N(0) = ,4 0 N(0) = 1 200

Transcrição

1 MAT 7A AULA (, 5, 7, 9,...) 9 = (7; 4; 187;...) 19.0 N(0) = ,4 0 N(0) = 1 00 ALTERNATIVA C = ,4t 8 = 0,4t = 0,4t t = 7,5 horas x 5x + 4 = 0 x = 1 x = 1 x = 0 x = 4 x = 4 x = x = 0 + x = = a + a a a + a a = 11a = a = x = x = 1

2 ,1 + 0,1 1 10, = 10 = 4 5 Então: f (5) = 4 5 = = 40 t 4 = t t = a + a = 6 a + a 18 = 0 S = e P = 18 a' = 6 9 x = 6 não serve a = 9 x = x = x = 1 x = 1 Então: 1 x 1 1 x

3 19.10 ( 4 ) ( 4 + 1) m(t) = mo mo = mo mo = mo t 1 = t t = 1 = 0, = = = 1,4 mi 19.1 x + x = 0 S = 1 e P = x' = x = 1 5 x = 1 x = População A Taxa (%) de crescimento é constante (0%), ou seja, a população aumenta segundo uma PG de razão 1,0. Crescimento Exponencial Gráfico III; População B Quantidade de crescimento é constante (100), ou seja, a população aumenta segundo uma PA de razão 100. Crescimento Linear Gráfico II; População C Quantidade constante Gráfico I; ALTERNATIVA E

4 = + C 1 C 1 = = + C C = 19 t = t t t t = 64 t = 64 t = t = p t = F1(t) = 100 F(t) = 100 a) (F) t > t = F1(t) = 105 F(t) = 16 F1 < F c) (F) t = 4 F1(t) = 11 1% F(t) = % t 6 d) (F)

5 4 t 6 t = 6 F1(t) = 1 B1 = 1 11 = 0 F(t) = 640 B = = 4 B B1 = 1, = 1 5 = 51 (5 1) 5x+y = 5 ( 1 ) xy = 5x y 1 x y 1 7x = x = 7 y = y = y = t = 0 Q(0) = K t = 4 Q(4) = K 5 4k Q(4) = 5 Q(0) K5 4k = 5 K 4K = K = 1 Q(8) = = 1,5

6 gb = 104 mb = 10 mb gb = 10 = 15 mb 768 Mín Máx a) S(8) = S(8) = 0,44 m b) S(p) = 0,88 0,11 p = 0,88 p = 8 p = Então 9 p p = 9 p = 9 p = 16 p = 16 1,4 p =,4 Kg

7 MAT 7A AULA f(0) 048 0,5.0 k. 048 k 048 ALTERNATIVA C 0.0 f (x) = 048 0,5x 51 = 048 0,5x = 11 0,5x = (V) Base maior que 1, f(x) é crescente. (F) Base menor que 1, f(x) é decrescente. (V) Base maior que 1, f(x) é crescente. (F) Base maior que 1, f(x) é crescente e como 1 > 0,..., f(1) > f(0,...) (V) Base > 1 Mantém sinal da desigualdade, ou seja, x > (F) Base > 1 Mantém sinal da desigualdade, ou seja, x x (F) Base < 1 Inverte sinal da desigualdade, ou seja, x < (V) Base < 1 Inverte sinal da desigualdade, ou seja, x < (V) x 0 x x < 0

8 x < {0, 1} x x x 9 x = t = t 10 t = 10 t t = 0.10 (1) F (a x ) n = a xn n x a

9 () V a x1 a x = a x1+x = a x1+x () V a nx = (a x ) n = a xn = 500 b 64 = b 6 = b b = 6 beijos 0.1 Se f(x 1) f(x ) quando x1 x, então temos que f(x) é uma função decrescente. Para f(x) x a ser decrescente, é necessário que 0 < a < 1. ALTERNATIVA A 0.1 k1 = 1 k 1 = 1 k = 0.14 t = 10 N (t) = N 0 4 N 0 4 = N 0 10k = 10k = 10k

10 k = 1 5 = ) (V) De acordo com o gráfico, com 10 anos o imóvel chega ao valor 00. 0) (F) De acordo com o gráfico, o valor do imóvel aos 0 anos será o mesmo que o início. 04) (V) Sim, visto que após completar o 10 ano de construção o valor tende a cair. 08) (V) De acordo com o gráfico, sim. 16) (V) V (t) = V (t) = V (t) = 00 4 = x x x x x 4 4 x x x x 4 4 = ) (V) t = 0 N (0) = = 75 ) (F) t = 0 N (0) = 5 5,75 = 104,

11 ) (V) = 0,1t ,1t = 5 0,1t = x ( ) < x < 1 x < 0 1 S = P = 0.19 a) P(t) t t t t t t 4 anos b) Para t, temos t 0e, consequentemente, t 1 1. Logo P x x x + x 0 x =

12 x = 1 x 1 MAT 7A AULA = 100% = 1 10% = 0, ,1 = = (1,1) n 1.0 (1; ;...; 56) 56 = a 4 = a 1 q 75 = a 1 5 a 1 = = 1.05 q = a 1 =

13 a 0 = a 1 q 19 a 0 = 19 = 0 10 = 9 9 = x 4 x 10 x 1 x 4 x + 8x + 16 = x + 11x + 10 x = 6 x = 1.07 a 8 = a 5 q 56 = q = 5 q = q q = a 5 = a 1 q4 = a 1 4 a 1 = q a 1 = 4 = = n1 5 4 = 5 n+1 n + = 4 n =

14 x1 x 10,10,10,... x 1 x 10,10 10,10.10,... PG de razão 10. ALTERNATIVA C = = (8,..., 4 096) a 5 = a q 16 = 6 q 7 = q q = x = e z = 54 x z 54 = (x, x, 9x, 7x 4 ) 7x 4 = x 4 = 65 x = 5 Soma x + x + 9x

15 x(1 + x + 9x ) x ( ) x (10 6, 10 9, 10 1,,?) a 1 = 10 6 a 1000 =? a 1000 = a 1 q 999 a 1000 = 10 6 (10 ) 999 a 1000 = a 1000 = Divisores: 0 1 5,,,..., Total de 6 divisores. ALTERNATIVA B 1.15 (800, 400, 00,, 15) Razão = 1 1,5 = 800 1(n1) = 5 1 = 5 n+1 1 = 5 n + 1 n = 7 q 1 = 6 5 = 0

16 1.16 x 11 x 7 x x 11 x + 11 = x + 5x 14 5x = 5 x= 5 (, 6 6, 1,...) q = a 8 = a 1 q (1,, 1 04) 10 = ( ) 5 = ( 5 ) 1 04 = q =, 4, ou = 1 q n1 1) 10 = q n1 n = 11 ) 4 5 = q n1 n = 6 ) = q n1 n = 4) = q n1 n = 1.18 (10 000, a 6 ) q = 0,9 a 6 = ,9 5 a 6 = ,59049

17 a 6 = 5904, Parcelas que formam PG: x,x,xq q Parcelas que formam PA: x,x 1,xq q Soma dos termos da PG = 8 x x xq 8 q 1 x 1 q 8 q 1 8 q 1 q x Termo médio da PA: x xq q x1 1 x x q q Substituindo a primeira relação na segunda, temos: 8 x x 1 x x 8 x x 6 x 1 Logo:

18 1.1 1 q q 1 1 q 6 q 1q 6 6q q q 6q 1q 6 0 Assim, temos que as parcelas são: 8,1,18 ou (18,1,8) Maior parcela = x = 6 y x = 6 + y y = x x x 6 6 x 1 1 x 6 y 6 x x = 6 + 6y x 6(x 6) 6 = 0 x 1x = 0 x = 0 y = 6 x = 1 y = 18 x + y = 0 MAT 7B AULA Para a escolha do Grupo A, não é necessária a definir a ordem de escolha dos times, então trata-se de uma combinação.

19 Já para a escolha do jogo de abertura, a ordem influencia, pois o primeiro time escolhido jogaria em seu próprio campo, enquanto o segundo seria visitante, então trata-se de um arranjo P/G P/G P/G P/G P/G P/G = 64 1 = todas pequenas 64 1 = h e m ou h e m ou h e m ou 4h e 4m C C = 4 4 C = A 50 50! = = ! = = 7

20 19.07 letras e nº. A A C +C C C = letras e 4 alg. L = m = = = Q e 1m = 7 4 = 8 1Q e 1F = 7 5 = 5

21 1m e 1F = 4 5 = = n! n 1! n! n 1! = 18 n(n 1) + (n + 1)n = 18 n n + n + n = 18 n = 18 n = 9 n n = 19.1 alg. letras = Q obrigatórias = 6Q para escolher C 6 = EP 4 A 6

22 = 4 10 = C C C I) (F) 5 5 = 65 II) (F) = 7 = 18 1 III) (F), P 10 = 10!!! IV) (V) C C = 45 1 = = Exercício resolvido no material 19.0 Exercício resolvido no material MAT 7B AULA 0

23 0.01 E A = 7 = 6! Jorn. = 8 = 7! 6! 7! 0.0 Base = 6 Face = PC 5 = 4! 6 4! = ! ! = 11! 0.04 PC 8 = 7! 0.05 PC 6 = 5! = PC 7 = 6! 6! =

24 10! 9! = 10 9! 9! = 9! (10 1) = 9 9! 0.08 PC 7 = 6! PC 7 = João P 7 = = 840 Claudia P 7 = = 50 Claudia João = = Total não tocam = L 10 4 C =

25 4 C 10 C apenas 1 casal = JS E 10p!! PC 6 = PC 7 PC 6 6! 5! = Grupo: m e H C C = 0 10 = 00 grupos 6 5 Disposição em círculos 1º PC = (meninas) º permutação dos e meninos nos espaços entre as meninas! = 6 6 = 1 maneiras de formar o círculo =

26 A O P R V A/O/P P 4 P 4 = 4 = 7 R A O P V 0.17 H PC 4 = 6 4 espaços para 4 m = 4! 6 4! = A B C D E F P 5 = 40 Ou D C A B C D E F P 4 = 96 Ou B A e D C = Exercício resolvido no material 0.0 Exercício resolvido no material

27 MAT 7B AULA = Jogo 1 ao 8 = dias Jogo 9 ao 1 = 1 dia Jogo 1 e 14 = 1 dia Jogo 15 = 1 dia Total 5 dias 1.0 I ABCDEFA II Não é possível III Não é possível IV BBCADFEDC V ABCADFED 1.04 = 18 (ida) = 18 (volta) Ida + Volta = ñ = 9 5

28 1.06 Sentam juntos x y = x y = x y = Outros dois amigos x y 6 1 = A C 6 = C 8 = _P = A 5 = A B = C 6 = 600

29 1.1 I) (V) Sim, pois pode-se colorir o Nordeste e sul de uma cor, Sudeste e Norte de outra e uma outra cor no Centro-Oeste. II) (V) Sim, pois desta forma respeitaria a condição de estados que contenham fronteiras em comum, tenham cores diferentes. III) (F) IV) (V) = ªf C D = 9 Ou ªf C D 1 = Ou ªf C D = 6 1ªf + ªf + ªf = 18

30 1.14 O P B Sobram 7 * 1 medalha de ouro = 8 possibilidades P ,,,,,,, B * medalhas de ouro = 7 possibilidades * medalhas de ouro = 6 possibilidades = e ou + 4 C ou C 4 4 ou = Total = C 9 = 6 = C 7 = 5 = 4 C 4 = = 1 60 Irmãos juntos 1ª B 1 C C = ªB 1 C C C = =

31 ªB 1 C C C = = (1ªB + ªB + ªB) = p e 1R = 10 = 0 1p e R = C 10 = 45 = 15 1p e R = C = 10 = = = C 5 = 10 = = = Exercício resolvido no material 1.0 Exercício resolvido no material MAT 7C AULA

32 1 ( ) = 415 u. a Considerando T (0,0) a origem do plano cartesiano, o objetivo é calcular as coordenadas do ponto P (p, 0) que é o ponto mais a leste de C Sabendo que a distância de T até P é 60 km, então: d 60 TP 0 p p p 00 p 40 km Cálculo da distância entre C e P é a diferença entre suas abscissas (visto que as ordenadas dos dois pontos é a mesma). Assim: D p 40 D D 40 1 km

33 ALTERNATIVA C 19.0 l = 100 l = 50 = 50 1,4 l = 70 (70; 70) = = x = (x 6 x + 4x = x 4x + 4 ± 6 8x = x = (y 4) = (6 6 ) y 8y = 6 y 8y 0 = 0 y = 1 y = 10 y + y = 8

34 19.07 dab = 4 = 5 dac = dbc = 4 = 5 dab + dac + dbc = = 5( ) dpa = dpb k + (k + 1) = (k ) + k k + k + k + 1 = k 4k k 6k = k = dab = dba 1 + b = + (b 4) 1 + b = 9 + b 8b b = 4 b = B = (, )

35 19.11 Dpa = Dpb (x 4) + (x 1) = (x 10) + (x + 1) x 8x x x + 1 = x 0x x + x + 1 8x = 84 x = 10,5 Sendo assim (10,5 + 10,5) = P P = dcb = dab + dac m + = (m 1) m + 4 = m m m = 98 m = A distância entre A e B corresponde ao lado do quadrado. Assim: d AB 0 5 Cálculo da área do quadrado:

36 S S S 8 ALTERNATIVA C dpr = 5 4 drq = 5 4 isósceles, mas não equilátero x = x = 81 6 x = C = (0, yc) D = (0, yd) yc = yc 15 yc = 47

37 yc = 48 yc = 16 ou yd 1 = 47 yd = 46 dcd = 16 ( ) = u AC = AB = BC = DC = DA = AC 4 = O Ponto Q possui coordenadas: Abscissa: a b e Ordenada: ab Como 0 < a < 1 e 0 < b < 1, então ab < a e ab < b. Logo, a ordenada do ponto Q é abaixo do valor b.

38 a b é a distância do ponto P até a origem (OP) que é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b, ou seja, Q é a direita do valor a. a b > a e a b > b. Logo, a abscissa de Conclusão: Ponto Q está na região II. ALTERNATIVA B dag = dag = 10 = 1 = 5 Mediana = a) dab = b) x G = x x x A B C 1 x C x c = y G = y y y A B c 1 = 1 y C = 1 + y C y C = 4 C = (, 4)

39 19.1 dpo = dpa x + y = (x 4) + y x = x 8x x = 16 x = x = y = P (, ) MAT 7C AULA y = y 0 = 4 5 (x 5 ) y = 4 5 e x = I VERDADEIRO Definição da expressão que representa o Volume de abastecimento da caixa: A reta passa pelos pontos (0, 0) e (10, 00), assim:

40 0 10 x y 0 10y 00x 0 y 0x ou seja V a 0t 0 Cálculo do valor de b: b é o valor de t para o qual Va = Ve, assim: 0t = 0.(t 10) 0t = 0t 00 t = 0 ou seja, b = 0. Cálculo do valor de Va para t = b = 0: Va = 0. 0 Va = 600 litros II VERDADEIRO Para encher a caixa sem escoamento, considerar Va = litros. Assim: Va = 0t = 0t t = 50 min III VERDADEIRO O esvaziamento completo acontece quando Va = Ve, ou seja, t = b. Como foi calculado no item I, temos que t = b = 0 min. IV VERDADEIRO A taxa de escoamento é o coeficiente angular da reta que representa o escoamento, ou seja, a taxa de escoamento é igual a 0 litros por minuto. ALTERNATIVA D 0.0

41 Ai m A = = y = x Bi m B = = 8 y = 8x x = 8x 150 = 5x x = 0 y = a) m = tg15 o = tg45 o = 1 b) m = = 1 c) m = não existe. d) m = m = 15 5 m = 0.06 m = y 0 = 1(x + ) y = x + y x = 0

42 0.07 m = tg45 o = 1 y = 1(x + 1) y = x 1 y + x = Eixo das abscissas y = 0 m = = 1 y = 1(x 5) y = x 5 y = x x = (, 0) P = 5 (4, ) P4 = m = 4 y 0 = (x 0) 4 4y x = 0 x 4y = 0

43 0.10 Para um ponto pertencer à reta x y + 1 = 0, temos, P (k, k +1). A distância entre P e A(-1, 1) é igual a 5, assim: d 5 PA k 1 K 11 5 k 1 k 5 k k 1 k 5 0 k k 4 0 k 4 P ( 4, ) 1 k k 1 0 k P (,4) Cálculo da distância entre P1 e P: PP 1 PP 1 PP 1 d 4 4 d d 7 ALTERNATIVA B 0.11 m = tg0 o = y = (x ) y 9 = x y x = m = tg10 o = tg60 o = y 1 = (x 1) y 1 = x +

44 y + x = + 1 x + y = B = (0, y) C = (x, 0) B x = 0 Y 15 = 0 y = 5 C y = 0 5x 15 = 0 x = d BC = Km 0.14 K 7K + 6 = 0 S = 7 P = 6 K = 1 K =

45 O retângulo possui lados iguais a 6 e, ou seja, a área é igual a 1; A reta que passa por A e divide a área do retângulo na razão de pra 1, forma um triângulo retângulo (área menor) e um trapézio retângulo (área maior); A área do triângulo (área menor) corresponde a 1/ da área do retângulo, ou seja, sua área é igual 4. Assim: p 1 4 p 1 4 p Logo, o ponto P (pelo qual passa a reta) terá coordenadas P(, 1); Cálculo da equação da reta: -1 x y 1 y x y x 9 0 x 4y 10 0 x y 5 0 ALTERNATIVA A 0.16 Cálculo das coordenadas dos pontos P e Q: Ponto P tem abscissa igual a 0, assim: 0 f(0) f(0) 1 P(0,1) Ponto Q tem abscissa igual a, assim: f() f() 4 Q(,4) Cálculo da equação de r que passa por P e Q:

46 0 x 0 r : y 1 r : y x 4x 0 r : y x 1 ALTERNATIVA A 0.17 No mesmo sentido = y = 7x A reflexão do raio passa pelos pontos N(6, 0) e P(8, 8). Assim: 6 8 x y y 6y 8x 0 y 8x 48 0 y 4x 4 0 ALTERNATIVA C 0.19 Cálculo do lado do triângulo: S Assim, temos os vértices A(-, 0) e C(, 0).

47 A reta que contém AB tem inclinação de 60º (ângulo interno do triângulo equilátero) e passa por A (-, 0). Assim: AB : y y m(x x ) 0 0 o AB : y 0 tg60 (x ) AB : y (x ) AB : x y 0 ALTERNATIVA A 0.0 m = 1 7, 4 = (4, ) 0.1 a b = 0 a b a b = 0 4a b + = 0 a b 1 a b 7 a = 6 a = b = 5 MAT 7C AULA Cálculo da equação da reta:

48 x y x y 4 y x 4 A) (-5, 0) Ponto não pertence à reta B) (-, 1) Ponto pertence à reta e a Distância ao hospital é: d d 5 4,4km C) (-, 1) Ponto não pertence à reta D) (0, 4) Ponto pertence à reta e a Distância ao hospital é: d d 6 5,1km E) (, 6) - Ponto pertence à reta e a Distância ao hospital é: d d 5 7km ALTERNATIVA B 1.0 P (t, t) Q (4t, t ) I FALSO Para as partículas colidirem, as coordenadas precisam ser iguais para o mesmo valor de t, ou seja : t 4t t 0 t t t 1,5 Conclui-se então que o sistema é impossível, ou seja, as partículas não colidem. II VERDADEIRO Para t =, a partícula P terá coordenadas (4, 1) Para t = 1, a partícula Q terá coordenadas (4, 1) Embora em momentos distintos, as duas partículas passam pelo ponto (4, 1). III VERDADEIRO Para t = 1, temos P(, ) e Q(4, 1). A distância entre P e Q é: d 4 1 d 5 ALTERNATIVA A

49 1.0 I) P 1 t 5 t 1 t t Q 4 t 5 t 6t t II) (F) t III) (F) 1 minuto antes x y 9 y 9x y x x 5y 5 0 x y 5 0 ALTERNATIVA C 1.05 y y m(x x ) 0 0 y 7 x 6 y 1 x 1 y x ALTERNATIVA A 1.06 Isolando t nas duas relações, temos:

50 x1 t y 5 t ` Igualando as relações, encontramos: x 1 y 5 x y y x Assim, o coeficiente angular dessa reta é. ALTERNATIVA B 1.07) x y 1 0 x y 1 x y x y ALTERNATIVA C 1.08 A reta r passa pelo ponto (1,0) e possui inclinação de 150º, assim: y y m(x x ) 0 0 o y 0 tg150 x 1 y x 1 y 1x ALTERNATIVA B 1.09 A reta passa pela origem, ou seja, não admite a forma segmentária. ALTERNATIVA E

51 1.10 t = 0 x 0 y t = x 6 y 7 d = Intersecção entre retas é a resolução do sistema, então: x y 9 0 x y 7 0 6x 9y 7 0 6x 4y y 1 0 y 1 x Soma das coordenadas é ALTERNATIVA B 1.1 Os pontos de intersecção entre a reta e a parábola são: x y + = 0 y = x + y = x + x x + = x + x x + x = 0 raízes: x 1 = e x = 1 Para x 1, tem-se: y = x + y = + y 1 = 0 Para x, tem-se:

52 y = x + y = 1 + y 1 = A distância entre os pontos ( ;0) e (1;) é: d = ( 1 ( )) + ( - 0) = d = 1.1 I VERDADEIRO Calculando as distâncias entre os vértices, temos: AB 0 (1 0) AB 10 AC AC 5 BC 1 1 BC 5 II FALSO Para pertencer ao segmento AB, o determinante ( determinico ) entre os pontos precisa ser igual a 0, ou seja: 0 0 D D 1 D 0 III FALSO Para deduzir a equação da reta, podemos usar o determinico. Assim: 1 x D 0 1 y 1 6 y x y x 1 0 x y 5 0 ALTERNATIVA A 1.14 Cálculo das coordenadas do ponto P:

53 x y 0 x y 6 0 x y 4 0 x y x 10 0 x 10 4 y 0 y O ponto P é 10 4 P, Cálculo da área: S S S ALTERNATIVA D 1.15 I VERDADEIRO r: x y 1 = 0 r: y = x 1 Coeficiente angular = 1 tg1 45 o II VERDADEIRO Cálculo da intersecção:

54 x y 1 0 y x 1 x y x x x (x 1) 1 5x 15 x y A intersecção é P(,) III VERDADEIRO Cálculo dos pontos de intersecção de cada reta com o eixo x: Dizemos que a reta r intercepta o eixo x no ponto R(1,0) Dizemos que a reta s intercepta o eixo x no ponto S(6,0) O triângulo cuja área é pedida é determinado pelos vértices P, R e S. Assim: S S 1 S 5 ALTERNATIVA C 1.16 Colocando as retas no plano cartesiano, teremos as coordenadas dos pontos de intersecção entre as retas que serão os vértices do polígono que pretende calcular a área. Podemos calcular a área somando as áreas dos dois triângulos formados pelos vértices, assim:

55 S S S 9 9 S 18 ALTERNATIVA B 1.17 Cálculo da equação de r: 1 0 x 1 r : y 0 r :1 y x 0 r : y x 1 Cálculo da equação de s: 0 x s : y 1 s : x y 0 x s : y No ponto A acontece: Em relação à reta r: y < - x + 1 Em relação à reta s: y x Ou seja, x y x 1 ALTERNATIVA E 1.18 Qualquer ponto que pertence à reta tem coordenadas P(k, k + ), assim:

56 k 1 k k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k k 1 9k k k 1 9k 6k 1 1k 1 k Logo, temos 1 1 P, ALTERNATIVA C 1.19 Colocando os pontos no plano cartesiano, temos: Perceber que o triângulo AOB é equilátero e que a bissetriz pedida passa pelo ponto A(6,0) e tem inclinação de 150º. Assim: y y m(x x ) 0 0 o y 0 tg150 (x 6) y (x 6) y x ALTERNATIVA E 1.0

57 A reta simétrica passa pelo ponto (-, 0) e possui inclinação igual a (180º - α). Assim: y y m(x x ) 0 0 o y 0 tg(180 ) (x ) y tg (x ) 1 y (x ) y x x y a) Sendo M e N os pontos médios, temos B(0, ), C(, 0), M(0, 1) e N(1, 0). Então: 0 1 x 0 r : 0 0 y r : y x 0 0 x 0 s : y 1 s : y x 0 b) O ponto P é a solução do sistema entre r e s. Então:

58 y x 0 y x 0 y 4x 4 0 y x 0 x x y 0 y P, MAT 7D AULA cm = 10 1 m , ,017 = 11, (V) 1 + F = 0 + (F) Si = = (F) N = 60 e A = 0 (V) v = A + V = A A = (V 1) bases 6 tampas 6 Laterais

59 = 18 arestas N = = 0 A = 15 F = 7 V + F = A + V = 17 7 V = N = 6 A = 1 F = 7 V + 7 = 1 + V = N = 180 A = 90 F = 60 V + 60 = 90 + V N = = 8 A = 19 F = 11 V + 11 = 19 + V = 10

60 19.08 A = 5 N = F 5 = 50 F = 10 V + 10 = 5 + V = A = V = 14 * 4 q + t = 64 F = q + t 14 + q + t = + * q + t = 0 4q t 64 q t 0 q = 4 e t = A = V + 1 V + F = A + V + F = V F = 14

61 19.11 V = 5 F N = A F = A F = A V + F = A + 5 F + F = A + F + 5F = 5A F = 5A A = 5A A = 15A + 0 A = f + 4 f4 = 40 F = f + f4 V + F = A f + f4 = 0 + f + f4 = 1 A = 0 e V = 10 f f4 1 f 4f4 40 f = 8

62 f4 = * Sti = 1 90 = (V ) = V = V = 5 * V + F = A x + 4 = x x = 1 * F = f + f4 = x + 4 * A = $ + 4x A = x + 6 A = F = r = 6 + r 01) (V) V = 11 A = r A = 1 + n V + F = A n = 1 + n n = 0 + n n = 4 0) (V) F = n = 16 n = 10

63 04) (F) N = A V + F = A + A = V+ F n = A 6 + n = (V + F ) 6 + n + 4 (6 + n) = V V = n + 18 V = n 18 Para n = 1 V = 19 F 08) (V) 60(V ) = 600 V = n = 1 + n n = 0 + n n = 6 16) (V) A = 1 + n = 5 n = 4 n = < V < 14 V min. = 7 V máx. = 1 A + = 8 + V A = V + 6

64 A min. = 1 A máx. = 19 R: 1 A F = 7 V + F = A + V = A 5 nº de arestas de 1V = 6 arestas V 1 arestas A = 6 (V 1) (divide por pois AB = BA) A = 6 + (A 6) A = 6 + A 18 A = Pol. Original V = 1 F = x + y N = ª A = x 4y (1 + x + y = x 4y + ) x + y = Novo Poliedro

65 F = y A = x 4y 4 y x 4y = 4 4 x y ( ) x 4y 4 5x = 0 x = 4 y = 9 F = x + y = Pol. Original A = 16 N = ª x + 4y = m : faces e n: vértices m x y m n 16 = n + x + y = 18 Novo Poliedro (n 1): vértices (y + 1): faces Arestas: A 4 y 1 A = y + V + F = A + (n 1) + (y + 1) = y + + n = y + 4

66 x 4y m x y n x y 18 n y 4 x 4y x y 14 ( ) x = 4 e y = 5 n = y + 4 n = 9 m = x + y m = Exercício resolvido no material 19.0 Exercício resolvido no material MAT 7D AULA Octaedro A = 1 Dodecaedro A = = = (V)

67 (F) Possui 8 vértices (F) Possui 1 arestas (V) (V) 0.0 Sti = 60(4 ) = 70

68 Sti = 60(8 ) = 160 Sti = 60(6 ) = Sti = 60(0 ) = Sti = 60(1 ) = = o 0.04 I FALSO Um octaedro regular é formado por 8 triângulos equiláteros iguais. II VERDADEIRO Um dodecaedro regular é formado por 1 pentágonos regulares iguais. III VERDADEIRO Um icosaedro regular é formado por 0 triângulos equiláteros iguais. ALTERNATIVA E

69 0.05 F = 8 A = N 1 0 = 1 V + F = A + V + 8 = 1 + V = T = 0 H = Um poliedro regular é aquele cujas faces são polígonos regulares e todo poliedro regular é também convexo V =? F = A = N = 90 V + F = A + V + = 90 + V = Poliedro regular de faces triangulares, que não possui diagonais. = Tetraedro. V = 4

70 Sti = 60(V ) Sti = 0 = Sti = Sti = 60(V ) = V = 4 V = 6 Faces possíveis: Triangular = 8 faces Quadrangular = 4 faces Pentagonal = não é inteiro O único que satisfaz: F = 8 A = 8 = F = 6 A = 6 = 9 V + 6 = 9 + V = 5 I) (V) II) (V) III) (V) IV) (F) V) (V) Sti = 60(5 ) = o

71 0.1 60º 4 = 40º 0.1 x = (1,5A o ) x = 1,5A o x = 1,5 1,41 x, ) (V) Sti = 60(V ) = 60 5 = ) (V) V = n + 1 F = n + 1 V + F = A + n + = A + A = n 04) (V) F = 8 V = 8 V + F = A = A + A = 14 08) (V) 16)(V)

72 A = 0 V = F V = 0 + V = Icosaedro 0 faces F = 4 0 = 80 A = N 0 = V = 4 F = 4 A = 44 V + F = = = A F = 1 + n A = 1 +5n = n 6 + 5n = 6n n = 6 Si = 180(5 ) = S T = 6 = = = = 60 cm = 6,0 m

73 0.19 Exercícios resolvidos no material 0.0 Exercícios resolvidos no material MAT 7D AULA Pacote: cm Caixa: cm Caixa/pacote = 8 pacotes em cada caixa = 1,5 1 Caixas 1.0 Vd = 000 L = m Nd = 15 Vc = (Vol Nol) 10% Vc = ( 15) 1,1 Vc = m = 000 L Precipitação = 110 mm Área do telhado = Vc prec. = = 00 m 1.0 Dividimos a piscina em áreas

74 1ª área mais rasa V = 1 = 6 m ª área média Área a = 1 = 9 m Área b = 1 = 4,5 m V = a + b = 1,5 m ª área, mais funda V = = 18 m 1ª área + ª área + ª área = 7,5 m = L 1.04 (V) (F) Prisma quadrangular tem por base um quadrilátero não necessariamente quadrado. (V) (V) 6 arestas em cada base mais 6 arestas laterais Apenas a II e III, pois em sua montagem forma-se um figura em planos Sb = 4 V = m

75 1.07 Como todos os livros tem a mesma área de capa e a altura das três pilhas são iguais, o volume é o mesmo em todas as pilhas, independente de elas estarem organizadas ou não de cada base = das faces = 15 arestas x = L V = 19 6 L 4 L = 19 L = 19 L = 64 L = 4 x = L x = 8

76 1.10 V = 7 h = 4 Sb 4 = 7 Sb = 7 1 Sb = 6 6 L 4 = 6 L = St = 6 ( 4 ) + 6 St = St = V = 6 L 4 6 = 1 78 L = 19 = 64 L = 8 Sb = Sb = 88 Sl = 6(6 8 ) Sl = 88

77 1.1 St = St = St = 00 1, St = St = 10 1, = 77 cm 500 = cm = 18,6 m 1.1 Prisma de aresta 10 V = = 000 Sb = 100 Sl = 00 Prisma com aresta + 10% V = = 40 Sb = 11 Sl = V = Sb h V = 6L 4 h

78 V = L h L h 1.15 Volume do tampo: Vt = = cm Volume de madeira: Vm = 6 4 = 0,6 cm Vm 0, 6 = 0,0015 0,15% Vt S = (n ) n Ou Sti = (V ) 60 = 7 00 V = 0 V = 1.17 Sen = 1 x x = 5 15 y = 15 y = 16 y = 6 6 V = xy 10 V = V = m

79 1.18 Sen 60º = h h = 7 = + x x cos60 o 7 = 4 + x x x x = 0 x' = 1 não serve x = V = 4 V = Exercício resolvido no material 1.0 Exercício resolvido no material MAT 7E AULA

80 a) b) c) d) e) P(). P() 0 P( ) ( ).( ) P( ) 16 P(1) 1.1 P(1) 0 P( 1) ( 1).( 1) P( 1) 4 P(). P() 4 ALTERNATIVA C P(x) x 16 P(x) (x 4)(x 4) P(x) (x 4)(x )(x ) P(x) é divisível por (x 4), (x + ), (x ) e por qualquer produto entre eles. A(x) x 4 A(x) (x )(x ) A(x) é divisível por (x + ) e por (x ) ALTERNATIVA E 19.0 (V) (V) (F) R P(1) R 1 10 R 9 5 R P( ) R ( ) R 0 R P( ) R ( ) 10.( ) 9 R 1 P() P() 6 R P() (V) R = P() (V) R P 5

81 19.04 Podemos dizer que P(x) k(x 1)(x 1) P(x) k(x 1) ALTERNATIVA D P 1 = P = 9 P 1 = R P( 1) 6 R 1 1 R 0 ALTERNATIVA A P(1) = k = 0 k = P(1) = a 1 + a = 4 a = 4 a =

82 19.09 R P(1) 500 R 1 1 R 0 ALTERNATIVA B P(1) = P(1) + m + 1 = + m + 1 m = 4 m = x 6x + 5 x = 5 e x = 1 P(1) = 0 ou P(5) = p + q = 0 P + q = r 1 0 R Q x 19.1 Se a soma dos coeficientes é igual a zero, 1 é raiz de f. Assim, f é divisível por (x 1).

83 ALTERNATIVA B x x x = e x = 1 P() = m + n 10 = 0 P(1) = m n 10 = 10 m n 1 m n 11 m = 1 m = 4 n = 7 m + n = 4 + (7) = f(1) = 1 7() = a b 1 (-1) a b a = e b = 4 (x) f x 1 x ax b Q (x) f (x) = (x 1)(x 1) Q (x) + ax + b R (x) = x a b a 1 a b 1 1 a 4 P(1) = 0

84 1 + a+ b = 0 a + b = 1 b = a + 4 = 0 a = P(x) = x 4 4x + x x(x 4) + Resto x 5x 6 x = 6 e x = 1 P(6) = m + n = 0 6m + n = 88 P(1) = m + n = 0 m n = 0 6m n 88 m n 0 7m = 08 m = 44 e n = Q(x) = x + 4x

85 g (x) = x + x + ax + b + 1 g (1) = a + b + 1 = 0 a + b = h (x) = x + x + ax + b 1 a + b = a b a b b = 6 b = e a = P (x) (x )(x + ) Grau, R (x) tem máximo grau 1. Quociente = Q (x) Resto = ax + b P () = 7 P () = 5 a b 7 a b 5 1 5a = a = b = 7 b = 1 5 R (x) = x

86 P () = 0 P (1) = m 4 n 0 m n m 8 n 0 4m n 8 5m + n = 7 MAT 7E AULA R (x) = 0 p (1) = P(1) = 0 P() = 1 P(x) (x 1)(x ) Resto: R(x) = ax + b Quociente Q(x) R (1) = a + b = 0 R () = a + b = 1 a = 1 e b = 1 1(x 1) 0.0 O grau será a soma dos expoentes de cada fator, assim:

87 Grau = Grau = 1 ALTERNATIVA B 0.04 P (a) = 0 P (b) = 0 a a c 0 b b c 0 a b + a b = 0 (a + b)(a b) + (a b) = 0 (a b) (a + b + 1) = 0 a + b = P (x) x Resto = 1 Quociente: Q (x) P (x) (x )(x ) Resto: R (x) = ax + b P (x) = (x ) Q (x) 1 P () = 1 Q () 1 = a b 1 ( 1) a b a = e b = 7 R (x) = x 7

88 0.06 x + kx x + x + 1 Resto: (k )x k + Quociente: x +(k + 1) (k )x k + (k ) = 0 k = x +(k + 1) x x = A(x 1) + B(x 5) x = Ax A + Bx 5B A B A 5B 4B = 1 B = 1 4 A + B = 0.08 x b x 4 4 x 4 = x bx 4 = y x y = b

89 k k 1 1 k 1 k k 4k x 4 + x + 1 x x + 1 Quociente = x + x + 5 Resto = 8x P (1) = 0 P (x) = (a )x P (x) x + x Quociente = x Resto = R (x) R (x) = ax + b P (x) = (x + x)(x ) + ax + b P (1) = 0 R (4) = 10 a b 4 4a b 10 ( 1) a = 6 a = e b = P (x) = (a )x a = 1

90 0.1 P() = a b = 0 P = 7 9 a b = a b ab b = 4a 9a + 4b = 7 9a 16a = 7 7a = 7 a = 1 a + b = (1) + 4 = 0.1 P (x) x Resto = m Quociente = x x + 5 P (x) = (x )(x x + 5) + m m = 0 m = P Q (0) = P P (0) = (1) = 8 P (1) = 5 Q (0) = 8 5 1

91 Q (0) = m: muilt. Por x aumenta o grau em 1 S: subt. x por x 1 não altera o grau P(x) = º grau M M S M S S M Sendo P(x) x ax (a b)x b, temos que P( 1) 0, assim: ( 1) a.( 1) (a b).( 1) b 0 1 a a b b 0 5a 4b 1 Sendo Q(x) x (a b)x a, temos que Q( 1) 0, assim: ( 1) (a b).( 1) a 0 1 a b a 0 a b 1 Montando e resolvendo o sistema, temos: 5a 4b 1 a b 1 5a 4b 1 6a 4b a a. b 1 b 4 ALTERNATIVA C 0.17

92 B(x) = x 4x + 6 Yv = A a 4 = 8 4 = 0.18 P(x) = (x x)(6x + 5x + ) 7x 1 P = = 4 (1 + ) + 7 = 7 = x 1 = (x + 1)(x 1) P (x) x 1 Resto = ax + b Quociente = Q (x) P (x) = x x + 1 P (x) = (x 1)Q (x) + ax + b P (1) = P (1) = 1 a b a b 1 b = e a = 1 Q (x) = x 98 + x x + 1e

93 R (x) = x x mx n x x x x x x 9 m x 4 mx + n x 4 + 9x (9 m)x + n (9 m)x (9 m)x (9 m)x + n = 5 (9 m) = 0 m = 9 n = 5 MAT 7E AULA E) Correta. O conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos 1.0 B) Correta. Pela definição de número complexo, i = x = 4 68 x = 8i x = 1 4i 1.04

94 x = 4 x = 1.05 m = 0 m = n 0 n z z z 1 i 1 i 1 i z z z 6i ALTERNATIVA B 1.07 (1 i ) i + 16i + 8i 16 8i z w = 6 8i + i 4i 10 5i = i i ( i i + i ) 4i + + 4i + 1 = m 9 = 0 e m 0

95 (m )(m +) = 0 m = 1.11 (1 i) = 1 i + i = i z = [(1 i) ] = (i) = 8i Z =8i i + i [i(1 i)] i + i i 4i x + xi + yi + yi x y + (x + y)i x + y = a + abi + bi = + 4i a b + abi = + 4i ab 4 a b a = b a = 1 a b 4 = b b =

96 4 b 4 = b b 4 b 4 = 0 b = 1 b = 4 b = 8.lal + 5.lbl = = x x i + i xi (1 x )i + x 1 x = 0 x = 1 x = 1.16 m ni + mi n i = (m n) + (m n 1) = 0 m n 0 m n 1 ( ) n = n = m = = 1

97 m + n = ( 1 ) + ( ) = i i i i i i. i i i i -1 s i i. i 1 1 i i i 1 ALTERNATIVA D 1.18 [(1 + i) ] 6 [(1 i) ] 6 (i) 6 (i) 6 = a) x yi1 i x xi yi yi b) x yi 1 i x y x y i

98 x yi 1 i x y x y i 0i x y x y 0 x x 1 1 y y a 1, a 1 q, a 1 q, a 1 q 1 a a 1 i 1q a1q a i 1q a1 q q i a1 a q 1 i 1 q 1 i q q i 1 1 i q i i 1 i = q q = 1 + i