Apresentaremos neste capítulo ingredientes básicos da chamada teoria da integração, centrada na noção de. Elementos da Teoria da Integração

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1 Cpítulo 33 lementos d Teori d Integrção Conteúdo 33.1 Comentários Preliminres A Integrção no Sentido de Riemnn A Integrl de Riemnn Imprópri Diferencição e Integrção em spços de Bnch A Integrção no Sentido de Lebesgue Funções ensuráveis e Funções Simples A Integrl de Lebesgue. Integrção em spços ensuráveis A Integrl de Lebesgue e su Relção com de Riemnn Teorems Básicos sobre Integrção e Convergênci Alguns Resultdos de Interesse Os spços L p e L p As Desigulddes de Hölder e de inkowski O Teorem de Riesz-Fischer. Completez APÊNDICS A is sobre Integrl de Drboux A.1 quivlênci ds Definições II e III d Integrbilidde de Riemnn B Crcterizções e Proprieddes de Funções ensuráveis C Prov do Lem D Demonstrção de (33.26) A quivlênci ds Definições (33.27) e (33.28) F Prov do Teorem d Convergênci onóton G Prov do Lem de Ftou H Prov do Teorem d Convergênci Domind I Prov dos Teorems 33.2 e J Prov ds Desigulddes de Hölder e inkowski K Prov do Teorem de Riesz-Fischer Apresentremos neste cpítulo ingredientes básicos d chmd teori d integrção, centrd n noção de integrl de funções definids em espços mensuráveis, integrl de Lebesgue sendo um de sus instâncis de prticulr importânci. Iniciremos com um breve digressão sobre o desenvolvimento histórico e recordremos noção de integrbilidde no sentido de Riemnn, pssndo seguir à noção mis gerl de integrção em espços de medid. Advertimos o leitor que os ssuntos trtdos neste cpítulo envolvem por vezes noções e problems mtemticmente muito sutis, sendo difícil presentá-los de modo resumido ou simplificdo. Por ess rzão, optmos por presentr certs demonstrções mis técnics não no texto principl, ms nos pêndices que se inicim à págin Noss intenção é, ntes de tudo, guir o leitor, pontndo-lhe os ingredientes de mior importânci e de modo eventulmente motivr seu interesse em um estudo mis profunddo. Como referêncis geris pr teori d medid e d integrção, recomendmos [294] (fortemente), e tmbém [258], [204], [293], [116] ou ind [231, 232]. Um texto clássico é [143]. Pr ests Nots tmbém coletmos mteril de [157, 158], [155] e de [31] Comentários Preliminres É prte essencil d formção de todo físico ou mtemático prender s noções básics do Cálculo, como os conceitos de limite, de derivd e de integrl de funções. Nos pssos iniciis dess formção é importnte dr ênfse métodos de

2 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 cálculo de derivds e integris de funções e, consequentemente, é nturl que ssim sej, pouco se discute sobre certs sutilezs ocults por trás de tis conceitos. A noção de integrl de um função é um ds ideis fundmentis de tod temátic e originou-se no século XVII com os trblhos de Newton 1 e Leibniz 2, ind que tenh rízes muito mis ntigs, remontndo pelo menos Arquimedes 3. Intuitivmente, integrl de um função rel em um intervlo compcto [, b] é entendid como áre descrit sob o gráfico dess função nesse intervlo. ss noção simples é suficiente pr motivr e sustentr os primeiros pssos de qulquer luno inicinte e, mesmo em um plno histórico, stisfez s mentes mtemátics té cerc de medos do século XIX, pois s plicções lmejds pel Físic e pel temátic de então pouco requerim lém dess noção intuitiv. esmo hoje, pode ser difícil um estudnte, costumdo com o cálculo de integris de funções elementres, entender que noção de integrl envolve questões sutis, principlmente pois esss sutilezs envolvem primordilmente questão de crcterizr pr quis funções o conceito de integrl se plic. Considere-se, por exemplo, s seguintes funções: f(x) = 1, se x for irrcionl, 0, se x for rcionl, ou f(x) = sen(x), se x for trnscendente, x 2, se x for lgébrico. Terão esss funções um integrl em um ddo intervlo compcto [, b]? Como esss funções são descontínus em todos os pontos, é fácil reconhecer que noção de integrl como áre sob o gráfico de um função é qui muito problemátic (o leitor não convencido deve tentr desenhr os gráficos desss funções e se perguntr qul áre sob os mesmos). N grnde miori ds plicções com s quis nos costummos, funções como esss não ocorrem, ms sim funções contínus e suficientemente diferenciáveis, pr s quis noção intuitiv de integrl dificilmente é problemátic. No entnto, um série de desenvolvimentos teóricos n temátic conduzirm à necessidde de estender noção de integrl clsses mis brngentes de funções, como s do exemplo cim. Seri precipitdo enumerr neste ponto quis form precismente esses desenvolvimentos que pressionrm por um profundmento d noção de integrl, pois pr tl um série de comentários e definições teri que ser ntecipd. Discutiremos isso no devido momento. encionmos, porém, que esse vnço foi possibilitdo pelo desenvolvimento concomitnte d Teori d edid, que, como já discutimos lhures, fundmentou e estendeu noções como comprimento, áre, volume etc., de conjuntos. A áre d temátic que surgiu desse desenvolvimento é usulmente conhecid como Teori d Integrção. Um outro vnço importnte obtido trvés d Teori d Integrção foi o seguinte. As noções de integrção que prendemos nos cursos de Cálculo plicm-se integris de funções definids em conjuntos como R, R n, C etc. Um ds consequêncis mis importntes do desenvolvimento d teori d integrção foi possibilidde de definir noção de integrl mesmo pr funções definids em conjuntos mis exóticos que os supr-citdos, tis como conjuntos frctis, conjuntos de curvs, de funções, de distribuições e outros. sse desenvolvimento relevou-se de grnde importânci pr Físic tmbém. N ecânic Quântic, por exemplo, ocorrem s chmds integris funcionis, que são integris de funções definids em conjuntos de curvs contínus. Ddos dois pontos x e y no espço, um método importnte desenvolvido por Feynmn 4 permite expressr certs funções de Green G(x, y) de sistems quânticos em termos de integris sobre o conjunto C x, y de tods s curvs contínus no espço que conectm x y. N Teori Quântic de Cmpos, o nálogo ds integris de Feynmn é ind mis bstrto e envolve integris sobre conjuntos de distribuições 5. Como se percebe, tis plicções requerem muito mis que definir noção de integrl como áre ou volume sob um gráfico. Tenttivs informis de crcterizr noção de integrl são tão ntigs qunto o Cálculo. Leibniz tentou definir integris e derivds prtir d noção de infinitésimos. A noção de infinitésimos crece de respldo mtemático ms, como outrs ideis filosófico-especultivs infelizes do pssdo, estende su pervers influênci té o presente, cusndo em lguns, especilmente em cursos de físic e engenhri, um compreensão fls d noção de integrl que impede o entendimento de outros desenvolvimentos. A noção de limite, que cbou por expurgr os infinitésimos d lingugem 1 Sir Isc Newton ( ). 2 Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ). 3 Arquimedes de Sircus (ci. 287 A.C. ci. 212 A.C.). 4 Richrd Phillips Feynmn ( ). A formulção d ecânic Quântic em termos ds integris funcionis de Feynmn surgiu em cerc de Prumexposição introdutóri sobreintegrção funcionldefeynmn necânic Quântic, vide, porexemplo, [267], oubonslivrosde ecânic Quântic. Pr integrção funcionl de Feynmn-Kc, definid no espço-tempo uclidino, vide e.g. [129] ou [282, 283, 284, 285]. (33.1)

3 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 mtemátic, er prticmente desconhecid dos funddores do Cálculo, tendo sido usd pel primeir vez em 1754 por d Alembert 6 pr definir noção modern de derivd. Um dos primeiros pssos importntes no sentido de dotr noção de integrl definid de fundmentos mis sólidos foi ddo por Riemnn 7 em 1854, em su fmos tese de livre-docênci 8. A motivção de Riemnn foi o estudo ds séries de Fourier. Ao estudr condições que grntm um rápido decimento dos coeficientes de Fourier de funções periódics, Riemnn deprou-se com necessidde de crcterizr mis precismente noção de integrbilidde de funções ou, melhor dizendo, de crcterizr quis funções podem ser dotds de um integrl. Um dos problems com que Riemnn b se debteu foi demonstrrque o limite lim f(x)e iλx dx vle zero se f for contínupor prtes. sse fto é importnte λ pr teori ds séries de Fourier e su demonstrção originl, que pode ser compnhd, por exemplo, em [110], requer compreender integrl como limite de soms de Riemnn ( serem definids bixo). Nests Nots presentmos no Teorem 38.10, págin 1933, um versão ind mis gerl, conhecid como Lem de Riemnn-Lebesgue, válid no cso menos restritivo em que f é pens integrável no sentido de Lebesgue. A noção de integrbilidde de Riemnn, que será recordd bixo, é primeir ser ensind em (bons) cursos de Cálculo ms, como discutiremos mis dinte, tmbém não é plenmente stisftóri. Pr grnde miori dos propósitos modernos, noção mis stisftóri de integrbilidde é de Lebesgue, que tmbém presentremos dinte. É dess noção de integrl que emergem os desenvolvimentos mis importntes, n teori ds séries de Fourier, dos espços de Bnch e de Hilbert etc. Adintmos que no cso de funções limitds reis definids em conjuntos compctos d ret rel, s integris de Riemnn e de Lebesgue coincidem. Nesse sentido, integrção de Lebesgue estende de Riemnn. Trtremos disso de modo mis preciso nos Teorems 33.2 e 33.3, d Seção , págin Nesse momento é conveniente que encerremos esse plvredo preliminr e elevemos discussão um nível mis sólido A Integrção no Sentido de Riemnn N presente seção recpitulremos um pouco, ms em um nível tlvez mis vnçdo, d teori d integrção de Riemnn no intuito de preprr discussão, que lhe seguirá, concernente à noção de integrl de Lebesgue. Apresentremos pens s definições e os resultdos estruturis mis relevntes. Tendo em vist outrs plicções (vide, por exemplo, o trtmento do Teorem d Função Implícit em espços de Bnch d Seção 28.3, págin 1453), nosso intuito é tmbém o de presentr noção de integrl de Riemnn de modo permitir su extensão pr funções de um vriável rel ssumindo vlores em um espço de Bnch. ss preocupção, ind que sem mior importânci pr bordgem d teori de integrção de Lebesgue, subjz bo prte dos trtmento d integrção de Riemnn que se segue. Por simplicidde, restringiremos noss discussão qui funções de um vriável rel. A definição de integrl de Riemnn é feit inicilmente em intervlos fechdos [, b] finitos, ou sej, com < < b <. Integris de Riemnn em intervlos não-finitos são definids posteriormente (Seção , págin 1564), tomndo-se limites de integris em intervlos finitos, cso esses limites existm. Seguiremos prcilmente exposição de [157], ms com um orgnizção distint de ideis e com dição de lguns detlhes ns demonstrções. Aquel referênci tmbém present diverss extensões d teori qui presentd s quis omitiremos, por pertencerem mis proprimente um texto sobre Cálculo Diferencil e for, portnto, ds pretensões geris do presente cpítulo. Prtições Importnte pr definição d integrl de Riemnn é noção de prtição de um intervlo compcto [, b], com < b. Trt-se de um conjunto finito de pontos {x 1,..., x n } stisfzendo = x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b, o número n podendo ser rbitrário, com n 2. O conjunto de tods s prtições possíveis (com número de pontos rbitrário) de um intervlo compcto [, b] será denotdo por P([, b]), ou simplesmente P, se [, b] estiver subentendido. Um prtição prticulr será denotd por P P([, b]). A cd prtiçãop = {x 1,..., x n } P([, b]), com n pontos, estão ssocidosn 1 intervlosfechdos I 1,..., I n 1, 6 Jen Le Rond d Alembert ( ). 7 Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ). 8 Über die Drstellbrkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe. Publidd em 1867.

4 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 sendo I k = [x k, x k+1 ]. Denotremos por I k o comprimento do k-ésimo intervlo: I k := x k+1 x k. Outr noção útil é de finez de um prtição P, denotd por P. Se P = {x 1,..., x n } P([, b]) definimos P := mx{ I 1,..., I n 1 }. Assim, P é o máximo comprimento dos intervlos definidos por P em [, b]. Podemos fzer de P([, b]) um conjunto dirigido 9, definindo seguinte relção de pré-ordenmento: P P se P P. Note-se que se prticulrmente P P, então P P e, portnto, P P xercício. ostre que isso define um relção de pré-ordenmento em P([, b]) e que isso fz de P([, b]) um conjunto dirigido. Se P e P são dus prtições de [, b] dizemos que P é um refinmento de P (ou que P é mis fin que P) se P P. Assim, P é mis fin que P se o mior intervlo de P tiver comprimento menor que o mior intervlo de P. Se P 1 e P 2 são dus prtições de [, b], então é evidente que P 1 P 2 é um refinmento de P 1 e de P 2. Prtições indexds Dd um prtição P = {x 1,..., x n } P([, b]) com n pontos, podemos ssocir à mesm um conjunto χ de n 1 pontos χ = {χ 1,..., χ n 1 }, com χ 1 χ n 1 b, escolhendo χ k I k, k = 1,..., n 1, ou sej, escolhendo cd χ k no k-ésimo intervlo fechdo d prtição P. Se χ é ssocido P d form descrit cim, denotmos esse fto em símbolos por χ P. Um pr (P, χ) com χ P é dito ser um prtição indexd de [, b], os índices sendo os pontos χ k ssocidos cd intervlo I k. Denotremos por X([, b]) coleção formd por tods s prtições indexds de [, b]: X([, b]) := { (P, χ) com P P([, b]) e χ P }. Tl como P([, b]), o conjunto X([, b]) é tmbém um conjunto dirigido se definirmos relção de pré-ordenmento (P, χ) (P, χ ) se P P, ou sej, se P P (independentemente de χ e χ!) xercício. ostre que isso define um relção de pré-ordenmento em X([, b]) e que isso fz de X([, b]) um conjunto dirigido. Soms de Riemnn. Integrbilidde de Riemnn Dd um função rel limitd f, definid em [, b], e ddo um pr (P, χ) X([, b]), com P = {x 1,..., x n } e χ = {χ 1,..., χ n 1 }, χ k I k, k = 1,..., n 1, definimos som de Riemnn de f ssocid o pr (P, χ), denotd por S [ (P, χ), f ], como S [ (P, χ), f ] n 1 := f(χ k ) I k. Vide Figur Pr f fix, plicção X([, b]) (P, χ) S [ (P, χ), f ] R é um rede 10 segundo o pré-ordenmento. Podemos, ssim, perguntr-nos se ess rede possui pontos de cumulção e pontos limite. Notemos que, como topologi usulmente dotd em R ( topologi métric usul) é do tipo Husdorff, se ess rede possuir um ponto limite, o mesmo é único (pel Proposição 32.5, págin 1541). ss questão nos conduz à seguinte definição: DefiniçãoIntegrbilidde de Riemnn I.. Um função limitd f : [, b] R é dit ser um função integrável por Riemnn no intervlo compcto [, b] se rede X([, b]) (P, χ) S [ (P, χ), f ] R possuir um ponto limite S(f) R. Se f : [, b] R for integrável por Riemnn no intervlo compcto [, b] o limite S(f) é denomindo integrl de Riemnn de f em [, b]. Como é bem conhecido, integrl de Riemnn de f em [, b] é mis frequentemente denotd 11 9 Pr definição, vide págin A definição de rede encontr-se à págin Note que X([, b]) é um conjunto dirigido, pelo comentdo cim. 11 O símbolo foi introduzido por Leibniz, sendo um estilizção d letr S, de som.

5 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 χ f( ) 6 f(x) f( χ 5 ) f( χ 1 ) =x x x x x x b=x 7 χ χ χ χ χ χ Figur 33.1: Representção d som de Riemnn de um função f no intervlo [, b] com prtição P = { = x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 = b}, com os pontos intermediários χ = {χ 1, χ 2, χ 3, χ 4, χ 5, χ 6 }. O k-ésimo retângulo tem ltur f(χ k ) e lrgur I k = x k+1 x k. A som ds áres desses retângulos fornece S [ (P, χ), f ]. por b f(x)dx, ou sej, S(f) b f(x)dx. (33.2) Not. Um possibilidde lterntiv seri prover P([, b]) (e, portnto, X([, b])) de um outro pré-ordenmento, definido pel inclusão, definindo P o P se P P. ss definição pode ser tmbém utilizd e conduz um outr definição equivlente à I cim (que denominmos definição III), d qul trtmos à págin 1562 e seguintes. Vide tmbém Apêndice 33.A.1, págin Integrbilidde de Riemnn. Formulções e critérios lterntivos Pr tornr definição I um pouco mis plpável, vmos reformulá-l um pouco lembrndo definição de ponto limite de um rede d Seção 32.3, págin Dizemos que S(f) R é um ponto limite d rede X([, b]) (P, χ) S [ (P, χ), f ] R, se pr todo ǫ > 0 existir um pr (P ǫ, χ ǫ ) X([, b]) tl que S [ (P, χ), f ] pertence o intervlo berto (S(f) ǫ, S(f)+ǫ) pr todo pr (P, χ) X([, b]) tl que (P, χ) (P ǫ, χ ǫ ). Chegmos à seguinte definição equivlente lterntiv pr noção de integrbilidde de Riemnn: DefiniçãoIntegrbilidde de Riemnn Ib.. Um função limitd f : [, b] R é dit ser integrável por Riemnn se existirs(f) R com seguinte propriedde: prtodo ǫ > 0 existe (P ǫ, χ ǫ ) X([, b]) tl que S [ (P, χ), f ] S(f) < ǫ pr todo (P, χ) com (P, χ) (P ǫ, χ ǫ ). m plvrs, um função f é integrável no sentido de Riemnn se o processo de refinmento de prtições, fzendos incluir mis e mis pontos com espçmentos cd vez menores, conduzir um limite único ds soms de Riemnn. A integrl de Riemnn de f é então esse limite ds soms ds áres dos retângulos descritos n Figur 33.1, pr qundo s prtições são feits cd vez mis fins. A definição Ib cim pode ind ser refrsed de um form ligeirmente mis concret: DefiniçãoIntegrbilidde de Riemnn Ic.. Um função limitd f : [, b] R é dit ter um integrável por

6 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 Riemnn se existir S(f) R com seguinte propriedde: pr todo ǫ > 0 existe δ ǫ > 0 tl que S [ (P, χ), f ] S(f) < ǫ pr tod prtição P tl que P δ ǫ. Pel Proposição32.6, págin 1542, rede X([, b]) (P, χ) S [ (P, χ), f ] R possui um ponto limite se e somente se for um rede de Cuchy 12. Assim, o critério de Integrbilidde de Riemnn I pode ser equivlentemente reformuldo d seguinte form: DefiniçãoIntegrbilidde de Riemnn Id.. Um função limitd f : [, b] R é dit ser um função integrável por Riemnn no intervlo compcto [, b] se rede X([, b]) (P, χ) S [ (P, χ), f ] R for um rede de Cuchy, ou sej, se pr todo ǫ > 0 existir (P ǫ, χ ǫ ) tl que S [ (P, χ), f ] S [ (P, χ ), f ] < ǫ pr todos P, P com P P ǫ e P P ǫ. Como s condições P P ǫ e P P ǫ equivlem P < P ǫ e P < P ǫ, podemos ind presentr seguinte reformulção equivlente: DefiniçãoIntegrbilidde de Riemnn Ie.. Um função limitd f : [, b] R é dit ser função integrável por Riemnn no intervlo compcto [, b] se rede X([, b]) (P, χ) S [ (P, χ), f ] R for um rede de Cuchy, ou sej, se pr todo ǫ > 0 existir δ ǫ > 0 tl que S [ (P, χ), f ] S [ (P, χ ), f ] < ǫ pr todos P, P com P δ ǫ e P δ ǫ. nftizmos que tods s definições cim, de I Ie, são equivlentes, sendo pens refrsementos ums ds outrs com respeito à noção de convergênci de redes. Funções contínus são integráveis por Riemnn Até o momento não presentmos exemplos de funções integráveis por Riemnn. Vmos gor fechr prcilmente ess lcun, exibindo um clsse importnte de funções que stisfzem o critério de integrbilidde de Riemnn Id. Um visão complet de quis funções são integráveis por Riemnn é fornecid pelo critério de Lebesgue, discutido brevemente à págin Proposição 33.1 Tod função rel contínu definid em um intervlo compcto [, b] é integrável por Riemnn. Pr demonstrção 13, necessitmos do seguinte lem: Lem 33.1 Sej f rel contínu definid em um intervlo compcto [, b]. Sej P = {x 1,..., x n } P([, b]) um prtição de [, b] com n pontos à qul estão ssocidos n 1 intervlos fechdos I 1,..., I n 1, com I k = [x k, x k+1 ]. Se P P([, b]) é um segund prtição tl que P P, então S [ (P, χ), f ] S [ (P, χ ), f ] W(f, P) b (33.3) pr quisquer χ e χ, onde W(f, P) := { } mx sup f(x) f(y),..., n 1 x, y I k. (33.4) Prov. À prtição P = {x 1,..., x m } P([, b]), com m pontos, estão ssocidos m 1 intervlos fechdos I 1,..., I m 1, sendo I k = [x k, x k+1 ]. Como P P, o intervlo I 1 é união de, digmos, l intervlos de P : l I 1 = I 1 I l. Assim, I 1 = I e =1 f(χ 1 ) I 1 l l f(χ ) I = ( f(χ1 ) f(χ )) I, 12 Isso é sempre verdde se f ssume vlores em um espço métrico completo. 13 Seguiremos bsicmente [157]. =1 =1

7 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 o que evidentemente implic f(χ 1) I 1 l f(χ ) I l f(χ1 ) f(χ ) I =1 =1 ( ) l sup f(x) f(y) I x, y I 1 = =1 ( ) sup f(x) f(y) I 1 W(f, P) I 1. x, y I 1 N segund desiguldde usmos simplesmente o fto que cd χ pertence I 1. Como o mesmo rciocínio plic-se os demis subintervlos de P, segue imeditmente vlidde de (33.3). Prov d Proposição Por um resultdo bem conhecido(teorem 34.12, págin 1653), tod função contínu f definid em um intervlo compcto [, b] é uniformemente contínu, ou sej, pr todo ǫ > 0 existe δ > 0 tl que f(y) f(x) < ǫ sempre que x e y encontrem-se mbos em lgum subintervlo de [, b] que tenh lrgur menor que δ. Fixdo um ǫ > 0, sejm P 1 e P 2 dus prtições tis que P 1 < δ e P 2 < δ. Sej P = P 1 P 2. videntemente vlem P 1 P e P 2 P. Pelo Lem 33.1 teremos S [ (P 1, χ 1 ), f ] S [ (P, χ), f ] W(f, P1 ) b < ǫ b, S [ (P 2, χ 2 ), f ] S [ (P, χ), f ] W(f, P2 ) b < ǫ b. Acim, usmos os ftos que W(f, P 1 ) < ǫ e W(f, P 2 ) < ǫ, pois cd intervlo de P 1 e de P 2 tem lrgur menor que δ. Logo, S [ (P 1, χ 1 ), f ] S [ (P 2, χ 2 ), f ] S [ (P1, χ 1 ), f ] S [ (P, χ), f ] S [ + (P2, χ 2 ), f ] S [ (P, χ), f ] < 2ǫ b. Com isso vemos que o critério Id de integrbilidde de Riemnn é stisfeito, que é o que querímos demonstrr. O seguinte corolário é imedito e su prov é deixd como exercício. Corolário 33.1 Tod função rel contínu por prtes 14 e limitd definid em um intervlo compcto [, b] é integrável por Riemnn. sse fto é importnte, pois grnde prte, se não totlidde, ds funções encontrds n prátic ds ciêncis nturis e d engenhri é formd por funções contínus ou contínus por prtes. No xercício. 33.6, págin 1563, dinte, exibimos um exemplo de um função que não é contínu por prtes ms é integrável por Riemnn. Funções com vlores em espços de Bnch. Integrbilidde de Riemnn Até o momento trtmos pens de crcterizr noção de integrl de Riemnn pr funções definids em conjuntos compctos [, b] ssumindo vlores reis. O estudnte é conviddo consttr, no entnto, que s construções cim (incluindo Proposição 33.1) permnecem inlterds se s funções considerds ssumirem vlores em espços de Bnch. Se B é um espço de Bnch e f : [, b] B é um função ssumindo vlores em B, som de Riemnn de f ssocid o pr (P, χ) é nlogmente definid por S [ (P, χ), f ] := n 1 f(χ k ) I k B. (33.5) Temos, ssim: 14 Pr definição gerl de continuidde por prtes, vide págin 1548.

8 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 DefiniçãoIntegrbilidde de Riemnn pr espços de Bnch.. Sej B um espço de Bnch com norm B. Um função limitd f : [, b] B é dit ser um função integrável por Riemnn no intervlo compcto [, b] se rede X([, b]) (P, χ) S [ (P, χ), f ] B for um rede de Cuchy, ou sej, se pr todo ǫ > 0 existir P ǫ tl que S [ (P, χ), f ] S [ (P ǫ, χ ), f ] B < ǫ pr todo P com P ǫ P. Tem-se, nlogmente, importnte Proposição 33.2 Tod função contínu definid em um intervlo compcto [, b] e ssumindo vlores em um espço de Bnch é integrável por Riemnn. A demonstrção repete os mesmos pssos d demonstrção d Proposição 33.1 se substituirmos os módulos ds funções e ds soms de Riemnn por norms em espços de Bnch. Alguns desenvolvimentos sobre integrção e diferencição de funções ssumindo vlores em espços de Bnch serão presentdos n Seção , págin Soms de Drboux Os critérios de integrbilidde que presentmos cim são essencilmente queles presentdos por Riemnn em D mneir como os formulmos, podemos plicá-los pr definir noção de integrl (de Riemnn) mesmo pr funções definids em intervlos compctos[, b] R ms que ssumm vlores em espços de Bnch. Um desvntgem dos critériosde integrbilidde cim é de fzerem o uso d noção de rede e pontos limite de redes, que tlvez não sejm intuitivs pr todos. Felizmente, no cso de funções reis, há um outr crcterizção d noção de integrbilidde de Riemnn, devid Drboux 15, que é mis trnsprente e prescinde desss noções. Trtremos disso gor. Dd um função rel limitd f, definid em [, b] e dd um prtição P P([, b]), com P = {x 1,..., x n }, definimos s soms de Drboux (inferior e superior) de f no intervlo [, b], ssocids à P por n 1 ( ) n 1 ( ) D i [P, f] := inf f(y) I k e D s [P, f] := sup f(y) I k, (33.6) y I k y I k respectivmente. Vide Figur inf f(y) yε Ι 6 f(x) sup f(y) yε Ι 6 f(x) inf f(y) yε Ι 1 sup f(y) yε Ι 1 =x x x x x 4 5 x 6 b=x 7 =x x x x x 4 5 x 6 b=x 7 Figur 33.2: Representção ds soms de Drboux d mesm função e d mesm prtição d Fig A som ds áres dos retângulos à esquerd fornece D i [P, f] e som ds áres dos retângulos à direit fornece D s [P, f]. É evidente pel definição que D i [P, f] D s [P, f] pr qulquer prtição P. For isso, tem-se tmbém os ftos compreendidos nos seguintes exercícios: xercício. ostre que pr prtições P e P P([, b]) com P P tem-se D i[p, f] D i[p, f] e D s[p, f] D s[p, f]. Sugere-se provr isso por indução no número de pontos d prtição. 15 Jen Gston Drboux ( ). O trblho de Drboux sobre integrl de Riemnn dt de 1875.

9 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo / xercício. ostre que pr quisquer prtições P e P P([, b]) tem-se D i[p, f] D s[p, f]. Sugestão: use s firmções do xercício e os ftos que P P P e P P P xercício. ostre que pr prtições P e P P([, b]) com P P tem-se D s[p, f] D i[p, f] D s[p, f] D i[p, f]. Sugestão: isso segue fcilmente dos xercícios e O exercício sugere seguinte definição. Definimos s integris de Drboux (inferior e superior) de f no intervlo [, b] por b f(x)dx := sup D i [P, f] P P([, b]) e b f(x)dx := inf D s[p, f], P P([, b]) respectivmente. O fto estbelecido no exercício cim que D i [P, f] D s [P, f] pr quisquer prtições P e P P([, b]) implic (por que?) Tudo isso sugere seguinte definição. b f(x)dx b f(x)dx. (33.7) DefiniçãoIntegrbilidde de Riemnn II.. Um função limitd f é dit ser um função integrável por Riemnn no intervlo compcto [, b] se b f(x)dx = b f(x)dx. Nesse cso integrl de f no intervlo [, b] é definid por D(f) := b f(x)dx = b f(x)dx. (33.8) A integrl definid em (33.8) é por vezes denomind integrl de Drboux. Como veremos (Proposição 33.4), ess integrl coincide com integrl S(f) nteriormente definid. Por isso, D(f) será tmbém denotd por b f(x)dx. A seguinte proposição é relevnte no contexto dess definição: Proposição 33.3 Sej f um função rel limitd no intervlo compcto [, b]. ntão, f é integrável no sentido d definição II se e somente se pr todo ǫ > 0 existir um prtição P P([, b]) tl que D s [P, f] D i [P, f] < ǫ. A demonstrção d Proposição 33.3 é presentd n Seção 33.A, págin N mesm seção demonstrmos tmbém seguinte proposição importnte, que estbelece equivlênci ds definições I e d definição II, cim: Proposição 33.4 Um função rel limitd f, definid em um intervlo compcto [, b], é integrável no sentido ds definições I se e somente se o for no sentido d definição II. m mbos os csos s integris definids por (33.2) e por (33.8) coincidem. Rede de Riemnn-Drboux N definições I Ie d integrbilidde de Riemnn provemos coleção de prtições P([, b]) com um pré-ordenmento, definindo P P se P P. Um outr possibilidde é considerr em P([, b]) o pré-ordenmento definido pel inclusão, definindo P o P se P P. Com relção esse pré-ordenmento o s coleções P([, b]) e X([, b]) são tmbém conjuntos dirigidos e plicção X([, b]) (P, χ) S [ (P, χ), f ] R é tmbém um rede, dit por lguns utores ser um rede de Riemnn-Drboux. Com mesm podemos estbelecer mis um critério de integrbilidde. DefiniçãoIntegrbilidde de Riemnn III.. Um função limitd f : [, b] R é dit ser um função integrável por Riemnn no intervlo compcto [, b] se rede (em relçãoo pré-ordemento o ) X([, b]) (P, χ) S [ (P, χ), f ] R possuir um ponto limite S(f) R. A definição cim equivle à definição II (e, portnto, às definições I) d noção de integrbilidde de Riemnn. Por ser bstnte técnic e sem relevânci especil pr o que segue, presentmos demonstrção dess firmção não qui, ms no Apêndice 33.A.1, págin 1596.

10 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 Critério de Lebesgue pr integrbilidde de Riemnn Há um crcterizção d integrbilidde de Riemnn, devid Lebesgue, que permite precisr quis funções são integráveis no sentido de Riemnn: Critério de Lebesgue pr integrbilidde de Riemnn. Um função limitd f : [, b] R é integrável no sentido de Riemnn se e somente se for contínu quse em tod prte (em relção à medid de Lebesgue), ou sej, se coleção de pontos onde f é descontínu tiver medid de Lebesgue nul. Não presentremos demonstrção desse fto qui (vide [157]). Um consequênci desse critério (que tmbém pode ser obtid por meios mis diretos, como vimos cim) é que tod função limitd e contínu por prtes 16 é integrável no sentido de Riemnn. É curioso e relevnte observr tmbém que não são pens s funções contínus por prtes que são integráveis no sentido de Riemnn. O seguinte exercício ilustr isso xercício-desfio. Aqui vmos designr números rcionis r n form r = p/q, supondo p e q primos entre si. Sej seguinte função: 1+ 1 f(x) = q, se x = p for rcionl q. 1, se x for irrcionl ostre que f é contínu em x se x for irrcionl ms que f é descontínu em x se x for rcionl. Sugestão: lembre que se x é irrcionl, então pr tod sequênci p n/q n de rcionis que proxim x tem-se que q n pr n. Como os rcionis têm medid de Lebesgue zero, segue pelo critério de Lebesgue que f é integrável de Riemnn. Prove diretmente d definição que b f(x)dx = b f(x)dx = b pr todos < b. Note que o fto que b f(x)dx = b é evidente, dificuldde está em provr que b f(x)dx = b. Deficiêncis d integrl de Riemnn As noções de função integrável no sentido de Riemnn e de integrl de Riemnn que presentmos cim são bse de todo o Cálculo elementr e dels se extri um série de consequêncis bem conhecids e que não repetiremos qui, tis como lineridde d integrl, o teorem fundmentl do cálculo, métodos de integrção (como integrção por prtes) etc. Pr um mpl exposição, vide e.g. [231]-[232]. A integrl de Riemnn, porém, possui lgums deficiêncis que ilustrremos bixo. sss deficiêncis conduzirm à procur de um noção mis forte de integrbilidde, d qul flremos posteriormente. Sej [, b], < b, um intervlo compcto e considere-se seguinte função D : [, b] R: 0, se x for rcionl, D(x) = 1, se x for irrcionl. Será ess função integrável em [, b] sentido de Riemnn? A respost é não, pois como fcilmente se constt, (33.9) b D(x)dx = 0 ms b D(x)dx = b, já que, pr qulquer subintervlo I k = [x k, x k+1 ] de qulquer prtição de [, b] teremos inf D(y) = 0 ms sup D(y) = 1, y I k y I k pois I k sempre conterá números rcionis e irrcionis. Assim, prendemos que há funções limitds que não são integráveis no sentido de Riemnn. sse exemplo, porém, ilustr um outro problem de consequêncis piores. Sej o conjunto Q = Q [, b] de todos os rcionis do intervlo [, b]. Como esse conjunto é contável, podemos representá-lo como Q = {r 1, r 2, r 3, r 4,...} = {r k, k N}, onde N k r k Q é um contgem de Q. Sej definid 16 Lembremos: um função é dit ser um função contínu por prtes se for descontínu pens em um número finito de pontos.

11 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 gor seguinte sequênci de funções: D n (x) = 0, se x {r 1,..., r n }, 1, de outr form. É fácil ver que pr todo x [, b] tem-se D(x) = lim D n(x), onde D está definid em (33.9). Cd função D n é integrável no sentido de Riemnn, pois é contínu por prtes, sendo descontínu pens nos pontos do conjunto finito {r 1,..., r n }. É muito fácil ver que b b D n(x)dx = b e ssim, lim D n (x)dx = b. ntretnto, trocr integrl pelo limite de Riemnn. b ( ) lim D n(x) dx não fz sentido, pois função D(x) = lim D n(x) não é integrável no sentido A lição que se prende disso é que integrção de Riemnn não pode ser sempre cmbid com o limite pontul de funções 17. sse é um fto desgrdável, que impede mnipulções onde gostrímos de poder trocr de ordem integris e limites. O problem reside no fto de o critério de integrção de Riemnn não ser suficientemente flexível de modo permitir integrr um conjunto suficientemente grnde de funções ou, melhor dizendo, o conjunto ds funções integráveis no sentido de Riemnn não é grnde o suficiente. Como vimos no critério de Lebesgue, só são integráveis no sentido de Riemnn s funções que são contínus quse em tod prte. sse conjunto, que exclui funções como D, cb sendo pequeno demis pr dr liberdde certs mnipulções de interesse xercício. Por que D não é contínu quse em tod prte? Pr responder isso, mostre que D não é contínu em nenhum ponto. Sugestão: recorde que todo x irrcionl pode ser proximdo por um sequênci de rcionis e que todo x rcionl pode ser proximdo por um sequênci de irrcionis. ostre então que pr qulquer x existem sequêncis x n com lim xn = x, ms com lim D(xn) = D(x). Um outro problem, de outr nturez, diz respeito à propriedde de completez d coleção ds funções integráveis por Riemnn. Tis conjuntos não formm espços métricos completos em relção à métrics como d 1 (f, g) = b f(x) g(x) dx. Como propriedde de completez é muito importnte, fz-se necessário umentr o conjunto de funções integráveis pr obter ess propriedde. De fto, como veremos, o conjunto de funções integráveis no sentido de Lebesgue é completo e esse fto é importnte n teori dos espços de Hilbert e de Bnch A Integrl de Riemnn Imprópri Vmos qui trtr de definir integrl de Riemnn imprópri R. De mneir intuitiv, ess integrl deve ser definid como o limite de integris b indo de diverss forms, sem fetr o resultdo. f(x) dx de um função f definid em tod ret rel b f(x) dx tomndo indo e Um possibilidde provisóri seri seguinte definição. Se f : R R é um função integrável por Riemnn em cd intervlo [, b], poderímos definir integrl de Riemnn imprópri de f por A f(x) dx := lim f(x) dx, (33.10) A A cso o limite exist. A definição provisóri (33.10) present, porém, um problem que requer lguns comentários. m certos csos, pode ocorrer que o limite lim A A outros. Tl é o cso d função f(x) = x. Tem-se qui que lim A A f(x)dx exist, ms não, por exemplo, o limite lim A A A A 2 A 2 xdx = 0 ms lim x dx diverge. A A 17 A troc de ordem de integris de Riemnn e limites de sequêncis de funções é permitid, porém, se o limite for uniforme. A f(x)dx, ou

12 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 Por cus disso é instisftório tomr (33.10) como definição ds integris de Riemnn imprópris. É prudente elborr um definição mis conservdor e que leve em cont o que pode contecer em tods s integris em intervlos [, b] qundo e b, independentemente. Isso é feito d seguinte form. Denotemos por C coleção de todos os intervlos finitos [, b] R. Notndo que os intervlos [, b] podem ser ordendos por inclusão, percebemos fcilmente que C é um conjunto dirigido (vide definição à págin 51). Sej f : R R um função fix, integrável por Riemnn em cd intervlo [, b]. A plicção C R dd por F [, b] := b f(x) dx (33.11) form um rede. O conceito de limite em relção um rede é bem definido ( noção de rede, limites de redes e sus proprieddes form estudds n Seção 32.3, págin 1539). Isso nos permite estbelecer definição precis de integrl de Riemnn imprópri. Dizemos, que um função f : R R, integrável por Riemnn em cd intervlo [, b], possui um integrl de Riemnn imprópri se rede F [, b], [, b] C possuir um ponto limite (o qul será único, pois R é um espço Husdorff n topologi usul. Vide Proposição 32.5, págin 1541). Assim, f possui um integrl de Riemnn imprópri se lim F [, b] = lim [, b] C [, b] C b f(x) dx existir, o limite cim sendo o d rede, com os intervlos ordendos por inclusão. Se f tiver ess propriedde, definimos integrl de Riemnn imprópri de f por f(x) dx := lim [, b] C F [, b] = lim [, b] C b f(x) dx. Pr tornr ess definição um pouco mis plpável, vmos reformulá-l um pouco lembrndo definição de ponto limite de um rede d Seção 32.3, págin Dizemos que F R é um ponto limite d rede F [, b], [, b] C, se pr todo ǫ > 0 existir um intervlo [A, B] tl que F [, b] (F ǫ, F +ǫ) pr todo [, b] [A, B]. Assim, f : R R, integrável por Riemnn em cd intervlo finito, é dit ter um integrl de Riemnn imprópri F R se pr todo ǫ > 0 existir um intervlo [A, B] C tl que b f(x)dx F < ǫ pr todo [, b] [A, B], [, b] C. O número F é denotdo por f(x)dx. De mneir nálog definem-se s integris de Riemnn imprópris como os limites lim A A f(x)dx e lim A A f(x)dx e f(x) dx, respectivmente, cso existm. f(x)dx, pr R, finito, Notemos en pssnt, que n definição d integrl de Riemnn em intervlos finitos [, b], que presentmos n Seção 33.2, págin 1556, fz-se necessário supor que função f sej limitd. Pr definição d integrl de Riemnn imprópri f(x)dxissonãoénecessário,ef pode divergirem ±, desde que o limite d integrl exist!um exemploéfunção ( f(x) = x 2 sen e x3), que não é limitd pr x +. Como fcilmente se vê com mudnç de vriáveis u = e x3, ( x 2 sen e x3) dx = sen(u) u du = π 6. A últim iguldde pode ser obtid pelo método dos resíduos. Um outro exemplo do mesmo tipo é função xcos(x 4 ), que não é limitd ms xcos(x4 )dx < pr qulquer finito. *

13 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 No sentido d definição cim, função f(x) = x não possui um integrl de Riemnn imprópri bem definid pois, A 2 como observmos, limites como lim x dx divergem. Pr funções que possum um integrl de Riemnn imprópri A A bem definid vle, obvimente, expressão (33.10) e pr els vle tmbém A A 2 f(x) dx = lim f(x) dx = lim f(x) dx etc., A A A A ou sej, o limite de b f(x) dx pode ser tomdo com indo e b indo de diverss forms, sem fetr o resultdo. Precismos gor de definições dequds pr s noções de derivção e integrção (de Riemnn) de funções entre espços de Bnch Diferencição e Integrção em spços de Bnch Vmos n presente seção (cuj leitur é dispensável pr o desenvolvimento d teori de integrção de Lebesgue que se lhe segue) profundr um pouco mis teori d integrção de funções com vlores em espços de Bnch no sentido de reproduzir, nesse contexto gerl, lguns dos resultdos básicos do Cálculo Diferencil e Integrl 18. AnoçãodeintegrldeRiemnnprfunçõesdeumvriávelrelcomvloresemumespçodeBnchfoipresentd n Seção 33.2, em especil à págin Nosso principl propósito gor é demonstrr o Teorem do Vlor édio e obter outros resultdos preprtórios pr demonstrção do Teorem d Função Implícit, trtdo n Seção 28.3, págin O primeiro psso é presentr noção gerl de diferencição de funções entre espços de Bnch. Aplicções diferenciáveis em espços de Bnch. A derivd de Fréchet Sejm e N dois espços de Bnch. Sej um berto em e g : N um plicção (não-necessrimente liner). Dizemos que g é diferenciável em um ponto x se existir um plicção liner limitd G x : N tl que [ ] g(x+y) g(x) Gx y [ g(x+y) g(x) ] G x y lim = 0, ou sej, lim N = 0. y 0 y y 0 y Se g é diferenciável em x, ou sej, se um tl G x existir, então é unicmente definido. De fto, suponhmos que exist H : N liner e limitdo tl que [ g(x+y) g(x) ] Hy lim N = 0. y 0 y Sej v com v = 1 e sej y tl que lim y 0 y y = v. ntão, (H G x )v N = lim y 0 (H G x )y N y = lim y 0 lim y 0 ( [g(x+y) g(x) ] ) G x y [g(x+y) g(x) ] Gx y N y ( [g(x+y) g(x) ] ) N Hy y + lim y 0 [g(x+y) g(x) ] Hy N y = 0. Logo, H G x nul-se em todo vetor norm 1 e, portnto, nul-se em todo. O estudnte pode fcilmente convencer-se que definição cim corresponde à noção bem-conhecid de diferencibilidde de funções de R n R m. O operdor liner limitdo G x pode ser interpretdo como melhor proximção liner à função g n vizinhnç de x. 18 Seguiremos proximmente exposição de [158].

14 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 Se g é diferenciável em todo ponto x do berto e se plicção x G x B(, N) for contínu em norm, dizemos que g é um plicção de clsse C 1. Pr mnter um fmiliridde notcionl, denotremos os operdores lineres limitdos G x definidos cim por (Dg)(x) ou mesmo por g (x). O operdor liner limitdo (Dg)(x) represent, ssim, derivd de g no ponto x, tmbém denomind derivd de Fréchet 19 de g em x xercício. ostre que se g é diferenciável no ponto x de cordo com definição cim então é tmbém contínu em x. Diferencição e integrção de funções de um vriável rel De prticulr interesse é o cso em que = R e = (, b) R, um intervlo berto finito d ret rel. Aqui, tem-se o seguinte: Proposição 33.5 Sej N um espço de Bnch e sej g : [, b] N um função contínu. Sej G : [, b] N definid por G(x) := ntão G é diferenciável em todo intervlo (, b) e (DG)(x) G (x) = g(x). x g(t)dt, x [, b]. (33.12) Prov. Pel definição d integrl de Riemnn é evidente que pr todos t 1, t 2, t 3 [, b]. t2 t3 t3 g(t)dt+ g(t)dt = g(t)dt (33.13) t 1 t 2 t 1 É tmbém fácil ver que b g(t) dt N b g(t) N dt (33.14) pois pr s soms de Riemnn (33.5) tem-se n 1 [ ] S (P, χ), g N g(χ k ) N I k, o que implic (33.14), tomndo-se os limites. De (33.14) obtem-se trivilmente estimtiv b g(t) dt b mx g(t) N (33.15) t [, b] N que usremos logo bixo. Sej G definid em (33.12). Tem-se por (33.13) que G(x+y) G(x) = x, y (, b) com x+y (, b). Logo, G(x+y) G(x) g(x)y = x+y x ( g(t) g(x) ) dt. Assim, por (33.15), G(x+y) G(x) g(x)y N y mx t [x, x+y] g(t) g(x) N, donde segue que lim y 0 G(x+y) G(x) g(x)y N y lim y 0 mx t [x, x+y] g(t) g(x) N Isso provou que G é diferenciável em todo x (, b) com (DG)(x) G (x) = g(x). x+y x continuidde = 0. g(t)dt pr todo N demonstrção do Teorem do Vlor édio fremos uso do lem seguir (cujo enuncido e demonstrção form extrídos de [158]). O estudnte deve cuiddosmente observr que, o contrário do que um primeir impressão pode sugerir, esse lem não é consequênci d Proposição urice René Fréchet ( ).

15 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 Lem 33.2 Sej N um espço de Bnch e f : [, b] N contínu e diferenciável em todo (, b) ms de modo que f (x) = 0 pr todo x (, b). ntão, f é constnte. Prov. 20 Sejm s e t (, b), rbitrários, com s < t. Desejmos mostrr que f(s) = f(t). Como s e t são rbitrários e f é contínu, isso implic que f é constnte em todo intervlo fechdo [, b]. Vmos definir um sequênci de intervlos (s n, t n ) (s, t), n N, stisfzendo ddos d seguinte form: (s 0, t 0 ) = (s, t) e pr n 1, ( ) s s n 1, n 1+t n 1 2, cso (s n, t n ) := ( sn 1+t n 1 (s n, t n ) (s n 1, t n 1 ) e t n s n = 2 n t s ) 2, t n 1, cso f(s n 1 ) f f ( ) sn 1+t n 1 2 ( sn 1+t n 1 2 f(t n 1 ) ) ( ) f sn 1+t n 1 2 f(s n 1 ) f f(t n 1 ), ( ) sn 1+t n 1 2. m plvrs, quebrmos cd psso o intervlo (s n 1, t n 1 ) o meio e escolhemos (s n, t n ) como sendo metde n qul vrição de f em norm foi mior. É clro por ess escolh que ( ) ( ) f(s n 1 ) f(t n 1 ) f(s sn 1 +t n 1 n 1) f + 2 f sn 1 +t n 1 f(t n 1 ) 2 e, portnto, tem-se pr todo n N, 2 f(s n ) f(t n ) f(s) f(t) 2 n f(s n ) f(t n ). (33.16) Pel construção, s n é um sequênci não-decrescente e limitd superiormente por t, enqunto que t n é um sequênci não-crescente e limitd inferiormente por s. Assim, mbs convergem pontos no intervlo [s, t]. Como, porém, t n s n = 2 n t s, segue que mbs s sequêncis s n e t n convergem e um mesmo ponto ξ [s, t]. For isso, é tmbém clro que ξ [s n, t n ] pr todo n. Pel hipótese, vle f (ξ) = 0. Pel definição de f, isso signific que pr todo ǫ > 0 existe δ > 0 tl que f(x) f(ξ) / x ξ < ǫ sempre que x ξ δ. Como s n e t n convergem ξ, podemos escolher n grnde o suficiente de modo que s n ξ δ e t n ξ δ. Teremos, ssim, pr tis n s, f(s n ) f(t n ) f(s n ) f(ξ) + f(ξ) f(t n ) ǫ ( s n ξ + ξ t n ). Como ξ [s n, t n ] pr todo n, segue que s n ξ + ξ t n = t n s n = 2 n t s. Logo, obtivemos f(s n ) f(t n ) ǫ2 n t s. Voltndo (33.16) isso implic f(s) f(t) 2 n f(s n ) f(t n ) ǫ t s. Como ǫ > 0 é rbitrário, segue disso que f(s) f(t) = 0, completndo prov. Com esse lem e com Proposição 33.5 prov do Teorem do Vlor édio torn-se elementr. O Teorem do Vlor édio O teorem seguinte generliz um resultdo bem conhecido de Cálculo: Teorem 33.1 (Teorem do Vlor édio) Sejm e N espços de Bnch e um conjunto berto e conexo de. Sej g : N contínu e diferenciável. ntão, pr todos x, y vle ( 1 g(x) g(y) = g ( τx+(1 τ)y ) ) dτ (x y), 20 De [158]. 0

16 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 ssim como estimtiv onde K x, y := mx t [0, 1] g ( tx+(1 t)y ). g(x) g(y) N K x, y x y, Prov. Pr x, y fixos, sej h : [0, 1] N definid por h(t) := g ( tx + (1 t)y ). Pel regr d cdei, h (t) = g ( tx+(1 t)y ) (x y). Defin-se tmbém H(t) := t 0 g ( τx+(1 τ)y ) (x y)dτ, t [0, 1]. Pel Proposição 33.5, H é diferenciável e H (t) = g ( tx+(1 t)y) ( x y). Assim, H (t) = h (t), o que implic, pelo Lem 33.2, que diferenç H(t) h(t) éconstnteprtodo t [0, 1]. ComoH(0) = 0, segueque H(t) h(t) = h(0) = g(y) pr todo t [0, 1]. Pr t = 1 ess iguldde fic H(1) h(1) = g(y) e como h(1) = g(x) concluímos que t [0, 1] g(x) g(y) = 1 0 g ( τx+(1 τ)y ) (x y)dτ. Usndo (33.15), segue disso que g(x) g(y) N mx g ( tx+(1 t)y ) (x y) ( N mx g ( tx+(1 t)y ) ) x y, o que complet demonstrção. t [0, 1] Derivds prciis Sejm X e Y dois espços normdos com norms X e Y, respectivmente. Podemos fzer do produto Crtesino X Y = {(x, y), x X, y Y} um espço vetoril normdo declrndo s operções de som e produto por esclres por α 1 (x 1, y 1 )+α 2 (x 2, y 2 ) := (α 1 x 1 +α 2 x 2, α 1 y 1 +α 2 y 2 ) e definindo norm (x, y) X Y := x X + y Y. is que isso, se X e Y forem espços de Bnch em relção às sus respectivs norms, é fácil consttr que X Y tmbém o é em relção norm (x, y) X Y xercício. Prove que X Y é de fto um norm e que X Y é um espço de Bnch em relção à mesm se X e Y o forem em relção às sus respectivs norms. Pr distinguirmos estrutur de espço vetoril de X Y definid cim, denotremos os vetores (x, y) X Y como vetores-colun: ( x y). Definmos s projeções Π X : X Y X e Π Y : X Y Y por ( ) ( ) x x Π X := x, Π Y := y, y y respectivmente, e definmos Λ X : X X Y e Λ Y : Y X Y por ( ) x Λ X x :=, Λ Y y := 0 ( ) 0, y respectivmente. É um exercício elementr (ms importnte) mostrr que Π X, Π Y, Λ X e Λ Y são lineres e contínus se dotrmos X, Y e X Y ds topologis ds norms X, Y e X Y, respectivmente. É igulmente elementr consttr que Π X Λ X = 1 X, Π Y Λ Y = 1 Y e Λ X Π X +Λ Y Π Y = 1 X Y. (33.17) Sej Zum terceiroespçode Bnchcom norm Z. PrA XeB B doisbertosconvexos,sej F : A B Z um função contínu e diferenciável, sendo F : A B Z su derivd. Pr cd (x, y) A B expressão F (x, y) define um operdor liner e contínuo X Y Z.

17 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 Pr y fixo em B podemos considerr tmbém função A x F(x, y), ssim como pr x fixo em A podemos considerr função B y F(x, y). Se esss funções forem diferenciáveis denotremos sus derivds por D 1 F e D 2 F, respectivmente. Note-se que D 1 F é um plicção liner X Z e D 2 F é um plicção liner Y Z. Vmos mostrr que se F existe então esss dus funções são tmbém diferenciáveis e vmos estbelecer relções entre D 1 F, D 2 F e F. De fto, d existênci de F sbemos que ( ) F(x+, y +b) F(x, y) = F R(, b) Z (x, y) +R(, b), com lim = 0. b (, b) 0 (, b) X Y pr todos (, b) X Y. m prticulr, pr b = 0 teremos ( ) F(x+, y) F(x, y) = F (x, y) +R(, 0), b com R(, 0) Z lim = 0, 0 (, 0) X Y ou sej, escrevendo R(, 0) R() e lembrndo que (, 0) X Y = X, tem-se ( ) F(x+, y) F(x, y) = F R() Z (x, y) Λ X +R(), com lim = 0, 0 X o que nos permite concluir que Anlogmente, podemos concluir que D 1 F(x, y) = F (x, y)λ X. D 2 F(x, y) = F (x, y)λ Y. Desss expressões extri-se fcilmente continuidde de D 1 F(x, y) e D 2 F(x, y) como funções de (x, y) A B. D últim ds relções em (33.17) obtemos As últims três expressões vlem pr todo (x, y) A B. F (x, y) = D 1 F(x, y) Π X +D 2 F(x, y) Π Y. (33.18) D 1 F e D 2 F definem s derivds prciis de F em relção seu primeiro e segundo rgumentos, respectivmente A Integrção no Sentido de Lebesgue A presente seção é dedicd à teori d integrção de funções definids em espços mensuráveis. A noção de integrção d qul trtremos foi introduzid por Lebesgue entre 1901 e e redescobert independentemente por Young 22 dois nos mis trde. A teori de integrção introduzid por Lebesgue represent um importnte extensão d teori de integrção de Riemnn e desde cedo encontrou plicções em diverss áres d temátic (como, pr ficr em um único exemplo, n teori ds séries de Fourier), com reflexos tmbém n Físic. A teori d integrção de Lebesgue fz mplo uso de noções d teori d medid e necessit, em prticulr, d noção de função mensurável, que iremos discutir ntes de pssrmos à definição gerl d integrl de Lebesgue proprimente dit Funções ensuráveis e Funções Simples Comecemos com um definição que será mplmente empregd no que segue, de função crcterístic de um conjunto. A função crcterístic de um conjunto Sej um conjunto não-vzio e A. A função χ A : R definid por 1, se x A χ A (x) := 0, se x A 21 O trblho de Lebesgue sobre teori d integrção, intituldo Intégrle, longueur, ire foi presentdo como dissertção à Universidde de Nncy em Willim Henry Young ( ).

18 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-temátic. Versão de 23 de junho de Cpítulo /2423 é denomind função crcterístic do conjunto A, ou função indictriz do conjunto A xercício. Sej um conjunto não-vzio e A, B. ostre que χ A(x)χ B(x) = χ A B(x), x. (33.19) Funções mensuráveis. Definição e comentários Apresentemos um importnte definição, de função mensurável. Sejm (, ) e (N, N) dois espços mensuráveis, sendo e N dois conjuntos não-vzios e P() e N P(N) σ-álgebrs em e N, respectivmente. Um função f : N é dit ser um função mensurável em relção às σ-álgebrs e N, ou [, N]-mensurável, se f 1 (A) pr todo A N, ou sej, se pré-imgem de todo conjunto mensurável segundo N for um conjunto mensurável segundo. O estudnte deve comprr ess definição com definição de função contínu DC 1, págin Devido o seu ppel prepondernte n teori d integrção (de Lebesgue), vmos primeiro estudr lgums ds proprieddes básics ds funções mensuráveis, especilmente ds funções numérics, ou sej, quels cuj imgem está em R ou em C. A primeir propriedde elementr é bstnte gerl: se ( 1, 1 ), ( 2, 2 ) e ( 3, 3 ) são três espços mensuráveis e se f : 1 2 e g : 2 3 são dus funções mensuráveis (f sendo [ 1, 2 ]-mensurável e g sendo [ 2, 3 ]- mensurável) então g f : 1 3 é mensurável em relção 1 e 3 (ou sej, [ 1, 3 ]-mensurável). A prov é imedit pel definição. Ddo um espço mensurável(, ) estremos, como dissemos, primordilmente interessdos em funções f : R. Qulσ-álgebrdotrem R? As dus possibiliddes mis importntes sãoσ-álgebrde Lebesgue 23 µl, dos conjuntos mensuráveis pel medid de Lebesgue µ L, e σ-álgebr de Borel 24 [τ R ] que, por definição, é menor σ-álgebr que contém topologi usul d ret τ R. A σ-álgebr de Borel foi estudd no Cpítulo 29 (vide especilmente págin 1469). Vimos n Seção , págin 1514, que [τ R ] µl. Pr grnde miori dos propósitos d teori d integrção é suficiente considerr em R σ-álgebr de Borel [τ R ]. Assim, ddo um espço mensurável (, ) estremos interessdos em funções f : R, dotndo R d σ-álgebr de Borel [τ R ]. Os conjuntos que compõem [τ R ] são denomindos conjuntos Borelinos. Que conjuntos são estes? Recordndo o que prendemos nos cpítulos supr-citdos, todos os conjuntos bertos ou fechdos de R (n topologi usul τ R ) são Borelinos. São tmbém Borelinos intervlos semibertos como [, b) ou (, b], ssim como uniões contáveis dos mesmos e seus complementos. Há em R, lém dos intervlos semibertos, outros conjuntos Borelinos que não são nem bertos nem fechdos. O conjunto dos rcionis, Q, é Borelino, pois Q = r Q {r}, um união contável de conjuntos Borelinos {r} (que contêm pens um ponto e são Borelinos por serem fechdos). O conjunto dos irrcionis é Borelino por ser o complemento de Q, que é Borelino. Anlogmente o conjunto dos números reis lgébricos é Borelino, ssim como o conjunto dos números reis trnscendentes. Generlizndo o rciocínio, todo conjunto finito ou contável de R é Borelino e seu complemento tmbém. Se f : R é mensurável em relção às σ-álgebrs e [τ R ], f dit ser um função Borelin. Se f : R é mensurável em relção às σ-álgebrs e µl, f dit ser um função mensurável de Lebesgue. Como [τ R ] µl, tod função mensurável de Lebesgue é Borelin. Que funções são Borelins? É difícil dr um descrição gerl, ms no cso importnte de funções f : R R onde dotmos [τ R ] como σ-álgebr tnto do domínio qundo d imgem, é reltivmente fácil provr que tod função contínu é Borelin. A prov é presentd no Apêndice 33.B, págin 1597, qundo trtrmos de funções mensuráveis entre espços topológicos. São tmbém Borelins s funções contínus por prtes, ou sej, quels que possuem um número finito de descontinuiddes. Há ind outrs funções que são Borelins ms que não são nem contínus nem contínus por prte. xemplos são s funções de (33.1), págin xercício. Justifique! 23 Henri Léon Lebesgue ( ). 24 Félix Édourd Justin Émile Borel ( ).