1.1 Seleção para consulta no laboratório

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1 .. SELEÇÃO PARA CONSULTA NO LABORATÓRIO Tabela.: Prncpas funções natvas no Sclab (use help nome para saber mas) abs acos acosh asn asnh atan atan cel conj contour cos cosh cotg exp expm feval floor mag nterp ntg log log0 log max max mesh mn mn modulo plot plotd poly power round sec sgn sn snh sqrt spln tan tanh INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFRGS MAT069 - CÁLCULO NUMÉRICO MATERIAL PARA CONSULTA NAS PROVAS POR FAVOR NÃO ESCREVA NESTE FORMULÁRIO.. Seleção para consulto laboratóro.. Introdução a Computação Centífca Defnção: Uma medda prátca e contínua da exatdão. O dgse de uma aproxmação x de um número x é dado por dgse(x x) = log 0 ( x x x.. Solução Numérca de Equações Não-lneares Cota Básca para localzação de raízes polnomas: z + M onde M = max... a a 0 }. Cota de Vene para localzação de raízes polnomas : Resultado: Toda raz postva α dep(x) = 0 verfca 0 < α + ). (.) (.) M a p onde (.) Convenção: polnômos na formap(x) = x n + x n +...a x+a 0 onde > 0. Tabela.: Identdades auxlares para remover subtração catastrófca (LAB) u v = u v = u v u+v u v = u v u +uv +v u n v n u n +u n v +...+u v n +v n cos(u) +sn(u) = n = 4... sec(u) = +tan(u) cosec(u) = +cotan(u) u v = v u uv u p/q = q u p log(uv) = log(u)+log(v) u > 0 v > 0 log(u v ) = vlog(u) u > 0 tan(u v) = tan(u) tan(v) +tan(u)tan(v) e u v = e u /e v log(u) log(v) = log(u/v) u > 0 v > 0 ln(u ) = ln(u) u > 0 M é o valor absoluto do menor dos coefcentes negatvos; a p é o últmo coefcente postvo antes do prmero coefcente negatvo. Observação: Consderando g(x) = p( x) se o grau de p é mpar ou g(x) = p( x) caso contráro encontramos estmatva para as raízes negatvas de p(x) completando a localzação. Algortmo: Secante Entrada: função f(x); aproxmações x 0 e x para a raz procurada; parâmetro de tolerânca TOL. Saída: aproxmação x n para a raz Passo : Incalzação n = 0; segue=

2 Passo : Faça enquanto segue = Passo : d n = f(x n) f(x n ) x n x n Passo 4: x n+ = x n f(x n) d n Passo 4: n n+ Passo 5: Se TOL já fo alcançado segue 0. Fm-faça Fm Algortmo: Newton-Raphson Modfcado Entrada: funçãof(x) com dervadaf (x); aproxmaçãox 0 para a raz procurada; multplcdade µ da raz procurada; parâmetro de tolerânca TOL. Saída: aproxmação x n para a raz Passo : Incalzação n = 0; segue= Passo : Faça enquanto segue = Passo : x n+ = x n µ f(x n) f (x n ) Passo 4: n n+ Passo 5: Se TOL já fo alcançado segue 0. Fm-faça Fm Cotas para raízes polnomas p(z) = 0 Cota de Fujwara: Sendo α qualquer raz de p(z) = 0 então α max / /... /(n ) a a 0 } /n Cota de Kojma: Sendo α qualquer raz de p(z) = 0 então α q +q onde q e q são os dos maores valores da lsta S = / /... /(n ) a a 0 } /n.. Solução Numérca de Sstemas de Equações Algébrcas Algortmo: Substtução Dreta. Entrada: Matrz trangular nferor não-sngular A = (a j ); vetor b = (b j ); Saída: Vetor solução x = (x ) de Ax = b; Passo : Para =...n faça Retorne x = (x ); x = b a j x j j= a Algortmo: Substtução Reversa. Entrada: Matrz trangular superor não-sngular A = (a j ); vetor b = (b j ); Saída: Vetor solução x = (x ) de Ax = b; Passo : Para = nn n... faça Retorne x = (x ); x = b j=+ a a j x j Algortmo: Elmnação Gaussana com pvotamento parcal Entrada: Matrz não-sngular A = (a j ); vetor b = (b j ); Saída: Vetor solução x = (x ) de Ax = b; Passo : Para j =...n faça Passo : Encontre sj s n tal que a(sj) = max j n a(j) ; Passo : Troque lnhas s ej da matrzade posção uma pela outra. Passo 4: Trocar b j e b s de posção um pelo outro. Passo 5: Para = j +...n faça µ = a j /a jj b b µb j Passo 6: Para k = j...n façaa k a k µa jk Fm Para Fm Para Passo 7: Encontre a solução x do sstema trangular Ax = b va substtução reversa. Retorne x. Algortmo: Método teratvo de Jacob para Sstemas Lneares Entrada: matrzes D e N onde A = D + N D é dagonal; b vetor do lado dreto; aproxmação x 0 para a solução de Ax = b; parâmetro de tolerânca TOL.

3 .. SELEÇÃO PARA CONSULTA NO LABORATÓRIO Saída: aproxmação x k para a solução de Ax = b. Passo : Incalzação: k = 0; segue = ; Passo : Enquanto segue = faça Passo : Resolva o sstema lnear dagonal Dx k+ = b Nx k Passo 5: k k +; Passo 5: Se TOL já fo alcançado segue 0; Fm - Enquanto Retorne x k Algortmo: Método teratvo de Gauss-Sedel para Sstemas Lneares Entrada: matrzes L e N onde A = L + N L é trangular nferor; b vetor do lado dreto; aproxmação x 0 para a solução de Ax = b; parâmetro de tolerânca TOL. Saída: aproxmação x k para a solução de Ax = b. Passo : Incalzação: k = 0; segue = ; Passo : Enquanto segue = faça Passo : Resolva o sstema lnear trangular nferorlx k+ = b Nx k Passo 5: k k +; Passo 5: Se TOL já fo alcançado segue 0; Fm - Enquanto Retorne x k Algortmo: Método de Newton para Sstemas Não-Lneares Entrada: função F(x); função matrz Jacobana JF(x); aproxmação x 0 para a solução; parâmetro de tolerânca TOL. Saída: aproxmação x k para a solução de F(x) = 0. Passo : Incalzação: k = 0; segue = ; Passo : Enquanto segue = faça Passo : Resolva o sstema lnear JF(x k )z k = F(x k ) Passo 4: x k+ x k z k ; Passo 5: k k +; Passo 5: Se TOL já fo alcançado segue 0; Fm - Enquanto Retorne x k Medda da exatdão vetoral: dado um vetor x e uma aproxmação x (vetor com a mesma dmensão de x) defnmos como dgse vetoral a segunte medda contínua da exatdão: dgsev(x x) = log 0 x x x (.4) onde u denota orma Eucldana de um vetor que em Sclab pode ser calculada com o comando norm(u) ou norm(u)...4 Interpolação Polnomal e Ajuste de Dados Interpolação Não-Segmentada de Lagrange por (x 0 y 0 )...(x n y n )} : φ(x) = y L (x) onde L (x) = =0 0 j nj x x j x x j. Interpolação Não-Segmentada de Newton por (x f(x )) = 0...n : φ(x) = f(x 0 )+f[x 0 x ](x x 0 )+f[x 0 x x ](x x 0 )(x x )+ f[x 0 x x x ](x x 0 )(x x )(x x ) f[x 0...x n ](x x 0 )...(x x n ). onde as quantdades f[...] são as dferenças dvddas da tabela. Interpolação Segmentada Lnear: Em cadtervalo [x x ] =...n a nterpoladora φ(x) é um polnômo de prmero grau φ (x) defndo por φ (x) = (x x )y x x + (x x )y x x. (.5) Interpolação Cúbca Segmentada de Hermte Em cadtervalo [x x ] =...n terpoladora φ(x) é um polnômo de grau menor ou gual a φ (x) = f(x )s (x)+f(x )r (x)+d ŝ (x)+d ˆr (x) onde h = x x e s (x) = ( h (x x ) x x + h ) r (x) = ( h (x x ) x x h ) e onde os parâmetros d = 0...n devem ser prescrtos. ŝ (x) = h (x x )(x x ) (.6) ˆr (x) = h (x x ) (x x ) (.7) Interpolação Segmentada usando Splnes Cúbcos A determnação dos d s mplca solução de um sstema lnear de n equações φ (x ) = φ + (x ) =...n nas n+ ncógntas d 0 d...d n. Portanto equações devem ser ADICIONADAS para defnr cada tpo de Splne. Splnes Cúbcos Naturas: satsfazem φ (x 0 ) = 0 e φ (x n ) = 0. O vetor das ncógntas d 0...d n é calculado em Sclab va

4 4 vd = spln([x 0 x...x n ][y 0 y...y n ] natural ); Splnes Cúbcos Armados: satsfazem φ (x 0 ) = α e φ (x n ) = β O vetor das ncógntas d 0...d n é calculado em Sclab va vd = spln([x 0 x...x n ][y 0 y...y n ] clamped [αβ]); Splnes Cúbcos Peródcos: satsfazem φ (x 0 ) = φ (x n ) e φ (x 0 ) = φ (x n ) e requerem y 0 = y n. O vetor das ncógntas d 0...d n é calculado em Sclab va vd = spln([x 0 x...x n ][y 0 y...y n ] perodc ); Melhor solução de Ax = b no sentdo dos Mínmos Quadrados va fatoração QR SendoA = QR a decomposção QR magra (econômca) da matrz de coefcentesa (A deve ter posto máxmo) então Ax = b QRx = b Q T QRx = Q T b Rx = Q T b (.8) permte o cálculo computaconal da solução x no sentdo dos Mínmos Quadrados de Ax = b...5 Integração Numérca Regra do Trapézo: b a f(x)dx f(a)+f(b) onde h = b a e para algum ξ (ab). Regra de Smpson b a (b a)+ (b a) f () (ξ) (.9) f(x)dx f(a)+4f(c)+f(b) (b a)+ (b a) f(4) (ξ) (.0) onde h = b a e para algum ξ (ab). Quadratura de Gauss-Legendre par+ pontos: f(x)dx w k f(x k ) (.) Tabela.: Parâmetros da Quadratura de Gauss-Legendre. n x k w k / / /5 5/9 0 8/9 /5 5/9 /7+(6/7) /5 /7 (6/7) / (/8) 5/ /5 /7 (6/7) /+(/8) 5/ /5 /+(/8) 5/ /7+(6/7) / (/8) 5/ /5 onde x 0 x x...x n são defndos conforme tabela.. Quadratura de Gauss-TChebyshev par+ pontos: f(x) dx π x n+ onde x 0 x x...x n são defndos por x k = cos ( π(k +) (n+) Quadratura de Gauss-Laguerre par+ pontos: 0 f(x)e x dx f(x k ) (.) ). (.) w k f(x k ) (.4) onde x 0 x x...x n são defndos pela tabela.4. Quadratura de Gauss-Hermte par+ pontos: f(x)e x dx w k f(x k ) (.5) onde x 0 x x...x n são defndos pela tabela.5. Q tem a mesma dmensão de AQ T Q = I enquantoréquadrada e trangular superor.

5 .. SELEÇÃO PARA CONSULTA NO LABORATÓRIO 5 Tabela.4: Parâmetros da Quadratura de Gauss-Laguerre. n x k w k Algortmo: (Regra Composta Recursva Trapezodal ) Entrada: função f números reas a eb parâmetro de tolerânca TOL. Saída: Aproxmação s n para b a f(x)dx Passo : n = 0; h 0 = b a;s 0 = (f(a)+f(b))h 0 /; segue= Passo : Enquanto segue= Passo : n = n + ; n Passo 4: h n = h n g n = f(a+ h n ) ímpar Passo 5: s n = s n +g n h n Passo 6: Se TOL já fo alcançado segue 0. Fm Enquanto Retorne s n Aceleração de Rcharson para Regra Composta Recursva Trapezodal. u0 = s 0 u n+ = 4s n s n n = Solução Numérca de Equações Dferencas Tabela.5: Parâmetros da Quadratura de Gauss-Hermte. n x k w k Para a equação dferencal ordnára y = f(ty) um esquema de m passos é y + +α y +α y +...+α m y + m = β 0 f(t + y + )+...+β m f(t + m y + m ) h..7 Métodos Implíctos ou Corretores de Adams-Moulton São uma famíla de esquemas de m passos onde α = α = α =... = α m = 0 e os coefcentes β 0...β m são determnados de manera a maxmzar a ordem do erro de truncamento do esquemumérco. Tabela.6: Parâmetros para os esquemas Corretores de Adams m β 0 β β β T / / O(h ) 5/ 8/ -/ O(h ) 9/4 9/4-5/4 /4 O(h 4 ) Os esquemas explíctos de Adams-Bashforth (Predtores) são uma famíla de esquemas de m passos onde α = α = α =... = α m = 0 e os coefcentes

6 6 β 0...β m são determnados de manera a maxmzar a ordem do erro de truncamento sob a restrçãoβ 0 = 0. Tabela.7: Parâmetros para os esquemas Prevsores de Adams m β 0 β β β β 4 T 0 O(h) 0 / -/ O(h ) 0 / -6/ 5/ O(h ) /4-59/4 7/4-9/4 O(h 4 ) Establdade-zero: um esquemumérco da forma y n+ +α y n +...+α m y n+ m = β 0 f(t n+ y n+ )+...+β m f(t n+ m y n+ m ) h é zero-estável se todas as raízes λ do seu polnômo característco assocado λ m +α λ m +α λ m +...+α m λ+α m = 0 λ λ raz smples satsfzerem λ < λ raz múltpla. Esquema de Runge-Kutta de segunda ordem ou método de Heun: k = f(t y ) k = f(t +hy +hk ) y + = y + h(k +k ) = 0... ou então de outra forma (formato Prevsor-Corretor) yp = y +hf(t y ) y + = y + h(f(t y )+f(t + y p )) = 0... Esquema clássco de Runge-Kutta de quarta ordem: k = f(t ( y ) k = f t + h y + hk ) ( k = f t + h y + hk ) k 4 = f (t +hy +hk ) y + = y + h(k +k +k +k 4 ) = O método de Runge-Kutta-Fehlberg para solução numérca de y = f(ty) possu um erro de truncamento de quarta ordem além de fornecer uma estmatva de qunta ordem desse erro de truncamento. k = f ( (t y ) k = f t + h 4 y + hk ) ( 4 k = f t + h 8 y + hk + 9hk ) ( k 4 = f t + h y + 9hk 700hk + 796hk ) ( k 5 = f t +hy + 49hk 8hk + 680hk 845hk ) 4 ( k 6 = f t + h y 8hk 7 +hk 544hk + 859hk 4 hk ) y + = y + 5hk hk + 97hk 4 hk e = k 60 8k k k k 6 55 Método de Euler-Cromer para y = f(tyv) onde v = y : y+ = y + t v +( t) f(t y v )/ v + = v + tf(t y v ) para = 0... Método de Verlet paray = f(ty) : y+ = y + tv +( t) a / v + = v + t a +a + para = 0...; onde a = f(t y ). Método de Verlet Corrgdo para y = f(tyv) onde v = y : y + = y + tv +( t) a / v p = v + ta v + = v + t a +f(t + y + v p ) para = 0...; onde a = f(t y v ). Método Leapfrog para y = f(ty): y = y + tv / v +/ = v / + tf(t y ) FIM DO FORMULÁRIO (.6) (.7) (.8) (.9)