y = 720 x MAT 2A AULA De acordo com o enunciado, a quantia y é: Para x = 10 y = 72 Para x = 40 y = 18 MAT 2A AULA 4 2 = am + b = a + b = 28

Transcrição

1 MAT A AULA De acordo com o enunciado, a quantia y é: y = 70 x Para x = 10 y = 7 Para x = 40 y = 18 MAT A AULA 4 f m = am + b f 1 = a + b = 8 f = ª + b = 56 a = 8 b = 0 p = f m = 8 m MAT A AULA 4 3 f(6) = 5a = b = 6,35 f(10) = 10a = b = 6,70 (-1) 5a = 0,35 a = 0,07 0,35 + b = 6,35 b = 6 y = 0,07x + 6 MAT A AULA 4 4

2 = y = x f(0) = (0 ) 10 0 = 0 f(1) = = 8 f() = 10 = 1 f( 1) = ( 1) 10 ( 1) = 1 f( ) = ( ) 10 ( ) = 8 MAT A AULA 4 6 ( + 3 ) V. De acordo com o diagrama, f( 1) = 7. V. Cada valor de x possui um correspondente distinto em y V. Cada valor da imagem possui um único correspondente no domínio. F. f(1) = 9 f(1) f() + 1 pois f() = 10 MAT A AULA 4 8 y = x

3 MAT A AULA 4 9 0,85n + 1 = 66,4 0,85n = 54,4 n = 64 MAT A AULA 4 10 f = f = MAT A AULA 4 11 z = 100x² MAT A AULA 4 1 Em 0 horas, a altura será 6 5h = 0 h = 0, logo b = 0 Em 1h 6 5 h = 4 h = 15 Assim (1; 15 ) f(1) = 15 a 1 = 15 a = 15 f(x) = 15 Como o volume é de = 10 m 3 Precisamos de 30h para encher 0 t 30 h(t) = = t, t [0; 30] 15 MAT A AULA 4 13 C(x) = 6x + 800

4 L(x) =10x 6x + 800) L(x) = 4x 800 MAT A AULA 4 14 Para ser função, par cada x deve existir um único y. I. Cada mãe tem + de 1 filho Não é f II. cada filho tem uma única mãe É f III. Alguns filhos tem mais de um irmão Não é f MAT A AULA ,8 3,6t = 0 3,6t = 8,8 t = 8,8 3,6 t = 8 MAT A AULA 4 16 FPS = 8 x = 8 E(8) = = 7 8 = 0,875 E(x) = seja 1% maios que E(x) x =? E(x) = 1,1 E(8) E(x) = 1,1 J 0,875 E(x) = 0, x = 0,98 1 x = 0,0 1 x = 100 x = 50

5 MAT A AULA = 400 MAT A AULA 4 18 f = 40 x g x f = 0 g x 3 x + 1 MAT A AULA 4 19 a) Lucro = 150% de 150 = 5 5 = 1,5x = 1,5x x = 50 b) y = 1,5x 150 MAT A AULA 4 0 a) 57 = a 00 a a = a = 164 cm = 1,64 m b)

6 a (a 100) 4 = (a 10) a a = ª a = 158 cm Peso de Paula P = ( ) Kg Peso de Paulo = 56 Kg MAT A AULA Figura 01: 4 Canudos, 1 quadrado Figura 0: 7 canudos, quadrados Figura 3: 10 canudos; 3 quadrados C = 3Q De acordo com o gráfico, as possibilidades são: a) 10 km em aproximadamente semanas. Uma carroça é capaz de se deslocar mais rápido do que isso. b) 10 km em aproximadamente dias. Um carro é capaz de se deslocar mais rápido do que isso. c) 10 km em aproximadamente horas. É um valor aceitável para uma pessoa caminhando. d) 10 km em aproximadamente minutos. É muito mais rápido do que uma bicicleta pode fazer. e) 10 km em aproximadamente segundos. É muito mais rápido do que um avião pode fazer

7 F. D f(x) = ] 4,7[ F. A função é real F. I f(x) = ],3[ V. I f(x) = ],3[ V. Entre 0 e 7 a reta intercepta o eixo x (f(x) = 0) V. Para x = 0, 0<f(x)<3. A reta intercepta o eixo vertical em algum valor positivo de y entre 0 e a) Incorreta. A curva intercepta o eixo vertical em algum valor positivo de y entre 0 e 5. b) Incorreta. Decrescente entre x = 0 e x = 1 c) Incorreta. f(-) < 0 d) Incorreta. f(x) = 0 para x = { 1,1,} e) Correta. f( 1) + f(1) + f() = = I. Verdadeira. f: R R II. Verdadeira. f: R R III. Falsa. entre x = 1 e x = 4 é constante. IV. Verdadeira. f(0) = f(1) = f() = f(3) = f(4) = 1 V. Verdadeira. Ver III e IV. VI. Verdadeira. A curva intercepta o eixo x para algum valor de x < 1. MAT A AULA = =

8 MAT A AULA 5 7 {3; 4; 5} f(1) = 1; f() = 1; f(3)=; f(4)=; f(5) = 3; f(6)=3 If(x) = {1,, 3, 4, 5, 6, } MAT A AULA 5 9 f(0) = 3 f(3) = Observando a curva mínima: f(1) = 8, f(x) = x f( 30) = f(30) = ( 30) = f( 0) = f(0) = ( 0) = 500 f( 10) = f(10) = ( 10) = 00 f(0) = = 100 If(x) = {100; 00; 500; 1 000}

9 05.1 Para x : f(x) = ax + b f(0) = a 0 + b = b = f() = a + b = = a a = y = x I. v = 400/4 = 100 m/min v = 100 m min x 1km 60 min x = 6 km/h m 1 h II. Entre 6 e 8 min, a distância não varia (repouso) III. f(10) = 1 00 m AABDO = 0,54 Atotal AABDO = 0,54 h f() = = 4 h = 4 AABDO = 0,54 4 = 4,3 u.a A função é crescente de 0 a 4. q(4) = 4 (máximo da função) f(60) < f(48) = 1 000

10 05.16 fora da promoção x1 = = R$1 050,00 Promoção: x = (150 0) + (130 0) = R$ 960,00 x1 x = = R$ 90, m(x) não é uma função contínua e sua imagem é dada por números inteiros positivos Inicialmente a posição aumenta com o quadrado do tempo. Num segundo momento a posição se mantem constante (repouso). A seguir a posição diminui uniformemente com o tempo, o móvel retorna a origem e se mantem em repouso por um intervalo de tempo. Finalmente, passa a aumentar linearmente com o tempo P(x) = = 100 0,0 x 0,0 x = 40 x = 000 R = P x R = (100 0,0 x) x R = (100 0,0 000) 000 R = = reais 05.0 I) y = ,0 x II) y = 0 + x III) y = 3x

11 MAT A AULA Sem atraso: R$500,00 Com atraso: deverá pagar 500, ,00 + 0,4 x f(x) = ,4. x 06.0 V. A função é do tipo y = ax + b V. Se x1 > x; f(x1) > f(x) F. f(0) = = 1 V. ver anterior. V. f() = 7 1 = a) População urbana em 00: entre 4,0 bilhões de habitante e 5,0 bilhões de habitantes, b) e c) De acordo com a proporção, em ano de 00 a população é superior a 4,15 bilhões de habitantes. e) Para população urbana em 00 de 4,5 bilhões de habitantes, o gráfico deveria marcar um ponto equidistante a 5,0 e 4,0 bilhões de habitantes. A correta: d) É a única alternativa que mais se aproxima do valor indicado no gráfico, levando em consideração as outras proporções Plano K: ìï 9,90 se 0 x 00 k(x) = í îï 0,0x + 9,90 se x > 00 Plano Z:

12 ìï 49,90 se 0 x 300 k(x) = í îï 0,10x + 49,90 se x > Para qualquer valor de x, f(x) = 8 (função constante). Assim, f(0) + f(1) = = coeficiente angular a = 1 (pois o ângulo é 45º e tan 45º =1) f(0) = a 0 + b = b = f(x) = x coeficiente angular: a = tan α = Δy/Δx a = /4 = 0,5 A reta intercepta o eixo y em y = (b = ) f(x) = 0,5 x I. f(x) = 0 3x + = 0 x = /3 Î R II. f(0) = = III. IV. f(x+1) = 3 (x+1) + = 3x + 5 f(x+1) = f(x) Em t = 0; R$ = 100

13 f(x) = 10x f(4) = h 5 ppm 14h 85 ppm ( ) 15h 70 ppm ppm e assim por diante. MAT 3A AULA 6 11 (70; 10), ( 1 00; 5) e (x; 6) Assim, = x x = 960 MAT A AULA 6 1 Mantendo o padrão de variação temos em de 004 = 18 Logo para = MAT A AULA 6 13 f(x) = ax + b f(1) = a(1) + b 9 = 1a + b a + b = 9 b a = 6

14 a + b = 6 (1) a b = 6 (b a) = (b + a) (b + a) = 54 9 (b a) = 54 b a = 54 9 MAT A AULA a + b = 50 15a + b = 75 1 Sendo assim, y = 5x a = 5 a = 5 b = 150 MAT A AULA = m 5 + n (i) 63 = m + n (II) Subtraindo I de II: 63 = 7m m = 9 e n = 45 f(x) = 9x 45 f(16) = = 99 MAT A AULA 6 16 Enquanto a formiga se afasta, sua distância do centro aumenta linearmente. Quando ela caminha pela borda, sua distância em relação ao centro não se altera. Quando ela retorna ao centro, sua distância diminui linearmente com o tempo.

15 MAT A AULA 6-17 trocando os eixos: x = y + 6 y = x/ 3 A reta intercepta o eixo das ordenadas em y = 3 e possui coeficiente angular de 0,5 (reta crescente) MAT A AULA 6 18 Seja C um ponto de coordenadas (r, s) no seguimento AB. A semelhança dos triângulos ADC e AEB concluímos que: r = =, s Ou seja, 3s = r =. Como queremos que r e s sejam inteiros, segue dessa equação que s é par. Uma vez assim escolhido s, o valor de r fica determinado, e desse modo obtemos todos os pontos de coordenadas inteiras no segmento AB. Como existem 301 números pares de à 60. Inclusive esses, a alternativa correta é a (e) 301. MAT B AULA CPF: d1d Cálculo de d = = = 1 Cálculo de d = = 4 44 = d = (11 ) = 9 MAT B AULA 4 5ª etapa: Despeja-se os 300 ml contidos na garrafa de 800 ml na garrafa com capacidade para 500 ml.

16 6ª etapa: despeja-se o azeite da lata até encher a garrafa de 800 ml. O que resta na lata é a quantidade de 100 ml de azeite. MAT B AULA 4 3 O método do aluno não vale para todo múltiplo de 7. Por exemplo, 35: = 8, que não é divisível por 7. MAT B AULA 4 4 MAT B AULA 4 5 P = {x IN / 6 x 0} {6, 7, 8,..., 0} A = {x P / x é par} {6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0} B = {x P / x é divisor de 48} {6, 8, 1} C = {x P / x é múltiplo de 5} {10, 0} MAT B AULA 4 6 I. Incorreta. Subconjuntos: há mais do que 6 pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. II. Incorreta. O produto cartesiano é não comutativo III. Incorreta. B A = {7;11;13} MAT B AULA 4-7 De acordo com a análise dos conjuntos, todas as afirmações são corretas.

17 MAT B AULA x = 50 x = 80 MAT B AULA 4 9 A = 6 + B = 6 A B = 36 = 34 MAT B AULA 4 10 G E I R 3, ,1604 3, ,15 MAT B AULA = 7 7 = = = = Temos que 19 (4 4) = 3 3º da seq = termina em 3 Então

18 = termina em = 4 4 = = 64 Temos que 18 ( 9) = 0 º da seq = termina em 6 MAT B AULA = 8 MAT B AULA 4 13 x 11 = 7 x = 18 x = 9

19 MAT B AULA 4 14 x + y = x + y = x = y 50 + x = y x 3y = 7 3x + 3y = 138 x 3y = 7 x = 9 y = 17 MAT B AULA ) V para x = ) = 3 ; = ,5 16) 4 = = = ,5 1 + MAT B AULA ) = = 7 ) = 8 +

20 3) Para K = = (10) K = 1 = = (100) K = = = (1 000) Logo + k IN K = ( ) K zeros 4) a = ª = Assim ª = ( ) dígitos. MAT B AULA 4 17 I. (F) zero II. (F) III. 10x = = = = = 583 MAT B AULA 4 18 Fazendo uma análise pior amostragem em 100 jogos temos que, em 60 dels, não houve gol no 1º tempo ( G 1 = 60 G1 = 40). a) F θ nº. de jogos com 0 x 0 = n G1 G mas 0 n G1 G 40. b) Suponha que nos tempos que houve gol, tenha havido somente 1. Assim teríamos um total de 40 gols no 1º tempo, e 60 no º, um total de 100 gols. Isso indica uma média de ao menos 1 gol por partida c) Não é possível afirma. e) Falso, pois 0 G1 G 40

21 MAT B AULA 4 19 a) z = 71 (7 + 1) = 63 z = 30 (3 + 0) = 7 b) z = xy (x + y) z = 10x + y x y z = 9x MAT B AULA de 135 = 90 moram no RJ 3 5 de 90 = 54 usam ônibus e moram no RJ 4 funcionários usam somente carro 1 de 4 = 8 não moram no RJ e usam carro 3 16 moram no RJ e usam carro = 0 moram no RJ e usam ônibus = 45 moram fora do rj 45 8 = 37 não moram no RJ e usam ônibus RJ Ñ RJ O 0 37 C 16 8 OB 54 O: Funcionários que usam somente ônibus C: Funcionários que usam carro próprio. OB: Funcionários que usam ônibus e carro

22 MAT B AULA tg 60 = x 1,8 x 3 = 1,8 x = 1,8 3 x = 3,1 Km MAT B AULA 5 (8, ) = d d = 8,5 + 8, d = 7, d = ,5 d 39 MAT B AULA 5 3 (R + x) = R + (R) R + Rx + x = 5R x + Rx 4R = 0 x = R 4R + 16R x = R R 0 x = R R 5

23 x = R R 5 OD = R + x = R R + R 5 = 5 BD = OD + R BD = BD = MAT B AULA 5 4 I. sen 60º = 3 II. cos 45º = III. cos 60º + sen 30º = 0,5 + 0,5 = 1 = tan 45º MAT B AULA 5 5 tg 45 = 5 x 1 = 5 x x = 5 sen 30 = y 6 1 y = 6 Y = 3 cos 60 = 4 y 1 4 = z z = 8 MAT B AULA 5 6

24 x + = 6 x = 36-4 x = 3 x = 4 MAT B AULA 5 7 sen 30 = x 1 1 x = 1 x = 6 cos 30 = y 1 3 y = 1

25 y = 6 3 MAT B AULA = 4 4 MAT B AULA 5 9 sen a = h A A = h sen a Ou cos a = L A A = L cos a sen b = h B B = h sen b 4 h sen b + L cos a

26 MAT B AULA 5 10 tg 60 = x ,7 = x = x + 3 x = 48 MAT B AULA 5 11 sen 30 = x 0 1 x = 0 x = 10 cos 30 = y 0 3 y = 0 y = 10 3 BC + AC = ( ) MAT B AULA 5 1 sem 60 = x 50 3 x = 50 x = 5 1,73

27 x = 43,5 MAT B AULA 5 13 x = (8 x) + 6 x = 64 16x + x x = 100 x = MAT B AULA 5 14 tg = 3 3 y x = 3 3 y = 3x 3 = y 6 3 y tg 60 = x + 4 = 3 3x 3 x + 4 = 3 3x = x + 4 x = MAT B AULA 5 15 x + y = 15 5y 4 + y = 5 5y + 4y = 900 9y = 900 y = 10 tg C = x = 5 y x = y 5 x = MAT B AULA 5 16 sen + cos = 1 cos = 1 0,8 cos =0,36 cos = 0,6

28 tg = x x - 99 sen. = cos. x sen. 0, 8 x = = x - 99 cos. 0,6 x - 99 x sen. 0, 8 x tg. = = = x - 99 cos. 0,6 x ,8x 79, = 0,6x 0,x = 79, x = 396m MAT B AULA 5 17 AH no AEH AH = a + (a) AH = 5a AH a 5 HB no AHB HB = a + AB HB = 5a + a HB = a 6 Em AHB temos: HB AX = AB AH a 6 AX = a 5 AX = a AX = a 30 6 MAT B AULA 5 18 No triângulo retângulo a medida da mediana relativa à hipotenusa, é igual à metade da hipotenusa. x = a b a + b = (x) a + b = (a a b ) a + b = 4ab a 4ab + b = 0 a = 4b 16b + 4b a = b( ± 3 ) como a > b a = b( + 3 ) Então: a a ab ab cos = = = x ab ab b b + 3 b b cos = cos = cos = + 3 b b MAT B AULA 5 19 a) x = x = 18 x = 18 x = 3

29 cos 45 = 3 r 3 = r r = 6 r = 3 MAT B AULA 5 0 L 16 = H 9 = x L = 16x polegadas H = 9x polegadas 37 = (9x) + (16x) 37 = 337x x = ,5 = Largura: 16,5 = 80 cm Altura = 9,5 = 45 cm MAT B AULA Como a área de um losango é definida pela metade do produto de suas diagonais, e as diagonais possuem o mesmo tamanho nas duas pipas, as áreas são iguais, ou seja, gasta-se a mesma quantidade de papel e a mesma quantidade de bambu (diagonais) para fazê-las. Eliminando as alternativas sobre área (a,b,d,e), resta apenas a alternativa C. MAT B AULA 6 d = cos d = ,934 d = d=130 km V=600 km/h Resposta: E MAT B AULA 6 3

30 3,6 =7 +x 7 x cos30 o Utilizando a aproximação do enunciado, temos: x 1,1x+36,04=0 x=6,8 ou x=5,3 6,8 1,07=5,73>5,5 e 5,3 1,07=4,3<5,5 Resposta: B MAT B AULA sen 60 = = x = = 4 3 x x tg 60 = 3 = y = 3 y y (6 3 ) ( 3 ) = 30 (x + y) (x y) = 36 MAT B AULA 6 5 x = x = 7 x = 7 MAT B AULA = sen B sena 8 1 = sen B 8 sen B = = 1 3

31 MAT B AULA 6 7 x = 10 sen 45 x = 10 x = 5 MAT B AULA = cos 16 1 = 1cos 3 1 = cos cos = 1 4 MAT B AULA = 10 + x x 10 cos = x + 10x x = + 10x 96 = 0 = = 484 x = 10 x = 16 x = 6 MAT B AULA 6 10 Sem = 17,8 00 = 0,864 = = 60 MAT B AULA = cos t 5 = 40 cos t cos t = 1 8

32 MAT B AULA sen A = R R = 5 b C = sen C sen c b = C 100 = C + 4C C = 0 C = 5 MAT B AULA 6 13 x = cos 10 x = 5 + x = 7 MAT B AULA 6 14 x = cos 60 x = x = x = x = 4, = 4 360m = = MAT B AULA 6 15 (x + ) = (x + 1) + x x(x + 1) cos x + 4x + = x + x x x(x 1) cos x(x + 1) cos = x x 3 x + 1 x - 3 cos = x x + 1 cos = x - 3 x

33 x = 1 x = 3 MAT B AULA 6 16 b = cos 135 ( ) b = 5 + b = 5 + b sen B = R R = 5 + R = MAT B AULA 6 17 AM = AM = 5 AM = 13 x = 4 + ( 13 ) 4 13 cos (180 ) x = x = 4 x = 4 MAT B AULA x = 15 x = 3 (5 + r) = 5 + (5 r) 5(5 r) cos r + r = r + r + 5 5r 5r = 50 r = Lados: 3, 5 e = 105 MAT B AULA 6 19 a) = cm b) 1 = 5 + (4 ) 5 4 cos 40 cos = 56 cos = cos = cos = 7 10

34 sen + cos = 1 sen = 1 sen = sen = 100 sem = 10 MAT B AULA 6 0 Resolvido no material original MAT C AULA Jogo 1: p1 = p = 65 pontos Jogo 3: p3 = p3 = 70 pontos p3 p1 = 5 MAT C AULA 4 A = = 14 B = = 13 C = = 15 MAT C AULA 4 3 Analisando os dados da matriz, temos: aluno 1: 1 ponto aluno : 3 pontos aluno 3: 1 ponto aluno 4: 1 ponto aluno 5: 1 ponto Resposta: D MAT C AULA 4 4

35 = 30 MAT C AULA 4 5 b+b31=(+)+(3 1)=6 Resposta: D MAT C AULA 4 6 a1=1 +=3 e b1=3 a3=3 +=11 e b3=11 Trocando i por j temos bij=i+j Resposta: B MAT C AULA 4 7 x + 1 = 1 x = 1 y = 9 y = (1) = 4 MAT C AULA 4 8 C=[ ]+[ ]=[ ] Resposta: D MAT C AULA = MAT C AULA 4-10

36 = MAT C AULA x = MAT C AULA 4 1 x = _ = x= MAT C AULA x + y = 7 9x + 4y = y + (x + 4) = 13 9y + 4x + 16 = x + 4y = 4 36x - 16y = x 9y = 6 36x + 81y = y = 390 y = y = 6 9x = 4 9x = 18 x = 18 9 x = y x = 6 = 4 MAT C AULA 4 14

37 x = x = MAT C AULA 4 15 Transposta: é y x 4 - y ù é y 36-7 ù ê ú A t = A Û ê ú ê ë -7 5x 3 ú = ê ú ê x 0 5x ú ê û ë 4 - y ú û Por analogia: x = 36 x = ±6 5x = 30 x = 6 4 y = 7 y = 11 x + y = ( 6) + 11 = 1 MAT C AULA 4 16 MAT C AULA 4 17 x1 x = x y1 y = y x + y = x 1 - y 1-1 x = x = y = 3 x + y = 3 x - y = 7 x = 10 x = 5 y = = 5 19 MAT C AULA 4 18

38 a b a c = c d b d 7 0 3a = 3 a = 1 3d = 0 d = 0 3c = 6 c = b = 6 b = 3 b + c = 8 b + c = 8 b + c = 7 b - 4c = -14 MAT C AULA 4 19 Na 1ª linha múltiplos de 1. Na ª linha múltiplos de. Na 3ª linha múltiplos de 3. Assim até 100ª linha. Para ver quantos números de zero é só ver o número de divisores de 100. D(100) = {1,, 4, 5, 10, 0, 5, 50, 100} 9 números de 0. MAT C AULA 4 0 a) Na medição do 4º dia b) TM = 38,6 + 37, + 36,1 3 TM = 37,3 MAT C AULA 4 1 3a + a 3b + c = - 3c + b 3d + d a = 4 a = 1 3b + c = b + 3c = 6 3 9b - 3c = -6 b + 3c = 6

39 8b = 0 b = c = 6 c = 4b = 4 d = 1 x = MAT C AULA 5 1 I =3 peças "1" no modelo "1". (Verdadeiro) II. Para o modelo "1", temos: peças "1"=3 peças ""= =6 peças "3"= =49 Peças do modelo "1"=107 (Verdadeiro) III. O total de peças é a soma dos elementos da matriz P M (Falsa) Resposta: B MAT C AULA 5-4 A A = B B = 5 = C = = MATC AULA 5 3

40 m m m M = m m m m m m Temos M C = P m11 m1 m m m m = m31 m3 m m11 m 11 - m 1 + m13 m m m - m + m m = m31 m 31 - m3 + m33 m a = a c = 1b d = 18 f = 17 g = 19 I = 0 b + = 10 b = e + 34 = 38 e = h + 0 = 14 h = 5 Igualando os elementos das duas matrizes conseguiremos obter os valores dos elementos da matriz M. m11=; m1= 14; m13=1; m1=18; m=14; m3=17; m31=19; m3=5; m33=0. Transpondo para letras obtemos: Boasorte! MAT C AULA 5 4 A B = MAT C AULA AB = - BA = =

41 MAT C AULA 5 6 (A B) C = 3 4 3xr xt t = 4 r = s = r + s + t = 8 MAT C AULA x + x 4 5 = y + z y + z x = 3 y + z = 36 y + z = z = 36 z = 7 y = A = = 40 MAT C AULA 5 8 Ax X = Bx1 3 1 x 11 = 1 y 8 3x + y = 11 -x + y = 8 3 7y = 35 y = 5 3x = 6 x =

42 x = 5 MAT C AULA 5 9 a11 a1 0 = a a 1 a11 = 14 = 7 resto 0 a1 = 14 3 = 4 resto a1 = 14 3 = 4 resto a = 14 4 = 3 resto Sendo assim: = 0 A = 0 A = MAT C AULA = a11 = a1 MAT C AULA 5 = 11 x = 0 x = 1 y = 0 y = 1 x + y = MAT C AULA 5 1

43 A = 1 0 B = C = Igual ao produto de a1 por b13. MAT C AULA xy 3x 3y xy + 4 3x = 9 x = 3 3y = 15 y = 5 x + y = 8 MAT C AULA 5 14 Linha A ( 4 6) Coluna B C = = 7 MAT C AULA x = 6 10 y z x = y = 6 z = 10

44 x y z = 10 MAT C AULA 5 16 Q C = V V = MAT C AULA A = A =... A = = 015 MAT C AULA A = 4 A t = = MAT C AULA 5 19 a b c 3a 3b 3c B = d e f AB = 3d 3e 3f g h i 3g 3h 3i BA = AB MAT C AULA C = 4 5

45 MAT C AULA p(x) = 6 + x + p(x) = x + 8 I. p(5) = p(5) = 18 II. x + 8 = 30 x = x = 11 III. p(3) = = p(3) = 14 p(1) = p(1) = 3 MAT C AULA = ( ) (184 15) m MAT C AULA ( ) 1 (40) = ( ) 1 (70) = A = A = 55 m

46 MAT C AULA 6 4 Det(A) = 35 7 Det(A) = 8 MAT C AULA 6 5 Det(y) = Det(y) = Det(y) = 108 MAT C AULA 6 6 Det(A) = 1 x x + 1 x + x Det(A) = 0 MAT C AULA 6 7 Det(A) = x 5x + 6 (x 5x + 4) Det(A) = MAT C AULA 6 8 x(x ) x x = 0 x 4x 14x = 0 x 18x = 0 x = 0 x = 9 MAT C AULA 6 9 3x + 3 x - 9 x + 3 x - 3 x - 3 = = 3x MAT C AULA 6 10 x + - 6x - x x - 6 x - 6 x - 6 = x

47 MAT C AULA 6 11 Det(A) = 1 + x x x x Det(A) = x x x x = 0 x = 0 x = 1 1 x v = 1 y v = y v = - 1 = - MAT C AULA 6 1 a11 = = 7 a1 = 1 a1 = a = + 5 = = = 61 MAT C AULA x < 0 ( + x)( x) < 0

48 MAT C AULA 6 14 x + 4x > 0 x(x + 4) > 0 MAT C AULA 6 15 x(x 4) x + 7 (x 4) x 4x x x + 8 x 11x + 4 < 0 x = 11 5 x = 8 x = 3

49 MAT C AULA 6 16 x(x 4) 4 8 x (x 4) 0 x 4x 1 x x 8 0 x 3x 4 0 = = 5 x = 3 5 x = 4 x = 1 MAT C AULA 6 17 Sabemos que det. = 0 quando a matriz possui linhas ou colunas iguais. Em cada linha podemos escolhe 3 posições para colocar o nº 5 c1, c ou c3. Então: 1ª linha: 3 posições ª linha: posições 3ª linha: 1 posição Sendo assim temos 6 posições.

50 MAT C AULA ) A A = I t = ) det AB = = det AB = det AB = det AB = - = - 4 3) B = B = = 3 B = B = B = MAT C AULA = = 13 MAT C AULA 6-0

51 x (1) (1) 1+1 x 1 1 x x(x 4x + 3) 0 Resolvendo a inequação com o estudo de sinais temos: S = ] ; 0] [1; 3] x + y x y = 5 4 4x + 4y 4x 8y = 5 4x 4x y 8y + 4 = 0 (x 1) + (y ) = 0 x 1 = 0 x = 1 y = 0 y = 1 x + y = = 1,5 MAT D AULA % = = 4 10 = 5 MAT D AULA 4 56% = 0,56 0, = MAT D AULA % 13 X 13x = x 9,8

52 MAT D AULA = 0,4 = = 40% 1 50 = 0,5 = 100 = 50% 15% = = 0, ,15 = 90 65% = = 0, ,65 = 16,50 MAT D AULA 4 5 (V) 35% = = 0,35. (V) 100% 1 130% x x = 1,3 (V) 1 100% 0,7 x x = = 70% 30% de 100 (F) 1 100% 1, 10% 1, = x + 0% MAT D AULA 4 6 0% de (3 65 ) 0% de (3 5) 0% de 75 = 15 MAT D AULA % 000 x = x = 5% 0 x 80 MAT D AULA 4 8

53 76, 100% 1 50 x = x = 19,94 0% 15, x 76, MAT D AULA % x = x = % x 60 MAT D AULA % x x = 1 00 MAT D AULA % x 100% 16% - 1% x = m = 30 Km MAT D AULA 4 1 P = 0,3Q = 0,3 0,R = 0,06R Q = 0,R S = 0,5R 6 P 0.06R = = = = S 0,5R MAT D AULA 4 13

54 00 100% Fev/Mar 40 x = 0% Mar/Abr % 40 x = 5% Abr/Mai % 36 x = 30% Mai/Jun % 1 x = 5% MAT D AULA % = % = 93,75 MAT D AULA 4 15 A B A = B + 50% MAT D AULA Pop. x 1,1x Pop. Urb. 0,81x 0,84 1,1x = 0,9408x Pop. Rur. 0,19x 0,16 1,1x = 0,179x 0,19x 100% 0,179x y 17,9 y = 0,19 y = 94,31% MAT D AULA 4 17 x homens saem da sala, 100 x pessoas dos quais 97 x são homens. Então:

55 97 x = 0,96 (100 x) 97 x = 96 0,96x 1 = 0,04x x = 1 0,04 x = 5 homens. MAT D AULA de 50 mil = R$ 1 500,00 5% de 10 mil = R$ 500,00 4% de 10 mil = R$ 400,00 Recebeu R$ 1 500,00 a mais, mas deve pagar além do empréstimo R$ 500,00 à R$ 400,00 mais. Seu lucro será de R$ 1 500,00 R$ 900,00 = R$ 600,00 MAT D AULA 4 19 Resolvido no material MAT D AULA 4-0 Resolvido no material MAT D AULA x x = 7% MAT D AULA 5 (35% de 30 = 10,5) + (45% de 30 = 13,5) = 4% MAT D AULA 5 3 3, % 0,07 x x = 1,91% MAT D AULA x = = 3% x 0,68

56 MAT D AULA % = % = = 56% MAT D AULA % = % = = 44% MAT D AULA % = % = 91 91% 100% = 9% MAT D AULA 5 8 Salário bruto = 100 (5% de 100 = 5) + (11% de = 6,6) = 31,6% MAT D AULA 5 9 Custo de cada caneta = 5 7 Lucro em cada caneta = 3 4

57 5 7 = 100,% 3 4 = 0,75 = x x = x = 105% MAT D AULA meses R$ 80,00 8% 8% = 4 meses x = 1 meses x = 8 3 x = 84 MAT D AULA 5 11 (x + y + z = ) + (x + y = z) = z = z = % de = ,1x + 0,1y + 0,08z = ,1x + 0,1y = (0,1x + 0,1y = 900) + (0,1x 0,1y = 850) 0,0y = 50 y = 50 0,0 y = 500 MAT D AULA 5 1 v 1 c 1,35 x = x = 1,08 = 8% 1,5v 1,5 x 1,35v

58 MAT D AULA x 15 = 3 + x x 50 5 = = 3 + x x = x x = 3 MAT D AULA % de 950 = % 950 x x = 15% 5% MAT D AULA de 11 0,3x = x habitantes {0,3x não atendidas tel. E 0,68x tem telefone} Significa que 3 11 de 0,3x (que não tinham telefone) passou a ter. Sendo assim ,3x = 0.96 x 11 O novo nº de pessoas sem telefone será: 0,3x 0,96x,56x = = x = ,56 x = MAT D AULA 5 16 (C ) 0,99 C 3 0,89C = C 3

59 C = MAT D AULA 5 17 (1) Pg. dia com % ao dia será: ,0 = 1 48,48 euros negativos. () Pg. dia ,0 = Ou seja, = 1 70 euros a mais que o saldo. A segunda opção em relação a primeira, dá uma desvantagem de: ,48 = 1,5 euros. MAT D AULA 5 18 Seja % a massa da amostra após a evaporação de x % de HO. Suponha que a massa seja de 100g, então: 10 = 30%x x = 18 0,3 x = 60g (sais) Logo, 40g foi evaporada: 40 = x% 8 x 40 = x = 48,7% MAT D AULA 5 19 Resolvido no material MAT D AULA 5-0 Resolvido no material MAT D AULA 6 1 x = x = 80

60 MAT D AULA 6 Si = (n ) 180 Si = Si = 1 60 x = 1 60 x = 39 MAT D AULA 6 3 sen = 1 = 30 sen = 1 = = 180 = 10 MAT D AULA 6 4 MAT D AULA 6 5 (V) (V) (V) (V) MAT D AULA 6 6 MAT D AULA 6 7 O ângulo obtuso é aquele entre 90º e 180º

61 O ângulo reto é aquele cuja medida é exatamente 90º O ângulo agudo é aquele compreendido entre 0º e 90º MAT D AULA 6 8 6x 6 = 180 6x = 186 x = 31 MAT D AULA 6 9 x + x + 0 = 180 x = 160 x = 80 MAT D AULA 6 10 x + x = 90 x = 30 MAT D AULA x + (180 x) = 300 3x = x = 50 MAT D AULA = 180 = 9 MAT D AULA 6 13

62 = = 0 MAT D AULA 6 14 A 13 = B 17 13x + 17x = 90 x = 3 B = 51 o A = o = MAT D AULA x = x = x = x = x = x = = x = 180 x = 140 MAT D AULA 6 16

63 ABC : a + b + x = 180 a + b = 180 x CDE: a + b x = 0 (a + b) x = 0 (180 x) = x = 0 3x = 360 x = 10 MAT D AULA 6 17 x + y = 180 3x + y = 180

64 5x = 180 x = 36 MAT D AULA = 180 MAT D AULA 6 19 Resolvido no material MAT D AULA 6 0 Resolvido no material MAT E AULA π rad = 360º π rad = 180º 45º = π/4 60º = π/3 150º = 5π/6 5º = 5π/4 70º = 3π/ MAT E AULA 4 1 rad = Raio da circunferência

65 1 rad = 7cm = R MAT E AULA x = x = x MAT E AULA = 30 por hora 30 = 60 MAT E AULA volta no relógio = 1h = x x = 180 MAT E AULA 4 6 Ao marcar 9 h os ponteiros formam um ângulo de 90 o entre eles. MAT E AULA 4 7 π rad πr

66 1 rad x x = r = 5 cm Resposta: E MAT E AULA x = x MAT E AULA = 10 x = h = 60 min. 7,5 = 7 30 Sendo assim: ( ) + (7 301) = MAT E AULA = = h = 60 min 10-0 min MAT E AULA ,1 = r 360 1,57 x o

67 1, , x = x = 5,1 5,1 x =,5 = 30 MAT E AULA = 300 = 5 3 MAT E AULA 4 13 r r = 300 3,14 o r 38,16m MAT E AULA = = = 0min o 30-1h = 60min o 3 MAT E AULA ,56 = r x x = ,56 x = 85,98 MAT E AULA x 10 x = 60 4 x = 15 MAT E AULA 4 17

68 = r 360 x x = x = cm MAT E AULA 4 18 rad é o comprimento da circunferência 1 rad 1 cm (contorno da boca) r MAT E AULA 4 19 DE = 1 4 de r = 1 4 = EF = 1 4 de r = = FG = 1 4 de r = = 3 GH = 1 4 de r = = = DE + EF + FG + GH = 5cm MAT E AULA 4-0 o 360 1h = 30 por hora Então: 4 = h + 1

69 o min o 1 x x = 4 min Como o relógio foi acertado as 1hs, somando-se 1h e 4 min, ele marcará 13h 4 min MAT E AULA = de resto = 195 MAT E AULA o MAT E AULA p 3 = 1p + p 3 MAT E AULA 5 4 k = 0 x = p (1º quadrante) 4 k = 1 x = 5p 4 (3º quadrante) Todos os outros são côngruos a estes MAT E AULA 5 5-0p 5-3p 5 p - 3p 5 = 7p 5 MAT E AULA 5 6 = = 80

70 MAT E AULA º = MAT E AULA = 1 7 de resto = 7 o 7 x o x = = = MAT E AULA 5 9 A expressão deve fornecer valores de x = 0º; 90º; 180º; 70º; Ou seja, múltiplos de 90º. Logo: x = k 90º (k Î Z) MAT E AULA 5 10 Solução. Repare que (-40º) é correspondente à volta de 40º em sentido horário. Logo com a mesma extremidade de 10º. O ângulo de 190º equivale ao ângulo de 10º + 16 voltas completas. Observe que (-190º) representa 16 voltas em sentido horário e sobram -10º que equivale a 40º, portanto não é côngruo. R: -40º e 1 90º. MAT E AULA 5 11 A extremidade dos arcos de medidas e são simétricas em relação ao eixo das ordens. MAT E AULA 5 1 k = 0 30 k = 1 90

71 k = 150 k = 3 10 k = 4 70 k = = = MAT E AULA 5 13 I. A expressão deve fornecer valores de x = 0º; 60º; 10º; 180º; Ou seja, múltiplos de 60º. Logo: x = k 60º (k Î Z) II. Para A e D, x deve ser múltiplo de 180º. x = k 180º III. Para A e D, x deve ser múltiplo de 180º e acrescido de 60º. x = k 180º + 60º IV. Para A e D, x deve ser múltiplo de 180º e acrescido de 60º. x = k 180º 60º MAT E AULA 5 14 Temos a formiga 1 = F1 e a formiga = F@ F1 = x + 1 (x + 1) F = x + x + F1 F = (x + 1) x + F1 F =

72 MAT E AULA 5 15 y = (Em relação ao solo r) + (Em relação ao bloco r) y = 4r MAT E AULA 5 16 na = número de voltas de a nd = número de voltas de d a = diâmetro da polia a d = diâmetro da polia d n a n d = a d 1 n d = 8 nd = 4 MAT E AULA 5 17 I. 10 = E II. 70 = H III. 300 = F IV. 135 = Entre B e C V. 60 = entre C e D MAT E AULA x 45 = x k

73 x = k x = 180(k + 1) MAT E AULA 5 19 x = 6 30 k k k 330 k 4,5 k = 0 30 k = 1 10 k = 174 k = 3 46 k = Um pentágono regular. MAT E AULA k 360 K = 5 0 à 4 5 anos MAT E AULA 6 1 Observando a circunferência trigonométrica, temos: V, F, V, V, F, V. MAT E AULA 6 Observando a circunferência trigonométrica, temos: V, F, V, F, V, F MAT E AULA 6 3 y=sen(x) cos(x)

74 Para x no 1 o quadrante, y>0 Para x no o quadrante, y<0 Para x no 3 o quadrante, y>0 Para x no 4 o quadrante, y<0 Resposta: E MAT E AULA 6 4 y = y = 3 MAT E AULA 6 5 Analisando a circunferência trigonométrica temos: 0<sen130 o <1 ; 1<cos130 o <0 e sen130 o >cos130 o Resposta: E MAT E AULA 6 6 y=sen(x) cos(x) Para x no 1 o quadrante, y > 0 Para x no o quadrante, y < 0 Para x no 3 o quadrante, y > 0 Para x no 4 o quadrante, y < 0 Resposta: E MAT E AULA 6 7 sen π + cos π sen π = = 1 Resposta: C

75 MAT E AULA 6 8 Analisando a circunferência trigonométrica temos: sen A = sen B cos A = cos B sen B = sen D cos B = cos C cos C = cos D Todas as afirmações são verdadeiras. MAT E AULA 6 9 E = E = 10 MAT E AULA 6 10 Se k=0 A=0 y=sen0 cos0=0 1=0 Se k=1 A= π y=senπ cosπ =1 0=0 Se k= A= π y=senπ cosπ=0 ( 1)=0 Se k=3 A= 3π y=sen 3π cos3π =( 1) 0=0 Se k=4 A=π y=senπ cosπ=0 1=0 Todos os outros serão côngruos a algum deles. Resposta: E MAT E AULA 6 11 B = {0º; 180º; 360º; } sen (B) = 1

76 MAT E AULA 6 1 a IR / 1 a 1 1 a IR / 0 a MAT E AULA x = 8 x x 114 MAT E AULA x = 5 x x 87 MAT E AULA x = 57,3 1 x 3,14 cos 57 0,54 MAT E AULA 6 16 (F) I. 0,84 > 0,14 (F) II. 0,54 > 0,5 (V) III. 0,4 < 0,84 MAT E AULA 6 17 (V) I. 0,91 > 0,14 (V) II. 0,84 > 0,5 (V) III. 0,4 > 0,99 MAT E AULA 6 18

77 3 = 70 E = 360 3n 1 = 1 n = 0 3n 1 = 0 n = 1 3 MAT E AULA 6 19 k = 0 x = 0 y = 1 k = 1 x = 6 = 30 y = 3 k = x = 3 = 60 y = 1 k = 3 x = = 90 y = 0 k = 4 x = 1 = 10 y = 3 k = 5 x = 5 3 = 150 y = 6 k = 6 x = = 180 y = 1 y ,,, 1, -, -, -1 MAT E AULA = 1 resto de 10 = = 9 resto de 5 = 5 y = sem 10 cos 5 y = (sem 30 ) (cos 45 ) y = + y = 0