Desenvolvimento de um Método de Volumes Finitos de Alta Ordem para a Simulação de Escoamentos de Fluidos Viscoelásticos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA Desenolmento de um Método de Volumes Fntos de Alta Ordem para a Smulação de Escoamentos de Fludos Vscoelástcos Dssertação de Mestrado André Rodrgues Munz PORTO ALEGRE

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3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA Desenolmento de um Método de Volumes Fntos de Alta Ordem para a Smulação de Escoamentos de Fludos Vscoelástcos André Rodrgues Munz Dssertação de Mestrado apresentada como requsto parcal para obtenção do título de Mestre em Engenhara Área de concentração: Proeto, Smulação, Controle e Otmzação de Processos Químcos e Botecnológcos Orentadores: Prof. Dr. Argmro Resende Secch Prof. Dr. Nlo Sérgo Mederos Cardozo Porto Alegre

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5 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA A Comssão Eamnadora, abao assnada, aproa a Dssertação Desenolmento de um Método de Volumes Fntos de Alta Ordem para a Smulação de Escoamentos de Fludos Vscoelástcos, elaborada por André Rodrgues Munz, como requsto parcal para obtenção do Grau de Mestre em Engenhara. Comssão Eamnadora: Prof. Dr. Álaro Luz de Bortol Profa. Dra. Líga Damasceno Ferrera Marczak Profa. Dra. Roberta Chasse Vera

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7 Um sonho que se sonha só, é só um sonho que se sonha só, mas sonho que se sonha unto é realdade Raul Seas

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9 Agradecmentos Gostara de agradecer prmeramente a mnha famíla, prncpalmente a mnha mãe, pelo apoo, ncento e carnho que sempre me fo dado, e a quem deo tudo o que sou. Agradecer também a mnha namorada, por tudo que faz por mm, além do grande ncento e força que me passou durante a realzação deste trabalho, especalmente na reta fnal. Agradecer aos meus amgos, em especal aos que foram meus colegas de mestrado e que em me acompanhando desde os prmeros semestres do curso de graduação, por serem muto mas que amgos, serem quase rmãos. E como não podera dear de ser, aos grandes mestres que me orentaram neste trabalho, fca a gratdão de seu eterno aprendz.

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11 Resumo O uso da mecânca de fludos computaconal no estudo de processos enolendo o escoamento de fludos polmércos está cada ez mas presente nas ndústras de transformação de polímeros. Um códgo computaconal oltado a esta função, para que possa ser aplcado com sucesso, dee lear a predções mas prómas possíel da realdade (modelagem), de uma forma relatamente rápda e efcente (smulação). Em relação à etapa de modelagem, o ponto chae é a seleção de uma equação consttuta que represente bem as característcas reológcas do fludo, dentre as dersas opções estentes. Para a etapa de smulação, ou sea, a resolução numérca das equações do modelo, estem dersas metodologas encontradas na lteratura, cada qual com suas antagens e desantagens. Neste tópco se enquadra o trabalho em questão, que propõe uma noa metodologa para a resolução das equações goernantes do escoamento de fludos scoelástcos. Esta se basea no método dos olumes fntos, usando o arrano co-localzado para as aráes do problema, e na utlzação de apromações de alta ordem para os fluos médos lneares e não-lneares e para outros termos não lneares que surgem da dscretzação das equações consttutas. Nesta metodologa, trabalha-se com os alores médos das aráes nos olumes durante todo o processo de resolução, sendo que os alores pontuas são obtdos ao fnal do procedmento a deconolução. A solução do sstema de equações não lneares, resultante da dscretzação das equações, é feta de forma smultânea, usando o método de Newton. São mostrados então, resultados da aplcação da metodologa proposta em problemas enolendo escoamentos de fludos newtonanos e fludos scoelástcos. Para descreer o comportamento reológco destes últmos, são usadas duas equações consttutas, que são o modelo de Oldrod-B e o modelo de Phan-Then-Tanner Smplfcado. Por estes resultados pode-se er que a metodologa é muto promssora, apresentando algumas antagens frente às metodologas conenconas em olumes fntos. A mplementação atual da metodologa desenolda está restrta a malhas unformes e, consequentemente, soluções são obtdas somente para baos números de Wessenberg, dedo a lmtação do custo computaconal. Esta restrção pode ser contornada, tornando o seu uso competto.

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13 Abstract Computatonal Flud Dnamcs (CFD) s wdel used b polmer processng ndustres n order to ealuate polmerc flud flows. A successful computatonal code must prode relable predctons (modelng) n a fast and effcent wa (smulaton). In the modelng phase, the ke pont s the choce of an approprate consttute equaton. To sole the model equatons, a large number of methodologes was found n the lterature, each one hang adantages and dsadantages. The present work proposes a new methodolog to sole the goernng equatons of scoelastc flud flows. It s based on the fnte olume method wth collocated arrangement of the arables, usng hgh order appromatons to lnear and nonlnear aerage flues n the nterfaces and n the nonlnear terms obtaned from the dscretzaton of the consttute equatons. In ths methodolog, the aerage alues of the arable n the olumes are used durng the resoluton, and the punctual alues are recoered n the post-processng step b deconoluton of the aerage alues. The nonlnear sstem resultng from the dscretzaton of the equatons are soled smultaneousl, usng the Newton s method. The methodolog s used to sole some Newtonan and scoelastc flows, and the results obtaned are showed. The Oldrod-B and Smplfed Phan-Then-Tanner models are used to descrbe the rheologcal behaor of the scoelastc flud. Accordng to the results, t can be seen that the methodolog s promsng, hang some adantages compared wth the conentonal methodologes based on the fnte olume method. The actual mplementaton of the deeloped methodolog s restrcted to unform meshes and, consequentl, solutons are obtaned onl for low Wessenberg numbers, due to computatonal cost lmtaton. Ths restrcton can be outlned, and so, the methodolog can become compette.

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15 Sumáro Capítulo Introdução..... Fludos Polmércos..... Funções Materas Mecânca de Fludos Computaconal e fludos polmércos Estrutura da Dssertação...8 Capítulo Fundamentos e Resão Bblográfca..... Modelo Matemátco..... Equações consttutas para fludos polmércos Fludo Newtonano Generalzado (FNG) Fludo scoelástco lnear (FVL) Fludo scoelástco não lnear Modelos dferencas Fludo scoelástco não-lnear Modelos ntegras Seleção de uma equação consttuta..... Metodologa para resolução numérca do problema Dscretzação do espaço e arrano das aráes Dscretzação das equações Apromação dos fluos médos: metodologa conenconal Apromação dos fluos médos: metodologa de alta ordem baseada em alores médos Solução das equações dscretzadas Resão Bblográfca Proposta da dssertação...8 Capítulo Modelo Matemátco Equações do modelo Condções de contorno Entrada de massa Saída de massa Parede (não-deslzamento) Smetra Admensonalzação das equações...46 Capítulo 4 Metodologa Numérca Dscretzação das equações Apromação dos fluos médos Metodologa conenconal Metodologa de alta ordem termos lneares Metodologa de alta ordem termos não lneares Condções de contorno Solução das equações dscretzadas...6 Capítulo 5 Resultados para Fludos Newtonanos Escoamento Slp-Stck Acoplamento pressão-elocdade Curas de níel Perfs na dreção horzontal () Perfs na dreção ertcal () Escoamento Stck-Slp Curas de níel Perfs na dreção horzontal () Perfs na dreção ertcal () Escoamento em cadade quadrada Curas de níel para Re = Comparações das elocdades mámas nas lnhas centras horzontal e ertcal para Re = Comparações dos perfs centras para Re = Conclusões...98 Capítulo 6 Resultados para Fludos Vscoelástcos Escoamento Stck-Slp Perfs desenoldos Efeto dos parâmetros das equações consttutas...4

16 6... Dfculdade na obtenção de soluções em altos números de Wessenberg Escoamento em contração plana Apromações unto à contração Comparações para dferentes números de Wessenberg Conclusões... 8 Capítulo 7 Conclusões e sugestões para trabalhos futuros Conclusões e sugestões... 9 Referêncas Bblográfcas... Apêndce.Obtenção do esquema de Lagrange de a ordem... Ap. Defnções... Ap. Obtenção dos coefcentes da apromação... Apêndce.Erros de truncamento para os esquemas de alta ordem...5 Ap. Esquema Lagrange de a ordem... 5 Ap. Esquema Lagrange de 4 a ordem... 6 Ap. Esquema Padé de 4 a ordem... 6 Apêndce.Deconolução dos alores médos...9 Ap. Deconolução de a ordem... 4 Ap. Deconolução de 4 a ordem... 4

17 Lsta de Fguras Fgura.. Epermento de "rod-clmbng". A esquerda pode-se er o comportamento de um fludo polmérco e a dreta o de um fludo newtonano (Tanner, 985)...4 Fgura.. Curas típcas para scosdade em função da taa de deformação para fludos polmércos (neste caso, poletleno de baa densdade), sob dferentes temperaturas (Brd et al., 987)....6 Fgura.. Arranos (a) co-localzado e (b) desencontrado para as aráes, e p....4 Fgura.. Volume elementar genérco e notação dos índces relatos às nterfaces e pontos centras...5 Fgura.. Representação do contorno genérco com as dreções normal e tangente...44 Fgura 4.. Volume elementar genérco e notação dos índces relatos às nterfaces e pontos centras...49 Fgura 4.. Representação dos olumes e das nterfaces nas quas são fetas as apromações dos alores médos, untamente com os índces correspondentes...5 Fgura 5.. Representação esquemátca do escoamento slp-stck Fgura 5.. Perfl de pressão na dreção horzontal em =.5, sendo usados os alores no centro dos olumes e nas nterfaces...66 Fgura 5.. Perfl de pressão na dreção horzontal em =.5, para solução obtda com o esquema CDS e CDS com dsspação...68 Fgura 5.4. Perfl de pressão na dreção horzontal em =.5, obtdo com esquema CDS puro e CDS com dsspação para f d =. e f d =...68 Fgura 5.5. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.5, obtdos com esquema CDS puro e CDS com dsspação para f d =., f d =. e f d =...69 Fgura 5.6. Perfl de pressão na dreção horzontal em =,5, obtdo com o esquema QUICK, comparado com o obtdo pelo esquema CDS com dsspação (f d =.5)...7 Fgura 5.7. Curas de níel para função corrente no escoamento slp-stck (L =, H = )...7 Fgura 5.8. Curas de níel para elocdade no escoamento slp-stck (L =, H = )...7 Fgura 5.9. Curas de níel para elocdade no escoamento slp-stck (L =, H = )...7 Fgura 5.. Curas de níel para a pressão no escoamento slp-stck (L =, H = )...7 Fgura 5.. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.975, obtdo com o esquema LAG4/CDS em um malha Fgura 5.. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.975, obtdo com o esquema LAG4/CDS em um malha Fgura 5.. Perfl de pressão na dreção horzontal em =.975, obtdo com o esquema LAG4/CDS em um malha Fgura 5.4. Perfs de tensões τ, τ, e τ na dreção horzontal em =,975, obtdo com o esquema LAG4/CDS em um malha Fgura 5.5. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.95, obtdo com o esquema QUICK...75 Fgura 5.6. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.95, obtdo com o esquema QUICK e com o QUICK/CDS na regão próma a sngulardade...75 Fgura 5.7. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.9, obtdo com o esquema QUICK e com o QUICK/CDS na regão próma a sngulardade para dferentes malhas...76 Fgura 5.8. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.95, obtdo com o esquema LAG4 e com o LAG4/CDS em pontos prómos à sngulardade...76 Fgura 5.9. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.9, obtdo com o esquema LAG4 e com o LAG4/CDS em pontos prómos à sngulardade, para dferentes malhas...77 Fgura 5.. Perfs de elocdade (a) e (b) na dreção horzontal em =.95, obtdos com o esquema LAG4, usando dos pontos e mas a nterface em =, e somente dos pontos com esquema CDS Fgura 5.. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.95, obtdo com o esquema LAG4 e com o LAG4/CDS na regão próma à sngulardade, sendo usado para este últmo, dferentes números de pontos com apromação de a ordem...78 Fgura 5.. Perfl de elocdade na dreção ertcal em =.6667, obtdo com o esquema LAG4/CDS, com dferentes números de pontos de apromação de baa ordem...79 Fgura 5.. Perfs de elocdade em =.6667, obtdos com os esquemas LAG4/CDS e QUICK/CDS para dferentes tamanhos de malha...8 Fgura 5.4. Perfs de elocdade em =.6667, obtdos com os esquemas LAG4/CDS e QUICK/CDS para dferentes tamanhos de malha...8 Fgura 5.5. Perfs de pressão em =.6667, obtdos com os esquemas LAG4/CDS e QUICK/CDS para dferentes tamanhos de malha...8 Fgura 5.6. Representação esquemátca do escoamento stck-slp...8 Fgura 5.7. Curas de níel para função corrente no escoamento stck-slp (L =, H = )...8

18 Fgura 5.8. Curas de níel para elocdade no escoamento stck-slp (L =, H = )...8 Fgura 5.9. Curas de níel para elocdade no escoamento stck-slp (L =, H = )...8 Fgura 5.. Curas de níel para pressão no escoamento stck-slp (L =, H = )....8 Fgura 5.. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.9, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha...84 Fgura 5.. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.9, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha...85 Fgura 5.. Perfs de pressão na dreção horzontal em =.9, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha Fgura 5.4. Perfs de tensão τ, τ, τ e na dreção horzontal em =.9, obtdos a partr do campo de elocdades calculado...86 Fgura 5.5. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.9, para a regão próma a sngulardade, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha Fgura 5.6. Perfs de elocdade na dreção ertcal em =.6667, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha...87 Fgura 5.7. Perfs de elocdade na dreção ertcal em =.6667, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha...88 Fgura 5.8. Perfs de pressão na dreção ertcal em =.6667, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha Fgura 5.9. Perfs de elocdade na dreção ertcal em =.6667, para a regão próma a =.6 (regão de mámo) obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha...89 Fgura 5.4. Representação esquemátca do escoamento em cadade quadrada...9 Fgura 5.4. Curas de níel para função corrente no escoamento em cadade (Re = 4)...9 Fgura 5.4. Curas de níel para elocdade no escoamento em cadade (Re = 4)...9 Fgura 5.4. Curas de níel para elocdade no escoamento em cadade (Re = 4)...9 Fgura Curas de níel para pressão no escoamento em cadade (Re = 4)...9 Fgura Perfl de elocdade ertcal central (a) e perfl de elocdade horzontal central (b) para Re = Fgura Perfs de elocdade ertcal central obtdos com os esquemas LAG44 e PADE44 para dferentes tamanhos de malha, prómo a =. (regão de elocdade máma em módulo)...96 Fgura Perfs de elocdade horzontal central obtdos com os esquemas LAG44 e PADE44 para dferentes tamanhos de malha, prómo a =.5 (regão de elocdade máma)...96 Fgura Perfs de elocdade horzontal central obtdos com os esquemas LAG44 e PADE44 para dferentes tamanhos de malha, prómo a =.85 (regão de elocdade mínma)...97 Fgura 6.. Perfs de tensão normal τ no escoamento plenamente desenoldo para dferentes números de Wessenberg, usando o modelo de Oldrod-B... Fgura 6.. Perfs de tensão normal τ no escoamento plenamente desenoldo para número de Wessenberg guas a. e, usando o modelo de Oldrod-B... Fgura 6.. Perfs de tensão normal τ no escoamento plenamente desenoldo para número de Wessenberg gual a e para dferentes alores de η E, usando o modelo de Oldrod-B... 4 Fgura 6.4. Perfs de tensão normal τ na dreção horzontal em =.95, para número de Wessenberg gual a. e para dferentes alores de η E, referente ao modelo de Oldrod-B... 5 Fgura 6.5. Perfl horzontal de elocdade, para =.95, para We =. e dferentes alores de η E, referente ao modelo de Oldrod-B... 5 Fgura 6.6. Mesmo perfl apresentado na Fgura 6.5, com destaque na regão da saída das placas, prómo a sngulardade... 6 Fgura 6.7. Perfs de tensão normal τ na dreção horzontal em =.95, para We =. e para dferentes alores de ε, referente ao modelo de Phan-Then-Tanner... 6 Fgura 6.8. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.95, para número de Wessenberg gual a. e para dferentes alores de ε, referente ao modelo de Phan-Then-Tanner... 7 Fgura 6.9. Perfs de tensão normal τ na dreção horzontal em =.95, para número de Wessenberg gual a., usando os modelos de Oldrod-B e SPTT (ε =.5)... 8 Fgura 6.. Perfs de tensão normal τ na dreção horzontal em =.95, para número de Wessenberg gual a., usando o modelo de Oldrod-B (η E =.5), para malhas 6 e Fgura 6.. Perfs de tensão τ na dreção horzontal em =.95 para dferentes números de Wessenberg, usando o modelo de Oldrod-B (η E =.5).... Fgura 6.. Mesmos perfs da Fgura 6., destacado na regão anteror à sngulardade... Fgura 6.. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.95 para dferentes números de Wessenberg, usando o modelo de Oldrod-B (η E =.5)....

19 Fgura 6.4. Mesmos perfs da Fgura 6., destacados na regão anteror à sngulardade... Fgura 6.5. Representação esquemátca do escoamento em contração plana... Fgura 6.6. Perfs de elocdade na dreção horzontal, em =.9, para We =., usando os esquemas LAG4 e LAG4/CDS.... Fgura 6.7. Perfs de tensão normal τ na dreção horzontal, em =.9, para We =., usando os esquemas LAG4 e LAG4/CDS...4 Fgura 6.8. Perfs de tensão normal τ na dreção horzontal, em =.9, para We =., usando os esquemas LAG4 e LAG4/CDS...4 Fgura 6.9. Perfs de tensão de csalhamento τ na dreção horzontal, em =.9, para We =., usando os esquemas LAG4 e LAG4/CDS....4 Fgura 6.. Perfs de tensão normal τ na dreção horzontal, em =.9, para dferentes números de Wessenberg...5 Fgura 6.. Perfs de tensão normal τ na dreção horzontal, em =.9, para dferentes números de Wessenberg...6 Fgura 6.. Perfs de tensão de csalhamento τ na dreção horzontal, em =.9, para dferentes números de Wessenberg...6 Fgura 6.. Mesmos perfs da Fgura 6., destacados na regão próma a contração...7 Fgura 6.4. Mesmos perfs da Fgura 6., destacados na regão próma a contração...7 Fgura Ap.. Representação de um olume elementar genérco, com os índces referentes às nterfaces e centros dos olumes...9

20 Lsta de Tabelas Tabela 5.. Valores das elocdades mínmas e mámas ( mn, mn, ma) nas lnhas centras e coordenadas ( mn, mn, ma) correspondentes, para trabalhos da lteratura...9 Tabela 5.. Valores das elocdades mínmas e mámas ( mn, mn, ma) nas lnhas centras e coordenadas ( mn, mn, ma) correspondentes, obtdos com o esquema LAG Tabela 5.. Valores das elocdades mínmas e mámas ( mn, mn, ma) nas lnhas centras e coordenadas ( mn, mn, ma) correspondentes, obtdos com o esquema PADE Tabela Ap.. Erros de truncamento para o esquema de Lagrange de a ordem... 5 Tabela Ap.. Erros de truncamento para o esquema de Lagrange de 4 a ordem... 6 Tabela Ap.. Erros de truncamento para o esquema de Pade de 4 a ordem.... 6

21 Capítulo Introdução.. Fludos Polmércos Os materas polmércos têm ocupado cada ez mas espaço no da a da das pessoas. Dedo às suas dersas característcas, estes têm sdo empregados para os mas dersos fns, como fabrcação de embalagens, utensílos doméstcos e até mesmo na cração de órgãos artfcas e na produção de artefatos na ndústra aeroespacal. Os polímeros sntétcos têm substtuído materas conenconas, tas como metas, madera e dro em mutas aplcações, dedo a sua combnação de característcas: bao peso, bao custo, facldade de processamento e propredades mecâncas. Este uma grande aredade de processos de transformação de polímeros, ou sea, operações que transformam a matéra-prma (a resna rgem ) em produtos fnas para consumo. Como eemplos tem-se a etrusão, moldagem por neção, moldagem por sopro, termomoldagem, entre mutos outros, sendo cada um destes processos adequado à produção de um determnado tpo de produto. O que há de comum na grande maora destes processos, é uma etapa na qual o materal, orgnalmente no estado sóldo, é funddo (ou no caso de polímeros amorfos, plastfcado), possbltando assm que tome uma noa forma. Polímeros funddos e soluções polmércas, ou generalzando, fludos polmércos, apresentam um comportamento mas compleo que os fludos de bao peso molecular, sendo classfcados como fludos não-newtonanos. Para o estudo, aalação e entendmento de qualquer processo no qual o escoamento deste tpo de fludo sea de fundamental mportânca, é necessáro conhecer este comportamento e em mutos casos, saber representá-lo de uma forma quanttata, por meo de equações matemátcas. Eemplos de stuações onde sto ocorre é na caracterzação de polímeros pela obtenção de meddas reológcas e na modelagem, smulação e otmzação de processos que enolam o escoamento de fludos polmércos.

22 CAPÍTULO - INTRODUÇÃO Um materal, a prncípo, pode apresentar dos tpos de respostas frente à aplcação de uma tensão de csalhamento. Alguns materas, tpcamente na forma sólda, sofrem deformações fntas sob ação de uma tensão, retomando sua forma orgnal com a remoção desta. Estes materas apresentam assm, o que se chama de propredades elástcas. Outro tpo de materal, no qual se enquadram os fludos de bao peso molecular, deforma-se contnuamente sob a ação de uma tensão de csalhamento, sendo que com a remoção desta, o materal mantém a forma fnal atngda. Este tpo de materal apresenta assm, o que se chama de comportamento scoso. Os fludos polmércos apresentam uma combnação das duas característcas ctadas acma, ou sea, propredades scosas e elástcas, sendo chamados por sso, de fludos scoelástcos. Este comportamento é a característca mas marcante dos fludos polmércos, e pode ser faclmente obserado a partr de dersos epermentos. Um destes epermentos consste em submeter um fludo polmérco à uma taa de deformação constante, esperar que se atna o estado estaconáro, e em um dado nstante de tempo, cessar o momento. Caso téssemos um fludo newtonano, a tensão em todo o fludo cara nstantaneamente a zero. Para um fludo polmérco erfca-se que ao fnal do momento, a tensão no fludo terá um alor fnto, e decará eponencalmente ao longo do tempo, apresentando assm, o que se chama de memóra. Este fenômeno se dee às tensões geradas no escoamento dedo ao estramento e alnhamento das cadeas do polímero ao longo das lnhas de corrente, que tendem a retornar a uma confguração de menor energa com o decorrer do tempo. Este processo transente de relaação de tensões possu um tempo característco, chamado de tempo de relaação. Deste tempo característco decorre um número admensonal de fundamental mportânca para escoamentos de fludos scoelástcos, que é o número de Deborah (De), defndo pela razão entre o tempo de relaação do polímero, λ e um tempo característco do escoamento, t C : λ De = (.) t C Analsando esta defnção, erfca-se que quanto maor este número, mas pronuncado é o efeto elástco, e que para fludos newtonanos, De =. O tempo característco do escoamento é dependente da geometra onde este ocorre. Por eemplo, no escoamento em um duto de seção crcular, o tempo característco é dado por t C = R/<>, onde R é o rao do duto e <> é a elocdade méda, sendo este tempo correspondente à nersa da taa de deformação característca do escoamento γ C = <>/R. Na erdade, não este um únco tempo de relaação para um polímero, mas sm um espectro de relaação, o que sgnfca que estem cadeas de dferentes tamanhos e conformações, cada qual com seu tempo de relaação característco. Na defnção do número

23 . - FLUIDOS POLIMÉRICOS de Deborah, o tempo de relaação característco usado pode ser o maor ou o que tem maor mportânca dentro do espectro, sendo este últmo a escolha mas adequada do ponto de sta físco. Outro número admensonal de sgnfcado equalente ao número de Deborah é o número de Wessenberg (We), que é defndo pelo produto entre o tempo de relaação do polímero λ e uma taa de deformação característca, γ C. We = λγ C (.) Este número surge naturalmente na admensonalzação das equações consttutas para fludos scoelástcos, assm como o número de Renolds surge na admensonalzação da equação de conseração de quantdade de momento. Do ponto de sta da defnção, não há dferença entre os números de Deborah e Wessenberg. O número de Deborah geralmente é aplcado em problemas transentes, onde há processos de crescmento e relaação de tensões. Já o número de Wessenberg é usado em problemas estaconáros, e pode ser encarado como uma razão entre as tensões elástcas e as tensões scosas no escoamento (Tucker III, 989). Além da scoelastcdade, uma outra característca reológca dos fludos polmércos, e talez a mas conhecda, é possur uma scosdade dependente da taa de deformação aplcada sobre o materal, também conhecda como scosdade não-newtonana. Baseado no comportamento da dependênca da scosdade com a taa de deformação, os fludos polmércos na sua grande maora são classfcados como fludos pseudoplástcos (shearthnnng), nos quas a scosdade dmnu com a taa de deformação. Outra característca marcante destes fludos, que decorre da scoelastcdade, é a presença de dferenças de tensões normas em escoamentos por csalhamento. Em adção às tensões de csalhamento, estes fludos apresentam tensões etras ao longo das lnhas de corrente, que deram do estramento e alnhamento das cadeas polmércas ao longo das lnhas de corrente. Um epermento clássco que permte sualzar este comportamento consste em submeter dos recpentes, um deles contendo um fludo newtonano e outro contendo um fludo polmérco, a agtação por meo de um eo rotatóro merso no fludo. No recpente contendo o fludo newtonano, se formará uma depressão unto ao eo do agtador, dedo à força centrífuga. Já para um fludo polmérco, o resultado é contrastante e mpressonante. O fludo sobe unto ao eo do agtador, na dreção oposta a esperada. Na Fgura., pode se sualzar estas duas stuações. Em Brd et al. (987) e Macosko (994), pode-se encontrar uma sére de epermentos que permtem sualzar dferentes efetos decorrentes das característcas reológcas que os fludos polmércos apresentam. O comportamento reológco dos fludos polmércos se dee bascamente à sua consttução químca. Estes materas são consttuídos por longas cadeas, que podem ser lneares ou ramfcadas, com pesos moleculares típcos entre a g/mol. Estas cadeas geralmente estão entrelaçadas, formando estruturas compleas, que apresentam a capacdade de ser modfcadas sob a ação de uma tensão, podendo retomar uma posção

24 4 CAPÍTULO - INTRODUÇÃO atngda em um passado recente após a remoção desta. O número de conformações que podem ser atngdas é algo nmagnáel, dedo ao grande comprmento e dsposção espacal das cadeas de polímero. Fgura.. Epermento de "rod-clmbng". A esquerda pode-se er o comportamento de um fludo polmérco e a dreta o de um fludo newtonano (Tanner, 985).. Funções Materas Mutos parâmetros podem nflur nas característcas do escoamento de um fludo. Estes podem ser propredades físcas do fludo ou parâmetros dependentes de característcas do momento, tal como tensão aplcada, elocdade nos contornos, dmensões da geometra, etc. Dentre o prmero caso, destaca-se a scosdade. No caso de fludos newtonanos, esta propredade é constante para uma dada pressão e temperatura, e é defnda como uma constante materal. Sua defnção em da le da scosdade de Newton, dada a segur: = ηγ τ (.) onde τ é a tensão de csalhamento e γ é a taa de deformação. Os sub-índces e, correspondem às dreções característcas do escoamento, sendo a dreção de momento do escoamento e a dreção de aração do perfl de elocdade. No caso de fludos polmércos, não se pode defnr, ou anda, medr constantes materas para caracterzar um escoamento (eceto a massa específca), sto que as propredades do fludo são funções de aráes tas como a taa de deformação, tempo, entre

25 . - FUNÇÕES MATERIAIS 5 outras. Desta forma, é mas correto defnr-se as propredades físcas dos fludos polmércos não como constantes, mas sm como funções materas. As funções materas para fludos polmércos podem ser classfcadas em duas grandes classes: funções materas para escoamentos por csalhamento e funções materas para escoamentos lres de csalhamento. Estas funções materas podem ser dependentes do tempo (em escoamentos transentes) ou não (em escoamentos estaconáros). Uma completa apresentação destas funções materas pode ser encontrada em Brd et al. (987). A função materal mas conhecda para fludos polmércos, característca de escoamentos por csalhamento, é a scosdade não-newtonana η = η γ ), que é defnda de forma análoga à defnção de scosdade para fludos newtonanos. ( τ = η( γ) γ (.4) Para escoamentos por csalhamento, outras funções materas de grande nteresse são os coefcentes de tensões normas Ψ ( = Ψ γ) e Ψ = Ψ ( γ), que relaconam as dferenças de tensões normas τ -τ e τ -τ zz no escoamento com a taa de deformação: N τ τ = Ψ ( γ) γ = (.5) N τ τ zz = Ψ ( γ) γ = (.6) Esta dferença de tensões normas é a responsáel pelo fenômeno sualzado na Fgura.. Destas três funções materas, a scosdade é a mas fácl de se determnar epermentalmente. Para mutas aplcações de engenhara, esta é a propredade mas mportante dos fludos polmércos. Como á ctado, estes fludos são pseudoplástcos, sto é, sua scosdade dmnu com a taa de deformação aplcada. Sob baas taas de deformação, o fludo tem um comportamento newtonano, tal que a scosdade nesta regão é chamada de scosdade a deformação nula (zero-shear-rate scost). Aumentando a taa de deformação, atnge-se um dado alor lmte no qual a scosdade começa a dmnur com o aumento desta. Este alor lmte é própro de cada materal, sendo dependente da sua dstrbução de pesos moleculares. Este comportamento pode ser sto nas curas típcas de scosdade mostradas na Fgura., para dferentes temperaturas, sendo que a scosdade dmnu com o aumento de temperatura, analogamente ao que ocorre com os fludos de bao peso molecular no estado líqudo em geral. O prmero coefcente de tensões normas tem o mesmo comportamento da scosdade frente a taa de deformação. Este parâmetro tem um alor sempre posto, eceto raras eceções. O segundo coefcente de tensões normas é mas dfícl de ser meddo

26 6 CAPÍTULO - INTRODUÇÃO epermentalmente, e conhece-se pouco sobre alores epermentas deste parâmetro. Sabe-se que este é menor que Ψ em módulo e que sempre é negato (Brd et al., 987, Macosko, 994). Ambos estes coefcentes são nulos para fludos newtonanos. Fgura.. Curas típcas para scosdade em função da taa de deformação para fludos polmércos (neste caso, poletleno de baa densdade), sob dferentes temperaturas (Brd et al., 987). Em escoamentos lres de csalhamento, tas como ocorre no processo de produção de flmes por sopro, também podem ser defndas funções materas. Para escoamentos estaconáros, defnem-se duas funções scosdade η e η, que são relaconadas às dferenças de tensões normas: ( ε, b ε τ zz τ = η ) (.7) ( ε, b ε τ τ = η ) (.8) onde ε é a taa de elongação e b é um parâmetro que defne o tpo de escoamento. Por eemplo, em um escoamento elongaconal, tem-se b = ; em um escoamento elongaconal planar tem-se b =. Uma descrção destes e outros escoamentos pode ser sta em Brd et al. (987). Para b =, em um escoamento estaconáro, tem-se que η =, e η é defnda como a scosdade elongaconal, também chamada de scosdade etensonal. Sob baas taas de elongação, esta scosdade elongaconal é constante, e é gual a três ezes a scosdade à deformação nula para escoamentos por csalhamento. Com o aumento da taa de elongação, esta scosdade aumenta, sendo este comportamento obserado para a maora dos polímeros, sendo que em alguns casos, se tem um comportamento nerso, como para o poletleno de alta densdade, por eemplo (Brd et al., 987).

27 . - MECÂNICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL E FLUIDOS POLIMÉRICOS 7.. Mecânca de Fludos Computaconal e fludos polmércos A mecânca de fludos computaconal, ou CFD (Computatonal Flud Dnamcs), aplcada à fludos polmércos é uma ferramenta que pode ser utlzada para os mas dersos fns na ndústra de transformação de polímeros. Pode ser usado, por eemplo, no proeto de equpamentos de processamento de polímeros, etando a necessdade de eecução de epermentos e cração de protótpos em escala de bancada, tarefas que consomem tempo e enolem altos nestmentos. Pode-se também, determnar condções ótmas de operação para equpamentos á estentes, buscando o aumento de produção e/ou melhora da qualdade do produto. Outra aplcação possíel é no desenolmento de noas tecnologas e processos de transformação. Enfm, as possbldades de uso deste tpo de ferramenta são mutas, e a tendênca é que as ndústras de transformação comecem a utlzá-la cada ez mas nos prómos anos em suas atdades. Para que o emprego desta ferramenta tenha sucesso, é necessáro que ela sea confáel, ou sea, represente da melhor forma possíel o fenômeno físco. Para garantr esta condção dee-se focar dos aspectos fundamentas. Em prmero lugar, dee-se ter um modelo matemátco que sea capaz de representar adequadamente a stuação a ser estudada. Este consste nas equações de conseração, em uma equação consttuta mecânca e condções de contorno. Em relação às equações de conseração pratcamente não há problemas, sto que estas á são bem consoldadas. Quanto às condções de contorno, deem ser mas prómas possíes da stuação real, sto que em mutas ezes se tornam necessáras apromações, que se não forem realstas, leam a resultados errôneos. O ponto crucal com relação ao modelo matemátco é a equação consttuta mecânca a ser usada. Esta equação estabelece a relação entre o campo de tensões e o campo de elocdades (relação tensão-deformação). Esta relação dee representar adequadamente as característcas reológcas apresentadas pelo fludo em estudo, que no caso de fludos polmércos, foram descrtas no tem anteror. Este uma grande aredade de equações consttutas para estes fludos, das formas mas smples às mas compleas. Porém, nenhuma destas consegue contemplar toda a gama de característcas reológcas apresentadas pelos fludos polmércos. Não este uma equação mult-propósto, ou sea, uma equação consttuta que se aplque a todos os casos, e a seleção de uma equação depende de mutos fatores, que são dscutdos no capítulo a segur. O outro aspecto fundamental, e não de menor mportânca, é a metodologa de solução das equações. Uma ez obtdas as equações do modelo, estas deem ser então resoldas. Na grande maora dos casos, o modelo fnal consste em uma ou mas equações dferencas

28 8 CAPÍTULO - INTRODUÇÃO parcas, sendo que em poucos casos, onde são fetas mutas apromações, se consegue obter uma solução analítca. Desta forma se torna necessáro obter uma solução apromada por meo de um método numérco. Este método numérco dee conduzr à uma solução com boa precsão, não consumndo muto tempo e recursos computaconas. Além dsso, dee apresentar uma boa robustez e ersatldade. Resumndo, o método dee ter o melhor balanço possíel entre estas propredades, e estar de acordo com os obetos a serem alcançados pelo seu uso..4. Estrutura da Dssertação O ponto chae deste trabalho é a utlzação da mecânca de fludos computaconal na solução de problemas enolendo o escoamento de fludos polmércos. Mas especfcamente, é proposta uma metodologa numérca para a resolução das equações dferencas parcas do modelo, baseado no método dos olumes fntos com arrano colocalzado para as aráes, usando apromações de alta ordem para apromações dos fluos médos. São tratados escoamentos ncompressíes e sotérmcos de fludos newtonanos e não-newtonanos. A estrutura do trabalho, dddo em 7 capítulos, é descrta nos parágrafos a segur. No capítulo são apresentados os pontos fundamentas para a realzação do trabalho. A prmera parte enfoca a modelagem do problema, ou sea, as equações a serem resoldas e os dferentes tpos de equações consttutas que podem ser utlzadas, assm como característcas, antagens e desantagens de cada grupo. A segunda parte enfoca o procedmento de resolução numérca das equações do modelo, abrangendo todas as etapas, ou sea, dscretzação, apromação das aráes e resolução do sstema de equações algébrcas resultante. É dada maor ênfase ao método dos olumes fntos, que é o método usado neste trabalho. Anda neste capítulo, é feta uma resão bblográfca referente a trabalhos relatos à smulação do escoamento de fludos scoelástcos, destacando a utlzação de modelos dferencas, no qual se enquadra a equação consttuta a ser utlzada no trabalho. Baseada nesta resão, é apresentada a proposta e ustfcata do trabalho, buscando mostrar quas as antagens que o uso da metodologa proposta pode trazer. No capítulo é descrto em detalhe o modelo matemátco, ou sea, as equações a serem resoldas para os problemas que são tratados nos capítulos subseqüentes. O procedmento de admensonalzação das equações também é tratado neste capítulo. No capítulo 4 é detalhada a metodologa numérca proposta, enfocando todos os aspectos, dando destaque às apromações de alta ordem usadas, que é o dferencal deste trabalho em relação aos métodos conenconas.

29 .4 - ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO 9 Nos capítulos subseqüentes são apresentados os resultados obtdos com a metodologa proposta. No capítulo 5, são tratados problemas enolendo o escoamento de fludos newtonanos, mas especfcamente, o escoamento de entrada em placas paralelas preceddo de uma superfíce lre de csalhamento ( slp-stck ), o escoamento de saída de placas paralelas para uma superfíce lre de csalhamento ( stck-slp ) e o escoamento em cadade quadrada sob ação de uma placa deslzante ( ld-dren ). No capítulo 6, são mostrados resultados para fludos scoelástcos para dos problemas, que são o escoamento de saída de placas paralelas para uma superfíce lre de csalhamento ( stck-slp ) e o escoamento em uma contração plana. Por fm, no captulo 7, são apresentadas as conclusões tradas neste trabalho e algumas sugestões para trabalhos futuros. De modo a esclarecer melhor alguns tópcos tratados nos capítulos ctados, constam no fnal do trabalho três apêndces. O apêndce trata do processo de obtenção das funções de nterpolação de alta ordem a serem usadas no trabalho, englobando todos os passos do procedmento. O apêndce apresenta os erros de truncamento para todas as funções de nterpolação de alta ordem apresentadas. Por fm, o apêndce mostra as equações usadas para a obtenção de alores pontuas ao fnal do procedmento numérco a partr dos alores médos, a deconolução.

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31 Capítulo Fundamentos e Resão Bblográfca Neste captulo são focados todos os fundamentos relatos a modelagem e a smulação de escoamentos de fludos. Referente a modelagem, são apresentadas as equações que goernam o escoamento de fludos, assm como os dferentes tpos de equações consttutas mecâncas usadas para descreer o comportamento reológco dos fludos polmércos. Na seqüênca, é tratada a etapa de resolução numérca das equações do modelo, usando o método dos olumes fntos. Cada passo deste procedmento é mostrado, e sua aplcação é lustrada usando uma equação que possu a forma generalzada das equações de transporte, para duas dmensões, em coordenadas cartesanas. Por fm, é feta uma resão bblográfca dos trabalhos na área da smulação de escoamentos de fludos scoelástcos, dando maor enfoque ao uso de modelos dferencas e ao emprego do método dos olumes fntos, sto que o presente trabalho se basea nestes dos aspectos... Modelo Matemátco Neste trabalho são consderados apenas escoamentos ncompressíes e sotérmcos de fludos. Deste modo, o sstema de equações que descree matematcamente este tpo de escoamento é composto pelas equações de conseração de massa, de conseração de quantdade de momento lnear e por uma equação consttuta mecânca que descrea a relação entre tensão e deformação. O modelo, além destas equações, dee contemplar anda as condções de contorno (e ncas, no caso de problemas transentes) que deem ser satsfetas pela solução.

32 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA As equações a serem resoldas são mostradas a segur, utlzando notação etoral. Conseração de massa para escoamento ncompressíel (equação da contnudade): = (.) Conseração de quantdade de momento lnear (equação do momento): ρ = τ p ρg (.) t onde é o etor elocdade, τ é o tensor das tensões, p é a pressão, ρ é a massa específca e g a aceleração grataconal. Para completar o sstema de equações do modelo necessta-se de uma equação consttuta mecânca. Para fludos newtonanos, esta equação consste em uma generalzação da Le da scosdade de Newton (.), para qualquer tpo de escoamento e geometra τ = µγ µ (.) onde µ é a scosdade e γ é o tensor taa de deformação. Neste caso a scosdade é constante, não arando com a deformação sofrda pelo fludo. Para fludos ncompressíes, esta equação reduz-se a: τ = µγ (.4) Como sto no capítulo, fludos polmércos possuem um comportamento reológco bem dstnto do apresentado por fludos newtonanos, de modo que a equação dada por (.) não pode ser aplcada para estes fludos. Portanto, para que as característcas reológcas dos fludos polmércos seam leadas em conta, deem ser utlzadas equações consttutas apropradas, assunto a ser eplorado no prómo tem... Equações consttutas para fludos polmércos Este um grande número de equações consttutas mecâncas, que buscam descreer o comportamento reológco dos fludos polmércos, pelo menos em parte. Estas equações podem ser enquadradas em dferentes grupos de acordo com a sua forma do ponto de sta matemátco e sua capacdade de predção de determnadas funções materas. São

33 . - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDOS POLIMÉRICOS apresentados a segur dferentes grupos de equações consttutas para fludos polmércos, e para cada um destes, suas característcas prncpas, o tpo de funções materas predtas e os eemplos mas conhecdos e utlzados na lteratura.... Fludo Newtonano Generalzado (FNG) Consste na generalzação do modelo de fludo newtonano para fludos nos quas a scosdade é uma função da magntude do tensor taa de deformação γ. τ = η γ γ (.5) sendo a magntude γ dada por γ = γ γ (.6) Os modelos para η γ são empírcos, e uma grande aredade pode ser encontrada na lteratura, sto que este modelo é aplcado também a outros tpos de fludos que apresentam scosdade dependente da taa de deformação, como por eemplo, almentos, suspensões, fludos bológcos (e: sangue) entre outros. O modelo mas smples e mas conhecdo para a scosdade dependente da taa de deformação é a Le da Potênca (Ostwald, 95, de Waele, 9), dada por: η = mγ n (.7) onde m e n são parâmetros dependentes do fludo. Este modelo, por ter uma forma smples, permte a obtenção de soluções analítcas para uma grande aredade de escoamentos destes fludos. Outro modelo muto usado é o de Carreau-Yasuda (Carreau, 968, Yasuda et al., 98), o qual descree bem a scosdade para uma ampla faa de taa de deformação. η η η η = λ γ a n a (.8)

34 4 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA onde a scosdade a baas deformações η, a scosdade em altas taas de deformação η, a constante de tempo λ, e as constantes n e a são parâmetros característcos do fludo. O modelo orgnal de Carreau consdera a =, sendo este parâmetro ntroduzdo na equação por Yasuda (Brd et al., 987). O modelo de fludo newtonano generalzado tem a defcênca de não predzer os efetos elástcos característcos dos fludos polmércos. Este tem aldade apenas para escoamentos estaconáros por csalhamento puro e em taas de deformação eleadas, dependendo da equação usada para a scosdade. Dedo a estas característcas e a sua smplcdade, este modelo é muto utlzado em aplcações ndustras (estudo de processos de etrusão e neção), onde os efetos da scosdade não-newtonana tem grande mportânca no escoamento.... Fludo scoelástco lnear (FVL) O modelo mas smples para fludo scoelástco, ou sea, que contempla o caráter scoso e elástco de um fludo em uma únca equação é o modelo para fludo scoelástco lnear. A prmera equação desenolda para descreer o comportamento scoelástco lnear, fo o Modelo de Mawell (Mawell, 867). Esta pode ser encarada como uma combnação das equações de Hooke para sóldo elástco e de Newton para a scosdade, lembrando que ambas são lneares em relação à tensão, na deformação e taa de deformação respectamente. τ λ = η t τ γ (.9) onde η é a scosdade a taa de deformação nula e λ uma constante de tempo chamada de tempo de relaação, que é um tempo característco relaconado à relaação das tensões nas cadeas polmércas. Note que para λ =, reca-se na le de Newton para a scosdade. Este modelo também pode ser escrto na forma ntegral: τ( t ) = t η ( tt') / λ e λ γ ( t') dt' (.) O modelo para fludo scoelástco lnear generalzado é dado por: t γ( t τ( t ) = G( t t' ) ') dt' (.)

35 . - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDOS POLIMÉRICOS 5 ou anda, por: t τ( t ) = M ( t t') γ( t' ) dt' (.) onde G(t-t') é chamado de módulo de relaação e M(t-t') é chamada de função memóra. Pode-se er por esta forma, que o ntegrando da tensão depende do produto de dos fatores de naturezas dferentes. Um depende da natureza do escoamento ( γ (t)) e outro depende apenas do fludo. As funções G(t-t') e M(t-t') são funções que decrescem monotoncamente, apresentando uma característca de decamento, ou melhor, relaação. Para o modelo de Mawell, equação (.), podemos er que o módulo de relaação é dado por: η ( tt') / λ G ( t t' ) = e (.) λ Este modelo contém apenas um modo de relaação. Para que um número maor de modos de relaação seam leados em conta, se utlza uma função G(t-t ) que contemple esta característca, como por eemplo, o modelo de Mawell generalzado: η k ( tt') / λ k G ( t t') = e (.4) k= λk O modelo para fludo scoelástco lnear é áldo apenas para pequenas deformações, sendo utlzado no estudo de funções materas na regão de scoelastcdade lnear (escoamentos transentes e estaconáros). Estas funções materas têm estreta relação com a estrutura molecular, sendo que daí decorre a mportânca deste modelo. Além dsso, estas equações são o ponto de partda para o estudo dos modelos scoelástcos não lneares. Alguns modelos não lneares são generalzações do modelo lnear, buscando apresentar uma melhor predção frente a fenômenos físcos, sto que o últmo não consegue descreer efetos não lneares, como scosdade dependente da taa de deformação e dferença de tensões normas.... Fludo scoelástco não lnear Modelos dferencas Os modelos para fludo scoelástco não lnear permtem descreer, ao menos qualtatamente e em parte, efetos elástcos e característcas não lneares, como dferenças de tensões normas e scosdade não-newtonana. Este uma grande aredade de modelos, sendo que cada um é capaz de predzer um determnado conunto de fenômenos, apresentando defcêncas em outros. Do ponto de sta matemátco, podem se enquadrar em dos grupos:

36 6 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA modelos dferencas, os quas são descrtos por equações dferencas, e modelos ntegras, que são dados por equações ntegras. O prmero grupo é apresentado nesta seção, sendo que os modelos ntegras são tratados na seção..4. Os modelos dferencas podem ser obtdos a partr do modelo para fludo scoelástco lnear, na sua forma dferencal. As modfcações realzadas consstem na substtução das deradas em relação ao tempo pela derada conecta no tempo e/ou na nclusão de termos não-lneares e parâmetros nas equações. Estes podem também ser derados a partr da teora cnétca, sendo estes modelos mas satsfatóros em relação a representar o comportamento reológco destes materas. Alguns dos modelos que são mostrados na seqüênca, como o modelo de Oldrod-B (Oldrod, 95), o de Gesekus (Gesekus, 98) e o de Phan-Then-Tanner (Phan-Then, Tanner, 977), podem ser derados a partr dos concetos da teora cnétca. A defnção para a derada conecta no tempo do tensor das tensões é dada por: T { τ} { τ } D ( = τ (.5) Dt τ ) Generalzando, para a derada conecta de ordem n do tensor das tensões, temse: T { τ } { τ } D ( n ) = τ n n n Dt ( ) ( ) ( (.6) τ ) A defnção desta derada parte do prncípo que tensões são produzdas somente quando há deformação do materal, e não por smples rotação (Brd et al., 987, Macosko, 994). Estes modelos não estão lmtados a pequenas deformações como é o caso do modelo de fludo scoelástco lnear. São modelos mas realístcos, que permtem obter, no mínmo, nformações qualtatas em relação a efetos scoelástcos lneares e não-lneares em dersos escoamentos, dos mas smples aos mas compleos. Dependendo do modelo usado, pode-se chegar a boa concordânca das funções materas predtas com os alores reas, determnados epermentalmente. O modelo dferencal mas conhecdo e o mas smples, que combna efetos transentes e não-lneardades, é o modelo UCM (Upper-Conected-Mawell) (Oldrod, 95), obtdo pela generalzação do modelo de Mawell que descree a scoelastcdade lnear, sendo dado pela equação a segur. τ λτ = η () γ (.7) As constantes desta equação tem o mesmo sgnfcado do modelo lnear correspondente. Para pequenas deformações, os termos não lneares desaparecem e a derada

37 . - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDOS POLIMÉRICOS 7 conecta se reduz à derada substanta, e conseqüentemente, chega-se ao modelo de Mawell lnear. Outro modelo muto conhecdo é o de Oldrod-B (Oldrod, 95), também obtdo por generalzação do modelo correspondente para fludo scoelástco lnear, no caso, o modelo de Jeffres. τ λ τ = ηγ λ γ (.8) () () sendo γ a derada conecta de ordem do tensor da taa de deformação e λ um segundo () tempo de relaação. Estes dos modelos são capazes de predzer escoamentos transentes e efetos elástcos, porém predzem scosdade e coefcentes de tensões normas constantes (ndependentes da taa de deformação) e scosdade elongaconal nfnta sob determnadas taas de elongação fntas. A nclusão de termos não-lneares permte que os modelos também representem estas característcas, como por eemplo o modelo de Whte-Metzner (Whte e Metzner, 96), que é uma modfcação do modelo UCM. É nserda na equação, uma dependênca da scosdade com a magntude do tensor da taa de deformação, de forma análoga ao modelo para fludo newtonano generalzado. η( γ) τ τ () G = η( γ) γ () (.9) onde G é o módulo elástco. A antagem deste modelo é ser smples e predzer razoaelmente a dependênca da scosdade com a taa de deformação e o prmero coefcente de tensões normas. Não é recomendado para escoamentos lres de csalhamento, á que pode lear a scosdades elongaconas nfntas, fato ocorrdo também no modelo UCM e de Oldrod-B. Alguns modelos dferencas são (ou podem ser) escrtos em uma forma tal que a tensão é encarada como uma soma de duas contrbuções, uma newtonana e uma polmérca. Esta forma também surge naturalmente a partr da teora cnétca para soluções polmércas concentradas e polímeros funddos (Brd et al., 987). Pensando de outra manera, se tem uma superposção da contrbução do solente e do polímero no tensor das tensões. Desta forma, tem-se para o tensor das tensões: τ = τ τ (.) N P

38 8 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA onde dado por: τ corresponde à contrbução newtonana e N τ à contrbução polmérca. O termo P τ é N τ N = η N γ (.) onde η N é a contrbução newtonana para a scosdade. Já τ é dado de acordo com o modelo escolhdo. Para o modelo de Oldrod-B, P mostrado anterormente é dado pela equação (.8), tem-se a segunte equação: τ λτ P P() = η P γ (.) onde a constante η P é a contrbução do polímero para a scosdade e λ é o tempo de relaação. Outro modelo bem conhecdo, e que traz predções mas realístcas comparado aos anterores, é o de Gesekus (Gesekus, 98), que se caracterza por apresentar termos não lneares dados pelos produtos entre o tensor das tensões. Este é dado pela segunte equação: τ λτ P P() λ α η P { τ τ } P P = η P γ (.) A constante α é chamada de fator de mobldade, e está assocada com o momento brownano e arraste hdrodnâmco das moléculas de polímero no meo (Brd et al., 987). Com este modelo se obtém melhores resultados para escoamentos por csalhamento, comparado aos mostrados anterormente, porém, não traz bons resultados em escoamentos lres de csalhamento (Brd et al., 987, Macosko, 994). Um modelo muto usado em smulações numércas é o de Phan-Then-Tanner (Phan- Then e Tanner, 977), também chamado de PTT. Este modelo é obtdo a partr da teora de rede de soluções concentradas e polímeros funddos ( Network theor of concentrated solutons and melts ) (Brd et al., 987). Na sua forma smplfcada, chamada de SPTT, que é a mas usada, é dada por onde tr( τ ) é o traço do tensor P ( τ ) ελ tr τ λτ = ηp γ (.4) P P P() ηp τ, que lea em conta a energa elástca da rede e ε é uma P constante relaconada a taa de destrução da scosdade etensonal (Azaez et al., 996). Este modelo traz bons resultados para uma grande aredade de escoamentos, porém pode apresentar soluções espúras em alguns escoamentos, tal como no crescmento de tensões

39 . - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDOS POLIMÉRICOS 9 (Macosko, 994). Além dsso, no caso modfcado, predz a segunda dferença de tensões normas gual a zero. Uma lstagem mas completa de modelos para fludo scoelástco nãolnear, com uma maor abordagem, e até mesmo, comparações entre eles, podem ser encontrados em Brd et al. (987), Macosko (994) e Larson (988). O que se pode notar nos modelos dferencas, é que quanto maor a compledade do modelo, melhor a sua característca predta, porem maor o número de parâmetros. Estes podem ser estmados a partr de epermentos reológcos lneares e não lneares. Os modelos dferencas não descreem muto bem a scoelastcdade lnear, mesmo que este sea o ponto de partda para o desenolmento destes modelos. Isto se dee ao fato do modelo ter apenas um tempo de relaação. Este problema pode ser contornado reformulando a equação passando-a para a forma ntegral, de forma a nclur mas de uma constante de tempo. A outra opção é realzar uma superposção de modelos, cada qual com uma constante de tempo característca (mult-modos), e tomando a tensão como a soma das contrbuções de cada modo. Esta últma opção não é muto atraente, pos o número de equações e de aráes do problema aumenta consderaelmente, tornando náel a obtenção de soluções numércas...4. Fludo scoelástco não-lnear Modelos ntegras Estes modelos, assm como os dferencas, são obtdos a partr da modfcação do modelo para scoelastcdade lnear, porém são escrtos na forma de uma equação ntegral. Os modelos conhecdos como quas-lneares consstem na modfcação do modelo lnear atraés da substtução do tensor da deformação nfntesmal γ(t,t ) por um dos tensores da deformação relata, defndos por (Brd et al., 987): γ [ ( r, t, t' ) = δ ] m ' m ' m, γ [] ( r, t, t' ) = δ m ' m ' m (.5) onde r = r(,, ) é a posção de uma partícula de fludo em um tempo t, t é um nstante de tempo anteror a t e δ é o operador delta de Kroenecker. De acordo com dferentes teoras moleculares e comparações com epermentos, a forma mas aproprada ao uso nos modelos dferencas é a γ ( t, t' ) (Brd et al., 987). O sgnfcado do uso deste tensor é análogo ao sgnfcado do uso da derada conecta em modelos dferencas. []

40 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Assm, a forma geral para os modelos ntegras quas-lneares é a segunte: τ = t M ( t t') γ [] ( t, t') dt' (.6) Onde M(t-t ) é a função memóra. No lmte para pequenos gradentes de deslocamento, a equação se torna gual ao modelo scoelástco lnear. A função memóra caracterza cada tpo de modelo, assm como no caso lnear. O modelo de Lodge (Lodge, 964), que é o mas smples, e análogo ao modelo UCM na forma dferencal, é dado por: η t t' M ( t t ) = ep λ (.7) λ Este modelo corresponde anda à forma não-lnear do modelo de Mawell para scoelastcdade lnear, dado por (.). Suas lmtações são as mesmas do seu correspondente na forma dferencal. Para chegar a modelos não lneares, basta ntroduzr não lneardades na equação (.6), como por eemplo narantes do tensor da deformação de Fnger (Brd et al. 987) na função memóra, produtos do termo γ ( t, t' ), entre outras possbldades. [] Um eemplo, e um dos mas conhecdos, é a equação K-BKZ fatorzada (Kae, 96, Bernsten, Kearsle e Zapas, 96), do qual se deram dersos modelos. Nestes modelos, a função memóra é fatorada por um termo dependente do tempo e um termo dependente da deformação. Dos eemplos são mostrados a segur. O prmero é o modelo de Wagner (Wagner, 979) e o segundo é o modelo PSM (Papanastasou-Scren-Macosko), de Papanastasou et al. (98). τ = τ = t t k a λ k e a λ k k e ( tt ) / λ k e α ( βi (β ) I C ) α ( α ) βi C.5 C ( β) I ( t') dt' k ( tt ) / λ k k C C C ( t' ) dt' (.8) (.9) onde a k e λ k são o coefcente de módulo de relaação e o tempo de relaação do modo k, onde k é um número ntero fnto, α e β são constantes materas, I C e I C - são os prmeros narantes do tensor de Cauch-Green C e de sua nersa, o tensor da deformação de Fnger C -, respectamente. A defnção e o sgnfcado destes tensores, que são relaconados com o tensor da deformação relata, podem ser encontrados em Macosko (994) e Brd et al. (987). Estes modelos se caracterzam por nclur a scoelastcdade lnear completamente e têm grande aplcação na smulação de escoamentos scoelástcos e na determnação de funções materas. Estes modelos geralmente apresentam melhores predções quanttatas

41 . - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDOS POLIMÉRICOS comparados aos modelos dferencas, e são mas completos em relação ao número e tpos de funções materas predtas. Porém, não são perfetos, pos não predzem corretamente algumas funções materas, e alguns modelos, para alguns epermentos, leam a resultados ncoerentes do ponto de sta físco. Do ponto de sta numérco, obter soluções com modelos ntegras é uma tarefa mas dfícl comparado aos modelos dferencas, porém, leam a melhores resultados...5. Seleção de uma equação consttuta Foram apresentados nas seções anterores os dferentes grupos de equações consttutas, e pôde-se er que nenhuma equação consegue descreer todo o comportamento reológco dos fludos polmércos adequadamente. Ou sea, não este uma equação consttuta mult-propósto, que permta predzer seguramente qualquer uma das característcas reológcas do fludo e que possa ser empregada em qualquer stuação. Estem sm, dferentes tpos de equação, sendo capazes de predzer apenas um lmtado conunto de propredades. Em geral, quanto maor a compledade de um modelo, maor o número de propredades predtas, e melhor a qualdade dos resultados obtdos. Porém, o esforço matemátco necessáro para a resolução do problema aumenta consderaelmente. Portanto, a escolha de uma equação consttuta na resolução de um dado problema dee lear em conta todos estes fatores: qual o tpo de função materal a ser predta ou o tpo de função materal de maor mportânca no processo; necessdade da obtenção de resultados qualtatos ou quanttatos; precsão requerda nas predções; tratamento numérco das equações e esforço computaconal requerdo para a resolução. Neste trabalho são usadas duas equações consttutas dferencas. Uma delas é o modelo de Oldrod-B, e o outro, o modelo de Phan-Then-Tanner smplfcado. Estes foram escolhdos pelo fato de serem dos dos mas usados na lteratura em smulações numércas. Além do mas, o modelo de Phan-Then-Tanner é um dos que trazem melhores resultados dentre os modelos dferencas. Outro moto, é que estes modelos contém em suas equações os termos não lneares mas comuns que aparecem em modelos dferencas em geral, de modo que a metodologa a ser desenolda sea de fácl etensão ao uso de outras equações consttutas pertencentes a este grupo.

42 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.. Metodologa para resolução numérca do problema Como sto no níco deste capítulo, o modelo matemátco consste nas equações de conseração de massa e de quantdade de momento ((.) e (.)) e uma equação consttuta, escolhda dentre as dersas opções mostradas no tem.. Dee ser resoldo assm, um sstema de equações dferencas parcas não lneares, tal que a solução satsfaça as condções de contorno mpostas. A obtenção de soluções analítcas para estas equações é, na maora dos casos, mpossíel ou mpratcáel, sendo possíel apenas para stuações onde são fetas dersas apromações. Para os demas casos se torna necessára a aplcação de um método numérco para a resolução das equações. Uma ez defndo o sstema de equações a ser resoldo, o prmero passo no procedmento de resolução numérca deste problema é a dscretzação do domíno e das equações dferencas. Em outras palaras, as equações dferencas são apromadas por um sstema de equações algébrcas (smulação estaconára) ou de equações algébrco-dferencas (smulação transente), sendo estas localzadas em um conunto de pontos ou regões dscretas no espaço e no tempo, compondo o que se chama de malha computaconal. O passo segunte é então a resolução do sstema de equações gerado, obtendo assm os alores para as aráes nas regões ou pontos dscretos crados pela dscretzação do espaço ao longo do tempo. De posse desta solução, pode-se fazer uma análse do problema estudado atraés do tratamento dos dados e do uso de ferramentas gráfcas. No prmero caso, pode-se ctar cálculo de azões e taas de transferênca, cálculo da função corrente e da ortcdade, forças sobre corpos (arraste, sustentação, etc), entre mutos outros eemplos. No segundo caso, construção de gráfcos de curas ou superfíces de níel, perfs em dferentes regões do domíno, gráfcos anmados em problemas transentes, entre outros. Estem dersos métodos para a dscretzação de equações dferencas parcas. Os mas conhecdos e usados em CFD são o método das dferenças fntas, método dos olumes fntos, método dos elementos fntos e método espectral (Malska, 995, Ferzger e Perc, 999, Fletcher, 988). Cada um destes métodos possu suas antagens, desantagens e possbldade de aplcação, sendo assm dfícl afrmar se um deles é melhor que os outros. Neste trabalho, a opção fo pelo método dos olumes fntos, dedo às suas característcas, que são dscutdas na seqüênca. O método dos olumes fntos é amplamente usado em Mecânca de Fludos Computaconal para a solução de problemas de escoamentos compressíes e ncompressíes, para fludos newtonanos e não-newtonanos (Patankar, 98, Malska, 995, Ferzger e Perc, 999). O sucesso deste método se dee à sua característca de manter a conseração das propredades em níel de olumes elementares, sua robustez, ersatldade e relata

43 . - METODOLOGIA PARA RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA facldade de mplementação computaconal. Pode ser empregado em geometras smples, com malhas ortogonas e mesmo em geometras compleas, com malhas não-ortogonas, utlzando a técnca de coordenadas generalzadas. Mutos pacotes comercas utlzam olumes fntos, como por eemplo o CFX (AEA Technolog, ) e o Phoencs (CHAM, ). A relação dreta do método de dscretzação com o conceto físco de conseração das propredades no olume faz com que este sea fácl de ser entenddo e assmlado, comparado ao método dos elementos fntos, por eemplo. Dee-se a sto o grande sucesso e utlzação deste método por engenheros em dersas áreas (Versteeg e Malalasekera, 996, Ferzger e Pèrc, 999). A antagem prncpal do método dos olumes fntos em relação à dferenças fntas também é o fato de manter a conseração das propredades em cada olume. Porém, uma desantagem frente ao mesmo é a dfculdade na utlzação de esquemas de nterpolação de mas alta ordem, especalmente em três dmensões. Isto se dee à necessdade de dos níes de apromação no método dos olumes fntos: ntegração e nterpolação. Nas seções a segur são melhores eploradas as etapas da metodologa numérca, focada no método dos olumes fntos: dscretzação, apromação dos fluos médos e resolução do sstema de equações resultante. Para eemplfcação da metodologa, é usada a equação (.), cua forma é uma generalzação das equações de transporte (massa, quantdade de momento, energa, etc.). A equação abao é álda para um escoamento bdmensonal, em coordenadas cartesanas (, ) e em estado estaconáro: ( ρ ) ( ρ ) = Γ Γ (.) onde é a aráel dependente, que pode ser a elocdade (conseração de quantdade de momento) ou a temperatura (conseração de energa), por eemplo, ρ é a massa específca e Γ é uma propredade de transporte.... Dscretzação do espaço e arrano das aráes Para a aplcação do método dos olumes fntos, dee-se prmero ddr o domíno em um determnado número de olumes elementares ou olumes de controle, ou sea, crar uma malha computaconal. Neste trabalho, são usadas somente malhas cartesanas. Dee-se defnr então o arrano das aráes no olume, ou sea, a localzação destas nos olumes.

44 4 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Estem dos tpos de arranos usados. Um deles é o arrano co-localzado, no qual todas as aráes do problema estão localzadas no centro dos olumes. O outro é o arrano desencontrado, no qual duas ou mas aráes estão localzadas em posções dferentes do olume. Para eemplfcar os dos arranos, usamos o problema de escoamento de um fludo newtonano em duas dmensões, no qual tem-se as duas componentes da elocdade e a pressão como aráes dependentes. A lustração destes arranos são mostrados na Fgura.. Fgura.. Arranos (a) co-localzado e (b) desencontrado para as aráes, e p. A opção natural é o uso do arrano co-localzado, porém, uma prátca comum é utlzar uma malha desencontrada na qual a pressão é localzada no centro do olume e as elocdades nas nterfaces do olume. O uso do arrano desencontrado fo muto usado durante anos no método de olumes fntos dedo ao trabalho ponero de Patankar (98), o qual defenda a déa de que soluções osclatóras para a pressão podem ocorrer usando o arrano co-localzado. Esta possíel dfculdade pode ser contornada usando a técnca conhecda por nterpolação de momento, déa desenolda por Rhe e Chow (98), e posterormente aperfeçoada por outros autores (Maundar, 988, Mller and Schmdt, 988). O método de nterpolação de momento consste em fazer com que a elocdade nas nterfaces, necessáras para o cálculo dos fluos adectos nestas, dependa das pressões nos olumes znhos, mtando o arrano desencontrado. Desta forma, as elocdades nas nterfaces são calculadas a partr de uma equação que satsfaça esta condção, obtda a partr das equações de conseração de quantdade de momento. Com o arrano co-localzado, o uso de coordenadas generalzadas se torna mas smplfcado, podendo-se estender mas faclmente o uso do método dos olumes fntos a problemas em geometras mas compleas. A mplementação de condções de contorno se torna relatamente mas smples, pos não há problemas de meos-olumes prómos ao

45 . - METODOLOGIA PARA RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA 5 contorno. Além do mas, o emprego de técncas de malhas múltplas (multgrd) só se tornam áes usando este tpo de arrano (Perc et al., 988). Outro eemplo de uso do arrano desencontrado surge na resolução de problemas enolendo o escoamento de um fludo não-newtonano, no qual as componentes do tensor das tensões são tomadas como aráes. Problema smlar ao que ocorre com o acoplamento pressão-elocdade pode ocorrer com o acoplamento tensão-elocdade, causando assm, a ocorrênca de perfs osclatóros. Para etar este problema, as tensões e as elocdades são localzadas em pontos dferentes, assm como é feto para a pressão. Pode-se usar uma metodologa análoga à nterpolação de momento para contornar estes problemas com o uso do arrano co-localzado, como pode ser sto em Olera et al. (998). Neste trabalho é adotado o arrano co-localzado, dedo aos motos ctados. Toda a abordagem daqu em dante é referente a este tpo de arrano, apesar de mutos pontos serem análogos para ambos os arranos.... Dscretzação das equações O método dos olumes fntos se basea na aplcação das les de conseração em níel de olumes elementares do domíno a ser estudado. Desta forma, o domíno dee então ser dddo em olumes, sendo que para cada um destes são obtdas equações de conseração, que se apresentam na forma de equações algébrcas (smulação estaconára) ou equações algébrco-dferencas ordnáras (smulação dnâmca), e não mas equações dferencas parcas. Estas equações formam um sstema que dee então ser resoldo para se obter os alores das aráes deseadas em cada olume. Fgura.. Volume elementar genérco e notação dos índces relatos às nterfaces e pontos centras. A prncípo o conceto de olume se aplca a uma forma em três dmensões. Porém, quando for tratado do método dos olumes fntos, sea em uma ou duas dmensões, as dsões da regão dscretzada serão sempre tratadas como olumes fntos.

46 6 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Para lustrar a etapa de dscretzação, consdere a equação (.), a ser dscretzada para o olume fnto mostrado em destaque na Fgura.. A equação de conseração para o olume é obtda partndo da equação na forma dferencal, e ntegrando-a no olume elementar consderado: ( ) ( ) Γ Γ = ρ ρ dd dd dd dd (.) A resolução das ntegras conduz à uma epressão contendo as taas de transferênca adecta e dfusa nas nterfaces. As taas de transferênca nas nterfaces e do olume consderado na Fgura., paralelas à e à, respectamente, são defndos como: α α = ), ( d f f (.) α α = ), ( d f f (.) onde f = ρ ξ para o transporte adecto e f = ξ Γ para o transporte dfuso da propredade, nas nterfaces ortogonas a uma dada dreção ξ. As grandezas dadas por f e f correspondem aos fluos médos de f nas nterfaces e. De acordo com estas defnções, a equação (.) pode ser escrta como: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] Γ Γ Γ Γ = ρ ρ ρ ρ (.4) Desta forma, a epressão resultante contém as taas de transferênca adectas F A(k) = ( ) η ρ η ξ k e dfusas F D(k) = η ξ Γ η k na nterface k, sendo η a dreção paralela e ξ a dreção ortogonal à nterface. A equação (.4) pode ser rescrta então como: [ ] [ ] [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D D D D A A A A F F F F F F F F = (.5)

47 . - METODOLOGIA PARA RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA 7 A próma etapa do método dos olumes fntos é determnar o alor destas taas nas nterfaces, que se resume na determnação dos fluos médos nas nterfaces. Para tanto, deese fazer duas apromações: a prmera consste em apromar a ntegral correspondente ao fluo médo em termos dos alores de f em um ou mas pontos na nterface; na seqüênca, os alores de f nestes pontos localzados nas faces deem ser apromados em termos dos alores das aráes no centro dos olumes. Estem dferentes formas de se fazer estas apromações, tanto para a prmera como para a segunda etapa. São mostradas nos tens a segur, duas metodologas para as apromações: a conenconal, mas usada em trabalhos que usam o método dos olumes fntos, baseada em apromações de baa ordem para os fluos médos, e uma proposta por Kobaash (999), baseada em apromações de alta ordem para os mesmos fluos.... Apromação dos fluos médos: metodologa conenconal A apromação mas smples e também a mas usada, consste em tomar o fluo médo de f na nterface paralela a dreção η como o alor do fluo no ponto central da nterface, sendo que esta é uma apromação de a ordem. η f = η η η fd f (.6) η onde f ( ρ ) = ξ e f = Γ são respectamente os fluos adecto e dfuso médos ξ na nterface, fk = ( ρξ) k e f k = Γ são respectamente o alor do fluo adecto e ξ k dfuso no ponto k da nterface, sendo ξ a dreção normal à nterface. Para se obter uma apromação de maor ordem na ntegração, pode-se usar a regra de Smpson, por eemplo, utlzando mas de dos pontos na apromação. No eemplo abao, é feta uma apromação deste tpo para o fluo médo em uma frontera, utlzando o ponto central e os dos etremos da nterface: η = η η η η η fd f 4 f f 6 η f (.7) Uma ez apromada a ntegral, dee-se obter os alores para f k em termos dos alores das aráes no centro de um ou mas olumes znhos, sendo sto feto por funções de

48 8 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA nterpolação. A defnção para o alor médo no olume, centrado no olume, de acordo com olume elementar genérco da Fgura., é a segunte:, = ( β, α) dαdβ (.8) Geralmente, o alor da aráel no ponto central é consderado gual ao alor médo desta no olume, ou sea, uma apromação de a ordem. Os esquemas de nterpolação mas utlzados no método dos olumes fntos consstem em apromações de a ou a ordem para f k, ou melhor, para as aráes e suas deradas, assumndo que o campo de elocdades e as propredades ρ e Γ são conhecdas em qualquer ponto do domíno. Estas apromações são usadas untamente com a apromação (.6) para a ntegral, ou sea, o alor médo na nterface é gual ao alor no centro da nterface. Para eemplfcar as funções de nterpolação que são mostradas a segur, é consderada a apromação da aráel em uma nterface, paralela à dreção, sendo a elocdade na dreção ortogonal à nterface. Os esquemas de nterpolação mas smples são o de dferenças centras de a ordem (CDS central dfferencng scheme ) e o upwnd (UDS upwnd dfferencng scheme ) (Patankar, 98, Malska, 995, Ferzger e Perc, 999). O esquema UDS consste em tomar o alor da aráel na nterface gual ao alor da aráel em um dos dos pontos znhos, dependendo da dreção do escoamento. = = > < (.9) Este esquema é muto usado por ter a antagem de garantr establdade ncondconal no processo de solução, porém sua lmtação é a baa precsão na apromação ( a ordem) e o efeto de dfusão numérca (Patankar, 98, Ferzger e Perc, 999), mas pronuncado em escoamentos na qual as lnhas de corrente estão em uma dreção oblíqua à malha. Uma déa natural é utlzar uma nterpolação lnear para obtenção do alor da aráel na nterface a partr dos alores nos nós znhos. Este esquema corresponde ao CDS e tem uma maor precsão ( a ordem) quando comparado ao UDS, porém pode proocar osclações na solução e nstabldade numérca em escoamentos domnados por conecção. = (.4)

49 . - METODOLOGIA PARA RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA 9 A partr deste dos esquemas pode ser gerado um esquema conhecdo como híbrdo (HDS hbrd dfferencng scheme ), no qual, dependendo do número de Renolds (ou número de Peclet) do olume, é utlzado um ou outro esquema, aproetando a característca de establdade do UDS e de maor precsão do CDS. O esquema LUDS ( Lnear Upwnd Dfferencng Scheme ) (Ferzger e Perc, 999), que é de a ordem, também combna estas característcas (apromação upwnd a ordem), porém em uma únca epressão, usando para tanto dos pontos à usante ou à montante para a apromação em uma face. = = 5 > < (.4) Outro esquema muto usado, que traz maor precsão, é o QUICK ( Quadratc Upwnd Interpolate Conecton Knematcs ) (Leonard, 979), que é de a ordem para malhas unformes e, toma dos pontos à montante e um a usante da nterface na apromação, ou ce-ersa, dependendo da dreção do escoamento. = = > < (.4) Porém, se a apromação feta para o alor médo na nterface é de a ordem, a precsão global do método fca de a ordem, sendo que a dferença entre os resultados obtdos com o uso deste esquema e outro de a ordem ctado acma é pequena. Pode-se consegur uma maor precsão leando em conta também apromação de termos na dreção transersal, como sto em Arampatzs e Assmacopoulos (994). O número de pontos nodas enoldos na apromação é bem maor dedo aos termos de deradas cruzadas que surgem na apromação de maor ordem. Neste trabalho são mostrados problemas onde o erro relato entre os resultados para a apromação conenconal e a proposta dferem em até 9%, sendo esta últma a melhor. Apesar dos esquemas LUDS e QUICK melhorarem a precsão dos resultados, trazem problemas de conergênca e de establdade, resultando na formação de osclações rreas e oershoots na solução para determnadas stuações (Versteeg e Malalasekera, 996). É possíel que o alor da aráel na nterface sea maor que nos pontos usados na apromação, gerando soluções não lmtadas. Para alar estes efetos, foram crados esquemas de nterpolação chamados de HRS ( Hgh Resoluton Schemes ), que leam em conta um crtéro de establdade, chamado de CBC ( Conecton Boundedness Crteron ), crado por Gaskell e Lau (988). Este tpo de esquema de nterpolação tem a característca de

50 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA combnar dferentes esquemas em um só, de modo a obedecer o crtéro ctado, etando assm, a obtenção de soluções com oershoot e mantendo a precsão dos esquemas orgnas. Eemplos destes esquemas, são o SMART (Gaskell e Lau, 988) e o MINMOD (Harten, 98). O prmero aproeta a establdade ncondconal do UDS e a maor precsão apresentada pelo QUICK, á o segundo, combna as qualdades do UDS, o CDS e do LUDS, respetando o crtéro CBC. Estes esquemas leam a uma melhor precsão e qualdade dos resultados, elmnando os nconenentes trazdos pelos esquemas orgnas, porém a ordem de apromação permanece a mesma dos esquemas orgnas. Estem anda esquemas que leam em conta o número de dmensões do problema, de modo a etar os erros dedo ao uso de esquemas undmensonas em problemas bdmensonas, por eemplo, que em outras palaras, é a dfusão numérca (Malska, 995). Um eemplo, dado por Rathb (976), é o SUDS (Skew Upstream Dfferencng Scheme). Este esquema faz com que a nterpolação estea alnhada com a dreção do etor elocdade, e não com as lnhas da malha. O nconenente deste método é sua compledade, dedo as mutas possbldades de dreção e sentdo do escoamento e necessdade de dersas nterpolações. Além do mas, pode produzr osclações na solução em malhas mas grosseras, e dedo a todos estes fatores, é pouco utlzado (Ferzger e Perc, 999). Para a apromação dos fluos dfusos médos (ou anda, da derada), geralmente se utlza dferenças centras de a ordem: = (.4) Esquemas de nterpolação de ordem mas eleadas tem sdo pouco eploradas no método dos olumes fntos. Um eemplo de esquema de 4 a ordem fo apresentado por Llek e Perc (995). Foram fetas comparações entre resultados obtdos com os esquemas UDS e CDS e o esquema de 4 a ordem proposto, usando ntegração de a e de 4 a ordem na apromação dos fluos médos. Para manter a ordem global da apromação, dee se usar uma apromação da mesma ordem para a ntegral no cálculo dos fluos médos. Para malhas mas grosseras, a solução obtda pelo esquema de 4 a ordem apresentou osclações, e somente em malhas refnadas o esquema de 4 a ordem se mostrou superor. Para fnalzar, pode-se er que, após aplcar os dos níes de apromações, ou sea, dos fluos médos em termos dos alores das aráes nas nterfaces, e das aráes nas nterfaces em termos das aráes nos centros dos olumes, as equações dscretzadas passam a ser escrtas em termos destas últmas.

51 . - METODOLOGIA PARA RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA..4. Apromação dos fluos médos: metodologa de alta ordem baseada em alores médos Uma outra alternata para a determnação dos fluos médos nas nterfaces é dada por Kobaash (999). Estes são obtdos dretamente a partr dos alores médos nos olumes, sendo possíel tomar apromações de qualquer ordem. Nesta metodologa, os fluos médos podem ser apromados por epressões do tpo: = m a k k = k n b (.44) k k = k onde m e n dependem da ordem de apromação deseada. Estes esquemas de nterpolação de alta ordem são obtdos pelo segunte procedmento. Escolhda a ordem de apromação, toma-se a epansão em sére de Talor para em torno de um ponto (, ), truncadas na mesma ordem. Esta apromação é nserda nas epressões para os fluos médos, dadas por (.), e na epressão para os alores médos nos olumes, dados por (.8). Estas por sua ez, são nserdas na função de nterpolação, que tem a forma dada por (.44). São gualados os termos de ambos lados da equação que contenham o mesmo fator comum, e obtém-se assm os alores dos coefcentes a k e b k da função de nterpolação. Estes esquemas são chamados neste trabalho de esquemas de nterpolação de Lagrange. Os esquemas de nterpolação deste tpo a serem usados são apresentados no capítulo 4, e a metodologa de obtenção dos coefcentes para estes é lustrada no apêndce. Durante todo o processo de resolução se trabalha com os alores médos das aráes no centróde do olume, e não com os alores pontuas, como na metodologa conenconal. Estes são obtdos a partr dos alores médos após o fnal da resolução, na etapa de pósprocessamento, por um processo de deconolução, descrto no apêndce. Esta metodologa smplfca o método como um todo, pos reduz o número de pontos znhos na apromação para uma dada ordem, comparando com esquemas conenconas, e eta a necessdade de ntegrações para reconstrução polnomal, o que ocorrera com a utlzação de alores pontuas (Kobaash, 999, Perera et al., ). Dentro desta metodologa, podem ser anda utlzados esquemas compactos, também chamados de esquemas de nterpolação de Padé. Os esquemas compactos de nterpolação, que por natureza são de alta ordem, surgram dentro do método de dferenças fntas, para a smulação de escoamentos turbulentos. Estes esquemas, comparados aos esquemas de nterpolação tradconas, leam a uma melhor representação de curtas escalas de comprmento, o que é deseado em smulações numércas dretas (DNS) de escoamentos turbulentos (Lele, 99). Esta é uma característca de métodos espectras, porém, estes são lmtados a geometras e condções de contornos smples. O uso de esquemas compactos lea

52 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA à uma resolução tpo espectral, sendo mas smples de se trabalhar, comparado aos métodos espectras, e permtndo o uso de geometras e condções de contorno mas compleas (Lele, 99, Prrozol, ). O nteresse no uso deste esquema aumentou a partr do trabalho de Lele (99), tendo crescdo nos últmos anos. Porém, seu uso na metodologa de olumes fntos é anda pouco eplorado, sendo utlzado em problemas de eletromagnetsmo por Gatonde e Shang (997) e em mecânca de fludos por Perera et al. (). Uma famíla de esquemas compactos de ordem par para uso no método dos olumes fntos é apresentada em Kobaash (999). Estes esquemas tem uma melhor resolução e melhor precsão global comparados aos esquemas na forma eplícta, como os dados por (.44), com a mesma ordem de precsão. Neste trabalho fo feto anda um amplo estudo quanto à ordem de precsão, resolução espectral, condções de contorno e establdade para os dos tpos de esquema. O esquema de nterpolação compacto é dado por equações do tpo: m a k k= k m a k k = k = n b k k = k n b k k = k (.45) Note que por esta forma geral se obtém apenas esquemas centrados, porém, podem ser obtdos também esquemas upwnded, ou sea, tomando a apromação usando mas pontos por um lado do que pelo outro. Como se tem relações mplíctas entre os alores médos na nterface e nos centros, para a determnação dos prmeros se necessta resoler um sstema de equações. Porém, pelo fato da matrz resultante apresentar uma estrutura de banda (trdagonal ou pentadagonal), não há maores dfculdades para a resolução, podendo ser empregados métodos específcos que são rápdos e econômcos, como por eemplo o TDMA( Tr-Dagonal-Matr- Algorthm ) de Thomas (Patankar, 98)...5. Solução das equações dscretzadas Após a dscretzação e apromação dos fluos médos, chega-se a um conunto de equações, que ao serem resoldas, permtem obter o alor das aráes nos centros dos olumes, caso usada a metodologa conenconal, ou o alor médo das aráes nos olumes, caso sea usada a metodologa de alta ordem. O sstema de equações algébrcas resultantes é formado por equações não lneares. Pode-se segur dos camnhos para a resolução deste sstema. Um deles consste em lnearzar as equações e usar um procedmento terato (terações de Pcard), no qual um ou mas sstemas de equações lneares são resoldos a cada teração, partndo de uma apromação

53 . - METODOLOGIA PARA RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA ncal até que sea obtda a conergênca. O outro é aplcar o método de Newton na resolução do sstema não-lnear. Em cada teração deste método, se torna necessáro também resoler sstemas de equações algébrcas lneares. Como pode-se er, qualquer que sea o método utlzado, o ponto chae na resolução do sstema de equações é um efcente método de solução de sstemas lneares. Estes métodos podem e deem aproetar a estrutura da matrz das equações do sstema, que geralmente é esparsa, tornando o procedmento de solução mas efcente. Para casos mas específcos, como matrzes com estrutura de banda, pode-se usar métodos dreconados, como o TDMA de Thomas (Patankar, 98), típcos para matrzes trdagonas e podendo ser estenddo à matrzes pentadagonas. De um modo geral, tem-se duas classes de métodos para a resolução do sstema lnear: métodos dretos e métodos teratos. Os métodos dretos são os que trabalham com a nersão da matrz completa, nos quas se enquadram a elmnação gaussana e fatorzações (LU, Cholesk, etc.). Estes métodos são pouco usados em problemas de CFD por ter um custo computaconal eleado, sendo proporconal a N, onde N é o número de equações (e aráes) do sstema. Os métodos teratos são baseados na aplcação de um procedmento sstemátco, repetdo dersas ezes, partndo de um chute ncal e conduzndo à solução deseada. Estes métodos são mas econômcos, pos requerem um número menor de operações e de memóra computaconal, sendo portanto amplamente usados em CFD, desde que sua conergênca sea relatamente rápda. Eemplos são os métodos de Jacob,Gauss-Sedel, sobre-relaações sucessas (uma aração do Gauss-Sedel) e métodos de mnmzação, como o método dos resíduos generalzado (GMRES), método do gradente conugado e seus derados, tal como o CGSTAB (gradentes conugados establzado), entre mutos outros. Um outro ponto a ser analsado é a forma como o sstema de equações dscretzadas proenente de problemas de CFD é resoldo: de forma acoplada ou segregada. No prmero caso, todas as equações do sstema são resoldas smultaneamente, o que pode ser feto a prncípo de duas maneras. Pode-se resoler o sstema não-lnear dretamente por um método tpo Newton. Neste procedmento, o acoplamento entre as aráes é garantdo, não necesstando tratamento adconal algum, como a geração de noas equações a partr das equações do modelo, usada no procedmento segregado. A outra opção é usar um procedmento terato, no qual as equações são lnearzadas em torno da solução da teração anteror, sendo os coefcentes do sstema atualzados a cada teração. No procedmento segregado, como o nome á dz, cada sstema de equações é resoldo nddualmente, em um processo terato, até que se obtenha a conergênca. As equações são lnearzadas, de forma que são resoldos apenas sstemas de equações lneares a cada teração. Na resolução de um sstema para obtenção de uma dada aráel, são utlzados os últmos alores calculados das demas aráes. Na resolução das equações e/ou na atualzação das aráes são usados fatores de relaação, dos quas o desempenho do método

54 4 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA é fortemente dependente. Nesta metodologa se enquadra anda a formulação pseudotransente, no qual o termo dependente do tempo também é dscretzado. As equações são resoldas até que o estado estaconáro sea atngdo. Esta formulação é totalmente análoga a ctada anterormente, no qual a relaação tem o papel do passo de tempo, ou sea amortecer o processo e conduzr a solução até a conergênca. Anda em relação ao procedmento segregado, para escoamentos ncompressíes, que corresponde aos problemas a serem resoldos neste trabalho, surge uma dfculdade adconal, que é a falta de uma equação no sstema para a obtenção da pressão de forma eplícta. Esta aráel aparece nas equações de quantdade de momento, que são as quas se resole para as elocdades, mas não aparece na equação que completa o modelo, que é a equação da contnudade. Para contornar este problema, geralmente obtém-se uma equação de Posson para a pressão a partr da equação de conseração de massa e das equações do momento. O obeto é determnar um campo de pressões que nserdo nas equações de conseração de momento, lee a um campo de elocdades que satsfaça a conseração de massa. É nesta déa que se baseam os métodos mplíctos de correção de pressão, amplamente utlzados na lteratura com o método de olumes fntos. Os prncpas são o SIMPLE (Patankar e Spaldng, 97), e seus derados, SIMPLER (Patankar, 98) e SIMPLEC (Van Doormal e Rathb, 984), e também o PRIME (Malska, 995) e o PISO (Issa, 986). A resolução do sstema de forma acoplada é a opção natural. É a metodologa mas robusta e adequada à problemas nos quas as não lneardades são de grande mportânca, o que é o caso dos problemas em questão, especalmente, quando se resole equações consttutas scoelástcas dferencas (Fortn e Fortn, 99). Neste tpo de problema, a formulação segregada pode apresentar problemas de conergênca, que são nerentes à sua própra natureza, de tratar de forma não acoplada as equações. Porém, a metodologa de solução acoplada tem um maor custo computaconal enoldo, quando comparado à metodologa segregada, o que fez com que por mutos anos, a últma opção fossa usada pela grande maora da comundade centífca que trabalha com CFD. Contudo, com as maores capacdades de memóra e elocdade de processamento dos computadores atuas, mesmo em pequenas estações de trabalho, esta desantagem pode ser menos mportante. Uma comparação entre as duas metodologas pode ser encontrada em Hanb et al., (996), no qual cada uma se mostrou melhor para determnados problemas. Porém como o própro trabalho afrma, esta comparação não é conclusa em relação a decdr qual delas é a melhor, sto que o desempenho de cada uma depende muto do problema e de outros pontos característcos da metodologa. Estes pontos correspondem aos fatores de relaação utlzados pela apromação segregada, e no caso da acoplada, o método de solução dos sstemas lneares e escolha da matrz de pré-condconamento.

55 .4 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5.4. Resão Bblográfca Os prmeros trabalhos na smulação de fludos scoelástcos datam da segunda metade da década de 7, haendo um grande crescmento na década de 8. Os métodos numércos mas utlzados nestes trabalhos são o método das dferenças fntas, método dos olumes fntos e o método dos elementos fntos. O método das dferenças fntas fo o prmero a ser empregado, nos trabalhos poneros de Crochet e Plate (976) e Perera e Walters (977). Este método contnuou a ser eplorado nos anos seguntes (Daes et al., 979, Cochrane et al., 98, Cho, 988), mas seu uso fo dmnundo, em faor do método dos elementos fntos e dos olumes fntos. O método mas utlzado e mas eplorado para a smulação de escoamentos de fludos scoelástcos é o método dos elementos fntos, sendo que os prmeros trabalhos a utlzahlos foram os trabalhos de Kawahara e Takeuch (977), Caswell (979), Crochet e Bez (979), Crochet e Keunngs (98) e Vrauthakorn e Caswell (98). Algumas dfculdades foram encontradas nestes trabalhos, que consstam em nstabldade numérca dedo às apromações usadas para os termos adectos e na ncapacdade de obtenção de soluções quando a elastcdade passa ter maor mportânca, ou sea, em números de Wessenberg prómos da undade. Nos anos subsequentes, passaram a ser usadas dferentes formulações, de modo a contornar os problemas encontrados ctados acma. Uma resão completa de todos os desenolmentos que foram fetos a partr destes trabalhos ncas podem ser encontrados em Crochet et al. (984) e Keunngs (989). Uma resão mas atual, que contempla trabalhos em um período posteror a estas prmeras resões, pode ser encontrada em Baaens (998). O desenolmento de noas metodologas em elementos fntos para aplcação em escoamentos de fludos scoelástcos é uma assunto anda muto eplorado, porém não é dscutdo aqu, sto que este método não fo utlzado no trabalho em questão. Após o uso dos métodos das dferenças fntas e elementos fntos terem se consoldado na área de smulação de escoamentos de fludos scoelástcos, uma noa alternata passou a ser usada, no níco da década de 9. Esta alternata fo o método dos olumes fntos, á consagrado nesta época dentro da mecânca de fludos computaconal para fludos newtonanos. Era natural que sto acontecesse, dedo às dersas antagens trazdas por este método comparado aos demas, assunto dscutdo em seções anterores. Os prmeros trabalhos usando o método dos olumes fntos (Hu e Joseph, 99, Yoo e Na, 99, Sasmal, 995, Xue et al., 995) tnham em comum a utlzação de funções de nterpolação de prmera ordem na apromação do termo adecto, a utlzação do arrano desencontrado e de métodos segregados baseados em equações de correção de pressão, como o SIMPLE (Patankar e Spaldng, 97) e o SIMPLER (Patankar, 98). Como sto neste capítulo, o arrano co-localzado possu algumas antagens em relação ao arrano desencontrado. Este prmero também fo empregado, como pode ser sto

56 6 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA em Mssrls et al. (998), utlzando a técnca de nterpolação de momento para etar o problema de osclações na pressão trazda pelo uso deste tpo de arrano. As equações consttutas usadas nos trabalhos com olumes fntos consstem em modelos dferencas, tas como o UCM, Oldrod-B e Phan-Then-Tanner smplfcado. O uso de modelos ntegras é escasso, sendo que o únco trabalho encontrado na lteratura é de Luo (996). Já no método dos elementos fntos, o uso de modelos ntegras é bem mas dssemnado. O método dos olumes fntos passou a ganhar mas espaço, sendo que alguns autores que trabalhaam com este método e o método dos elementos fntos apontaam outras antagens trazdas pelo método dos olumes fntos, além das á comentadas, que são maor establdade numérca, menor quantdade de memóra requerda e menor tempo computaconal, para soluções com mesma qualdade (Xue et al., 995, 999, Luo, 996). Geralmente são tratados problemas sotérmcos nos trabalhos ctados. Uma metodologa usada para tratar também de problemas não-sotérmcos, com propredades dependentes da temperatura segundo uma equação WLF (Wllams-Landell-Ferr), é dada em Wachs e Clermont (). A maora dos trabalhos fo focada em geometras bdmens onas, tas como contração plana e assmétrca (Yoo e Na, 99, Sasmal, 995, Luo, 996) e epansão plana (Darwsh et al., 99, Mssrls et al., 998). Soluções para problemas trdmensonas foram obtdas por Xue et al. (998, 999), para escoamentos em contrações, na geometra stck-slp e sobre unções. Nos trabalhos ctados, foram usadas somente malhas ortogonas. Esta era uma aparente desantagem do método em relação ao método dos elementos fntos, pos sto mpede a utlzação em geometras compleas, sendo que mutos problemas de nteresse prátco recaem neste tpo de geometra. Isto é contornado com o emprego da técnca de coordenadas generalzadas (Fletcher, 988, Tucker III, 989, Malska, 995), possbltando o uso de malhas não-ortogonas. O trabalho de Huang et al.(996) fo o prmero a lear em conta esta déa, na solução de escoamentos entre clndros rotatos ecêntrcos. Em Olera et al. (998) é descrta uma metodologa baseada no arrano colocado de aráes e em malhas não-ortogonas, sendo utlzadas em dersas stuações em trabalhos subseqüentes (Olera,, Ales et al., ). Nesta metodologa é utlzado o método SIMPLEC (Van Doormal e Rathb, 984), baseado na correção de pressão, para resolução das equações dscretzadas, e o método da nterpolação de momento para etar osclações na pressão dedo ao uso do arrano desencontrado. São encontrados anda problemas em relação ao acoplamento tensão-elocdade, smlar aos trazdos pelo acoplamento pressão-elocdade com o uso do arrano co-localzado. Para resoler este problema, é proposto um método análogo à nterpolação de momento, para a determnação das tensões nas nterfaces. Os trabalhos ncas, assm como mutos trabalhos posterores utlzam os esquemas de nterpolação UDS ( a ordem) e HDS (híbrdo UDSCDS de a ordem). Estes esquemas

57 .4 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 7 garantem establdade, mas leam a resultados mprecsos, dedo aos efetos de dfusão numérca, especalmente quando as lnhas de corrente do escoamento não estão alnhadas com a malha. Para obter-se soluções confáes, e representar bem alguns detalhes de um escoamento, como por eemplo, formação de órtces, dee-se usar malhas muto refnadas, consumndo assm, um maor tempo computaconal. Outra opção, de melhor qualdade, é a utlzação de funções de nterpolação de mas alta ordem (Leonard, 979, Malska, 995, Ferzger e Perc, 999). Isto pode ser sto nos trabalhos de Olera et al. (998), Olera e Pnho (999) e Olera (), no qual é utlzado o esquema LUDS. Entretanto, este esquema, assm como o QUICK, apesar de melhorar a precsão dos resultados, apresenta problemas de conergênca e establdade, ocasonando a formação de osclações rreas na solução (Versteeg e Malalasekera, 996). Conforme dscutdo neste capítulo, o uso de esquemas de nterpolação HRS (Hgh Resoluton Schemes) contorna estes problemas, ao lear em conta o crtéro de establdade CBC Conecton Boundedness Crteron (Gaskell e Lau, 988) na nterpolação, combnando dferentes esquemas conenconas. Esquemas deste tpo são o SMART (Gaskell e Lau, 988) e o MINMOD (Harten, 98), utlzados nos trabalhos de Darwsh et al. (99) e Ales et al. (, ). Para estes esquemas, são obtdas soluções mas precsas e de melhor qualdade, sto que as defcêncas dos esquemas orgnas desaparecem, porém a ordem de apromação permanece a mesma dos esquemas que o compõe. Isto pode ser sto, por eemplo, no trabalho de Ales et al. (), no qual é mostrado que o uso do esquema MINMOD lea a melhores resultados, comparado ao esquema LUDS, mnmzando os problemas de conergênca apresentados por este últmo e melhorando a precsão da solução. Em Mn et al. () fo feto um estudo em relação ao uso de dferentes esquemas de nterpolação na apromação do termo adecto, em smulações numércas dretas (DNS Drect Numercal Smulatons) de escoamentos turbulentos de fludos scoelástcos. Fo erfcado que uso de esquemas baseados em dferenças centras (CDS e compacto de 4 a ordem), lres de dfusão numérca, apresentam problemas de conergênca, especalmente em números de Wessenberg mas eleados. Os esquemas UDS e AD ( second-order artfcal dfuson scheme ) garantem establdade, mas leam a gradentes muto suazados, perdendo precsão. Soluções rreas foram obtdas pelos esquemas LUDS e QUICK, dedo aos problemas de soluções não-lmtadas. O esquema que apresentou melhor desempenho fo o MCUD ( modfed thrd-order compact upwnd scheme ), que consste em uma modfcação do esquema CUD ( thrd-order compact upwnd scheme ) (Tolstkh e Lpask, 998), pela ntrodução de um termo de dfusão artfcal. Este esquema conduzu a melhores soluções, mantendo a establdade, em relação aos demas testados. Dee-se destacar anda o uso de métodos híbrdos olumes fntos/elementos fntos, chamados de CVFEM ( Control Volume-based Fnte Element Method ), que combna os pontos fortes de cada método, como nos trabalhos de Sato e Rchardson (994), Wapperom e Webster (998, 999) e Aboubacar e Webster (). Uma dfculdade presente em todos estes trabalhos, ndependente do método de dscretzação, do método terato de solução das equações e equações consttutas utlzadas, é o conhecdo HWNP ( Hgh Wessenberg Number Problem ). Este consste na dfculdade

58 8 CAPÍTULO - FUNDAMENTOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA de obtenção de soluções em número de Wessenberg ou Deborah eleados (Keunngs, 986, Joseph, 99). Estes números admensonas foram defndos no capítulo, sendo dados pela razão entre o tempo característco de relaação do polímero e um tempo característco do escoamento, sendo que quanto maor este número, mas pronuncado é o efeto elástco. Em cada trabalho, na sua grande maora, é encontrado um alor crítco deste número admensonal, a partr do qual, se torna dfícl ou mesmo mpossíel a obtenção da solução. Este número ara com o tpo de problema resoldo, e com a metodologa numérca empregada, sendo em méda dado por um número menor que, sendo que em alguns trabalhos conseguem-se alores maores que este. Um ponto que dee ser ctado, é que, de modo geral, tem-se consegudo atngr mas altos números de Wessenberg em trabalhos usando o método dos elementos fntos. Isto dee-se às dferentes formulações que tendem a establzar o método numérco, atraés do aumento do caráter elíptco da equação do momento, como por eemplo o SU (streamlne-upwnd) de Marchal e Crochet (987), o EEME (eplctl ellptc momentum equaton), de Kng et al. (988), o EVSS (elastc-scous splt-stress), de Raagopalan et al. (99) e o AVSS (adapte scoelastc stress splttng), de Sun et al. (996). Isto proaelmente se dee também à forma como as equações apromadas são resoldas, ou sea, smultaneamente, o que é mas adequado para problemas onde há forte acoplamento entre as aráes. Não este uma palara fnal sobre as causas e soluções para o HWNP, sendo que as dferentes fontes causadoras possíes são dscutdas em Joseph (99) e Keunngs (986, 989)..5. Proposta da dssertação Pode-se obserar a partr da resão mostrada acma, que o uso do método dos olumes fntos na smulação do escoamento de fludos scoelástcos tem anda algo a melhorar. Este trabalho propõe então, uma noa metodologa para a resolução das equações goernantes de escoamentos de fludos scoelástcos, baseada no método dos olumes fntos, usando o arrano co-localzado de aráes. São utlzadas equações consttutas dferencas, mas especfcamente, os modelos de Oldrod-B e de Phan-Then-Tanner Smplfcado, pelos motos á ctados. Um dos pontos propostos é a utlzação de uma metodologa de alta ordem nas apromações dos fluos dfusos e adectos médos, apresentada no tem..4. A utlzação desta metodologa lea a uma melhor precsão dos resultados, possbltando a utlzação de malhas mas grosseras, comparadas às usadas com outros esquemas, reduzndo assm o tempo computaconal egdo. Como os esquemas de apromação conenconas são de prmera ou segunda ordem, geralmente se necessta de malhas muto refnadas para captar determnadas característcas do escoamento, como recrculações, mudanças bruscas, entre outros, que são anda mas reforçadas em presença de uma maor elastcdade do fludo.

59 .5 - PROPOSTA DA DISSERTAÇÃO 9 É proposto também o uso de um método de solução smultânea das equações dscretzadas, sendo que em mutos trabalhos, a dfculdade de conergênca apresentada dee-se ao tpo de método numérco empregado para a solução das equações dscretzadas, que se basea na resolução segregada das equações, em um processo terato, usando um método para tratamento do acoplamento pressão-elocdade. Isto busca melhorar a conergênca e a obtenção de soluções em números de Wessenberg mas eleados. No capítulo segunte, é mostrado o modelo matemátco para os problemas que são tratados e, na seqüênca, é descrta a metodologa numérca proposta para a solução das equações do modelo. Nos capítulos subseqüentes, são apresentados eemplos de aplcação desta metodologa, para escoamentos de fludos newtonanos e fludos scoelástcos.

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61 Capítulo Modelo Matemátco O sstema de equações que descree matematcamente o escoamento sotérmco e ncompressíel de um fludo é composto pelas equações de conseração de massa e de quantdade de momento lnear e por uma equação consttuta mecânca que descrea a relação entre tensão e deformação. O modelo, além destas equações, contempla anda condções de contorno e ncas que a solução dee satsfazer. As equações a serem resoldas nos problemas mostrados neste trabalho são mostradas a segur, e posterormente os tpos de condções de contorno utlzadas. Ao fnal é descrto o procedmento de admensonalzação das equações e das aráes... Equações do modelo As equações a serem resoldas são as equações de conseração de massa e quantdade de momento, mostradas respectamente a segur. = (.) ρ = p t τ (.) onde ρ é a massa específca, é o etor elocdade, τ é o tensor das tensões e p é a pressão Para um escoamento bdmensonal, em estado estaconáro, usando coordenadas cartesanas, têm-se as seguntes equações correspondentes: = (.)

62 4 CAPÍTULO - MODELO MATEMÁTICO ρ t P τ = τ (.4) ρ t P τ = τ (.5) sendo, que para um escoamento ncompressíel as equações (.4) e (.5) podem ser rescrtas como: ρ t ρ ( ) ρ ( ) P τ = τ (.6) ρ t ρ ( ) ρ ( ) P τ = τ (.7) As aráes são as elocdades na dreção e, dadas respectamente por e, a pressão, dada por p, e os componentes do tensor das tensões τ, τ (que são as tensões normas nas dreções e respectamente) e τ (que é a tensão de csalhamento). Dee-se lembrar que, como τ é um tensor smétrco, τ = τ. No caso onde se tem fludos scoelástcos, o tensor das tensões pode ser dddo em duas contrbuções, uma newtonana e uma polmérca: τ = τ τ (.8) N P sendo que a equação de conseração de momento passa a ser escrta na segunte forma: ρ = p τ t N τ P (.9) A contrbução newtonana é dada por: τ N = η N γ (.) Para fludos newtonanos, a contrbução polmérca é gual a zero. Para fludos scoelástcos, esta é dada por uma equação consttuta que represente adequadamente as suas característcas reológcas. Esta formulação é usada por dos motos. Um deles é que as própras equações consttutas podem ser escrtas na forma dada por (.8), como pôde ser sto no capítulo. A outra, e a mas mportante, é que a presença do termo da contrbução newtonana, que é dfuso, establza consderaelmente o procedmento de obtenção da solução. Resoler a

63 . - EQUAÇÕES DO MODELO 4 equação na forma (.) é muto dfícl do ponto de sta numérco, e quase nunca é feta nos trabalhos encontrados na lteratura. De acordo com esta formulação, as equações (.6) e (.7) passam a ser escrtas da segunte forma: t ρ ( ) ρ ( ) P = η ρ N τ P τ P (.) ρ ( ) ρ ( ) N t ρ P = η τ P τ P (.) Como sto no capítulo, serão usados neste trabalho os modelos de Oldrod-B e Phan-Then-Tanner smplfcado (SPTT). Na forma etoral, estes modelos são dados pela segunte equação. τ P λτ P() τ P f ( τ ) P = η P γ (.) sendo que, para o modelo de Oldrod-B, tem-se: e para o modelo SPTT, tem-se ( ) = f (.4) τ P λε ( τ ) = tr( τ ) f (.5) P P ηp Para o escoamento bdmensonal, usando coordenadas cartesanas, temos três componentes para o tensor das tensões, e as três equações correspondentes para o modelo SPTT são as seguntes: η P λε η P P P P P P ( τ τ ) λ ( τ ) λ ( τ ) τ λτ P λτ P = (.6) η P λε η P P P P P P ( τ τ ) λ ( τ ) λ ( τ ) τ λτ P λτ P = (.7)

64 44 CAPÍTULO - MODELO MATEMÁTICO λε ηp η P P P P P P ( τ τ ) τ λ ( τ ) λ ( τ ) λτ P λτ P = (.8) As equações para o modelo de Oldrod-B, são as mesmas dadas por (.6), (.7), e (.8), tomando ε =... Condções de contorno Este uma sére de condções de contorno possíes de ocorrer em problemas prátcos, sendo que as mas comuns são mostradas a segur. Para lustrar cada uma delas, consdere o contorno mostrado na Fgura., sendo n a dreção normal e t a dreção tangente ao plano do contorno. A aráel corresponde à elocdade na dreção e τ à tensão causada por uma força na dreção sobre a superfíce normal à dreção. Fgura.. Representação do contorno genérco com as dreções normal e tangente.... Entrada de massa Em uma frontera com entrada de massa tem-se conhecda a elocdade e as tensões em cada ponto a partr de um dado perfl conhecdo. Então, os alores das aráes no contorno podem ser dadas por { t = ; n = cc ; τ nn = τ ccnn ; τ tt = τ cctt ; τ nt = τ ccnt } (.9) onde cc, τ ccnn, τ cctt e τ ccnt são alores de elocdade e tensão conhecdos no contorno.

65 . - CONDIÇÕES DE CONTORNO Saída de massa Geralmente se consdera que o escoamento está plenamente desenoldo na saída (apromação localmente parabólca). Dee-se buscar mpor a frontera do domíno em uma regão na qual a condção ctada sea assegurada. Desta forma, tem-se que as deradas em relação à dreção do escoamento são guas a zero, e as elocdades e as tensões podem ser tomadas como o alor no centro do olume unto à frontera ou etrapolado dos olumes nternos. { t = ; n = cc ; d d t = ; n = ; τnn = τ ccnn ; τ tt = τ cctt ; τ nt = τ ccnt } (.) dn dn onde cc, τ ccnn, τ cctt e τ ccnt são alores de elocdade e tensão no contorno obtdos por uma dos camnhos ctados acma.... Parede (não-deslzamento) A condção mposta unto à uma parede é a de não-deslzamento. Portanto a elocdade na dreção paralela à parede é gual à elocdade com que a parede se moe; uma stuação especal é onde a parede é fa, e a elocdade é então nula. Sendo a parede mpermeáel, a elocdade na dreção normal à parede é nula. As deradas em relação à dreção tangente é nula, e pela contnudade, a derada da elocdade na dreção normal em relação à dreção normal também é nula. { t = parede ; n = ; d = d d t ; n = ; n = ; τnn = τ ccnn ; τ tt = τ cctt ; τ nt = τ ccnt } (.) dt dt dn onde parede é a elocdade com que a parede se moe (gual a zero para parede fa), τ ccnn, τ cctt e τ ccnt são alores de tensão no contorno obtdos ao mpor as condções ctadas acma na d equação consttuta. A derada t dee ser apromada de acordo com a metodologa dn usada para a apromação da derada nos pontos nternos, porém tomando pontos por apenas um lado.

66 46 CAPÍTULO - MODELO MATEMÁTICO..4. Smetra Em uma lnha de smetra não há fluo de massa, portanto, a elocdade na dreção normal é nula. No processo de resolução numérca, as aráes tal como a elocdade na outra dreção, pressão e tensões normas são determnadas usando regras de refleão em olumes smétrcos fctícos. A tensão de csalhamento é nula neste tpo de contorno. { t = cc ; n = ; d d t = ; n = ; τnn = τ ccnn ; τ tt = τ cctt ; τ nt = } (.) dn dt onde cc, τ ccnn e τ cctt são alores de elocdade e tensão no contorno obtdos pelo método d ctado acma. A derada n dee ser apromada de acordo com a metodologa usada para dn os pontos nternos, porém por pontos de um só lado... Admensonalzação das equações As equações a serem resoldas deem ser colocadas na forma admensonal, de modo que todas as aráes tenham a mesma ordem de grandeza. Este procedmento, também chamado de escalonamento, traz uma sére de antagens. Uma delas é a ntrodução de números admensonas que representam característcas mportantes do problema, como é o caso do número de Renolds em mecânca de fludos, e o número de Wessenberg, em escoamentos de fludos scoelástcos. Neste caso, pode-se fazer comparações de um modo mas efcente quando são arados parâmetros das equações, tal como propredades físcas. Para eemplfcar, consdere um problema sob dado número de Renolds, onde pode-se ter dferentes combnações de alores de massa específca, scosdade, elocdade e comprmento característco. Uma outra antagem é etar dfculdades numércas na resolução das equações do problema, trazdas pela dferença de ordem de grandeza das aráes. Em outras palaras, o escalonamento melhora o condconamento da matrz formada pelo sstema de equações algébrcas dscretzadas, condção necessára para o sucesso na aplcação de métodos para solução de sstemas de equações algébrcas. A admensonalzação das aráes é feta ao dd-las por um alor característco, como pode-se er abao. =, L =, L =, L = U τ, τ =, τ η η =, η p p p p = (.) onde L, U, τ, η, p, p são respectamente o comprmento, elocdade, tensão, scosdade, pressão e queda de pressão característcos. As aráes admensonalzadas são ndcadas pelo superescrto.

67 . - ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES 47 O alor característco para o comprmento é obtdo a partr da geometra do problema. Para a elocdade, este é obtdo pelas condções de contorno mpostas. Para a queda de pressão e tensão, os alores característcos são determnados a partr de alguns dos demas: U p = τ = η (.4) L A pressão fo admensonalzada não por seu alor absoluto, mas sm pela sua dferença, que tem um sgnfcado físco mas forte. O fator p não altera a forma admensonalzada das equações, sto que nas equações orgnas aparecem apenas as deradas da pressão. Este é apenas um alor de referenca, sto que na solução numérca de problemas enolendo escoamentos ncompressíes não se tem sentdo falar em pressões absolutas, apenas em pressões relatas. Para scosdade toma-se um alor típco, no caso de fludos newtonanos o própro alor da scosdade. No caso dos fludos scoelástcos, este alor é dado pela soma das contrbuções newtonana e polmérca. η = η (.5) N η P Para fludos scoelástcos, surgem anda duas scosdades admensonas, dadas por η V e η E : η N η V = (.6) η η N P η P η E = (.7) η η N P Estas podem ser stas como a fração da contrbução de cada parte (newtonana e polmérca) na scosdade, sendo que a segunte relação é álda: ηe ηv = (.8) São ntroduzdos também números admensonas característcos dos problemas. Na admensonalzação das equações do momento, surge o número de Renolds: ρul Re = (.9) η Na admensonalzação de equações consttutas scoelástcas, surge o número de Wessenberg:

68 48 CAPÍTULO - MODELO MATEMÁTICO L U We λ = (.) Deste modo, ao aplcar as mudanças de aráel ctadas acma nas equações de conseração, chega-se às seguntes equações admensonalzadas, a partr de (.), (.) e (.) respectamente: = (.) ( ) ( ) ( ) Re P t P P E τ τ η = (.) ( ) ( ) ( ) Re P t P P E τ τ η = (.) Já a partr das componentes da equação consttuta PTT, dadas por (.6), (.7) e (.8), chegam-se as seguntes equações, que são as mesmas para o modelo de Oldrod-B, ao fazer ε = : ( ) ( ) ( ) We We E P P P P P P P E η = τ τ τ τ τ τ τ η ε (.4) ( ) ( ) ( ) We We E P P P P P P P E η = τ τ τ τ τ τ τ η ε (.5) ( ) ( ) ( ) = η τ τ τ τ τ τ τ η ε We We E P P P P P P P E (.6) Daqu em dante, serão tratadas apenas as equações admensonalzadas, sendo omtdos os superescrtos, por questão de clareza do teto. Os componentes da contrbução polmérca do tensor das tensões, dados por τ P, serão tratados apenas por τ, pela mesma razão.

69 . - ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES 49

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71 Capítulo 4 Metodologa Numérca No capítulo fo descrta a metodologa básca para a resolução numérca das equações goernantes do escoamento de fludos. Neste capítulo é detalhada a metodologa proposta, em todos seus aspectos, e que fo empregada nos eemplos de aplcação nos capítulos subsequentes. 4.. Dscretzação das equações As equações a serem resoldas, na forma admensonal, foram mostradas no capítulo, mas especfcamente no tem.. Nesta seção é descrta a etapa de dscretzação destas equações, usando o método dos olumes fntos. O arrano utlzado para as aráes nos olumes de controle é o arrano co-localzado, pelas razões á dscutdas no capítulo. A dscretzação é feta para o olume elementar destacado na Fgura 4.. Fgura 4.. Volume elementar genérco e notação dos índces relatos às nterfaces e pontos centras

72 5 CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA NUMÉRICA Assm, a partr da dscretzação da equação de conseração de massa e das equações de conseração de quantdade de momento nas dreções e, dadas por (.7), (.8) e (.9), tem-se as seguntes equações dscretzadas: = (4.) ( ) ( ) P P E E τ τ τ τ η η = Re Re Re Re (4.) ( ) ( ) P P E E τ τ τ τ η η = Re Re Re Re (4.) Para as equações consttutas a serem empregadas, ou sea, o modelo SPTT e Oldrod-B, que são dadas por (.), (.) e (.), sendo ε = para o modelo de Oldrod- B, tem-se as seguntes equações dscretzadas: We We We We We E E η = τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ η ε τ,,,,, (4.4)

73 4. - APROXIMAÇÃO DOS FLUXOS MÉDIOS 5 We We We We We E E η = τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ η ε τ,,,,, (4.5) η = τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ η ε τ We We We We We E E,,,,, (4.6) 4.. Apromação dos fluos médos Pode-se er que as equações dscretzadas consstem em epressões que contém os alores dos fluos médos nas nterfaces e dos alores médos de produtos de aráes nos olumes. O passo segunte no procedmento, é epressar estes em termos do alor das nos olumes, por meo de funções de nterpolação. São usadas neste trabalho as duas metodologas ctadas no capítulo : a metodologa conenconal e a metodologa de alta ordem baseada nos alores médos. No tem 4.. são mostrados os esquemas de nterpolação conenconas, usados para comparação com os esquemas de alta ordem derados no tem 4.. e 4... Para a eemplfcação dos esquemas, são consderadas apromações para uma nterface genérca paralela a uma dreção e perpendcular à dreção do escoamento, que é dada por, assm como em nterfaces no contorno e prómas a este. São consderadas também apromações para o olume centrado em -/. Uma representação de uma flera de olumes na dreção, contendo os índces referentes às nterfaces e aos olumes, usados nos esquemas é dada na Fgura 4..

74 5 CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA NUMÉRICA Fgura 4.. Representação dos olumes e das nterfaces nas quas são fetas as apromações dos alores médos, untamente com os índces correspondentes Na notação para os fluos médos e alores médos nos olumes, foram omtdos os índces para a dreção, sto que são consderados apenas apromações na dreção, sendo que estas não necesstam de pontos na dreção ortogonal. Já para apromações não lneares, assunto dscutdo no tem 4.., como se necessta de nformações na dreção, os índces correspondentes a esta dreção são mostrados Metodologa conenconal Neste caso, é utlzada a apromação de que o alor do fluo médo na nterface é gual ao alor deste no ponto médo da nterface, e de que o alor de uma aráel no ponto central do olume é o alor médo no olume (ambas apromações de a ordem). Para apromação dos termos ξ k, são utlzados neste trabalho dos esquemas de nterpolação conenconas, que foram descrtos anterormente: o esquema CDS e o esquema QUICK, dados respectamente pelas epressões a segur. = (4.7) = 8 = > < (4.8) Para a apromação dos fluos dfusos (deradas), utlza-se dferenças centras de a ordem. = (4.9)

75 4. - APROXIMAÇÃO DOS FLUXOS MÉDIOS 5 O termo conecto não-lnear k ξ é lnearzado da forma k k ξ ξ, usando para a apromação de cada um destes termos a mesma função de nterpolação, que é uma das ctadas acma. Para os termos correspondentes aos alores médos dos produtos de aráes no olume, faz-se um procedmento análogo, ou sea,, é apromado por,,, sendo cada um destes últmos apromados pelo alor no centro do olume (apromação de a ordem) Metodologa de alta ordem termos lneares Neste tem, são apresentados os esquemas obtdos pela metodologa de alta ordem baseada em alores médos, dada em Kobaash (999), para a apromação dos fluos adectos e dfusos nas nterfaces. São mostrados esquemas de nterpolação de Lagrange de a ordem e de 4 a ordem e esquemas compactos de 4 a ordem. Algumas funções para estes dos últmos tpos são mostrados também em Kobaash (999) e Perera et al. (). O procedmento de obtenção dos coefcentes das funções de nterpolação á fo comentado no capítulo. No apêndce, este procedmento é mostrado de uma forma detalhada, na obtenção dos coefcentes para o esquema Lagrange de a ordem, sendo que para a obtenção dos demas, o procedmento é totalmente análogo. Para o esquema de a ordem, são tomados, para a apromação do fluo adecto médo em uma nterface, o alor médo em dos olumes a montante e um a usante da nterface, de acordo com a dreção do escoamento, de modo a ter epressões do tpo: < = > = ) ( ) ( h O c b a h O c b a (4.) Aplcando a metodologa ctada, determnam-se os coefcentes a, b e c, que são guas nas duas stuações, e a epressão resultante é dada por: < = > = ) ( ) ( O h h O (4.)

76 54 CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA NUMÉRICA Em alguns casos se torna necessáro obter os alores médos nas nterfaces dos contornos, como por eemplo, a pressão em um contorno onde esta não é especfcada. Assm, para os contornos = (leste) e = N (oeste), de acordo com a Fgura 4., tem-se: 7 = O( h ) (4.) N 7 = O( h ) 5 6 N 6 N N (4.) Note que, se o escoamento ocorrer no sentdo leste-oeste ( > ), no ponto = a apromação correspondente dada na equação (4.) não pode ser feta, sto que não estra o segundo olume à montante da nterface. Fato análogo ocorre em = N- quando se tem <. Para se fazer a apromação nesta nterface, pode-se usar a epressão equalente à dreção oposta à do escoamento. Porém, sto pode trazer problemas de establdade na obtenção da solução. Uma melhor alternata sera fazer uma apromação leando em conta o alor no contorno, que fara o papel do segundo ponto anteror a nterface. As epressões correspondentes a esta alternata, para as nterfaces = e = N- são dadas logo abao. = O( h ) (4.4) N = 5 O( h N 4 N 4 N ) (4.5) Para a apromação do fluo adecto médo, pode-se usar também um esquema de 4 a ordem. Para os pontos nternos, utlzam-se nas apromações, dos olumes para cada lado da nterface. A apromação é centrada de modo que os coefcentes seam smétrcos em relação aos olumes, sendo dada por: = O( h ) (4.6) Nas nterfaces znhas aos contornos, esta apromação não pode ser feta, pos faltara um olume em um dos lados. Nestas nterfaces, o esquema utlza 4 olumes, porém um olume por um lado e três olumes pelo outro, como pode ser sto nas apromações para = e = N-: 4 = O( h ) (4.7)

77 4. - APROXIMAÇÃO DOS FLUXOS MÉDIOS 55 N 4 = 4 N N 5 5 N 7 N O( h ) (4.8) No contorno, são tomados quatro olumes prómos para a apromação. Para os contornos em = e = N, as funções de nterpolação são dadas por: 5 4 = O( h ) (4.9) N 5 4 = O( h ) 5 7 N N N 4 N (4.) Para a apromação dos fluos dfusos médos, são utlzados esquemas centrados de 4 a ordem, cua forma é análoga à dos esquemas nas apromações dos fluos adectos médos. Para os pontos nternos, tem-se a segunte função: 5 = O( h 4 ) (4.) Para os pontos prómos aos contornos, ou sea, em = e = N-, onde a apromação dada acma não se aplca, tem-se as seguntes epressões: = O( h ) (4.) N 5 = O( h 4 N N N 5 N 7 N ) (4.) Note que a apromação lea em conta o alor do fluo adecto na mesma nterface. Para a apromação nos contornos, se tem epressões semelhantes, que também fazem uso do alor do fluo adecto médo na própra nterface. 5 = O( h ) (4.4) N 5 = O( h 4 N N N 5 N 7 N ) (4.5)

78 56 CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA NUMÉRICA Nas apromações dos fluos adectos e dfusos médos, podem ser usados também esquemas compactos, que como sto no capítulo, consstem em relações mplíctas entre os alores dos fluos médos nas nterfaces, apromados pelos alores médos nos olumes. Para a apromação do fluo adecto médo, usando este tpo de esquema, tem-se a segunte epressão: ) ( h O = (4.6) Note que o alor da aráel na face é calculada a partr dos alores nas faces znhas e -, e dos alores médos nos olumes adacentes. Nas nterfaces unto aos contornos, a função de nterpolação lea em conta o alor em uma nterface znha, como é sto abao, nas apromações em = e = N. ) ( h O = (4.7) ) ( h O N N N N N = (4.8) Para a apromação dos fluos dfusos médos, tem-se uma epressão análoga à dos fluos adectos médos: ) ( h O = (4.9) As apromações no contorno, além de usarem o alor médo na nterface znha, utlzam também o alor do fluo adecto na própra nterface: ) ( O h = (4.) ) ( h O N N N N N N = (4.)

79 4. - APROXIMAÇÃO DOS FLUXOS MÉDIOS 57 Como pode-se er nos esquemas compactos, os alores nas nterfaces são dados por relações mplíctas, sendo que estes são obtdos pela resolução de sstemas de equações. Afortunadamente, estes sstemas têm a forma trdagonal e podem ser resoldos fácl e rapdamente por um método específco, como neste caso, o TDMA de Thomas. Em problemas multdmensonas, as lnhas e colunas podem ser resoldas uma a uma, pelo fato da apromação não necesstar de alores em olumes na dreção ortogonal à face. Deste modo, estas equações deem ser resoldas untamente com as equações de conseração dscretzadas. Com sto, o tempo computaconal egdo no procedmento de resolução utlzando um esquema compacto de nterpolação é maor se comparado aos esquemas conenconas, que consstem apenas em relações eplíctas entre o alor nas nterfaces e os alores nodas. Além do mas, o uso de esquemas compactos, dedo a sua característca de dependênca global, como no método espectral, lea a necessdade da nersão de matrzes densas, aumentando o custo computaconal na resolução do problema. Para os esquemas de nterpolação de Lagrange, as matrzes a serem nertdas são esparsas, sendo que, ao aplcar um método adequado à este tpo de matrz, o esforço computaconal egdo é muto nferor ao necessáro para as matrzes cheas obtdas com o uso do esquema compacto. Dee-se ctar anda que os esquemas compactos possuem uma melhor qualdade de apromação comparados aos esquemas Lagrange, sendo que comparações neste sentdo, entre estes dos tpos, para esquemas de ordem par (4 a, 6 a, a ), podem ser encontrados em Kobaash et al. (999). Os termos de truncamento para todas as funções de nterpolação mostradas neste tem são dadas no Apêndce Metodologa de alta ordem termos não lneares No tem anteror, foram apresentados esquemas de a e 4 a ordem, tpo Lagrange e Pade, para a apromação dos fluos adectos e dfusos médos, sendo todos estes termos lneares. Neste tem são apresentadas as apromações para os termos não lneares que surgem na dscretzação das equações. Na equação de conseração de quantdade de momento na dreção, surge por eemplo, o termo adecto, entre outros smlares. Na equação consttuta, aparecem mutos termos não-lneares, como por eemplo, na equação para a componente τ do tensor das tensões, os termos τ, τ τ e, τ,.

80 58 CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA NUMÉRICA Para estes tpos de termos, a apromação é um pouco mas elaborada. A déa básca é análoga à da apromação pela metodologa conenconal, que consste em tomar a apromação k ξ em uma nterface, pelo produto das apromações de cada termo, ou sea k k ξ ξ. Ou anda, apromar a méda do produto de aráes no olume,, pelo produto das médas, ou sea,,,. Porém, se comparadas as epansões em séres de Talor para as apromações, como por eemplo, entre k ξ e k k ξ ξ, pode-se er que há uma dferença correspondente a termos de a ordem, sendo então esta a ordem de apromação, ndependente da ordem usada na apromação de cada um dos termos. Deste modo, se forem usados esquemas de alta ordem na apromação dos fluos médos lneares, se necessta de uma apromação de maor ordem para estes termos não-lneares, para manter assm a ordem global deseada na apromação. Temos então, nas equações dscretzadas mostradas no tem 4., dos tpos genércos de apromações para os termos não lneares, que são os seguntes: ) ( h O = (4.) ) (,,, h O = (4.) A partr das comparações entre as epansões em sére de Talor das apromações dos termos do dos lados das equações (4.) e (4.), são determnados os termos de a ordem. Truncando as apromações em 4 a ordem, tem-se as seguntes epressões: ) ( 4 ), ( ), ( h O = ξ ξ ξ (4.4) ) ( 4 ), ( ), ( ), ( ), (,,, O h = (4.5) onde e são os pontos no qual é tomada a epansão em sére de Talor. A déa então, é obter uma apromação para estes termos de a ordem que resultam da dferença entre as apromações, de modo que se tenha uma precsão de 4 a ordem. Esta

81 4. - APROXIMAÇÃO DOS FLUXOS MÉDIOS 59 metodologa fo ntroduzda por Perera et al. (), para apromação dos termos adectos da equação do momento, como k e k, por eemplo. Neste tem, e feta uma abordagem para apromações de termos não lneares de uma forma mas geral. Dee-se buscar então, uma apromação para os termos ), ( e ), (, no caso do fluo não lnear médo na nterface, onde (, ) corresponde ao ponto médo da nterface. Para as médas nos olumes, deem ser tomadas apromações para os termos ), (, ), (, ), ( e ), (, onde (, ) é o ponto correspondente ao centróde do olume. Para tanto, utlzam-se os alores médos em olumes znhos ou fluos médos nas nterfaces znhas. Para manter a ordem das demas apromações, pode-se utlzar uma apromação de a ordem. Para a apromação do termo ), ( na nterface, tem-se a segunte epressão: =,,,, ), ( d c b a (4.6) Para a derada de, a apromação é análoga. Com o mesmo procedmento aplcado na determnação dos coefcentes para a apromação dos fluos lneares, á descrto anterormente, a apromação (4.6) fca gual à: =,,,, ), ( (4.7) Desta forma, a apromação para o termo não lnear dado por (4.4) fca gual à: ) ( 9 4,,,,,,,, O h = (4.8) Note que se as aráes não aram ao longo da dreção, a correção dada não é necessára, sendo k ξ = k k ξ ξ.

82 6 CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA NUMÉRICA Para os termos necessáros à apromação dos termos não lneares médos nos olumes, o procedmento de obtenção é totalmente análogo, ou sea, são obtdas as apromações para as deradas de e no ponto (, ),e nserdas em (4.5). 4.. Condções de contorno Um ponto mportante na etapa de apromação das equações é a mposção das condções de contorno. Os tpos de condção de contorno que são encontradas nos eemplos mostrados nos capítulos seguntes foram mostrados no capítulo. O modo como estas condções são mpostas é tratado neste tem. Em contornos onde tem-se os fluos adectos e/ou dfusos especfcados, como por eemplo, as elocdades em uma parede fa ou em uma frontera com entrada de massa, os alores conhecdos são nserdos dretamente na equação dscretzada. Em contornos onde não são conhecdos os alores de determnadas aráes, como por eemplo a pressão, ou a elocdade em uma lnha de smetra tangente à dreção da elocdade, o alor das aráes são etrapolados a partr de olumes nternos usando algum dos esquema mostrados no tem 4.. As deradas (fluos dfusos), quando não conhecdas, também são calculadas de forma análoga. A mposção de condção de contorno de pressão em escoamentos ncompressíes é algo que dee ser comentado. A prncípo, só tem sentdo falar em dferenças de pressão, e não no alor absoluto desta no domíno. Porém, o alor da pressão pode ser especfcado em algum ponto do domíno, de modo que a pressão nos demas pontos seam relatas a este alor. Na metodologa que fo empregada, quando foram resoldos problemas enolendo entrada e saída de massa, tee-se problemas de conergênca dedo a dfculdade de estabelecer um níel de pressão. Para contornar esta dfculdade nestes problemas, a pressão em uma das nterfaces no contorno de saída de massa fo especfcada, o que resoleu de forma total o problema. Em escoamentos onde não haam estes tpos de condção de contorno, não houeram problemas em relação a este assunto. As equações consttutas tem característca hperbólca, sendo que em escoamentos com entrada de massa em um dos contornos, condções para as componentes do tensor das tensões são mpostas apenas nesta frontera. Geralmente se tem um perfl unforme ou correspondente à escoamento plenamente desenoldo. Neste últmo caso, os perfs são obtdos a partr das própras equações consttutas e da equação de conseração de quantdade de momento. Para o modelo de Oldrod-B, estes podem ser obtdos analtcamente. Já para o modelo de Phan-Then-Tanner, por ser mas compleo, os perfs são obtdos numercamente, ao se resoler o problema de escoamento em placas paralelas e tomar o perfl completamente desenoldo na saída das placas. Como condções de contorno na entrada deste escoamento, utlza-se os perfs correspondentes ao modelo de Oldrod.

83 4.4 - SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DISCRETIZADAS Solução das equações dscretzadas Feta a dscretzação das equações e as apromações dos fluos médos nas nterfaces, chega-se a um sstema de equações algébrcas não lneares (smulação estaconára), que ao ser resoldo, traz como resultado o alor médo das aráes nos olumes. Pelos motos ctados no capítulo, as equações serão resoldas smultaneamente, ou sea de forma acoplada. Para tanto, é utlzado o método de Newton. Este método consste em obter o alor de, solução de um sstema dado por F() =, atraés de um processo terato, na segunte forma: J( k k ) δ = F ( ) (4.9) k = k δ (4.4) onde k é o etor das ncógntas na teração k e J( k ) é a matrz Jacobana do sstema aalada em k. Esta matrz é calculada a perturbação por dferenças fntas, sendo mantda fa por um determnado número de terações. Note que em cada teração é necessáro resoler um sstema de equações lneares, para a determnação do etor correção δ. Neste trabalho, estes sstemas foram resoldos por um método dreto, mas especfcamente, por fatoração LU. O crtéro de conergênca usado fo o segunte: ρk ρ k k k <. (4.4) w onde = (4.4) w N w sendo w o etor peso, dependente da tolerânca absoluta atol e relata rtol usadas: w = rtol atol ~ (4.4) onde ~ é um alor representato de. Os alores usados para as tolerâncas foram atol = rtol = -8. A taa de conergênca ρ k, tal que < ρ k <, é defnda por:

84 6 CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA NUMÉRICA ρ k k k w w / k (4.44) Para fnalzar, há um comentáro que dee ser feto. Como dto no capítulo, métodos dretos são pouco usados em problemas de mecânca de fludos computaconal, pelo fato de terem um custo computaconal maor. A opção de utlzar um método dreto neste trabalho deeu-se à dsponbldade de um códgo computaconal á estente, sto que o foco prncpal do trabalho é a metodologa para dscretzação e apromação das equações. Desta forma, como será sto mas adante, o ponto chae para tornar a metodologa apresentada com as demas estentes, será um efcente método para solução dos sstemas lneares, como por eemplo, um método terato com pré-condconamento.

85 Capítulo 5 Resultados para Fludos Newtonanos Neste capítulo são apresentados alguns resultados para escoamentos de fludos newtonanos, com o obeto de testar a metodologa apresentada no capítulo anteror. São fetas comparações entre os dferentes esquemas de nterpolação ctados no capítulo anteror. Três problemas clásscos em mecânca de fludos são estudados: escoamento entre placas paralelas preceddo de uma superfíce lre de csalhamento ( slp-stck ) ou escoamento de entrada; escoamento de saída de placas paralelas para uma superfíce lre de csalhamento ( stckslp ); escoamento em uma cadade quadrada sob ação de uma placa deslzante no topo ( lddren ). Estes escoamentos, apesar de serem smples, trazem dersas dfculdades numércas na obtenção de soluções, como é sto mas adante. Dedo a sto, estes são consderados problemas benchmark para testes de metodologas numércas e esquemas de nterpolação. Mutos aspectos da metodologa são aalados, utlzando estes dos problemas como eemplos. No tem 5. são apresentados resultados para o problema do escoamento slpstck, em 5., o mesmo para o problema do escoamento stck-slp, e fnalmente em 5. para o escoamento em cadade quadrada.

86 64 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS 5.. Escoamento Slp-Stck Este problema consste no escoamento de um fludo entre duas placas paralelas ( stck ) preceddo de uma superfíce lre de csalhamento ( slp ), onde há condção de deslzamento nos contornos. Este problema tem como característca prncpal a presença de uma sngulardade unto à parede na entrada das placas (unção slp-stck), no qual a tensão sera teorcamente nfnta. A condção de contorno muda bruscamente, e a apromação das aráes nesta regão é dfcultada, especalmente pela presença de saltos nos perfs das aráes. 5.. Uma representação esquemátca da geometra deste escoamento é mostrada na Fgura Fgura 5.. Representação esquemátca do escoamento slp-stck. Para reduzr o tamanho da malha, usa-se condções de smetra na seção horzontal central, trabalhando-se assm com apenas metade do domíno. Na seção anteror à entrada das placas, as condções de contorno nas lnhas paralelas à dreção são de deslzamento, ou sea, uma condção de smetra. Junto à parede é usada a condção de não deslzamento. Na entrada é especfcado um perfl de elocdades unforme, e na saída uma condção de escoamento localmente parabólco. Nos testes e comparações mostradas na seqüênca, fo consderado um escoamento sob número de Renolds gual a, comprmento horzontal antes da sngulardade L =, comprmento horzontal após a sngulardade L = 7 e comprmento na dreção ertcal H =. O comprmento característco é dado pela altura do canal H e a elocdade característca pelo alor da elocdade méda na entrada do domíno. As posções e admensonas são tomadas a partr do ponto sobre a lnha de smetra horzontal ( = ) e da entrada das placas ( = ). No contorno superor tem-se =, e posções negatas são referentes a pontos antes da entrada das placas. As malhas utlzadas, todas unformemente espaçadas, são concdentes com a lnha de entrada unto à sngulardade. Os tamanhos utlzados foram de (número de olumes na dreção e, respectamente),, 6, 6 e 64.

87 5. - ESCOAMENTO SLIP-STICK 65 São obtdas soluções utlzando dferentes funções de nterpolação, dentre as apresentadas no capítulo 4. O obeto é erfcar a qualdade da apromação para os dferentes esquemas, sendo que neste problema é dado um enfoque especal às funções de a ordem (QUICK e Lagrange). Juntamente com o uso do esquema QUICK ou CDS para as apromações dos fluos adectos médos, é usada dferença central de a ordem na apromação dos fluos dfusos médos. É tomada apromação de a ordem também para os termos não-lneares, para os alores médos nas nterfaces e para os alores médos nos olumes. Outro conunto de apromações usado, fundamentado na metodologa de alta ordem baseado em alores médos, consste em usar o esquema Lagrange de a ordem para a apromação dos fluos adectos médos e o esquema Lagrange de 4 a ordem para os fluos dfusos. Para os termos não lneares, utlza-se apromação de 4 a ordem conforme mostrado no tem 4.. (capítulo 4). Nos prómos tens, este conunto de apromações é chamado de esquema LAG4. Uma descrção dos resultados obtdos na solução deste problema é mostrada na seqüênca, dddos em dferentes tópcos Acoplamento pressão-elocdade Como sto no capítulo, é usado neste trabalho o arrano co-localzado de aráes, que pode lear a soluções osclatóras dedo à falta de acoplamento entre a pressão e a elocdade em cada olume. Este problema ocorre quando se utlza uma apromação de dferenças centras de a ordem para a pressão nas equações do momento. Para eemplfcar, consdere a apromação do termo referente ao gradente de pressão na equação do momento para a dreção : P P dd = P (5.) Sendo que as apromações ( a ordem) para a pressão nas nterfaces são dadas por: P = P P, P = P P (5.) Inserndo as apromações dadas em (5.) no termo (5.), chega-se a:

88 66 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS P dd P P (5.) Pode-se er então que a apromação do gradente de pressão no olume ndepende da pressão no própro, e esta falta de dependênca é a causa da obtenção de um campo de pressões osclatóro (em zgue-zague). Este campo de pressão é percebdo pelos olumes como um campo de pressões constante, sendo que a pressão nas nterfaces se mantém constante. Para sualzar este efeto, fo utlzado na apromação das aráes o esquema de dferenças centras de a ordem, e o perfl de pressão ao longo da dreção, em =.5 (olumes prómos a lnha de smetra) é mostrado na Fgura 5.. São apresentadas duas curas: uma para a pressão no centro dos olumes e outro para a pressão nas nterfaces. 5 centro nterface p (adm) (adm) Fgura 5.. Perfl de pressão na dreção horzontal em =.5, sendo usados os alores no centro dos olumes e nas nterfaces. Note que os alores nas nterfaces seram os corretos, pos leam a um perfl de pressão suae antes da sngulardade e lnear na regão correspondente ao escoamento entre as placas. A queda de pressão calculada a partr dos alores nas nterfaces é a real, e esta é que é usada na apromação da equação do momento na dreção. O alor da pressão em cada olume não nflu, gerando assm, um campo de pressão osclatóro que satsfaz as equações dscretzadas. Para se etar este problema, tradconalmente se usa o arrano desencontrado, sendo que neste caso, o fenômeno não ocorre. Porém, para o uso do arrano co-localzado, o qual tem mutas antagens sobre o desencontrado (er capítulo ), dee-se utlzar uma técnca adconal para contornar este problema. A mas usada é conhecda como método da nterpolação de momento (Rhe e Chow, 98), que consste em adconar à apromação das elocdades nas nterfaces um termo de correção, que força com que a elocdade na nterface

89 5. - ESCOAMENTO SLIP-STICK 67 dependa da pressão dos olumes znhos, analogamente ao que ocorre no arrano desencontrado. Esta correção para a elocdade é obtda a partr das equações do momento dscretzadas, e um eemplo de apromação para a elocdade em uma nterface normal à dreção, é dado a segur: M C = (5.4) A apromação é dada pela soma de uma apromação a partr dos alores médos das aráes nos olumes, que pode ser qualquer uma das ctadas no capítulo (geralmente UDS, CDS ou QUICK), dada por M, e um termo de correção, C,que depende das pressões médas nos olumes e das pressões médas nas nterfaces. Este termo tem a segunte forma: C = f d P P f d P P f d P P (5.5) Onde os termos f d dependem das dmensões do olume e dos coefcentes das equações dscretzadas, escrtas na forma geral usada para a solução segregada das equações por um método baseado em correção de pressão como o SIMPLE ou SIMPLEC. Usando esta déa, pode-se resoler o problema de osclações na pressão, usando a metodologa em questão. Para tanto, na apromação dos termos de elocdade e presentes nas equações dscretzadas, se usa uma epressão dêntca à (5.4), sendo a correção dada por (5.5), no qual os fatores f d são empírcos, sendo f d = f d = f d = f d. Para erfcar a efcênca desta técnca, é mostrado o mesmo perfl de pressão dado na Fgura 5., que é obtdo com o esquema CDS, e o perfl obtdo com o uso do esquema CDS com dsspação, que corresponde ao emprego da técnca ctada acma. Note que com o uso do esquema CDS com dsspação, o perfl de pressão se torna suae, não ocorrendo os problemas de osclação. Na metodologa conenconal de olumes fntos os fatores f d êm das própras equações dscretzadas, o que torna o procedmento mas robusto. No caso da metodologa em questão, como á dto, utlza-se um alor empírco, que dee ser bao, fazendo com que a apromação tenha a menor nfluênca possíel do termo de correção. Em outras palaras, a correção não dee afetar sgnfcatamente o perfl que sera obtdo teorcamente com o esquema de nterpolação orgnal, aplcado para M. Note que para um perfl constante ou lnear a correção dada por (5.5) é gual a zero, ndependente de f d, afetando a apromação somente durante a conergênca, fazendo apenas o seu papel de etar a formação de soluções osclatóras.

90 68 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS 5 CDS CDS/dss p (adm) (adm) Fgura 5.. Perfl de pressão na dreção horzontal em =.5, para solução obtda com o esquema CDS e CDS com dsspação. Porém, este fator dee ter um alor lmte, tal que com o uso de um alor nferor, não se consegue etar a ocorrênca de soluções osclatóras. Ou sea, dee-se buscar um ponto ótmo entre manter a precsão e efcênca na remoção de osclações. No gráfco a segur são mostrados dersos perfs de pressão horzontas para =.5, obtdos para alores de f d guas a (CDS puro),. e p (adm) 8 6 CDS puro fd =. fd= (adm) Fgura 5.4. Perfl de pressão na dreção horzontal em =.5, obtdo com esquema CDS puro e CDS com dsspação para f d =. e f d =.. Pode-se er que para um alor muto bao (f d =.) não se consegue etar a formação de uma solução osclatóra, mesmo que a ampltude sea bem menor comparada a trazda pelo uso do esquema CDS puro (f d = ). Para f d =. se consegue establzar a solução, e o perfl obtdo é suae. Porém ecedendo-se muto este alor, a solução perde em

91 5. - ESCOAMENTO SLIP-STICK 69 precsão dedo a alta dsspação ncorporada na apromação. Para lustrar este ponto, são mostrados na Fgura 5.5 perfs de elocdade na dreção, em =.5, para dferentes alores de f d. (adm) CDS puro fd =. fd=. fd=. (adm) CDS puro fd =. fd=. fd= (adm) (adm) Fgura 5.5. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.5, obtdos com esquema CDS puro e CDS com dsspação para f d =., f d =. e f d =.. Pode-se notar que com um fator f d muto alto a solução desa consderaelmente da solução que sera a correta, apesar de etar a formação de osclações, dedo à grande dsspação ncorporada. Dee-se lembrar anda, que a técnca de nterpolação de momento é usada quando utlza-se um método segregado baseado em uma equação para correção de pressão (SIMPLE, SIMPLEC, etc.). Portanto, ndependente da apromação usada na determnação dos fluos adectos, será ncorporada uma dsspação, correspondente ao termo de correção, que dmnu a precsão da solução, e o uso de esquemas de alta ordem com esta metodologa perde o sentdo. Este é um moto pelo qual este método de solução não podera ser usado neste trabalho, cuo foco é a utlzação de apromações de alta ordem. Para fnalzar, dee-se ctar que estes problemas ocorreram também para outros esquemas de apromação que são centrados. Ou sea, para o esquema tpo Lagrange de 4 a ordem e Padé (compacto) de 4 a ordem este fenômeno também ocorreu. Usando esque mas de ordem ímpar, ou sea esquemas upwnded, tas como o QUICK e o esquema de Lagrange de a ordem, este fenômeno não ocorre. Na lteratura, encontram-se mutos trabalhos que utlzam o esquema QUICK para a apromação das aráes do problema, eceto a pressão, sendo que neste caso o problema de soluções osclatóras pode ocorrer, sendo necessáro o uso da técnca de nterpolação de momento. Porém, se o esquema de nterpolação de ordem ímpar for usado também para a pressão, o problema da falta de acoplamento entre a pressão e a elocdade desaparece, sendo que a queda de pressão em um dado olume dependerá da pressão neste também.

92 7 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS Na Fgura 5.6 pode ser sta a solução para o mesmo perfl de pressão apresentado nos eemplos anterores, obtdo com o uso do esquema QUICK na apromação das aráes. O mesmo resultado é também obtdo com o uso do esquema Lagrange de a ordem na apromação das aráes. 5 QUICK CDS/dss p (adm) (adm) Fgura 5.6. Perfl de pressão na dreção horzontal em =,5, obtdo com o esquema QUICK, comparado com o obtdo pelo esquema CDS com dsspação (f d =.5). Deste modo, são usados daqu para frente somente os esquemas de ordem ímpar, por não precsarem de técnca adconal para etar problemas de osclação de pressão e terem maor ordem de apromação, resultando em soluções de maor precsão comparadas às obtdas pelo esquema CDS Curas de níel Neste tem são apresentados gráfcos no qual mostram-se as curas de níel para o escoamento em questão. Estas foram obtdas com o esquema LAG4/CDS (o qual é descrto mas adante) em uma malha 6. São mostradas então, na seqüênca, da Fgura 5.7 até a Fgura 5., as curas de níel para a função corrente, elocdade na dreção, elocdade na dreção e pressão. A partr destes gráfcos pode-se ter uma déa mas geral das característcas do escoamento. Obserando a Fgura 5.7, pode-se er que antes da entrada das placas, as lnhas de corrente são paralelas ao eo, sendo que, unto à unção smetra-parede, há mudanças bruscas na dreção do escoamento. Em uma dstânca mas afastada, as lnhas de corrente se tornam paralelas noamente, ndcando que o escoamento está desenoldo.

93 5. - ESCOAMENTO SLIP-STICK 7 Fgura 5.7. Curas de níel para função corrente no escoamento slp-stck (L =, H = ). Fgura 5.8. Curas de níel para elocdade no escoamento slp-stck (L =, H = ). Fgura 5.9. Curas de níel para elocdade no escoamento slp-stck (L =, H = ). Pelas curas de níel para as elocdades, Fgura 5.8 e Fgura 5.9, pode-se er que na regão próma a sngulardade há mudanças seeras de elocdade, em ambas as dreções. No caso da elocdade, há uma transção do alor para, que é a elocdade unto a parede. Em regões mas afastadas as lnhas de elocdade se tornam paralelas e a a zero, o que ndca que o escoamento está plenamente desenoldo.

94 7 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS Fgura 5.. Curas de níel para a pressão no escoamento slp-stck (L =, H = ). Pelas curas de pressão, stas na Fgura 5., pode-se er que na sngulardade ocorre o alor de pressão mámo, sendo que na regão posteror a esta, a queda de pressão é lnear, não sentndo mas a nfluênca da entrada Perfs na dreção horzontal () São mostrados nas fguras seguntes (Fgura 5. a Fgura 5.4), perfs de dferentes aráes para uma lnha horzontal em =.975, obtdos com a metodologa em questão. Neste caso fo usado o esquema LAG4 com redução da ordem de apromação unto à sngulardade (LAG4/CDS), em uma malha 6. O moto de usar uma apromação de mas baa ordem em pontos prómos a esta regão é um dos prncpas assuntos neste tem, sendo dscutdo mas adante. Os perfs de tensões mostrados na Fgura 5.4, são obtdos a partr do campo de elocdades, baseado na Le de scosdade de Newton. Nos perfs mostrados nas fguras Fgura 5. a Fgura 5.4, pode-se er que há uma mudança brusca nas aráes logo após a sngulardade na unção entre a parede e a superfíce lre, o que também pode ser sto nas curas de níel apresentadas no tem anteror, e que traz algumas dfculdades nas apromações.

95 5. - ESCOAMENTO SLIP-STICK 7.8 (adm) (adm) Fgura 5.. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.975, obtdo com o esquema LAG4/CDS em um malha (adm) (adm) Fgura 5.. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.975, obtdo com o esquema LAG4/CDS em um malha 6.

96 74 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS 5 p (adm) (adm) Fgura 5.. Perfl de pressão na dreção horzontal em =.975, obtdo com o esquema LAG4/CDS em um malha 6. 4 τ τ τ τ (adm) (adm) Fgura 5.4. Perfs de tensões τ, τ, e τ na dreção horzontal em =,975, obtdo com o esquema LAG4/CDS em um malha 6. Como fo ctado no capítulo, o esquema QUICK pode lear soluções não lmtadas na apromação de uma solução que apresenta mudanças seeras, que se caracterza pela presença de um oershoot nos perfs obtdos unto a sngulardade. No problema em questão, sto ocorre para o perfl da elocdade na dreção horzontal, em regões prómas à unção, como pode-se er no perfl de em =.95, dado na Fgura 5.5. Note que a solução apresenta um oershoot, característco de apromações de funções com descontnudade por funções de alta ordem, tal como o QUICK. Se é deseado utlzar esquemas de maor ordem na apromação das aráes, pode-se etar este problema

97 5. - ESCOAMENTO SLIP-STICK 75 por dos camnhos: o natural sera refnar a malha nesta regão, porém, sto pode ser nconenente por aumentar o número de pontos e conseqüentemente o custo computaconal.. (adm) QUICK (adm) Fgura 5.5. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.95, obtdo com o esquema QUICK. A outra opção é usar um esquema de menor ordem na apromação das aráes na regão próma a sngulardade, etando com sto a formação destes pcos. Por eemplo, se utlzarmos uma apromação por dferenças centras de a ordem (CDS) ou upwnd de a ordem (UDS) nos olumes prómos à unção, e pelo esquema QUICK no restante, erfca-se que este problema desaparece, como pode ser sto na Fgura 5.6. Nesta fgura são mostrados os perfs de elocdade na dreção horzontal em =.95, obtdos com o uso do esquema QUICK, e com o QUICK com CDS na regão próma à sngulardade, sendo este últmo chamado de esquema QUICK/CDS.. QUICK QUICK/CDS (adm) (adm) Fgura 5.6. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.95, obtdo com o esquema QUICK e com o QUICK/CDS na regão próma a sngulardade.

98 76 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS Porém, como é reduzda a ordem de apromação, obamente a precsão da solução não sera a deal. Para eemplfcar, são mostrados na Fgura 5.7, os perfs de elocdade para a lnha horzontal em =.9 obtdos em dferentes malhas, sendo este ponto um pouco mas afastado da parede, onde á não ocorre problema de oershoot. -.5 (adm) -. QUICK -.5 QUICK QUICK 6 QUICK/CDS QUICK/CDS QUICK/CDS (adm).5 Fgura 5.7. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.9, obtdo com o esquema QUICK e com o QUICK/CDS na regão próma a sngulardade para dferentes malhas.. (adm) Lag4 Lag4/CDS (adm) Fgura 5.8. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.95, obtdo com o esquema LAG4 e com o LAG4/CDS em pontos prómos à sngulardade. Tudo o que fo dto é áldo também para o esquema LAG4. Com o uso deste esquema, se chega a soluções não lmtadas, e o emprego de um esquema de menor ordem na regão próma a unção também resole o problema, a eemplo do esquema QUICK. Isto pode ser sto na Fgura 5.8, que corresponde ao mesmo perfl mostrado na Fgura 5.5 (obtdo com o esquema QUICK), agora obtdo com o uso do esquema de LAG4, aplcando o

99 5. - ESCOAMENTO SLIP-STICK 77 esquema CDS nos olumes prómos à unção, sendo neste caso chamado de esquema LAG4/CDS. E, como não podera dear de ser, o uso de um esquema de baa ordem dmnu também a precsão da apromação. Na Fgura 5.9 são comparadas as soluções obtdas com e sem o uso de uma apromação de a ordem (CDS) nos pontos prómos à sngulardade, para o perfl de em =.9, onde á não há ocorrênca de oershoots, para dferentes tamanhos de malha. Os pontos nas nterfaces nos quas foram usados a apromação de menor ordem estão localzados à dreta da nterface unto a sngulardade. A própra nterface não fo usada, pelo fato de não trazer bons resultados, pos suaza o pco em e torna nstáel o perfl de elocdade, como pode-se er na Fgura 5.. São mostrados os perfs de elocdade e na dreção horzontal em =.95, para uma stuação onde se toma um ponto na própra nterface unto à sngulardade e mas dos pontos a dreta e outra onde apenas se toma os dos pontos à dreta para apromação com CDS, sendo no restante aplcado o esquema LAG (adm) -. LAG4 -.5 LAG4 LAG4 6 LAG4/CDS LAG4/CDS LAG4/CDS (adm) Fgura 5.9. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.9, obtdo com o esquema LAG4 e com o LAG4/CDS em pontos prómos à sngulardade, para dferentes malhas.

100 78 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS (adm) (adm) Lag4 s/desc Lag4 c/desc (adm). Lag4 s/desc Lag4 c/desc - - (adm) (a) (b) Fgura 5.. Perfs de elocdade (a) e (b) na dreção horzontal em =.95, obtdos com o esquema LAG4, usando dos pontos e mas a nterface em =, e somente dos pontos com esquema CDS. Obamente, quanto maor o número de pontos usado pelo esquema de baa ordem, mas dfícl a ocorrênca de oershoots, porém, menor precsão do resultado obtdo, pos se usa em uma maor regão a apromação de mas baa ordem. Deste modo, dee-se usar um número de pontos que busque o compromsso entre resoler o problema de formação de osclação e obter a apromação com a melhor precsão possíel. Por eemplo, usando uma malha 6, e usando, 4 ou 6 pontos com apromação de a ordem se consegue etar o problema, como pode-se er ao traçar o perfl de elocdade ao longo da lnha horzontal =.95, dado na Fgura 5.:.5 (adm) Lag4 6 Lag4/CDS p 6 Lag4/CDS 4p 6 Lag4/CDS 6p (adm) Fgura 5.. Perfl de elocdade na dreção horzontal em =.95, obtdo com o esquema LAG4 e com o LAG4/CDS na regão próma à sngulardade, sendo usado para este últmo, dferentes números de pontos com apromação de a ordem.

101 5. - ESCOAMENTO SLIP-STICK (adm).6.4 LAG4/CDS p 6X4 LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS 4p 6 LAG4/CDS 6p 6 (adm) LAG4/CDS p 6X4 LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS 4p 6 LAG4/CDS 6p (adm) (adm) Fgura 5.. Perfl de elocdade na dreção ertcal em =.6667, obtdo com o esquema LAG4/CDS, com dferentes números de pontos de apromação de baa ordem. Já, ao analsar o perfl de elocdade em uma lnha ertcal após a sngulardade, mas especfcamente em =.6667, onde pratcamente á não há nfluênca desta, erfca-se que quanto maor a regão de uso do esquema de ordem nferor, mas se perde em precsão. Para tanto na Fgura 5., são comparados os perfs correspondentes ao uso de,4 e 6 pontos de baa ordem após a descontnudade em uma malha 6 com o perfl obtdo em uma malha 64 e pontos de baa ordem. Pode-se er que quanto menor o número de pontos usando o esquema de baa ordem, melhor a precsão do resultado, comparando com a solução em malha mas refnada. Deste modo, dee-se etar o uso de apromações de baa ordem em regões onde não é necessáro. Para conclur este tópco, dee-se ctar que dee ser usado um crtéro confáel no qual possa saber em quas olumes serão usadas uma apromação de menor ordem, de modo a obter a melhor solução possíel, sem a presença de osclações. Este crtéro pode ser o CBC, defndo por Gaskell e Lau (988), á comentado no capítulo. Neste trabalho, o obeto é de apenas erfcar que a produção de soluções não lmtadas com o uso dos esquemas de nterpolação usados pode ser etada com o emprego desta técnca. Um esquema tpo HRS (Hgh-Resoluton-Scheme) pode então ser derado a partr destas déas, sendo sto obeto de um estudo futuro Perfs na dreção ertcal () O obeto neste tem é a comparação dos esquemas QUICK e Lagrange de a ordem, com uso de dferenças centras de segunda ordem em pontos prómos a sngulardade (QUICK/CDS e LAG4/CDS), leando em conta à precsão dos resultados e o esforço computaconal necessáro. Para tanto, são apresentados os perfs de, e p, obtdos para dferentes tamanhos de malha. Perfs de elocdade na lnha ertcal dada por =.6667 são mostrados na Fgura 5.. Perfs de elocdade e de pressão na mesma lnha, são

102 8 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS mostrados na Fgura 5.4 e na Fgura 5.5, respectamente. Os perfs são apresentados de duas maneras: o mostrado no lado esquerdo corresponde à cura completa, e o do lado dreto, uma amplação em uma regão mportante da cura de modo a sualzar melhor a precsão de cada solução dada (adm).6.4. LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 64 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p 64 (adm).5.4. LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 64 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p (adm) (adm) (adm) Fgura 5.. Perfs de elocdade em =.6667, obtdos com os esquemas LAG4/CDS e QUICK/CDS para dferentes tamanhos de malha LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 64 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p (adm) (adm) LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 64 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p (adm) Fgura 5.4. Perfs de elocdade em =.6667, obtdos com os esquemas LAG4/CDS e QUICK/CDS para dferentes tamanhos de malha. Pode-se er nestas fguras que com o esquema LAG4/CDS, a solução na malha 6 é pratcamente a mesma obtda na malha 64. As soluções obtdas com o QUICK/CDS, tendem às obtdas com o esquema LAG4/CDS na medda em que se refna a malha, sendo que mesmo com uma malha 64 não se consegue a mesma solução obtda em uma malha 6 com o LAG4/CDS. Isto era de se esperar, sto que a apromação para o LAG4/CDS é de maor ordem comparado ao QUICK/CDS, tanto na apromação dos fluos adectos quanto dfusos.

103 5. - ESCOAMENTO STICK-SLIP 8 (adm) LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 64. QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p p (adm) (adm) LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 6 LAG4/CDS p 64 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p 6 QUICK/CDS p p (adm) Fgura 5.5. Perfs de pressão em =.6667, obtdos com os esquemas LAG4/CDS e QUICK/CDS para dferentes tamanhos de malha. Em relação aos tempos computaconas egdos, pratcamente não houe dferença entre o uso de um ou outro esquema para um dado tamanho de malha, sendo assm, o esquema LAG4/CDS é mas ndcado para o uso na resolução dos problemas. Dee-se ctar que, em alguns casos, o tempo computaconal egdo com o uso do esquema LAG4 fo consderaelmente menor. Se lear em conta o fato de que para se obter um resultado da mesma precsão do obtdo com o esquema LAG4, com o esquema QUICK, é necessáro uma malha mas refnada, então a superordade deste prmero é anda mas eplctada. 5.. Escoamento Stck-Slp Este problema é smlar ao tratado anterormente, sendo que o escoamento ocorrera no sentdo contráro, ou sea, o fludo escoa entre duas placas paralelas ( stck ) e subtamente encontra uma superfíce lre de csalhamento ( slp ). As dfculdades se repetem neste problema. Uma representação esquemátca da geometra é mostrada na Fgura 5.6 Fgura 5.6. Representação esquemátca do escoamento stck-slp.

104 8 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS A característca prncpal deste escoamento é análoga à do escoamento slp-stck, ou sea, há a presença de uma sngulardade na saída das placas, caracterzada pela brusca mudança de condção de contorno. As condções de contorno usadas são totalmente análogas às do problema anteror, eceto a condção de entrada, que neste caso corresponde ao perfl de elocdade para escoamento plenamente desenoldo. O comprmento horzontal antes da sngulardade é dado por L =, o comprmento horzontal após a sngulardade é L = 7 e o comprmento na dreção ertcal é H =. Os alores característcos para a admensonalzação das equações e aráes são os mesmos do problema anteror. Fo consderado um número de Renolds gual a. Analogamente ao problema anteror, as posções e admensonas são tomadas a partr do ponto sobre a lnha de smetra horzontal ( = ) e da saída das placas ( = ). No contorno superor tem-se =. Foram utlzadas malhas unformemente espaçadas, em dferentes tamanhos: (número de olumes na dreção e, respectamente),, 6, 6 e 64. Os conuntos de apromações usados foram os mesmos do problema anteror. Neste tem, apresenta-se os resultados obtdos com a metodologa e comparar noamente o desempenho do uso dos esquemas Curas de níel As curas de níel das aráes para este problema, são mostradas na seqüênca, da Fgura 5.7 até a Fgura 5.. Estas foram obtdas com o esquema LAG4 em uma malha 6. Fgura 5.7. Curas de níel para função corrente no escoamento stck-slp (L =, H = ).

105 5. - ESCOAMENTO STICK-SLIP 8 Fgura 5.8. Curas de níel para elocdade no escoamento stck-slp (L =, H = ). Fgura 5.9. Curas de níel para elocdade no escoamento stck-slp (L =, H = ). Fgura 5.. Curas de níel para pressão no escoamento stck-slp (L =, H = ). A partr destas fguras, pode-se sualzar as característcas prncpas do escoamento. Pela função corrente, pode-se er que após a saída das placas o fludo tende a se dstrbur de forma unforme, dedo a mposção da condção de deslzamento (smetra) nos dos contornos.

106 84 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS Nas curas de elocdade, dadas na Fgura 5.8, há uma mudança brusca unto à unção, sto que a elocdade é etremamente baa unto à parede, e ao encontrar a superfíce lre tende a aumentar sgnfcatamente. Para, (Fgura 5.9), percebe-se que também há uma mudança repentna unto à sngulardade, o que reflete a dstrbução do fludo na seção posteror a esta. Para a pressão, cuas curas são mostradas na Fgura 5., há uma sgnfcata queda prómo a unção, sendo que esta tende a aumentar um pouco após o fludo passar por esta regão, até atngr um alor constante Perfs na dreção horzontal () Nas seqüênca, da Fgura 5. até a Fgura 5.4 são mostrados alguns perfs de aráes na dreção horzontal, para =.9, obtdos com os dos esquemas em questão e dferentes tamanhos de malhas...8 (adm).6.4. QUICK 6X QUICK 6X QUICK 6X4 LAG4 6X LAG4 6X LAG4 6X4-4 6 (adm) Fgura 5.. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.9, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha.

107 5. - ESCOAMENTO STICK-SLIP 85 (adm) QUICK 6X QUICK 6X QUICK 6X4 LAG4 6X LAG4 6X LAG4 6X (adm) Fgura 5.. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.9, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha QUICK 6X QUICK 6X QUICK 6X4 LAG4 6X LAG4 6X LAG4 6X4 p (adm) (adm) Fgura 5.. Perfs de pressão na dreção horzontal em =.9, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha. Nestes gráfcos pode-se er que há arações seeras unto a regão de transção, semelhante ao que ocorre no problema anteror, e como á sto nas curas de níel mostrada no tem anteror.

108 86 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS 4 τ τ τ τ (adm) (adm) Fgura 5.4. Perfs de tensão τ, τ, τ e na dreção horzontal em =.9, obtdos a partr do campo de elocdades calculado. Os resultados obtdos pelos esquemas usados são muto semelhantes entre s. Porém, a análse mas detalhada, nas regões de maor aração, mostra que há dferenças quanto às apromações. Para eemplfcar, é mostrada na fgura segunte, o mesmo perfl mostrado na Fgura 5., para a elocdade, porém focado na regão próma a sngulardade. (adm) QUICK 6X QUICK 6X QUICK 6X4 LAG4 6X LAG4 6X LAG4 6X (adm).5 Fgura 5.5. Perfs de elocdade na dreção horzontal em =.9, para a regão próma a sngulardade, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha. Pode-se er que, ao contráro do que podera se pensar sualzando a Fgura 5. há dferença entre os resultados obtdos para cada esquema. As soluções obtdas com o esquema LAG4 são quase os mesmos para as malhas estudadas, enquanto para as soluções obtdas com o esquema QUICK, pode-se obserar que, com o refnamento da malha, a solução tende à solução obtda com o esquema LAG4.

109 5. - ESCOAMENTO STICK-SLIP 87 Em relação ao escoamento slp-stck, há uma dferença a ser consderada nos resultados, que é a ausênca de oershoot ou undershoot nas soluções. Desta forma não fo necessáro utlzar apromação de ordem reduzda na regão unto à sngulardade. Mesmo assm foram obtdos resultados com esta técnca, e erfcou-se que as soluções são pratcamente as mesmas, sendo melhores com o uso do esquema orgnal na forma pura Perfs na dreção ertcal () Como sto nos resultados mostrados até agora, o esquema LAG4 tem se mostrado superor em relação ao esquema QUICK. Esta superordade é ressaltada ao obserar os resultados obtdos para os perfs na dreção ertcal para as dferentes aráes, dados da Fgura 5.6 até a Fgura 5.8. (adm) QUICK 6X QUICK 6X QUICK 6X4 LAG4 6X LAG4 6X LAG4 6X (adm) Fgura 5.6. Perfs de elocdade na dreção ertcal em =.6667, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha.

110 88 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS.8 (adm).6.4 QUICK 6X QUICK 6X QUICK 6X4 LAG4 6X LAG4 6X LAG4 6X (adm) Fgura 5.7. Perfs de elocdade na dreção ertcal em =.6667, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha. (adm) QUICK 6X QUICK 6X QUICK 6X4 LAG4 6X LAG4 6X LAG4 6X p (adm) Fgura 5.8. Perfs de pressão na dreção ertcal em =.6667, obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha. Como no tem anteror, fca dfícl ressaltar as dferenças entre as soluções obtdas. Para ter uma melhor sualzação da dferença entre as soluções, é mostrada na Fgura 5.9, apenas a regão de mámo do perfl de elocdade que é dado na Fgura 5.7.

111 5. - ESCOAMENTO EM CAVIDADE QUADRADA (adm) QUICK 6X QUICK 6X QUICK 6X4 LAG4 6X LAG4 6X LAG4 6X (adm) Fgura 5.9. Perfs de elocdade na dreção ertcal em =.6667, para a regão próma a =.6 (regão de mámo) obtdos com os esquemas QUICK e LAG4 em dferentes tamanhos de malha. Pode-se er que as soluções obtdas com o esquema LAG4 é pratcamente ndependente da malha utlzada. Já as soluções obtdas com o esquema QUICK não tem a mesma qualdade, e se apromam da solução dada pelo esquema LAG4 de acordo com o aumento do número de pontos na dreção. 5.. Escoamento em cadade quadrada O escoamento em uma cadade quadrada sob ação de uma placa deslzante no topo, conhecdo na lteratura como ld-dren, se caracterza pela grande recrculação de fludo e pela formação de órtces nas etremdades, especalmente sob números de Renolds mas eleados. Uma representação esquemátca da geometra deste escoamento é mostrada na Fgura 5.4. São aplcadas condção de não deslzamento em todos os contornos, sendo a elocdade nula em todas as paredes, eceto na placa que deslza a uma elocdade constante V. Os comprmentos nas dreção e, são guas e dados por L =, sendo este o própro comprmento característco. A elocdade característca é dada pela elocdade V com qual a placa superor se moe.

112 9 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS Fgura 5.4. Representação esquemátca do escoamento em cadade quadrada. São utlzadas dferentes malhas, unformemente espaçadas, com o mesmo número de olumes nas duas dreções. Os tamanhos utlzados foram de,,, 44 e 55. O obeto deste problema é comparar as soluções obtdas com o uso dos esquemas de 4 a ordem de Lagrange (LAG44) e de Padé (PADE44) para apromação dos fluos adectos e dfusos. Desta forma, é usada nos dos casos a metodologa de alta ordem baseada nos alores médos, e para a apromação dos termos não lneares a apromação de alta ordem apresentada no tem 4... Para traçar os perfs, fo usado um número maor de pontos em relação aos usados na apromação, sendo estes alores obtdos pelo processo de deconolução descrto no apêndce, para uma precsão de 4 a ordem Curas de níel para Re = 4 Em prmero lugar, são mostradas as curas de níel para a função corrente, elocdades na dreção e e pressão, para o escoamento em cadade com um número de Renolds gual a 4. Fo usada uma malha 44 e o esquema LAG44 para a obtenção das soluções. Estas são dadas na seqüênca, da Fgura 5.4 ate a Fgura Nas curas de níel para a função corrente, pode-se obserar o padrão do escoamento na geometra em questão. O fludo sofre recrculação na cadade sob a ação da placa superor, no sentdo horáro. Há formação de dos órtces secundáros nas etremdades nferores, sendo o do canto dreto o de maor ntensdade.

113 5. - ESCOAMENTO EM CAVIDADE QUADRADA 9 Fgura 5.4. Curas de níel para função corrente no escoamento em cadade (Re = 4). Fgura 5.4. Curas de níel para elocdade no escoamento em cadade (Re = 4).

114 9 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS PARA FLUIDOS NEWTONIANOS Fgura 5.4. Curas de níel para elocdade no escoamento em cadade (Re = 4). Fgura Curas de níel para pressão no escoamento em cadade (Re = 4). Analsando as curas para a elocdade, erfca-se que há duas regões de maor alor em módulo. Uma delas, próma a placa que se moe, e a outra logo abao a lnha central, no sentdo oposto ao da placa, refletndo o momento de crculação de fludo que ocorre. Fato smlar ocorre para a elocdade, onde cada um dos alores mámos em módulo se dão em dferentes lados da cadade dddos por uma lnha ertcal central. Para a elocdade na dreção posta (no eo ) tem-se o lado esquerdo, e para a dreção negata, o lado dreto. Pode-se er assm que os perfs de elocdades e nestas regões são representatos na caracterzação do escoamento. Deste modo, costuma-se utlzar na