Integris imprópris - continução Aul 36 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 06 de Junho de 204 Primeiro Semestre de 204 Turm 20406 - Engenhri Mecânic Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Testes de Convergênci Algums vezes não é possível encontrr um vlor exto pr um integrl imprópri, ms podemos sber se el é convergente ou divergente usndo outrs integris conhecids. Teorem (Teste d Comprção) Sejm f e g funções contínus stisfzendo f(x) g(x) 0 pr todo x. Então, (i) Se (ii) Se convergente. divergente. f(x)dx é convergente, então g(x)dx é divergente, então g(x)dx tmbém é f(x)dx tmbém é Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Exemplo Mostre que e x2 dx é convergente. Não podemos vlir diretmente integrl pois primitiv de e x2 não é um função elementr. Observe que se x, então x 2 x, ssim x 2 x e como exponencil é crescente e x2 e x. Assim, e x2 dx t e x dx = lim e x dx = lim (e e t ) = e. t 0 t Logo pelo Teste d Comprção integrl é convergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Exemplo Anlise convergênci de sen 2 x x 2 dx. Observe que 0 sen2 x x 2 x2, pr todo x [, ). Como integrl dx converge, pelo Teste d Comprção integrl x2 sen 2 x x 2 dx é convergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Exemplo +e x Anlise convergênci d dx. x Observe que +e x x x e dx diverge, então pelo Teste x +e x d Comprção integrl dx é divergente. x Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Teorem (Teste d Comprção no Limite) Sejm f,g : [,+ ) R + funções contínus. Se então f(x)dx e mbs divergentes. f(x) lim x g(x) = L, 0 < L <, g(x)dx serão mbs convergentes ou Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Exemplo Anlise convergênci de +x 2 dx. As funções f(x) = x 2 e g(x) = são positivs e contínus +x2 em [,+ ) e f(x) lim x g(x) = lim x Portnto, como integrl tmbém é convergente. /x 2 /(+x 2 ) = lim x +x 2 x 2 =. dx converge, x2 +x 2 dx Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Entretnto, s integris convergem pr vlores diferentes. dx = lim x2 t = lim t t ( x t dx = lim +x2 t x 2 dx ) t = lim t t =. dx = lim +x2 rctg x t = lim t (rctg t rctg ) = π 4. t Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Exemplo 3 Anlise convergênci de e x 2 dx. As funções f(x) = e x e g(x) = 3 e x são positivs e contínus 2 em [, ) e f(x) lim x g(x) = lim x /e x 3/(e x 2) = lim e x 2 x 3e x Portnto, como integrl e x dx = 3 e x dx tmbém converge. 2 = lim x 3 2 3e x = 3. e x dx converge, Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Consideremos função f(x) = x. Queremos clculr áre A limitd pelo gráfico de f e pels rets y = 0, x = ε, ε > 0, e x = 4. Então 4 A = f(x)dx = 2 4 x = 4 2 ε. ε Fzendo ε 0, temos A 4 o que quer dizer que áre A do conjunto ilimitdo é finit e igul 4. {(x,y) R 2 : 0 y f(x), 0 x 4} ε Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Definição (Integrl Imprópri do Tipo 2) Sej f um função contínu em [,b) (possivelemente ilimitd), definimos f(x) dx = lim t b se esse limite existir. t f(x)dx, Sej f um função contínu em (,b] (possivelemente ilimitd) definimos f(x) dx = lim t + se esse limite existir. A integrl imprópri t f(x)dx, f(x) dx é chmd convergente se o limite existir e for finito, cso contrário será dit divergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Se f não estiver definid em c, onde < c < b, e mbos c f(x) dx e definimos c f(x) dx forem convergentes, então f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx. c Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Exemplo Clcule 5 2 x 2 dx. Observemos que f(x) = Então, 5 2 5 dx = lim x 2 t 2 + t x 2 não está definid em x = 2. dx = lim x 2 t 2 ( ) = lim 3 t 2 t 2 +2 = 2 3. 5 2)/2 +2(x t Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Exemplo Determine se π/2 0 secx dx converge ou diverge. Como o lim = + integrl é imprópri. Então t π/2 secx π/2 0 secx dx = lim t π/2 pois lim = lim t π/2 secx divergente. t π/2 π/2 0 secx dx = lim x t π/2 ln secx+tg tg x = +. Portnto integrl é t 0 =, Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Exemplo 3 Clcule 0 x dx. Observemos que f(x) = Agor, 0 3 0 x dx = x t dx = lim x t 0 0 não é contínu em x =. Então, x dx + x 3 dx = lim t x dx. ln x = lim ln ) =, t (ln t pois lim = 0. Portnto integrl é divergente. t ( t) t 0 Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Observção: Se não tivéssemos notdo ssíntot x = no exemplo nterior e tivéssemos confundido integrl com um integrl definid, poderímos ter clculdo erronemente. De gor em dinte devemos prestr tenção no integrndo pr decidir se integrl é imprópri ou não. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Se c (,b) e f : [,b]\{c} R. Nests condições, integrl c se f(x) dx deverá ser trtd como um integrl imprópri. Dí, f(x)dx e tmbém será convergente e teremos c f(x) dx forem convergentes, então f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx. c f(x)dx Se pelo menos um ds integris divergente, então c f(x)dx ou f(x) dx será divergente. c f(x)dx for Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I