MATEMÁTICA CADERNO 1 CURSO D FRENTE 1 ÁLGEBRA. n Módulo 2 Equação do 2 ọ Grau

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1 CADERNO CURSO D FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Equação do ọ Grau n Módulo Equação do ọ Grau ) Na equação 6x x = 0, tem-se a = 6, b = e c =, então: I) = b ac = + = b ± ± II) x = = x = ou x = a Resposta: V = ; MATEMÁTICA ) x [ (x )] = x x [ x + ] = x x + x = x x + x x = + x = x = Resposta: V = { } ) (x ) x = x 6 x 6 x = x 6 x x x = 6 6 0x = 0 V = Resposta: V = ) (x 7) = x ( x) x = x + x x x x = 0x = V = ø Resposta: V = ø x + = 0 x ou ) (x + ) (x ). (x + ) = 0 x = 0 x = ou x + = 0 x = Resposta: V = {; } ) x [ (x )] = x [ x + ] = x + x = x = 6 x = Resposta: V = {} x + x 6) x = 8x (x + ) = 0 (x ) 8x x 9 = 0 x + 7x = x = 7) Sendo x, em reais, a quantia inicial, tem-se: I) Após o ọ milagre, a pessoa ficou com x II) Após a ạ doação, a pessoa ficou com x 0000 III) Após o ọ milagre, a pessoa ficou com. (x 0000) IV) Após a ạ doação, a pessoa ficou com. (x 0000) 0000 V). (x 0000) 0000 = 0 x = 0 x = x = 000 Resposta: R$ 000,00 8) Sendo x, em anos, a idade atual, tem-se: x + 0 x x = 6x =. (x + 0). (x ) 6x = x + 60 x + 0 x = 70 x = 7 ) Na equação x x + 6 = 0, tem-se a =, b = e c = 6, então: I) = b ac = = b ± ± II) x = = x = ou x = a Resposta: V = {; } ) Na equação x + x + = 0, tem-se a =, b = e c =, então: I) = b ac = 6 = b ± ± II) x = = x = ou x = a Resposta: V = { ; } ) Na equação 6x x + 6 = 0, tem-se a = 6, b = e c = 6, então: I) = b ac = 69 = b ± ± II) x = = x = ou x = a Resposta: V = ; ) Na equação x x + = 0, tem-se a =, b = e c =, então: I) = b ac = 6 6 = 0 b ± ± 0 II) x = = = = a 8 8 Resposta: V = 6) Na equação x x + = 0, tem-se a =, b = e c =, então: I) = b ac = 0 = 6 b ± ± 6 II) x = = a a Resposta: V = Ø 7) x + x = 0 x. (x + ) = 0 x = 0 ou x + = 0 x = 0 ou x = Resposta: V = { ; 0}

2 8) x 9 = 0 x = 9 x = 9 x = 7 V = { 7; 7} x + 9) + = (x + ). (x ) +. =. (x ), x com x 0 x + = x +, com x x + x = 0, com x x = ou x = 0) Sendo x, em anos, a idade atual do filho, tem-se: I) A idade atual do pai, em anos, é x + 6 II) x. (x + 6) = x x + 6x = x x + 6x = 0. x. ( x + ) = 0 x = 0 ou x = fi x =, pois x > 0 III) A idade do pai é x + 6 = + 6 = 8 e a idade do filho é x = n Módulo Equação do ọ Grau (Propriedades) k ) Sendo S = e P = a soma e o produto das raízes, k k k respectivamente, devemos ter = k k k = k = ) Sendo V = {a; b} o conjunto verdade da equa ção x k x + k = 0, então: a + b = k a. b = k a + b = k fi (a + b) = (k) a + ab + b = 9k a + b +. ab = 9k,7 + k = 9k 7k =,7,7 k 7k 7 = k = = 0, Resposta: 0, ) I) Sendo m e n as raízes da equação x + 7x + = 0, tem-se 7 m + n = e m. n = II) Uma equação do ọ grau que tem raízes m e n, tem soma das raízes S = m + n =. (m + n) =. = 7 7 e produto das raízes P = m. n =. m. n =. = III) A equação procurada pode ser obtida por x Sx + P = 0 fi x + 7x + = 0 Resposta: x + 7x + = 0 ) Na equação ax + bx + c = 0, se a e c têm sinais contrários, então: I) a. c < 0 ac < 0 ac > 0 b ac > 0 > 0, então, a equação tem duas raízes reais distintas. II) O produto das raízes é P = sinais contrários. 6) = (x + ) x x = (x + ) (x ) (x + ).(x ) < 0, assim, as raízes têm (x ) = x +., com x + 0 e x 0 x 6 = x +, com x e x x =, com x e x x =, com x e x fi fi não existe x fi V = Ø 7) A = {x Œ x + x = 0} = {x Œ x. (x + ) = 0} = = {x Œ x = 0 ou x + = 0} = {x Œ x = 0 ou x = } = = {x Œ x = 0} = {0} Resposta: {0} 8) (x + ). (x ). (x + ) = 0 c a x + = 0 ou x = 0 ou x + = 0 x = ou x = ou x = x = ou x = ou x = ± fi x = ou x = Resposta: V = { ; } ) I) As raízes da equação x px + q = 0 são a e b, então, a + b = p e a. b = q II) Uma equação do ọ grau que tem raízes a e b, tem soma das raízes S = b + a p + b = = a a. b q e produto das raízes P =. b = = a a. b q III) A equação procurada pode ser obtida por x Sx + P = 0 fi x p. x + q q = 0 qx px + = 0 9) (x + ) 7(x + ) + 0 = 0 Fazendo x + = y, temos: y 7y + 0 = 0 y = ou y = Assim: x + = ou x + = x = ou x = x = ± ou x = ± 0) x 8 x 6 = 0 (x ) x 6 = 0 Fazendo x = y, temos: y + y 6 = 0 y = ou y = 6 Assim: x = ou x = 6 x = ± ou x = ± fi x = ± Resposta: V = { ; }

3 n Módulo Sistema de Equações ) x + y = x + y = x + y = y = x + y = y = x = y = Resposta: V = {(; )} ) x + y = 6x + y = 6x + y = x + y = 6x y = 8 y = x + y = y = x = y = Resposta: V = {( ; )} ) Se x for o número de cédulas de R$,00 e y for o número de cédulas de R$ 0,00, então: x + y = 0 x + 0y = 7 x + y = 0 x + y = x y = 0 x + y = x = fi x y = 0 y = ) Sendo v o número de bolas vermelhas e b o número de bolas brancas, temos: v + b = 0 v + v + = 0 v + b = v + b = 0 v + v + = 0 v = 9 v + b = 0 v + b = 0 v = b = 7 Resposta: vermelhas e 7 brancas ) Sendo j e m as idades atuais, em anos, de João e Maria, respectivamente, temos: j =. (m ) j = m 0 j + + m + = 6 j + m = j m = j + m = j + m = m = 60 j + m = j + m = m = 0 fi j m = 0 = j = Resposta: anos 6) Sendo n o número de pessas do grupo inicial, temos: 600 I) A parcela inicial seria n 600 II) A parcela final foi n Assim, devemos ter: = + 60 = + n n n n n = (n ) + n(n ) n = n 70 + n n n n 70 = 0 n n = 0 n = ou n = 7 fi n = 7, pois n > 0 7) Sendo x o número de recenseadores e y o número de resi - dências da cidade, temos: 00. x = y 60 00x = 0x x = y y = 0x x = 60 y = 0x x = 0 y = 060 Resposta: 060 residências 8) Sejam x o número de processos do Dr. André e y o do Dr. Carlos, então: x + y = 78 x y = 78 x + y = 0 x + y = 0 x = 6 y = 9) Sendo m e h, respectivamente, o número de filhas e de filhos do casal, temos: m = h h =. (m ) m h = h = m h m = h + m = h m = fi h + m = + = 7 m = h = m = 0) Sendo a, b e c as idades, em anos, de André, Bento e Carlos, respectivamente, temos: a + b + c = b = a + a + a + + a = b = a + c = a c = a a = b = a + a = b = 7 c = a c = 0 ndré tem anos, Bento tem 7 anos e Carlos tem 0 anos. ) Sendo a e c os pesos, em gramas, da água que enche o copo e do copo vazio, respectivamente, temos: c + a = 8 c + a = 0 c + a = 8 c a = 0 c + a = 8 c + a = 8 a = 7 a = c = 60 a = a) O peso do copo vazio é 60g b) O peso do copo com de água é c + a = g = (60 + )g = 9g Respostas: a) 60g b) 9g ) Sejam x > 0 e y > 0, respectivamente, o número inicial de estudantes e o valor da parcela que cabe a cada um x. y = 0 (x + ). (y 7) = 0 0 y = x 0 y = + 7 x = + 7 x + x 0 = 0 fi x = 0 x x +

4 n Módulo Função Polinomial do ọ grau ) I) Observamos que a função do ọ grau é estrita mente decres cente, então a < 0. II) A reta intercepta o eixo y no ponto (0; b), com b > 0. ) Dado 0 < a < b, então a < b fi a + a < b + b fi (a + ) (b + ) fi a. (a + ) < b. (b + ) fi < b a ) I) Se x ], ], então: x x x + 9) > 0.(x ) 6.(x ) 0.(x + ) > x 8x + 78 > 00x + 0 7x + 6 > 00x + 0 x > x < x < V = {x Œ x < } n Módulo 6 Função Polinomial do ọ grau ) x x + > 0 As raízes são e, logo o gráfico é do tipo II) Dado x 0 ou x, então: Fazendo I II, temos: Então: V = {x Œ x < ou x > } A = {x Œ x ou x } ) a) x 0 < x < x < 7 V = {x Œ x < 7} b) x + x x x V = {x Œ x } c) (x ) x x + x 0x 0 V = d) x + x 0x 6 V = Ø ) x x + 0 As raízes são e, logo o gráfico é do tipo Então: V = {x Œ x }. ) x x + 0 A raiz é x =, logo o gráfico é do tipo ) n (n + ) 6n n + n n O menor inteiro positivo é n = 7. Então: V = {x Œ x } ou V = {} 6) x x 6 x Em a soluções são 0,, e, cujo produto é zero. ) x x + 0 A raiz é x =, logo o gráfico é do tipo x + x. (x + ) ( x) 7) > 6x x > x > x > V = {x Œ x > } x x x 8) x > x 6. (x ). (x ). (x ) > x 6x + 6 > x 9 x + 8 6x + 6 > x 7x > 7 x > V = {x Œ x > } Então: V = ) x x + 0 A raiz é x =, logo o gráfico é do tipo Então: V = Ø

5 6) x x + 0 A raiz é x =, logo o gráfico é do tipo II) Gráfico Então: V = {} 7) x + x 0 Como < 0, o gráfico é do tipo Então, V = ) (x ). (7 x) 0 As raízes são e 7, o gráfico é do tipo Logo: V = Ø. 8) x + x 0 Como < 0, o gráfico é do tipo As soluções naturais são,, e 6, cujo produto vale 60. ) f(x) = 9 x A condição de existência da função é 9 x > 0 Logo: V =. As raízes são e e o gráfico é do tipo 9) x + x 0 Como < 0, o gráfico é do tipo Então: < x <. V = ], [ Logo: V =. FRENTE ÁLGEBRA 0) x x x x 0 As raízes são 0 e, o gráfico é do tipo Logo: V = {x Œ 0 x }. ) x x 0 As raízes são e, o gráfico é do tipo Logo: V = {x Œ x }. ) 9x 6x ± 0 I) = 0 fi x = fi x = (raiz) 8 n Módulo Conjuntos ) O conjunto A = {; ; {}; {}; Ø} tem elementos. A relação de pertinência desses elementos é: A A {} A {} A Ø A Assim, temos: a) A e A (V) b) {} A (V) c) A (V) d) {} A (V) e) {} A (V) f) {{}, {}} A (V) g) {; } A (V) h) Ø A (V) i) {Ø} A (V) j) Ø A (F), pois Ø A k) {} A (V)

6 l) {} A (F), pois {} A m) A (V) n) {; } A (V) o) {{}} A (V) p) {; ; } A (V) q) {} A (V) r) Ø A (V) s) A A (V) t) {; Ø} A (V) ) Sendo A = {; {}}, tem-se: ) A é verdadeira. ) {} A é verdadeira. ) {} A é verdadeira ) Se M N = {; ; ; } e M P = {; ; }, então: M N P = {; ; ; } {; ; } = {; ; ; ; } ) Se existe x Œ A e x Œ B, então existe x Œ A B, isto é, A B Ø ) I) Sombreando a região correspondente a A B, tem-se: ) I) {; } X fi Œ X e Œ X II) X {; ; ; } De (I) e (II), podemos ter: X = {; } ou X = {; ; } ou X = {; ; } ou X = {; ; ; } II) Sombreando a região correspondente ao conjunto C, temse: ) O conjunto {a; b; c; d; e; f; g} tem 7 elementos, então, o total de subconjuntos é 7 = 8 ) O conjunto A = {; ; } tem elementos, então, o total de subconjuntos é = 8, incluindo o conjunto vazio. Logo, o número de subconjuntos não vazios é 8 = 7. III) A figura que representa (A B) C é: 6) O conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de, menores que 0, é {; 0; ; 0; ; 0; } que possui 7 elementos e um total de 7 = 8 subconjuntos, incluindo o conjunto vazio. Logo, o número de subconjuntos não vazios é n = 8 = 7. n Módulo Conjuntos ) Para S = {; ; ; 7; 9; }, A = {; ; } e B = {; ; 7; 9}, tem-se: I) A B = {; ; ; 7; 9} II) A B = {; } III) A B = {; ; } {; ; 7; 9} = {} IV) B A = {; ; 7; 9} {; ; } = {7; 9} V) B B = S = S B = {; ; ; 7; 9; } {; ; 7; 9} = {; } 6) I) Todo jovem que gosta de matemática adora esportes fi fi M E II) Todo jovem que gosta de matemática adora festas fi III) fi M F M E M F fi M (E F), que pode ser representado por: ) fi x = 6 e y = 9 fi A = {; 7; x; ; 9} B = {; ; x; 8; y; } A B = {; 6; 9} fi A = {; 7; 6; ; 9} e B = {; ; 6; 8; 9; } 0)É falsa, pois A B = {; ; ; ; 6; 7; 8; 9} 0)É verdadeira, pois A B = {; 7} 0)É falsa, pois A B 08)É verdadeira, pois 8 A 6)É verdadeira, pois x + y = = Resposta: São verdadeiras 0, 08 e 6 6

7 7) I) Representando num diagrama, tem-se: n Módulo Produto Cartesiano, Relações Binárias e Funções ) (0) V, () F, () F, () F, () V, () F II) 0 x + x + 70 x = 00 x = 0 III) O percentual de leitores que leem os jornaius A e B é 0 = 0% 00 8) I) Representando num diagrama, tem-se: ) Se A = {; }, B = {; } e C = {; }, tem-se: I) B C = {; } {; } = {} II) A (B C) = {; } {} = {(; ); (; )} ) I) {(0; ), (0; ), (; ), (; )} A B fi {0; ; } A e {; } B, sendo que A e B podem ter outros elementos. II) A B tem, no mínimo,. = 6 pares ordenados, entre eles estão necessariamente (; ) e (; ), portanto, pode-se afirmar que {(; ), (; )} A B ) I) Se A = {} e B = {; 7}, então, A B = {(; ); (; 7)} II) As relações binárias de A em B são os subconjuntos de A B, isto é: Ø, {(; )}, {(; 7)} e A B ) I) Se n(a) = m e n(b) = p, então, n(a B) = n(a). n(b) = m. p II) O número de relações binárias de A em B é o número de subconjuntos de A B, isto é, m. p, incluindo o conjunto vazio. Assim, o número de relações não vazias é m. p II) O número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é = 8 6) a) f = {(0; 0); (; )} 9) I) Representando num diagrama, em porcentagens, tem-se: f não é função, pois do elemento não parte nenhuma flecha. b) f = {(0, 0), (, ), (, ), (, ), (, )} II) A porcentagem de entrevistados que não preferem nem X nem Y é (0 + 8)% = 8% f não é função, pois dos elementos e partem mais de uma flecha. 7

8 c) f = {(0, ), (, ), (, 0)} 0) Para f(x) =. x e g(x) =. x + a, tem-se: I) f(0) g(0) = fi a = a = II) f(). g =... = f é uma função com: D(f ) = {0; ; } = A CD(f ) = { ; ; 0; ; } = B Im(f ) = { ; ; 0} B. d) f = {(0, ), (, 0), (, )} 9 =. =. = =. = + = = = = ) Para h(t) =,t 9, e p(t) =,8t 7t + 6, tem-se: I) h(t) =,6 fi,t 9, =,6,t = t = 0 II) p(0) =, = = 06 Resposta: 06 g f é uma função com: D (f ) = {0; ; } = A CD (f ) = { ; ; 0; ; } = B Im(f ) = {0; } B 7) a) f não é função, pois a reta vertical de abscissa intercepta o gráfico em dois pontos. b) g não é função, pois a reta vertical da abscissa não inter - cepta o gráfico. c) h é uma função com: D(h) = {x Œ x 6} = A CD(h) = Im(h) = {y Œ y < } ) Sendo C =. (F ), tem-se: 9 a) Para C = fi =. (F ) 6 = F F = 9 9 b) Para F = C fi C =. (C ) 9C = 0C 60 C = 60 9 Respostas: a) F = 9 b) C = 60 n Módulo Domínio, Contradomínio e Imagem ) Para t = 6 e d = 7,0. t, temos: d = 7,0. 6 = 7,0. = 7,0. =,0, se x é racional 8) Se f(x) = e observando que, se x é irracional é irracional, é racional e π é irracional, tem-se: f( ) + f f(π) = = =. = 0 9) I) f(x) = x + fi f() =. + = 8 f(x) + 8 f() II) g(x) = fi g() = = = = f(x) f() 8 ) Considerando que domínio de uma função real é o conjunto dos valores reais para os quais a função existe, temos: x + a) f(x) = existe para x 8 0 x x 8 Assim, D(f) = {} b) f(x) = x existe para x 0 x Assim, D(f) = {x Œ x } c) f(x) = x + existe para todo x Œ Assim, D(f) = Respostas: a) {} b) { x Œ x } c) ) A função y = existe para x > 0 x > x Assim D(f) = x Œ x > 8

9 ) Para que a função y = f(x) = x x exista, devemos ter: x x x 0 x 7 x x + ) f(x + ) = não existe para x =, isto é, não existe x + f + = f. Assim, se não existe f, o domínio da função f é 8) Para x em anos e f(x) em porcentagem da área da flo resta a cada ano, temos de acordo com o gráfico: 00 = 0 c = 0 c f(0) = 0 6a + 00 f(6) = 0 = 0 6b + 0 f(0) = 60 0a + 00 = 60 0b + 0 6a + 00 = 00b a + 00 = 600b c = 0 Portanto, f(x) = 00x + 00 x + 0 a 0b = 0 a 60b = 0 c = 0 a = 00 b = c = 0 Resposta: a = 00, b = e c = 0 6) Na função y = x, tem-se: I) Para x = fi y =. ( ) = II) Para x = fi y =. = Assim, o gráfico da função y = x para x Œ ] ; [ é: Portanto, o conjunto imagem é ] ; [ 7) Representando graficamente a função f(x) = x, para x, tem-se: x +, para < x f(x) = 00x + 00 x + 0 n Módulo Características e Propriedades da Função ) I) Graficamente, uma função é injetora quando nenhuma reta horizontal intercepta o gráfico mais de uma vez. Assim, não é injetora a função da alternativa a. II) O gráfico da alternativa c não é função, pois existe reta vertical que intercepta o gráfico mais de uma vez. III) O gráfico da alternativa e não é função, pois existe reta vertical que não intercepta o gráfico com x Œ. IV) Uma função é sobrejetora quando Im = CD. Assim, não é sobrejetora a função da alternativa b, pois CD = Im = * +. V) Portanto, é bijetora (injetora e sobrejetora) a função da alternativa d. ) Se B é o conjunto formado por todos os brasileiros, a função f: B Æ que associa a cada brasileiro sua altura em cen tíme - tros, representada num diagrama de flechas, é: Portanto, o conjunto imagem é [ ; ] I) A função não é injetiva (injetora) pois existem elementos diferentes em B associados ao mesmo elemento em, observando que existe mais de uma pessoa com a mesma altura. II) A função não é sobrejetiva (sobrejetora) pois Im(f) CD(f), observando que, por exemplo, não existem pessoas com altura negativa. 9

10 ) Representando a função f num diagrama de flechas, tem-se: I) A função não é sobrejetora, pois Im(f) = {0; } CD(f) = II) A função não é injetora, pois f( ) = f() = III) f( ). f() =. 0 = 0 IV) f( ) + f() = + = ) Se f: * + Æ tal que f(x x) = f( + x) é injetora, então: x x = + x (x x) Œ * + ( + x) Œ * + x x = 0 x x > 0 x = ou x = x x > 0 + x > 0 + x > 0 x = ou x = Resposta: x = ou x = ) a) A função f é definida por f(x) =, se x = 0 x +, se x Œ {,,,, } x +, se x Œ {6, 7, 8, 9} b) f não é injetora pois f() = f(6) = 8 c) Para os meses de agosto e novembro não se pode afirmar o final da placa, justamente por não ser injetora. d) f(x + ) f(x) = [x + + ] [x + ] =, para x =,,, e f(x + ) f(x) = [x + + ] [x + ] =, para x = 6, 7, 8 e) O gráfico de f é c) falsa admitindo que em janeiro de 007a arrecadação da Receita Federal tenha sido de R$ bilhões, temos:., = 6,7 > 8,8 d) falsa embora a arrecadação da Receita Federal tenha sido crescente de fevereiro a abril de 007, e de maio a julho, ela foi decrescente de julho a agosto. e) verdadeira de fato, de julho a setembro de 007 a arrecadação da Receita Federal foi decrescente. 7) a) Falsa, pois f() = 0 b) Falsa, pois D(f) = c) Falsa, pois Im(f) = {y Œ y 0} d) Verdadeira e) Falsa, pois para 0 < x < f é decresccente 8) Se f é uma função estritamente crescente e f(x 7) < f(x ), então x 7 < x x < 6 9) n Módulo 6 Função Composta ) Se f(x) = x e g(x) = x +, então: a) (gof)() = g(f()) = g() = + = 7 b) (gof)() = g(f()) = g(6) = 6 + = 9 c) (gof)(x) = g(f(x)) = g(x) = x + Respostas: a) 7 b) 9 c) x + ) Se f(x) = x + e g(x) = x, então: a) (fog)(0) = f(g(0)) = f( ) = 8 + = 7 b) (gof)(0) = g(f(0)) = g() = = c) (fof)() = f(f()) = f() = 8 + = 9 d) (gof)() = g(g()) = g( ) = = Respostas: a) 7 b) c) 9 d) ) Se f(x) = x e g(x) = x, então: (gof)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) = 9x 6x + 6) Analisando o gráfico podemos concluir que a) falsa de janeiro a setembro de 007 a arrecadação da Receita Federal ora aumentou ora diminuiu; b) falsa admitindo que a arrecadação da Receita Federal em setembro de 007 tenha sido de R$ 6, bilhões, temos 6,., = 0,8 > 8,8 0 ) Se x Œ, o resto da divisão de x por pertence ao conjunto {0; ; ; }, então, f(x) = 0 ou f(x) = ou f(x) = ou f(x) =. Assim, para g(x) = x x +, tem-se: I) Se f(x) = 0 fi (gof)(x) = g(f(x)) = g(0) = = II) Se f(x) = fi (gof)(x) = g(f(x)) = g() =. + = 0 III) Se f(x) = fi (gof)(x) = g(f(x)) = g() =. + = IV) Se f(x) = fi (gof)(x) = g(f(x)) = g() =. + = Portanto, o conjunto imagem de gof é {0; ; }, que é formado por três números quadrados perfeitos.

11 ) Observando os gráficos das funções f e g, temos: I) f() = 0 II) (gof)() = g(f()) = g(0) = III) g() = a, com a < 0 IV) (fog)() = f(g()) = f(a) =, pois a < 0 e a função f é constante e igual a para todo valor negativo. Assim, (gof)() + (fog)() = + = x 6) Se g(x) = x e (fog)(x) =, então: x x I) f(g(x)) = x II) g(x) = fi x = x = x = Assim, para x =, tem-se: x f(g(x)) = fi f g = x f + = = = 7) Se f(x) = x + e g(x) = ax + b, então: I) f(g(x)) = f(ax + b) = (ax + b) + = ax + b + II) f(g(x)) = 8x + 7 fi ax + b + = 8x + 7 a = 8 fi a + b = + = 6 b + = 7 a = b = FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Potenciação: Definição ) = = ) 0 = ) ( ) 0 = ) 0 = ( 0 ) = ) ( ) 0 + ( 6) : ( ) = 6 : ( ) 6 = + 6 = 6) +. = +. = + = ) = = =. = ) = = = = = 7 7 ( ) + 0 n Módulo Potenciação: Propriedades ) 00 = 00 = 99 ) número de pessoas = = 6 + = 7 ) I) x = ( ) = 6 II) y = =.. = 8 III) z = =. = 9 IV) x. y. z = = = = n n = (,). (0,) ) (9,9) 0 6 ) = ) 0 = 0 ) =.. = ) ( ) = ( ). ( ). ( ) = ) = (.. ) = 6) = 7) ( ) = ( ). ( ) = 8) = (. ) = 9) = = 0) ( ) = = ( ) ) I) caracter = 8 bits = byte II) Kb = 0 bytes III) Mb = 0 Kb IV) Gb = 0 Mb V) n = 60 Gb = Mb = Kb = = bytes = caracteres 6) a) a = = 7 b = ( ) = 8 c = = = 9 d = ( ) = = ( ) 8 b) ordem crescente: b < d < c < a

12 7) I) M sol =, kg = 9, kg 9, II) M gli = M sol = kg = = 6, kg = 6, t = 6, t 0 8) (0,) + (0,6) = 0,. 0,. 0, + 0,6. 0,6 = 0,06 0,008 0,06 9) a) Verdadeira: x = fi (x ) = () fi x 6 = 6 b) Falsa: x 6 = 6 x = ± = ± 6 = ± c) Verdadeira: ( ) < fi 6 < 8 d) Verdadeira: 0 x = 0, fi (0 x ) = (0,) fi 0 x = 0,0 e) Verdadeira: n + + n = n. + n = n ( + ) =. n n +. n n.. n 0) = =. n +. n. n ( ) 6 = = = n. 6 ) a = 6 fi ( a ) = () a = a = = ) 0 x = fi (0 x ) = () 0 x = 0 x = = ). 6 = =. (. ) 6 =. 0 6 ) = = algarismos n Módulo Radiciação: Definição e Propriedades ) 8 = 9 = 9 ) 8 = 9 = 9 ) ) 6 = = 6 = ( ) = 7 8 ) 7 y = fi (7 y ) = () 7 y = 7 y = = ) = = = = = = = 8 + = =. =. = 6) =..7 =.7. = 8 7) =.. + = = + = = 8) =. +. = + = 8 9) I) 7 = II) 8 = III) < 89 < fi < 89 < fi 7 < 89 < 8 0) I) A =. =. = 9 II) 6 = 6 III) 7 = 9 IV) 6 < 9 < 9 fi 6 < 9 < 9 fi 6 < A < 7 ) ) = = 7 + = = = = = 7 = ( 9 ) = 9 8 = = + = n Módulo Radiciação: Potência de Expoente Racional e Racionalização de Denominadores ) = =. = 6. = 0 = = = =. 6 =. 8 0 =

13 ) a. a a a = a.a a a = a a. a = 8) x = (x + ). (x ) 9) 8a b = 9. (6 9a b ) = 9. ( + ab). ( ab) = a. a a = a. a = a.a = 0) x = (x ) () = (x + ). (x ) = (x + ). (x + ). (x ) 8 = a = a ).... = ) y = 6 fi y x = 6, = ( ), = = x =, + ) + = ( + ) + ( ) = + ( ). ( + ) = = = () ) +. = 6) +. + = = = + () 6 + =... = =.. = =. = = 66 ) = ( ). ( ) = = = 8687 ) Para x = 0, e y = 0,00, temos: x + xy x (x y) = = y y 0,( 0, 0,00) 0,( 0,0) = = = 0,00 0,00 0,0 = 0,. =. 0 = 0, 0,00 0 n Módulo Fatoração: Definição e Casos Típicos ) a b 0a b = 6a b (a b) ) 6ab + b + a + 0a b = = b(a + b ) + a (a + b ) = (a + b ). (b + a ) ) ab + a + b + = a(b + ) + (b + ) = (b + ). (a + ) ) Para a = 0, e b = 0,, temos: a b a b = a b(b a) = b a (b + a)(b a) a b (0,). 0, 0,00. 0 = = = = = a + b 0, + 0, 0,. 0 =. 0 = = = ) ab + a b = a(b + ) (b + ) = (b + ). (a ) ) xy + x + y + = x(y + ) + (y + ) = (y + ). (x + ) ab + a + b + a(b + ) + (b + ) 6) = = ab a + b a(b ) + (b ) (b + ). (a + ) = = (b ). (a + ) b + b 7) a = a = (a + ). (a ) ) Para x = 0, e y = 0,0, temos: xy x x(y x) 0,(0,0 + 0,) = = = y y 0,0 0,. 0, 0,. 0, = = = 0, 0, 00

14 n Módulo 6 Fatoração Casos Típicos (continuação) ) ( + m) = +.. m + (m) = + m + 9m ) (a ) = a. a. + () = a 6a + 9 ) ( + ) = () +. + () = + + = = 8 + ) a + a + = a +.. a + = (a + ) ) 9a + 0ab + b = (a) +. (a). (b) + (b) = (a + b) 6) 8x + 8x = +.. ( 9x ) + ( 9x ) = ( 9x ) a + a b a (a + b) a 7) = = a + ab + b (a + b) (a + b) x + xy x y x(x + y). (x + y). (x y) 8). = = xy y x + y + xy y(x y). (x + y) x(x y). (x + y) = = y(x y). (x + y) x + x + x + x + x + [(x + ). (x + )] 9) = = x + x + x + (x + ) x + x + x x x x + = = = (x + ) (x + ) (x ) = = x (x + ) x + x y 0) a + b a b a + b. = a b a + b ab = (a + b) (a b) a + b. = (a b). (a + b) ab = a + ab + b (a ab + b ) a + b. = (a b). (a + b) ab ab (a + b) =. = (a b). (a + b) ab ) ( + + ) = ( + + ) = ( + ) = = () +. + () = = a + b a = 8 e b = 6 b a a( + ab) + b a ) I) M = a + = = + ab ( + ab) a b + b b(a + ) = = ( + ab) (ab + ) a b ab a ( + ab) (ab a ) II) N = = = + ab ( + ab) + a (a + ) = = + ab (ab + ) b(a + ) M ab + b(a + ) III) = = = b N a + a + ab + ) a + b a b ab. (a + b). ab(a b) = = a ab a b b a(a b). b(a b ) (a + b) = = (a + b)(a b) (a b) x x x. () x(x + ) ) y = = = x x (x + ). (x ) x x x x x = = = (x + ). (x ) (x + ). (x ) x(x ) = = (x + ). (x ) x x + (x ).(x + ) (x + ) ) = = x x (x + ). (x ) x + x x x = = = (x + ). (x ) (x + ). (x ) 6) Para x = e y =, temos: (x + y ). (x y ). (x + xy + y ) = = x y = (x + y ). (x + xy + y ) = () = 6 = x x + (x y ). (x + y) (x + y ). (x + xy + y ) 7) Se m + n + p = 6, mnp = e mn + mp + np =, então: (m + n + p) = 6 m + n + p + (mn + mp + np) = 6 m + n + p +. = 6 m + n + p = m + n + p Portanto, = = 7 mnp = (x ) x

15 8) a + b c ab = (a ab + b ) c = (a b) (c) = = [(a b) + c]. [(a b) c] = (a b + c). (a b c) ) 9) (a + b + c) = [(a + b) + c] = (a + b) + (a + b). c + c = = a + ab + b + ac + bc + c = a + b + c + ab + ac + bc 0) x + = b x + = b x x x + +. x. = b x + = b x x x FRENTE GEOMETRIA PLANA n Módulo Introdução ao Estudo da Geometria Plana a + 80 = 80 a = a = 00 ) Como r // s, então A + B = 80 e, pelo enunciado, B = A, assim: A + B = 80 fi A + A = 80 A = A = = e B = A =. = Logo, B A = = 90 6) Conforme a figura: ) x + x + 0 = 80 (os ângulos são colaterais) x + = 80 x = 80 x = 6 6 x = x = ) x + x + 60 = 80 6x = x = 0 x = x = 0 6 Pelo teorema do ângulo externo, no triângulo, b = 60 + x = = = 00 Traçando uma reta t, pelo vértice do ângulo a, paralela às retas r e s, tem-se: a = + 0 a = 7) Traçando as retas t e p, pelos vértices dos ângulos 0 e 70, respectivamente, paralelas às retas r e s, tem-se: ) Traçando uma reta t, pelo vértice do ângulo, paralela às retas r e s, e sendo x a medida do ângulo, tem-se: x = + = 00 a = 0

16 8) ) ângulo central comprimento do arco 7, 800 km I) A ^DC = 90 fi A ^DB = 90 0 = 60 II) ^C = ^C = 0 III) No triângulo BCD, C ^BD = = C ) Como as grandezas são diretamente proporcionais, tem-se: 7, 800 km 800 km = = 60 C 0 C C = km = km Resposta: km n Módulo Triângulos: Definição e Propriedades ) x = 80 x = = 0 ) I) No triângulo ABC, temos: ) x = 80 x = = y + z = 80 (y + z) = 0 y + z = 70 II) No triângulo BCI, temos: x + y + z = 80 fi x + 70 = 80 x = 0 6) Pelo Teorema do ângulo externo, x = x = 0 a + 90 = a 90 = a a = 0 6

17 7) n Módulo Triângulos: Classificação e Congruência ) I) No triângulo AHC, temos: ^A = = 60 II) No triângulo AHS, temos: H ^SA = = 60 III) No triângulo BAS, temos: x = 80 x = = 0 8) I) No triângulo ABC, temos: a + x + x = 80 a + x = 80 II) No triângulo BOC, temos: a + x + x = 80 a + x = 80 a + x = 80 a x = 80 III) a + x = 80 6a + x = 60 a = 80 a = 6 ^ I) B = = 0 II) r é a bissetriz de ^B, então C ^BR = III) B ^RA = + 0 = 8 Então, g = 80 g = fi g = ) 9) Se ^A ^ 80 0 = 0, então, no triângulo ABC, B = fi fi ^B = 80 e ^C = 80 No triângulo BCP, tem-se: q + x + 80 q = 80 x = = 00 I) f + f = 80 f = 80 f = 6 II) f + x = 90 x = 90 f = 90 6 = ) 7

18 Como NQ = NH então, q = N ^QH = N ^HQ = Pelo Teorema do ângulo externo, no triângulo NQH, b = + = 70 Como o triângulo MPN é isósceles, então ^ P = = 0 No triângulo PGH, 0 + a + = 80 a = 0 Logo, a + b + q = = 0 6) ) x + x = 80 x = 80 x = 0, portanto, C ^AB = 0 Resposta: 0 7) I) No triângulo ABD, AB = BD, então B ^DA = B ^AD = x II) C ^BD é ângulo externo do triângulo ABD, assim, C ^BD = x + x = x III) No triângulo BCD, BD = CD, então D^CB = C ^BD = x IV) y é ângulo externo do triângulo ACD, assim, y = x + x = x ) Seja R, o raio da circunferência. Se MN = OP e OP = R, então MN = R a Logo, a = b + b a = b = b 8) I) No triângulo ABC, BA = BC, então ^A = ^C fi fi 80 y = 80 x x = y II) No ponto D, x + y + 80 = 80 fi x = y = 0 III) ^A = ^C = = = 80 IV) ^A + ^B + ^C = 80 fi 80 + ^B + 80 = 80 ^B = 0, portanto, A ^BC = 0 I) Como o triângulo ADC é isósceles, então: ^ 80 0 A = x = x = 7 II) Se A ^DC = 7, então, B ^DC = 0 III) Como AB = BC, então ^A = ^C = 7, logo, B ^CD = 7 0 = IV) No triângulo BCD, y = 80 y = 0 Então, x + y = = 0 8

19 n Módulo Polígonos: Definição, Classificação e Propriedades ) O icoságono tem 0 lados fi n = 0 n(n ) 0(0 ) d = = = 0. 7 = 70 ) Seja n o número de lados do polígono, então: d n(n ) n = n = d n = 6n = n n n n 6n = 0 n 9n = 0 n = 9, pois n > ) O decágono tem 0 lados fi n = 0 S i = (n ). 80 = (0 ). 80 = = 0 60 ) a e = = 6 e a i + a e = 80, então: 0 a i = 80 6 = ) I) a e = 0 = 0 = n = 6 n = 8 n n n(n ) 8(8 ) II) d = = = 9. = 8) Polígono : n lados e d diagonais Polígono : (n + 6) lados e (d + 9) diagonais (n + 6). (n + 6 ) n(n ) I) = + 9 (n + 6). (n + ) n(n ) + 78 = n + n + 6n + 8 = n n + 78 n + 6n + n = 78 8 n = 60 n = n(n ) ( ) II) d = = = Então, temos: Polígono : lados e diagonais Polígono : lados e diagonais Como o número de vértices é igual ao número de lados, a soma pedida é = 6 ) I) a i = a e e a i + a e = 80 a e + a e = 80 a e = 80 a e = II) a e = fi = n = 60 n = 8 n n Logo, o polígono é o octógono. 6) 9) Sendo a o ângulo remanescente, temos: I) S i = (n ). 80 = a 80 n 60 = a a = 80 n 60 II) 0 < a < 80 0 < 80 n 60 < < 80 n < < n <, < n <, fi n = III) a = = 0 60 = 80 0) Seja a o ângulo de cada vértice da estrela e o triângulo isósceles em cada ponta da estrela: 80 a é ângulo externo do polígono de n lados, assim: A figura interna é um hexágono e S e = = a 60 = 70 = n. 80 na n (n ). 80 na = n a = n 9

20 6 ) I) S i = (n ). 80 = 60 n = 8 n = + n = n(n ) ( ) II) d = = = 7. = 77 é o total de diagonais III) O número de diagonais que passam pelo centro é n = = 7 IV) O número de diagonais que não passam pelo centro é 77 7 = 70 6) I) O triângulo CDE é isósceles, pois CD = CE, então C ^ED = C ^DE = a II) D ^CE = = 0 III) a + a + 0 = 80 a = IV) No triângulo CEF, temos: C ^FE = 80 C ^FE = 0 = B ^FD Resposta: 0 7) AB A B 8 = fi = B C = 6 B C = BC B C B C n Módulo Quadriláteros Notáveis e Linhas Proporcionais 8) Resposta: cm ) ) ) x + x = 60 x = x = = 6 I) x + x = 8 x = 8 x = II) x + y = 80 fi y = 80 y = 8 Logo, os ângulos medem:, 8, e 8. Resposta:, 8, e I) = 9x = 80 x = x II) = 9y = 60 y = 0 y III) = 9z = 0 z = z Resposta: m, 0 m e m 60 x 6/ 6 9) = x =. x = 6 0) a = 60 a = = ) Todo losango é um paralelogramo, pois tem lados opostos paralelos. ) I) O triângulo APB é isósceles, pois AB = AP, então A ^BP = A ^PB = a. II) P^AB = = 0 III) No triângulo APB, temos: 0 + a + a = 80 a = 0 a = 7 I) 0 = x 0x = 6 x =,6 AB =,6 II) 0 = y 0y = 9 y =,9 B C =,9 0 III) = z 0z = 6 z = 6, C D = 6, B =,6 cm, B C =,9 cm e C D = 6, cm 0

21 x + 0 x + 0 ) = (x + 0). (x 6) = (x 8)(x + 0) x 8 x 6 x 6x + 0x 60 = x + 0x 8x 60 6x 60 = x = x+ 6x 00 = 8x x = Resposta: 7) Sendo x, em metros, a medida do raio do disco voador, então: 0 80 = 6x = 8 x = x 6 8) n Módulo 6 Semelhança de Triângulos AB BD + BE 0 ) ABD CBE fi = fi = CB BE BE BE + (BE) = 0 (BE) + BE 0 = 0 fi BE = AB BC 0 ) ABC EDC fi = fi = ED DC x x = x = x =, Sendo x, em metros, o comprimento da sombra da moça no chão, temos: x + = x =,x + x,x =, x,x = x = x =,0, ) Sendo x a medida do lado do quadrado, temos: BD DE x x BDE BAC fi = fi = BA AC x = x x + x = x = x = = 0,7 ) Sendo x, em metros, o comprimento da sombra da estátua, temos: + x = x = 8 + x x x = 8 x = 8 x 8 x = 8 Resposta: m ) Sendo x, em metros, a medida de ED, pela semelhança dos triângulos AED e ABC, temos: AE ED x = fi = x = 0 + x x x = 0 AB BC x x = 0 x = 6) ABE CDE fi fi AB = AE fi 6 = AE AE = 08 AE = 0 CD CE 0 7

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