Mteril Teórico - Números Inteiros e Números Rcionis Números Inteiros e Operções Sétimo Ano Prof. Angelo Pp Neto
1 Introdução os números inteiros Vmos começr considerndo seguinte situção: Pedro tinh R$ 10,00. Comprou n vend do Seu Zé um cderno que cust R$ 8,00 e um pcote de iscoitos que cust R$ 4,00. Ele deu os 10 reis Seu Zé, que notou n su cdernet os 2 reis que Pedro ficou devendo. O que signific notção n cdernet do Seu Zé? O preço pgr pelo cderno e pelo pcote de iscoitos er de 8+4 = 12 reis. Como Pedrotinh pens 10 reis, Seu Zé notou n cdernet um dívid de 2 reis que Pedro pssou ter com ele. Se tivesse comprdo pens o cderno, Pedro teri receido 10 8 = 2 reis de troco. Se tivesse comprdo pens o pcote de iscoitos, Pedro receeri 10 4 = 6 reis de troco. Como comprou o cderno e o pcote de iscoitos, operção que corresponde à su compr é 10 12. Prrepresentr diferenç 10 12, ou sej, dívid de Pedro, escrevemos 2, onde o sinl represent o fto de Pedro não ter receido troco, ms ter ficdo devendo 2 reis seu Zé. Escrevemos, então, 10 12 = 2. De um modo gerl, n diferenç entre dois números nturis, qundo o minuendo é mior do que o sutrendo, o resultdo d sutrção é ind um número nturl. Exemplo 1. 10 8 = 2. minuendo sutrendo Pr que diferenç entre números nturis continue fzendo sentido, mesmo que o minuendo não sej mior do que o sutrendo, precismos considerr novos números. O zero, otido como o resultdo de um diferenç onde minuendo e sutrendo são iguis: Exemplo 2. 10 10 = 0 minuendo sutrendo e os números inteiros negtivos, otidos como resultdos de diferençs onde o minuendo é menor do que o sutrendo: Exemplo 3. 10 12 = 2. minuendo sutrendo O conjunto formdo pelos números nturis 1,2,3,4,5, etc (tmém chmdos inteiros positivos), pelo número 0 e pelos números inteiros negtivos 1, 2, 3, 4, 5, etc., é chmdo conjunto dos números inteiros. Costummos escrever Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...} (1) pr denotr esse conjunto. A letr Z vem d plvr lemão zhl, que signific número. As reticêncis... no inícioeno finl drepresentção(1) indicm que épossível continur escrever tntos inteiros qunto desejrmos, pr esquerd ou pr direit. Se, no di seguinte, Pedro for à vend do Seu Zé e quitr dívid, ou sej, pgr os dois reis que estv devendo, Seu Zé riscrá notção de su cdernet. Em termos mtemáticos, isso pode ser escrito como 2+2 = 0, o que signific que Pedro pssou dever 0 reis, ou sej, nd, Seu Zé. Em gerl, podemos dizer que pr cd número inteiro existe um número inteiro tl que som dos dois é igul zero. Esses dois inteiros cuj som é zero são chmdos simétricos um do outro. Por exemplo, 2 e 2 são simétricos um do outro. Tmém dizemos que 2 é o simétrico de 2 e que 2 é o simétrico de 2. Se + = 0, escrevemos = ou =. Juntndo esss dus últims igulddes, vemos que = = ( ), ou sej, o simétrico do simétrico de um número inteiro é o próprio número. Um pouco de históri: coleção chines de prolems Nove Cpítulos sore Arte Mtemátic, escrit durnte o período d dinsti Hn (200.C. - 220 d.c.) é considerd um clássico d mtemátic chines. Em seu cpítulo 8, há um explicção de como lidr com números negtivos. É certo que esse livro resume um trdiçãoem mis ntig e se-se que, desde o período d históri chines conhecido como o dos Estdos Comtentes (475.C. - 221.C.) os chineses já usvm idei de números negtivos pr fzerem operções. O grego Diofnto de Alexndri, que viveu no século III d.c., usv o símolo pr indicr os termos de um expressão que deverim ser sutrídos, o invés de somdos. Além disso, em seu trtdo Aritmétic, Diofnto trlh com identiddes tis como ( ) (c d) = c d c+d, (2) onde,,cedsãonúmerosinteiros. (Explicremososignificdo dess iguldde n figur 1 e no penúltimo prágrfo ntes del.) O mtemático e strônomo indino Brhmgupt (598-670) chmv números positivos de fortun e números negtivos de dívids e já tinh o conhecimento do número 0. Os símolos + e fizerm su primeir prição no livro Mercntile Arithmetic, pulicdo em 1489, n cidde lemã de Leipzig, por Johnnes Widmn. O mtemático e físico elg Simon Stevin (1548-1620), explicou geometricmente identidde de Diofnto em seu livro L rithmétique 1, de 1585 (vej figur 1). 1 Do frncês A Aritmétic. http://mtemtic.omep.org.r/ 1 mtemtic@omep.org.r
Ness figur, áre do retângulo rnco é ( ) (c d) e pode tmém ser clculd retirndo-se do retângulo mior (cuj áre mede c) os dois retângulos destcdos, cujs áres medem c e d. Nesse processo, áre d do retângulo menor é retird dus vezes e precis ser repost. Disso result expressão (2). vizinhos, ou sej, os pontos mis próximos que tmém representm números nturis, sej sempre igul à distânci entre os pontos que representm 0 e 1. Por exemplo, mrcndo n figur 2 os pontos que representm os números 2 e 3, otemos figur 3: r 0 1 2 3 Figur 3: Mrcndo os pontos de 0 3. c d Cd número negtivo n é representdo pelo ponto que está situdo à esquerd do ponto que represent 0, à distânci té origem igul àquel do ponto que represent o seu simétrico n (figur 4 oserve que não há relção de escl entre s figurs 3 e 4). Figur 1: Interpretção geométric d identidde de Diofnto, 2. n 0 n Figur 4: Pontos n e n, simétricos em relção 0. 2 A ret numéric Podemos escrever os números inteiros em um ret r, orientd d esquerd pr direit, chmd ret numéric. A ret numéric pode ser construíd do seguinte modo: primeiro, escolhemos dois pontos d ret r, um ponto que represent o número 0 e outro ponto que represent o número 1 (figur 2). É costume considerr o ponto que represent o número 0 situdo à esquerd do ponto que represent o número 1, ms isso é mermente um convenção. Asetnextremiddedireitdretr dfigur2indic que escolh do ponto que represent o número 1 à direit do ponto que represent o número 0 determin, sore r um orientção, que é o sentido ser percorrido pr que os números preçm em ordem crescente. 0 1 Figur 2: Dois pontos escolhidos sore um ret. A escolh dos pontos que representm 0 e 1 tmém determin um unidde de medid, que é distânci entre esses pontos. Os pontos sore ret r que representm os demis números nturis, 2, 3, 4, 5, etc., devem ser escolhidos de modo que distânci entre cd um deles e seus r Dess form, todos os números inteiros correspondem pontos sore ret r que, como já foi dito, é chmd de ret numéric(figur 5). Ess ret é orientd d esquerd pr direit, o que signific que um número é mior do que outro se seu ponto correspondente está mis à direit do que o ponto que corresponde o outro. 3 2 1 0 1 2 3 Figur 5: A ret numéric. Por um questão de simplicidde, prtir dqui, em vez de escrevermos ponto que represent 0, ponto que represent 1, etc., escreveremos ponto 0, ponto 1, etc., o que signific que estmos identificndo um ponto com o número que ele represent. O ponto 0 tmém é chmdo origem d ret numéric. Oservção 4. Nem todo ponto d ret r corresponde um número inteiro. Por exemplo, um ponto situdo entre 0 e 1 não pode representr um inteiro. 3 Módulo de número inteiro Com representção geométric dos números inteiros construíd n seção nterior, podemos estelecer o seguinte: r http://mtemtic.omep.org.r/ 2 mtemtic@omep.org.r
distânci entre dois números inteiros é distânci, o longo d ret numéric, entre os pontos que representm esses números. O módulo ou vlor soluto de um número inteiro n é su distânci té 0. Escrevemos n pr indicr o módulo do número inteiro n. Exemplo 5. 17 = 17, 8 = 8, 0 = 0. Ddos um número inteiro n 0 e seu simétrico n, um dos dois está à direit de 0 e o outro à esquerd de 0. (Não se deixe engnr pel figur 4. Lá, n representv, de prtid, um número nturl! Contudo, deixndo quel situção de ldo, se gortomrmos n = 3, por exemplo, então n será mrcdo à esquerd do 0, enqunto n = 3 será mrcdo à direit de 0.) A distânci de cd um deles à origem coincide com o número que está à direit de 0. Exemplo 6. O número inteiro 3 está à direit de 0 e seu simétrico, 3 está à esquerd de 0. A distânci de 3 e de 3 té 0 é igul 3. Exemplo 7. O número 7 está à esquerd de 0 e seu simétrico 7 está à direit de 0. A distânci de 7 e de 7 té 0 é igul 7. Em gerl, todos os números inteiros negtivos estão à esquerd de 0 e todos os números inteiros positivos estão à direit de 0. Pr cd número inteiro n é possível escrever { n se n 0 n = n se n < 0 De fto, se n = 0, então n = 0 = 0 = n. Se n 0, há dois csos considerr: se n estiver à direit de 0, isto é, se n > 0, então n é igul n; se n estiver à esquerd de 0, isto é, se n < 0, então seu simétrico n estrá à direit de 0, de form que n = n, neste cso. Exemplo 8. Em Fiscolândi s estrds têm muitos pedágios. Há um pedágio cd quilômetro e cd pedágio cust 10 cruzets ( moed de Fiscolândi é Cruzet). Miguel trfeg em seu crro conversível por um estrd ret. Ele cou de pgr um pedágio e perceeu que lev consigo pens 80 cruzets. Por quntos pedágios Miguel ind pode pssr ntes que seu dinheiro ce? Qul é mior distânci que Miguel pode percorrer o longo d estrd? Miguel pode seguir o longo d estrd em um dos dois sentidos. Assumindo que o pedágio onde Miguel está corresponde o número 0 e que o próximo pedágio à direit corresponde o número 1, otemos um ret numéric onde cd pedágio corresponde um número inteiro (vej figur 6). 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Figur 6: Pedágios n estrd ret. Como Miguel dispõe de 80 cruzets pós pssr pelo pedágio em 0, ele ind pode pssr por 8 pedágios em cd sentido. Assim, ele pode chegr té um dos pedágios situdos nos pontos 9 ou 9, ms não pode ultrpssá-los, pois não terá mis dinheiro qundo chegr lá. Oservção 9. No que se segue, usremos s notções: > (lê-se é mior que ) pr indicr que está à direit de, < (lê-se é menor que ) pr indicr que está à esquerd de. É costume tmém escrevermos > ou = de modo revido como (lê-se é miorouigul ), e < ou = de modo revido como (lê-se é menor ou igul ). No exemplo 8, o conjunto dos números que correspondem pedágios pelos quis Miguel pode pssr é P = { 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Esse conjunto pode ser escrito de modo mis conciso como ou, ind, P = {n Z 8 n 8} P = {n Z 9 < n < 9}. Prum número inteiro n, escrever 9 < n é o mesmo que escrever 8 n, pois não há números inteiros entre 9 e 8. Assim, o primeiro inteiro à direit de 9 é 8. O mesmo vle em relção às desigulddes n < 9 e n 8. Alguns suconjuntos importntes do conjunto Z dos números inteiros são os seguintes: Z + = {0,1,2,3,4,...}, o conjunto dos números inteiros não negtivos. Z = {..., 4, 3, 2, 1,0}, o conjuntos dos números inteiros não positivos. Usndo notção Z = Z {0}, podemos escrever Z + = {1,2,3,4,...} pr indicr o conjuntos dos inteiros positivos e Z = {..., 4, 3, 2, 1} pr indicr o conjunto dos inteiros negtivos. http://mtemtic.omep.org.r/ 3 mtemtic@omep.org.r
4 Adição de números inteiros Ns seções nteriores, otivemos um interpretção geométric dos números inteiros. Nest seção, iremos interpretr geometricmente operção dição de inteiros. Com isso, poderemos detectr s proprieddes ásics dess operção. Vmos interpretr dição de inteiros como um movimento o longo d ret numéric, do seguinte modo (vej figur 7): Oserve que, de cordo com s regrs cim, somr 0 com signific: deixr o ponto 0 prdo, se = 0; mover oponto0prdireituniddes,se > 0; moveroponto0 pr esquerd = uniddes, se < 0. Em qulquer um desses csos, esses movimentos levm o ponto 0 té posição do ponto, de modo que 0+ =. (Vej figur 8, pr o cso em que > 0.) 0 +( ) + Figur 8: Elemento neutro d dição. Figur 7: Adição de inteiros. se é um número inteiro identificdo com um ponto sore ret numéric, então somr > 0 o número signific mover o ponto correspondente pr direit uniddes, de tl modo que som + estej ssocid o ponto sore ret numéric situdo uniddes à direit do ponto ssocido. Exemplo 10. Se = 3 e = 4, então, pr oter + = ( 3) + 4, deslocmos 3 pr direit, 4 uniddes. Com o uxílio de um ret numéric, é fácil concluir que prremos sore o número 1, de form que ( 3)+4 = 1. Por outro ldo, somr < 0 o número signific mover o ponto correspondente pr esquerd, = uniddes, de tl modo que som + estej ssocid o ponto sore ret numéric situdo uniddes à esquerd de. Exemplo 11. Se = 5 e = 7, então, pr oter + = 5+( 7), deslocmos 5 pr esquerd, 7 = 7 uniddes. Novmente com o uxílio de um ret numéric, é fácil concluir que prremos sore o número 2, de form que 5+( 7) = 2. Por fim, somr com 0 signific mover o ponto zero uniddes, ou sej, não movê-lo. Assim, +0 =. Exemplo 12. 17+0 = 0+17 = 17. Resumimos discussão cim no seguinte qudro: pr qulquer número inteiro, +0 = 0+ =. Onúmero0échmdoelemento neutroddição. Oservndo dição como um movimento, como descrito cim, otemos s proprieddes seguir. Se > 0 e > 0, então + > 0; Se < 0 e < 0, então + < 0 é negtivo. Por fim, se > 0 e < 0, ou vice-vers, então pode ser + > 0, + = 0 ou + < 0. Pr justificr s firmções cim, st oservr novmente figur 7: se > 0, então já está à direit de 0; somndo > 0 ele, oteremos o ponto + à direit de e, portnto, tmém à direit de 0. Por outro ldo, se < 0, então está à esquerd de 0; somndo < 0 ele, oteremos o ponto + à esquerd de, logo, tmém à esquerd de 0. Por fim, se > 0 e < 0 (o outro cso pode ser nlisdo de mneir nálog), então está à direit de 0 e, o somr < 0 o número, vmos deslocr pr esquerd uniddes; não há como dizer se vmos prr à direit de 0, sore 0 ou à esquerd de 0 (vej novmente o exemplo 11). Adiçãoéssocitiv, istoé, se,ecsãonúmeros inteiros, então +(+c) = (+)+c. Pr justificr ssocitividde, vmos supor que > 0 e c > 0 (figur 9). Os outros csos (isto é, > 0 e c = 0, > 0 e c < 0, etc) podem ser nlisdos de modo nálogo. http://mtemtic.omep.org.r/ 4 mtemtic@omep.org.r
c +c + (+)+c = +(+c) Figur 9: Associtividde d dição. Oservndo figur 10, vemos que movimentr o ponto pr direit uniddes e movimentr o ponto pr direit uniddes, são trnsformções que resultm no mesmo ponto, isto é, + = +. O mesmo se dá qundo um ds prcels, ou mesmo s dus, são negtivs (vej figur 11). Somr +c o número inteiro signific movê-lo (pr direit, pois +c > 0) +c uniddes, otendo-se o número +(+c). Esse movimento é equivlente àquele de mover primeiro uniddes pr direit, otendo-se +, e, depois, mover + pr direit por mis c uniddes, otendo-se o número ( + ) + c. Como o ponto otido o finl dos dois movimentos é o mesmo nos dois csos, devemos ter iguldde +(+c) = (+)+c. Exemplo 13. 2 + (5 + 7) = 2 + 12 = 14 e (2 + 5) + 7 = 7+7 = 14. Até qui noss interpretção d dição de números inteiros dá à primeir e à segund prcels de um som, sttus diferentes: primeir prcel é vist como um ponto e segund como um movimento o longo d ret que lev o ponto um outr posição. Por outro ldo, oservmos nteriormente que, pr todo inteiro, é verddeiro que +0 = 0+. Assim como ocorreu nesse cso, veremos seguir que os ppéis ds prcels de um dição sempre podem ser invertidos sem lterr o resultdo. A dição de números inteiros é comuttiv, ou sej, se e são números inteiros, então + = +. Semos que = 0+. Isto signific que o ponto pode ser visto como um set que começ no ponto 0 e vi té o ponto (figur 8). D mesm form, se é um set, som 0+ pode ser vist como ção de movimentr 0, uniddes pr esquerd ou direit (conforme o sinl de ). 0 + 0 + Figur 10: Comuttividde d dição no cso > 0. 0 0 + + Figur 11: Comuttividde d dição no cso < 0. Exemplo 14. 5+11 = 16 = 11+5. Outr propriedde fundmentl d dição é existênci de um elemento simétrico cd elemento Z. Pr qulquer número inteiro, +( ) = 0. Est propriedde é consequênci d definição de Z, ms dremos seguir um justifictiv geométric desse fto. 0 Figur 12: Elementos simétricos. Os números e, vistos como pontos sore ret, são simétricos em relção à origem (figur 4). Vistos como sets, els têm o mesmo tmnho e pontm em sentidos opostos (figur 12). Neste cso, operção + ( ) represent o deslocmento do ponto pr esquerd té o ponto 0, ou sej, +( ) = 0. Exemplo 15. 7+( 7) = 0. Oservção 16. Pr cd número inteiro, o seu simétrico é único. De fto, se Z e e c são simétricos de, então + = 0 e +c = 0. Logo, = +0 = +(+c) = (+)+c = 0+c = c. http://mtemtic.omep.org.r/ 5 mtemtic@omep.org.r
Portnto, dois elementos quisquer, simétricos de um mesmo número inteiro, são iguis. Este fto será utilizdo mis dinte, no primeiro prágrfo pós figur 16. 5 Multiplicção de números inteiros Ns seções nteriores, vimos que é possível representr geometricmente um número inteiro como um ponto sore ret numéric ou como um set n direção d ret numéric, que pont pr direit se o número for positivo ou pr esquerd se o número for negtivo. Nest seção, usremos representção de um número inteiro como um set pr drmos um interpretção geométric o produto de números inteiros. Multiplicr por outro número inteiro signific, por definição, (1) somr com ele mesmo vezes, se > 0, isto é, = + + } {{ } prcels (2) somr com ele mesmo vezes, se < 0, isto é, = ( )+ +( ). } {{ } prcels O cso em que = 0 será trtdo mis dinte. Exemplo 17. Multiplicr um número inteiro por 5 signific clculr som 5 = ++++. Pr todo Z, 1 = e ( 1) = A propriedde seguir é chmd de distriutividde d multiplicção em relção à dição. El signific que multiplicção e dição são operções comptíveis um com outr, ou sej, que o produto de um número inteiro por um som de números inteiros pode ser distriuído, multiplicndo-se o número por cd prcel d som seprdmente. Se,,c Z, então (+c) = + c. Dizemos que multiplicção de inteiros é distriutiv em relção à dição. Pr ilustrr porque ess propriedde é válid, vmos exiir dois exemplos. Exemplo 18. Se > 0 e c > 0, set e set c podem ser somds conforme primeir prte d figur 14, otendose set +c. Como som é ssocitiv e comuttiv, temos: 3(+c) = (+c)+(+c)+(+c) = = (++)+(c+c+c) = 3+3c. Isso equivle reposicionr s sets que representm e c, como n segund prte d figur 14. c +c Por outro ldo, multiplicr um número inteiro por 5 signific somr cinco vezes: 3 3c ( 5) = ( )+( )+( )+( )+( ). Vendo um número inteiro como um set, figur 13 interpret geometricmente os números 5 e ( 5): 3(+c) Figur 14: Distriutividde d multiplicção em relção à dição qundo > 0 e c > 0. 5 ( 5) Figur 13: Os números inteiros,5 e ( 5). Em prticulr, temos o seguinte: Exemplo 19. Agor, vmos supor que > 0 e c < 0. Sendo c negtivo, set que o represent pont pr esquerd, e som +c corresponde à set verde d primeir prte d figur 15. D mesm form que no exemplo 18, podemos concluir que 3(+c) = 3+3c. A diferenç, neste cso, está pens n interpretção geométric dess identidde, conforme segund prte d figur 18 deix clro. http://mtemtic.omep.org.r/ 6 mtemtic@omep.org.r
c +c Usndo distriutividde, podemos escrever ( )+ = ( +) = 0 = 0. 3(+c) 3 Figur 15: Distriutividde com > 0 e c < 0. Se é um número inteiro diferente de zero, então 0 é som 0+ +0 } {{ } = 0. prcels Logo, 0 = 0. Como veremos seguir, tmém vle 0 = 0, pr qulquer inteiro. Isso é consequênci do seguinte fto mis gerl: A multiplicção de números inteiros é comuttiv, ou sej, se e são números inteiros, então 3c =. prcels { }} { Em prticulr, 0 = 0 = 0+ +0 = 0. Vmos ilustrr comuttividde d multiplicção de inteiros com um exemplo. Exemplo 20. Os produtos ( 2) 4 e 4 ( 2) são respectivmente iguis e ( 2) 4 = ( 4)+( 4) = 8 4 ( 2) = ( 2)+( 2)+( 2)+( 2) = 8. Portnto, ( 2) 4 = 4 ( 2) = 8 (figur 16). 4 2 ( 2) 4 = ( 4)+( 4) 4 ( 2) = ( 2)+( 2)+( 2)+( 2) Figur 16: ( 2) 4 = 4 ( 2). Isso signific que ( )+ = 0, ou sej, que ( ) é o simétrico de. Ms, como vimos n oservção 16, o inteiro tem um único simétrico, que, por definição, é o número. Concluímos, então, que ( ) =. Pel comuttividde d multiplicção, temos tmém ( ) = ( ) = =, isto é, ( ) =. Como cso prticulr, fzendo = 1 e = 1, podemos concluir que ( 1) ( 1) = [1 ( 1)] = ( 1) = 1. Mis gerlmente, se é um número inteiro, então ( ) ( ) = ( ) = ( ) =. Denotndo por 2 (como com números nturis, lemos o qudrdo), podemos resumir discussão cim escrevendo 2 = = ( ) ( ). Se = 0, então 2 = 0 0 = 0; se > 0, então 2 = > 0; se < 0, então > 0 e 2 = ( ) ( ) > 0. Portnto, concluímos o seguinte: Se é um número inteiro qulquer, então Se 0, então 2 > 0. 2 0. (3) A multiplicção de números inteiros tmém tem seguinte propriedde. A multiplicção de números inteiros é ssocitiv, ou sej, se, e c são números inteiros, então ( c) = ( ) c. Novmente, vmos ilustrr propriedde com um exemplo. Exemplo 21. A definição de multiplicção e s proprieddes d dição nos dão 2 (3 ( 4)) = 2 (( 4)+( 4)+( 4)) = 2 ( 4)+2 ( 4)+2 ( 4) = ( 4)+( 4)+( 4)+( 4)+( 4)+( 4) = 6 ( 4) = (2 3) ( 4). http://mtemtic.omep.org.r/ 7 mtemtic@omep.org.r
2 3 4 2 3 3 ( 4) 2 (3 ( 4)) O resto de su divisão por 2 é igul 1 e, neste cso, podemos escrever n = 2k +1. A seguir, P e I são respectivmente os conjuntos dos inteiros pres e ímpres: P = {..., 8, 6, 4, 2,0,2,4,6,8,...}; I = {..., 7, 5, 3, 1,1,3,5,7,...}. (2 3) ( 4) Figur 17: 2 (3 ( 4)) = (2 3) ( 4). Rciocinemos, gor, geometricmente. N figur 17, s seis sets d penúltim linh representm 2 (3 ( 4)). Por outro ldo, oservndo set que represent 2 3(prte superior d figur, à direit), concluímos que s oito sets que precem n prte inferior d figur representm( 4) (2 3). Portnto, pel comuttividde d multiplicção, temos 2 (3 ( 4)) = ( 4) (2 3) = (2 3) ( 4). Finlizmos est seção estendendo os números inteiros noção de divisiilidde, já estudd pr números nturis. Ddos dois números inteiros e, com 0, dizemos que divide se existe um número inteiro k tl que = k. Neste cso, tmém dizemos que é divisível por ou, ind, que é múltiplo de. Usmos notção (lê-se divide ). Exemplo 22. 34 divide 17, um vez que 34 = 17 ( 2). Oservção 23. São equivlentes:, ( ), ( ) e ( ) ( ), (4) e isso é um consequênci imedit d definição. Por exemplo, se, então = k, pr lgum k Z; logo, = ( ) k, = ( ) ( k) e = ( k), de form que ( ) ( ), ( ) e ( ). D mesm form mostrmos que, se vle um ds qutro relçoes de divisiilidde (4), então vlem s outrs três. Dizemos que um número inteiro n é pr qundo for divisível por 2, ou sej, qundo existir k Z tl que n = 2k. Qundo um número n não é pr, dizemos que ele é ímpr. 6 Potencição de números inteiros Sejumnúmerointeirodiferentede0esejnumnúmero inteiro qulquer. Se n > 0, usmos notção n pr denotr o produto de n números inteiros iguis : n = } {{ }. A seguir, exiimos um generlizção dess notção, pr expoentes não necessrimente positivos. n { }} { se n > 0 n = 1 se n = 0 (1/) (1/) se n < 0. (5) } {{ } n Em qulquer um dos csos cim, chmmos n de potênci com se e expoente n. Exemplos 24. () 3 4 = 3 3 3 3 = 81. () 2 4 = 1 2 = 1 16. (c) 7 0 = 1. Aind em relção à definição de n, você pode chr um poucoestrnhotermoscolocdo 0 = 1. Contudo, veremos n oservção 26 que ess escolh tem um rzão de ser muito importnte. Oservção 25. Potêncis de se 10 são utilizds pr expressr de modo conciso (isto é, resumido) números muito grndes ou muito pequenos. N escl dos números muito grndes, o rio do plnet Terr mede, proximdmente, 10 9 cm. O Sol encontr-se um distânci de 1,5 10 13 cm d Terr e distânci d Terr Plutão é de 2 10 15 cm. Excluindo-se o Sol, estrel mis próxim está cerc de 4,5 10 18 cm d Terr. O diâmetro d noss gláxi, Vi Lácte, é proximdmente 10 23 cm e el contém cerc de 10 11 estrels. Por outro ldo, entre 10 3 cm e 10 5 cm encontrmse s menores uniddes vivs: céluls, microrgnismos, vírus. Entre 10 6 cm e 10 7 cm estmos no domínio ds dimensões moleculres: ds miores proteíns os átomos. Em dimensões ixo de 10 12 cm entrmos n estrutur mis ásic d mtéri, s prtículs sutômics: fótons, leptons, mésons, e árions, clssificdos em ordem crescente conforme su mss em repouso. n http://mtemtic.omep.org.r/ 8 mtemtic@omep.org.r
A seguir, exiiremos proprieddes ds potêncis de se inteir não nul e expoente inteiro: Se e são números inteiros não nulos e p e q são números inteiros quisquer, então (1) p q = p+q ; (2) p q = p q ; (3) ( p ) q = pq ; (4) ( ) p = p p ; ( p (5) = ) p p. Oservção 26. Se 0 é um número inteiro, potênci 0 é igul 1 por convenção. Est escolh é feit pr que propriedde (2) do qudro nterior continue válid, mesmo qundo p = q. Relmente, neste cso, temos de form que p q = p p = 1 e p q = p p = 0, p p = p p 0 = 1. Tods s proprieddes do qudro nterior são consequêncis d definição de potênci, dd pels igulddes (5). Vmos dr exemplos que ilustrm como cd propriedde pode ser vist como consequênci de (5). Exemplo 27. 5 4 56 = 1 5 1 5 2 = 5 4+6. 2 3 5 1 5 1 5 Exemplo 28. 2 5 = 2 2 2 1 2 8 = 2 3 ( 5). 2 5 5 5 5 5 5= 5 5 = = 2 2 2 2 2 2 2 2= Exemplo 29. (3 4 ) 5 = 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 = (3 3 3 3) (3 3 3 3) (3 3 3 3) (3 3 3 3) (3 3 3 3) = 3 20 = 3 4 5. Exemplo 30. (( 2) 7) 6 = (( 2) 7) (( 2) 7) (( 2) 7) (( 2) 7) (( 2) 7) (( 2) 7) = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 7 7 7 7 7 7 = ( 2) 6 7 6. ( Exemplo 31. 2 ) 4 3 = (( 2) 3 1 ) 4 (4) = ( 2) 4 (3 1 4 (3) ) = ( 2) 4 3 ( 1)( 4) (3) = ( 2) 4 (3 4 ) 1 = ( 2) 4 1 3 = ( 2) 4 4 3. 4 Oservção 32. De cordo com desiguldde (3), pr qulquer Z, temos 2 0. Se n é um número inteiro pr, então n = 2k, com k Z. De cordo com propriedde (3) do qudro nterior, temos n = 2k = ( 2 ) k 0. Por outro ldo, se n é um número inteiro ímpr, então n = 2k +1, pr lgum k Z, logo, n = 2k. 0 Assim, qundo n é ímpr, n tem o mesmo sinl de. Exemplos 33. (1) ( 3) 8 = 3 8 = 1 3 8 = 1 6561. (2) ( 4) 3 = ( 4) ( 4) 2 = ( 4) 4 2 = 4 3 = 64. 7 Rízes qudrds revisitds Pr cd número Z, podemos perguntr se existe um inteiro não negtivo tl que 2 =. Qundo um tl número existe, dizemos que é um qudrdo perfeito e é chmdo riz qudrd de. Escrevemos= prindicr que é riz qudrdde. Um vez que, por (3), 2 0, o número inteiro não pode ser um qudrdo perfeito se for negtivo. Em outrs plvrs, se Z é um número inteiro que é um qudrdo perfeito, então 0, isto é, Z +. No entnto, existem números positivos que não são qudrdos perfeitos. Os onze primeiros qudrdos perfeitos são, em ordem crescente, 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100. Eles são os qudrdos de 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, respectivmente. Assim, por exemplo, o número 17 não é um qudrdo perfeito, pois está entre dois qudrdos perfeitos consecutivos: 16 < 17 < 25. Um vez que riz qudrd de um qudrdo perfeito é um inteiro não negtivo, se Z +, então 2 =. (6) Exemplos 34. () 121 = 11 2 = 11; () 186624= 432 2 = 432; (c) ( 3) 2 = 9 = 3. Se oservrmos o exemplo (c) cim, vemos que ( 3)2 = 3 = 3. Em gerl, qundo considermos o qudrdo de um número inteiro negtivo, riz qudrd desse número é o o módulo d se desse número. O qudro ixo enlo todos os csos d riz qudrd de um qudrdo perfeito (isto é, quer se do qudrdo sej positiv, 0 ou negtiv: http://mtemtic.omep.org.r/ 9 mtemtic@omep.org.r
Pr qulquer número inteiro, 2 =. Podemos identificr se um número inteiro > 1 é um qudrdo perfeito se souermos su decomposição como produto de ftores primos. Se Z, > 1, e = p n1 1...pnr r é ftorção de como produto de potêncis de números primos distintos, então é um qudrdo perfeito se, e somente se, cd expoente n j é pr. De fto, se n 1,...,n r são todos pres, então n 1 = 2k 1, n 2 = 2k 2,...,n r = 2k r, onde cd k j é um número inteiro positivo. Assim, ( ) 2 = p n1 1...pnr r = p 2k1 1...p 2kr r = p k1 1...pkr r = 2, onde = p k1 1...pkr r Z. Isso mostr que = 2 é um qudrdo perfeito. Por outro ldo, se > 1 é inteiro e = 2, então > 1 tmém. Sej = p k1 1...pkr r, com p 1,...,p r primos e k 1,..., k r inteiros positivos. Aplicndo respectivmente s proprieddes (4) e (3) do qudro nterior, temos = 2 = (p k1 1...pkr r ) 2 = (p k1 1 )2...(p kr r )2 = p 2k1 1...p 2kr r. Portnto, n decomposição de como produto de potêncis de ftores primos distintos, os expoentes de tis primos são 2k 1,..., 2k r, os quis são, todos, números pres. Exemplo 35. O número = 2 16 3 4 5 12 7 18 é um qudrdo perfeito, pois os expoentes de su representção como produto de potêncis de primos distintos são todos pres. Além disso, = = 2 8 3 2 5 6 7 9. O número inteiro, por su vez, não é um qudrdo perfeito, pois um dos expoentes de su representção como produto potêncis de primos distintos é ímpr: o expoente 9 do primo 7. Dics pr o Professor Ns seções 2 e 3 enftize o cráter geométrico dos números negtivos, sugerindo os lunos que imginem troc de sinl como um reflexão em torno do ponto 0. A conexão entre números e pontos sore um ret irá se repetir qundo o luno estudr geometri nlític. Cso você trlhe com um turm mis dintd, pode comentr revemente sore generlizções d construção feit n seção 2, citndo como exemplo um reticuldo no plno, cujos pontos podem ser loclizdos usndo-se pres (ordendos) de números inteiros. A definição de módulo como um distânci reforç importânci d interpretção geométric dos números. As seções 4 e 5 podem ser vists em dus uls com 50 minutos cd. É importnte destcr interpretção ds operções entre números inteiros como trnsformções geométrics. Tenh em mente que s proprieddes ds operções entre números inteiros são os xioms que definem estrutur de nel comuttivo com unidde, emor isso não dev ser explicitdo os lunos. As dus últims seções podem ser vists em um ul de 50 minutos. Um vez que s proprieddes li estudds já form vists pr números nturis, você pode se concentrr ns noviddes, que são s potêncis com expoentes negtivos, o módulo visto como riz qudrd de um qudrdo, e crcterizção de qudrdos perfeitos usndo-se su ftorção como produto de primos. Sugestões de Leitur Complementr 1. Elon Lges Lim. Meu Professor de Mtemátic e outrs Históris. Rio de Jneiro, Editor S.B.M., 1991. 2. E. de Alencr Filho. Teori Elementr dos Números. São Pulo, Noel, 1989. 3. Roert Kpln. O Nd que Existe Um Históri Nturl do Zero. Rio de Jneiro, Editor Rocco, 2001. 4. Yuri Ivnovich Mnin. Contínuo/discreto, in Enciclopédi Einudi, vol. 35. Liso, Imprens Ncionl - Cs d Moed de Portugl, 1998. As três primeirs seções podem ser coerts em dus uls de 50 minutos cd. Exemplos similres à primeir situção expost n seção 1, onde números negtivos precem como dívids, são úteis pr que o luno ssimile noção de número negtivo. Vle pen comentr um pouco sore evolução históric d noção de número negtivo, enftizndo que primeiro surgiu idei de sutrção e só depois os inteiros negtivos e o zero form reconhecidos como números. A referênci [3] trz mis informções sore o número zero e su históri. http://mtemtic.omep.org.r/ 10 mtemtic@omep.org.r