Análise de Convergência de Redes Neurais para a Resolução de Problemas de Programação Linear

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1 Análise de Convergênci de Redes Neuris pr Resolução de Problems de Progrmção Liner Leonrdo V Ferreir, E Kszkurewicz, A Bhy mit@ncdufrjbr Progrm de Engenhri Elétric COPPE UFRJ Ci Postl 6804, , Rio de Jneiro, RJ, BRAZIL CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p3

2 Apresentção Objetivos Sistems n form Persidskii e funções tipo digonl Formulção gerl do problem de progrmção liner (PPL) e o problem sem restrições ssocido (método d função de penlidde) PPL ns forms cnônic e pdrão Conclusões CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p3

3 Objetivos e metodologi Objetivos Solução de PPLs em tempo rel; Ajuste simples dos coeficientes de penlidde Metodologi O método d função de penlidde produz um problem sem restrições prtir do PPL; O problem sem restrições é ssocido um sistem tipo grdiente descontínuo; Estimtiv dos coeficientes de penlidde utilizndo sistems tipo Persidskii e funções de Lypunov não suves do tipo digonl CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p33

4 ( ' 4 Sistems Persidskii e funções tipo digonl e considere EDO não liner: Definição Sej ; ; -, "$*)!&%!#"$ este sistem é dito n form Persidskii é um função do tipo digonl se: Definição 3 0 CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p43

5 Estrutur gerl do PPL e o método d função de penlidde Minimizr Sujeito (PPL) Problem sem restrições ssocido (PPL): Minimizr 0 0 (PSR) é função de penlidde: Contínu 0 0 Pr, solução (PSR) = solução (PPL) CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p3

6 Formulção do PPL n form cnônic PPL Minimizr Sujeito (CAN), e Problem sem restrições ssocido (CAN): Minimizr 0 ; (prâmetro de penlidde) CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p63

7 As funções de penlidde não diferenciáveis min(0,) () Derivtive sgn() Derivtive CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p73

8 Formulção mtemátic d rede neurl Sistem tipo grdiente que minimiz Unbehuen 993): 0 (Cichocki & (GRAD I) if if Rede neurl vist como um sistem de controle: controller const pert c plnt const input b (Ab) A T κ M s A y Ab CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p83

9 Digrm funcionl d rede neurl κ m m m m mn mn (r ) b m m s κ κ n n n n (r ) (r ) b b c c c n n s s n r r r µ µ µ c s z ( ) n n n z ( ) z ( ) j j j j j mj µ CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p93

10 ) Sistem uilir do tipo Persidskii: Análise de convergênci Função de Lypunov do tipo Digonl pr este sistem: -, Propriedde: ( ) Derivd no tempo de : dig CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p03

11 Teorem de convergênci Teorem Se eiste um prâmetro de penlidde positivo um mtriz digonl positiv definid tl que e dig então, pr quisquer condições iniciis, s trjetóris de (GRAD I) convergem pr o conjunto solução de (CAN) em tempo finito e permnecem neste conjunto indefinidmente CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p3

12 Eemplo CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p3 Ddos do PPL: Solução:

13 Ajuste do prâmetro de penlidde tem posto completo pelo teorem : é o menor utovlor de Tome (mtriz identidde de ordem ) Limite inferior pr : Choose CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p33

14 Trjetóris do sistem ,, Time Soluções com CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p43

15 Formulção mtemátic do PPL n form pdrão PPL (PAD) Minimizr Sujeito,,,,, Problem sem restrições ssocido (Chong et l 999) : 0 Min CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p3

16 Formulção d rede neurl Sistem que minimiz 0 (Chong et l 999): 0 sgn (GRAD II) onde: sgn if if A rede neurl como um sistem de controle: controller controller γ () const input b sgn(ab) A T ρ s A y c const pert plnt CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p63

17 Digrm funcionl d rede neurl r r r m m m b b b c c c s s s n n n n m m m m mn mn n n ( ) ( ) ( ) γ γ γ ρ ρ ρ sgn(r ) sgn(r ) sgn(r ) m CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p73

18 ) Análise de convergênci Sistem tipo Persidskii: 0 sgn Função de Lypunov do tipo digonl correspondente: -, sgn -, "$ ) 0 : 0 Derivd no tempo de sgn 0 sgn 0 CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p83

19 Teorem de convergênci Teorem Se e stisfzem: então, s trjetóris de (GRAD II) convergem pr o conjunto solução de (PAD) em tempo finito e permnecem neste conjunto indefinidmente CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p93

20 Observção As condições de convergênci obtids por Chong t l (999), utilizndo derivções muito elbords são dependentes ds trjetóris: e ; são tis que é o subgrdiente de e s norms CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p03

21 Eemplo Ddos do PPL (Cichocki & Unbehuen 993): ; Solução: e : e Limites inferiores pr CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p3

22 Trjetóris do sistem 7 6 4,, Time Time (b) e Soluções usndo () 0 0,,3 4 CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p3

23 Considerções finis A nálise trvés de sistems tipo Persidskii e funções de Lypunov tipo digonl result em condições de convergênci independentes ds trjetóris do sistem; As redes neuris presentds não precism ser inicids n região viável do PPL correspondente e convergênci não depende do conhecimento prévio de um solução básic do PPL CBA 00, Ntl, RN, Brsil 4 de setembro 00 p33