Desvendndo os Números Reis Cristin Cerri IME-USP Novembro de 006 Pr que servem os números? Certmente muitos responderão rpidmente que os números servem pr contr. Contudo, se o homem vivesse isoldo, necessidde de efetur contgens diminuiri muito. Alguns povos primitivos não sentem necessidde de registrr quntiddes grndes. Por exemplo, há tribos n Áfric Centrl que não conhecem números miores que 0000. Assim, vid em sociedde, o estbelecimento do regime de proprieddes, s relções comerciis levrm o homem crir forms prátics de registrr qulquer quntidde, de mnipulá-ls e de registrr medids de grndezs. Percebemos que pr nosss trefs diáris usmos pens os números inteiros e rcionis. Surgem, porém, problems mis bstrtos e teóricos envolvendo, por exemplo, o próprio conceito de medid. Discussões sobre tis tems erm comuns n Gréci ntig (séc. IV.C.). Mtemáticos gregos se perturbrm com problems envolvendo grndezs não comensuráveis. Muito tempo se pssou pr que tis questões fossem retomds. No século XVII, o desenvolvimento do Cálculo Diferencil e Integrl intensific discussão de certos conceitos, como do contínuo, ou sej, o de grndezs que vrim continumente. Foi necessário rever os conceitos de números usndo bses mtemátics sólids. E ssim os números reis form finlmente desvenddos. Neste curso vmos procurr compreender s crcterístics dos números reis e discutir lgums questões do ensino destes ssuntos. No texto os números inteiros são elementos do conjunto Z ={..., -,-,0,,,...} e os inteiros positivos são os números nturis {0,,,...}. Como é usul denotmos por Q o conjunto
dos números rcionis, ou sej, o conjunto dos números d form n/m, com m e n números inteiros e m não nulo. A noção de medir. Essencilmente medir é comprr: estbelecemos um unidde fix de um grndez e procurmos encontrr qunts dest unidde são necessáris pr obter tod quntidde d grndez que temos. Clro que, freqüentemente, não possuímos quntiddes inteirs d unidde. Precismos de frções ou prtes d unidde pr representr quntidde que temos. Assim pr medir precismos de números que represente medid de um grndez, dd um unidde fixd. Vmos pensr nos segmentos de um ret. Desejmos medi-lo, ou sej, tribuir este segmento um número. Portnto queremos que todo segmento tenhmos um número ssocido. Serim os números rcionis suficientes pr medir todo segmento? Segmentos comensuráveis Os mtemáticos gregos trtvm questão d medid usndo o conceito de grndezs comensuráveis, que signific medids simultnemente. Vmos ver o que signific isso no cso de segmentos d ret. Considere dois segmentos AB e CD e denote por AB e CD os seus comprimentos respectivmente. Se existem números inteiros positivos m e n e um segmento EF, tis que AB = mef e CD = nef então os segmentos AB e CD são ditos comensuráveis.
N notção de hoje escreverímos que AB m EF = CD n EF m = n Note que os gregos não usvm frções. Eles trtvm pens ds rzões entre grndezs d mesm espécie (número rcionl vem dí). Eles dirim que AB está pr CD, ssim como mef está pr nef. É rzoável pensr que pr quisquer dois segmentos sempre seri possível obter EF, m e n. Contudo os gregos, mis precismente os pitgóricos, descobrirm lgo perturbdor: existim grndezs não comensuráveis A Crise: existênci dos incomensuráveis Em Croton, um colôni greg situd no sul d Itáli, Pitágors, nscido por volt de 57.C., fundou fmos escol pitgóric voltd o estudo de filosofi, mtemátic e ciêncis nturis. Um irmndde permed de ritos secretos e cerimônis. Os pitgóricos, o que tudo indic, form os responsáveis por um dos momentos mis críticos d mtemátic: prov de que há segmentos não comensuráveis, os chmdos incomensuráveis. Vejmos um demonstrção modern desse fto. Atividde. () Primeirmente mostremos um fto gerl. Mostre que se n é um número inteiro positivo então n é um número pr se, e somente se, n é um número pr. (b) Desenhe um qudrdo ABCD. Segue do Teorem de Pitágors que AC = AB. Se os segmentos AC e AB são comensuráveis então existem inteiros positivos m e n tis que AC/AB = m/n. Vmos eliminr os múltiplos comuns de m e n n representção d frção m/n. Sbemos, que existem p e q primos entre si tis que AC/AB = p/q. Temos, então um frção irredutível p/q tl que
4 p q = Assim, temos que p =q. Dess iguldde concluímos que p é um número pr. Usndo () mostre que p=k, pr lgum k inteiro positivo. Usndo () novmente obtenh que q é um número pr. Perceb contrdição e escrev conclusão. Podemos imginr consternção que est descobert provocou entre os pitgóricos, já que el perturbv filosofi básic d escol, de que tudo dependi dos números inteiros. Tão grnde foi o escândlo lógico que por lgum tempo se fizerm esforços pr mnter questão em sigilo. Cont lend que o pitgórico Hipso (ou tlvez outro) foi lnçdo o mr pel ção ímpi de revelr o segredo estrnhos ou (de cordo com outr versão) que ele foi bnido d comunidde pitgóric, sendo-lhe ind erigido um túmulo, como se estivesse morto. (Eves, pág 07) A digonl e o ldo de um qudrdo não é, evidentemente, o único pr de segmentos incomensuráveis. Acredit-se que esse foi o primeiro pr de segmentos incomensuráveis descoberto. Existe um vertente que defende tese de que descobert dos incomensuráveis está relciond o pentgrm, que é o símbolo dos pitgóricos, pois rzão entre o ldo de um pentágono regulr com su digonl result n rzão áure que é dd pelo número ( 5 + ) /, conhecido como número de ouro. Atividde. Vmos mostrr que não existe um número rcionl r tl que r = 5. Suponhmos que existm números inteiros positivos p e q tis que (p/q) = 5. Já vimos que podemos supor que p e q são primos entre si. Então p =5q, ou sej 5 divide p. () Mostre que 5 divide p. (b) De () temos que p = 5k. Mostre que 5 divide q e usndo o mesmo rgumento nterior mostre que 5 divide q. (c) Perceb contrdição e escrev conclusão. Agor mostre que o número ( 5 + ) / não é rcionl, isto é não é d form n/m. 4
5 Atividde. () É possível provr, usndo os mesmos rgumentos d tividde nterior, que ddo qulquer número primo p não existe r rcionl tl que r = p. Tente! (b) Mostre que não existe r rcionl tl que r = (ou sej, não é rcionl). (c) Mostre que não existe r rcionl tl que r = 6 O Número de Ouro Temos um infinidde de mneirs de dividir um segmento AB em dus prtes. Existe um, no entnto, que prece ser mis grdável à vist, como se trduzisse um operção hrmonios pr os nossos sentidos. Reltivmente est divisão, um mtemático lemão Zeizing formulou, em 855, o seguinte princípio: Pr que um todo dividido em dus prtes desiguis preç belo do ponto de vist d form, deve presentr prte menor e mior mesm relção que entre est e o todo. Ele estv flndo d rzão áure, estudd pelos gregos ntes do tempo de Euclides de Alexndri que descreveu est seção em su proposição "dividir um segmento de ret em médi e extrem rzão". Diz-se que o ponto B divide o segmento AC em médi e extrem rzão, se rzão entre o mior e o menor dos segmentos é igul à rzão entre o segmento todo e o mior, isto é, BC/AB = AC/BC. Usndo notção modern, podemos escrever est relção ssim: x / (-x) = / x x = x x + x - = 0 Cujs rízes são 5 x =, 5 + x =. Como x é medid de um segmento descrtmos riz negtiv, logo 5
6 e rzão é 5 x =. BC AB = AC BC = x = ( 5 ) = = 5 5 +,680 O vlor d rzão descrit cim muits vezes é chmdo de ϕ (Phi) ou ind de número de ouro. Os gregos considerrm que o retângulo cujos ldos presentvm est relção presentv um especil hrmoni estétic que lhe chmrm retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerdo form visulmente mis equilibrd e hrmonios. ( + b) = φ Gerlmente rzão é denotd pel letr greg Phi que é inicil do nome de Fídis, escultor e rquiteto encrregdo d construção do Prthenon, em Atens. Construído entre 447 e 4.C., o Prthenon Grego ou o Templo ds Virgens, templo representtivo do século de Péricles e um ds obrs rquitetônics mis dmirds d ntiguidde, contém Rzão de Ouro no retângulo que contêm fchd (Lrgur / Altur). Est rzão está presente tmbém n fchd d Ctedrl de Notre Dme (em Pris) e Bsílic de Snt Mri Novell (em Florenç). Coincidentemente ou não, o número de ouro está presente em muitos lugres que despertm noss experiênci estétic. Em produções ligds à rte, principlmente n pintur, como ns obrs renscentists de Leonrdo d Vinci, exemplo do qudro Mon Lis. Desenhndo um retângulo à volt d fce o retângulo resultnte é um Retângulo de Ouro. Dividindo este retângulo por um linh que psse nos olhos, o novo retângulo obtido tmbém é de Ouro. As dimensões do qudro tmbém 6
7 representm rzão de Ouro. Há indícios de que do século V.C. o Renscimento rte tomou como critério estético, o número de ouro. Este está presente té no rosto humno e niml, pois é rzão entre o comprimento do rosto e distânci entre o queixo e os olhos. Até hoje não se conseguiu descobrir rzão de ser d belez que proporcion o número de ouro. Ms verdde é que existem inúmeros exemplos onde o retângulo de ouro prece. Até mesmo no nosso cotidino, encontrmos proximções do retângulo de ouro, por exemplo, no cso dos crtões de crédito, ns crteirs de identidde, nos crtzes de publicidde, ns cixs dos cereis e fósforos, ssim como n form retngulr d mior prte dos nossos livros e té nos mços de cigrro. Eudoxo e solução pr crise A descobert d existênci de segmentos incomensuráveis blou profundmente s convicções dos pitgóricos. Eles logo perceberm que demonstrções de importntes resultdos, como o Teorem de Tles, estvm incomplets! Isso er grve, já que muitos ftos fundmentis d Geometri dependem do Teorem de Tles. Foi um mtemático grego chmdo Eudoxo, um discípulo de Pltão, que, por volt de 70.C., resolveu de form brilhnte o problem crindo Teori ds Proporções, que pode ser encontrd no livro V dos Elementos de Euclides. N lingugem mtemátic tul, podemos expressr definição de Eudoxo d seguinte form: /b = c/d ( está pr b ssim como c está pr d ) se, e somente se, ddos inteiros m e n então: ) m < nb se, e só se, mc < nd ) m = nb se, e só se, mc = nd ) m > nb se, e só se, mc > nb Com est definição de Eudoxo, pssou ser possível trtr tmbém de grndezs incomensuráveis. Assim pode-se provr 7
8 o Teorem de Tles pr todos os csos. Observe que n miori dos livros didáticos prov do Teorem de Tles, qundo prece, está incomplet, sendo feit pens pr o cso de segmentos comensuráveis, que é muito mis fácil. Apesr d grnde contribuição de Eudoxo, é possível que este trtmento geométrico ddo pr o problem trsou o desenvolvimento de novos cmpos numéricos. Afinl questão de se obter um número ssocido cd segmento, representndo su medid, não foi trtdo de form diret. Somente muito tempo depois, questão foi retomd e definitivmente resolvid. Expndindo o conjunto dos números rcionis Já percebemos que com os números rcionis não se pode obter medid todo segmento de ret. Desej-se encontrr números que representssem medid de qulquer segmento d ret. Portnto procur-se então um conjunto de números que tivesse um bijeção com os pontos d ret. Note que, dd um ret e um referencil, isto é, um ponto que chmmos de origem e um unidde (de medid), estbelecemos um sentido positivo e temos um ret orientd. Nest ret pode-se fcilmente ssocir cd número rcionl um ponto. Vej os exemplos bixo Est é chmd ret rel. Convém lembrr que se demorou muito tempo pr se ceitr e se incorporr os conjuntos numéricos os números negtivos e o 0. Ms vmos dqui pr frente dmitir existênci dos números negtivos. Um construção simples com régu e compsso (vej bixo) nos permite encontrr um ponto P ssocido digonl do qudrdo de ldo e sbemos que não há um número rcionl que represente este ponto. Então nem todo ponto tem um número rcionl correspondente. 8
9 E este não é o único exemplo! Vej construção bixo: Um observção: ret que nós nos referimos qui é um objeto geométrico bstrto e estmos dmitindo certos xioms d geometri. Se cd número rcionl tem um ponto ssocido e vice e vers, devem existir números pr representr os outros pontos. Nturlmente eles form chmdos de números irrcionis. O conjunto dos números reis é coleção de todos os números rcionis e irrcionis. Assim por decreto os números reis form cridos. Ms precismos ter um representção pr poder somr, subtrir, multiplicr, dividir e comprr tis números, d mesm mneir que fzemos com os números rcionis. Representndo números Pr representr s diverss quntiddes usmos um sistem posicionl de bse 0. Os primeiros sistems de numerção, como o egípcio, o hebrico, o grego e o romno se bsevm principlmente no princípio ditivo e de grupmento 9
0 (IX ou MXI). A invenção do sistem posicionl é tribuíd os sumérios e bbilônios, sendo desenvolvid pelos hindus. A utilizção de 0 como bse é sem dúvid conseqüênci do fto de termos 0 dedos. Outrs bses form usds, cujos vestígios estão presentes ns uniddes de medid de tempo ou de ângulo. Devemos, sobretudo, os hindus e os árbes invenção e divulgção d form de escrit dos números que usmos hoje. Usmos representção no sistem deciml pr escrever os números inteiros. Não hveri um mneir de usr o mesmo sistem pr representr os números rcionis? Sbemos que no sistem deciml posicionl os lgrismos gnhm um diferente vlor, que é múltiplo de 0, dependendo d su posição. Cd posição d esquerd pr direit corresponde um grupo 0 vezes menor que o nterior. Se continurmos um cs direit d cd ds uniddes, el deve representr um quntidde 0 vezes menor, ou sej, representr o décimo. Ou sej, se um número inteiro é descrito com potêncis positivs de 0 (por exemplo: 70.00.04 = 7+0 7 +.0 5 +4.0 +) usmos s décims prtes d unidde, /0, /0, /0, /0 4..., que são potêncis negtivs de 0, pr representr s frções. E convencionmos escrever 0, pr /0 0,0 pr /0 0,00 pr /0 e ssim por dinte. Portnto no nosso sistem de representção deciml Ou ind, 60907 60,907 =.0 + 6.0 + 9. +. + 7. = 4 4 0 0 0 0 = 5 0 = 0,5, 40 = 75 000 = 0,075, 69 80 = 865 0000 = 0,865 Vle notr que est simples idéi demorou muito pr ser 0
definitivmente dotd. Os bbilônios, que usvm um sistem posicionl sexgesiml (de bse 60) estenderm su escrit pr forms frcionris /60, /60. etc. Outros povos, como os hindus, usvm representções pr frções com dois símbolos, como numerdor e denomindor. Só muito tempo depois, já no século XVI, notção de frção num sistem posicionl foi retomd ou reinventd, com seprção entre prte inteir e frcionári. Em 585, Stevin, fz um trtdo sobre frções decimis e Npier, num trblho de 67, us mplmente o ponto pr seprr prte inteir dos décimos. Acim descrevemos mneirs de converter números n representção deciml pr representção frcionári. Tmbém prtindo de números escritos n form frcionári, obtivemos su representção deciml. Ms será que podemos representr TODOS os números rcionis dess mneir? Representção deciml finit dos números rcionis Clrmente todo número rcionl d form b/0 n, onde b é um número inteiro qulquer, pode ser escrito n form deciml. Por exemplo, se b for menor que 0 n e se b, n form deciml, é b b b b 4..b k, onde b i são lgrismos de 0 9, pr cd i de k, então b 0 n = 0,00...0b b b... b cuj representção deciml tem extmente n css decimis. As representções d form 4.. n,b b b b 4..b k, onde j e b i são lgrismos de 0 9, pr cd i de k e j de n, são chmds de representções decimis finits. Será que TODO número rcionl pode ser representdo com este tipo de form deciml? Antes de responder exminemos um exemplo: 865 0,865 = = 0000 Obteve-se o denomindor 80 dividindo 0000 por 5, que tmbém é divisor de 865. Note que frção 69/80 é 69 80 k
irredutível, isto é, 69 e 80 não têm divisores em comum (são primos entre si). E 80 e 0000 têm somente dois ftores primos n sus decomposições: e 5. Se, o contrário, começrmos com um frção irredutível /b tl que n decomposição de b em ftores primos só precem os ftores e 5, então conseguiremos um representção deciml finit de /b. Vej estes exemplos: 4 0 = = 0,6 5 5 4 4 5 = = =.5 5 05 00 =,05 Isto foi possível pois qulquer potênci de 0, ou sej os números 0 n, só possuem os ftores primos e 5 n su decomposição: 0 n = n.5 n. Sendo ssim, se n decomposição do denomindor d frção p/q precem ftores diferentes de e 5 então p/q não tem representção deciml finit. Concluindo: dd um número rcionl p/q, onde p e q são primos entre si, ele tem um representção deciml finit, se, e somente se, n decomposição de q em ftores primos só precem os ftores e 5, isto é, q= k 5 m. Representção deciml infinit periódic Nturlmente surge questão: como, então, representr, n form deciml, os outros números rcionis? Será que existe representção deciml pr números como /, 7/5, /7, etc.? Qundo queremos escrever 7/4 n form deciml escrevemos frção 75/00 que trnsformmos em,75. Ms tmbém podemos fzer divisão de 7 por 4. Assim procurmos primeiro sber qunts 4 uniddes cbem em 7: temos. Ms sobrm uniddes pr se dividir em 4. Ms podemos pensr em como 0 décimos. Encontrmos 7 décimos de 4 e sobrm décimos pr serem divididos por 4. Anlogmente, trnsformmos décimos em 0 centésimos pr serem divididos por 4. E qundo este processo não termin? Dividindo-se por
obtemos sempre resto. Fz sentido escrever / = 0,...? Qul o sentido de infinits css decimis? Poderímos escrever que = 0,... = 0, + 0, + 0, +... = 0 + 00 + 000 + 0000 Temos do ldo direito um som infinit. É clro que um som infinit é tão estrnh qunto um representção deciml infinit. Só que este tipo de som é especil: está relciond com progressão geométric (P.G.). Atividde. Um progressão geométric é um seqüênci de números não nulos, onde qulquer termo ( prtir do segundo), é igul o ntecedente multiplicdo por um constnte. Ess constnte é denomind rzão d progressão, que indicremos por q. Assim seqüênci de números é d form (,.q,.q,.q,...) represent um PG. () Mostre que se S n = + q + q +...+ q n, então S n n+ - q = - q (b) Tomndo-se rzão q entre e (-<q<) pode-se mostrr que q n+ tende 0 (ou q n+ vi pr 0) qundo n vi pr infinito. Signific que q n+ fic cd vez mis próximo de zero, à medid que n ument. Mostre que nesse cso S n = - q + n+ q - q n - q Logo em um PG infinit dizemos que som infinit dos termos d PG é /(-q). E escrevemos que = S = + + + +... = + q + q + q +... - q (c) Obtenh som dos infinitos termos d PG com = e q=/8. Idem pr =/0 e q = /0. As representções decimis infinits como vimos cim são chmds de periódics, pois periodicmente um grupo de lgrismos se repete. Ms dd um representção deciml infinit e periódic, ou sej um chmd dízim periódic, el é representção de um número rcionl? Vejmos um exemplo. Considere representção + L
4 que é som infinit x = + 0 x =,454545... + 45 0 + 45 0 5 + 45 0 7 + 45 0 9 + L Isso envolve som de um PG. Infinit de rzão /0. Portnto fzendo os cálculos som cim dá um número. Obteremos ssim x n form de frção. Há um form lterntiv mis simples de se obter x. Note que os lgrismos começm se repetir prtir d segund cs deciml, com o lgrismo 4. Vmos multiplicr o número por 0: 0.x =,454545... Agor, vmos multiplicr o mesmo por 0 : 0.x= 45,454545... Se subtrirmos o mior do menor, el irá cncelr: 0.x 0.x = 45,45... -,45... = Logo, 0.x (00 ) = e, portnto, x.990 =. Logo, x = 990 Com esse método obtemos sempre um representção em frção de um dízim periódic. Atividde. Mostre que 0,999...=. E que,5 =,4999K e,48 =,47999... Há um grnde incômodo ns igulddes do tipo /9 = 0,... Convém ressltr que iguldde pens inform que temos dus representções do mesmo número. Note que notção com os pontinhos não é precis. Qundo se escreve 0,... pressupomos que o lgrismo se repete indefinidmente. Se escrevemos 0,7... como sber se há repetição? E quis lgrismos se repetem? Assim um notção mis utilizd é brr sobre os lgrismos que se repetirão formndo dízim periódic. Atividde. Escrev,457 n form /b. 4
5 Atividde. Respond, justificndo respost. () A representção deciml de /7 é infinit e periódic? (b) O número cuj representção deciml segue o seguinte pdrão 0,00000..., é rcionl? Será que todo número rcionl /b tem um representção deciml finit ou infinit periódic? Vejmos o que contece qundo dividimos 5 por. Dividindo 50 por (pr encontrr cs deciml) encontrmos o quociente 4 e resto 6. Fzemos então divisão de 60 por pr obter segund cs deciml. Encontrmos o quociente 5 e resto 5. Dí fzemos divisão de 50 por, que já fizemos, cujo resto é 6. Os únicos restos que precem são 6 e 5. Assim 5/ = 0,4545... Vejmos outro exemplo: fzendo divisão de 4 por 7 obtemos 4/7 = 0,57485748... Observe que, nesse cso, os restos d divisão são 5,,,, 6 e 4, nest ordem. Qundo chegmos o resto 4 iremos dividir 40 por 7, que já fizemos. O próximo resto será 5 e os próximos restos serão queles que já precerm e n mesm ordem! Lembre que em qulquer divisão de por b (>b) vle que =qb+r, onde o resto r deve ser sempre menor do que o divisor. Portnto r só pode ser 0,,,,... ou b-. Logo o resto d divisão por 7, só pode ser 0,,,, 4, 5 ou 6. O resto d divisão por só pode ser 0,,,... 9 ou 0. Assim os restos terão que se repetir. Generlizndo, se p/q for um número rcionl escrito em su form irredutível, e se o denomindor q tiver outros ftores primos lém de e 5, su representção deciml será um dízim, pois n divisão de quisquer números por q, os únicos restos possíveis serão,,..., (q ) um quntidde finit de possibiliddes. Com isso, teremos certez de que, em lgum momento, um determindo resto irá se repetir e, prtir dí, todo o lgoritmo irá se repetir, resultndo ssim um dízim periódic. Concluímos que representção deciml de qulquer número rcionl ou é finit, ou é infinit e periódic, 5
6 tmbém chmd de dízim periódic. Representção deciml os números reis É fácil loclizr o ponto / n ret rel A representção deciml de / é 0,... (infinit e periódic). Escrevendo = 0,... = 0 + 00 + 000 + 0000 percebemos que / é um som infinit. Se mrcrmos os pontos correspondentes 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; 0, ;... n ret rel, obteremos um seqüênci de pontos que converge pr o ponto /. Isso signific que tão perto qunto se queir de / existe um número d form 0,..., onde quntidde de css decimis vi depender do quão perto se desej. A mesm cois ocorre com representção deciml infinit de que é 0,999...: seqüênci de números (0,9;0,99;0,999;0,9999,...) converge (se proxim de ). Podemos generlizr: todo número rcionl r pode ser proximdo por números d form /0 n, ou sej há um seqüênci infinit de números d form 0,... k que converge pr r. Por outro ldo, se escolhermos um ponto P d ret que corresponde um número irrcionl s existirá um representção deciml pr tl número? Tomemos o ponto P que corresponde o (o ponto zul ns figurs bixo). Como < < temos que está entre e. + L 6
7 Vmos procurr melhores proximções de. Como (,4) < < (,5) (fç os cálculos e verifique!) então está entre,4 e,5. Novmente, fzendo mis cálculos percebemos que (,4) < < (,4) e então,4 < <,4. E mis, podemos clculr e ver que (,44) < < (,45), e então,44 < <,45. Podemos então perceber que sempre podemos obter melhores proximções de, bstndo dividir os intervlos em prtes iguis de tmnho /0 k. E esse processo é infinito!!!! Note que, os números rcionis (,4;,4;,44;,44 ;,44;,44;,445;,4456;...) formm um seqüênci de números que converge, pr. Os números dest seqüênci são proximções de d form b/0 n. Note que seqüênci é formd por números menores que, e que é um seqüênci crescente. 7
8 Nd impede que se repit o processo cim descrito pr todo número irrcionl s (ponto d ret rel). Assim podemos intuir que existe um representção deciml de s. A representção deciml de um número irrcionl s tem que ser infinit e não periódic, pois só os números rcionis têm representção finit ou infinit e periódic. Construindo os números reis Vimos que todo ponto d ret rel, ou sej, todo número rel tem um representção deciml infinit sendo que se o número é rcionl representção é infinit e periódic e se o número é irrcionl el é infinit e não periódic. Invente um representção deciml qulquer. El represent um número rel? Vmos ver um exemplo: consideremos o deciml 0,.... (é um deciml infinito cujs css decimis só tem e conforme um pdrão: ument-se quntidde de seprdos por ). Este é um deciml infinito e não periódico. Existe um ponto Q d ret cujo número ssocido tem est representção? Vmos tentr responder. Tome seguinte seqüênci de números: 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; etc... A seqüênci é crescente e nunc ultrpss 0,. Tmbém não ultrpss 0,. Ou ind não ultrpss 0, etc. A diferenç entre os termos vi ficndo cd vez menor. De fto, diferenç entre dois números consecutivos é sempre menor que /0 n =0,0...0. Vej 0,-0,=0,0 0,-0,=0,00 8
9 0,-0,=0,000 etc Noss intuição nos diz que est é um seqüênci de números rcionis que converge pr um número s (um ponto d ret rel). E o número s só pode ser o número representdo por 0,..., com infinits css decimis! O rgumento que usmos pode ser repetido pr tod e qulquer form deciml infinit que você inventr, mesmo que el não tenh um regulridde (como é o cso do exemplo cim). Portnto tod form deciml infinit (periódic ou não) represent um número rel. O que estmos firmndo é que sempre existirá um ponto n ret rel, ou sej um número rel, pr onde converge um seqüênci crescente e limitd de números d form b/0 n. Informlmente, dizemos que o conjunto dos números reis não tem burco. Qundo dizemos isso queremos trduzir um idéi de continuidde ou de completude. E este é um dos conceitos mis difíceis e bstrtos d Mtemátic, cujo mistério foi desvenddo por mtemáticos como Georg Cntor (845-98) e Richrd Dedekind (8-96). Pr Cntor completude ou continuidde dos números d ret rel se trduz d seguinte form: tod seqüênci de números reis convergente tem limite, ou sej, o limite é um número rel. A idéi de Cntor foi sugerid pelo que vimos nteriormente de que números reis podem ser considerdos como decimis infinits e decimis infinits são limites de decimis finits (números rcionis). Libertndo-se do sistem deciml, Cntor firmou que no conjunto dos números reis tod seqüênci de números rcionis ( ; ; ; 4 ;...) que convergir, ou sej, diferenç entre os termos d seqüênci vi diminuindo ( ( n - m ) tende 0 medid que n e m umentm ) terá o limite no conjunto dos números reis. 9
0 Dedekind, contudo, inspirou-se n Teori ds Proporções de Eudoxo. N definição de Eudoxo sepr-se frção m/n em três csos: n > mb ou n = mb ou n< mb. Assim Dedekind pensou em seprr s frções em dus clsses: quels com n < mb e s com n > mb. A este pr de clsses ele deu o nume de corte. Ele firmou que o princípio d completude ou d continuidde está no fto de que tod vez que cortmos ret em dois pedços A e B existe um ponto que P que produz tl corte d ret e sepr em dus prtes. Proprieddes dos números reis Sbemos que o conjunto dos números rcionis, denotdo por Q, é o que chmmos de corpo ordendo: s operções de dição e multiplicção de números rcionis fornecem números rcionis que stisfzem determinds proprieddes e temos um relção de ordem neste conjunto, comptível com s operções. O conjunto dos números rcionis foi umentdo e temos gor o conjunto dos números reis. O conjunto dos números reis, denotdo por R, é união dos números rcionis com os irrcionis. Podemos ind operr com estes novos números como fzemos com os rcionis? Como definir gor dição e multiplicção? Os números reis formm tmbém um corpo ordendo? Não é nd fácil operr com s representções decimis. Vejmos est som,456789876545676877... +,9854789076454674866845959987656... 4,79... Não há como conhecer tods s css decimis de lguns números. O lgoritmo d multiplicção plicdo em decimis infinito fic bem complicdo. E qundo misturmos rcionis e irrcionis contecem coiss incríveis. Queremos definir operções em R que estendm s 0
operções de dição e subtrção definids em Q. Isso não é tão simples qunto prece. Contudo os mtemáticos de fto provrm que no conjunto dos números reis R construído nteriormente estão definids operções de dição e multiplicção que estende s de Q. Tmbém temos um ordem ns mesms condições o que permite firmr que R é um corpo ordendo. Atividde. O conjunto dos números irrcionis pode formr um corpo? Anlisemos o que contece qundo opermos com estes números. () A som de um número rcionl não nulo por um irrcionl é sempre um número irrcionl? (b) O produto de um número rcionl não nulo por um irrcionl é sempre um número irrcionl? (c) Se e b forem números irrcionis então +b é ser um número irrcionl? (d) Se e b forem números irrcionis então.b é um número irrcionl? Quntos irrcionis existem? Será que há tntos números irrcionis qunto rcionis? Est pergunt prece estrnh pois já sbemos que existem infinitos números rcionis e irrcionis. Como então flr de quntidde de infinitos elementos? Mtemáticos perceberm que há quliddes diferentes de infinitos. Ms especilmente o mtemático G. Cntor que se dedicou (prticmente criou) à Teori dos Conjuntos, desvendou o mistério. Vmos entender melhor esse conceito. Dizemos que s poltrons de um tetro são numerds. É freqüente se usr letrs e números pr tl (fil J cdeir, por exemplo). Tmbém os crros de um cidde são enumerdos, pois recebem um plc formd por letrs e números. Assim tmbém se pensou em fzer com o conjunto de números. Percebeu-se que os números inteiros (que se denot por Z) podem ser enumerdos. Portnto enumerr é estbelecer um correspondênci
bijetor entre os números nturis N e os elementos do conjunto. Percebeu-se que os números inteiros (que se denot por Z) podem ser enumerdos. Vej como: Posição 4 5 6 7 8 9... Número 0 - - - -4 4... inteiro Como existem infinitos números nturis enumerção presentd é possível: todos os números inteiros terão um posição n fil. Portnto o conjunto Z dos números inteiros é dito enumerável. É mis surpreendente que o conjunto dos números rcionis Q é tmbém enumerável. Vejmos como estbelecer um enumerção. Vmos tomr os rcionis positivos. Se estbelecermos um enumerção destes poderemos enumerr todos os números rcionis procedendo como foi feito cim com os números inteiros. Procedmos, então, d seguinte mneir: vmos grupr todos os números rcionis positivos de modo que, em cd grupo, som dos termos (numerdor e denomindor) d frção irredutível que o represent sej mesm; todo número que já figur num grupo nterior será retirdo: o grupo : som : preceu) o grupo : som : o grupo : som 4 :,, (elimin-se o / =, que já 4 o grupo : som 5 : 5 o grupo : som 6 : etc 4 5, 4 5,,, (elimin-se o que já preceu)
Coloquemos gor estes grupos um depois do outro e fçmos corresponder cd número do grupo um número nturl (colocndo-os em fil ):,, 4 5 4 6, 4 7, 8, 9 5, 5 0...etc Dess form tome um rcionl positivo m/n, n form irredutível, qulquer. Este número está no grupo d som m+n e dentro deste grupo ocup um lugr determindo; ssim corresponde-lhe um número nturl e um só. Reciprocmente, n correspondênci cim estbelecid cd número nturl corresponde um número rcionl e um só. Portnto, este conjunto é do tipo enumerável. E conjunto dos números irrcionis é tmbém enumerável? Est questão ficou em berto por muito tempo. Somente em 874, o mtemático G. Cntor respondeu pergunt de um form muito interessnte (simples e genil), usndo representção deciml. Vmos presentá-l seguir. Primeirmente lembre-se que todo número rel (rcionl ou irrcionl) tem um (únic) representção deciml infinit (podemos tomr 0,4999... no lugr de 0,5). Suponhmos que possmos enumerr todos os números reis. Portnto tmbém podemos enumerr os números reis entre 0 e. Os números reis entre 0 e podem ser escritos n são d form 0,b b b b 4..., onde b k são lgrismos de 0 9. Se tis números estão enumerdos, ou sej, em fil, cd um ocupndo um posição.
4 4 5 M 0, 0, 0, 0, 0, 4 5 4 5 4 5 4 4 4 44 54 5 5 5 45 55 6 6 6 56... 46............ Note que ik denot o lgrismo d k-ésim cs deciml d representção deciml do número que ocup i-ésim posição. Agor vmos crir um número rel 0,b b b b 4..., d seguinte form: cd b k = kk +, qundo kk é diferente de 9 e b k =0, se kk é igul 9. Por exemplo, se = então fzemos b =, se =0, então b =, se =9, então colocmos b =0, e ssim por dinte. Crimos ssim um número rel entre 0 e. Portnto ele tem que estr n list que fizemos cim, isto é, ele tem que estr em correspondênci com um número nturl. Imginemos que 0,b b b b 4... ocup o 5 o lugr, isto é, 0,b b b b 4 b 5 b 6... = 0, 5 5 5 54 55 56...; Pr que tis números sejm iguis, cd cs deciml correspondente deve ser igul, ou sej, b = 5, b = 5, b 4 = 54, b 5 = 55, b 6 = 56, etc. Ms b 5 não é igul 55!?! Em gerl se 0,b b b b 4... ocupsse o k-ésimo lugr, isto é, 0,b b b b 4 b 5 b 6... = 0, k k k k4 k5 k6... então terímos b = k, b = k, b 4 = k4, b 5 = k5,..., b k = kk, etc. Ms b k não é igul kk! Temos um contrdição qui! Que foi gerd pelo fto de querermos colocr o número 0,b b b b 4... n list. Então ele não pode fzer prte d list. Mostrmos que existe um número rel entre 0 e que não tem um correspondente número nturl. Portnto não podemos enumerr TODOS os números reis entre 0 e. Conclusão: não é possível encontrr um enumerção dos números reis, ou sej, o conjunto dos números reis não é enumerável. A demonstrção que presentmos é conhecid como o método d digonl de Cntor, em homengem o seu cridor. 4
5 Muits outrs questões Há muits outrs questões sobre nturez dos números reis. Qundo trtmos do fscinnte mundo dos números, certs questões surgem nturlmente. E lguns dos nossos lunos podem muitos bem nos fzer lgums perturbdors pergunts. Como respondê-ls? Existem infinitos números irrcionis? Serim todos os números irrcionis d form n p, ou som, diferenç, produto ou quociente de números deste tipo? Entre quisquer dois números rcionis, sempre existe um número irrcionl? Entre quisquer dois números irrcionis, sempre existe um número rcionl? Atividde. Como chr um número irrcionl entre =π+ e b = - π+5? Obtenh um número rcionl entre 6 e? Existe um número irrcionl entre e 0,99999? Existe um número rcionl entre e 0,99999? O que ler. Crç, B., Conceitos Fundmentis d Mtemátic, 4 edição, Grdiv, Lisbo, 00. Cournt,R, Robbins,H. O que é Mtemátic?, Ed. Ciênci Modern Ltd, Rio de Jneiro, 000 (trdução do originl Wht is Mthemtics? 969). Eves, H., Introdução Histori d Mtemátic, edição, Ed. d Unicmp, Cmpins, 00. Figueiredo, D.G., Números Irrcionis e trnscendentes, Coleção Fundmentos d Mtemátic Elementr, SBM, Rio de Jneiro, 985. 5
6 Niven, I., Números: rcionis e irrcionis, Coleção Fundmentos d Mtemátic Elementr, SBM, Rio de Jneiro, 984. Artigos d Revist do Professor de Mtemátic, SBM, São Pulo. (vol, 6, 7, 8, 0 etc) Sitios (sites) http://www. educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm7/index.html httt://www.mtemtic.br http://www-groups.dcs.st-nd.c.uk/~history/ 6