Pela definição de função composta temos: h(x) = g(f(x)), ou seja, h(x) = gof(x)

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1 SEMIEXTENSIVO VOL. MATEMÁTICA A 05.01) Pela definição de função composta temos: h(x) = g(f(x)), ou seja, h(x) = gof(x) ALTERNATIVA D 05.0) Se f() = 5 e g(5) = 5, baseado no exercício anterior, temos que g(f())=h(), assim, temos que h() = g(f()) = g(5) = 5. ALTERNATIVA C 05.0) g(f(x)) = [f(x)] g(f(x) = [4x] g(f(x) = 16x ALTERNATIVA B 05.04) f x f ( f ( x)) ( ) 1 f f x ( ( )) x 1 1 f f x x x ( ( )) ( ) 11 1 f f x x x 4 ( ( )) ALTERNATIVA A 05.05) gof (4) g( f (4)) g(1) 0 Pois : f(4) 5 4 f(4) 1 g (1) 1 1 g(1) 0 RESPOSTA: 0 (ZERO)

2 05.06) g( f (0)) g(1) 1 Pois : f(0) 0 1 f(0) 1 g(1) 1 g(1) 1 ALTERNATIVA E 05.07) E f ( g(5)) g( f (5)) E f (6) g(10) E 7 1 E 8 Pois : g(5) 5 1 g(5) 6 f(5) 5 f(5) 10 f(6) 6 1 f(6) 7 g(10) 10 1 g(10) 1 ALTERNATIVA D 05.08) f ( g( )) f ( 4) 6 Pois : g( ) ( ) g( ) 4 f( 4) 4 10 f( 4) 6 ALTERNATIVA B 05.09) fog( t ) f ( g( t )) f ( t 1) t 1 8 t 1 Pois : g( t ) ( t ) g( t ) t 1 f ( t 1) t 1 8 ALTERNATIVA A

3 05.10) 1 f ( f ( x)) f( x) 1 1 f ( f ( x)) 1 1 x 1 1 f ( f ( x)) 1 ( x 1) x 1 1 f ( f ( x)) x x 1 x 1 f ( f ( x)) x Então : x 1 f ( f ( x)) 1 1 x 1 x x x ALTERNATIVA C 05.11) E f ( g ( )) g ( f (0)) 4 E f ( 4) g (10) 4 E E 4,5 Pois : g( ) ( ) g( ) 4 f (0) 0 10 f(0) 10 f( 4) ( 4) 10 f( 4) 6 g(10) 10 g(10) 0 ALTERNATIVA E

4 05.1) Temos : g(1) 1 t g(1) 1 t f ( g(1)) f (1 t) f ( g(1)) (1 t) 4 t f ( g(1))) 1 5t Se fg ( (1)) 16 Então 15t 16 t ALTERNATIVA D 05.1) fog( x) f ( g( x)) a a g( x) a a ( bx 4) a a ( bx 4) a a ( bx 4 1) a ( bx ) a abx gof ( x) g( f ( x)) b b f ( x) 4 b b ( ax ) 4 b b ( ax ) b 4 b ( ax 1) 4 b ( ax ) 4 b 4 abx a b ( abx) ( 4 abx) a b abx 4 abx ab 1 ALTERNATIVA E

5 05.14) f ( g( x)) g( x) g( x) f ( g( x)) x 1 ( x 1) f g x x x x ( ( )) 1 f g x x x ( ( )) 4 - Função Polin. º grau (ax +bx+c): Parábola; - Concavidade pra cima (a = 1); - Raízes: 1 e (positivas); - Corta eixo y (x = 0): ; ALTERNATIVA A 05.15) Pelo Gráfico, obtemos os seguintes valores: g(1) 0 f ( ) 0 f (0) 0 g(0) Então, temos que: f( g(1)) g( f( ) f(0) g(0) 0 ALTERNATIVA B 05.16)

6 b f ( a) b a g( b) b g( b) (a ) g( b) 6a 1 ALTERNATIVA A 05.17) g( f ( x) 1 f ( x) g( f ( x)) 1 x 1 g f x x x ( ( )) 1 1 g( f ( x)) x x - Concavidade pra baixo; - Raízes: 0 e - - Intercepta eixo x: (0,0) e (-,0) - Intercepta eixo y: (0,0) ALTERNATIVA C 05.18) Faz-se: x m x m Então: f ( x ) x 5 f ( m) ( m ) 5 f ( m) m 8 Faz-se: f( g( x)) g( x) 8

7 E, segundo o enunciado, temos: f g x x x ( ( )) 6 8 Então: g x x x ( ) g( x) x 6x g(x) é Parábola com concavidade pra baixo, ou seja, possui ponto de mínimo que é o vértice da parábola. Sendo g(k) o valor mínimo da função, k é o valor de x que gera esse valor mínimo, ou seja, k é a abscissa do vértice. Então: k x v b k a ( 6) k 1 k ALTERNATIVA D 05.19) a) C( t) C( p( t)) C( t) 0,5 p( t) 1 C t ( ) 0,5 (10 0,1 t ) 1 C t ( ) 0,05 t 6 b) Ct ( ) 1, 0,05t 6 1, 0,05t 7, t 144 t 1 Resposta: 1 anos 05.0)

8 Sabe se : 1 fog( x) x x Percebe se : 1 fog( x) x x (4) 4 f(4) 18 fog( x) f ( g( x)) g( x) f ( x) x Então : f Resposta: ) Somente funções bijetoras admitem inversa. ALTERNATIVA D 06.0) Pontos simétricos em relação a uma reta estão a mesma distância da mesma, ou seja, B está situado á mesma distância da bissetriz dos quadrantes ímpares que o ponto A. ALTERNATIVA C 06.0) Se o ponto A(4,7), então, B(7,4) Formando o triângulo retângulo, teremos: - Cateto paralelo ao eixo x: distância entre 4 e 7, ou seja, mede ; - Cateto paralelo ao eixo y: distância entre 4 e 7, ou seja, mede ; - Hipotenusa: distância entre A e B; hip cat cat hip hip 18 hip ALTERNATIVA B

9 06.04) (V) (V) Injetoras mas não são sobrejetoras (V) sobrejetoras mas não são injetoras (V) (F) Não necessariamente (ª afirmação) Resposta: VVVVF 06.05) O domínio (x) e a imagem (y) da função e de sua inversa trocam a cada ponto, então, se f(4)=10, temos que f -1 (10)=4. ALTERNATIVA D 06.06) f ( x) 4x 8 y 4x 8 x 4y 8 x 8 4y x 8 y 4 1 x 8 f ( x) f ( x) x f ( x) 0,5x ALTERNATIVA A 06.07) f(x) = x (Parábola, concavidade pra cima e vértice na origem) Im (f) : IR + B = Im(f) (Sobrejetora) B = IR + ALTERNATIVA D 06.08)

10 g( x) x 4 y x 4 x y 4 y x 4 1 g x x ( ) 4 ALTERNATIVA D 06.09) f x ( ) x 1 y x x y 1 1 x 1 y x 1 y 1 f x x ( ) 1 ALTERNATIVA B 06.10) Se f f 1 (10) f () 10 1 (7) 15 f(15) 7 Sabe-se também que para qualquer f(x), temos: 1 1 f ( f ( x)) f ( f( x)) x Então: m f f f f f f () (15) ( (8)) ( (0)) m m 45 ALTERNATIVA A

11 06.11) g (1) 1 1 g(1) Se 1 f ( g(1)) k Então f ( k) g(1) f( k) f ( x) ax b f (0) a.0 b b f () 0 a. b 0 a Assim : f ( x) x f ( k) k k 1 k Então : f 1 ( g(1)) ALTERNATIVA D 06.1) f(x) = x - Parábola, concavidade pra cima, vértice na origem;

12 - Não é injetora (simétrico ao eixo y); - Não é sobrejetora (Imagem: IR + que é diferente do contradomínio : IR); - Crescente para x >0 e Decrescente para x < 0; ALTERNATIVA E 06.1) Se é invertível, é bijetora. Então é sobrejetora, ou seja, a Imagem de f(x) é igual ao contradomínio; A imagem de f(x) é igual ao domínio de f -1 (x), assim: x f( x) x x y x y x y y x xy y xy x y(1 x) x x y 1 x 1 x f ( x) 1 x O domínio de f -1 (x) é: 1 x 0 x 1 D(f) = IR {-1} Então, temos que a = -1 ALTERNATIVA D 06.14) Para julgar um gráfico de uma função injetora, a regra prática é traçar paralelas ao eixo x. Quando a função for injetora, todas as paralelas interceptarão o gráfico apenas uma vez. ALTERNATIVA E 06.15) f(x) = x

13 F: IR IR - Parábola, concavidade pra cima, vértice na origem; - Não é injetora (simétrico ao eixo y); - Não é sobrejetora (Imagem: IR + que é diferente do contradomínio : IR); ALTERNATIVA E 06.16) f ( x 6) x 11 Se f ( x 5) x 8 Faz se : x ( x1) f (( x 1) 5) ( x 1) 8 f ( x 6) x 11 FALSO g ( x) x Se g( x) x 1 y x 1 x y 1 x 1 y x 1 y 1 x 1 g ( x) g ( x) x FALSO f 1 () g (7) 10 Em f(x), para x = 7, temos:

14 f (7 5).7 8 f () 1 Em g -1 (x), para x =7, temos: g g (7). 7 (7) Substituindo, temos: 1 10 VERDADEIRO ALTERNATIVA C 06.17) f(x) = x Se: f: IR IR - Parábola, concavidade pra cima, vértice na origem; - Não é injetora (simétrico ao eixo y); - Não é sobrejetora (Imagem: IR + que é diferente do contradomínio : IR); Se: f: IR IR + - Parábola, concavidade pra cima, vértice na origem; - Não é injetora (simétrico ao eixo y); - É sobrejetora (Imagem: IR + que é igual ao contradomínio : IR); Se: f: IR + IR - Parte de uma Parábola com concavidade pra cima, vértice na origem; - É injetora (parte direita da parábola ; para x > 0); - Não é sobrejetora (Imagem: IR + que é diferente do contradomínio : IR); II e III são verdadeiras ALTERNATIVA E I VERDADEIRA II FALSO

15 III FALSO : Se é sobrejetora o contradomínio e imagem são iguais; IV VERDADEIRO ALTERNATIVA E 06.19) x 1 f( x) x a x 1 y x a y 1 x y a y 1 xy ax y xy ax 1 y(1 x) ax 1 ax 1 y 1 x 1 ax 1 f ( x) 1 x Então ax 1 1x 1x x 1 ax ax x 1 1 x x 6x ax ( a ) x 1 6x 5x 1 Igualando os coeficientes correspondentes, temos: a 6 a ou a 5 a Resposta: a = 06.0)

16 Se x for par, f(x) é par ou f(x) é ímpar; Se x for ímpar, f(x) é par ou f(x) é ímpar; Logo: Im (f) = IN (SOBREJETORA) f(1) = 1 f() = 1 NÃO INJETORA Logo: NÃO BIJETORA

17 SEMIEXTENSIVO VOL. MATEMÁTICA B 05.01) FUNDO AZUL Casa = / Palmeira = total 4 FUNDO CINZA Casa = / Palmeira = 1 total 1 TOTAL = 4 + = 7 Alternativa B 05.0) ª e4 barras precisam ser iguais; 1ª e 5ª barras precisam ser iguais; 1 1 TOTAL = 8 (todas claras) (todas escuras) TOTAL = 6 Alternativa D 05.0) * Usando 1ª engrenagem da coroa = marchas (usando engrenagens 1 ou do pinhão); * Usando ª engrenagem da coroa = 6 marchas (usando uma das 6 engrenagens do pinhão); * Usando ª engrenagem da coroa = 6 marchas (usando uma das 6 engrenagens do pinhão); TOTAL = 14 marchas Alternativa C

18 05.04) Ida = opções Volta = opções Total =. = 6 opções Alternativa E 05.05) Usando {1,, 5, 7, 9}, para um número ser divisível por 5, terá o algarismo das unidades igual a 5, assim: números de 4 algarismos divisíveis por 5. Alternativa A 05.06) A para B: rodovias e ferrovias B para C: rodovias e ferrovias 1ª Opção A para B por Rodovia e B para C por Ferrovia =. = 6 ª Opção A para B por Ferrovia e B para C por Rodovia =. = 4 TOTAL = 10 Alternativa B 05.07) = 10 maneiras distintas Alternativa E 05.08) * Para ser divisível por, o último algarismo precisa ser par; números de quatro algarismos.

19 Alternativa C 05.09) Usando {1,, 5, 7, 9}, temos: Para ser maior que 00 e menor que 800 precisa começar com, 5 ou 7;. 4. = 6 Alternativa B 05.10) Para cada edição da Copa, apenas 4 continentes podem se candidatar. Assim: = 64 Alternativa B 05.11) Cálculo do número de senhas possíveis (apenas os últimos 4 algarismos pois os dois primeiros já estão definidos): = 60 senhas Como gasta 10 segundos por senha: 600 segundos = 1,75 horas = 1h 45min Alternativa A 05.1) ( m )! ( m )! ( m 1)! ( m )( m )( m 1)! ( m )( m 1)! ( m 1)! ( m )( m 1)![( m ) 1] ( m 1)! ( m ) 1 m 1 m 1 ou m 1 m (Im possível) m 1 Alternativa A 05.1) Como os algarismos da senha precisam ser distintos, temos:... = 6 Alternativa C

20 05.14) 1ª Opção: Repetir o 1 ou o 10 e escolher 7 entre os 8 números restantes. 8 = 16 ª Opção: Repetir um dos 8 números ausentes e escolher 6 entre os 7 números restantes 8. 7 = 56 TOTAL = 16 = 56 = 7 Alternativa E 05.15) Total de senhas sem as restrições: = 10 6 Dentre as senhas que não são permitidas, para os dois algarismos centrais há 1 opções e, para os demais 4 algarismos há 10 opções cada, assim: = Subtraindo: Alternativa A 05.16) Dois algarismos (começar com par e terminar com ímpar). = 9 Três algarismos (começar com par e terminar com ímpar). 4. = 6 Quatro algarismos (começar com par e terminar com ímpar). 4.. = 108 Cinco algarismos (começar com par e terminar com ímpar) = 16 Seis algarismos (começar com par e terminar com ímpar) = 16 TOTAL = = 585 números Alternativa D

21 05.17) * Considere o retângulo ABCD cujas diagonais são: AC e BD; * Partindo do vértice A com 4 opções de cores, temos: 1º caso Vértices B e D com a mesma cor (diferente de A), lembrando que o vértice C precisa ser diferente de B e D, mas pode ser igual ao A. Seguindo a sequência alfabética dos vértices temos as seguintes opções de cores para cada um deles: = 6 º caso Vértices B e D com cores diferentes (diferente de A), lembrando que o vértice C precisa ser diferente de B e D, mas pode ser igual ao A. Seguindo a sequência alfabética dos vértices temos as seguintes opções de cores para cada um deles: 4... = 48 TOTAL = = 84 Alternativa D 05.18) Total de senhas sem as restrições: = 65 Senhas com o número 1 que pode ocupar posições (duas primeiras, duas centrais ou duas últimas). Assim:. (5.5) = 75 Subtraindo, temos: = 550 Porém, a senha 11 foi subtraída duas vezes (foi contada como uma das senhas com 1 na duas primeiras e contada outra vez como uma das senhas com 1 nas duas últimas), sendo assim, é necessário somar 1 para compensar o duplo desconto. Então: TOTAL = = 551 Alternativa A 05.19) 1 símbolo: letras

22 símbolos:. = 4 letras símbolos:.. = 8 letras 4 símbolos:... = 16 letras 5 símbolos:.... = letras 6 símbolos:..... = 64 letras 7 símbolos: = 18 letras 8 símbolos: = 56 letras TOTAL = = ) 1º e último: linhas / º e º : linha 1... = 81 1º e último: linha / º e º : linha... = 81 1º e último: linha 4 / º e º: linha = 9 TOTAL = = 171 senhas possíveis

23 06.01) Como sempre sai de A e volta pra A, João precisa permutar as outras 5 cidades, assim, descartando as simétricas, João examinará: 1 P 1 5! 60 5 sequências distintas. Ele gasta 1min0seg por cada uma delas, então: Tempo = 90 minutos. Alternativa B 06.0) 1ª jogada: x ª jogada:.x ª jogada:..x 4ª jogada: 4...x... n a jogada: n.(n-1)...x n a jogada: n! x n! = 70 n! = 6! n =6 Alternativa B 06.0) sucos / 5 salgados / 4 sobremesas Total Total Total Total P. P. P. P 5 4!.!.5!.4! Alternativa E 06.04) 6 letras distintas; P6 6! 70 Alternativa A 06.05)

24 9 letras: C / O / 1 H / 1 L / 1 A / 1 T / 1 E P 9! !! P,, 9 9 Alternativa C 06.06) Se Carlos foi o primeiro e Bruno o último, as possibilidades são as permutações entre os outros quatro amigos, então: P 4! 4 4 Alternativa D 06.07) É a permutação de seis símbolos sendo que dois se repetem (cara) os outros quatro também são repetidos (coroa), então: 6!!4!,4 P 6 Alternativa E 06.08) 15 Começando com G, usa-se as outras 7 letras (distintas)da palavra para as vagas. Então: = 10 Alternativa C 06.09) Considere Pedro e Luísa apenas uma pessoa Considere João e Rita apenas uma pessoa Ficamos com duas pessoas para permutarmos sendo que, dentro de cada uma das pessoas, é possível permutar entre eles, assim: P!!! 8 P P Alternativa C 06.10)

25 Locomotiva sempre na 1ª posição Restaurante não pode ocupar a ª posição = 600 Alternativa D 06.11) Permutar 6 resultados sendo que há dois repetidos (vitória), outros repetidos (empate) e outros dois repetidos (derrota). Assim: 6!!!!,, P 6 Alternativa B 06.1) 90 Começando por P e terminando em O 6!! P 6 10 Começando por G e terminando em O 6!!!, P 6 60 TOTAL = = 180 Alternativa B 06.1) Considerar as vogais como se fosse apenas uma letra, assim teremos que permutar 6 letras. Lembrar que dentro da letra formada pela vogal, posso permutar as três que a formam. Assim: P 6!! 40 6 P Alternativa E 06.14) Antes do número 7591 estão todos os que começam com 1, e 5, assim: = 7 Dentre os que começam com 7, antes do número 7591 estão os que começam com 71 e 7, assim:

26 ...1 = 1 Dentre os que começam com 75, antes do número 7591 estão os que começam com 751, assim:.1 = Dentre os que começam com 75, antes do número 7591 está o número Ou seja, o total de números antes de 7591 é (7+1++1) = 87 Assim, o número 7591 ocupa a 88ª posição. Alternativa C 06.15) 1) Entre A e B Uma opção: NLNLLL Todas as opções para o trecho são as permutações desses sentidos, assim: 6!!4!,4 P 6 ) Entre B e C 15 Uma opção: LNNLN Todas as opções para o trecho são as permutações desses sentidos, assim: 5!!!, P 5 10 Para cada opção do trecho entre A e B, há 10 opções de trechos entre B e C, assim: TOTAL = = 150 Alternativa E 06.16) Total de possibilidades: Possibilidades com A e B juntos: TOTAL = = 040 Alternativa C 06.17) P 8! P 7!! P

27 matérias / horários por dia Segunda Feira:. = 6 opções Quarta Feira:. (mesmas matérias de ª) = 6 () = 4 Sexta Feira: Duas matérias com duas opções de ordem das aulas = PFC: = 48 opções de horário Alternativa B 06.18) As 6 serão colocadas em 6 posições. Para que as vogais fiquem em ordem alfabética, temos: 1ª) Opção: Vogais em posições consecutivas (1ª,ª,ª / ª,ª,4ª /ª,4ª,5ª /4ª,5ª,6ª ) 4. (Permutações das consoantes) = P 4 4! 4 ª Opção: Vogais em posições um espaço entre as duas primeiras (1ª,ª,4ª /ª,4ª,5ª /ª,5ª,6ª ). (permutações das consoantes) =! 18 ª Opção: Vogais em posições com dois espaços entre as duas primeiras (1ª,4ª,5ª/ª,5ª,6ª ) P. (permutações das consoantes) = P! 1 4ª Opção: Vogais em posições com três espaços entre as duas primeiras (1ª, 5ª,6ª) P 1. (permutações das consoantes) = 1 1! 6 5ª Opção: Vogais em posições com um espaço entre as duas últimas (1ª,ª,4ª /ª,ª,5ª /ª,4ª,6ª ). (permutações das consoantes) =! 18 6ª Opção: Vogais em posições com dois espaços entre as duas últimas (1ª,ª,5ª/ª,ª,6ª ) P. (permutações das consoantes) = P! 1 7ª Opção: Vogais em posições com três espaços entre as duas últimas (1ª,ª,6ª) P 1. (permutações das consoantes) = 1 1! 6 8ª Opção: Vogais em posições com um espaço entre as duas primeiras e um espaço entre as duas últimas (1ª,ª,5ª / ª,4ª,6ª ). (permutações das consoantes) = P! 1

28 9ª Opção: Vogais em posições com um espaço entre as duas primeiras e dois espaços entre as duas últimas (1ª,ª, 6ª) P 1. (permutações das consoantes) = 1 1! 6 10ª Opção: Vogais em posições com dois espaços entre as duas primeiras e um espaço entre as duas últimas (1ª, 4ª, 6ª) P 1. (permutações das consoantes) = 1 1! 6 TOTAL = = 10 Alternativa D 06.19) Total de maneiras sem as restrições: 15! Total de maneiras de ordenar os homens sem restrições: 5! Total de maneiras de ordenar as mulheres sem restrições: 10! Como as posições em ordem crescente e decrescente são únicas, é necessário considerar que as ordens de cada grupo são repetições que precisam ser descartadas, assim: 5,10 P = 15! ) 5!10! = = O grupo de franceses precisará ser o primeiro, ou seja, permuta-se apenas dois grupos. Dentro de cada um dos três grupos há as permutações entre os membros. Assim: P P 5 P =! 5!! 4! = 4560 P 4 Semiextensivo vol. Matemática C 05.01) A + B = 8 A + C = 5 B + C = Logo:

29 ì1a +1B + 0C = 8 ï í1a + 0B +1C = 5 ï î0a +1B +1C = Escalonando: ì1a +1B + 0C = 8 ï í0a +1B -1C = -7 ï î0a +1B +1C = escalonando: ì1a +1B + 0C = 8 ï í0a +1B -1C = -7 ï î0a + 0B - C = -0 Calculando, tem-se: C = R$15,00; B = R$8,00 e A = R$0,00 ALTERNATIVA D 05.0) Preço do cinto: x Preço da camiseta: y Preço da calça: z

30 ìx + y + z = ï íx + y + z = 1 ï îx + y + z = 8 Escalonando : ìx + y + z = ï í0x + y + z = 5 ï î0x + y - z = -5 Escalonando : ìx + y + z = ï í0x + y + z = 5 ï î0x + 0y - 4z = -40 Calculando : z = R$10,00 y = R$5,00 x = R$,00 ALTERNATIVA B 05.0) ìx + 5y +10z = 500 ï íx + y + z = 9 ï îx - z = 0 Isolando x = z Substituindo: ìx + 5y +10x = 500 í îx + y + x = 9 Assim: ì11x + 5y = 500 í îx + y = 9 Multiplicando: ì11x + 5y = 500 í î-10x - 5y = -460 Somando as equações:

31 x = 40 Logo, y = 1 e z = 40 ALTERNATIVA D 05.04) Qtde cédulas de 1: x Qtde cédulas de 5: y Qtde cédulas de 10: z ì1x + 5y +10z = 500 ï íx + y + z = 9 ï îx = z Substituindo: ìx + 5y +10x = 500 í îx + y + x = 9 Assim: ì11x + 5y = 500 í îx + y = 9 Multiplicando: ì11x + 5y = 500 í î-10x - 5y = -460 Somando, tem-se: x = 40; y = 1 e z = 40 ALTERNATIVA A 05.05) Qtde pastel: x Qtde iogurte: y

32 Qtde chocolate: z ì1x + 0,50y + 0,60z =,0 ï í00x + 50y + 600z = 150 ï î8x + 4y + 4z = 66 Escalonando : ìx + 0,50y + 0,60z =,0 ï í0x + 50y - 480z = -910 ï î0x + 10y - 7,0z = -4,40 Escalonando : ìx + 0,50y + 0,60z =,0 ï í0x + 50y - 480z = -910 ï î0x + 0y + 444z = 888 Calculando : z = y = 1 x = 0,50 Esses valores representam as quantidades de porções de 100 gramas. Em gramas a resposta é: z = 00 y = 100 x = 50 ALTERNATIVA E 05.06) Preço refrigerante: x Preço água: y Preço cerveja: z

33 x + y + z = 17,0 x + y + z = 14,00 z - x = y - z OpçãoI : x + y + z = 17,0 x + y + z = 14,00 x + y - z = 0 Escalonando : x + y + z = 17,0 0x + y - z =,0 0x + 0y - 8z = -17,0 Calculando : z = R$,15 y = R$5,5 x = -R$,15 OpçãoII x + y + z = 17,0 x + y + z = 14,00 x - y + 0z = 0 Escalonando : x + y + z = 17,0 0x + y - z =,0 0x - 6y - z = -17,0 Escalonando : x + y + z = 17,0 0x + y - z =,0 0x + 0y - 8z =,00 Calculando : z = -R$0,5 y = R$,95 x = R$8, ) Substituindo os valores da solução na equação temos:

34 4 k ( ) ( 5) 1 1 k 5 1 k 4 k ALTERNATIVA C 05.08) Substituindo as duas soluções na equação temos: m n( 1) 18 m 6 n1 18 Então : mn 18 6mn 18 Somando : 9m 6 m 4 Substituindo :.4 n 18 n 6 ALTERNATIVA C 05.09) x y 11 4x y 18 Multiplicando : 9x y 4x y 18 Somando : 5x 15 x Substituindo : 4. y 18 y Solução : (,) ALTERNATIVA B 05.10)

35 O denominador na regra de Cramer é o determinante principal, assim: 5 D 4 7 D 10 D 41 ALTERNATIVA A 05.11) Pela regra de Cramer, temos: D 0 1 D D Dx Dx Dx 8 Dx 8 x x x 7 D 4 ALTERNATIVA D 05.1) Pela regra de Cramer, temos:

36 4 1 1 D 4 D D 5 Dy Dy Dy Dy 10 y y y D 5 ALTERNATIVA D 05.1) Pelo escalonamento, teremos: x y z 6 x 4y z 8 x y 4z 0 Escalonando : x y z 6( I) y 4z 10( II) y z 8( III) Subtraindo : ( II) ( III) 6z 18 z Substituindo : y y E x 6 x 1 x y z ALTERNATIVA E

37 05.14) x y 10 6x 4y 0 Multiplicando : 6x 4y 0 6x 4y 0 Somando : 0 0 SPI ALTERNATIVA B 05.15) x y z 0( I) x y z ( II) x y z 1( III) Somando : ( I) ( II) x x 1 Substituindo : 1 y z z 1 y( IV ) Substituindo : ( IV ) em( III).1 y.(1 y) 1 y y 1 y y 1 E z 0 Então : ( a, b, c) (1, 1,0) a b c 1 ( 1) 0 a b c 0 ALTERNATIVA A 05.16) Pela regra de Cramer, temos:

38 1 1 1 D D D Dz Dz Dz 10 Dz 10 z z z D 5 ALTERNATIVA D 05.17) x y a bx ay a b Multplicando : ax ay a bx ay a b Somando : bx ax b a x( b a) ( b a).( b a) x b a Substituindo : b a y a y a b ALTERNATIVA C 05.18)

39 ax y a x y a 1 Subtraindo : ax x a a ( 1) x a a a ( 1) 1 x( a 1) ( a 1) x a1 Substituindo : a 1 y a 1 y a y x a ( a 1) y x 1 ALTERNATIVA A 05.19) x y z ( I) x y z 8( II) 4x y z 1( III) Somando : ( I) ( II) 5x 10 x Substiutindo :. y z. y z 8 4. y z 1 y z 4( IV ) y z 4( V ) y z 4( VI) Percebe se : ( IV ) ( V ) ( VI) Logo : S. P. I ALTERNATIVA E 05.0) Multiplicando as matrizes e igualando, temos:

40 x y z 1( I) x y 1( II) x z 0( III) De( II) : x y 1 y x 1 De( III) : x z 0 z x Então : ( x, y, z) ( x,x 1, x) ALTERNATIVA A 05.1) a c 1( I) b c 14( II) a d 18( III) Somando : ( II) ( III) a c b d Perímetro a b c d Perímetro cm ALTERNATIVA E 05.)

41 x y z t 11( I) x y z 4( II) x y t 4( III) y z t ( IV ) Subtraindo : ( I) ( II) z t 7( V ) Subtraindo : ( II) ( III) z t 0 z t( VI) Substituindo : ( VI) em( V ) 7 z z 7 z Logo : 7 t Em( IV ) : 7 7 y y Em( I) : 7 7 x ( ) 11 5 x x. y. z. t.( ).. ALTERNATIVA?? 05.)

42 x y z t 11( I) x y z t 9( II) x y z t 7( III) x y z t 5( IV ) Somando : ( I) ( II) x x 1 Somando : ( I) ( III) y 4 y Somando : ( I) ( IV ) z 6 z Substituindo : 1 t 11 t 5 Logo : x. y. z. t Resposta = ) x y z w 1( I) x y z w ( II) x y z w ( III) x y z w 4( IV ) Subtraidndo : ( I) ( II) x y 1 y x 1 Subtraindo : ( I) ( III) x z z x Subtraindo : ( I) ( IV ) x w w x Substituindo : x ( x 1) ( x ) ( x ) 1 x 1 Então : y 0 z 1 w Solução : {( 1,0,1,)}

43 06.01) 6x y z 1x 6z 6x y z Em( II) : 1x 6z z x Em() I 6x y.x y x Solução : ( x, x, x) ALTERANATIVA A 06.0) pg 40 5p00g 1700 Multiplicando : 5p5g p00g 1700 Subtraindo : 175g 700 g 4 Subsituindo : p 4 40 p 6 ALTERNATIVA D 06.0) 50A 10B 5C 1D 400( I) D 5 B( II) C A 10( III) A par Substituindo : ( II) e( III) em( I) 50A 10B 5( A 10) 5B A15B 50 11AB 70 Possibilidades : A 0 B IN A B 16 A 4 B IN

44 ALTERNATIVA C 06.04) ( m 4) x m m x m 4 m x ( m)( m) 1 x m Conclusões: m=equação sem solução m Equação com uma única solução ALTERNATIVA D 06.05) x5y 10 6x my 1 Escalonando : x5y 10 0 x (15 m) y 4 Conclusões : 15 m 0 m 15 S. I 15 m 0 m 15 S. P. D ALTERNATIVA B 06.06) x y 7 4x my 10 Escalonando : x y 7 0 x (4 m) y Conclusões : 4 4 m 0 m S. I 4 4 m 0 m S. P. D

45 ALTERNATIVA C 06.07) xy x ay b Escalonando : xy 0 x ( a) y 4 b Conclusões : a 0 a S. P. I 4 b 0 b 4 ALTERNATIVA A 06.08) x y z 5 x y z 7 4x 7y z 17 Escalonando : x y z 5 0x y z 0x y z Então : y z y z ALTERNATIVA C 06.09)

46 x y z 10 mx y z 15 5x 4y z n Re escrevendo : y z x 10 4y z 5x n y z mx 15 Escalonando : y z x 10 0y 5 z x (40 n) 0y 5 z ( m) x 5 Escalonando : y z x 10 0x 5 z x (40 n) 0y 0 z ( m ) x (5 n) m 0m S. P. I 5 n 0 n 5 m n 5 8 ALTERNATIVA E 06.10) Para S.P.D, a regra de Cramer é um bom caminho: 5 D 4 m m m m 10 m 5 ALTERNATIVA B

47 06.11) x y z 1 x y z mx y n Re escrevendo : z y x 1 z y x 0z y mx n Escalonando : z y x 1 0z y 5x 5 0z y mx n Escalonando : z y x 1 0z y 5x 5 0z 0 y (5 m) x (5 n) 5 m 0 m 5 SI. 5 n 0 n 5 ALTERNATIVA D

48 06.1) x y z 5 mx y z 4 5x 4y 5z n Re escrevendo : y z x 5 4y 5z 5x n y z mx 4 Escalonando : y z x 5 0y 7z x (10 n) 0y 7 z ( m) x 7 Escalonando : y z x 5 0y 7z x (10 n) 0y 0 z (m 6) x ( n) m 6 0 m S. P. I n 0 n mn.. 9 ALTERNATIVA B

49 06.1) x y z 5 x y z mx y z n Re escrevendo : z y x 5 z y x z y mx n Escalonando : z y x 5 0z 5y x 11 0z 5 y (m 1) x (n 5) Escalonando : z y x 5 0z 5y x 11 0z 0 y (m 4) x (n 6) m 4 0 m SI. n 6 0 n ALTERNATIVA D

50 06.14) mx y z x y 5z n x y z 5 Re escrevendo : z y x 5 5z y x n z y mx Escalonando : z y x 5 0z 4y 11 x (5 n) 0z 4 y (m ) x 11 Escalonando : z y x 5 0z 4y 11 x (5 n) 0z 0 y (8 m) x (14 n) 8 m 0 m 4 S. P. I 14 n 0 n 7 m n ALTERNATIVA C

51 06.15) x 4z 7 x y 8 y z 1 Escalonando : x 0y 4z 7 0x y 4z 1 0x y z 1 Escalonando : x 0y 4z 7 0x y 4z 1 0x 0y 1z Então : z y x 1 x y z ALTERNATIVA E 06.16) x y z t 4( I) x y z t 6( II) x y z t 4( III) x y z t 6( IV ) Somando : ( I) ( III) y 0 y 0 Somando : ( I) ( IV ) t t 1 Substituindo : x 0 z ( 1) 4 x z 5 S. P. I ALTERNATIVA C

52 06.17) x y z x y 4z 5 5x 8y 5z 10 Escalonando : x y z 0x y 10z 1 0x y 0z 5 Escalonando : x y z 0x y 10z 1 0x 0y 0z SI. ALTERNATIVA A 06.18) I 0 x y 4 x y z x y 7 SI. VERDADEIRO

53 II 1 x y z 4( I) 1 x y z ( II) 5 x y z 7( III) Subtraindo : ( I) ( III) 1 z z 6 Então : x y 8 S. P. I VERDADEIRO III Por exemplo: 1 x y 4z 4 x z x y 5z 7 z x 1 y 6 S. P. D FALSO ALERNATIVA C 06.19)

54 x y z a x y z 7x 4y z 1 Re escrevendo : x y z 7x 4y z 1 x y z a Escalonando : x y z 0x 10y 10z 8 0x 5y 5z 6 a Escalonando : x y z 0x 10y 10z 8 0x 0y 0z 4 a Para que o sistema seja possível, a única opção é S.P.I, ou seja, 4 a 0 a Para a=, temos então: x y z ( I) 0x 10y 10z 8( II) 0x 0y 0z 0( III) Em( II) : 4 10y 10z 8 y z( IV ) 5 Substituindo : ( IV ) em( I) 4 x z z 5 7 x z 5 Solução : 7 4 z ; z ; z 5 5 Duas soluções possíveis: 7 4 z 0 ; ; z 1 ; ;1 5 5

55 06.0) a) ax y z 1 x ay z x y az a 1 x y z 1 x y z x y z S.IA mesma equação com três resultados diferentes. b) S. P. D Dp 0 ax y z 1 x ay z x y az a 1 1 Dp a a a a a a a a Pelo Dispositivo Prático de Briott-Ruffini podemos calcular os valores de a, tais que, a a 0. Então temos: Temos : a a 0 a a 1 Assim : Dp a a Então : a 1 a 0 0 SEMIEXTENSIVO VOL. MATEMÁTICA D

56 05.01) É possível formarmos o seguinte triângulo: Aplicando Pitágoras, temos: x x 150cm Comprimento total do corrimão = = 10 cm =,1 metros Alternativa D 05.0) Aplicando Pitágoras, temos: d (40 d) 0 d d d d 000 d 5km Alternativa C 05.0)

57 Área Terreno = (AB).(BC) Área Terreno = (AB).(AB) Área Terreno = (AB) Área Casa = (AE) æ Área Casa = è ç AB 5 ö ø Área Casa = (AB) 5 Área = (AB) Casa 50 Área Casa = Área Terreno Área 50 Casa = 100 Área Terreno Área Casa = ( % ) Área Terreno Alternativa E 05.04) V V ( V ) 90 x x 180 x 45 o o o F x x 8cm 05.05) e) h m n Alternativa E 05.06) b b cm ( cateto) ( cateto) Área 1 5 Área Área 0cm Alternativa B

58 05.07) Área Área Área Retângulo 4 Área 8 Área 0cm Alternativa B 05.08) Triângulo Área Re tângulo 10 8 x x 4 5cm Área Quadrado Alternativa B 05.09) 1º Cateto = x Hipotenusa =x Outro Cateto = y x x y 9x x y y x x x y x 4 Alternativa B

59 05.10) Temos os dois triângulos:,9 1,5,6 y y m,5 1,5 ( y x) y x,0,6 x,0 x 1,6 m Alternativa C 05.11) Lados: (x-) ; (x+) ; x ( x ) ( x ) x 8 x 4x 4 x 4x 4 x 8 x 75 x 5 x 5 Áreas 9;49;5 Maior 49cm Alternativa C

60 05.1) Maior lado = Hipotenusa. Então: Hipotenusa = 10 + x Catetos = ( + x) e (9 + x) 10 x 9 x x 100 0x x 8118x x 4 4x x x x15 0 x ou x 5 Alternativa C 05.1) Formamos o seguinte triângulo: k k 8 9 6k k k 64 6k 55 k 9,16chih Alternativa B

61 05.14) Podemos ter a seguinte representação: d 0 (50 x) d 0 x 0 x 0 (50 x) 400 x x x x 0m Alternativa E 05.15) INÍCIO

62 D 6 7 D 45milhas Alternativa A 05.16) No triângulo retângulo formado, aplicamos o Teorema de Pitágoras: x 10m x No mesmo triângulo, temos: 10 cos 10 1 cos 1 Vm Vr cos 1 7 Vr 1 Vr 78 km / h Alternativa B 05.17)

63 L 1 = 9 L = 8 L 9 = 9-8 = 1 L 4 = 8 1 = 7 L = = 15 L 5 = = 10 L 5 = L 4 + L 6 L 9 10 = 7 + L 6 1L 6 = 4 L 8 = = 14 L 7 = = 18 S TOTAL = S TOTAL = 1056 Alternativa D 05.18) Área. Losango Área Triângulo Área Retângulo Área Retângulo 1 o. 1 1 sen h 144 h h 6 h m Alternativa C

64 05.19) Largura Largura Altura Altura ( Larg ura) ( Altura) Altura ( ) 9 Altura Altura ( Altura) ( Altura) ( Altura ) 18,5 Altura 18 polegadas / Largura polegadas Então Altura 45cm Largura 80cm 05.0) Cada Retângulo: Largura = x Altura = y x > y Lado do quadrado = (4x + y) ou (x + y) xy 4 1 4xy 4x y y x PerímetroRe tângulo

65 06.01) 5 4 h h m (15 9).4 Área Área 48m Alternativa D 06.0) Sendo um hexágono regular a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, a largura da faixa será 5 alturas de um dos triângulos, assim: 10 Largura 5 Largura 5 cm Alternativa E 06.0) x 0cm Escala 1 : 0 x

66 50 cm 10 m 40 cm 8 m 60 cm 1 m 0 cm 6 m (1 6) 8 Área Área 7m Alternativa B 06.04) 6 V h h cm V d 10 cm V A A cm 4 V A d d 5 d 10cm 06.05) cm a 4 a 5 Perímetro Perímetro 16 Alternativa D 06.06) O raio do círculo inscrito em um hexágono é o apótema do hexágono. O apótema do hexágono regular é a altura de um dos triângulos equiláteros que formam o hexágono. Assim:

67 r 10 5 cm Perímetro 6 Perímetro 0 cm Alternativa A 06.07) Lado do triângulo = a Lado do hexágono = b Então: a 6b a b Área Área Área Área Área Área Área Área Área Área Triângulo Hexágono Triângulo Hexágono Triângulo Hexágono Triângulo Hexágono Triângulo Hexágono a 4 b 6 4 a 6 b 4 6 b 6 b Alternativa C 06.08)

68 Área cm 8 h h h 4 cm 1 4 r h r cm 8 R h R cm Alternativa D 06.09) Ao considerar o hexágono regular como a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, o triângulo assinalado será a junção de duas metades desses triângulos, ou seja, será a área de um dos triângulos equiláteros que formam o hexágono. Com o mesmo raciocínio, a distância do vértice D à diagonal FB corresponde a 1,5 lados do triângulo. Assim: 1 Área 6 Área Área Alternativa A 06.10) R R h R R R R R R ou R 0

69 Alternativa B 06.11) O raio da circunferência circunscrita ao hexágono regular é igual ao lado do hexágono regular. Assim: R R R A 6 A 6 A 4 4 Alternativa B 06.1) Considerando o hexágono regular sendo a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, o triângulo inscrito da figura corresponde a área de desses triângulos, assim, a área do hexágono regular é o dobro da área do triângulo inscrito. Ou seja: Área Área Área Hexágono Hexágono Hexágono Área 4 Triângulo Alternativa E 06.1) Considerando que o hexágono regular é a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, a área assinalada corresponde a 1/ da área de um dos triângulos. Assim: Área Área 1 Área 1 1 Área 6 As sinalada Triângulo As sinalada Hexágono Área Área As sinalada As sinalada Alternativa A 06.14)

70 Área Hexágono 6 AB 6 AB 6 4 AB 4 Área Triângulo AB Altura 6 Altura Altura A distância entre P e o segmento AB, é a ALTURA do triângulo PAB, ou seja, é igual a. Alternativa E 06.15) Considerando o hexágono regular sendo a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, o triângulo equilátero cujos vértices também são vértices de um hexágono regular, corresponde a área de dos triângulos que formam o hexágono, assim, a área do hexágono regular é o dobro da área do triângulo inscrito. Ou seja: Área Hexágono Área Triângulo ÁreaHexágono 6 4 ÁreaHexágono 6 m Então : Área Triângulo m Área Área 6 m Hexágono Triângulo Alternativa C 06.16) O polígono DEFGHI fica composto dessa forma: 1 triângulo equilátero de lado 1; quadrados de lado 1;

71 triângulos isósceles de lados iguais medindo 1 e ângulo entre eles igual a 10º ; Então: 1 1 Área sen10 4 Área 4 Área Alternativa C 06.17) o Considerando o hexágono regular como sendo a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, o pentágono assinalado será formado por uma área correspondente a 5 desses triângulos que formam o hexágono. Assim: Área Área Área Pentágono Pentágono Pentágono 5 Área Hexágono Alternativa E 06.18) o tg60 x x x BC BC 1 1

72 Alternativa D 06.19) a) b) 5 o o / 150 o o o o o 180 o o o o 06.0) a) O triângulo AMS é isósceles de lados iguais medindo cm e ângulo entre eles é 10º. Assim: cos o Perímetro 6 Perímetro 18 cm b) Área Área menor maior %

73 SEMIEXTENSIVO VOL. MATEMÁTICA E 05.01) Repetição do comprimento gráfico = Período da função f ( x) 4. sen(4 x) p p 4 Alternativa A 05.0) f ( x) 4.cos x f( x) cos x 4 Como 1 cos x 1 Então f( x) f( x) 4 Alternativa D 05.0) y 5 sen(6 x) y 5 sen(6 x) Como 1 sen(6 x) 1 Então y y 5 y 7 Alternativa B

74 05.04) y 5 sen(6 x) p 6 p Alternativa B 05.05) f ( x) senx Dom( f ) : IR Im( f ) : [ 1,1] Mín 1/ Máx 1 p 0, crescente g( x). senx Dom( g) : IR Im( g) : [,] Mín / Máx p 0, crescente F V V V V 05.06) f ( x) senx Dom( f ) : IR Im( f ) : [ 1,1] Mín 1/ Máx 1 p Ímpar g( x) cos x Dom( g) : IR Im( g) : [ 1,1] Mín / Máx p Par V V V V V

75 05.07) f ( x) sen x 4 p p Alternativa A 05.08) y 1senx y 1 senx Como 1 senx 1 Então y y 1 1 y Alternativa D 05.09) y a bsen( cx d) Gráfico : a 0 b d 0 1 p 4 c c c Então : 1 y sen x Alternativa B 05.10) y sen( kx) p k K p

76 Inversamente proporcional Alternativa E 05.11) Qualquer triângulo a base será o período da função, assim: p p 8 base 8 4 Maior triângulo, então, terá a maior altura que corresponde ao valor máximo da função. Assim: x f ( x). sen 4 x f ( x) sen 4 Como x 1 sen 1 4 Então f( x) 1 1 f ( x) Máx Altura ( base) x( altura) Área( máxima) 8x Área( máxima) Área( máxima) 1 Alternativa A

77 05.1) P A Bsen( Cx D) Gráfico : A 0 1 B 16 D 0 1 p C 51 C 56 C Comparando : 1 a B a 16 f C f 51 f 56 Logo : 1 af Alternativa B 05.1) f ( x) 18,8 1, sen t p p Para sen t 1 ( ) 0,1 65 f x Máximo sen t 1 f ( x) 17,5 Mínimo t t 91,5 dias ABRIL sen t 1 f ( x) 17,5 17h0min 65 Alternativa D

78 05.14) f ( x) a bsen( cx d) Gráfico : a b d 0 p c 1 c c Logo : f ( x) senx Im( f ) [0,4] 19 f f sen, Alternativa D 05.15) * Período é o tempo entre duas marés altas, ou seja, período é de 1h; * Máximo: para t = 0 / t = 1 /... * Mínimo: 0,0; Se for função Seno: y 1,515 1,485. sen t 6 Se for função Coseno: y 1,515 1,485cos t 6 Alternativa A 05.16) y 4 8sen x 1 Máximo sen x 1 1 Então, x 1 7 x 1 6 x 14h

79 Alternativa C 05.17) * O Ponto A tem ordenada 0 e abscissa negativa, assim: cos( x) 0 x k x k 4 k 1 x A,0 4 4 * O ponto B tem ordenada -1 e abscissa positiva correspondente à segunda determinação positiva, assim: cos( x) 1 x k x k k 0 x k 1 x B, 1 * Calculando o coeficiente angular da reta, temos: y y B A m x B x A 10 m 4 4 m 7 Alternativa A 05.18) f(x)=senx g(x)=cosx h(x)=senx + cosx ,50 0,85 1,5 45 0,70 0,70 1,40 = (Máximo) 60 0,85 0,50 1, ,50-0,85-0,5 15 0,70-0, ,85-0,50 0, ,50-0,85-1,5 5-0,70-0,70-1,40

80 40-0,85-0,5-1, ,85 0,50-0,5 15-0,70 0, ,50 0,85 0, p = h = p.h = Alternativa B 05.19) a) D( t) 1 1,6.cos t / 0 t 50 Então : D(50) 1 1,6.cos D(50) 1 1,6.cos 1 D(50) 1 1,6. D(50) 1,8horas D(50) 1h48min b)

81 Dt ( ) 1 1 1,6.cos t cos t Então : t t t t dias 05.0) F( t) 14cos t 1 a) Para cos t 1 ( ) 1 4.( 1) ( ) 5 1 F t F t Para cos t 1 F( t) 1 4.(1) F( t) 17 1 Variação o o 17 C F( t) 5 C b) Ft ( ) 14cos t 1 1 cos t 1 Então : t t 8 horas Horário :14h 1 ou 4 t t 16 horas Horário : h 1

82 06.01) 6 arcos implica em cada arco medir 60º, ou seja, k x Alternativa A 06.0) 1º vértice: 0 o º vértice: 90º º vértice: 180º 4º vértice: 70º Então: k x Alternativa E 06.0) 1º vértice: 0º º vértice: 60º º vértice: 10º 4º vértice: 180º 5º vértice: 40º 6º vértice: 00º Soma = 900º Alternativa C 06.04) senx cos x 0 senx cos x o x 1 quadrante 4 ou 5 o x quadrante 4

83 Alternativa A 06.05) o o x k x o quadrante o o o o 1 x k k o o o o x k k 1 F V F V 06.06) x k k 0 x 0 k 1 x k x arcos Alternativa D 06.07) tg x tgx x 60 o x 10 o x 40 x 00 o o 4 soluções Alternativa E 06.08) senx cos x 0 senx 0 { } ou cos x 0, n = soluções

84 Alternativa D 06.09) sec x 1 1 cos cos tgx senx 1 x cos x x senx x x cos x sen x senx x 1 cos cos 1 1 cos sen x senx x cos 0 senx( senx cos x) 0 senx 0 x ou senx cos x x 4 5 Soma Soma 4 4 Alternativa D 06.10) cos sec x cot gx senx 1 cos x senx senx senx 1 cos x senx senx sen x 1 cos x (1 cos x) cos x cos x 1 0 cos x 1 1 cos x 1 4 cos x S : 0,10,40,60 o o o o Alternativa????

85 06.11) sen x 1 Logo : x k x k x k 6 Alternativa A 06.1) sen tg sen sencos cos sen sencos 0 cos 1 sencos 0 cos sen 0 0,,,,... ou cos cos 0 cos cos,,,,... Alternativa E 06.1) senx cos x 0 senx cos x x ou 4 k x k 4 Alternativa A

86 06.14) cos( x)cos( x) sen( x) sen( x) 1 cos( xx) 1 cos( x) 1 x 0 k x k [0, ] k : {0,1,} Soluções : Alternativa E 06.15) cos( x) 1 x k k x [, ] k : {, 1,0,1} Soluções :4 Alternativa D 06.16) cos( x ) 1 cos( x ) 0 cos( x) 0 x k x k 4 Alternativa C 06.17) cos x cos x 0 1 cos x Im possível cos x cos x 1 x k [0,4 ] Solução :, 4 Alternativa D

87 06.18) cos xcos( x) 0 cos x cos x sen x 0 cos x (1 cos x) 0 1 cos x 4 1 cos x [0, ] S :, Alternativa C 06.19) sec x cos x senx 0 1 cos x senx 0 cos x 1cos x cos xsenx 0 cos x sen x cosxsenx 0 cos x senx( senx cos x) 0 senx 0 ou senx cos x 0 senx cos x 7 S : 0,,,, 4 4

88 06.0) 1 tg x cos x sen x 0 sen x 1 cos x sen x 0 cos x sen x sen x 0 1 sen x sen x sen x 0 sen x cos 1 x senx 5 x x 4 1x