Análise numérica da Equação de Orr-Sommerfeld via algoritmos espectrais

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1 Anais do 4 O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA XV ENCITA / 29 Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brasil Outubro 9 a Análise numérica da Equação de Orr-Sommerfeld via algoritmos espectrais Diogo Camello Barros Instituto Tecnológico de Aeronáutica Praça Marechal Eduardo Gomes5 Vila das Acácias. CEP São José dos Campos SP - Brasil Bolsista PIBIC-CNPq diogocmbarros@gmail.com Marcos Aurélio Ortega Instituto Tecnológico de Aeronáutica Praça Marechal Eduardo Gomes5 Vila das Acácias. CEP São José dos Campos SP - Brasil ortega@ita.br Resumo. A análise numérica de equações obtidas a partir da introdução de um trem de onda nos problemas de transição em escoamento pode ser realizada via algoritmos em cuja eecução todos os pontos de uma malha previamente escolhida são utilizados os chamados métodos espectrais. Tais métodos propiciam um alto nível de precisão o que constitui um fator relevante na resolução numérica da Equação de Orr-Sommerfeld. O projeto de pesquisa estudado avalia os princípios e comprova a eficiência da utilização de algoritmos espectrais ao se resolver numericamente equações diferenciais cujos resultados podem ser visualizados pela comparação entre as soluções analíticas e as encontradas pelo método. Além disso fora proposta uma metodologia para a resolução da Equação de Orr-Sommerfeld resultado este de importância significativa nos estudos de transição de escoamentos e de escoamentos laminares. Palavras chave: dinâmica dos fluidos computacional (CFD) equações diferenciais métodos espectrais escoamento laminar.. Introdução No estudo de resoluções de equações diferenciais por métodos numéricos torna-se necessário particionar o intervalo de domínio das variáveis depentes ou seja criar uma malha de pontos em relação aos quais deseja-se computar as informações da função estudada. Na criação dessa malha um fator decisivo na precisão do algoritmo será a distância entre os pontos dela conhecida como passo. À medida que se diminui o passo obtém-se mais pontos na malha e vice-versa. Isso significa maior quantidade de informações na função que faz parte da equação diferencial. Entre os inúmeros métodos de resolução numérica pode-se diferenciar dois tipos gerais: os métodos locais e os métodos globais. Os primeiros utilizam em seus algoritmos somente pontos da malha vizinhos aos pontos onde se quer realizar a obtenção de informação. Muitos desses métodos locais adotam polinômios interpoladores para computar as fórmulas requeridas. No caso dos métodos globais chamados também de métodos espectrais todos os pontos da malha são utilizados para adquirir informação em um dado valor da variável indepente. 2. Avaliação do problema O projeto de pesquisa tem por base o estudo de um método espectral aplicado em equações diferenciais como a Equação de Orr-Sommerfeld característica nos problemas de escoamentos laminares e transições. Para isso deve-se ressaltar dois pontos importantes para a compreensão do trabalho: princípios do método e a equação propriamente dita. 2.. Princípios do método espectral Os métodos de diferenças finitas são caracterizados por apresentarem determinada ordem a qual representa o erro cometido nas aproimações das derivadas por razões discretas que envolvem os pontos de uma malha previamente elaborada. Eistem as clássicas diferenças de segunda e quarta ordem dentre outras. Caso a ordem das discretizações seja levada ao infinito obtém-se uma formulação para a derivada que tem como característica apresentar todos os pontos da malha no seu cálculo. Tal método denominado diferenças finitas de ordem infinita é justamente o método espectral estudado. Considerando por eemplo uma função no intervalo [2π] pode-se escrever que sua derivada para um ponto j da malha é da forma: du u u j d n n i 2 j n j n ()

2 Anais do XIV ENCITA 28 ITA Outubro em que Δ representa o passo da malha elaborada. Assim deve-se determinar o valor dos coeficientes α da série. É possível demonstrar com auílio de eponenciais compleas como mostrado (Gottlieb et al. 27) que a discretização para a derivada é dada pela equação: du d N D u j ji i i (2) onde D ij são os termos da matriz obtida para cada j variando de a N (tamanho da malha) dados por: j i ( j i) ( ) sin N D i j ji 2 i j (3) Com isso é possível escrever o somatório para os valores de j da malha obto-se pois um sistema linear cujas incógnitas são eatamente os resultados de u j valores da função estudada nos pontos da malha. Depo da ordem e dos termos da equação diferencial a ser estudada pode-se realizar substituição de variáveis a fim de diminuir a ordem da equação e resolvê-la pelo método proposto. Os outros termos da equação terão papel no sistema linear de forma a constituírem valores para a matriz C indicada na equação abaio. A. X C (4) A equação matricial é o sistema linear com a matriz X to como componentes os valores u j. Deste modo encontra-se a inversa da matriz A e a multiplica no outro membro da Eq.(4) obto X. No caso do método proposto A será uma soma de matrizes incluindo a matriz D cujos termos são obtidos pela Eq. (3) Equação de Orr-Sommerfeld A equação de Orr-Sommerfeld representa um modelo para distúrbios em um escoamento laminar caracterizado por uma oscilação cuja função de corrente é descrita a seguir: ( ) ( t ) ( ) e i t (5) em que α é uma grandeza real associada ao comprimento de onda da perturbação e β é um compleo que indica a freqüência circular e o fator de amplificação como ilustrado por (Schlichting 97). So U() a velocidade do escoamento sem a perturbação a partir das equações do movimento de Navier-Stokes pode-se encontrar a relação abaio. '' 2 '' '''' 2 '' 4 ( U c )( ) U i ( 2 ) R (6) Esta é a equação diferencial fundamental que caracteriza a teoria de estabilidade de escoamentos laminares chamada de Equação de Orr-Sommerfeld. Nela R é o número de Renolds do escoamento e c é um compleo que vale a razão entre β e α. Percebe-se a compleidade da equação por se tratar de uma equação ordinária complea de quarta ordem.

3 Anais do XIV ENCITA 28 ITA Outubro Resultados 3.. Proposta de solução Caracterizada por ser uma equação complea de quarta ordem torna-se necessário realizar uma substituição de variáveis para aplicação do método espectral. Em (Schlichting 97) é proposta também uma simplificação da Eq. (6) para uma equação de segunda ordem denominada Equação de Raleigh s suprimindo o termo compleo do lado direito da equação. Além das simplificações torna-se necessário conhecer as condições de contorno para a função a ser obtida. Um eemplo de condições pode ser dado pelo conjunto: (7) já no caso da equação simplificada. Para a resolução numérica da equação de segunda ordem deve-se substituir a segunda derivada por uma derivada simples de outra função (substituição) e aplicar o método espectral nessa nova variável. Deste modo pode-se descobrir os valores da nova variável na malha elaborada. A seguir aplica-se novamente o método para a substituição das variáveis de modo a obter finalmente a função da equação de Orr-Sommerfeld. Portanto serão necessárias duas aplicações do método o que significa a resolução de dois sistemas N N para a malha criada no intervalo da solução Aplicações do método em eemplos de equações Foram implementados dois códigos-fonte para a resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem a fim de se avaliar a eficiência do método espectral estudado. A primeira equação tratada é observada a seguir: u ' u u () (8) Sua solução analítica é o inverso da eponencial. Código fonte para resolução (MATLAB 6.5 ) for J=:N for I=:N A(JI)=(((-)^(J+I))/2)*((sin((J-I)*pi/(N+)))^(-)); for J=:N C(J)=(-)*(((-)^(J+))/2)*((sin((J-)*pi/(N+)))^(-)); for J=:N A(JJ)= I=inv(A) I*C fim

4 Anais do XIV ENCITA 28 ITA Outubro Variando-se o valor do tamanho da malha N para os seguintes valores pôde-se obter os seguintes gráficos comparativos das soluções númericas e analíticas. N = 2 - M é to d o e s p e c tra l Figura. Solução numérica para N=2. N = M é to d o e sp e c tra l Figura.2 Solução numérica para N=24. N= 5 - M é todo e s pe c tr a l Numéric o Figura.3 Solução numérica para N=5.

5 u Anais do XIV ENCITA 28 ITA Outubro N=74 - M é to d o e s p e ctr al Numéric o Figura.4 Solução numérica para N=74. N = - M é to d o e sp e c tra l Figura.5 Solução numérica para N=. De acordo com a análise dos gráficos das Fig. a 5 é possível perceber que mesmo para malhas com um pequeno número de pontos a solução numérica apresenta comportamento muito análogo ao da solução analítica chegando quase a uma superposição completa para os casos de N=74 e N=. Outra equação diferencial solucionada para duas malhas é dada a seguir. u ' sen u () (9) Sua solução analítica é a função cosseno periódica de período 2π. A solução numérica para os casos N=5 e N= são visualizadas nas figuras adiante.

6 u u Anais do XIV ENCITA 28 ITA Outubro N = 5 - M é to d o e s p e c tra l Figura.6 Solução numérica para N=5. N= - M é todo e s pe c tr a l Numéric o - -5 Figura.7 Solução numérica para N=. O código-fonte utilizado é ligeiramente diferente do anterior. Código fonte para resolução (MATLAB 6.5 ) for J=:N for I=:N A(JI)=(((-)^(J+I))/2)*((sin((J-I)*pi/(N+)))^(-)); for J=:N C(J)=(-)*(((-)^(J+))/4)*((sin((J-)*pi/(N+)))^(-))-sin(J*2*pi/N+); for J=:N A(JJ)= I=inv(A) I*C fim

7 Anais do XIV ENCITA 28 ITA Outubro A resolução da função cosseno apresentou resultados satisfatórios para o método espectral estudado para ambas as malhas. 4. Conclusões To em vista as soluções numéricas apresentadas e o príncipio do método espectral utilizado no projeto de pesquisa nota-se a etrema importância de uma implementação cuja malha em sua totalidade faz parte da resolução numérica de equações diferenciais ordinárias e em geral parciais. Os resultados apresentaram-se com erros ínfimos para as malhas maiores com N= pontos e para malhas com menor número de nós o resultado apesar de impreciso em alguns pontos caracteriza de sobremaneira o comportamento da solução analítica. Além disso após posteriores análises nas referências citadas no decorrer do teto foi possível comparar o método espectral com diferenças finitas de ordens inferiores constatando melhor eficiência para o primeiro caso ou seja com menor esforço computacional obtiveram-se resultados com mesma eatidão para ambos os casos. Quanto à proposta de solução da Equação de Orr-Sommerfeld infere-se a relevância da mesma no conteto da teoria de aerodinâmica constituindo papel fundamental no conteto de escoamentos laminares e perturbações. Apesar da não-resolução numérica da mesma fora apresentado de modo simples e claro um modo de resolvê-la numericamente com o algoritmo espectral possibilitando um aprizado substancial no ramo da cálculo numérico em mecânica dos fluidos. Finalmente como enfoque geral do projeto de pesquisa ressalta-se o estudo de diferentes pontos do método científico levando-se em consideração tanto a visão teórica dos métodos e equações bem como aspectos computacionais de suma importância que envolvem técnicas de implementação e linguagens de programação de variadas características. A conjunção dessas duas visões aliada aos processos eperimentais no computador possibilitaram um bom fechamento do projeto de pesquisa proposto. 5. Agradecimentos Desde já faz-se agradecimentos aos diversos colaboradores para o progresso deste projeto de pesquisa em todas as suas etapas. Inicialmente a A.Rosalen e a J.Ferraro colegas de universidade que contribuíram com informações necessárias para os métodos de programação utilizados. Ao orientador M.A.Ortega cujos conselhos e paciência possibilitaram a completude desse projeto além da ajuda no planejamento de cada etapa do mesmo. Aos familiares que contribuíram com a injeção de força de vontade na realização deste trabalho. Finalmente ao CNPQ pela oportunidade da participação no Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica o que representa fazer parte da comunidade científica nacional e possibilitar o desenvolvimento do estudo científico no país. 6. Referências Hesthaven S.J. GottliebS. and Gottlieb D. 27 Spectral Methods for Time-Depent Problems Cambridge Universit Press UK pp Anderson A. D.; Tannechill C. J. and Pletcher H. R. 984 Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer Hemisphere Publishing Corporation EUA. Ellis M. and Ellis T.M.R 99. FORTRAN 77 programming: with an introduction to FORTRAN 9 Standard Addison-Wesle Longman Publishing EUA. Schilichting H. and Gersten K. 97 Boundar Laer Theor McGRAW- HILL BOOK COMPANY 7th Edition pp