MAT 8A AULA L. a q. q a ; Razão =

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1 MAT 8A AULA.0 L L x 4 4 L L x 4 L x L x L x L L q a a q q.0 l l ; 4... Razão =.0

2 x = x = 8.04 P.G. (;x;...;y;5) xy 5 xy a, b, c PA b = a c b = c b = c PG b = a c a c = a c a + ac + c = 4ac a + ac + c = 0 (a c) = 0 a = c a = b = c.06 D = l PG (l, 4l, l ) (4l) = l l 6l = l

3 l = 6 D = l D = 6.07 Numa progressão geométrica de número ímpar de termos, o termo médio (em módulo) é a média geométrica dos termos extremos. a an.08 (a, a q, a q,...) a = q = a q a q = a = P = a a a = a a = a Mas a = a a = 8.09 M = _ 6 aq = 6 = a q 8 6 = q 8 4 = q 8 q = M =,,, 4, 4, 8, 8, 6, = 0

4 .0 a, b, ab b = a ab b = a. 4 _ a 4 = a q 4 = q q = 8 q = a 6 = q 5 = () 5 = = 96. ( + x, + x, 4 + x) ( + x) = ( + x)(4 + x) + x + x = 4 + 4x x + x x = 5 (4, 6, 9) q = 6 4. (a, b, c, d) PA(a, a +, a + 6, a) PG = (a + 6) = (a + ) a a + a + 6 = a + a 9a = 6 a = 4 (4,,, 4) = 7.4 (xy) = x

5 x y = x y =.5 (a, a q, a q, a q ) a aq aq aq 48 a q q 48 a q q q q 48 q q q 7 q q q + q = 7q q 0q + = 0 q = ou q = ,9 5 = 5 904,90.7 a n = a n an = n P = (a an) n ( 9 ) = ( n ) n 78 = n n n n 56 = 0

6 n = e n =.8 Fig. Fig. cada segmento mede = 4 = 4 Fig. Cada segmento mede 9 = 6 9 = Fig. 4 Cada segmento mede 8 = 64 8 = Sendo assim A Fig. 5 = 4 4 Fig cm.9 8, 8k, 8k,..., 8k k = ( ) 7 k = (k) = k = k = = 0,5.0 (x + 7) = x(x + 4) x + 4x + 49 = x + 4x 49 = 0

7 A equação correspondente não apresenta solução. MAT 8A AULA.0 a q , ,,... q = a 5 = 4 4 =

8 4 8 S = S = 4 6 = S = a q S = =.04 a 5 = 5 S 5 = 5 79 S 5 = 6.05 S = a 0 = 5

9 5 - S = S = 0.07 x = 60 x 60 x = (, 5, 5,..., a n ) S n = 9 5 a 5- n 4 = 9 5 5a n = a n = 78 5 a n = 5 65 = a = e a = = q q =

10 8 ( ) S 8 = 55 = 765. Sn = 640 q = n a = 640 a n + = a n = a n = 87 () () n = 87 () n = 87 n = 7 n = 8 termos.. (,,, ) S = 7 S = 7. S = a q = 4 7 q = 4 7 = 4 4q

11 q = cos[s = ] + sen[s = ] cos[s = ] + sen[s = ] cos + sen + =.5 n n 4 8n precisa vender 7n de 8n 7n 8n = 0,875 = 87,5%.6 R R R,,,... 8 q = 4 S = R R q 4 4 a R R 9 S = 6 S = 6.7 c = (a, b, c) PG ( b, b, b q) q

12 V = a b c = b q b b q = 7 8 b = 7 8 b = Como c = b q = q = q = 4 a = b 9 q (,, 4,, 048) a n = a q n = n = n n = a cada meses, a soma depositada é: S = a (q ) q = Em anos = ,00.9 a) lados (; ; 4 ;...)

13 Perímetro (9, 9 9, 4,...) q = a 9 9 S = q = 8 cm b) área,, ,, Sn = Sn = 4 Sn = cm.0 ª Etapa: S = ª Etapa: S = + + ª Etapa: S = = q =... S = Sn = =,5 cm

14 MAT 8A AULA PA 4, 4 + r, 4 + r PG 4, 4q, 4q 4 r 4q 4 r 4q 4 + 8q 4 = 4q q = 0 e q = r = 4q a = 4q = 4 = ) an = 50 = 0 + (n ) n = 0) C = R maior R = 50 C = 00 menor R = 0 C = 40 04) 40, 4, )

15 mm 7 cm 4.0 a = q = n =? Sn > 0,99 n a q q n > 0,99 = n + > 0,99 n > 0,0

16 n < 0,0 = 0 Aplicando log. n log < n > 6, a 5 =b a =b a b = 5 () a b = a = b = 8 a + b = 4.05 Ímpar a q = 0 a = 0 0q a = 5 a = 5 = 5 4 Par aq q = 0 0( q )q = 0( q )

17 q = x = 50 5 y = = 65 = 650 x y = Somando os trechos temos: 8,5 = 4 0,75 = 0,5

18 + 0,5 =,5 cm , 0, 40,..., a0 a 0 = 0 9 = 5 0 Recebeu 0 a 0 = 5 00 Gatou 0 0 = 0 0 Sendo assim teve lucro de R$ , I) b a = a + b b a = b II) b 6 6 a ( 4 ) = a b a + b = 8 a = 8 a = 8

19 4.0 (x r, x, x + r) x = 40 x = 40 40(40 r)(40 + r) = r = 9 00 r = r = 400 r = 0 (0, 40, 60) 4. (6,..., aq) Crescimento aq = 6 8 = 4 Sq = Sq = 5 4 0, 05 6 Sq 5,96

20 4. PA) (x r, x, x + r) (8, 0, ) x = 0 x = 0 PG) (4 r, 6, + r) (4 r)( + r) = 6 r r + = 0 r = ou r = 4. Se T n representa o enésimo número triangular, então: T T T T n Portanto, T T 00 = _ a _ 0 a q a = 0 r a q = 0 + 5q

21 (a, 0, a q ) PG 0 = (0 r)(0 + 5r) 00 = r 0r 0r 0r 0r = 0 r = 0 ou r = (6, 0, 5) q = 5 0 =,5 4.5 _ 5 PA: Crescente linear 7 colunas n = 7 a 7 = a + 6r 5 = + 6r r = 4.6 (4, 0, 6,...) PA r = 6 a 0 = = 48 ladrilhos 4.7 PG q = a)

22 6,5,5 = min para resolver a penúltima 05,,, 4, 8, 6,, na 6,5 7 questões + ultima = 8 questões b) 0,5,,, 4, 8, 6,, 64 6, = 7,5 min. 4.8 PA (y r, y, y + r) y = 48 y = 6 PA (6 r, 6, 4 + r) 6 = (6 r)(4 + r) 56 = r 4r r r + 8r 8 = 0 r = 6x r = 8 z = z = (,,,..., 0)

23 0 0 S 0 = = = R$ 65,00 a mais 4.0 L, L q = a 50 = a 49 sendo a n a medida do lado quadrado A n B n C n D n. MAT 8B AULA = 0,5,5%.0 Fig. l = Fig. l = Fig. l = Fig. 4 l = 4 Fig. 5 l = 5 l = Sn = ( + 0)0

24 Sn = = n! n!! = 8 n(n ) = 56 n n 56 = 0 n = 7 e n = 8 S = P = = x = 6 x = 7 4 ou 4x = x = = 0 4 = 5

25 ( + ) 00 = C C 4 6 n n n! n! n 4!4! n 6!6! 6 5 = (n 4)(n 5) n 9n = 0 n 9n 0 = 0 n = 0 e n =. n 0 n n n n... n n n A soma de todas as combinações de uma mesma linha é igual a uma potência de base cujo expoente é o numerador desta linha. I é verdadeira

26 ,...,n,, k IN, n, n k n n k 0 Numa mesma linha do triângulo de Pascal, as combinações equidistantes dos extremos são complementares e, portanto, têm resultados iguais. II é verdadeira III falsa é igual..? n p n p n n n n n n n n n p n p n n n n n n n n n p n p... 0 n n n n n n p n p.... ( ) = 0 ( x) 0 = x x x0 Colocando x = temos ( ) 0 = = 0

27 .4 0) (F) 6 = 64 0) (V) 0) (V) x = x = 5 x x = 4 x = 9 x = 08) (F) 6) (F) x = 5 x = m m m p p p = 46 m m m p p p m p = = 46.7 b = 8 a

28 8! 8 a! 8 a! a Então a soma é: = 8 = ( ) 6 = ) (F) 0) (V) (n + )n = 90 n + n 90 = 0 n = 0 e n =! 04) (V) 5! 6!9! 6 = 0, 0!5! 5! 0 08) (V) n n! n n n(n )! n n! = (n + )n + = n + n + (n + ) 6) (F) n! n n n!.9 Se estivesse completa a coluna seria: 6 Basta tirar:

29 Exercício resolvido no material. Exercício resolvido no material MAT 8B AULA.0 T p+ = n p an-p x p 00 p = p = 98 T p+ = y T p+ = 00! 98!! x T p+ = T p+ = = (m + f) 4 = m 4 F 0 + 4m F + 6m F + 4mF

30 6 6 = 0,75 = 7,5% = m = 65 m = 4.06 (x + )(x + )(x + ) x + x + x + (x + ) x + x + (x + ) x + x + x + x + x + x + x + x +.07 x x y + 6 x y + 4 xy + 4 y 4 x 4 + x y + 54x y + 08xy + 8y 4.08 ( a 4 4 ) a 4 a 6 a 4 a 4 ( a ) 4 a 4 8a 4a a 6 Penúltimo termo: a

31 ? ( 0 ) (x + p) = 0 x 4 x + 6 x 64 Note que os números sublinhados são múltiplos de 4.. x y 64 6 x y 64 x y 4 x y x = 6 x = e y = Ou x y 4 x y x = e y = Duas soluções x 6 x +5 4 x +0 8x 5 6x 6 x C x 5 4x x x 60x 60x 40x 9x 64 (F) (V)

32 (V) (F) (V). (x + y) 4 = 4 x y x y x = x =.4 º termo = C 8 x 6 5º termo = 4 C 8 x4 4 º t = 5º t 8 x 6 4 = 70 x 4 6 x = 0 x = 0, < x < 4.5 C C 54 n n n! n! n = 54 n(n ) n = 08

33 n n n 08 = 0 n n 08 = 0 n = 9 e n = ( ).7 (mx) 5 = x 5 m 5 = m = 5(mx) 4 (nx) = 80x 4 5 6x 4ny = 80x 4 y 8-x 4 ny = 80x 4 y (m + 4n) = ( 4) = 8.8 0) (V) 0 elevado a qualquer expoente tem final 0, que subtraído de resulta em final 00, que é múltiplo de 4 0) (F)

34 A terceira equação do sistema é o triplo da primeira. E a segunda equação é o dobro da primeira. Então temos: x y z z 0 0 Sistema impossível, SI 04) (V) 5º termo n n4 x 4 x 4 n 4 x n4 x 4 n 4 x n4 4 n 4 x n 08) (V) Lei dos senos a b c = R sena senb senc a = R sena b = R senb c = R senc a ª linha é proporcional a ª linha det 0.9 Exercício resolvido no material.0 Exercício resolvido no material

35 MAT 8B AULA (, 0)? ( 0, 0) C 0, 0 C 0, , 0 0 0, ,0 0 =, 4.0 x + x x = 4 x x + x = 7 (x ) = 7 x = 7 x = (x )(x ) 4x 6x 6x + 9 = 0 4x x + 9 = T 4+ = 4 C 9 4 x 5 T 5 = 6x 5

36 4.06 º (x) 4 = 8x 4 Último (y) 4 =6x 4 8x 4 + 6x 4 = 97x T + = C 6 x 4 T = 5 4X 4 T = 0x T + = C 00 () x 98 T = x T + = C 6 x (x) T 4 = T 4 = T 5 = C x (x ) T 5 = 5 8 = 5

37 (x ) p (x ) 6p x pp+ = x 0 p = p = 4 4. T + = C 5 a a = 0a 4. T + = C 0 x x 7 = 0x 4 T 4+ = C x x 6 = 0 x 4 T4 0x 4 x T5 0x ) (F) (a + b) 5 = 5 0) (F) 04) (V) a b a b

38 a = a = b = 08)(V) )(V) p 6p x x = x 0 p + p = 0 5p = p =, p = T + = C 5 (a) x T = 0 9a x T = 90a x = 60x a =4 4 = 4.6 (4 ) n = 6 56

39 n = 8 n = 8 C n 8 n (4x) 8n x n C 8 () n 4 8n = 448 Para ter 7 n 6 C 8 = 87 4 = x p (x ) 7p = x 8 p + 54 = 8 p = C 7 7! 5!! 4.8 (x) p x n+p = x 0 n p + = 0 p = n decimal 4.9 Exercício resolvido no material 4.0 Exercício resolvido no material

40 MAT 8C AULA.0 t 0 = 0 o C 0 t0 a 0 t0 a 0 = 8a = a =,5 0 = t 0 +,5 t 0 = 6,5 T (x) = t0 + ax T (x) = 6,5 +,5x x = 6,5 +,5x 0,5x = 6,5 x = 5 o C.0 K(x) = 9,90, 0 x 00 0, x 9, 9, x>00 Z(x) = 49, 90, 0 x 00 0,x+49,9, x>00.0 a) A B = = 500 b)

41 .04 0) (F) m(t) = t t t 0 t 0 0) (V) (t 0) = t = 5 04) (F) m(t) = t m = 00 08) (F) t = (t 0) t = 0 6) (V) º dia = 400g = x e 00g = 00% x, (V) (t 0) = 0 t = 40 64) (F) (t 0) = 0 t = 40.05

42 Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. a) x + y = 5 e x y = m = e m = não são paralelas b) y = 5x + e y = 5x m = 5 e m = 5 não são paralelas c) y = x + e y x 0 e m m não são paralelas d) x + y + = 0 e x + y = 0 m m são paralelas Letra correta D e) y = x e y = x m = e m = não são paralelas.06 m = 8 y + = 8(x ) y + = 8x 8 8x y = 0.07 y = x 0 m m

43 y = mx m m 8 m = 6 m = ±4.08 x y + k = k = 0 k = 0 y y + 0 = 0.09 y = x k k y = x + 5 k = k =.0 a) m = tg60 o = y 4 = (x ) y 4 = x x y + 4 = 0 b)

44 m = tg0 o = y = (x 0) x y + = 0. x y = x + ay = 5 a =. m = 7 5 y 0 = 7 5 (x 0) 7x 5y = 0. x y + k = 0 (5) + k = 0 k = y = x x 7.4

45 y = x 8 e y = 5x 4 8x 7 = 5x x = 69 x = e y = 4.5 y = m m x 8 m y = m x + 9 m = m = m + m = 4.6 y = x + k = 6 + k k = y = x + x = (7, )

46 .7 m BC = mr h b b b h = b.8 d = 8 = 4 x 4y = 0.9 A Ɇ r e A Ɇ s a interseção entre r e s é o vértice oposto (C) a A * Coordenadas de C x = x + 5 x = 5 e y = 5 C = (5, 5) * u//r um = e Au y = x + b = 4 + b b = e y = x * t//s mt = e At y = x + b = 4 + b b = e y = x + * coordenadas B Su x + 5 = x x = 6 e y = 7

47 B = (6, 7) * coordenadas D rt x = x + x = e y = 9 D = (, 9).0 a) mr = = r : y 0 = (x ) y = x + S : y + = (x ) y = x b) x = x + x = x = e y = P = (, ) d) y 0 = (x ) y = x + X + y = 0

48 MAT 8C AULA.0 ms = y 0 = (x 0) y = x + 0 X + y 0 = 0.0 x = x + 0 0x = 0 x = e y =.0 d PE = 9 d PE = 90 = 0 9,48 m.04 Assinale V ou F, conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa, (V) Duas retas perpendiculares formam entre si um ângulo reto.

49 (F) Duas retas perpendiculares têm coeficientes angulares iguais. m r m s (V) O produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares, não paralelas aos eixos coordenados, e igual a. (F) As retas de equações y = x + e y = x + 5 são perpendiculares. m = e m = m m 4 (V) As retas de equações 4x y + = 0 e x + 4y = 0 são perpendiculares. 4 m e m m m 4 Conclui-se que o numero de afirmações verdadeiras é: Três afirmações verdadeiras..05 m =

50 y = (x ) y 4 = x + x + y 7 = 0.06 y = x x + y = 0.07 a a = a + = a a = a =.08 y 4 m(x ) y mx m 4 y 6 m(x ) y mx m 6 mx m 4 mx m 6 m r m s.09 ms =

51 y + = (x 4) y + = x + 4 y = x +.0 y = x y = (x ) y = x 4 x y = 0. m AB = 4 m = 4 y = 4 (x 4) y 9 = 4x + 6 4x + y 5 = 0. y = x 5 5 y = 5 (x + ) x = 0 y = 5 + y =

52 (0, ). m = 6 6 = M = (, ) Y + = (x ) x y = 0.4 y = x m = (, ) y + = (x ) x + y 8 = 0.5 a = A = (, ) = ( ) + b b = 4 ( e 4).6 (V) x y + k = 0

53 + k = 0 k = (V) (F) x y 0 x y 0 x = 4 x = y = x + y = (F) A = (, ) m = y = (x ) y x 0 y x 0 x = x = e y =.7 I) (V) m OA = 6 m OB = 6 II) (F) m AB = (, 4) III) (F) L.C = cos 76 = 40 cos cos =

54 d PA = d PA = 40 IV) (V) d PO = d PO = d PO = 40.8 m BC = 4 4 = y = (x ) y + x = 0.9 y x m r m s y 4 (x 5) y x y y x x x e y x y.0 t y = y + 0 t : y 0 = (x 0)

55 x y y x 0 0y = 0 y = e x = P = (, ) d PO = 9 0 l = 0 d = 0 d = 0 d = 5. m AB = 5 m BC = 5 y = 5 (x ) ( ) = 5x + 0 5x = 0 x = 4 (4; ). m = 6 6 = M = (, ) Y + = (x ) x y = 0

56 .. Triângulo OPQ O(0,0), P(,) e o simétrico de P em relação à reta y = x é (,) u.a. A A s m r m x y Reta que passa por A(,) 0 x y ) (x y y e x x y x y ), ( B 4 Reta que passa pela origem 0 0 x y ) (x y 0 y e x x y x y ), ( C.5.

57 a) Como A(k,5) a reta s 5 = k k = 6 5 y e x x y x y C(,) t s m s t e m 6 5 x y ) (x y y e x x y x y B(4,7) b). u.a A A MAT 8C AULA Em 0 anos ela cresceu 6 cm. De 0 para 0 crescerá mais 8 cm. E de 0 até 06 mais 4 cm. Chegando a 8 cm até 06.

58 4.0 m = 4 m m = m = m 4.0 mr = 4 mt = 4 t: y 7 = 4 (x 9) y 4x + 6 = 0 4x y 5 x 4y 0 4 5y = 75 y = e x = 6 y + x = m = = 4.05 x y x y 5x = 5 x = e y = (, )

59 4.06 Analisando as coordenadas de x e y temos: y x 0 y y 9 0 As retas são paralelas entre si ª m = ª m = As retas são concorrentes e não perpendiculares entre si m AC = 4 y = (x ) 4 4y = x x 4y + 0 = mr = 4 y = 4 x

60 4.0 Área : 60 o = 0 o mr = tg0 o = y = x 4. mr = y 9 = (x 0) y 9 = 4x 4x y 9 0 x y 4 0 5x = 5 x = e y = 5 (, 5 ) 4.

61 6 = x y 4 (-) 5x 6y 56 8y = 4 y = x = 48 5 Substituindo em t = m m = m = mr = y = x 4.5

62 y = x (x, x ) d Px = d Py x x x = x x + = x x + 6 = x x = 6 e y = 6 ou x + = x x + 6 = x 5x = 6 x = 6 5 e y =

63 x x = x = 64 x = 8 mr = S: y 0 = (x 8) x y = m = 4 = ms = y 4 = (x + ) y 8 = x + x y + 0 = mr = S: y = x r: y = x + x = x +

64 4x = 9x + 8 x = 8 x = I) (F) mr = = r: y 0 = (x ) x + y = 0 II) (V) mr = r: y = (x 0) y + x = 0 III) (V) mr = r: y = (x ) y = x + x 0y y 0x S 9

65 4.0 Passa obrigatoriamente pelo ponto m, interseção das diagonais AC e DB. m = 6, 7, S: x 5y + k = 0 e ms k = 0 k = Então: S: x 5y = 6x 0y = 0 4. mr = tg0o = y = (x ) y = x Exercício resolvido no material

66 MAT 8D AULA.0 Sb = comprimento x largura V = Sb H Assim temos o volume = 6 cm = cm = 486 dm.05 7 m R$,00 = R$ 4,00.06

67 ( ) ( ) = No triângulo ARS RS RS OT RS No triângulo VBT VT VT 5 No triângulo VOT VT VO OT 5 VO VO.08 V = 9 cm V = 64

68 .09 0) S t a 4ah 6h a 4ah 8h ah a 0 a h a h, portanto O verdadeira. 0) Falsa, pois as arestas não são todas iguais. 04) D (a ) h D a h D 4h h D h, logo 04 falsa. 08) S l 4ah S 4 h h S 8h, portanto 08 verdadeira. l l 6) V a h V 4h h V 4h, verdadeira..0 x (x + 0,5) = x + 75 (x + 0x + 5)(x + 5) = x + 75 x + 0x + 5x + 5x + 50x + 5 = x x + 75x 50 = 0 x + 5x 50 = 0 x' = 5 e x = 0 dm = m. (x ), x, (x + ) x(x + )(x ) = 8 x x x = 4x

69 x 5x = 0 x(x 5) = 0 x = 0 e x = ±5 (4, 5, 6) 0) (V) = 5 0) (F) (4, 5, 6) V = 0 cm 04) (V) St = ( ) St = 74 St = 48 08) (F) D = ) (V). d = m v V = cm 78 = m m = g/m = 56 Kg

70 . mdc entre 0, 4, 8 mdc = 6 V = 680 cm 6 = 6 05 = AH = 9 = SACD = = AC = 7 = V = 7 7 = V = SACD d 7 = d d = 7 d = ) (V) Sl = Sl = Sl = 9 m 0) (V) cm 400 cm = 550 azuleijos 04) (V)

71 h h 5 5 = 9 (h 5) 0 = 9 60h 50 = 9 h = 5,7 h 5 = 0.7 = 70 cm 08) (F) 9 000L x x = 576 6) (F) V = 4 5 = 0 m 9 = 8 m.6 a) Vm = = 840 VN = 4 6,5 0,0 =,8 Vm V N = 000 notas 50 = reais. b) Peso de cada nota =,8 0,75 =, 65 g,65 g 000 = 6 80 g = 6,8 Kg 6,8 Kg +,6 = 8,98 Kg.7

72 0) Verdadeira, pois D é hipotenusa de um triângulo pitagórico, então D = 5 cm. D 45 D 0 0) Verdadeira sen D 50 04) Falsa S 5 5 S 5 cm 08) Verdadeira V 4 5 V 60 cm 6) Verdadeira (ab bc ac) S t S t ( ) St 94 cm St 0, 94 dm ) Falsa, pois sen cos.8 a) V = ,5 4 V = + 4 V = 6 m b) cos0 o = x = x 4 = 4 x =, 4 corda 9, m

73 .9 a) V = x x x 5 = x 5 = 50 x = 5 x = 5 dm ou x = 50 cm b) St = 0 70 = cm = 0,84 m 0,84 0 = R$ 8,40.0 V = V + V V = 0 0 +,5 0 5 V = 75 m = L L 500 L = 70 Kg

74 MAT 8D AULA.0 R = V = 0 V = 4 0 V = 0 ml Vol. De açúcar = 6 V Vol. H O = 5 6 V = = 00 ml.0 O ponto A, mais alto do cilindro, tem velocidade igual ao dobro da velocidade do centro C do rolo cilíndrico. Quando o rolo dá uma volta completa, o seu centro C se desloca R e o bloco de pedra que está em contato com o ponto A vai deslocar-se o dobro, isto é: 4R.

75 .0 V = (,) 4 4 V = 4(,44 ) V = 4, 0,44 = 5,456 0 = R$ 54,56.04 V = 6 R H = 6 9H = 6 H = 7 cm.05 R = h e R = h V 8 V 7

76 h 8 h h h 7 h 8 h 7 h h.06 V L = 4 0 = 0 V C = 4 6 V HO = 0 6 = 60 V L = 0 V C.07 I) V = 0,06 = 6,48 m II) V = 4 0 0,06 = 9,6 m Densidade massa I) m = 6,48 0,77 =,99 toneladas II) m = 9,60 0,78 = 7,49 toneladas toras 4,99 = 4,97 toras 7,49 = 4,98 4,97 + 4,98 = 9,95 toneladas..08 R = h S t S = L h h h + h h 4 h h h

77 .09 C = R =,64 R 0,40 h =,5 5 = 7,5 V =,4(0,40) 7,5 V 4,605 m.0 6 R + 8 R = 0 R = 4 R = cm

78 . ) Sendo AI, AII e AIII as áreas laterais desses tanques, em metros quadrados, tem-se: AI = 6 = 4 AII = 8 = AIII = 8 = 48 ) Sendo VI, VII e VIII as capacidades de armazenamento desses tanques, em metros cúbicos, tem-se: VI = 6 = 4 VII = 8 = VIII = 8 = 7 Assim, a relação área/capacidade de armazenamento de cada tanque é dada por: AI 4 V 4 I AII V II AIII 48 V 7 III Como > a, então se pode concluir que o tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade é o III.. V =,5

79 V = 7 cm. C ) C = 5 = R = 5 S L = 5 9 = 5 65 V = 4 9 = C ) C = 9 = R R = 9 S L = 5 9 = 5 8 V = 4 5 = 05 4 I) (V) II) (V) III) (F) IV) (F).4 I. Falsa. S LQ = 4(l) (H) = = 800 cm S LR = π R H =,4 5 0 = 68 cm II. Verdadeira V Q = L H = 0 0 = 000 cm

80 V R = π r h =,4 5 0 = 570 cm III. Falsa. S TQ = S L + S B = 4 L H + L = 900 cm S TR = S L + S B = π R H + π R = 706,5 cm.5 V V 4 h h dm h 4h 4 0) Verdadeira A B B B A B h B 4 0) Falsa dm 04) H A altura total do cilindro B. VTA ra HA 4 HA HA 6 dm, falsa. 08) V TA V TB 4 V TB V TB 7 dm V TB r B H B 7 4 H B H B 9 dm H 6 B h B, verdadeira. 6) Verdadeira, calculado no item 08. V V 7 4 TB ) TA.6 V P = 9,5 V P = 8,5 V D = ( 9),5 V D = 88,5

81 VP 8,5 8 V 88,5 88 D.7 (, h, r) Sn = r = 6 + r = 4 r = h = r h = St = R + Rh St = 9 + St = 8R + St = 0.8 (vol. Cilindro vol. Do prisma triangular) V C = 6 = 6 m L V P = L 4 6 = 4 = 4, L Mas h = L L =

82 VC VP = V paralelepípedo V cilindro (8 5 5) (4 5) 450 5, = 98,8 m.0 = h h = 6 L = 6 L = 4 4 V P V C = V P V C = 96 V P V C = ( ) cm

83 MAT 8D AULA Iguais dois a dois. 4.0 Um para cada face, exceto a que contem V 6 = V T = L L L L V T = 48 L V V C T L L h = 4 h =

84 4.05 V P = 9 V C h = 9 h = 9 h = 4 cm L + L L + L = L 4.07 d = l = l = V prisma = V piramide h = () h h 4 h' 4.08 V P = V C 4 h = 4

85 h = ) Verdadeira cm a cm S b b 6 6 cm a a a h a p p b p cm S S a a S p b S.S b 0) Verdadeira cm S S S S S t t b t 08 6 cm S S S S t t b t 04) Verdadeira cm S S f f 8 6 cm S S S f t f 08) Verdadeira 7 08 S S S S t t

86 6) Falsa V Sb h V 6 V 6 cm 4.0 0) (V) R SD = R cm 4 4 0) (V) S Q = R = R 04) (F) d = R l 4 = R l 4 = R 08) (F) h = R l = R l = R 6) (V) V 4 = V R h 4 = 4 R h h 4 = 8 h 4.

87 sen60 o = h 6 h h = 6 cos60 o = x 6 = x = 6 = l l = V = = 8 4. V P = l l V P = 6 l 4. 0) Falsa, o octaedro têm arestas. 0) Verdadeira A I A II A III a 4 b 4 c 4 a b c b b b b 6 04) Falsa V S h 7 a a a m 08) Verdadeira

88 V r 4 h V r h V r h Como V = V. o custo deveria ser o dobro; como é menor, a lata L é mais econômica. 4.4 H + 0 = 0 H = 0 0 H = 0

89 V = 0 0 = 0 6 m 4.5 4l = l + 7 l = 7 l = cm cos60 o = x = x St = St = = 8

90 4.6 Sl = Sl = DV AB NDV A B V G V m V m A razão de semelhança é de V, então A B = m S G = S A B C D

91 S G = h 5 50 h = 80 cúbitos 80 0,5 = 45,60 m 4.9 a) l + l = 6 + l( + ) = ( + ) l = h = h = 9 9 = 9 h = h = b) V = 9 = 9 St =

92 4.0 a) AB = 0 0 SD = = 50 cm b) St = St = St = 50( + ) cm c) 5 = h = 9h + 50 h = V = 50 0 V = 500 cm

93 MAT 8E AULA.0 z = a + b i z = a b i z + z = a.0 z = a + b i z = a b i z z = a b (i) z z = a + b =.04 i + i + i 0 +i i + +i z = Quociente = 4 Resto i = i

94 Quociente = 9650 Resto = i = i.07 z = i i i z = i = i.08 n = 8 6i 4 i 4i 4i n = 6i 4i 6 4 n = 44 8i 0 n = ( i) = 7i.0 z = i i i i i z = i i i i z = i z = i

95 Re(z) =. 4 6i 6 6i i i i (i) (i) 8 6i. z = i 0 i z = + i. 000 i i...i + i + i + i 0 + i + i =.4 [( i) ] 50 [(i + i) ] 50 (i) 50 (i) i 00 = 00 z é uma potência de.5 (x +yi)(x yi i) (x + yi)(x (y + )i) x x(y + )i + xyi y(y + )i x xi + y + y

96 x + y + y = 0.6 n(n ) = i 4 N(n + ) = 8.7 i i i... n i P.G. de razão = I, para que S n = 0, n deve ser múltiplo de 4..8 * P (0) = P (i) + ip (0) = i + P (i) = i + P (i) =.9 na primeira linha: soma = 0 na primeira coluna: soma 4i a) Não é um quadrado mágico. q a q n b) S S S 0 n a n 6 i i i i n

97 .0 a + bi + a bi = b a = b b = a = b = 4 (a + bi)(a bi) = 5 a + b = 5 a + 4a 9 = 5 9a + 4a = 468 a = 468 a = 6 a = ±6 a = 6 Z = 6 + 4i MAT 8E AULA = 0.0 tg = 0 0 = = 5 o.0 p = a = p cos5 o = a =

98 b = p sen5 o = b = Z = + i.04 a = cos0 o = = b = sen0 o = = Z = + i.05 z = ( i)(i i) = i + 6i + i = 7 + i z = tg = b a 0º =

99 = 5.08 tg = b = 50º a a = b = z 9 = p = a = p cos o = = b = p sen60 o = Z = + i.0 z = 4i 4 z = i + p = 4 4 = tg = = = 45-

100 . i i i i i i i 4 z = 4 4. (a + bi)(a bi) = 5 a + b = 5. I. Correta. z = a + b = z = a + b II. Incorreta. i = III. Correta. i =.4 i = i tg = e = 7 4 p =

101 .5 a + bi + a b = + 8i b 8 a a b a 8 = a a + 64 = 4 4a +a 4a = 60 a = 5 Z = 5 + 8i z = (5) + 8 = = 89.6 = x yi 4xi 4y x 4y (y 4x)i z x 4y y 4x 9x 4xy 6y 9y 4xy 6x x y 0 5 z

102 .7 p = a = p cos = cos0 o = a = b = p sem = b = Z = + i.8 4a 9b 64 b 4a 6 8b = b = 4 b = ± 4a = 4 a = 8 4 a = ± 7 a bi

103 .9 Z tg = = 45 o Z = = 90º Z = 5(cos90 o + i sen90 o ) Z = 5(0 + i) Z = 5i.0 a) Z = i i i i i 4 b) tg = = 60o = z Z = (cos + i sen )

104 MAT 8E AULA z z = 4(cos70 o + i sen70 o ) z z = G 4.0 z z 4 = (cos80 o + i sen80 o ) z z 4 = E 4.0 z = ( + i 0) = z = 4/ (0 + i ) = 4/ i Z = 4/ i = 4i ponto G 4.04 æ z = 5 è ç + i æ - è ç öö ø ø = 5 + i ( ) z = 5 æ + i ö è ç ø = i ( ) z /z ponto J i

105 0 = 0 tg = o tg = = 00º tg = = 60º = 40º 4.08 z = (cos50 o + isen 50 º ) z = i z = + i 4.09 (cos90 o + isen 90 º )

106 (0 + i) = i 4.0 tg = = 00 o tg = = 5 o = 65 o = 4. + i tg = = = 0o ( + )i i tg = = = 0 o 90 o no sentido anti-horário. 4. z = i z = + i z = + 4i z = 4i z = 4i

107 4. z = a + abi b z = a b + abi z = a b abi a b e abi º quadrante. 4.4 tg 0 tg 0 Logo 0 60 z z z (cos 0 isen 0 ) z (cos 0 isen 0 0 z 4(cos 60 isen 60 0 ) 0 ) z (cos 60 isen ) z z

108 4.5 z = 6(cos00 o + isen00 o ) z = 6 i z = i 4.6 a + bi + a bi = 4 a + bi (a bi) = 4i a = 4 a = bi = 4i b = z = i z = 4 8i 4 z = 8i 4.7 z = tg = = 5 o z = tg = = 60 o z = 55 o 7 e 4.8 z = 5º z 6 = 5º

109 ângulo entre z 8 e z 7 = 45 o. (cos495 o + sen495 o ) (cos5 o + isen5 o ) = z z conjugado de z u = u (cos5 o + isen5 o ) z = z (cos45 o + isen45 o ) u z = u z (cos60 o + isen60 o ) u z = 4 i u z = + i 4.0 a bi i a bi a b i a bi a b a b a a4 a qa a 48 q 48 a + a + a + a 4 = 60 a (a + q + q + q ) = 60 a (a + q) ( + q ) = 60 a 48 q ( + q ) = 60 6

110 ( + q ) = 0q q 0q + = 0 4(a + b b +) = a a b 4a + 4b 8b + 4 = a a + 4 b a + 4a + b 8b = 0 a + 4 a + b 8 b = 0 a + 4 a b 8 b = a b 9 C 4 R = 9(a + b + r ) = 40