13 28 Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua. área. 21. y tg x, y 2 sen x, 28. y 1 4 x 2, y 2x 2, x y 3,

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1 6. Eercícios 4 Encontre a área da região sombreada... = = - =_ = (4, 4) = = =e (_3, 3) = -4 =- 5 Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a ou. Desenhe um retângulo aproimante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região. 5. e,,, 6. sen,, p/, p 7., 8., 4 9. /, /,. sen, /p,.,. 4, =œ + = Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área. 3., 6 4., 4 5. e, e, 6. cos, cos, 7., 4 8. s, 9. cos p, 4. 4, s,. tg, sen, , 3. cos, sen,, 4. cos, cos, 5. s,, 9 6., 7.,, 4, 8. 4,, 3, 9 3 Use o cálculo para encontrar a área do triângulo com os vértices dados. 9.,, 3,,, 3., 5,,, 5, 3 3 Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região p sen cos d 4 s d ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

2 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO ; Use um gráfico para encontrar os valores aproimados das coordenadas dos pontos de intersecção das curvas indicadas. A seguir, encontre a área aproimada da região delimitada pelas curvas. 33. sen, 4 34., 5, ( ) 35. 3, e, ; 37 4 Represente graficamente a região entre as curvas e use a calculadora para encontrar a área correta até a quinta casa decimal. 37., 38. e, tg, s 4. cos, sen Se a taa de natalidade da população é b(t) e,4t pessoas por ano e a taa de mortalidade é d(t) 46e,8t pessoas por ano, encontre a área entre estas curvas para t. O que esta área representa? 47. Dois carros, A e B, largam lado a lado e aceleram a partir do repouso. A figura mostra os gráficos de suas funções velocidade. (a) Qual carro estará na frente após minuto? Eplique. (b) Qual o significado da área da região sombreada? (c) Qual carro estará na frente após minutos? Eplique. (d) Estime quando os carros estarão novamente lado a lado. SCA 4. Use um sistema de computação algébrica para encontrar a área eata da região delimitada pelas curvas e. 4. Esboce a região no plano definida pelas inequações, e encontre sua área. 43. Os carros de corrida dirigidos por Chris e Kell estão lado a lado na largada de uma corrida. A tabela mostra as velocidades de cada carro (em quilômetros por hora) durante os primeiros dez segundos da corrida. Use a Regra do Ponto Médio para estimar quão mais longe Kell vai do que Chris durante os primeiros segundos. t v C 44. As larguras (em metros) de uma piscina com o formato de rim foram medidas a intervalos de metros, como indicado na figura. Use a Regra do Ponto Médio para estimar a área da piscina. 6, v K 5, 7, 6,8 5,6 4,8 4,8 45. É mostrada a seção transversal da asa de um avião. As medidas em centímetros da espessura da asa, em intervalos de centímetros, são 5,8,,3, 6,7, 9,, 7,6, 7,3, 3,8,,5, 5,, 8,7, e,8. Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar a área da secção transversal da asa. t cm v C v K A 48. A figura mostra os gráficos da função receita marginal R e da função custo marginal C para um fabricante. [Lembre-se, da Seção 4.7, de que R() e C() representam as receitas e custos quando unidades são manufaturadas. Suponha que R e C sejam medidas em milhares de dólares.] Qual é o significado da área da região sombreada? Use a Regra do Ponto Médio para estimar o valor dessa quantidade. 3 B Rª() Cª() 5 ; 49. A curva com equação ( 3) é chamada cúbica de Tschirnhausen. Se você colocar essa curva em um gráfico, verá que parte dela forma um laço. Encontre a área dentro desse laço. 5. Encontre a área da região delimitada pela parábola, pela reta tangente a esta parábola em (, ) e pelo eio. 5. Encontre o número b tal que a reta b divida a região delimitada pelas curvas e 4 em duas regiões com área igual. 5. (a) Encontre o número a tal que a reta a bissecte a área sob a curva /, 4. (b) Encontre o número b tal que a reta b bissecte a área da parte (a). 53. Encontre os valores de c tais que a área da região delimitada pelas parábolas c e c seja Suponha que c p/. Para qual valor de c a área da região delimitada pelas curvas cos, cos ( c) e é igual à área da região delimitada pelas curvas cos ( c), p e? 55. Para quais valores de m a reta m e a curva /( ) delimitam uma região? Encontre a área da região. t (min)

3 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6. Eercícios 8 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos..,,, ; em torno do eio., ; em torno do eio 3.,,, ; em torno do eio 4. s5,,, 4; em torno do eio 5. s,, 9; em torno do eio 6. ln,,, ; em torno do eio 7. 3,, ; em torno do eio 8. 4, 5 ; em torno do eio 9., ; em torno do eio. 4,, ; em torno do eio., ; em torno de. e,, ; em torno de 3. sec, 3; em torno de 4. sen, cos, p/4; em torno de 5., ; em torno de 6., s ; em torno de 7., ; em torno de 8.,,, 4; em torno de 9 3 Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada. C(, ) B(, ) O T =œ $ T 3 T A(, ) 9. em torno de OA. em torno de OC. em torno de AB. em torno de BC 3. em torno de OA 4. em torno de OC 5. em torno de AB 6. em torno de BC 7. 3 em torno de OA 8. 3 em torno de OC 9. 3 em torno de AB 3. em torno de BC 3 34 Encontre uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas sobre a reta especificada. Em seguida, use a calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais. 3. e,,, (a) em torno do eio (b) em torno de 3 3., cos, p/ p/ (a) em torno do eio (b) em torno de (a) em torno de (b) em torno de 34.,, (a) em torno do eio (b) em torno do eio ; Use um gráfico para encontrar os valores aproimados das coordenadas dos pontos de intersecção das curvas indicadas. Em seguida, use a calculadora para encontrar (aproimadamente) o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio da região delimitada por essas curvas. 35. cos, sen, e e SCA Use um sistema de computação algébrica para achar o volume eato do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada. 37. sen,, ; em torno de 38., e ; em torno de Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido. 39. p p sen d 4. p d d 4. p p [( cos ) ] d 43. Uma tomografia computadorizada produz vistas de secções transversais igualmente espaçadas de um órgão humano, as quais fornecem informações sobre esse órgão que, de outra maneira, só seriam obtidas por cirurgia. Suponha que uma tomografia computadorizada de um fígado humano mostre secções transversais espaçadas por,5 cm. O fígado tem 5 cm de comprimento e as áreas das secções transversais, em centímetros quadrados, são, 8, 58, 79, 94, 6, 7, 8, 63, 39 e. Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do fígado. 44. Um tronco de m de comprimento é cortado a intervalos de m e as suas áreas de secção transversal A (a uma distância da etremidade do tronco) estão listadas na tabela. Use a Regra do Ponto Médio com n 5 para estimar o volume do tronco. (m) A ( m ) (m) A ( ) m,68 6,53,65 7,55,64 8,5 3,6 9,5 4,58,48 5,59 ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

4 CÁLCULO SCA 45. (a) Se a região mostrada na figura for girada em torno do eio para formar um sólido, use a Regra do Ponto Médio, com n 4, para estimar o volume do sólido (b) Estime o volume se a região for girada em torno do eio. Novamente use a regra do ponto médio com n (a) Um modelo para a forma do ovo de um pássaro é obtido girando, em torno do eio, a região sob o gráfico de Use um SCA para encontrar o volume deste ovo. (b) Para uma certa espécie de pássaro, a,6, b,4, c,, e d,54. Trace o gráfico de f e encontre o volume de um ovo desta espécie Encontre o volume do sólido S descrito. 47. Um cone circular reto com altura h e base com raio r. 48. Um tronco de um cone circular reto com altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r. 49. Uma calota de uma esfera de raio r e altura h. 5. Um tronco de pirâmide com base quadrada de lado b, topo quadrado de lado a e altura h. r r R h h f a 3 b c d s a a 53. Um tetraedro com três faces perpendiculares entre si e as três arestas perpendiculares entre si com comprimentos de 3 cm, 4 cm e 5 cm. 54. A base de S é um disco circular com raio r. As secções transversais paralelas, perpendiculares à base, são quadradas. 55. A base de S é uma região elíptica delimitada pela curva As secções transversais perpendiculares ao eio são triângulos isósceles retos com hipotenusa na base. 56. A base de S é a região triangular com vértices (,), (,), e (,). As secções transversais perpendiculares ao eio são triângulos equiláteros. 57. A base de S é a mesma base do Eercício 56, mas as secções transversais perpendiculares ao eio são quadradas. 58. A base de S é a região delimitada pela parábola e pelo eio. As secções transversais perpendiculares ao eio são quadradas. 59. A base de S é a mesma base do Eercício 58, mas as secções transversais perpendiculares ao eio são triângulos isósceles com altura igual à base. 6. A base de S é um disco circular com raio r. As secções transversais paralelas, perpendiculares à base, são triângulos isósceles de altura h e lado desigual na base. (a) Estabeleça uma integral para o volume de S. (b) Interpretando a integral como uma área, encontre o volume de S. 6. (a) Escreva uma integral para o volume de um toro sólido (o sólido com formato de rosquinha da figura) com raios r e R. (b) Interpretando a integral como uma área, encontre o volume do toro. a a R r b O que acontece se a b? O que acontece se a? 5. Uma pirâmide com altura h e base retangular com lados b e b. 5. Uma pirâmide com altura h e base triangular equilátera com lado a (um tetraedro). 6. Resolva o Eemplo 9 tomando secções transversais paralelas à reta de intersecção dos dois planos. 63. (a) O Princípio de Cavalieri afirma que, se uma família de planos paralelos produzem áreas de secção transversal iguais para dois sólidos S e S, então os volumes de S e S são iguais. Demonstre esse princípio.

5 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO (b) Use o Princípio de Cavalieri para encontrar o volume do cilindro oblíquo mostrado na figura. r 64. Encontre o volume comum de dois cilindros circulares, cada um com raio r, se os eios dos cilindros se interceptam em ângulos retos. h 67. Um buraco de raio r é perfurado pelo meio de um cilindro de raio R r com ângulo reto em relação ao eio do cilindro. Encontre, mas não calcule, uma integral para o volume cortado. 68. Um buraco de raio r é perfurado através do centro de uma esfera de raio R r. Encontre o volume da porção remanescente da esfera. 69. Alguns dos pioneiros do cálculo, como Kepler e Newton, foram inspirados pelo problema de encontrar os volumes de barris de vinho. (De fato, Kepler publicou um livro em 65, Stereometria doliorum, dedicado aos métodos para encontrar os volumes de barris.) Eles frequentemente aproimavam a forma dos lados por parábolas. (a) Um barril com altura A e raio máimo R é construído pela rotação ao redor do eio da parábola R c, h h, onde c é uma constante positiva. Mostre que o raio de cada etremidade do barril é r R d, onde d ch 4. (b) Mostre que o volume delimitado pelo barril é V 3 h(r r 5 d ) 65. Encontre o volume comum de duas esferas, cada qual com raio r, se o centro de cada esfera está na superfície da outra esfera. 66. Uma tigela tem a forma de um hemisfério com diâmetro de 3 cm. Uma bola pesada com diâmetro de cm é colocada dentro da tigela, e depois despeja-se água até uma profundidade de h centímetros. Encontre o volume de água na tigela. 7. Suponha que a região tenha área A e esteja acima do eio. Quando é girada em torno de eio, ela gera um sólido com volume V. Quando é girada em torno da reta k (onde k é um número positivo), ela gera um sólido com volume V. Epresse V em termos de, k e A. V

6 6.3 Eercícios APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 43. Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eio. Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume S. Você acha que esse método é preferível ao fatiamento? Eplique. =sen{ } 6. 7, 4; em torno de 5 7. Use a Regra do Ponto Médio com n 5 para estimar o volume obtido pela rotação em torno do eio da região sob a curva s 3,. 8. Se a região mostrada na figura for girada em torno do eio para formar um sólido, use a Regra do Ponto Médio, com n 5, para estimar o volume do sólido. œ π 3 7 Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eio. 3.,,, 4.,, 5. e,,, 6. 4, 7., 6 8. Considere V o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio da região delimitada por s e. Encontre V pelo fatiamento e por cascas cilíndricas. Em ambos os casos, desenhe um diagrama para eplicar seu método. 9 4 Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eio. 9..., s, 3,,, 8,, , 3., 4. 3, 4 5 Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eio especificado. 5. 4,, ; em torno de 6. s,, ; em torno de 7. 4, 3; em torno de 8., ; em torno de 9. 3,, ; em torno de., ; em torno de 6 (a) Escreva uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eio especificado. (b) Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais.. e,, ; em torno do eio. tg,, p/4; em torno de p/ 3. cos 4, cos 4 ; p/ p/; em torno de p 4., 3 ; em torno de 5. ssen, p, ; em torno de Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido d d d p 4 p p cos sen d ; Use um gráfico para encontrar os valores aproimados das coordenadas dos pontos de intersecção das curvas indicadas. A seguir, use essa informação para estimar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio da região delimitada por essas curvas. 33. e, s 34. 3, 4 4 SCA Use um sistema de computação algébrica para achar o volume eato do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada. 35. sen, sen 4, ; em torno de sen,, ; em torno de A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eio especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método , ; em torno do eio , ; em torno do eio 39., ; em torno do eio 4., ; em torno do eio 4. ; em torno do eio 4. 3, 4; em torno de 43. ( ), ; em torno de 44. Considere T a região triangular com vértices (,), (,) e (,), e considere V o volume do sólido obtido quando T é girado em torno da reta a, onde a. Epresse a em termos de V Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. 45. Uma esfera de raio r. 46. O toro sólido do Eercício 6 da Seção 6..

7 44 CÁLCULO 47. Um cone circular reto com altura h e base com raio r. 48. Suponha que você faça anéis para guardanapos perfurando buracos com diferentes diâmetros através de duas bolas de madeira (as quais também têm diferentes diâmetros). Você descobre que ambos os anéis de guardanapo têm a mesma altura h, como mostrado na figura. (a) Faça uma conjectura sobre qual anel tem mais madeira. (b) Verifique o seu palpite: use cascas cilíndricas para calcular o volume de um anel de guardanapo criado pela perfuração de um buraco com raio r através do centro de uma esfera com raio R e epresse a resposta em termos de h. h

8 6.4 Eercícios. Um gorila de 36 lb escala uma árvore a uma altura de pés. Encontre o trabalho realizado pelo gorila para alcançar esta altura em (a) segundos (b) 5 segundos. Quanto trabalho é realizado quando um guindaste levanta uma pedra de kg a uma altura de 3 m? 3. Uma partícula é movida ao longo do eio por uma força que mede /( ) libras em um ponto a e pés da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 pés. 4. Quando uma partícula está localizada a uma distância de metros da origem, uma força de cos 3 newtons atua sobre ela. Quanto trabalho é realizado ao mover a partícula de até? Interprete a sua resposta considerando o trabalho realizado de para,5 e de,5 para. 5. A figura a seguir mostra o gráfico de uma função força (em newtons) que cresce até seu máimo valor e depois permanece constante. Quanto trabalho é realizado pela força ao mover um objeto a uma distância de 8 m? F (N) (m) 6. A tabela a seguir mostra valores de uma função de força f, onde é medido em metros e f, em newtons. Use a Regra do Ponto Médio para estimar o trabalho realizado pela força ao mover um objeto de 4até f 5 5,8 7, 8,8 9,6 8, 6,7 5, 4, 7. Uma força de lb é necessária para manter uma mola esticada 4 pol além do seu comprimento natural. Quanto trabalho é realizado para esticá-la do seu comprimento natural até 6 pol além do seu tamanho natural? 8. Uma mola tem comprimento natural de cm. Se uma força de 5 N é necessária para mantê-la esticada a um comprimento de 3 cm, qual o trabalho necessário para esticá-la de cm a 5 cm? 9. Suponha que J de trabalho sejam necessários para esticar uma mola de seu comprimento natural de 3 cm para 4 cm. (a) Quanto trabalho é necessário para esticar a mola de 35 cm para 4 cm? (b) Quão longe de seu comprimento natural uma força de 3 N manterá a mola esticada?. Se o trabalho necessário para esticar uma mola pé além do seu comprimento natural é de lb-pé, qual o trabalho necessário para esticá-la 9 pol além do seu comprimento natural?. Uma mola tem comprimento natural de cm. Compare o trabalho W realizado ao esticar a mola de cm para 3 cm com o trabalho W realizado para esticá-la de 3 cm para 4 cm. Como W e W estão relacionados?. Se 6 J de trabalho são necessários para esticar uma mola de cm para cm e um trabalho de J é necessário para esticá-la de cm para 4 cm, qual é o comprimento natural da mola? 3 Mostre como aproimar o trabalho pedido por uma soma de Riemann. Em seguida, epresse o trabalho como uma integral e calcule-a. 3. Uma corda pesada, com 5 pés de comprimento, pesa,5 lb-pé e está pendurada sobre a borda de um edifício com pés de altura. (a) Qual o trabalho necessário para puar a corda até o topo do edifício? (b) Qual o trabalho necessário para puar metade da corda até o topo do edifício? 4. Uma corrente estendida no chão tem m de comprimento e sua massa é 8 kg. Qual a quantidade de trabalho necessária para levantar uma etremidade da corrente a uma altura de 6 m? 5. Um cabo que pesa lb/pés é utilizado para erguer 8 lb de carvão em uma mina com profundidade de 5 pés. Encontre o trabalho realizado. 6. Um balde que pesa 4 lb e uma corda de massa desprezível são usados para tirar água de um poço com 8 pés de profundidade. O balde é enchido com 4 lb de água e é puado a uma velocidade de pés/s, mas a água vaza por um buraco no balde a uma taa ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

9 CÁLCULO de, lb/s. Encontre o trabalho realizado para puar o balde até o topo do poço. 7. Um balde de kg, furado, é levantado do chão até uma altura de m a uma velocidade constante, por uma corda que pesa,8 kg/m. Inicialmente o balde contém 36 kg de água, mas a água vaza a uma taa constante e o balde acaba vazio eatamente quando atinge a altura de m. Quanto trabalho foi realizado? 8. Uma corrente de pés pesa 5 lb e está pendurada no teto. Encontre o trabalho necessário para levantar a etremidade inferior da corrente até o teto, de modo que ela se junte com a etremidade superior. 9. Um aquário de m de comprimento, m de largura e m de profundidade está cheio de água. Encontre o trabalho necessário para bombear metade da água para fora do aquário. (Use o fato de que a densidade da água é kg/m 3.). Uma piscina circular tem um diâmetro de m, os lados têm,5 m de altura e a profundidade da água é de, m. Quanto trabalho é necessário para bombear toda a água pelo lado da piscina? 4 Um tanque está cheio de água. Encontre o trabalho necessário para bombear a água pela saída. Nos Eercícios 3 e 4 use a densidade da água igual a 6,5 lb/pé 3... m 3 m m 3 m 3 m 8 m 3. 6 pés 4. tronco de um cone 8 pés 3 pés 6 pés pés pés esfera cabeça do pistão 8. Em uma máquina a vapor a pressão P e o volume V de vapor satisfazem a equação PV,4 k, onde k é uma constante. (Isto é verdade para a epansão adiabática, isto é, a epansão na qual não há transferência de calor entre o cilindro e os seus arredores.) Use o Eercício 7 para calcular o trabalho realizado pelo motor, durante um ciclo em que o vapor começa a uma pressão de 6 lb/pol e um volume de pol 3 e epande-se para um volume de 8 pol (a) A Lei da Gravitação de Newton afirma que dois corpos com massas m e m atraem um ao outro com uma força F G mm Onde r é a distância entre os corpos e G é a constante gravitacional. Se um dos corpos está fio, encontre o trabalho necessário para mover o outro a partir de r a até r b. (b) Calcule o trabalho necessário para lançar verticalmente um satélite de. kg a uma altura de. km. Você pode supor que a massa da Terra é 5,98 4 kg e está concentrada no seu centro. Use o raio da Terra igual a 6,37 6 m e G 6,67 N. m /kg. 3. A Grande Pirâmide do Faraó Quéops foi construída em calcário no Egito ao longo de um período de tempo de anos de 58 a.c. a 56 a.c. Sua base é quadrangular com comprimento de lado de 756 pés; sua altura quando foi construída era de 48 pés. (Foi considerada a estrutura feita pelo homem mais alta do mundo por mais de 3.8 anos.) A densidade do calcário é de aproimadamente 5 lb/ pé 3. (a) Calcule o trabalho total realizado na construção da pirâmide. (b) Se cada operário trabalhou horas por dia durante anos, em 34 dias por ano, e fez pés-lb/h de trabalho ao colocar blocos de calcário no lugar, quantos trabalhadores foram necessários em média para construir a pirâmide? r V ; 5. Suponha que para o tanque do Eercício, a bomba quebre depois de o trabalho de 4,7 5 J ter sido realizado. Qual é a profundidade da água remanescente no tanque? 6. Resolva o Eercício se o tanque estiver cheio até a metade de óleo, que tem densidade de 9 kg/m Quando um gás se epande em um cilindro de raio r, a pressão em um dado momento é uma função do volume: P P V. A força eercida pelo gás no pistão (veja a figura) é o produto da pressão pela área: F r P. Mostre que o trabalho realizado pelo gás quando o volume se epande a partir de V para V é W V PdV V Korostshevski/Shutterstock

10 CAPÍTULO 6 EXERCÍCIOS e e 3 5. e e ln e p ln ln s3 33.,,9;,4 35.,,,5,,86; 8,38 37.,83 39.,54 4. s m cm 47. (a) Carro A (b) A distância em que A está a frente de B após minuto (c) Carro A (d) t, min s m ; m ln m EXERCÍCIOS =- = = = 3.

11 CÁLCULO 5. 6 =9 (6, 9) = =œ = (, ) = _ =_ p 3 (, ) = = = (4, ) = 9. p/3. p 3 3. p p p p (a) p d 3,7585 e (b) p )d 3,43 e 33. (a) p 8s 4 d 78,95684 (b) p 8s4 4 d 78, ,88,,884; 3, Sólido obtido pela rotação da região p, ssen em torno do eio 4. Sólido obtido pela rotação da região acima do eio delimitada por e 4 em torno do eio 43. cm (a) 96 (b) b h 3pr h h (r 3h) 53. cm (a) 8 R r sr d (b) r R 63. (b) r 5 h 65. r r sr sr d EXERCÍCIOS 6.3. Circunferência p, altura ; = = = 3. ( 4 3 s3) π _ 3, =3 =+sec = π 3, 3 = = = = (, ) (, _) = 3. p 5. e 7. 8p 9. 4p. 768p p p p p 4. (a) p (b) 4,63 e d 3. (a) 4p p (p )cos 4 d (b) 46,594 p 5. (a) p p 4 ssen d (b) 36, ,68 9. Sólido obtido pela rotação da região 4, 3em torno do eio 3. Sólido obtido pela rotação da região delimitada por (i), e, ou (ii), e em torno da reta 3 33., s3p 4. 4p/ p/ r r h EXERCÍCIOS 6.4. (a) 7 pés-lb (b) 7 pés-lb pés-lb 5. 8 J 7. 4 pés-lb 5 9. (a) 4,4 J (b),8 cm. W 3W (a) 65 pés-lb (b) 4 pés-lb pés-lb J J.,6 6 J 3.,4 5 pés-lb 5., m Gm m a b 9. (a) (b) 8,5 9 J