solução numérica de equações diferenciais parciais

Transcrição

1 V Bienal da SBM Sociedade Brasileira de Matemática UFPB - Universidade Federal da Paraíba 8 a de outubro de 00 solução numérica de equações diferenciais parciais valdemir garcia ferreira & giseli ap. braz de lima Resumo: O presente minicurso é direcionado, principalmente, a alunos de graduação que tenham alguma familiaridade com cálculo avançado, cálculo numérico e física elementar. A proposta do minicurso é mostrar que dinâmica dos fluidos computacional é a ciência de construir soluções numéricas para equações de conservação, avançando a solução no espaço e no tempo para obter uma descrição numérica do escoamento de interesse. O seu objetivo principal é mostrar ao aluno como resolver, no conteto de diferenças finitas, as equações de Navier-Stokes para o caso incompressível. Introdução A matemática desempenha um papel importante na relação homem e natureza, pois através dessa ciência o homem consegue descrever o comportamento de alguns sistemas ou fenômenos da vida real em termos matemáticos, em áreas como economia, engenharias em geral, ciências biológicas, entre outras. A maioria das formulações matemáticas para esses fenômenos conduzem a taas de variação de duas ou mais variáveis independentes, tais como tempo, comprimento, velocidade, temperatura, entre outras. Assim, a maioria dessas formulações conduzem à equações diferenciais parciais (EDPs). Fundamentalmente três abordagens podem ser utilizadas independentemente ou conjuntamente, para a solução de problemas modelados por essas equações, a saber: a eperimental, a analítica e a computacional. Na abordagem eperimental, um modelo físico deve ser construído de forma a desenvolver os estudos sob análise de medição direta dos parâmetro determinantes ao problema em questão. Embora esse tipo de abordagem tenha a capacidade de produzir as mais realísticas respostas para problemas de escoamentos de fluidos (objeto principal desse trabalho), seu custo é elevado. Na abordagem analítica, na maioria dos casos, não se pode apresentar uma solução para o problema, pois as técnicas matemáticas disponíveis nem sempre são suficientes para determinar tais soluções. Varias são as dificuldades que podem surgir na busca desta solução eata: compleidade da região, os coeficientes da equação diferencial podem variar ponto a ponto e até mesmo depender da própria solução (problemas não lineares). Na ausência de soluções analíticas, a abordagem computacional têm atuado como uma importante ferramenta. Nessa abordagem, simplificações são feitas, proporcionando a elaboração de um modelo computacional consistente a ser resolvido através de métodos numéricos. A idéia central desses métodos numéricos é a discretização do contínuo que torna finito o problema, e portanto, viabiliza sua solução através de computadores. Nestas notas, apresenta-se o método das diferenças finitas que é uma das técnicas utilizadas para obtenção de soluções. Nesse conteto, destaca-se a área de simulação computacional de problemas de dinâmicas dos fluidos. Muitos desses problemas envolvem quantidades que se conservam e que levam a certos tipos de EDPs denominadas leis de conservação. Outros envolvem a derivação de soluções numéricas das equações de Navier-Stokes e conservação de massa. Essas equações modelam o escoamento de fluidos (ver Ferreira et al. [0], Fortuna [3] e Martins et al. [9]) e fornecem muitos desafios em sua resolução numérica. Nesse conteto, neste minicurso apresenta-se uma revisão breve do estado da arte em simulação computacional de alguns problemas em dinâmica dos fluidos. Apresenta-se também eemplos e ilustrações de simulações numéricas de escoamentos incompressíveis. O objetivo principal é mostrar que dinâmica dos fluidos computacional é a ciência de construir soluções numéricas para equações de conservação, avançando a solução no espaço e no tempo para Departamento de Matemática Aplicada e Estatística, ICMC, SP, Brasil, pvgf@icmc.usp.br Departamento de Matemática Aplicada e Estatística ICMC, SP, Brasil, giabl@icmc.usp.br

2 obter uma descrição numérica do escoamento de interesse (enfatizando a solução, no conteto de diferenças finitas, as equações de Navier-Stokes para o caso incompressível). Para isso esse material segue organizado da seguinte forma: na seção introduz-se o método de diferenças finitas; na seção 3 emprega-se o método de diferenças finitas na resolução numérica de equações modelo D, tais como a equação da condução de calor (parabólica), a equação de advecção (hiperbólica) e a equação de Poisson (elíptica). Como complementação, análises de estabilidade, consistência e convergência são feitas para os métodos numéricos derivados para resolução das equações de condução do calor e advecção. Ainda, apresenta-se alguns casos de leis de conservação hiperbólica D, métodos que podem ser aplicados em sua resolução e alguns resultados numéricos. Na seção 4, apresenta-se o modelo fundamental em dinâmica dos fluidos (as equações de Navier-Stokes) e o significado físico de cada termo presente nessa equação. Em seguida, deriva-se um algoritmo de cálculo para essas equações. Como complementação, apresenta-se uma variedade de simulações de escoamentos incompressíveis e discutem-se alguns problemas práticos usando filmes ilustrativos. Esse trabalho é direcionado, principalmente, para alunos de graduação que tenham alguma familiaridade com o cálculo avançado, cálculo numérico e física elementar. Método de Diferenças Finitas A idéia central dos métodos numéricos é a discretização do contínuo que torna finito o problema, e portanto, viabiliza sua solução através de computadores. Esta discretização é realizada inicialmente pela discretização do domínio e em seguida pela discretização das derivadas que aparecem na equação diferencial e nas condições adicionais. Esta discretização permite que se possa passar de um problema contínuo, a equação diferencial e suas condições adicionais, para um problema de dimensão finita. O método das diferenças finitas é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproimação das derivadas presentes na equação por diferenças finitas. Essa aproimação da derivada é feita pela utilização da série de Taylor da função solução.. Malha Computacional O primeiro passo de qualquer método numérico na resolução de EDPs é discretizar a região onde se procura a solução. Para isso defini-se uma malha, que é um conjunto finito de pontos, chamados nós da malha. Seja u uma função de variáveis independentes e t, considere o plano t subdividido em retângulos iguais de lados δ = h, δt = k como mostra a Figura. Seja a coordenada (, t) do ponto de malha P, então = ih, t = jk. Assim, (, t) = ( i, t j ) = (ih, jk). Os índices i e j são inteiros e os valores h e k são, respectivamente, os espaçamentos da malha nas direções e t. Se h e k são iguais, então a malha computacional é dita malha uniforme. Portanto, o valor de u no ponto P é denotado por u P = u(ih, jk) = u i,j. (.). Aproimações para a Derivada Considerando u = u() contínua e com derivadas contínuas. É possível epandir u em série de Taylor. Segundo Cunha [9], o mérito da Fórmula de Taylor é o de dizer como várias informações sobre a função, no ponto, podem ser usadas na avaliação desta função numa vizinhança de, isto é no ponto + h. A epansão de u em série de Taylor é dada por u( + h) = u() + hu () + h u () + 6 h3 u () +, (.) Notações para a derivada: u () = u = u, u () = u = u.

3 Figura : Malha computacional. ou u( h) = u() hu () + h u () 6 h3 u () +. (.3) Desprezando-se o termo h u () + 6 h3 u () + na equação (.), obtém-se: que pode ser reescrita por u( + h) u() + hu (), (.4) u () u( + h) u(). (.5) h A equação (.5) é chamada aproimação avançada (ou progressiva) para a derivada primeira u (). Essa derivada progressiva aproima o coeficiente angular da reta tangente no ponto P pela inclinação da corda PB (ver Figura ), e o Erro de Truncamento (ET) dessa aproimação é Admitindo-se u (), u (),... limitadas e h 0, então ET 0. ET = h u () + h 6 u () + = O(h). (.6) Figura : Representação da derivada.

4 Analogamente, desprezando-se os termos O(h ) em diante na equação (.3), obtém-se: no qual isolando o termo u (), define-se u( h) u() hu (), (.7) u () u() u( h), (.8) h a qual é chamada aproimação regressiva (ou atrasada) para u (). Essa derivada atrasada aproima o coeficiente angular da reta tangente no ponto P pela inclinação da corda AP (ver Figura ), e o ET dessa aproimação é O(h). Por outro lado, subtraindo-se a equação (.) de (.3), tem-se u () u( + h) u( h). (.9) h Na Figura, nota-se que a equação (.9) aproima o coeficiente angular da reta tangente no ponto P pela inclinação da corda AB, e é denominada diferença central para a primeira derivada, cujo ET é ET = h 6 u () + h4 0 uv () + = O(h ). (.0) Aproimações para as derivadas de ordem superiores são semelhantes. Por eemplo, somando-se as epressões (.) e (.3), tem-se: Desprezando-se os termos h4 u(iv) () +, obtém-se: u( + h) + u( h) = u() + h u () + h4 u(iv) () +. (.) u () u( + h) u() + u( h) h, (.) onde ET = h u(iv) () +... = O(h ). A equação (.) é chamada diferença central para a derivada segunda u ()... Notação para Funções de Várias Variáveis Considerando ( 0, y 0 ) = (0, 0) e denotando-se o valor de u no ponto da malha P(ih, jk) por (.), a aproimação por diferenças centradas para u em P é dada por u P = u i,j u((i + ), jk) u(ih, jk) + u((i )h, jk) h, ou seja, u u i+,j u i,j + u i,j h. com um erro local induzido de ordem de h. Analogamente, u t u i,j+ u i,j + u i,j k com um erro local induzido de ordem de k. A aproimação por diferenças progressivas para u t u t u i,j+ u i,j k em P é dada por com um erro local de ordem de k. O leitor interessado em maiores detalhes na aproimação de derivadas pode consultar o livro de Anderson et al. [].

5 .3 Síntese do Método Fundamentalmente, a técnica de diferenças finitas, consiste em definir uma malha sobre a região Ω de interesse e aproimar, por técnicas de aproimação, as derivadas na equação de uma EDP num ponto genérico de uma malha computacional. Posteriormente, substituem-se essas aproimações na equação da EDP para se obter uma equação de diferenças. Em síntese essa técnica pode ser descrita da seguinte forma: Discretiza-se o domínio onde a EDP é definida, com isso constrói-se uma malha sobre a qual será calculada a solução aproimada; Para cada ponto interior ao intervalo aproimam-se as derivadas por uma das fórmulas deduzidas; Substitui-se essas aproimações na equação e obtém-se assim a discretização da equação diferencial. 3 Equações Modelo D Considerando-se a seguinte EDP a φ + b φ y + φ c y + d φ + e φ + fφ + g = 0 (3.3) y em que a, b, c, d, e, f e g podem ser funções de variáveis independentes e y e da variável dependente φ, a qual é definida dentro de alguma região R do plano y. Da equação geral (3.3), define-se = b 4ac e então as EDPs são classificas em três tipos, a saber: Se < 0 então a equação é dita elíptica; Se = 0 então a equação é dita parabólica; Se > 0 então a equação é dita hiperbólica. Em geral, as EDPs que modelam sistemas físico têm usualmente muitas soluções. Para selecionar uma função que representa a solução para o problema físico, deve-se impor certas condições auiliares que caracterizam o sistema em questão. Estas condições auiliares são divididas em duas categorias: Condições de contorno: sendo u a solução do problema e g uma função conhecida, Condição de Dirichlet: u = g. Quando g = 0 essas condições são ditas homogêneas de Dirichlet; u Condição de Neumann: n = g. Quando g = 0 essas condições são ditas homogêneas de Neumann; Condição de Robin: αu + β u n = g (em que α e β são constantes e n é o vetor normal à superfície apontando para fora); Condições iniciais: devem ser satisfeitas em todo o domínio da EDP e no instante em que o sistema físico se inicia. Nas próimas subseções são derivados métodos numéricos, no conteto da metodologia de diferenças finitas para equações modelos dos três tipos apresentados.

6 3. EDP Parabólicas Como representante do tipo de EDP parabólicas, considera-se a equação de condução de calor D dada por u t u = 0. (3.4) A equação (3.4) fornece a distribuição de temperatura u ao longo de uma barra de comprimento L e de espessura δ, com δ << L. As condições auiliares para a solução desta equação são Condição inicial: em t = 0, u é especificada ao longo da barra; Condições de contorno: as temperaturas nos etremos da barra são especificadas (condição de Dirichlet) ou suas derivadas são especificadas (condição de Neumann) ou, ainda, uma combinação dessas duas últimas (condição de Robin). Neste minicurso, é considerada a condição de Dirichlet. Como fontes de estudo sobre as condições de Neumann e de Robin, indicam-se os livros de Fortuna [3] e de Smith [5]. Nas próimas subseções, apresentam-se métodos eplícito e implícito para obtenção da solução numérica da EDP parabólica (3.4). 3.. Método Numérico Eplícito Define-se, nesta seção, um método eplícito que aproima as derivadas temporal e espacial da equação (3.4) por diferença avançada e central, respectivamente, ou seja u t u Substituindo-se na equação (3.4) essas aproimações, obtém-se = ui+,j ui,j+ui,j h (3.5) = ui+,j u i,j+u i,j h. (3.6) que pode ser reescrita por u i,j+ u i,j k = u i+,j u i,j + u i,j h, (3.7) u i,j+ = u i,j + k h (u i+,j u i,j + u i,j ). (3.8) Seja r = k h a relação entre os espaçamentos da malha e (3.8), define-se o método numérico eplícito por u i,j+ = ru i+,j + ( r)u i,j + ru i,j. (3.9) Das aproimações efetuadas, nota-se que o ET desse método é da ordem O(k) + O(h ). Para verificar o comportamento e desempenho do método eplicito (3.9), resolve-se numericamente a equação do calor (3.4), definida em [0, ], suplementada com as seguintes condições adicionais: Condição inicial: u(, t = 0) = {, 0 0.5, ( ), 0.5. (3.0) Condição de contorno: considera-se o tipo Dirichlet (t > 0) definida por u( = 0, t) = 0, e u( =, t) = 0. (3.)

7 Satisfazendo as condições (3.0) e (3.), a solução analítica da equação (3.4) é dada por U(, t) = 8 N ( ) π n sen nπ ep ( n π t ), (3.) n= em que N pode ser determinado por N = L/h. Pretende-se portanto resolver numericamente a equação (3.4) por meio do método eplícito definido por (3.9) e comparar com a solução analítica dada por (3.). Neste ponto é oportuno colocar a seguinte questão: as soluções numéricas obtidas pelo método (3.9) estão suficientemente próimas da solução analítica definida na equação (3.), quando o parâmetro r é variado? Para responder a essa pergunta, considera-se três valores de r, a saber: r = 0., r = 0.5 e r = 0.5. Caso : r = 0. Neste caso, considera-se h = 0 e k = 000, como já definido r = k h e portanto tem-se que r = 0.. Com esses dados a equação (3.9) torna-se igual a u i,j+ = 0.u i+,j + 0.8u i,j + 0.u i,j. (3.3) A Figura 3 ilustra uma comparação qualitativa entre as soluções analítica e numérica. Nota-se que o resultado obtido pelo método numérico está em boa concordância com a solução eata. Figura 3: Comparação entre as soluções analítica e numérica nos tempos t = 0.0, t = 0.0 e t = 0.03 para r = 0.. Caso : r = 0.5 Nesse caso, adota-se h = 0 e k = 00. Assim r = 5 0 e o método eplícito é dado por u i,j+ = 0.5u i+,j + 0.5u i,j. (3.4) A Figura 4 ilustra o resultado numérico obtido e a solução analítica. Conforme caso, o resultado obtido pelo método numérico é bastante consistente com a solução analítica. Caso 3: r = 0.58 Nesse caso, utiliza-se h = 0 e k = 95, tem-se portanto r = Assim, o método eplícito fica definido por u i,j+ = 0.5u i+,j 0.04u i,j + 0.5u i,j. (3.5) A Figura 5 ilustra uma comparação qualitativa entre as soluções. Como pode ser observado neste caso, a solução numérica apresenta um caráter oscilatório. Para valores maiores do que r = 0.5, conforme simulações realizadas, a amplitude das oscilações torna-se cada vez maior.

8 Figura 4: Comparação entre as soluções analítica e numérica nos tempos t = 0.0, t = 0.0 e t = 0.03 para r = 0.5. Figura 5: Comparação entre as soluções analítica e numérica nos tempos t = 0.0, t = 0.0 e t = 0.03 para r = 0.5.

9 Os três casos investigados indicam claramente que o valor do parâmetro r é importante. Na subseção 3. é mostrado que o método eplícito definido em (3.9) é útil somente para 0 < r Método Implícito de Crank-Nicolson O método eplícito definido na equação (3.9) apresenta uma séria desvantagem: o passo no tempo δt = k deve ser muito pequeno para que ele seja convergente, uma vez que o método é válido somente para 0 < k/h 0.5, isto é, k 0.5h. Nesta seção, é apresentado o método implícito de Crank-Nicolson como um outra alternativa para resolver a equação (3.4). Esse método reduz o volume total de cálculo, é válido (consistente e estável) teoricamente para todo valor finito de r e necessita de resolver um sistema linear de equações. O método implícito de Crank-Nicolson consiste em avaliar a EDP definida na equação (3.4) no ponto ( i, t j+/ ) = ( ih, (j + )k) (ver Figura 6), aproimar a derivada temporal por diferença central e a derivada espacial pela média das diferenças centrais nos níveis de tempo j e j +. i i i + Q P R j + j + j Matematicamente, segue-o Figura 6: Diagrama esquemático para derivação do método de Crank-Nicolson. Sendo u i,j+ e u i,j definido por u t (i,j+ ) = u (i,j+ ) (3.6) u i,j+ u i,j k = (u i,j+ + u i,j ) (3.7) u i,j+ = u i+,j+ u i,j+ + u i,j+ h (3.8) u i,j = u i+,j u i,j + u i,j h (3.9) Substituindo as equações (3.8) e (3.9) em (3.7), tem-se o método implícito de Crank-Nicolson no qual r = k/h. ru i,j+ + ( + r)u i,j+ ru i+,j+ = ru i,j + ( r)u i,j + ru i+,j, (3.30) O método implícito apresentado nesta subseção apresenta as seguintes vantagens: A ordem do ET é O(h, k ); A necessidade de resolver um sistema linear é uma característica de métodos implícitos.

10 Resolve A = b para cada nível de tempo j; É teoricamente válido (consistente e estável) para todo r. Entretanto apresenta algumas desvantagem, a saber: Problemas em resolver A = b, quando A é mal condicionada (ver Quarteroni et al. []); Possui comportamento oscilatório nas vizinhanças de descontinuidades. Como aplicação e verificação do comportamento do método implícito, considera-se o mesmo eemplo utilizado no método eplícito da subseção 3.. e três valores distintos de r, a saber, r = 0.5, r = e r = 0. As Figuras 7, 8 e 9 ilustram a comparação qualitativa entre as soluções numéricas e analítica para r = 0.5, r = e r = 0, respectivamente. Figura 7: Comparação entre as soluções analítica e numérica obtida pelo método de Crank-Nicolson nos tempos t = 0.0, t = 0.0 e t = 0.03 para r = 0.5. Figura 8: Comparação entre as soluções analítica e numérica obtida pelo método de Crank-Nicolson nos tempos t = 0.0, t = 0.0 e t = 0.03 para r =.0.

11 Figura 9: Comparação entre as soluções analítica e numérica obtida pelo método de Crank-Nicolson nos tempos t = 0.0, t = 0.0 e t = 0.03 para r = 0. Apesar do método de Crank-Nicolson ser teoricamente válido para todo r, pode-se observar que para r = 0 a solução numérica obtida apresenta um caráter oscilatório bastante pronunciado nas vizinhanças da descontinuidade. Em outras simulações, considerando-se valores ainda maiores do que r = 0, a amplitude das oscilações torna-se cada vez maior. 3. Análise Teórica dos Métodos Numéricos Uma das eigências requeridas na utilização de um esquema numérico é a precisão na aproimação em relação aos fenômenos investigados, neste conteto, a solução numérica deveria estar tão próima quanto se deseja da solução eata de uma EDP que descreve o fenômeno em questão. Esse conceito de tão próimo está relacionado matematicamente com o conceito de convergência, pois se a solução numérica converge para a eata a análise da descrição do fenômeno estará mais próima da realidade. A seguir são relatados os conceitos básicos relacionados aos significados de convergência da solução da equação de diferenças finitas para a solução de uma EDP. Para isso é utilizada a abordagem a partir dos conceitos de consistência, estabilidade e Teorema de La. 3.. Consistência Para que um esquema numérico seja consistente, a equação discretizada deve aproimar-se, no limite quando h e k tendem a zero, da equação original. Formalmente, seja F i,j (u) = 0 a equação que aproima a solução eata (U) da EDP por diferenças finitas no ponto (i, j) da malha, o erro de truncamento local (ETL) T i,j no ponto (i, j) da malha é definido por T i,j = F i,j (U) (3.3) Definição 3.. Uma equação de diferenças finitas é consistente com uma EDP se: T i,j 0 quando h 0 e k 0. (3.3) Desta forma, analisando-se o método eplícito (3.9) e admitindo=se que as derivadas presentes na equação (3.4) eistem e são limitadas, então lim T i,j = 0. (3.33) h,k 0 Nesta situação, o método eplícito é consistente com a EDP (3.4). Assim segue a análise dessa afirmação.

12 Seja T i,j = 0 uma equação que aproima a EDP no ponto (i, j) da malha. Para o método eplícito definido na equação (3.9), define-se T i,j por T i,j = U i,j+ U i,j k U i+,j U i,j + U i,j h = 0 (3.34) O valor de T i,j no ponto (i, j). Utilizando-se o desenvolvimento em série de Taylor, pode-se obter a ordem do erro local cometido. Eemplo 3.. Verifique a consistência do método eplícito definido na equação (3.9). Resolução: O ETL para este método é dado na equação (3.34). Utilizando a série de Taylor, tem-se T i,j = (U + ku t + k k (U h + hu + h! U tt + k3 3! U ttt +... u! U + h3 3! U +... ) U + (U hu + h! U h3 3! U +... ) i,j ) i,j i,j (3.35) Conforme a equação (3.4), U t U = 0, T i,j ) torna-se T i,j (U) = U t + k U tt + k 6 U ttt U h U + O(h 4, k 3 ). (3.36) T i,j = k U tt + k 6 U ttt h U + O(h 4, k 3 ) = O(h, k). (3.37) Note que este método apresenta baia ordem na discretização temporal. Além disso, a parte principal de T i,j é k U tt h U. (3.38) Para que um esquema de diferenças finitas seja consistente com uma EDP, ele deve satisfazer a condição T i,j 0, quando h 0 e k 0. A partir da equação (3.37), admitindo-se que as derivadas eistem e são limitadas, nota-se claramente que o método eplícito é consistente com a equação de condução de calor definida em (3.4). Eemplo 3.. A equação U t U = 0 (3.39) é aproimada no ponto (i, j) pelo esquema de diferenças finitas: u i,j+ u i,j k onde θ é um parâmetro entre 0 e. Estude a consistência desse esquema. Resolução: Tem-se que: T i,j = F i,j (U) = U i,j+ U i,j k u i+,j [θu i,j+ + ( θ)u i,j ] + u i,j h = 0 (3.40) U i+,j [θu i,j+ + ( θ)u i,j ] + U i,j h = 0

13 Por epansão em Série de Taylor: T i,j = ) (U + ku t + k k! U tt + k3 3! U ttt + O(k 4 ) U + ku t k! U tt + k3 3! U ttt O(k 4 ) i,j { ) h U + hu + h! U + h3 3! U + O(h 4 ) θ (U + ku t + k! U tt + k3 3! U ttt + O(k 4 ) + ) ( θ) (U + ku t + k! U tt + k3 3! U ttt + O(k 4 h } ) + U hu! U h3 3! U + O(h 4 ) i,j = ) (ku t + k3 k 3 U ttt + k5 5! U ttttt + O(k 7 ) { i,j h h U + h4 4! U + O(h 6 ) (4θ )ku t k U tt (4θ ) k3 6 U ttt } 4! k4 U tttt + O(k 5 ) = U t U + h (4θ )ku t + k h U tt + 6 (k (4θ ) k3 h ) U ttt + ( ) h U + k4 h U tttt + k4 k 3 5! U ttttt + O h, k4, h 4 = U t U + k 6 U ttt h U + k ( ) h (θ )U t + k k 3 h U tt + O h, k4, h 4 (3.4) Há dois casos a analisar, quando k = rk e quando k = rh. Caso : k = rh Nesse caso, T i,j = U t U + r h Quando h 0 e k 0, tem-se: 6 U ttt h U + r h (θ )U t + r U tt + O(rh, r 4 h 4, h 4 ) (3.4) T i,j = U t U + r h (θ )U t + r U tt (3.43) Se θ, o terceiro termo tende ao infinito, e se θ =, então T i,j = r h 6 U ttt + r U tt (3.44) e, portanto, T i,j r U tt (3.45) Portanto, o esquema numérico (3.39) é sempre inconsistente com a EDP (3.40), quando k = rh. Caso : k = rh Nesse caso, T i,j = U t U + r h 4 6 U ttt h U + r(θ )U t + r h U tt + O(r 3 h 4, r 4 h 4, h 4 ) (3.46)

14 Quando h 0 e k 0, tem-se: T i,j = U t U + r(θ )U t (3.47) Se θ =, então T i,j 0 (3.48) e o esquema (3.40) é consistente com a equação (3.39). Caso contrário, T i,j = U t U + r(θ )U t (3.49) e o esquema (3.40) não é consistente com a equação (3.39), mas sim com a equação: U t U + r(θ )U t = 0 Nesse caso, o esquema numérico (3.39) não é consistente com a EDP (3.40). Eercício 3.. Verifique a consistência do método implícito de Crank-Nicolson definido na equação (3.30). 3.. Estabilidade pelo Critério de Von Neumann A estabilidade está relacionada ao crescimento ou decaimento dos erros decorrentes das várias operações aritméticas associadas com a solução das equações algébricas. Em tese, estas relações algébricas admitem uma solução; entretanto, esquemas instáveis podem impedir sua obtenção por não convergirem. Para verificar a estabilidade de um esquema numérico, têm-se como ferramentas matemáticas os critérios da matriz e de Von Neumann. Neste minicurso, não é apresentado o critério da matriz (ver Smith [5]), pois esse critério é pouco utilizado na prática. Já, o critério de Von Neumann é simples e bastante utilizado na determinação da estabilidade de um esquema numérico. Com esse critério obtém-se condições necessárias e suficientes para a estabilidade do esquema de diferenças. O critério de Von Neumann é baseado no princípio de superposição, isto é, o erro global é a soma de erros mais simples, também conhecidos por harmônicos. Esse método epressa os valores iniciais nos pontos da malha ao longo de t = 0 em termos de uma série finita de Fourier, e então considera o crescimento do erro global de uma função que se reduz para essa série em t = 0, por um método de separação de variáveis idêntico aos comumente usados para resolver EDPs. A série de Fourier pode ser epressa em termos de senos e cossenos e também em termos de eponencial complea, o que facilita os cálculos. Assim, a n cos(nπ/l) ou b n sen(nπ/l) são substituídos equivalentemente por A n e inπ/l, onde i = é a unidade imaginária e l é o intervalo em em que a função é definida. Convenientemente, a notação usual u i,j deve ser substituída por u p,q = u(ph, qk). Em termos dessa notação, An e inπ/l = A n e inπph/nh = A n e iβnph (3.50) onde β n = nπ/nh e Nl = h. Os valores inciais nos pontos da malha ao longo de t = 0 são definidos como u p,0 = u(ph, 0) = N Ane iβ nph, p = 0,,, N. (3.5) Esta equação constitui em um sistema de N + equações lineares a N + incógnitas A 0, A,, A N cuja matriz dos coeficientes é do tipo Vandermonde ( Quarteroni et al. []) e, portanto, não singular. Isso mostra que os valores iniciais pode de fato ser epressos na forma da equação (3.5). Desta forma, é possível investigar a propagação de um único valor inicial (ou um única harmônico) do tipo e iβnph. Para investigar a propagação desses termos, quando t aumenta, faz-se: u p,q = e iβ e αt = e iβph e αqk = e iβph (e αk ) q, (3.5)

15 definindo ξ = e αk, tem -se u p,q = e iβph ξ q, (3.53) em que ξ é denominado fator de amplificação, i =, β = π/nh, N é o número de espaçamentos h da malha computacional. Resumidamente, o critério de Von Neumann epressa os pontos da malha u p,q = u(ph, qk) em termos de uma série finita de Fourier por (3.53). Definição 3.. Pela definição de La e Ritchmyer (ver Smith [5]), a equação de diferença é estável se u p,q permanece limitado q J quando h, k 0, em que J é o número de espaçamentos k da malha computacional. Desta forma, a condição para a estabilidade é ξ. Eemplo 3.3. Investigue a estabilidade do esquema numérico dado por (u p,q+ u p,q ) k Resolução: Substituindo u p,q = e iβph ξ q na equação (3.54), tem-se = (u p,q+ u p,q+ + u p+,q+ ) h. (3.54) (e iβph ξ q+ e iβph ξ q ) = (eiβ(p )h ξ q+ e iβph ξ q+ + e iβ(p+)h ξ q+ ) k h (e iβph ξ q (ξ ) ) = (e iβph ξ q ) (e iβh ξ ξ + e iβh ξ) k h ξ = rξ(e iβh + e iβh ), (3.55) em que r = k/h. Considerando a relação trigonométrica dada por: substitui-a em (3.55), e a equação resultante é cos(βh) = e iβh + e iβh, (3.56) ξ = rξ( cos(βh) ) = rξ(cos(βh) ) (3.57) Sabe-se que cos(βh) = sen (βh/). Substituindo esta relação trigonométrica em (3.57), tal equação torna-se ( ( )) βh ξ = rξ sen, (3.58) que é reescrita por e, portanto, o método é incondicionalmente estável. ξ = + 4rsen ( βh, (3.59) ) Eercício 3.. Verifique a estabilidade do método implícito definido na equação (3.30) Convergência Em geral, a equação de diferenças é dita ser convergente se o erro de discretização tende a zero quando as malhas h 0 e k 0. O problema de convergência é difícil de ser resolvido pois a epressão final do erro de discretização é usualmente conhecida em função de derivadas incógnitas, para as quais nenhum limitante pode ser estimado. No caso linear, o teorema de equivalência de La garante a convergência.

16 Teorema 3.. Teorema da Equivalência de La: Para um problema de valor inicial e de contorno, linear, e um esquema de diferenças finitas que satisfaz a condição de consistência, uma condição necessária e suficiente para a convergência é a estabilidade numérica. Em resumo, o Teorema 3. pode ser epresso pelo famoso slogan: Convergência = Consistência + Estabilidade 3..4 Eercícios Eercício 3.3. Implementar o método eplícito para resolver a equação do calor U t condições iniciais e de contorno U =, 0 0.5, t = 0 = U sujeita às seguintes U = ( ), 0.5, t = 0 U = 0, = 0, t > 0 U = 0, =, t > 0 usando: r = 0.0; r = 0.; r = 0.5; r = ; e comparar com a solução analítica dada pela equação (3.). Eercício 3.4. Implementar o método de Crank-Nicolson, aplicando-o à equação do calor U t = U sujeita às seguintes condições iniciais e de contorno usando: r = 0.; r = 0.5; r = ; r = 0; U =, 0 0.5, t = 0 U = ( ), 0.5, t = 0 U = 0, = 0, t > 0 U = 0, =, t > 0 e compare com a solução analítica dada pela equação (3.).

17 Eercício 3.5. Resolva a equação U t = U satisfazendo as seguintes condições iniciais e de contorno: U =, 0, t = 0, (3.60) du d du d = U, = 0, t > 0 (3.6) = U, =, t > 0 (3.6) usando um método eplícito e empregando diferenças centrais para as condições de contorno. Considere: r = 0.5; r = 0.5; Eercício 3.6. A equação U t U = 0 é aproimada no ponto (ih, jk) pela equação de diferença: ( ) ( ) ui,j+ u i,j ui,j u i,j θ + ( θ) k k h δ u i,j = 0 onde δ = u i+,j u i,j + u i,j. Mostre que o erro de truncamento local neste ponto é dado por T i,j = k( θ)u tt h U + O(k, h ) e encontre o valor de θ que reduz esse erro para O(k, h 4 ). Eercício 3.7. Mostre que o erro de truncamento local no ponto (ih, jk) da aproimação de Crank-Nicolson para U t = U é O(h, k ). Eercício 3.8. A equação αu t + U f(, t) = 0, α constante, é aproimada no ponto (ih, jk) no plano t pelo esquema de diferenças finitas: [ α u i,j+ u ] ( ) i+,j + u i,j ui+,j u i,j + f i,j = 0 k h Investigue a consistência desse esquema para: k = rh; k = rh ; com r > 0 constante. Eercício 3.9. A equação U t = au βu, 0 < <, t > 0, onde α e β são constantes reais positivas, é aproimada no ponto (ih, jk) pelo esquema de diferenças eplícito k tu i,j = a h δ βu i,j Dado que U tem valores iniciais contínuos ao longo do intervalo 0, quadt = 0, valores de contorno conhecidos em = 0 e = e que Nh =, encontre um limitante para r = k h de estabilidade. Eercício 3.0. A equação U t = au, 0 < <, t > 0, onde a > 0, é aproimada no ponto (ih, jk) pelo esquema de diferenças regressivas completamente implícito (backward Euler): u i,j+ u i,j = ra(u i,j+ u i,j+ + u i+,j+ ) onde r = k h e Nh =. Assumindo que os valores iniciais e de contorno são conhecidos, prove que: o esquema é incondicionalmente estável;

18 o erro de truncamento local é O(k, h ). Eercício 3.. A equação U t = U, 0 < <, t > 0, é aproimada no ponto (ih, jk) pelo esquema u i,j+ u i,j = r[θ(u i,j+ u i,j+ + u i+,j+ ) + ( θ)(u i,j u i,j + u i+,j ) onde r = k h, 0 θ e Nh =. Assumindo que os valores iniciais e de contorno são conhecidos, prove que: o esquema é incondicionalmente estável no sentido de La-Ritchmyer para 0.5 θ e estável para 0 θ 0.5 quando r ( θ) ; o método de Von Neumann fornece o mesmo resultado. Eercício 3.. Use o método de série de Fourier para provar que: A aproimação progressiva eplícita u p,q+ u p,q = r(u p,q u pq + u p+,q ) para a equação U t = U é estável para r ; A aproimação central eplícita (Método de Richardson) para a equação U t = U é instável para r 0; A aproimação implícita u p,q+ u p,q = r(u p,q u pq + u p+,q ) u p,q+ u pq + u p,q+ = r [(u p,q u pq + u p+,q ) + (u p,q u p,q + u p+,q )] para a equação hiperbólica U tt = U é estável para r 0, r = k h. Eercício 3.3. A equação U t = U + U, 0 < <, t > 0 é aproimada no ponto (ph, qk) pela equação de diferenças k tu p,q = h δ u p,q + h ( u p,q u p,q ) use o método de Von Neumann para mostrar que as equações de diferenças são estáveis para > 0 quando k h 4 + p Em = 0, avalie esta equação dado que U = 0 em = 0, t > 0 e U é constante em =. 3.3 EDP Hiperbólicas As equações hiperbólicas, geralmente, originam-se de problemas onde as descontinuidades dos dados podem persistir no tempo, tais como choques em escoamentos compressíveis. Como representante desse tipo de EDP considera-se a equação linear de advecção. Essa equação modela o transporte de escalares e é dada por u t = a u, (3.63) em que a > 0 é uma constante (velocidade de convecção). As condições auiliares para a solução desta equação são

19 Condições iniciais: u(, 0) = u 0 () (3.64) Condições de contorno: com [ L, R ], t o tempo e u = u(, t) a variável transportada. A solução eata da equação (3.63) é dada por u( L, t) = 0, u( R, t) = 0, (3.65) u(, t) = u 0 ( at). (3.66) A epressão (3.66) diz que a solução em qualquer tempo é uma cópia da função original deslocada para direita (ou esquerda se a < 0). As retas at são constantes e denominadas características e o parâmetro a é chamado de velocidade de propagação ao longo da característica. A solução do problema de valor inicial e de contorno (3.63)-(3.64)-(3.65) pode ser considerada como uma onda que se propaga com velocidade a, que não muda a forma (dependente das condições iniciais e de contornos) e que não perde amplitude. Neste trabalho considera-se a =. A derivação de métodos numéricos para as EDPs hiperbólicas não pode ser feita de maneira análoga a que foi feita em EDPs parabólicas. Na discretização por diferenças finitas de equações hiperbólicas, devemos ter cuidado e isso pode ser constatado no próimo eemplo. Eemplo 3.4. Aproimação instável para EDPs hiperbólicas: Considerando a EDP (3.63), discretizando a derivada temporal por diferenças para frente e a derivada espacial por diferenças centrais no ponto (i, j) da malha, assim obtém-se u = u (u i,j+ u i,j ) t i,j i,j k + (u i+,j u i,j ) h = 0, (3.67) Na forma eplícita, tem-se considerando R = k h, obtém-se u i,j+ = u i,j k h (u i+,j u i,j ), (3.68) u i,j+ = u i,j + r (u i+,j u i,j ). (3.69) Usando o critério de estabilidade de Von Neumann, verifica-se a estabilidade do método (3.68). Para isso, considerase Substituindo (3.70) em (3.68), tem-se u p,q = e iβph ξ q. (3.70) ξ = r ( e iβh ) = r (cosβh + isenβh ) = ( + ) r( cosβh) risenβh, assim,

20 lembrando-se sen θ = cos(θ), assim ξ [ = + r( cosβh)] [ + rsenβh] = + ( r) ( cosβh) + r( cosβh) + ( r) sen βh = + ( r) ( ( cosβh) + r ( cosβh) + r) = + ( cosβh ξ = + rsen βh Portanto ξ >, assim este esquema é instável. ) ( r + r ), ( ) r + >. Eemplo 3.5. Aproimação condicionalmente estável para EDPs hiperbólicas: Agora considerando um a qualquer em (3.63), uma outra forma de discretização é dada, considerando diferenças para frente para derivada temporal e espacial, assim obtém-se considerando r = a k r, tem-se analisando a estabilidade tem-se k (u i,j+ u i,j ) = a h (u i,j u i,j ), (3.7) u i,j+ = u i,j r (u i,j u i,j ) (3.7) ξ = ( r) + re iβh (3.73) = ( r) + (cosβh isenβh)r (3.74) ξ = ( r) + (r cos βh) + ( r)rcosβh + (r) sen βh (3.75) = rcosβh r cosβh + r + ( r) (3.76) ( ) ( ) = + r cosβh r cosβh (3.77) = + 4rsen βh (r ), (3.78) assim r = δt δ a. Assim esse esquema é condicionalmente estável. Este tipo de discretização é de primeira ordem no tempo e no espaço. Nas próimas sessões são apresentados outros eemplo de de aproimação para as EDPs hiperbólicas que são estáveis e com ordem Método Eplícito de La-Wendroff O método de La-Wendroff é derivado baseado na fórmula de Taylor e pode ser usado para aproimar (3.63) por uma equação de diferenças eplícita de segunda ordem de precisão. A seguir, apresenta-se a a sua derivação.

21 Por epansão em série de Taylor, tem -se u i,j+ = u(i, j + k) = u i,j + k ( ) u + ( ) u t i,j k t + i,j A equação de advecção (3.63) pode ser utilizada para eliminar as derivadas de t assim u t = u tt = ( au ) t = a(u t ) = a( au ) = a u = a u u i,j+ = u i,j ka Substituindo as derivadas de por diferenças centrais ( ) u + ( i,j k a ) u + i,j (u ) i,j = u i+,j u i,j h e (u ) i,j = u i+,j u i,j + ui, j h então, tem-se o seguinte esquema de diferenças eplícito: ou u i,j+ = u i,j ka h (u i+,j u i,j ) + k a h (u i+,j u i,j + u i,j ) (3.79) u i,j+ = ar ( + ar)u i,j + ( a p )u i,j ar ( ar)u i+,j (3.80) onde r = k h. A substituição de u p,q = e iβh ξ q em (3.80) conduz a ( ) ( ) ( ) ξ = a r sen βh iarsen βh cos βh (3.8) assim ξ = 4a r ( a r )sen 4 (βh). (3.8) Para que os erros não cresçam eponencialmente com j, ξ, isto é 0 4a r ( a r ), portanto, 0 ar. além disso, pode ser mostrado que o erro de truncamento local é de Assim, o método é convergente pelo Teorema de La. T i,j = k 6 U ttt + ah 6 U Esquema Implícito de La-Wendroff Seja a EDP hiperbólica b u c u = c, (3.83) y

22 deseja-se aproimar essa equação no ponto P = ( i +, j + ) (ver figura 0). Para isso, aplica-se a média dos pontos vizinhos, ou seja u = { u + u } (3.84) P F H u = { u + u } (3.85) y P y G y E (3.86) aplicando diferença centrada para as derivadas, obtém-se { b uc u D + u } B u A + c { ud u A h h k reescrevendo + u } C u B = d (3.87) k (c br)u D + (c + br)u C = (c + br)u A + (c br)u B + kc (3.88) substituindo os pontos A, B, C e D, obtém-se o método implícito de La-Wendroff. (c br)u i,j+ + (c + br)u i+,j+ = (c + br)u i,j + (c br)u i+,j + kc (3.89) D F C j + G P E j + A H B j i i + i + Figura 0: Diagrama esquemático para derivação do método implícito de La-Wendroff. Eercício 3.4. Verifique a consistência e a estabilidade do método de La-Wendroff implícito Termos convectivos e Dificuldades Numéricas Aproimação de termos convectivos presentes nas equações de transporte é uma área em constante atividade em dinâmica dos fluidos computacional. Embora esses termos seja definidos por uma derivada espacial de primeira ordem, são responsáveis por muitas dificuldades numéricas. O efeito de difusão numérica se desenvolve devido à discretização imprecisa das derivadas convectivas contidas nas equações que transportam propriedades físicas. A Figura esboça os efeitos de difusão numérica na simulação de uma descontinuidade. Nessa figura, considera-se que (a) é a solução eata, em (b) representa-se uma solução típica obtida por esquemas de primeira ordem, que são dissipativos, e como consequência, suavizam gradientes. Em (c) considera-se uma solução típica de esquemas de segunda ordem que são dispersivos e, consequentemente, geram oscilações não físicas na solução. Para ilustrar esses efeitos considera-se os métodos (3.7) e (3.80), a equação de advecção definida em [, 5] e suplementada com as condições adicionais:

23 (a) (b) (c) Figura : Efeitos de difusão numérica: (a) Solução eata; (b) Efeito de dissipação; (c) Efeito de dispersão Condição Inicial: u(, t = 0) = {, 3 3, 0, caso contrário. (3.90) Condição Contorno: Tipo Dirichlet homogênea, dada por u( =, t) = u( = 5, t) = 0. (3.9) Para simulação considera-se 00, 00 e 400 células computacionais, θ = δt δ = 0.5 e tempo final de simulação t = 4. Os resultados são apresentados para [3, 5], uma vez que para o tempo considerado (t = 4) a condição inicial é transportada para esse intervalo (ver definição (3.66)). Na Figura são ilustrados as soluções eata e as numéricas obtidas com ambos os esquemas nas quatro malhas anteriormente citadas. La-Wendroff Upwind Eata N = 00 N = 00 N = 400 Eata N = 00 N = 00 N = 400 u 0,5 u 0, Figura : Comparação entre a solução eata e os esquemas La-Wendroff e Upwind obtidas para a equação de advecção, com condição inicial (3.90) e contorno de Direchlet homogênea. Pode se notar, por essas figuras que os resultados numéricos obtidos com esses esquemas não são satisfatórios: o esquema upwind de primeira ordem é dissipativo em regiões de quinas e altos gradientes; o esquema de La-Wendroff apresenta comportamento oscilatório.

24 Para manter estabilidade, atingir alta precisão e garantir convergência, o remédio tem sido o uso de esquemas upwind de alta resolução que admitem, com o tempo, variação limitada de propriedades e que auto se ajustam de acordo com os gradientes locais. A idéia básica por trás desta estratégia é usar um esquema numérico tão preciso quanto possível em regiões suaves e, ao mesmo tempo, adicionar dissipação numérica controlada em regiões de gradientes elevados Estratégia Upwind Nesta seção, é apresentada a estratégia upwind para aproimar os termos convectivos e em seguida alguns esquemas upwind. Nas aproimações upwind as diferenças espaciais são aproimadas no sentido upwind: isto é, o sentido em que o fluo surge. Para eemplificação, é utilizada a equação de Burgers D (ver Burgers [4]) adimensional definida por: u t }{{} termo temporal + u u = }{{} termo convectivo u } Re {{ } termo difusivo, (3.9) em que Re é o número de Reynolds 3 e u, daqui para frente, é a componente da velocidade do fluido na direção do eio (ver Figura ). Considerando o ponto P = (i, j) da malha computacional (ver Figura, aproima-se o termo temporal por diferença avançada, o termo difusivo por diferença central e para o termo convectivo aplica-se a estratégia upwind, assim Diferença avançada para o termo temporal: u t = u i,j+ u i,j k Diferença central para o termo difusivo (viscoso): (3.93) u = u i+,j u i,j + u i,j h (3.94) Estratégia upwind para o termo convectivo: inicialmente aplica-se diferença central utilizando os pontos (i+, j) e (i, j) CONV(u) = u u = ( uu) (3.95) (i,j) (i,j) uu uu = (i+,j) (i,j) (3.96) h = As variáveis u i+,j e u i,j são calculadas por: ( ui+ Aplicação do esquema FOU para aproimar u i+,j e u i,j:,ju i+,j u i,ju i,j h ). (3.97) u i+,j = (u i+,j + u i,j ), (3.98) u i,j = (u i,j + u i,j ). (3.99) 3 Re = u 0L ν, em que L o tamanho do domínio computacional, u 0 a amplitude da velocidade e ν é a viscosidade do fluido em unidades do S.I. Este número adimensional fornece a razão entre as forças inerciais e as forças viscosas ou difusivas.

25 Se u i+,j > 0 e ˆφ φu φr U = φ D φ R = û i,j = ui,j ui,j u i+,j u i,j, então Se u i+,j 0 e û i+,j = Se u i,j > 0 e û i,j = ui+,j ui+,j u i,j u i+,j, então ui,j ui,j u i,j u i,j, então Se u i,j 0 e û i,j = ui,j ui+,j u i,j u i+,j, então u i+,j = u i,j. u i+,j = u i+,j. u i,j = u i,j. u i,j = u i,j. Utilizando as discretizações definidas nas equações (3.93), (3.94) e (3.97), é possível determinar um método numérico eplícito para resolver a equação de Burgers D dado por u i,j+ = kconv(u) + r ( ) Re r Re u i+,j + u i,j + r Re Re u i,j, (3.00) em que r = k/h e CONV(u) é definido na equação (3.97). A Figura 3 ilustra a solução numérica obtida com o método definido em (3.00) utilizando o esquema FOU para o termo CONV(u). Percebe-se que o FOU capturou o choque (descontinuidade) sem apresentar oscilações. Nessa simulação numérica foi adotada uma malha computacional com 000 células computacionais, Re = 000, h = e k = A condição adicionais do processo numérico foram: Condição inicial: Condição de contorno: u(, t = 0) = + cos() (3.0) u(0, t) = + cos(t) u(, t) = cos(t) + cos(π). (3.0) Os resultados numéricos forma gerados em intervalos de tempo de 0.5, com tempo final de simulação t = 3.5 Além do esquema de primeira ordem FOU, eistem importantes esquemas de alta ordem na literatura. Como eemplos, podem-se citar os esquemas descritos abaio (em todos os casos considera-se φ f = φ f (φ D, φ U, φ R ) ): ADBQUICKEST: Derivado por Ferreira et al. [] e dado por com ˆφ f = ( θ )ˆφ U, 0 < ˆφ U < a, ˆφ U + ( θ )( ˆφ U ) 6 ( θ )( ˆφ U ), a ˆφ U b, θ + θ ˆφ U, b < ˆφ U <, ˆφ U, ˆφU / [0, ], a = 3 θ + θ θ + θ 7 9 θ + θ e b = θ + θ, (3.03) em que θ é o número de Courant; TOPUS: Derivado por Querioz eta al. [3] e dado por { αˆφ ˆφ 4 U f = + ( α + )ˆφ 3 U + ( 5α 0 4 )ˆφ U + ( α+0 4 )ˆφU, 0 φ U, ˆφ U, ˆφU / [0, ], (3.04)

26 u Figura 3: Solução numérica obtida pelo esquema convectivo FOU. em que α [0, ]. Em todo esse teto emprega-se α = (ver Queiroz [3]); CUBISTA: Derivado por Alves et al. [] e dado por 7 ˆφ 4 U, 0 ˆφ U < 3 8, ˆφ f = 8 (3 + 6ˆφ 3 U ), 8 ˆφ U < 3 4, 4 (3 + ˆφ 3 U ), 4 ˆφ U, ˆφ U, ˆφU, / [0, ]; Superbee: Derivado por Arora et al. [3] e dado por ˆφ U, 0 ˆφ U < 3, ( + ˆφ U ), 3 ˆφ U, ˆφ f = 3 ˆφ U, ˆφ U < 3,, 3 ˆφ U, ˆφ U, ˆφU / [0, ]. FDPUS-C: Derivado por Lima [8] e dado por φ R + (φ D φ R ) [ 4ˆφ 5 U + 4ˆφ 4 U 6ˆφ 3 U + 6ˆφ U + ˆφ ] U, ˆφU [0, ], φ f = φ U, ˆφU / [0, ], SDPUS-C: Derivado por Lima [8] e dado por [ φ R + (φ D φ R ) ( 4 + 4γ)ˆφ 6 U + (68 γ)ˆφ 5 U + ( γ)ˆφ 4 U (0 6γ)ˆφ φ f = 3 U + γ ˆφ U + ˆφ U ], ˆφU [0, ], φ U, ˆφU / [0, ]. (3.05) (3.06) (3.07) (3.08) Em particular considera-se os esquemas ADBQUICKEST e FDPUS-C. No caso da equação de Burgers, a variável φ é a velocidade u, assim a variável normalizada é dada por û U = u U u R u D u R.

27 A discretização do esquema ADBQUICKEST para aproimar o termo convectivo dado em (3.97) é dada por Se ū i+,j > 0 e û i,j = ui,j ui,j u i+,j u i,j, então u i+,j = ( C)u i,j ( C)u i,j, û i,j (0, a), α D u i+,j + α U u i,j α R u i,j, û i,j [a, b], ( C)u i+,j + Cu i,j û i,j (b, ). u i,j, û i,j / [0, ], Se ū i+,j 0 e û i+,j = Se ū i,j > 0 e û i,j = ui+,j ui+,j u i,j u i+,j, então u i+,j = ui,j ui,j u i,j u i,j, então u i,j = Se ū i,j 0 e û i,j = ui,j ui+,j u i,j u i+,j, então ( C)u i+,j ( C)u i+,j, û i+,j (0, a), α D u i,j + α U u i+,j α R u i+,j, û i+,j [a, b], ( C)u i,j + Cu i+,j û i+,j (b, ). u i+,j, û i+,j / [0, ], ( C)u i,j ( C)u i,j, û i,j (0, a), α D u i,j + α U u i,j α R u i,j, û i,j [a, b], ( C)u i,j + Cu i,j, û i,j (b, ). u i,j, û i,j / [0, ], u i,j = ( C)u i,j ( C)u i+,j, û i,j (0, a), α D u i,j + α U u i,j α R u i+,j, û i,j [a, b], ( C)u i,j + Cu i,j, û i,j (b, ). u i,j, û i,j / [0, ], A discretização do esquema FDPUS-C para aproimar o termo convectivo dado em (3.97) é dada por Se ū i+,j > 0 e û i,j = ui,j ui,j u i+,j u i,j, então u i+,j = { Se ū i+,j 0 e û i+,j = u i+,j = u i,j +(u i+,j u i,j )( 4û 5 U +4û4 U 6û3 U +6û U +û U), û U [0, ], u i,j, û U / [0, ], { Se ū i,j > 0 e û i,j = u i,j = { ui+,j ui+,j u i,j u i+,j, então u i+,j +(u i,j u i+,j )( 4û 5 U +4û4 U 6û3 U +6û U +û U), û U [0, ], u i+,j, û U / [0, ], ui,j ui,j u i,j u i,j, então u i,j +(u i,j u i,j )( 4û 5 U +4û4 U 6û3 U +6û U +û U), û U [0, ], u i,j, û U / [0, ],

28 Se ū i,j 0 e û i,j = ui,j ui+,j u i,j u i+,j, então Eercícios u i,j = { u i+,j +(u i,j u i+,j )( 4û 5 U +4û4 U 6û3 U +6û U +û U), û U [0, ], u i,j, û U / [0, ], Eercício 3.5. A função U satisfaz a equação U t + U = 0, 0 < <, t > 0 com condições de fronteira e iniciais dadas por: Calcule: uma solução analítica; U(0, t) = t, t > 0 U(, 0) = ( ), 0 U(, 0) = ( ), uma solução numérica usando o esquema eplícito de La Wendroff. Use o método de Von Neumann para mostrar que o método de La Wendroff é estável para 0 < ap. Mostre que a parte principal do erro de truncamento local é T i,j = k 6 U ttt + ah 6 U. i,j Prove que a solução de U t = au, com a constante, é a solução da aproimação de La Wendroff quando k h = a Leis de Conservação D: Outros Eemplos (Equações Lineares e Não-Lineares) Muitos problemas em ciência e engenharia envolvem quantidades que se conservam e que conduzem a certos tipos de EDPs denominadas leis de conservação hiperbólicas. Essas leis são geralmente não lineares e dependentes do tempo. No caso D são definidas por φ t + F(φ) = 0, (3.09) em que φ = φ(, t) : R R R m é um vetor m-dimensional de quantidades conservadas e F(φ) = F(φ(, t)) : R m R m é denominada função fluo. Nesta seção são apresentados casos particulares das leis (3.09), a saber: equação de advecção de escalares (ou simplesmente equação de advecção); equações não lineares de Burgers (com ou sem viscosidade) e Bucley-Leverett. Essas leis são definidas em domínios fechados ( [ L, R ]) e suplementadas com condições iniciais e de contorno. Assim como já mencionado nesse trabalho, problemas numéricos podem ser encontrados de acordo com a escolha do esquema para aproimação dos termos convectivos. Nas leis de conservação o termo convectivo é representado por F(φ). As leis de conservação D são aproimadas, no conteto do método de diferenças finitas (aplicando diferença avançada no tempo e centradas no espaço), pelo método numérico φ i,j+ = φ i,j δ t δ ( F(φ) i+,j F(φ) i,j ), (3.0) em que φ i,j = φ(iδ, jδ t ) é a solução numérica no ponto de malha (i, j) (iδ, jδ t ). sendo δ e δ t os espaçamentos da malha (uniforme) nas direções e t, respectivamente. Os termos F(φ) i+,j e F(φ) i,j são os fluos numéricos

29 nas interfaces f = i+ e g = i das células computacionais. Esses fluos numéricos são estimados (interpolados) por esquemas upwind, neste trabalho considera-se os de alta resolução. Equação de Advecção A equação linear de advecção é o representante mais simples das leis (3.09) (veja, por eemplo, LeVeque[7]), porém apresenta dificuldades semelhantes à aquelas encontradas em sistemas mais compleos. Nesse conteto, o modelo é formulado por (3.09), em que o vetor das variáveis conservadas e a função fluo são dados, respectivamente, por e φ = u (3.) F(u) = au, (3.) O fluo é aoimado no ponto (i, j) da malha pela combinação F(φ) i+,j F(φ) i,j e então aproimada por F(φ) i+,j F(φ) i,j = (au) i+,j (au) i,j = a i+,j u i+,j a i,j u i,j. (3.3) em que a velocidade convectiva a (aqui considerada igual a ) é constante para todo ponto do domínio e a variável convectada u é aproimada nas faces f (u i+,j = u f) e g (u i,j = u g) pelos esquemas upwind de alta resolução. A estabilidade do método numérico eplícito (3.0) - (3.3) é regida pela condição CFL (Courant-Friedrichs-Lewy), isto é a marcha no tempo é selecionada de modo que CFL = θ = aδt δ. Eemplo 3.6. Forma W-shape Neste caso é apresentado o problema proposto por Wei e Gu [30] (a famosa forma W-shape) que corresponde à equação de advecção, suplementada com as seguintes condição adicionais: Condição inicial: u(, t = 0) = Condição de contorno: tipo Dirichlet homogênea, ou seja,, 0 0., 4 3 5, 0. < 0.4, , 0.4 < 0.6,, 0.6 < 0.8, 0, caso contrário. (3.4) u( = 0, t) = u( =, t) = 0. (3.5) A solução deste problema apresenta descontinuidades severas que são difíceis de resolver (ver Toro [8], Wei e Gu [30]). Para simulação são considerados uma malha uniforme de 400 células computacionais, θ = 0.3 e t = 0.. Na Figura 4 estão apresentadas a solução eata e as soluções numéricas obtidas com os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, CUBISTA, FDPUS-C e SDPUS-C. Pode ser observado por esta figura que os dados numéricos gerados por esses esquemas, uma vez que os vales e os picos são capturados satisfatoriamente e são livres de oscilações. Eemplo 3.7. Ordem de convergência. Este caso tem como propósito verificar a precisão dos esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, CUBISTA, FDPUS- C e SDPUS-C (γ = ) em regiões suaves. Para tanto, considera-se a equação de advecção definida no domínio [ π, π] e suplementada com as condições adicionais: Condição inicial: u(, t = 0) = sen(). (3.6)

30 ADBQUICKEST TOPUS Eata ADBQUICKEST Eata TOPUS u 0,5 u 0, ,5 0 0,5 CUBISTA - -0,5 0 0,5 FDPUS-C Eata CUBISTA Eata FDPUS-C u 0,5 u 0, ,5 0 0,5 Eata SDPUS-C SDPUS-C - -0,5 0 0,5 u 0, ,5 0 0,5 Figura 4: Comparação entre a solução eata e os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, CUBISTA, FDPUS-C e SDPUS-C para a equação de advecção, com condições adicionais (3.4) e (3.7).

31 Condição de contorno: Dirichlet homogênea no contorno, ou seja, u( = π, t) = u( = π, t) = 0. (3.7) Por meio dos resultados numéricos obtidos para este problema, são determinados, para cada método, os erros relativos (entre as soluções eata e a numérica) e uma estimativa para a ordem de convergência. Os erros relativos E h entre as soluções eata e numérica (ambas geradas em uma malha de espaçamento h), nas normas L, L e L, são definidos, respectivamente por E h = E h = N i= u i,eata u i,numérica N i= u, (3.8) i,eata N i= (u i,eata u i,numérica ) N i= (u i,eata), (3.9) E h = ma i N u i,eata u i,numérica. (3.0) ma i N u i,eata Uma estimativa para o erro E h k, com k =,,, para as aproimações numéricas é dada da seguinte forma (ver Thomas [8]) E h k Ch p, (3.) em que C é uma constante dependente dos dados do problema e p é uma estimativa para ordem de convergência. Para o cálculo de p, estima-se o erro relativo E h k em seguida, divide-se (3.) por (3.) obtendo-se E h k C e aplica-se log em ambos os membros de (3.3) obtendo-se, assim, ( ) p ( ) p h, (3.) E h k ( hp E h h p = k ) p (3.3) log E h k E h k / log. (3.4) Os resultados numéricos são obtidos a partir de cinco malhas (com 0, 40, 80, 60 e 30 células computacionais), com θ = 0.5 e t =. Determinam-se os erros relativos por meio das definições (3.8),(3.9) e (3.0) e as estimativas para a ordem de convergência por meio de (3.4). Esses dados estão apresentados na Tabela Os esquemas CUBISTA, TOPUS e FDPUS-C apresentam resultados semelhantes; e os esquemas ADBQUICKEST e SDPUS-C apresentam os melhores resultados. Equação de Burgers sem Viscosidade A equação de Burgers D (também conhecida como equação de Burgers sem viscosidade) é o representante não linear mais simples das leis (3.09), em que o vetor de variáveis conservadas e a função fluo convea (F (u) > 0 ou F (u) < 0, u) são dados, respectivamente, por φ = u (3.5) e F(u) = u. (3.6)

32 Esquema N E h p E h p E h p ADBQUICKEST TOPUS CUBISTA FDPUS-C SDPUS-C Tabela : Ordem de convergência. Erros nas normas L, L e L e estimativas da ordem de convergência para os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, CUBISTA, FDPUS-C e SDPUS-C. Dados para a equação de advecção, com condição inicial (3.6) e com condição de Dirichelet homogênea no contorno.

33 O termo F(φ) i+,j F(φ) i,j é aproimado por ( ) u ( ) u F(φ) i+,j F(φ) i,j = i+,j i,j = com as velocidades de transporte da variável u dadas pela médias ( ) ū i+,j u i+,j ū i,j u i,j, (3.7) ū i,j = (u i,j + u i,j ) e ū i+,j = (u i+,j + u i,j ), (3.8) e a variável convectada u nas faces f (u i+,j = u f ) e g (u i,j = u g ) são calculadas pelos esquemas upwind de alta resolução. Nesse caso, a estabilidade é também regida pela condição θ = δt δ. Eemplo 3.8. Dados iniciais contínuos por partes. Neste caso a equação de Burgers é definida em [0, 0.6], suplementada com as condições adicionais: Condição inicial: u(, t = 0) = {, = 0, 0, > 0; (3.9) Condição de contorno: u( = 0, t) = e u( = 0.6, t) = 0. (3.30) Este problema é interessante uma vez que possui solução eata dada por { u(, t) =, < 4 t, 0, > 4 t. (3.3) As soluções numéricas são geradas em uma malha com 60 células computacionais, t = 0.9 e θ = 0.9. A Figura 5 mostra a comparação da solução eata com os resultados numéricos gerados pelos esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C. Nessa mesma figura, confrontam-se as soluções numéricas obtidas com os esquemas anteriormente citados. Por essas figuras observa-se que os resultados gerados pelos esquemas estão em boa concordância com a solução eata. Constata-se ainda que o esquema SDPUS-C oferece o melhor resultado. Eemplo 3.9. Problema de Platzman. Neste caso a equação de Burgers é definida em [0, π], suplementada com as condições adicionais, dadas por: Condição inicial: Condição de contorno: tipo Dirichlet homogêneas, dada por u(, t = 0) = sen() (3.3) u( = 0, t) = u( = π, t) = 0. (3.33) Este caso é interessante para análise de desempenho dos esquemas, uma vez que possui solução eata dada por (ver Platzman []) u(, t) = m J m ( mt) sen(m), (3.34) mt

34 ADBQUICKEST TOPUS 0,5 Eata ADBQUICKEST 0,5 Eata TOPUS u 0,5 u 0, , 0,4 FDPUS-C 0 0, 0,4 SDPUS-C 0,5 Eata FDPUS-C 0,5 Eata SDPUS-C u 0,5 u 0, , 0,4 0,5 Confronto das soluções numéricas 0 0, 0,4 Eata ADBQUICKEST TOPUS FDPUS-C SDPUS-C u 0, , 0,4 Figura 5: Comparação entre a solução eata e os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C para a equação de Burgers sem viscosidade, com as condições inicial (3.9) e de contorno (3.30).

35 em que J m é a função de Bessel. Esta solução é válida até t =, uma vez que o choque ocorre nesse tempo. Para comparação com os resultados numéricos, até t = considera-se um solução semi-analítica em que a série em (3.34) é truncada para m = 00. Após o choque (t = ) considera-se uma solução de referência gerada pelo esquema FOU. Como ilustração são consideradas duas etapas, denominadas: i) pré-choque (antes de t = ); e ii) choque (em t = ). As soluções numéricas, obtidas nas três etapas, são geradas com os esquemas upwind de alta resolução. i) Pré-choque: Para ilustrar o comportamento da solução na transição da etapa pré-choque para a etapa choque, consideram-se os novos esquemas FDPUS-C e SDPUS-C, uma malha de 400 células computacionais e θ = 0.5. Os resultados numéricos são gerados em intervalos de tempo de 0.5, com tempo final de simulação t =. Na Figura 6 apresentam-se as soluções numéricas geradas com os esquemas FDPUS-C, SDPUS-C e solução semi-analítica, dada por (3.34), com m = 00. Por essa figura constata-se que os esquemas FDPUS-C e SDPUS-C capturam muito bem a solução. FDPUS-C SDPUS-C t = 0.5 t = 0.50 t = 0.75 t = t = 0.5 t = 0.50 t = 0.75 t = u 0 u Semi-analítica t = 0.5 t = 0.50 t = 0.75 t = u Figura 6: Soluções numéricas dos esquemas FDPUS-C, SDPUSC e solução semi-analítica para a equação de Burgers, com condição inicial dada por (3.3) e condição de contorno de Direchlet homogêneas, geradas em intervalos de tempo de 0.5, com tempo final de simulação t =.

36 ii) Choque. Uma das características dos problemas formulados pela equação de Burgers é que, mesmo considerando condições iniciais suaves (como é o caso deste problema), com o passar do tempo irá ocorrer o choque. Neste caso simulado, com condição inicial suave dada por (3.3), o choque ocorre para t =. Considerando esse tempo, uma malha com 400 células computacionais e θ = 0.3, na Figura 7 apresentam-se a solução eata, dada por (3.34), e os resultados numéricos gerados com os esquemas ADBQUICKEST, Superbee, FDPUS-C e SDPUS-C. Por essa figura constata-se que as soluções numéricas estão em ótima concordância com a solução semi-analítica. Além disso, pode-se observar que os esquemas possuem desempenho similar. ADBQUICKES Superbee Semi-Analítica ADBQUICKEST Semi-Analítica Superbee u 0 u FDPUS-C SDPUS-C Semi-Analítica FDPUS-C Semi-Analítica SDPUS-C u 0 u Figura 7: Comparação entre a solução semi-analítica e os esquemas ADBQUICKEST, Superbee, FDPUS-C e SDPUS-C para a equação de Burgers, sem viscosidade, com condição inicial (3.3) e condição de contorno Direchlet homogênea. Equação de Buckley-Leverett A equação de Buckley-Leverett é não linear e possui função fluo não-convea. Essa equação modela escoamentos (em meios porosos) de dois fluidos imiscíveis tais como água e óleo. Nesse caso, o vetor das variáveis conservadas e a função fluo são dados, respectivamente, por φ = u (3.35)

37 e F(u) = u +. (3.36) 4 ( u) Diferentemente das aproimações (3.3) e (3.7), em que os esquemas são aplicados nas variáveis conservadas isto é se φ é uma variável conservada, então φ f = φ f (φ U, φ D, φ R ), o cálculo da combinação F(φ) i+,j F(φ) i,j, para a equação de Buckley-Leverett, é feito pela aplicação direta dos esquemas na função fluo (3.36) isto é F(φ) i+,j F(φ) i,j = F ( f F(uU ), F(u D ), F(u R ) ) ( F g F(uU ), F(u D ), F(u R ) ), (3.37) em que F(u U ), F(u D ) e F(u R ) são os valores da função fluo (3.36) avaliada em u U, u D e u R, respectivamente. As várias sentenças matemáticas que definem os esquemas, antes condicionadas aos intervalos segundo o valor normalizado ˆφ U, passam agora a serem condicionadas segundo à normalização u ˆF(u U ) = F(u U) F(u R ) F(u D ) F(u R ). (3.38) As posições D, U e R são definidas agora de acordo com o sinal das velocidades F(u) δ F(u) t i+,j i,j δ u i+,j u i,j, u i+,j u i,j, ũ i+,j = e em que ũ i,j = δ t δ F (u) i,j, F(u) δ t δ u i+,j = u i,j F(u) i,j i,j u i,j u i,j, u i,j u i,j, δ t δ F (u) i,j, u i,j = u i,j, F (u) = (3.39) (3.40) 8u 8u (5u u + ). (3.4) A equação de Buckley-Leverett também é simulada em um código desenvolvido pela autora e a estabilidade é também regida pela condição θ = δt δ. Eemplo 3.0. Dados iniciais constantes por partes. Neste caso a equação de Buckley-Leverett é definida no domínio [, ], suplementada com a condições adicionais dadas por: Condição inicial: {, 0.5 0; u(, t = 0) = 0, caso contrário Condição Contorno: tipo Direchlet homogênea, ou seja, (3.4) u( = 0, t) = u( =, t) = 0. (3.43) Para simulação são considerados uma malha de 800 células computacionais, θ = 0.3 e t = 0.4. A solução de referência é obtida com o esquema FOU em uma malha de 8000 células computacionais e θ = 0.5. Na Figura 8 apresentam-se a solução de referência e os resultados numéricos dos esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS- C e SDPUS-C. Nessa figura, faz-se também uma comparação das soluções numéricas obtidas com os esquemas anteriormente citados e apresenta-se a ampliação da área demarcada. De forma geral, pode-se ver que os resultados numéricos são satisfatórios. Salienta-se que o esquema FDPUS-C apresenta o melhor resultado.

38 ADBQUICKEST TOPUS Referência ADBQUICKEST Referência TOPUS u 0,5 u 0, ,5 0 0,5 Referência FDPUS-C FDPUS-C ,5 0 0,5 Referência SDPUS-C SDPUS-C u 0,5 u 0, ,5 0 0,5 Referência ADBQUICKEST TOPUS FDPUS-C SDPUS-C Comparação Ampliação ,5 0 0,5 Ampliação u 0,5 u 0, ,5 0 0,5 Referência ADBQUICKEST TOPUS FDPUS-C SDPUS-C 0, 0,56 0,58 0,6 0,6 0,64 0,66 Figura 8: Comparação entre a solução de referência e os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C para a equação de Buckley-Leverett, com condição inicial (3.4) e condição de Direchlet homogênea no contorno.

39 3.3.7 Leis de Conservação D: Outros Eemplos (Sistemas Hiperbólicos Não-Lineares) Nesta subseção consideramos os sistemas hiperbólicos de águas rasas e de Euler, ambos formulados pela lei de conservação (3.09). As simulações desses sistemas hiperbólicos são feitas no pacote computacional CLAWPACK (Conservation LAW PACKage) de LeVeque [7] equipado com os limitadores de fluo dos esquemas ADBQUICK- EST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C. Em síntese, este pacote computacional resolve leis de conservação gerais D, D e 3D por meio do método dos volumes finitos. As soluções para essas leis podem ser computadas usando o método de primeira ordem de Godunov (LeVeque [7]) ou por sua variante de segunda ordem de precisão proposto por LeVeque [7] (Godunov de primeira ordem com termo de correção). Equações de Águas Rasas As equações de águas rasas modelam em geral o movimento hidrostático de um fluido incompressível com superfície livre. Para derivar o sistema hiperbólico considera-se o fluido em um canal com comprimento unitário, assume-se que a velocidade vertical é desprezível e considera-se que a velocidade horizontal u é aproimadamente constante em toda secção transversal do canal. Esse sistema hiperbólico (ver, por eemplo, LeVeque [7]) possui o vetor das variáveis conservadas e a função fluo como φ = [h, hu] T (3.44) e F(φ) = [ hu, hu + gh ] T, (3.45) em que h, hu e g são, respectivamente, a profundidade do fluido no canal, a vazão e a constante gravitacional. Esse sistema hiperbólico é suplementado com as condições iniciais u(, 0) = u 0 () e h(, 0) = h 0 () e com etrapolação de ordem zero no contorno (ver LeVeque [7]). Eemplo 3.. Problema dam-break Neste caso o sistema hiperbólico de águas rasas é definido em [ 5, 5]. No início da simulação uma barragem que divide o domínio em duas partes, a saber, o reservatório a esquerda e um canal de fuga a direita, é rompida. Esse problema é conhecido na literatura por dam-break problem e as condições adicionais impostas são: Condições iniciais: Dados constantes por partes (do reservatório e do canal de fuga, separados por uma descontinuidade em = 0), são dadas por { 3, 0, h 0 () = (3.46), > 0, com velocidade inicial nula, ou seja, u 0 () = 0 (3.47) Condições de contorno: Etrapolação de ordem zero (ver LeVeque [7]). As soluções numéricas são geradas pelo método de segunda ordem (Godunov de primeira ordem com termo de correção, ver LeVeque [7] ), em que os limitadores de fluo dos esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C são aplicados ao termo de correção. Para simulação são considerados t =, θ = 0.9 e uma malha

40 uniforme com 00 células computacionais. A solução de referência é calculada em 000 células computacionais, pelo esquema de primeira ordem de Godunov (ver LeVeque [7]), com θ = 0.5. Nas Figuras 9 apresentam-se as soluções de referência e os resultados numéricos obtidos para h (profundidade) e comparam-se as soluções numéricas geradas por esses esquemas Por essas figuras, vê-se que os resultados numéricos são satisfatórios e estão próimos da solução de referência. Observa-se, com mais cuidado, que o esquema TOPUS sobrestima os valores da solução próimo as descontinuidades, os demais esquemas subestimam os valores nessas regiões. Em geral, pode-se afirmar que o esquema SDPUS-C apresenta o melhor resultado. Equações de Euler As equações de Euler constituem um sistema não linear de equações hiperbólicas e modelam, por eemplo, o problema do tubo de choque (um problema de Riemann). Este problema tem sido usado na literatura com frequência para investigar vários fenômenos físicos, tais como reações químicas, efeitos de ondas de choque e aerotermodinâmica de veículos supersônicos/hipersônicos. Nesse caso, o vetor das variáveis conservadas e a função fluo são dados, respectivamente, por φ = [ρ, ρu, E] T (3.48) e F(φ) = [ρu, ρu + P, u(e + P)] T, (3.49) Para fechar o sistema de equações, considera-se a equação de gás ideal P = (γ )(E ρu ) (3.50) em que γ =.4 é a razão do calor específico. As condições inicias são [ρ L, u L, P L ] T, 0, φ(, 0) = φ 0 () = (3.5) [ρ R, u R, P R ] T, > 0 e as condições de contorno (ver detalhes em Toro [8]) φ( L, t) = φ L (t) = [ρ L (t), u L (t), P L (t)] T e φ( R, t) = φ R (t) = [ρ R (t), u R (t), P R (t)] T. (3.5) Eemplo 3.. Condição inicial suave: hump Neste caso, as equações de Euler são definidas em [.5,.5] e suplementadas com condições as condições adicionais: Condições iniciais: Suaves para densidade e pressão, com velocidade nula, dadas por [ρ 0, u 0, P 0 ] T = [ ep{ 80( ) }, 0, ep{ 80( ) }0 ] T ; (3.53) Condições de contorno: Etrapolação de ordem zero (ver LeVeque [7]). A solução de referência para este problema de Riemann é calculada em uma malha com 500 células computacionais, pelo método de Godunov de primeira ordem (para mais detalhes, ver LeVeque [7]), com θ = 0.5. As soluções numéricas são computadas pelo método de Godunov com termo de correção, aplicando-se os limitadores de fluo dos esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C, em uma malha com 500 células computacionais e θ = 0.8. Ambas soluções, de referência e numérica, são geradas para t =. A Figura 0 mostra a solução de referência e os resultados numéricos obtidos com os esquemas ADBQUICK- EST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C. Como complementação, apresenta-se uma comparação entre as soluções

41 ADBQUICKEST TOPUS 3 3 h h Referência ADBQUICKEST Referência TOPUS -5 -,5 0,5 5 FDPUS-C -5 -,5 0,5 5 SDPUS-C 3 3 h h Referência FDPUS-C Referência SDPUS-C -5 -,5 0, ,5 0,5 5 3 h Referência ADBQUICKEST TOPUS van Leer FDPUS-C SDPUS-C -5 -,5 0,5 5 Figura 9: Comparação entre a solução de referência e os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS,FDPUS-C e SDPUS-C para o sistema hiperbólico de águas rasas (variável h), com condições iniciais (3.46)-(3.47) e etrapolação de ordem zero no contorno.

42 numéricas e uma ampliação da área demarcada. Por meio dessa figura, observa-se que os resultados numéricos, obtidos pelos esquemas anteriormente citados, são semelhantes e estão em boa concordância com a solução de referência. Eemplo 3.3. Tubo de choque de Sod Este problema de Riemann consiste em uma rarefação à esquerda, um contacto e um choque à direita. As condições adicionais são dadas por: Condições iniciais: [ρ 0, u 0, P 0 ] T = { [3, 0, 0] T, < 0.5, [, 0, ] T, 0.5; (3.54) Condições de contorno: Etrapolação de ordem zero (ver LeVeque [7]). A solução de referência é calculada em uma malha com 500 células computacionais, pelo método de Godunov com termo de correção, em que considera-se o limitador de fluo MC (ver LeVeque [7]), com θ = 0.5. As soluções numéricas são obtidas em 500 células computacionais, com θ = 0.8. Ambas soluções, de referência e numérica, são calculadas para ρ (ver Figura ) e u (ver Figura ), em t = 0.. Nas Figuras e, apresenta-se a solução de referência e os resultados numéricos obtidos com os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C. Ainda nessas figuras, faz-se uma comparação entre os resultados numéricos e apresentam-se as ampliações das regiões demarcadas. Em geral, vê-se que os resultados numéricos estão em ótima concordância com a solução de referência. Salienta-se que os novos esquemas FDPUS-C e SDPUS-C tiveram desempenho semelhante aos esquemas ADBQUICKEST e TOPUS. 3.4 EDP Elípticas As EDPs do tipo elíptico aparecem com muita frequência em problema de equilíbrio, isto é, em problemas em que a solução da EDP é requerida em um domínio fechado sujeito a certas condições de contorno. As equações mais comuns são as equações de Poisson dada por u = u + u = f(y) (3.55) y e a de Laplace, dada por u = 0. (3.56) O domínio de integração de uma equação elíptica em D é sempre uma área limitada pala fronteira Ω. As condições de contorno usualmente especificam os valores da função ou os valores de sua derivada normal ao longo do contorno Ω, ou uma mistura de ambos, que são, respectivamente, as condições de Dirichlet (u é conhecida em Ω), de Neumann ( u u n é conhecida em Ω) e Robin (αu = β n conhecida em Ω). Em particular, considera-se nesse trabalho os problemas de Dirichlet e Neumann Problemas de Dirichlet Considere a equação de Laplace

43 ,5 ADBQUICKEST Referência ADBQUICKEST,5 Referência TOPUS TOPUS,, ρ ρ,05,05 -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 Referência FDPUS-C FDPUS-C -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 Referência SDPUS-C SDPUS-C,, ρ ρ,05,05,5 -,5 - -0,5 0 0,5,5 Referência ADBQUICKEST TOPUS FDPUS-C SDPUS-C Comparação Ampliação,5 -,5 - -0,5 0 0,5,5 Referência ADBQUICKEST TOPUS FDPUS-C SDPUS-C Ampliação, ρ ρ,05,4 -,5 - -0,5 0 0,5,5,3,9,3,35,38 Figura 0: Comparação entre a solução de referência e os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C para as equações de Euler (variável ρ), com condições iniciais (3.53).

44 ADBQUICKEST TOPUS 3 Referência ADBQUICKEST 3 Referência TOPUS ρ ρ 0 0,5 FDPUS-C 0 0,5 SDPUS-C 3 Referência FDPUS-C 3 Referência SDPUS-C ρ ρ 0 0,5 Comparação 0 0,5 Ampliação 3 Referência ADBQUICKEST TOPUS FDPUS-C SDPUS-C,8 Referência ADBQUICKEST TOPUS FDPUS-C SDPUS-C ρ ρ Ampliação,6 0 0,5,4 0,535 0,54 0,545 0,55 0,555 Figura : Comparação entre a solução de referência e os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C para as equações de Euler (para a variável ρ), com condições iniciais (3.54).

45 ADBQUICKEST TOPUS 0,75 Referência ADBQUICKEST 0,75 Referência TOPUS 0,5 0,5 u u 0,5 0, , 0,4 0,6 0,8 FDPUS-C 0 0, 0,4 0,6 0,8 SDPUS-C 0,75 Referência FDPUS-C 0,75 Referência SDPUS-C 0,5 0,5 u u 0,5 0, , 0,4 0,6 0,8 Comparação 0 0, 0,4 0,6 0,8 Ampliação 0,75 Referência ADBQUICKEST TOPUS FDPUS-C SDPUS-C Ampliação 0,68 0,5 0,66 u u 0, , 0,4 0,6 0,8 0,64 Referência ADBQUICKEST TOPUS FDPUS-C SDPUS-C 0,6 0,635 0,64 0,645 0,65 Figura : Comparação entre a solução de referência e os esquemas ADBQUICKEST, TOPUS, FDPUS-C e SDPUS-C para as equações de Euler (para a variável u), com as condições iniciais (3.54).

46 u + u y = 0 (3.57) definida em um domínio Ω = {(, y) R, 0 a, 0 b} e com u = g no contorno. Considerando δ = h = a N obtém-se e δ y = k = b N y, com N = N y = 4, aproima-se as derivadas da equação por diferenças centrais e com i, j =,, 3. h (u i+,j u i,j + u i,j ) + k (u i,j+ u i.j + u i,j ) = 0 (3.58) b y 0 a Para o ponto, conforme figura (3.4.), tem-se i, j =, então h (u, u, + u 0, ) + h (u, u, + u,0 ) (3.59) h (u, u, ) + h (u, u, ) = h g 0, k g,0 (3.60) Sem perda de generalidade, suponha que a = b =, então h = k, assim Para o ponto, ou seja i = e j =, tem-se 4u, + u, + u, = (g 0, + g,0 ). (3.6) h (u 3, u, + u, ) + h (u, u, + u,0 ) = 0 (3.6) u 3, 4u, + u, + u, = g,0 (3.63) e assim por diante para os pontos 3, 4,, 9, conforme ilustrado na figura (3.4.). No caso de N = 4 e N y = 3, a forma matricial dessas equações é dada por

47 u u u 3 u 4 u 5 u 6 = g 0, + g,0 g,0 g 3,0 g 4,0 g 5,0 g 3,3 + g 4, (3.64) 3.4. Problema de Neumann no Retângulo Considere a equação de Laplace u + u y = 0 (3.65) definida em um domínio Ω = {(, y) R, 0, 0 } e com u n = g(, y) no contorno. Pode-se mostrar que o problema de Neumann tem solução L g(, y)dl = 0, (3.66) onde L é o perímetro. A solução será a única, a menos de uma constante. A unicidade de U requer que U seja especificada em algum ponto do domínio. como eemplo, sejam h = k =. No contorno = 0, tem-se No contorno =, tem-se No contorno y = 0, tem-se No contorno y =, tem-se U = g(0, j) = 0,j h (u,j u,j ) = g 0,j = u,j = hg 0,j + u,j (3.67) U = g(0, j) =,j h (u 3,j u,j ) = g,j = u 3,j = hg,j + u,j (3.68) U = g(i, 0) = i,0 k (u i, u i, ) = g i,0 = u i, = kg i,0 + u i, (3.69) U = g(i, ) = i,0 k (u i,3 u i, ) = g i, = u i,3 = kg i,3 + u i, (3.70) Para o ponto interior, tomando-se i = 0 e j = 0, obtém-se h (u,0 u 0,0 + u,0 ) + k (u 0, u 0,0 + u 0, ) (3.7) 4u 0,0 + u,0 + u 0, = 4hg 0,0 (3.7) Observa-se que para o problema que apresenta apenas um ponto interior, há nove equações que devem ser resolvidas em que o sistema resultante é dado por

48 = u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 = h g g g 3 g 4 0 g 6 g 7 g 8 g 9 (3.73) Multiplicando a primeira, a segunda,, a nona linha por 4,, 4,,, 4, e 4 respectivamente, obtemos uma matriz simétrica essa por sua vez é singular. Como consequência, o problema numérico pode não ter soluções ou tem infinitas soluções. Para obter uma única solução, é necessário especificar o valor de u em algum ponto do domínio Eercícios Eercício 3.6. A função U satisfaz a equação U + U yy 3U = 0 em cada ponto dentro do quadrado ± e y ± e está sujeita às condições de fronteira: U = 0 em y =, U = em y =, U = U em =, y U = U em =, y Tome h = k = 4 e mostre que é possível escrever as equações resultantes na forma de um sistema linear Au = b onde u é um vetor coluna do tipo 35 e b é um vetor 35 cujo vetor transposto é b t = (0, 0,..., 0,,,,, ) t e A é uma matriz que pode ser escrita na forma particionada B I I B I I B I I B I I B I I B I I B (3.74) onde B = e I = (3.75)

49 4 Equações de Navier-Stokes As equações de Navier-Stokes foram desenvolvidas por Claude-Louis Navier e George Gabriell Stokes (845). Essas equações modelam escoamentos compressíveis, incompressíveis, turbulento e laminar de fluidos. Essas equações representam princípios físicos básicos, a saber? conservação da massa; conservação do momento; conservação de energia; Assim são usadas para descrever fenômenos climáticos, correntes oceânicas, projeções de carros e aeronaves, escoamento de fluidos em dutos, fluo sanguíneo, entre outros. 4. Equações Governantes As equações que modelam um escoamento D de fluido newtoniano incompressível 4 são dadas desprezando as forças de campo (eemplo: gravidade), na forma adimensional e cartesiana (ver Pletcher et al. [], Fletcher [] e Fortuna [3], por u + v y u t + (uu) + (uv) y v t + (vu) + (vv) y = 0, (4.76) = p + ( ) u Re + u y, (4.77) = p y + ( ) v Re + v y. (4.78) As grandezas dimensionais u = u(, y, t), v = v(, y, t) e p = p(, y, t) com unidades no SI são, respectivamente, as componentes da velocidade, ao longo das direções e y, e a pressão sobre o elemento de fluido localizado na posição (, y) no instante t. A equação (4.76) estabelece a conservação da massa, também sendo chamada de equação da continuidade, enquanto (4.77) e (4.78) são as equações de Navier-Stokes propriamente ditas, simplificadas para o tipo de escoamento incompressível e newtoniano, e especificam, respectivamente, a conservação do momento ao longo das direções e y. Estudando as equações ( ) do ponto de vista físico, classificam-se os seus termos da seguinte maneira: u + v = 0 y }{{} divergente ou dilatação u t }{{} aceleração temporal v t }{{} termo transiente + (uv) y + (uu) }{{} aceleração convectiva = + (vu) + (vv) = y }{{} termo convectivo p }{{} gradiente pressão p y }{{} gradiente pressão + Re + Re ( ) u + u y }{{ } esforços viscosos ( ) v + v y }{{ } termo viscoso (4.79) 4 incompressível indica que não ocorre variações na densidade no fluido.

50 4. Discretização A solução numérica das equações de Navier-Stokes não é trivial, pois essas equações caracterizam-se pela necessidade da solução de uma equação de Poisson para a pressão a cada passo no tempo. Encontramos também, dificuldades na solução numérica desses escoamentos, tais como, a restrição global V = 0 deve ser satisfeita a cada passo no tempo, assim os valores de V n+ devem ser determinados por um método que necessite das soluções de um conjunto de equações acopladas, assim, mesmo para esquemas eplícitos, há a necessidade de resolução de sistema linear. Um outro obstáculo é que não há condições de fronteira físicas para a pressão. O processo descrito nesta seção diz respeito ao esquema de localização das variáveis de interesse na malha deslocada. Porém esse procedimento é análogo ao esquema co-localizado. 4.. Malha A malha deslocada foi apresentada por Harlow e Welch (965) e tornou-se padrão no tratamento de escoamentos incompressíveis. As incógnitas u, v e p, não são armazenadas no mesmo ponto. O domínio computacional é divido em um número finito de células retangulares com dimensões δ e δy. Em cada célula são armazenadas a pressão no centro e as velocidades nas faces, como mostra a Figura (3)..v Ai,j+/ p.u.i-/,j dy i,j.v Ai,j-/.u Ai+/,j d Figura 3: Representação da célula computacional presente na malha deslocada As fronteiras do domínio computacional coincidem com as faces das células, como pode ser observado na Figura (4). D Fronteira de entrada,3,,,3,, 3,3 3, 3, 4,3 4, 4, Dy Fronteira Sólida Figura 4: Segmento de um domínio discretizado com a malha deslocada

51 As incógnitas também podem ser armazenadas no mesmo ponto de malha, a este esquema denomina-se colocalizado, como pode ser observado nas Figuras (5-a) e (5-b). Figura 5: Na malha co-localizada (a), todas as incógnitas são armazenadas no mesmo ponto (b). 4.3 Método MAC Em 965 Welch, Harlow, Shannor e Daly descreveram um método para tratamento de escoamento com superfícies livres, que foi denominado Método de MAC (marker and cell). Trata-se de um esquema eplícito para a solução das equações de Navier-Stokes. A equação da conservação do momento na direção é discretizada no ponto (i+/, j), a equação do momento na direção y é discretizada no ponto (i, j + /) e a equação da continuidade é discretizada no centro da célula, ou seja, no ponto (i, j). A discretização temporal das equações de momento é baseada no método de Euler eplícito, então todos os termos que envolvem velocidades são discretizadas no nível de tempo n. O termo envolvendo a pressão é discretizado no nível de tempo n +. Após o cálculo das velocidades u n+ e v n+, todas as variáveis do escoamento avançam no tempo. A derivada temporal é discretizada por diferenças progressivas. Discretização da equação de momento na direção A discretização da equação do momento na direção, no ponto (i + /, j) é feito de acordo com a Figura (6)..v Ai,j+/.v Ai+,j+/.u.i-/,j p i,j.u Ai+/,j p ai+,j.u Ai+3/,j.v.v Ai,j-/ Ai+,j-/ Figura 6: A discretização da equação do momento na direção é feita no ponto (i + /, j)

52 Obtemos, assim Substituindo (4.80)-(4.85) em (4.77), temos u = un+ i+/,j un i+/,j (4.80) t i+/,j δt u = u i+,j u i,j (4.8) i+/,j δ (uv) = (uv) i+/,j+/ (uv) i+/,j / (4.8) y i+/,j δy p = p i+,j p i,j (4.83) i+/,j δ u i+/,j = u i /,j u i+/,j + u i+3/,j (δ) (4.84) u y i+/,j = u i+/,j+ u i+/,j + u i+/,j (δy) (4.85) u n+ i+/,j un i+/,j δt + u i+,j u i,j + (uv) i+/,j+/ (uv) i+/,j / δ δy ( ui /,j u i+/,j + u i+3/,j + ν (δ) = p i+,j p i,j δ + u i+/,j+ u i+/,j + u i+/,j (δy) ), reescrevendo u n+ i+/,j = u n i+/,j δt ( u δ i+,j u i,j) δt ( ) δt (uv)i+/,j+/ (uv) i+/,j / δy δ (p i+,j p i,j ) ( δt +ν δ (u i /,j u i+/,j + u i+3/,j + δt ) δy u i+/,j+ u i+/,j + u i+/,j. Assim, podemos reescreve-la, como onde, u n+ i+/,j = un i+/,j + δt[ CONV n i+/,j + V ISCn i+/,j ] δtpn+ i+,j pn+ i,j δ, (4.86) denominado termo convectivo e CONV n i+/,j = (u ) n i+,j (u ) n i,j δ V ISC n i+/,j = ν [ u n i /,j u n i+/,j + un i+3/,j (δ) + (uv)n i+/,j+/ (uv)n i+/,j /, δy ] + ν [ u n i+/,j+ u n i+/,j + un i+/,j denominado termo viscoso. Determinamos uma equação acoplada para esses termos, ou seja, denotamos por F n i+/,j, temos reescrevendo (4.86), temos (δy) Fi+/,j n = un i+/,j + δt[ CONV i+/,j n + V ISCn i+/,j ], (4.87) u n+ i+/,j = F n i+/,j δtpn+ i+,j pn+ i,j δ ],. (4.88)

53 .v Ai,j+3/.u ai-/,j+ p.u ai,j+ Ai+/,j+.u.i-/,j.v p Ai,j+/ i,j.v Ai,j-/.u Ai+/,j Figura 7: A discretização da equação do momento na direção y é feita no ponto (i, j + /) Discretização da equação do momento na direção y: A discretização da equação do momento na direção y, no ponto (i, j+/) é feita de modo análogo ao apresentado para a discretização na direção, porém, de acordo com a figura (7). Temos, assim obtemos onde, v = vn+ i,j+/ vn i,j+/, (4.89) t i,j+/ δt v = v i,j+ v i,j, (4.90) y i,j+/ δy (uv) = (uv) i+/,j+/ (uv) i /,j+/, (4.9) i,j+/ δ p = p i,j+ p i,j, (4.9) y i,j+/ δy v i,j+/ y = v i,j / v i,j+/ + v i,j+3/ (δy), (4.93) u i,j+/ = v i,j+/ v i,j+/ + v i+,j+/ (δ), (4.94) v n+ i,j+/ = Gn i,j+/ δtpn+ i,j+ pn+ i,j G n i,j+/ = vn i,j+/ + δt[ CONV n i,j+/ + V ISCn i,j+/ ], δy, (4.95) G n i,j+/ é a equação acoplada, denominado termo convectivo e CONV n i,j+/ = (v ) n i,j+ (v ) n i,j δy V ISC n i,j+/ = ν [ v n i,j / v n i,j+/ + vn i,j+3/ (δy) + (uv)n i+/,j+/ (uv)n i /,j+/, δ ] + ν [ v n i,j+/ v n i,j+/ + vn i+,j+/ (δ) ].

54 denominado termo viscoso. As velocidades nessa etapa não satisfazem à equação da continuidade (4.76). Assim, ajustamos as mesma de modo a garantir a conservação da massa. Essa correção é feita por meio da atualização da pressão em cada célula (i, j). Assim, a pressão é obtida por meio da solução de uma equação de Poisson. ( ) p + p y = D t u v y (uv) y + ν Para isso, discretizamos a equação (4.76) no nível de tempo n + u n+ i,j + v y n+ i,j = un+ i+/,j un+ i /,j + vn+ δ ( D + D y i,j+/ vn+ i,j / δy ). (4.96) = 0. (4.97) A discretização da equação de Poisson (4.96) é feita através da substituição de (4.88) e (4.95), das epressões correspondentes para u n+ i /,j e vn+ i,j / em (4.96), obtemos assim p n+ i+,j pn+ i,j + p n+ i,j (δ) δt + pn+ i,j+ pn+ i,j + p n+ i,j (δy) = ( F n i+/,j + Fi /,j n + Gn i,j+/ Gn i,j / δ δy ). (4.98) Partindo do campo de velocidade V n em t = tn, determinamos os valores para a velocidade e pressão no nível de tempo n + da seguinte forma: Calculamos o lado direito da equação de Poisson (4.98). Escrevemos essa equação para todos os pontos do domínio computacional, assim, obtemos um sistema de equações lineares; Resolvemos o sistema por um método iterativo, por eemplo o método de Gauss Seidel, para calcular p n+ ; Substituímos a pressão p n+ nas epressões (4.88) e (4.95), atualizando os valores de u i+/,j e v i,j+/. 4.4 Iteração de Pressão Estimadas as componentes u n+ i+/,j e vn+ i,j+/ para todas as células, ajustamos tais componentes por meio da interação da pressão, como segue. Calcula-se a dilatação Di,j n+ em cada célula (i, j), dada por D n+ i,j = un+ i+/,j un+ i /,j + vn+ i,j+/ vn+ i,j / y. (4.99) A dilatação é proporcional ao fluo de massa em cada célula, de modo que se a dilatação for nula em todas as células, a equação da continuidade (4.76) é satisfeita em todo o domínio e o escoamento é incompressível. Para isso limita-se a dilatação por um determinado ǫ, em geral ǫ = σ N, onde N é o número de células do domínio computacional. Entretanto se D > ǫ, ajustes são necessários. Primeiramente, ajustamos a pressão em cada célula, de maneira que onde e β é dado por p n+ i,j = p n+ i,j + δp i,j (4.00) β = ( δt δp = βd, (4.0) β 0 δ + δy ), (4.0)

55 onde β 0 é o fator de relaação e para a estabilidade é necessário que β 0 <. Neste presente trabalho utilizaremos β 0 =.5. As componentes da velocidade, eceto aquelas especificadas em pontos de fronteira são então ajustadas por meio das epressões: u n+ i+/,j = u n+ i+/,j + δt δ δp i,j u n+ i /,j = u n+ i /,j δt δ δp i,j v n+ i,j+/ = u n+ i,j+/ + δt δy δp i,j v n+ i,j / = v n+ i,j / δt δy δp i,j O processo é feito incrementando-se sucessivamente i e j, isto é, percorrendo as células da esquerda para a direita e de baio para cima. Após a atualização da pressão e das velocidades em cada célula, repete-se o processo até que D < ǫ, para um certo valor k. Quando está condição está satisfeita, o processo de iteração da pressão está concluído, ou seja, todas as variáveis do sistema foram avançadas no tempo e então passa-se para o próimo nível de tempo. O processo é repetido até que se atinja o estado estacionário. 4.5 Condições adicionais As condições iniciais, no método de MAC, são impostas somente sobre a velocidade. Inicialmente devem satisfazer V = 0, porém, podemos empregar um campo de velocidades arbitrário e utilizar o método de MAC, com incrementos no tempo, até que seja atingindo o estado estacionário. As condições de fronteira são impostas para a velocidade e pressão. As células computacionais são adjacentes às fronteiras do domínio computacional, como nos dois problemas abordados neste trabalho, assim as condições de contorno são tratadas como segue. Paredes rígidas não-escorregadias: Nesse tipo de fronteira a velocidade tangencial é nula devido a condição de não escorregamento. No método apresentado, as componentes tangenciais da velocidade às paredes não estão definidas em pontos adjacentes a estas, assim v t Et = v t Int, (4.03) onde v t Et e v t Int, diz respeito a pontos em células adjacentes à fronteira dentro e fora do domínio, respectivamente. Temos, então v t parede = v t Et + v t Int = 0, (4.04) como a parede é considerável impermeável, a velocidade normal adjacente a esta é nula, ou seja, v n parede = 0; Paredes rígidas, escorregadias ou móveis: Em paredes rígidas que se deslocam com uma certa velocidade v 0 ou em paredes escorregadias em que o fluido em contato se desloca com uma determinada velocidade, tem-se v t = v 0, aplicamos a seguinte condição v t Et = v 0 v t int. (4.05) Assim, v t parede = v t Et + v t Int = V 0 ; (4.06)

56 Regiões de entrada de fluido: As velocidades normal e tangencial às interfaces são conhecidas, podendo ser constante, como acontece com o problema de escoamento de fluido com um degrau, simulado neste presente trabalho. Em geral, admite-se que o fluido entra na direção normal à parede, considerando g t = 0 e para a velocidade tangencial; v t parede = v t Et + v t Int = 0 (4.07) Regiões de saída de fluido: Em geral nestas regiões assumimos que não há variação das componentes da velocidade na direção normal a saída. 4.6 Condições de Estabilidade O método MAC é eplícito e devido a esse fato está sujeito a certas restrições com relação ao valor de δt: O escoamento não deve cruzar mais de uma célula em qualquer direção a cada etapa de tempo, o que resulta em ( ) δ δy δt < min,. (4.08) u ma v ma Esta restrição é conhecida com condição CFL (Courant, Friedrichs e Lewy); O termo difusivo presente nas equações de momento eige que δt < Re Hirt e Cook também destacam por meio de análise linear que Assim, δt satisfaz as restrições (4.08), (4.09) e (4.0) se ( δ + ) δy ; (4.09) δt 3 < Rema( u ma, (4.0) v ma ). δt min(δt, δt, δt 3 ). Neste trabalho, o valor de δt é o mesmo para todos os passos no tempo e os critérios estabelecidos por (4.08) e (4.09) são sempre satisfeitos. 4.7 Discretização upwind do termo convectivo Seja a equação geral para o termo convectivo (CONV) ( (φu) CONV(φ) = + (φv) y P P P ), (4.) em que φ representa uma das variáveis u ou v, e P um ponto da malha computacional (ver Figura ). Reescreve-se o termo convectivo por CONV(u) = (uu) + (uv). (4.) y i+,j i+,j Nesta subseção, é aplicado o esquema upwind QUICKEST adaptativo para aproimar o termo convectivo. Para eemplificação e sem perda de generalidade, é considerado o segundo termo da equação (4.). Tal termo representa a velocidade u transportada com velocidade v na direção y. A discretização desse termo é i+,j

57 (vu) y (i+,j) ( ) v i+,j+ u i+,j+ v i+,j u i+,j, (4.3) δy em que os valores v i+,j+ e v i+,j são aproimados utilizando-se médias aritméticas: v i+,j+ v i+,j (v i+ 3,j+ + v i+,j+ ), (v i+ 3,j + v i+,j ). (4.4) Na representação da equação (4.3), os pontos (i +, j + ) e (i +, j ) não são, em princípio, definidos na malha e, portanto, os valores da propriedade u nesses pontos não estão disponíveis. Assim, os valores da propriedade transportada u em (i +, j + ) e (i +, j ) são aproimados utilizando-se os pontos vizinhos D, R e U em relação a face f = j + como é mostrado para este caso: Para u i+,j+, com v i+,j+ > 0: D=(i +, j + ), U=(i +, j), R=(i +, j ); Para u i+,j+, com v i+,j+ 0: D=(i +, j), U=(i +, j + ), R=(i +, j + ); Para u i+,j, com v i+,j > 0: D=(i +, j), U=(i +, j ), R=(i +, j ); Para u i+,j, com v i+,j 0: D=(i +, j ), U=(i +, j), R=(i +, j + ). Após a definição do estencil computacional (D, R, U) e considerando o esquema ADBQUICKEST, as aproimações para u i+,j+ e u i+,j são obtidas por Aproimações para u i+,j+, quando v i+,j+ > 0: ( C)u i+,j ( C)u i+,j, û i+,j (0, a), u i+,j+ = α D u i+,j+ + α U u i+,j α R u i+,j, û i+,j [a, b], ( C)u i+,j+ + Cu i+,j, û i+,j (b, ), u i+,j, û i+,j / [0, ], em que û i+,j = u i+,j u i+,j u i+,j+ u i+,j.

58 Aproimações para u i+,j+, quando v i+,j+ 0: ( C)u i+,j+ ( C)u i+,j+, û i+,j+ (0, a), u i+,j+ = α D u i+,j + α U u i+,j+ α R u i+,j+, û i+,j+ [a, b], ( C)u i+,j + Cu i+,j+, û i+,j+ (b, ), em que u i+,j+, û i+,j+ / [0, ], û i+,j+ = u i+,j+ u i+,j+ u i+,j u i+,j+. Aproimações para u i+,j, quando v i+,j > 0: ( C)u i+,j ( C)u i+,j, û i+,j (0, a), u i+,j = α D u i+,j + α U u i+,j α R u i+,j, û i+,j [a, b], ( C)u i+,j + Cu i+,j, û i+,j (b, ), em que u i+,j, û i+,j / [0, ], û i+,j = u i+,j u i+,j u i+,j u i+,j. Aproimações para u i+,j, quando v i+,j 0: ( C)u i+,j ( C)u i+,j+, û i+,j (0, a), u i+,j = α D u i+,j + α U u i+,j α R u i+,j+, û i+,j [a, b], ( C)u i+,j + Cu i+,j, û i+,j (b, ), em que 5 Simulações u i+,j, û i+,j / [0, ], û i+,j = u i+,j u i+,j+ u i+,j u i+,j+. Foram simulados o escoamento de fluidos em um duto simples e numa geometria com um degrau. As implementações computacionais foram desenvolvidas nas linguagens C++ e Fortran 90. A visualização dos resultados foram realizadas nos programas Matlab R006B e visual3d. 5. Escoamento de fluido em duto simples Inicialmente, o fluido de viscosidade cinemática ν em repouso e densidade constante preenche uma região de comprimento G e altura H de acordo com a Figura (8). Ao ser liberado, o fluido entra com velocidade U 0 em uma região de seção transversal H. As velocidades do fluido próimo as paredes laterais é nula, assim desenvolve-se um perfil parabólico no escoamento.

59 Velocidade = 0 AFronteira sólida Velocidade especificada ARegião de escoamento Fronteira de entrada AFronteira sólida Velocidade = 0 Fronteira de saída Figura 8: Escoamento de fluido em um duto simples 5.. Resultados com malha deslocada Foram testados os seguintes parâmetros de viscosidade: 0.00 e Podemos observar, de acordo com as escalas de cores apresentas nas Figuras (9), (30), (3) e (3) que próimo as paredes temos uma região de alta pressão que produz um campo de velocidade até o nulo. Nas regiões de baia pressão podemos observar que é produzido um campo de alta velocidade. (a) (b) (c) (d) Figura 9: Campo de velocidade com ν = 0.00 nos tempos (a) 0.; (b) 0.; (c) 0.4 e (d) 0.5.

60 (a) (b) (c) (d) Figura 30: Campo de pressão com ν = 0.00 nos tempos (a) 0.; (b) 0.; (c) 0.4 e (d) 0.5.

61 (a) (b) (c) (d) Figura 3: Campo de velocidade com ν = nos tempos (a) 0.; (b) 0.; (c) 0.4 e (d) 0.5.

62 (a) (b) (c) (d) Figura 3: Campo de pressão com ν = nos tempos (a) 0.; (b) 0.; (c) 0.4 e (d) 0.5.

63 5.. Resultados com malha co-localizada Foram simulados o escoamento para os valores de Reynolds iguais a:.0, 00.0, 50.0 e Podemos observar o perfil parabólico em todas as simulações, mas este perfil é mais evidente quando Re =.0 porque as forças viscosas são mais significativas do que as forças inerciais. Observamos ainda nos campos de pressão que a cor lilás, região de baia pressão, produz um campo de alta velocidade. E o gradiente ocorre até a cor vermelha nas paredes, região de alta pressão, que produz um campo de velocidade até o nulo. Neste projeto foram considerados G = 30 e H = 0.75, esses resultados podem ser constatados nas Figuras (33), (34), (35), (36), (37), (38), (39) e (40). Figura 33: Campo de velocidade com Re =.0 Figura 34: Campo de pressão com Re =.0 Figura 35: Campo de velocidade com Re = 00.0

64 Figura 36: Campo de pressão com Re = 00.0 Figura 37: Campo de velocidade com Re = 50.0 Figura 38: Campo de pressão com Re = 50.0 Figura 39: Campo de velocidade com Re = 500.0

65 Figura 40: Campo de pressão com Re = Escoamento de fluido com um degrau Inicialmente, o fluido de viscosidade cinemática ν em repouso e densidade constante preenche uma região de comprimento G e altura H, constituída de um degrau de dimensões g e h como esboça a Figura (4). G Entrada au 0 Ah H Saída ag Figura 4: Escoamento de fluido com um degrau Ao ser liberado, o fluido entra com velocidade U 0 em uma região de seção transversal h. A incompressibilidade faz com que a mesma quantidade de fluido que entra por essa região saia por uma região de seção transversal H. O escoamento do fluido é afetado pela presença do degrau. Ao deiar a região de comprimento g e altura h, o fluido tende ocupar a região de comprimento G g e altura H desenvolvendo uma área de recirculação (aparecimento de vórtices) próimo a parede lateral. 5.. Resultados com malha deslocada Foi testado como parâmetro de viscosidade ν = Podemos observar, de acordo com as escalas de cores apresentas nas Figuras (4), (43) e (44) que próimo as paredes temos uma região de alta pressão que produz um campo de velocidade até o nulo. Nas regiões de baia pressão podemos observar que é produzido um campo de alta velocidade. Podemos constatar também, o aparecimento dos vórtices próimo a parede lateral para todos os valores de Reynolds informado e em alguns casos o parecimento da região de recirculação na parede superior. 5.. Resultados com malha co-localizada Foram simulados o escoamento para os valores de Reynolds iguais a:.0, 00.0, 50.0 e Podemos observar o perfil parabólico em todas as simulações, mas este perfil é mais evidente quando Re =.0 porque as forças viscosas

66 Figura 4: Campo de gradiente de velocidade com ν = 0.00 Figura 43: Campo de velocidade com ν = 0.00

67 Figura 44: Campo de pressão com ν = 0.00 são mais significativas do que as forças inerciais. Observamos ainda nos campos de pressão que a cor lilás, região de baia pressão, produz um campo de alta velocidade. E o gradiente ocorre até a cor vermelha nas paredes, região de alta pressão, que produz um campo de velocidade até o nulo. Constatamos também, o aparecimento da região de recirculação no momento em que o fluido deia a menor área para ocupar a maior área, ou seja, quando fluido sai do degrau. Neste projeto foram considerados G = 30.0, g = 7.50, H =.50 h = 0.75, esses resultados podem ser constatados nas Figuras (45), (46), (47), (48), (49), (50), (5),(5),(53),(54),(55) e (56). Figura 45: Campo de velocidade com Re =.0 Figura 46: Ampliação da Figura (45), campo de velocidade com Re =.0

68 Figura 47: Campo de pressão com Re =.0 s Figura 48: Campo de velocidade com Re = 00.0 Figura 49: Ampliação da Figura (48), campo de velocidade com Re = 00.0 Figura 50: Campo de pressão com Re = 00.0 Figura 5: Campo de velocidade com Re = 50.0 Figura 5: Ampliação da Figura (5), campo de velocidade com Re = 50.0