OTIMIZAÇÃO NOS PADRÕES DE CORTE DE CHAPAS DE FIBRA DE MADEIRA RECONSTITUÍDA: UM ESTUDO DE CASO

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1 versão impressa ISSN / versão online ISSN OTIMIZAÇÃO NOS PADRÕES DE CORTE DE CHAPAS DE FIBRA DE MADEIRA RECONSTITUÍDA: UM ESTUDO DE CASO Luciano Belluzzo Reinaldo Morabio * Deparameno de Engenharia de Produção Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) São Carlos SP lbelluzzo@bebidasipiranga.com.br morabio@power.ufscar.br * Corresponding auhor / auor para quem as correspondências devem ser encaminhadas Recebido em 06/2004; aceio em 06/2005 após 1 revisão Received June 2004; acceped June 2005 afer one revision Resumo Fábricas de chapas de fibra de madeira reconsiuída (hardboards) ransformam eucalipo em chapas reangulares por meio de processos de desagregação, prensagem e secagem. Esas chapas são enão coradas em chapas reangulares menores para aender às demandas de clienes. A programação do processo de core é uma aividade imporane no planejameno e conrole da produção dessas empresas devido aos alos cusos envolvidos com as perdas do maerial corado. Nese arigo apresenamos abordagens para gerar padrões de core que minimizem as perdas de maerial, saisfazendo as resrições dos equipamenos de core e a demanda dos clienes. Propomos um algorimo baseado em programação dinâmica, que pode ser combinado com simples heurísicas consruivas gulosas ou com o algorimo primal simplex com geração de colunas. Um esudo de caso foi realizado em uma grande empresa do seor, localizada no inerior de São Paulo, cujo processo de core envolve uma ecnologia com alo nível de auomação. Os resulados mosram que as abordagens êm poencial para gerar boas soluções comparadas com as uilizadas pela empresa. Palavras-chave: problemas de core; programação dinâmica; indúsria de hardboard. Absrac Hardboard facories ransform eucalypus ino recangular plaes by means of processes of disinegraion, pressing and drying. These plaes are hen cu ino smaller recangular plaes o saisfy cusomer demands. The scheduling of he cuing process is an imporan aciviy of he producion planning and conrol of hese companies due o he high coss relaed o rim losses. In his paper we presen approaches o generae cuing paerns ha minimize he wase of maerial, saisfying he consrains of he cuing equipmen and he cusomer demands. We propose an algorihm based on dynamic programming, which can be combined wih simple greedy consrucive heurisics or he simplex primal algorihm wih column generaion. A case sudy was carried ou in a large hardboard company locaed in Sao Paulo Sae, whose cuing process involves a echnology wih high degree of auomaion. The resuls show ha he approaches have poenial o produce good soluions compared o he ones uilized by he company. Keywords: cuing problems; dynamic programming; hardboard indusry. Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

2 1. Inrodução Nese rabalho esudamos o problema de core em fábricas de chapas de fibra de madeira reconsiuída, ambém chamadas chapas duras (hardboards). Nesas fábricas, oras de eucalipo (das espécies grans e saligma) são desagregadas, prensadas e secadas para produzir as chapas duras. Esas chapas são enão coradas em chapas reangulares menores encomendadas por clienes, por exemplo, fábricas de móveis e monadoras de veículos. A programação do processo de core é uma aividade imporane no planejameno e conrole da produção devido aos cusos das perdas do maerial corado e ao impaco na produividade desas empresas. O problema de core consise, basicamene, em deerminar a melhor forma de corar as chapas duras (objeos), de maneira a produzir as unidades menores (iens) com a menor perda possível de maerial. Devido à programação dos equipamenos de core e à escala de produção, as perdas podem chegar a oneladas por dia, o que resula em cusos significaivos. Tais perdas referem-se a resos de chapas duras de boa qualidade que se ornam inúeis, devido às suas dimensões resularem muio pequenas para uso práico. Pare desas perdas pode ser eviada apenas melhorando a programação da produção dos equipamenos de core, o que não implica em quaisquer invesimenos adicionais em capacidade. Problemas de core (e empacoameno) êm sido exensivamene raados nas lierauras de gerência da produção e pesquisa operacional, e aparecem em diversos processos indusriais onde os objeos, em geral disponíveis em esoque, correspondem a barras de aço, bobinas de papel e alumínio, chapas meálicas e de madeira, placas de circuio impresso, lâminas de vidro e fibra de vidro, peças de couro, ec., e os iens, com dimensões especificadas, são em geral encomendados aravés de uma careira de pedidos de clienes. Esudos deses problemas podem ser enconrados nos exames e edições especiais em Dyckhoff (1990), Dowsland & Dowsland (1992), Sweeney & Parernoser (1992), Dyckhoff & Finke (1992), Morabio & Arenales (1992), Marello (1994), Bischoff & Waescher (1995), Dyckhoff e al. (1997), Arenales e al. (1999), Wang & Waescher (2002), Hifi (2002) e Lodi e al. (2002), e nas bases de dados do SICUP (2004) (Special Ineres Group on Cuing and Packing). Devido à diversidade de casos em que os problemas podem aparecer na práica, e à complexidade dos algorimos exaos (os problemas são em geral NP-difíceis), a maioria dos rabalhos enconrados na lieraura apresena abordagens heurísicas. Um esudo de caso foi realizado em uma grande empresa do seor, localizada no inerior de São Paulo, cujo processo de core envolve uma ecnologia com alo nível de auomação: a serra Holzma. Devido às resrições imposas por ese equipameno, os cores são do ipo guilhoinado com aé 3 eságios, exise limiações para as dimensões das chapas e dos cores longiudinais e ransversais, além de ouras considerações como: cores de cabeça e giro do pacoe de chapas, número de esações de descarregameno auomáicas e manuais, e grandezas das incisões das serras, remaes e margens do rerim. Para resolver ese problema de core, apresenamos abordagens baseadas na aplicação de écnicas de programação dinâmica para a geração de padrões de core, similarmene a Morabio & Garcia (1998a). Convém salienar que, devido às resrições pariculares do equipameno de core, os modelos clássicos conhecidos da lieraura não represenam saisfaoriamene o presene problema. Além disso, não foram enconrados rabalhos raando especificamene dese caso paricular, ampouco rabalhos raando de ouras aplicações que pudessem ser aqui direamene uilizados. Os esudos em Yanasse e al. (1991) e Morabio & 392 Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005

3 Garcia (1998a, 1998b) ambém raam de problemas de core nas indúsrias de madeira e chapas duras, porém envolvendo equipamenos de core com algumas caracerísicas e resrições diferenes da serra Holzma. A principal conribuição do presene rabalho é o algorimo de programação dinâmica para gerar padrões de core de mínima perda saisfazendo as resrições especiais desa serra. Ese arigo esá organizado da seguine maneira: na próxima seção, discuimos brevemene o processo de produção de chapas duras, com ênfase no processo de core e nas caracerísicas e resrições da serra. Na seção 3, revisamos duas abordagens de solução conhecidas da lieraura para problemas de core, o algorimo primal simplex com geração de colunas (Gilmore & Gomory, 1965) e uma simples heurísica consruiva gulosa (Hinxman, 1980). Em seguida, propomos fórmulas recursivas de programação dinâmica para serem combinadas nesas abordagens e gerar padrões de core facíveis para a serra. Na seção 4, para ilusrar a viabilidade do uso dese algorimo de programação dinâmica, resolvemos um exemplo real da fábrica de chapas duras aplicando as duas abordagens acima acopladas com ese gerador de padrões, e comparamos a solução obida com a solução uilizada pela empresa. Também resolvemos diversos exemplos aleaórios de geração de padrões, para avaliar isoladamene o desempenho do algorimo de programação dinâmica. Finalmene, na seção 5, apresenamos as conclusões e as perspecivas para pesquisa fuura. 2. Processo de Produção Conforme mencionado, as chapas de fibra de madeira reconsiuída (chapas duras) são formadas por processos de desinegração da madeira de eucalipo e reconsiuição e prensagem com componenes químicos. Inicialmene, oras de eucalipo das espécies grans e saligma são coradas na floresa e ransporadas por meio de caminhões aé a fábrica, onde são pesadas e encaminhadas para a casa de cavacos. Na casa de cavacos as oras são lavadas em uma corina de água para reirar impurezas e principalmene areia, para não danificar os equipamenos e o processo. Depois de lavadas, as oras enram em um equipameno denominado chipper (picador), que pica as oras em pequenos pedaços denominados cavacos, que depois são esocados em grandes mones ao ar livre. Os cavacos devem er amanhos uniformes, caso conrário, podem ocorrer problemas no pré-aquecimeno, cuja função é amolecer a lignina (cola naural que une as fibras da madeira). Os cavacos são ransporados por eseiras rolanes aé os desfibradores, que ransformam os cavacos em fibras separadas. Esa separação é feia por meio de um processo ermomecânico. Nese processo, os cavacos passam primeiramene por um pré-aquecedor, que amolece a lignina por meio da aplicação de vapor a uma cera pressão. Após esse raameno, as fibras são separadas por cisalhameno, pela passagem dos cavacos enre dois discos ranhurados, sendo um deles fixo e o ouro giraório. O processo de desfibração e a qualidade da maéria-prima são fundamenais para a formação da polpa. As fibras são enão diluídas em água, num sisema de anques, formando uma polpa que irá alimenar a formadora. A formadora é um filro conínuo que produz um colchão de fibras, separando-as da água em que esavam diluídas. Ese colchão é corado em amanho adequado e alimena a prensa. Na formadora inclui-se adiivos que modificam as propriedades ecnológicas das chapas. Combinando-se a vazão de polpa com a velocidade de formação do colchão, consegue-se conrolar a espessura do mesmo, que junamene com a pressão de prensagem, definem a espessura e a densidade das chapas. Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

4 A prensa aplica pressão e emperaura nos colchões, reirando oda a água e assenando as fibras. É imporane que as fibras se enconrem enrelaçadas, pois assim obém-se um produo com melhores propriedades mecânicas (consegue-se um maior enrelaçameno das fibras eviando fluxo laminar da polpa na formadora). Depois de prensados, os colchões (já denominados chapas) passam por um raameno érmico, onde se reaiva a lignina e a chapa adquire as propriedades ecnológicas finais. Após o raameno érmico, as chapas sofrem ainda um raameno de umidificação que equilibra sua umidade com a do meio ambiene (do desino do produo), para eviar empenameno. Têm-se enão as chamadas chapas base (ou chapas duras) que, em função da demanda, são serradas em chapas menores (iens), lixadas, acondicionadas e expedidas em uma área denominada final de linha. Para mais dealhes do processo de produção de chapas duras, os leiores podem consular Garcia (1996) e Belluzzo (2002). 2.1 Processo de core Em esudos aneriores (Morabio & Garcia, 1998a, 1998b) abordagens foram proposas para oimizar a programação da produção do processo de core da mesma fábrica de chapas duras. Desde enão, ese processo e sua programação sofreram alerações. O equipameno de core anerior, chamado serra Samba e com capacidade de core de 15 a 20 oneladas por hora de maerial, foi desaivado e subsiuído por ouro mais moderno, chamado serra Holzma (Figura 1) e com capacidade de core de 45 /h. A programação, que anes era feia manualmene, passou a ser realizada e conrolada por compuador, com os padrões de core gerados por um sofware específico (cu heigh) fornecido pelo fabricane do equipameno. A serra Holzma é consiuída por um conjuno de duas serras longiudinais e duas serras ransversais: uma serra circular de grande diâmero, que faz o core propriamene dio, e oura serra circular de pequeno diâmero, que abre o sulco de core. Cada uma das pequenas serras caminha na frene das serras de maior diâmero. O equipameno é alimenado por um pacoe de chapas duras (book), e possui um sisema de ranspore do pacoe oalmene compuadorizado, e um sisema de giro do pacoe, que permie o core de padrões mais complexos. À medida que os iens dos padrões são corados, eles são encaminhados por eseiras rolanes para esações de descarregameno. Ao odo são cinco esações, sendo quaro auomáicas e uma manual. As quaro esações auomáicas possuem ambém alimenadores de palees (Figura 1). Diferene da serra Samba, que corava apenas padrões guilhoinados 2-eságios, a serra Holzma cora padrões guilhoinados 3-eságios (ver adiane) por possuir o sisema de giro do pacoe. Todos os seus componenes, desde a alimenação do pacoe aé o descarregameno dos iens nas esações auomáicas, são conrolados por compuador, diminuindo a quase zero os empos de preparação. As ordens de fabricação conendo quanidades, espessura, ipo de chapa dura a ser uilizada, nome do cliene, ipo de despacho, com palees ou sem palees (pacoe), ec., alimenam o sofware da serra. Ese sofware gera os padrões a serem corados (não emos conhecimeno dos seus méodos de oimização) e os envia para o compuador que conrola a serra. Eses padrões em geral são eficienes, mas não é raro o operador do equipameno alerá-los para aumenar seus rendimenos. A empresa freqüenemene limia os padrões a no máximo 1 core de cabeça (ver adiane), diminuindo assim a complexidade dos padrões em favor da produividade do equipameno. 394 Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005

5 Sala de Comando 1 1 Legenda: 1- Alimenadores 2- Formação do pacoe (book) de chapas 3- Sisema de giro das chapas 4- Serra longiudinal 5- Serra ransversal 6- Girador de pacoe 7- Esação de descarregameno auomáica 1 8- Esação de descarregameno auomáica 2 9- Esação de descarregameno auomáica Esação de descarregameno auomáica Esação de descarregameno manual 12- Girador para cinameno de pacoe 13- Transporador de pacoes 14- Desinegrador de resíduos 15- Alimenador de palees para esação de descarga Alimenador de palees para esação de descarga Alimenador de palees para esação de descarga Alimenador de palees para esação de descarga 4 Figura 1 Esquema da serra Holzma. 2.2 Resrições do processo de core Chapas duras e cores longiudinais e ransversais As chapas duras são produzidas em diferenes dimensões nas rês linhas de produção da empresa (Tabela 1), com espessuras variando de 2,5 a 6,4 milímeros. A serra Holzma pode ser alimenada somene por chapas duras com dimensões denro dos inervalos mosrados na Tabela 2. A quanidade de chapas duras em esoque em geral é suficienemene grande (em relação à demanda de iens da careira de pedidos), podendo ser considerada ilimiada para efeio da programação da produção da serra. Os cores que podem ser feios pelas serras longiudinais e ransversais são sempre do ipo guilhoinados (i.e., um core que divide um reângulo em dois reângulos) e possuem dimensões máximas e mínimas. As serras longiudinais produzem os cores ao longo do comprimeno das chapas duras. No caso de giro de 90º das chapas, ambém produzem os cores de cabeça (veja adiane), iso é, ao longo do comprimeno das cabeças. As serras ransversais produzem os cores ao longo da largura das chapas duras e, no caso de giro de 90º das chapas, ambém produzem os cores denro de cada cabeça (i.e., ao longo da largura de cada cabeça). Os comprimenos máximos para os cores são resrios pelas larguras da serra Holzma. Os comprimenos mínimos são resrios pelos espaçamenos dos rolees ransporadores, garras de ranspores e fixadores (Tabela 3). Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

6 Tabela 1 Caracerísicas das linhas de produção. Linha de produção Dimensões das chapas duras (mm) Produção (/dia) PS I 4880 x PS II 5500 x PS III 7300 x Tabela 2 Limies mínimos e máximos das dimensões das chapas duras. Mínimo (mm) Máximo (mm) Comprimeno Largura Tabela 3 Limies mínimos e máximos dos cores longiudinais e ransversais. Mínimo (mm) Máximo (mm) Comprimeno do core longiudinal Comprimeno do core ransversal Cores de cabeça O uso dos chamados cores de cabeça em geral reduz as perdas dos padrões de cores, mas em conra parida, aumena os empos das operações de core. Os cores de cabeça são os cores vericais guilhoinados ao longo da largura da chapa dura, que a separam em pare principal e cabeças (Figura 2). Cada cabeça em comprimeno igual à largura da chapa dura, e largura igual à largura de uma ou mais faixas vericais. Ou seja, uma cabeça pode coner apenas uma faixa com iens de mesma largura desa faixa (e.g., as cabeças 1, 2, 3 e 5 da Figura 2), ou várias faixas com uma solução homogênea: iens iguais arranjados na forma de abuleiro (e.g., a cabeça 4 da Figura 2). A serra pode produzir padrões com no máximo 5 cores de cabeça. Noe que a solução homogênea é considerada apenas como uma cabeça, apesar de envolver várias faixas, mas o procedimeno de core é igual às demais cabeças. 5 a Cabeças 4 a 3 a 2 a 1 a Core de cabeça Cabeça com faixas simples Cabeça com solução abuleiro Figura 2 Múliplos cores de cabeça. 396 Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005

7 Após cada core de cabeça, a pare principal deve er comprimeno maior ou igual a 1000 mm. Essa resrição é devida ao sisema de garras que movimena o pacoe de chapas duras. Se a pare principal possuir comprimeno inferior a 1000 mm, as garras não conseguem alinhar o pacoe principal. Para que haja o core de cabeça, o pacoe de chapas duras é girado em 90º no senido horário. Se não houver mais cores de cabeça, o pacoe principal sofre uma roação de 90º compleando o giro. Na Figura 3, x indica o comprimeno do pacoe principal e y é o comprimeno da seção de cabeça composa de uma simples cabeça. Noe que y deve er comprimeno menor que 2200 mm; caso conrário, a cabeça não poderia ser corada na serra ransversal, com comprimeno de core máximo de 2200 mm, conforme a Tabela 3. x 1000 y 2200 Figura 3 Limies para um core de cabeça. Giro do pacoe (book) O equipameno pode ou não girar o pacoe de chapas duras. O giro é execuado por um conjuno de roldanas siuadas anes da serra longiudinal. O equipameno execua, no máximo, um giro compleo. O giro permie que se corem padrões com aé 3 eságios (Figura 4), diminuindo assim as perdas de maerial. Num primeiro eságio, cores guilhoinados são produzidos numa direção da chapa dura e, nos dois eságios sucessivos, cores guilhoinados são produzidos nas direções oposas (i.e., cores do eságio subseqüene, perpendiculares aos cores do eságio anecessor). Para se corar padrões 3-eságios é necessário que ocorra o giro, pois são os cores de cabeça (vericais) que permiem o erceiro eságio. Eses cores de cabeça são produzidos somene se o pacoe sofrer o giro. Desa maneira, apenas uma família paricular de padrões 3-eságios pode ser corada, conforme ilusrado na Figura 4. Sem o giro do pacoe, a serra produz apenas padrões guilhoinados com aé 2-eságios. Noe na Figura 4 que o padrão (b) é infacível porque seu core de cabeça resula numa cabeça envolvendo cores em 2-eságios, e o padrão (c) é infacível porque sua pare principal envolve cores em 3-eságios. (a) Padrão 3-eságios facível (b) Padrão 3-eságios infacível (c) Padrão 3-eságios infacível Figura 4 Exemplos de padrões 3-eságios que podem ou não ser corados pela serra. Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

8 Esações de descarregameno O número de esações de descarregameno limia o número de ipos de iens no padrão de core. Conforme mencionado, das cinco esações de descarregameno da serra, quaro são auomáicas e uma é manual. É preferível que o padrão de core uilize somene as esações auomáicas, pois a uilização manual necessia de mão-de-obra para o descarregameno, implicando em cusos adicionais. Noe que iso implica que cada padrão de core pode er no máximo 4 ipos de iens, um para cada esação auomáica. Além disso, se os alimenadores de palees das esações auomáicas esiverem operando, eles impõem uma resrição adicional: enquano o palee ainda não esiver compleo (sendo carregado por um cero ipo de iem), a esação não pode descarregar ouro ipo de iem. Iso é equivalene a requerer que, dada uma seqüência de padrões de core, o número máximo de pilhas aberas de iens (uma pilha é abera quando um ipo de iem é corado pela primeira vez e fechada quando odos os iens dese ipo foram corados) ao longo desa seqüência deve ser no máximo igual a 4, iso é, uma pilha para cada alimenador de palee. Esa resrição pode ser desconsiderada se os alimenadores de palees não esiverem operando; nese caso os padrões devem er preferencialmene aé 4 ipos de iens. Se a esação manual esiver em uso, esas duas resrições podem ser relaxadas e os padrões podem er qualquer número de ipos de iens. Incisão (espessura) da serra, remaes e margem do rerim A incisão é o monane de maerial removido pela espessura da lâmina da serra ao se corar o maerial. As serras circulares uilizadas pela empresa removem 6 mm de maerial da chapa dura para cada linha de core. Os remaes são para aparar as bordas das chapas duras. Uilizase remaes mínimos no comprimeno, ano para frene (borda de aaque) como para raseira da chapa dura, de 20 mm (já com a incisão de serra) (Figura 5). Um remae de 20 mm com uma espessura de serra de 6 mm remove 14 mm de maerial mais 6 mm gasos na incisão da serra, oalizando 20 mm de maerial da chapa dura. Em alguns casos, não são requeridos remaes na frene ou na raseira da chapa dura, ou em ambos. Remae raseira 20 mm Figura 5 Remaes de frene e raseira. Remae frene 20 mm Remaes mínimos na frene e na raseira de cada chapa dura ambém são especificados para o core ransversal (Figura 6). Eses remaes são para aparar as bordas de uma ira. Uiliza-se remae de 17 mm para cada lado da chapa dura nos cores ransversais (já com a espessura da serra). Um remae de 17 mm com uma espessura de serra de 6 mm remove 11 mm de maerial da chapa dura, mais 6 mm com a serra, oalizando 17 mm de maerial da chapa dura. O rerim é o remae inerno que pode ser usado em cada porção da chapa dura, após a chapa er sido dividida por um core de cabeça. A serra execua um rerim na porção principal da chapa dura (Figura 7). Uiliza-se um rerim de 20 mm. 398 Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005

9 Remae raseira 17 mm Remae frene 17 mm Figura 6 Remaes de cores cruzados: frene, raseira. Core de Cabeça Principal Cabeça Rerim Figura 7 Rerim para cabeça de abuleiro. Core de Cabeça Em resumo, as resrições do processo de core a serem consideradas nese rabalho são: (i) Cores longiudinais e ransversais do ipo guilhoinado, com comprimenos mínimos e máximos. (ii) Core de cabeça produzindo uma faixa com iens de mesma largura, ou várias faixas com iens iguais arranjados na forma de abuleiro (solução homogênea), com larguras menores ou iguais a 2200 mm. O comprimeno da pare principal deve ser menor ou igual a 1000 mm. A serra pode produzir padrões com no máximo 5 cores de cabeça. (iii) Giro do pacoe produzindo uma família paricular de padrões 3-eságios facíveis para a serra. (iv) Número máximo de 4 ipos de iens diferenes por padrão, imposo pelo número de esações de descarregameno auomáicas. Se os alimenadores de palees das esações auomáicas esiverem operando, o número máximo de pilhas de iens aberas (ao longo da seqüência de padrões de core) deve ser no máximo igual a 4. Se a esação de descarregameno manual esiver operando, esas duas resrições podem ser ignoradas e os padrões podem er qualquer número de ipos de iens. (v) Espessura de 6 mm das serras longiudinais e ransversais, remaes de 20 e 17 mm e margens do rerim de 20 mm. Convém salienar que desconhecemos arigos na lieraura de problemas de core raando ese conjuno de resrições. Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

10 3. Abordagens de Solução Para o propósio do presene esudo, nas abordagens a seguir, consideramos odas as resrições discuidas na seção 2, exceo a dos alimenadores de palees das esações auomáicas. Esa resrição esá relacionada com um problema NP-difícil de seqüenciameno de padrões de core, raado na lieraura como o problema do máximo número de pilhas aberas (maximum open sack problem) (Yuen, 1995; Yanasse, 1997; Ashikaga 2001; Becceneri e al., 2004). Conforme discussão na seção 2, as decisões de seqüenciameno podem ser desconsideradas se os alimenadores de palees das esações auomáicas não esiverem operando, ou se a esação manual esiver operando. 3.1 Modelagem do problema Seja m o número de ipos de iens na careira de pedidos. Cada iem do ipo i, i=1,..,m, em dimensões (l i, w i ), onde l i e w i denoam o comprimeno e a largura, respecivamene. Seja b i a quanidade demandada de iens do ipo i. Admiimos que o processo de core dispõe de um esoque de chapas duras (ou simplesmene chapas) suficienemene grande para produzir m odos os b i= 1 i iens demandados, conforme discussão na seção 2. Cada chapa em dimensões (L, W), onde L e W denoam o comprimeno e a largura, respecivamene. Sem perda de generalidade (Gilmore & Gomory, 1965; Morabio & Arenales, 2000), ao simplesmene adicionarmos nas dimensões l i, w i, L e W a espessura da serra (no caso, 6 mm), esamos saisfazendo a resrição de incisão da serra (seção 2). Por conveniência, considere inicialmene que odos os objeos sejam iguais e odos os possíveis padrões de core sejam conhecidos. Para cada um deses padrões, digamos para o j-ésimo padrão, associamos o veor (a 1j, a 2j,..., a mj ), onde cada a ij corresponde ao número de m vezes que o iem do ipo i aparece no padrão j. Seja cj = LW l i 1 iwa = i ij a perda de maerial associada ao padrão j (c j ambém pode ser definido como o cuso do padrão j). O problema de core é formulado pelo seguine programa linear ineiro: (P) min cx j j (1) j s.a. ax ij j bi, i= 1,..., m (2) j com: x 0, ineiro (3) j onde cada variável x j corresponde ao número de vezes que o padrão j é corado. Em problemas nos quais o número de possíveis padrões resula muio grande (o que é comum nos casos práicos), o problema (P) é em geral muio difícil de ser resolvido oimamene. Gilmore & Gomory (1961, 1963, 1965) sugeriram enão: (i) Relaxar as resrições de inegralidade (3) do problema (P); (ii) Resolvê-lo aravés do méodo simplex, parindo de uma base inicial com m padrões e, durane cada ieração do simplex, gerar um novo padrão para subsiuir um dos m padrões da base. 400 Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005

11 Assim, em cada ieração do simplex, resolve-se o subproblema: m (P1) max π i 1 ia = ij sujeio à condição de que o veor (a 1j, a 2j,..., a mj ) corresponde a um padrão j facível. onde π i é a variável dual associada à resrição i do problema (P) para a base aual. O m procedimeno ermina assim que: π 0 i 1 iaij c = j. Ese procedimeno pode ser úil quando a demanda b i é suficienemene grande em relação a cada a ij (como ocorre no presene problema de core). Neses casos, simples écnicas de arredondameno da solução relaxada podem ser aplicadas para produzir uma boa solução para o problema (P). Assim, a maior dificuldade é resolver o subproblema (P1). Alguns auores ambém sugeriram o uso de heurísicas consruivas gulosas para resolver o problema (P), como alernaivas para o procedimeno acima. Um exemplo (repeaed exhausion reducion; Hinxman, 1980; Silveira & Morabio, 2002) é apresenado a seguir: Enquano a demanda não for exaurida, faça: Passo 1: Gere o melhor padrão de core, ou seja, resolva o subproblema (P1) com π i igual ao valor do iem i (e.g., a área l i w i ). Passo 2: Repia ese padrão, ano quano for possível, em função da demanda dos iens. Ou seja, core o maior número de vezes possível ese padrão, levando em cona a demanda aual dos iens dese padrão. Passo 3: Aualize a demanda dos iens, ou seja, reire da demanda aual a quanidade de iens que foi corada no passo 2. Evenualmene inclua na demanda os iens de novos pedidos. Assim como no procedimeno anerior, a maior dificuldade desa heurísica gulosa é resolver o subproblema (P1) no passo 1. Uma vanagem desas heurísicas em relação àquele procedimeno é que elas são flexíveis para raar problemas em que a demanda deve ser exaamene saisfeia (i.e., ax = b, i= 1,..., m, ao invés de (2)). Esas heurísicas j ij j i ambém são úeis em siuações de demanda dinâmica, em que iens de novos pedidos vão sendo incluídos na careira. Na seção seguine, propomos fórmulas recursivas de programação dinâmica para resolver o subproblema (P1) no processo de core de chapas duras, que, conforme mencionado na seção 1, é a principal conribuição dese rabalho. 3.2 Programação dinâmica Seja v i o valor do iem i; noe que v i = π i para gerar padrões para o procedimeno de Gilmore & Gomory, ou v i = l i w i para gerar padrões para a heurísica consruiva gulosa acima. Sem perda de generalidade, admiimos que a orienação dos iens é fixada, iso é, os comprimenos l i dos iens devem esar sempre paralelos ao comprimeno L da chapa. Caso conrário, basa considerarmos cada ipo de iem (l i, w i ) como dois ipos com dimensões (l i, w i ) e (w i, l i ). Sejam X e Y os conjunos das combinações lineares com coeficienes ineiros não negaivos das dimensões dos iens ao longo do comprimeno L e da largura W da chapa, Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

12 respecivamene. Ou seja, sem perda de generalidade (Herz, 1972; Chrisofides & Whilock, 1977), os possíveis cores a serem considerados ao longo de L e W podem ser reduzidos aos elemenos dos conjunos X e Y (incluindo L e W): m { 1 1 α 1 ii 1 0 α i= i }, l0 min 1,..., { } i = l m i X = x x = l, x L l, 0 e ineiro { L} m { 1 1 α 1 i i 1 0 α i= i } Y = y y = w, y W w, 0 e ineiro { W} = (4), w0 min 1,..., { } i = w m i = (5) Os conjunos X e Y podem ser gerados da seguine maneira (Morabio, 1992): seja f (x 1 ) uma função Booleana com valor verdade, se x 1 X, e valor falso, caso conrário. Tem-se inicialmene que f( x 1) = verdade para x 1 = l i, i = 1,...,m e f( x 1) = falso para x 1 < l 0. Cada um dos demais valores de f( x 1), l x 1 L l 0, é verdade se ao menos um dos valores em { f( x1 l i ), i = 1,...,m} for verdade. O mesmo procedimeno pode ser aplicado para o conjuno Y definindo-se uma função Booleana f (y 1 ). l Sejam as fórmulas recursivas f ( xw, ) e f ( Ly,, ) x X e y Y, definidas como: f ( predecessor( x), W), max { va,, 0 e ineiro { } i i wa { } i i W ai }, ili= x ili= x my f ( x, W) = max f ( W) = se x 2200, (6) 0, caso conrário. max i= 1,.., m{ vi x/ li W / wi, li 2200 }. l f ( x, predecessor( y)), l f ( x, y) = max mx f ( x) = max { va,, 0 e ineiro { } i i l { } iai x ai }. iwi= y iwi= y (7) l onde f ( x, W ) = 0 se x=0, e f ( x, y ) = 0 se x=0 ou y=0 (a noação x represena o maior ineiro menor ou igual a x). A função f ( xw, ) corresponde ao valor do padrão mais valioso com cores guilhoinados ransversais (i.e., paralelos a W) na faixa (x, W). Ese valor é igual ao maior valor enre: (i) f ( predecessor( x), W ), o valor do padrão mais valioso com cores guilhoinados ransversais na faixa (predecessor(x), W), onde predecessor(x) = max { x X x < x} 1 1 represena o maior comprimeno em X menor que x, (ii) f ( W ), o valor da solução de um problema da mochila unidimensional em W na faixa (x, W) (somene com iens com comprimeno l i = x), se x 2200 mm (Figura 8 (a)), (iii) o valor de melhor solução homogênea na faixa (x, W) (i.e., composa de iens do mesmo ipo i al que l i 2200 mm) (Figura 8 (b)). As resrições x 2200 em (ii) e l i 2200 em (iii) referem-se ao comprimeno de core máximo da serra ransversal (seção 2). Assim, os iens no padrão represenado por f ( xw, ) devem possuir comprimenos l i menores que 2200 mm, caso conrário não poderiam ser corados na serra ransversal. my 402 Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005

13 l i l i w i w i y y Mochila em y x x (a) (b) Figura 8 (a) Solução da mochila unidimensional em y na faixa (x, y) (somene com iens com comprimenos l i = x); (b) solução homogênea na faixa (x, y). l Similarmene, f ( xy, ) corresponde ao padrão mais valioso com cores guilhoinados longiudinais (i.e., paralelos a x) na faixa (x, y). Ese valor é igual ao maior valor enre: l (i) f ( x, predecessor( y )), o valor do padrão mais valioso com cores guilhoinados longiudinais na faixa (x, predecessor(y)), onde predecessor(y) = max { y Y y < y} 1 1 represena a maior largura em Y menor que y, (ii) f ( x ), o valor da solução de um problema da mochila unidimensional em x na faixa (x, y) (somene com iens com largura w i = y). Os problemas da mochila unidimensionais em (6) e (7) podem ser resolvidos por my programação dinâmica (Marello & Toh, 1990). Seja fi ( y ) o máximo valor obido ao my combinar-se as larguras w 1, w 2,..., w i, i = 1, 2,..., m, ao longo da largura y. Cada fi ( y ) é my my my my f ( y) = max f ( y), v + f ( y w ), i=1, 2,..., m, onde f 0 ( y ) = 0. definido por: i { i 1 i i i } my my m Logo, f ( W) = f ( W) em (6). Similarmene para f ( x ) e f ( x) = f ( x) em (7). O melhor padrão guilhoinado 2-eságios para (x, y) pode ser deerminado em função de l f ( xy, ) em (7), pela seguine fórmula recursiva g(x,y) para x X e y Y: mx mx i l { } gxy (, ) = max f( xy, ) + gx (, y y (8) 0< y1 min{ y,2200}, y1 Y 1 1 y onde gxy (, ) = 0 se x=0 ou y=0, e y = max { y1 Y y y 1 y}. Noe em (8) que o padrão óimo 2-eságios para (x,y) combina o padrão mais valioso com cores guilhoinados longiudinais (i.e., paralelos a x) na faixa (x, y 1 ), com o padrão 2-eságios mais valioso na faixa resane (x, y-y 1 ) (Figura 9). mx mx m Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

14 l f ( xy, ) 1 0<y 1 y gx (, y y1 ) y y y 1 x Figura 9 Padrão guilhoinado 2-eságios para (x, y). O melhor padrão com aé k cores de cabeça para (x, W) pode ser deerminado em função de f ( xw, ) em (6), pela seguine fórmula recursiva f k (x,w) para x X, x L 20 mm: { } f ( x, W) = max f ( xw, ), f ( x, W) + f ( x x, W), k = 1,...,5 (9) k 0< x1 x 1000, x1 X k 1 1 k 1 1 x f 0 ( x, W) = g( x, W) onde k (, ) 0 x = max x1 X x x 1 x. O k-ésimo core x 1 corresponde ao primeiro core de cabeça. O limie k 5 refere-se ao número máximo de cores de cabeça que o equipameno pode fazer (seção 2). A resrição x x mm é a condição necessária para que o pacoe principal (pare da chapa depois de reiradas as cabeças) consiga complear o giro com segurança (seção 2). Noe em (9) que o padrão óimo com aé k cores de cabeça para (x, W) combina o padrão mais valioso com cores guilhoinados ransversais (i.e., paralelos a W) na faixa (x 1, W), com o padrão mais valioso com aé k-1 cores de cabeça na faixa resane (x-x 1, W) (Figura 10). Se k=0 (nenhum core de cabeça), a função f 0 (x,w) é igual a g(x,y). Se k=1, a função f 1 (x,w) avalia se f 0 (x,w) (nenhum core de cabeça) é melhor que f ( x1, W) + f0( x x1, W) (um core de cabeça na posição x x 1 ). E assim por diane se k=2,..., 5, ou seja, com dois,..., cinco cores de cabeça. f x W = se x=0, e { } Cabeça Principal f ( x, W) 1 fk 1( x x1, W) x W x 1 x x 1 Core de Cabeça Figura 10 Padrão com aé k cores de cabeça para (x, W). 404 Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005

15 Noe em (9) que f k (L,W) foi definida para x L 20 mm. Para x = L, devemos considerar a resrição do pré-core (veja rerim na seção 2), ou seja, feio um core de cabeça, a serra, ao reornar o giro, execua um core de 20 mm para ajuses de posicionameno das garras (Figura 11). Assim, compleamos a definição de f k (L, W) para x = L com: { } fk( L, W) = max 0< x1 L , x1 X fk 1( L, W), f ( x1, W) + fk 1( L x1 20, W) x, k = 1,..., 5 (10) f ( x, W) fk 1( x x1 20, W) 1 x W x 1 x x 1 20 Figura 11 Padrão com aé k cores de cabeça e rerim de 20 mm para (L, W). l As fórmulas f ( xw, ) e f ( xy, ) em (6) e (7) não consideram a resrição do número máximo de 4 ipos de iens no padrão (devido à limiação do número de esações de descarregameno auomáicas da serra; veja seção 2). Uma simples maneira de considerar esa resrição na heurísica gulosa (com perda de generalidade) é redefinir o Passo 1 como: Passo 1: Passo 1.1: Seja M = {1,2, 3,.., m} a lisa conendo odos os ipos de iens. Passo 1.2: Gere o melhor padrão para os iens da lisa M. Passo 1.3: Se o padrão for facível (i.e, o máximo número de ipos de iens é menor ou igual 4), pare. Caso conrário, reire aleaoriamene da lisa M um dos ipos de iens do padrão (por exemplo, o de menor demanda), e vole para o Passo 1.2. Observe que com esa modificação, o subproblema (P1) pode er que ser resolvido mais de uma vez em cada ieração da heurísica gulosa. Um procedimeno similar ao acima ambém pode ser definido no algorimo simplex com geração de padrões, ao se resolver o subproblema (P1). Nese caso al subproblema pode er que ser resolvido mais de uma vez em cada ieração simplex. Noe que em ambos os casos esamos perdendo generalidade. Conforme discuido na seção 2, esa resrição do número máximo de 4 ipos de iens no padrão pode ser relaxada ao se uilizar a esação de descarregameno manual da serra para descarregar os iens que não foram alocados nas esações auomáicas. Convém salienar que as fórmulas recursivas de programação dinâmica apresenadas nesa seção não consideram a resrição de demanda b i na geração do padrão, ou seja, caso b i seja bem pequeno (i.e., menor que L/ li W / wi ), elas podem gerar um padrão conendo uma quanidade de iens do ipo i maior que b i. Esa resrição é menos imporane na práica das fábricas de chapas duras, uma vez que as demandas dos iens são relaivamene grandes. A exensão desas fórmulas para considerar al resrição não é rivial. Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

16 4. Resulados Compuacionais Nesa seção, para ilusrar a viabilidade do uso do algorimo de programação dinâmica (9)-(10) para gerar padrões de core de chapas duras (i.e., resolver o subproblema (P1)), apresenamos os resulados compuacionais das duas abordagens acima: abordagem 1 (heurísica gulosa com gerador de padrões) e abordagem 2 (algorimo simplex com gerador de padrões) para resolver um exemplo real fornecido pela empresa. Comparamos os resulados das abordagens 1 e 2 com os uilizados pela empresa, obidos pelo sofware da serra Holzma. Também analisamos isoladamene o desempenho compuacional do algorimo de programação dinâmica em 100 exemplos gerados aleaoriamene. A Tabela 4 apresena os dados da careira de pedidos, com as dimensões das chapas (odas iguais) e dos m = 12 ipos de iens. Conforme discuido na seção 2, adicionamos a espessura de 6 mm das serras longiudinais e ransversais nas dimensões das chapas (L, W) e dos iens (l i, w i ). No enano, os valores v i dos iens foram considerados iguais às suas áreas originais, e não às suas áreas obidas com as dimensões acrescidas da espessura da serra. A coluna Área da abela refere-se aos valores v i (áreas dos iens), calculados com os comprimenos e larguras originais, e a coluna Demanda refere-se às demandas b i. Como os iens não possuem orienação fixa, sem perda de generalidade consideramos apenas no gerador de padrões cada iem i como dois iens diferenes com dimensões (l i, w i ) e (w i, l i ). Para as chapas, desconamos os remaes para aparar suas bordas (17 mm em cada lado das larguras e 20 mm em cada lado dos comprimenos das chapas). Assim, o comprimeno original das chapas reduziu de 4880 mm para 4846 mm (40 mm a menos de remaes dos dois lados, mais 6 mm da espessura da serra), e largura original de 2170 mm para 2142 mm (34 mm a menos de remaes, mais 6 mm de espessura da serra). Chapa, iens i Tabela 4 Dados da careira de pedidos fornecida pela empresa. Comprimeno original Largura original Área v i (mm 2 ) Comprimeno L, l i (mm) Largura W, w i (mm) Demanda b i Chapa Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005

17 4.1 Abordagem 1 Heurísica gulosa com gerador de padrões A heurísica gulosa e as fórmulas recursivas de programação dinâmica da seção 3 foram implemenadas na linguagem Pascal num microcompuador Penium III com 256 Mb e 350 Mhz. Os resulados a seguir foram obidos usando odos os elemenos de discreização dos conjunos X e Y em (4) e (5), ou seja, 2896 e 313 elemenos, respecivamene. As mochilas unidimensionais em (6) e (7) ambém foram resolvidas por programação dinâmica, conforme discussão na seção 3. A Tabela 5 compara as demandas dos iens com as quanidades geradas pelas soluções da empresa e da abordagem 1 (com no máximo 5 cores de cabeça e no máximo 4 ipos de iens no padrão). A solução da empresa foi gerada pelo sofware da serra com o objeivo de minimizar a perda de maerial, mas levando em cona o seqüenciameno de padrões. Observe que as demandas de odos os iens foram aendidas nas duas soluções, sendo que a solução da empresa produz 413 iens além da demanda, enquano a solução da abordagem 1 produz apenas 14 iens. A quanidade corada de cada padrão e a perda percenual (que inclui o reso de maerial mais o maerial consumido pela espessura da serra) esão apresenadas na Tabela 6. Na solução da abordagem 1, foram necessárias 5418 chapas (57374 m 2 ), enquano na solução da empresa foram 5516 chapas (58412 m 2 ), resulando em um adicional de 1038 m 2 (Tabela 6). Ambas as soluções uilizam 11 padrões de core diferenes. Se considerarmos o excesso de iens como esoque de iens, as soluções da abordagem 1 e da empresa resulam em perdas percenuais de 13,37% e 13,21%, respecivamene. Se considerarmos ese excesso simplesmene como perda de maerial, eses valores resulam em 13,39% e 14,93%. Como a solução da empresa considera que, em períodos de ala demanda, o excesso de ceros iens em geral não resula num problema maior porque eses iens permanecem pouco empo em esoque, a comparação direa enre as duas soluções deve ser feia com cauela. Tabela 5 Quanidades de iens produzidos pelas soluções da empresa e abordagem 1. Chapa, iem i Comprimeno L, l i Largura W, w i Demanda b i Produção empresa Produção abordagem 1 Chapa Toal Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

18 Tabela 6 Quanidades produzidas e perdas percenuais dos padrões da empresa e abordagem 1. Padrão j Empresa Abordagem 1 Número de vezes x j Perda (%) Número de vezes x j Perda (%) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Toal , ,37 Toal s/ Esoques 14,93 13,39 Além disso, é imporane desacar que a abordagem 1, diferene do sofware da empresa, não considera a resrição dos alimenadores de palees das esações auomáicas. Lembre-se da discussão da seção 2 que iso implica que, enquano o palee não esiver compleo de um ipo de iem, a esação não pode descarregar ouro ipo de iem. Porano, dada uma seqüência de padrões de core, o número máximo de pilhas de iens aberas (ao longo desa seqüência) deve ser no máximo igual a 4. Examinando odas as m! possíveis seqüências de padrões, verificamos que, para ese exemplo, os padrões produzidos pela abordagem 1 são seqüenciáveis com 5 pilhas aberas. Ou seja, se os alimenadores de palees das esações auomáicas esiverem operando, é necessário uilizar-se a esação de descarregameno manual. Como a abordagem 1 uiliza uma heurísica gulosa, espera-se que o primeiro padrão gerado seja ão bom ou melhor do que o segundo, que por sua vez seja ão bom ou melhor do que o erceiro, e assim por diane. No enano, noe na Tabela 6 que a perda do primeiro padrão da abordagem 1 é um pouco maior do que a do segundo, o que não era esperado. Isso ocorre devido ao procedimeno de facibilização dos padrões no passo 1 da heurísica gulosa (seção 3), que reira arbirariamene o iem de menor demanda denre os iens num padrão infacível (com mais de 4 ipos de iens). Nese exemplo, em paricular, o iem reirado na primeira ieração dese procedimeno possuía dimensões convenienes para minimizar a perda do padrão. À medida que os próximos padrões vão sendo gerados pela abordagem 1, algumas das demandas se anulam e porano, o número de iens a considerar decresce, diminuindo as possibilidades de combinações possíveis. Com isso, os padrões endem a er perdas cada vez maiores. Mesmo assim, conforme comenado acima, as diferenças enre as perdas percenuais enconradas pela empresa e pela abordagem 1 são pouco expressivas, com um menor número de chapas corado pela abordagem 1 (Tabela 6). Realizamos mais dois experimenos com a abordagem 1 e a careira de pedidos da Tabela 4. No primeiro experimeno, eliminamos a possibilidade dos cores de cabeça nos padrões (ou seja, fixamos k = 0 em (9)-(10)), para avaliarmos as perdas sem eses cores (manendo a 408 Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005

19 resrição de no máximo 4 ipos de iens no padrão). Os resulados obidos enconram-se na Tabela 7; as colunas apresenam o número de vezes que cada padrão é produzido e a perda percenual de cada padrão. No segundo experimeno, aleramos a resrição de no máximo 4 ipos de iens no padrão para no máximo 5 ipos de iens, para avaliarmos as perdas com a limiação das 4 esações de descarregameno auomáicas. Nesa solução, o quino ipo de iem eria de ser empacoado manualmene na esação de descarregameno manual da serra. Os resulados obidos ambém se enconram na Tabela 7. Para mais dealhes dos padrões gerados nesas duas soluções, o leior pode consular Belluzzo (2002). Tabela 7 Comparação dos padrões gerados pela abordagem 1 com resrições de: (i) sem a possibilidade de giro (k = 0), e (ii) no máximo 5 ipos de iens por padrão. Padrão j Abordagem 1 (sem giro: k=0) Abordagem 1 (max 5 ipos iens) Número de vezes x j Perda (%) Número de vezes x j Perda (%) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Toal , ,70 Toal s/ Esoques 21,64 13,73 Noe na Tabela 7 que, para ese exemplo, a solução da abordagem 1 usando a esação de descarregameno manual é um pouco pior do que a solução usando apenas as esações auomáicas. Ese resulado não era esperado, uma vez que o problema fica menos resrio. Isso ocorre devido ao procedimeno de facibilização dos padrões no passo 1 da heurísica gulosa, que reira arbirariamene o iem de menor demanda denre os iens num padrão infacível (com mais de 4 ipos de iens). Por exemplo, noe no padrão 1 da Tabela 7 que o iem reirado para facibilizar o padrão com no máximo 4 ipos de iens era um iem com dimensões apropriadas para gerar uma solução com baixo índice de perda. Iso resulou numa solução um pouco pior do que a solução sem possibilidade de giro do pacoe (5,87% conra 5,04%). Observe na Tabela 7 que os padrões gerados pela abordagem 1 com no máximo 5 ipos de iens possuem perda menor do que os padrões com no máximo 4 ipos de iens e impossibilidade de giro do pacoe. A única exceção ocorre no padrão 2. Mesmo assim, a perda oal (considerando excesso de iens como esoque) com no máximo 5 ipos de iens Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de

20 (13,70%) é maior do que a de no máximo 4 ipos de iens por padrão (13,37%), e uiliza 21 chapas a mais. Com relação aos padrões sem possibilidade de giro, observa-se um aumeno significaivo na perda de cada padrão e na perda oal (21,61%). Esas observações ambém são válidas considerando excesso de iens como perda de maerial. A perda acumulada mosra que a abordagem 1 produz padrões com perdas baixas no início das ierações, mas à medida que a careira (admiida fixa) vai se exaurindo, os padrões êm perdas cada vez maiores. Em ambienes dinâmicos onde novos pedidos evenualmene enram na careira, espera-se que o desempenho da abordagem 1 não piore ano nos úlimos padrões. Nese caso, políicas de priorização de iens baseadas nos prazos de enrega ambém podem ser incorporadas na abordagem, modificando-se os valores dos iens (similarmene à discussão em Silva & Morabio, 2004). 4.2 Abordagem 2 Algorimo simplex com gerador de padrões A seguir comparamos as soluções da empresa e da abordagem 1 com as da abordagem 2. Para iso, uilizamos a implemenação compuacional de Morabio & Garcia (1998a). Nesa implemenação, subsiuímos o algorimo de geração de colunas descrio em Morabio & Garcia (1998a) pelo presene algorimo de programação dinâmica (seção 3). As implemenações ambém foram feias em linguagem Pascal e foi uilizado o mesmo microcompuador especificado da seção 4.1. A Tabela 8 resume os resulados obidos após o simples arredondameno para cima da solução relaxada de (P), considerando o excesso de iens como esoque de iens. A coluna X, Y apresena o número máximo de elemenos permiidos nos conjunos X e Y (esa limiação é aplicada uilizando-se um procedimeno heurísico descrio em Morabio & Garcia, 1998a). Dependendo do problema, al limiação é necessária devido aos requisios de memória compuacional da nossa implemenação. As demais colunas represenam o máximo de cores de cabeça permiidos (k), o máximo número de ipos de iens no padrão (p), a perda oal percenual e em m 2, o número de chapas uilizadas, o número de ierações execuado pelo méodo simplex e a quanidade de padrões gerados. Tabela 8 Resulados obidos com a abordagem 2: o algorimo de programação dinâmica incorporado no algorimo simplex com geração de colunas de Morabio & Garcia (1998a). Número cores cabeça k Número ipos iens p X, Y Perda (%) Perda (m 2 ) Número chapas Número ierações Número padrões , , , , , , , , , , (1) , , , , , , (2) , , (1) A solução uiliza padrões com 4 ipos de iens; (2) A solução não uiliza padrões com 5 ipos de iens Obs. 410 Pesquisa Operacional, v.25, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2005