Mtemátic II 9. Prof.: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno4@yhoo.com.br dmsceno@uol.com.br dmsceno@hotmil.com http://www.dmsceno.info www.dmsceno.info dmsceno.info. Descontinuiddes Descontinuidde Infinit Um função tem descontinuidde infinit em, se f() tende pr infinito (positivo ou negtivo) nesse ponto. Eemplo 8: A função f ( ), tem descontinuidde infinit no ponto pois e Neste cso, o slto é igul ( ) Descontinuidde de Slto Um função tem descontinuidde de slto em, qundo f() vri bruptmente neste ponto ( ). Eemplo 9: A função f ( ), tem descontinuidde de slto no ponto pois e Neste cso, o slto é igul ( )
Mtemátic II 9. Prof.: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno4@yhoo.com.br dmsceno@uol.com.br dmsceno@hotmil.com http://www.dmsceno.info www.dmsceno.info dmsceno.info Descontinuidde Removível Qundo eiste f ( ), ms f () não está definid em. Eemplo : A função f ( ), tem descontinuidde removível no ponto pois e f () não está definid no ponto..7 Eercícios Determine os tipos de descontinuiddes ds seguintes funções: () (), 5 f ( ) () f ( ),, > 4 9 f ( ), / ( 4) f ( ), / 9.8 Proprieddes Se f e g são funções contínus em, então: f g é contínu em ; f - g é contínu em ; f g é contínu em ; f / g é contínu em, desde que g()..9 Continuidde em um intervlo Um função é contínu em um intervlo berto, se e somente se el for contínu pr todo número do intervlo berto. Em um intervlo fechdo ou semi-berto, devemos estender o conceito de continuidde pr incluir os etremos, definindo:
Mtemátic II 9. Prof.: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno4@yhoo.com.br dmsceno@uol.com.br dmsceno@hotmil.com http://www.dmsceno.info www.dmsceno.info dmsceno.info Continuidde à direit Continuidde à esquerd Continuidde à direit Um função f é contínu à direit de, se e somente se: () eiste f() () eiste f ( ) () f ( ) f ( ) Continuidde à esquerd Um função f é contínu à esquerd de, se e somente se: () eiste f() () eiste f ( ) () f ( ) f ( ) Um função é contínu em [,b] se e somente se: for contínu no intervlo berto (,b) for contínu à direit em for contínu à esquerd em b Eemplo : A função f ( ) é contínu no intervlo [, ] pois é contínu no intervlo (, ) ; é continu direit em, pois () f ( ) () f ( ) () f ( ) f () é continu esquerd em, pois () f () 4 () f ( ) 4 () f ( ) f (). Assíntot Horizontl Dizemos que ret y b (b constnte) é um ssíntot horizontl do gráfico de um função f, se pelo menos um ds firmções for verddeir: () f ( ) b () f ( ) b
Mtemátic II 9. Prof.: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno4@yhoo.com.br dmsceno@uol.com.br dmsceno@hotmil.com http://www.dmsceno.info www.dmsceno.info dmsceno.info 4 Eemplo : A função e. f ( ) e tem ssíntot horizontl dd pel função f ( ), pois Eemplo : A função f f ( ) ( ) e tem ssíntot horizontl dd pel função, pois e. Dizemos que ret ( constnte) é um ssíntot verticl do gráfico de um função f, se pelo menos um ds firmções for verddeir: () f ( ) () f ( ) () f ( ) (4) f ( ) Eemplo 4: A função eiste no ponto e () ( ) () ( ) f ( ) tem ssíntots verticis em, pois função não ( )
Mtemátic II 9. Prof.: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno4@yhoo.com.br dmsceno@uol.com.br dmsceno@hotmil.com http://www.dmsceno.info www.dmsceno.info dmsceno.info 5 Eemplo 5: A função no ponto e f ( ) tem ssíntots verticis em, pois função não eiste () () Eemplo : Determine pr quis vlores de A função ( ) f é descontínu, clssificndo o tipo de descontinuidde, esboçndo seu gráfico e possíveis ssíntots. Determinção dos pontos de descontinuidde:, logo função tem descontinuidde em Determinção ds ssíntots verticis e dos tipos de descontinuidde:. A ret é um ssíntot verticl. A função tem descontinuidde infinit em ( slto ( ) ). Determinção ds ssíntots horizontis e dos tipos de descontinuidde: A ret y é um ssíntot horizontl. Eemplo 7: Determine pr quis vlores de função 5 f ( ) é descontínu, clssificndo o tipo de descontinuidde, esboçndo seu gráfico e possíveis ssíntots.
Mtemátic II 9. Prof.: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno4@yhoo.com.br dmsceno@uol.com.br dmsceno@hotmil.com http://www.dmsceno.info www.dmsceno.info dmsceno.info Determinção dos pontos de descontinuidde:, logo função tem descontinuidde em Determinção ds ssíntots verticis e dos tipos de descontinuidde:. 5 ( ) 5 ( ) Neste cso, função tem descontinuidde removível em, pois f ( ) eiste. Logo, não eiste ssíntot verticl em. f (-). Acbrímos com descontinuidde redefinindo função em como, isto é, Determinção ds ssíntots horizontis e dos tipos de descontinuidde: 5 ( ) 5 ( ) A função f () y não tem ssíntot horizontl. Vej o gráfico de f () y seguir:
Mtemátic II 9. Prof.: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno4@yhoo.com.br dmsceno@uol.com.br dmsceno@hotmil.com http://www.dmsceno.info www.dmsceno.info dmsceno.info 7 Eemplo 8: Determine pr quis vlores de função, se < ( ), se, se > f é descontínu, clssificndo o tipo de descontinuidde, esboçndo seu gráfico e possíveis ssíntots. < < e Determinção dos pontos de descontinuidde: Como ( ) f é contínu pr todo <, ( ) f ( ) é contínu pr todo > e. descontinuidde nos pontos Comecemos por : f é contínu no intervlo, então devemos verificr f ( ) ( ) 4 f ( ) Como f ( ) f ( ), o ite não eiste e função tem descontinuidde de slto em. Slto ( 4) 4 7. Vejmos gor em : f ( ) f ( ) Como f ( ) f ( ), o ite não eiste e função tem descontinuidde de slto em. Ess função não possui ssíntots verticis pois f ( ) ( ) 4 f ( )
Mtemátic II 9. Prof.: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno4@yhoo.com.br dmsceno@uol.com.br dmsceno@hotmil.com http://www.dmsceno.info www.dmsceno.info dmsceno.info 8 f ( ) f ( ) Determinção ds ssíntots horizontis e dos tipos de descontinuidde: f ( ) ( ) f ( ) A ret f( ) é um ssíntot horizontl.. Teorems Teorem do confronto: Sejm f( ), g( ) e h( ) funções tis que f( ) h( ) g( ) pr todo num mesmo intervlo contendo um ponto. Se f ( ) g( ) L h( ) L. Teorems fundmentis:, então sen( ) e ln b b