Coordends crtesins Triedro direto
Coordends crtesins Loclizção de pontos (P e Q)
Coordends crtesins Elemento de volume diferencil
Coordends crtesins Componentes,, z do vetor r
Coordends crtesins Vetores unitários
Coordends crtesins Vetor diferenç entre P e Q
Produto esclr
Produto vetoril Regr do prfuso
Coordends cilíndrics circulres superfícies mutumente perpendiculres
Coordends cilíndrics circulres vetores unitários
Coordends cilíndrics circulres
Coordends cilíndrics circulres Volume diferencil
Relções entre coordends retngulres e cilíndrics circulres
Coordends esférics
Coordends esférics superfícies mutumente perpendiculres
Coordends esférics vetores unitários
Coordends esférics
Coordends esférics Elemento diferencil de volume
Comprção entre coordends retngulres, cilíndrics e esférics
Comprção entre vetores unitários de coordends retngulres, cilíndrics e esférics
Comprção entre elementos diferenciis de volumes em coordends retngulres, cilíndrics e esférics
Relções entre s coordends Retngulres Cilíndrics Esférics R e t ρ cos φ r sen θ cos φ ρ sen φ r sen θ sen φ z z rcos θ C i l E s f ρ φ z r θ φ rc cos + rc tn z + + + rc tn z z + z
Produtos esclres entre os versores ρ φ z r θ φ cos φ sen φ 0 sen θ cos φ cos θ cos φ sen φ sen φ cos φ 0 sen θ sen φ cos θ sen φ cos θ z 0 0 cos θ sen φ 0
Relções entre os versores Retngulres Cilíndrics Esférics R e t cos φ ρ sen φ φ sen θ cos φ r + cos θ cos φ θ - sen φ φ sen φ ρ + cos φ φ sen θ sen φ r + cos θ sen φ θ + cos φ φ z z cos θ r - sen θ θ C i l ρ φ z cos φ + sen φ sen φ + cos φ z E s f r θ φ sen θ cos φ + sen θ sen φ + cos θ z cos θ cos φ + cos θ sen φ - sen θ z sen φ + cos φ
f F f ( F) ( fg) ( ) ( ff) Identiddes vetoriis diferenciis = = 0 = 0 = = F G = ( F ) G + F ( G) + ( G) F + G ( F) ( F G) ( ff) ( ) = = = f ( F) F ( f ) g + f ( g) ( f ) F + f F ( f ) F + f ( F) ( f ) F + f F F G = ( G) F ( F) G + ( G ) F ( F )G
Coordends curvilínes
Coordends curvilínes Um ponto P no espço pode ser loclizdo por coordends retngulres (,,z) ou por coordends curvilínes (u,u,u ). As equções que trnsformm um conjunto de coordends no outro são: = (u,u,u ) = (u,u,u ) = (u,u,u ) Se u e u forem constntes, então, à medid que u vrir, posição do ponto P, representd pelo vetor r = + + z z descreve curv coordend u. Similrmente são definids s curvs no espço u e u. Os vetores r, r, r representm os versores tngentes às curvs u u u coordends u,u,u.
Coordends curvilínes Fzendo,, os versores tngentes às curvs coordends, tem-se: r r r =, =, =, u u u em que r r r =, =, = u u u são denomindos ftores esclres. Se,, forem mutumente perpendiculres, o sistem de coordends curvilínes é dito ortogonl.
Coordends curvilínes em que ( z,, ) uuu O elemento diferencil de volume em coordends curvilínes será: = = ( ) ( ) ( ) dv = du du du = u u u = u u u z u z u z u dududu r r r dududu = u u u ( z,, ) du du du uuu é denomind Mtriz Jcobin d trnsformção.
+ + = u f u u f u u f u f + + = u f u f u f f ( ) ( ) ( ) + + = u A u A u A A A A A u u u A = vetor qulquer esclr do vetor A Lplcino Grdiente Divergente Rotcionl u u u Crtesins z Cilíndrics ρ φ z ρ Esférics r r r sen θ Ftores de proporcionlidde Coordends curvilínes versores tngentes às curvs função lgébric qulquer f A θ φ A,,,
Eercícios Eercício E. Ddos os três pontos A(;-;), B(-4;-;6), e C(;5;-), determinr: ) O vetor que se etende de A té C; b) O vetor unitário dirigido de B pr A; c) A distânci entre B e C; d) O vetor que se etende de A té o ponto médio do segmento que une B C. Eercício E. Um cmpo vetoril é definido por W = - + + +. Ddos os três pontos, B(-4;-;6), e C(;5;-), determinr: 4 (7 z) (4 z ) ) Qul é intensidde (ou módulo) d cmpo no ponto P(;-;4)? b) Determine o vetor unitário que indique direção d cmpo no ponto P? c) Em que ponto (ou pontos) do eio "z" intensidde de "W" é unitári? z Eercício E. Ddos F = - 5 4 e G = + 5, determine: z z ) FG i ; b) O ângulo entre F e G; c) A componente esclr de F n direção de G; c) A projeção de F n direção de G. Eercício E.4 Se F = 45 + 70 + 5 e G = 4 +, determine: ) F G; b) ( F); c) ( ) F; z z c) Um vetor perpendiculr F e G.
Resposts dos eercícios ( ). 0,45 0,59 0,669 ) ; 45 70 ) ; 45 ) ; 45 90 )5.4.,4,55, ) )4,8; ; )0,8 7; ). 0,455. ) ; 0,50 0,4 0,899 ) )5,4;.. 0,5 4,5,5 ) ),45; ; 0,65 0,7 )0,76 ; 4 8 ). z z z z z z z d c b E d c b E c b E d c b E + ± + ± + + + + +
Eercício E.5 Ddos os pontos P( ρ Eercícios o =6; =5 ;z=-) e Q(=;=-;z=4), determine distânci: φ ) De "P" té origem; b) De "Q" té o pé d perpendiculr que pss por este ponto, em relção o eio "z"; c) Entre P e Q; Eercício E.6 ) Epresse o cmpo de temperturs T = 40 + z em coordends cilíndrics; b) Determine densidde no ponto P(-;-5;), sendo mesm epress por e ( ρ φ z + cos ). Eercício E.7 ) Epresse o cmpo vetoril W = ( ) em coordends cilíndrics; b) Epresse o cmpo vetoril F = ρ cosφ ; ρ Eercício E.8 Ddos os pontos P( r=6; θ ) De "Q" à origem; b) De "P" té o plno = 0; c) Entre "P" e "Q"; o =0 ; =5) e Q(=;=-;z=4), determine dist φ ânci: Eercício E.9 ) Epresse o cmpo de temperturs T = 40 + z em coordends esférics; b) Determine densidde é epress por re r / ( 5 + cosθ + senθ cos φ), determine- no ponto P(-;-5;). Eercício E.0 ) Epresse o cmpo vetoril W = ( ) em coordends esférics; b) Epresse o cmpo vetoril F = r cosφ em coordends crtesins. r
E.5 Resposts dos eercícios )6,7; b),6; c),0. E.6 )40 + E.7 ) ρ E.0 ) b) z ( )( ) ( cos φ sen φ sen φ + cos φ ; b) + )( + ). E.8 )5,0; b)4,6; c)0,5. E.9 )40 + r ρ sen φ; b)8,66. ( cos θ sen φ sen θ ) ( cos φ sen φ ) sen φ ( sen θ + cos θ ) r sen θ [ ] r θ + cos φφ ( + )( + + z ) ρ z ; φ b),706. ;