - z-6 pode entrr n bse melhorndo o vlor de z indefinidmente. Assim não há solução ótim.
Método ds Dus Fses: Interpretção Geométric do Eemplo A B C D E F G A ( B ( C ( D ( E ( F ( G ( H ( H m
Método ds Dus Fses: Eemplo min z min z A b
Método ds Dus Fses: Eemplo Introduzindo vriáveis rtificiis no PPL ddo tem-se: min z z min
Método ds Dus Fses VB (L - (L (L - (L z (L z Trnsf. pr form cnônic: L -L L L
Método ds Dus Fses VB (L - (L (L - (L - - z - (L z L -L L L L L L -L L
Método ds Dus Fses VB (L - (L (L - - (L - - z - (L - z- L -L L L L L L -L L
Método ds Dus Fses VB (L - (L - - (L - - (L z (L - z- Fim d primeir fse: z ( ; z
Método ds Dus Fses VB (L - (L - (L - (L z- Solução ótim: z ; ; ; é VNB nul L L L L L L
Método ds Dus Fses VB (L - (L (L - (L z- Outr solução ótim: z ; ;
Método ds Dus Fses VB (L - (L (L - (L z- Assim todos os pontos d rest que lig os pontos ( e ( são ótimos. Isto é todos os pontos d form: * ( α ( ( - α ( sendo α []
Método ds Dus Fses: Interpretção Geométric do Eemplo A B C D E F G A ( B ( C ( D ( E ( F ( G ( H ( H min