Métodos de análise e tópicos selecionados (CC)

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1 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) Ojetivos Fmilirizr-se com s crcterístics terminis de um fonte de corrente e prender solucionr prolems envolvendo tensões e correntes de um circuito usndo fontes de corrente e/ou fontes de corrente e fontes de tensão. Ser cpz de usr nálise ds correntes nos rmos e o método ds mlhs pr clculr s correntes de circuitos com um ou mis cminhos independentes. Ser cpz de plicr o método dos nós pr clculr tods s tensões terminis de qulquer circuito em série-prlelo com um ou mis fontes independentes. 8. NTODUÇÃO Os circuitos descritos nos cpítulos nteriores tinhm pens um fonte ou dus ou mis fontes em série ou em prlelo. Os procedimentos psso psso delinedos nesses cpítulos podem ser plicdos somente se s fontes estiverem em série ou em prlelo. Hverá um interção de fontes que não permitirão que se use s técnics de redução pr clculr vlores como resistênci totl e corrente fornecid pel fonte. Pr situções como ess, form desenvolvidos métodos de nálise que nos permitem ordr, de um mneir sistemátic, circuitos com um número qulquer de fontes em qulquer rrnjo. Pr nosso enefício, os métodos serem introduzidos tmém podem ser plicdos circuitos com pens um fonte ou circuitos nos quis s fontes estão em série ou em prlelo. Os métodos serem introduzidos neste cpítulo incluem nálise ds correntes nos rmos, o método ds mlhs e o método dos nós. Cd um pode ser plicdo o mesmo circuito, pesr de um ser, normlmente, mis dequdo do que o outro. O melhor método não pode ser definido por um conjunto estrito de regrs, ms pode ser determindo pens depois de você ter desenvolvido um compreensão ds vntgens reltivs de cd um. Antes de considerr o primeiro método, exminremos fontes de corrente porque els permeim nálise seguir. O cpítulo conclui com um investigção de um circuito complexo chmdo configurção em ponte, seguido pelo uso de conversões pr nlisr esss configurções. 8. FONTES DE COENTE Nos cpítulos nteriores, fonte de tensão er únic fonte que preci n nálise do circuito. sso se dv fundmentlmente porque s fontes de tensão como teris e fonte de limentção são s mis comuns em nosso cotidino e no miente de lortório. Agor, voltremos noss tenção pr um segundo tipo de fonte, chmd de, nlisd neste cpítulo. Apesr de fontes de corrente estrem disponíveis como mteril de lortório (introduzids no Cpítulo ), els precem extensmente n modelgem de dispositivos eletrônicos como o trnsistor. Sus crcterístics e seu impcto sore correntes e tensões de um circuito têm de ser, portnto, clrmente compreendidos, cso os sistems eletrônicos sejm investigdos de mneir proprid.

2 8 ntrodução à nálise de circuitos A fonte de corrente é seguidmente descrit como dul d fonte de tensão. D mesm mneir que um teri fornece um tensão fix pr um circuito, um fonte de corrente estelece um corrente fix no rmo onde el está loclizd. Além disso, corrente trvés de um teri é um função do circuito pr o qul el está plicd, d mesm mneir que tensão por um fonte de corrente é um função do circuito conectdo. O termo dul se plic quisquer dois elementos nos quis os trços de um vriável podem ser intercmidos com os trços de outro. sso é certmente verdde no cso d corrente e d tensão dos dois tipos de fontes. O símolo de um fonte de corrente prece n Figur 8.(). A set indic direção d corrente pr o rmo onde el está loclizd. O resultdo é um corrente igul à corrente d fonte trvés do resistor em série. N Figur 8.(), clculmos que tensão trvés de um fonte de corrente é determind pel polridde d qued de tensão cusd pel fonte de corrente. Pr circuitos de fonte únic, el sempre tem polridde d Figur 8.(), ms pr circuitos de múltipls fontes, el pode ter qulquer um ds polriddes. Em gerl, portnto, um fonte de corrente determin direção e intensidde d corrente no rmo em que el está loclizd. Mis ind, tnto intensidde qunto polridde d tensão trvés de um fonte de corrente são, em cd cso, um função do circuito o qul tensão é plicd. Alguns exemplos demonstrrão s similriddes entre clculr pr corrente de um fonte de tensão e V s () tensão terminl de um fonte de corrente. Tods s regrs e leis desenvolvids no cpítulo nterior ind se plicm, de mneir que temos somente de nos lemrr o que estmos procurndo e compreender de mneir dequd s crcterístics de cd fonte. A configurção mis simples possível com um fonte de corrente prece no Exemplo 8.. EXEMPLO 8. Clcule tensão d fonte, tensão V e corrente pr o circuito n Figur 8.. Tendo em vist que fonte de corrente estelece corrente no rmo no qul el está loclizd, corrente tem de ser igul, e: A tensão trvés de é então determind pel lei de Ohm: V Tendo em vist que o resistor e fonte de corrente estão em prlelo, tensão trvés de cd um tem de ser mesm, e: V s V com polridde mostrd. EXEMPLO 8. Clcule tensão V s e s correntes e pr o circuito n Figur 8.. Esse é um prolem interessnte, pois tem tnto um fonte de corrente qunto um fonte de tensão. Pr cd fonte, vriável dependente (um função de lgo mis) será determind. sto é, pr fonte de corrente, V s tem de ser determindo, e pr fonte de tensão, s tem de ser determindo. V s V circuito V s 0 ma V s 0 k V () Figur 8. ntrodução do símolo d fonte de corrente. Figur 8. Circuito pr o Exemplo 8..

3 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 9 V s 7A E V e. Entretnto, tensão trvés d fonte de corrente é diretmente fetd pelo vlor soluto e pel polridde d fonte plicd. Usndo regr do divisor de corrente, temos: Ω A Ω Ω ( )( ) ( A) A Figur 8. Circuito pr o Exemplo 8.. A tensão V é dd por: Tendo em vist que fonte de corrente e fonte de tensão estão em prlelo: V s E Além disso, considerndo que fonte de tensão e o resistor estão em prlelo: e V E V V V Ω A A corrente d fonte de tensão pode então ser determind plicndo lei de Kirchhoff pr corrente no topo do circuito, como é feito seguir: e i o 7 A A EXEMPLO 8. Determine corrente e tensão V s pr o circuito n Figur 8.. Primeiro, oserve que corrente no rmo com fonte de corrente tem de ser A, não importndo qul sej o vlor soluto d fonte de tensão à direit. Em outrs plvrs, s correntes do circuito são definids por, V V Aplicndo regr de Kirchhoff pr tensões pr determinr V s, temos: e V s V 0 V 0 V s V 0 V V 0 V Em prticulr, oserve polridde d tensão V s como determind pelo circuito. 8. CONVESÕES DE FONTE A fonte de corrente descrit n seção nterior é denomind fonte idel devido à usênci de resistênci intern. N relidde, tods s fontes sejm de tensão ou de corrente possuem lgum resistênci intern ns posições reltivs mostrds n Figur 8.5. Pr fonte de tensão, se s comprd qulquer resistênci intern que pode ser ignord, temos um fonte de tensão idel. Pr fonte de corrente, tendo em vist que o resistor p está em prlelo, se p elementos em prlelo que pode ser ignord, temos um fonte de corrente idel. nfelizmente, entretnto, fontes ideis não podem ser convertids de um tipo outro. sto é, um fonte de tensão não pode ser convertid em um fonte de corrente, e vice-vers resistênci intern tem de estr presente. Se fonte de tensão n Figur 8.5() deve ser equivlente à fonte n Figur 8.5(), qulquer crg conectd às 0 V s L L L V s A E p L () () Figur 8. Exemplo 8.. Figur 8.5 Fontes prátics: () tensão; () corrente.

4 0 ntrodução à nálise de circuitos fontes como L devem receer mesm corrente, tensão e potênci de cd configurção. Em outrs plvrs, se fonte fosse fechd em um recipiente, crg L não seri qul fonte el teri estdo conectd. Esse tipo de equivlênci é estelecido usndo-se s equções que precem n Figur 8.. Primeiro, oserve que resistênci é mesm em cd configurção um vntgem interessnte. Pr o equivlente d fonte de tensão, tensão é determind por um simples plicção d lei de Ohm pr fonte de corrente: E p. Pr o equivlente d fonte de corrente, corrente é novmente determind plicndo lei de Ohm pr fonte de tensão: E/ s. Em um primeiro momento, tudo prece simples demis, ms o Exemplo 8. confirm os resultdos. Entretnto, é importnte perceer que equivlênci entre fonte de corrente e fonte de tensão existe pens em seus terminis externos. As crcterístics interns de cd um são stnte diferentes. EXEMPLO 8. Pr o circuito n Figur 8.7: ) Determine corrente L. ) Convert fonte de tensão em um fonte de corrente. c) Usndo fonte de corrente resultnte d prte (), clcule corrente trvés do resistor de crg e compre su respost o resultdo d prte (). Soluções: ) Aplicndo lei de Ohm, temos: L E V V Ω Ω Ω A s L ) Usndo lei de Ohm novmente, temos: E V Ω A s e fonte equivlente prece n Figur 8.8 com crg replicd. c) Usndo regr do divisor de tensão, temos: L p p L ( Ω )( A ) ( ) Ω Ω A A Descorimos que corrente L é mesm pr fonte de tensão como er pr fonte de corrente equivlente; s fontes são, portnto, equivlentes. Como demonstrm Figur 8.5 e o Exemplo 8., oserve que um fonte e seu equivlente estelecerão corrente no mesmo sentido trvés d crg plicd. No Exemplo 8., oserve que ms s fontes pressionm ou estelecem corrente pelo circuito pr estelecer o mesmo sentido pr corrente de crg L e mesm polridde pr tensão V L. s p E p Figur 8. Conversão de fonte. E s p s EXEMPLO 8.5 Determine corrente pr o circuito n Figur 8.9. Apesr de precer que o circuito não pode ser solu ciondo usndo-se os métodos introduzidos té o momento, um conversão de fonte, como mostr Figur 8.0, result em um circuito em série simples. Não fz sentido converter fonte de tensão em um fonte de corrente porque você perderi corrente no circuito redesenhdo. s L A L E V L E A p L s Figur 8.7 Fonte de tensão prátic e crg pr o Exemplo 8.. Figur 8.8 Fonte de corrente equivlente e crg pr fonte de tensão n Figur 8.7.

5 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) A Oserve polridde pr fonte de tensão equivlente como determin fonte de corrente. Pr conversão de fonte: E e E E V 5V 7V Ω Ω 5 Ω, A 8. FONTES DE COENTE EM PAALELO Descorimos que fontes de tensão de diferentes tensões terminis não podem ser colocds em prlelo devido um violção d lei de Kirchhoff pr tensões. De mneir similr, fontes de corrente de diferentes vlores não podem ser colocds em série devido um violção d lei de Kirchhoff pr corrente. Entretnto, fontes de corrente podem ser colocds em prlelo d mesm mneir que fontes de tensão podem ser colocds em série. Em gerl, dus ou mis fontes de corrente em prlelo podem ser sustituíds por um únic fonte de corrente tendo um vlor soluto determindo pel diferenç d som ds correntes em um sentido e som no sentido oposto. A nov resistênci intern em prlelo é resistênci totl dos elementos resistivos em prlelo resultntes. 5 V Figur 8.9 Circuito de dus fontes pr o Exemplo 8.5. E V 5 V E E Figur 8.0 Circuito n Figur 8.9 depois d conversão d fonte de corrente em um fonte de tensão. Considere os exemplos seguir. EXEMPLO 8. eduz s fontes de corrente em prlelo n Figur 8. um fonte de corrente únic. A corrente líquid n fonte é: 0 A A sendo o sentido quele d fonte mior. A resistênci intern líquid é cominção em prlelo ds resistêncis, e : p O equivlente reduzido prece n Figur 8.. EXEMPLO 8.7 eduz s fontes de corrente em prlelo n Figur 8. um fonte de corrente únic. A corrente líquid é: 7 A A A com o sentido mostrdo n Figur 8.. A resistênci intern líquid permnece mesm. A 0 A Figur 8. Fontes de corrente em prlelo pr o Exemplo 8.. s A p Figur 8. Equivlente reduzido pr configurção d Figur 8..

6 ntrodução à nálise de circuitos 7 A A A Aplicndo regr do divisor de corrente o circuito resultnte n Figur 8.7, temos: L p s p L ( Ω )( 0 ) A 0A A Ω Ω 0 Figur 8. Fontes de corrente em prlelo pr o Exemplo 8.7. EXEMPLO 8.8 eduz o circuito n Figur 8.5 um únic fonte de corrente e clcule corrente trvés de L. Nesse exemplo, fonte de tensão será primeiro convertid um fonte de corrente como mostr Figur 8.. Cominndo s fontes de corrente, temos: e s 8 A p Figur 8. Equivlente reduzido pr Figur 8.. s A A s 8.5 FONTES DE COENTE EM SÉE A corrente, em qulquer rmo de um circuito, pode ter pens um vlor. Pr situção indicd no ponto d Figur 8.8, oservmos, o plicr lei de Kirchhoff pr correntes, que corrente que si desse ponto é mior que corrente que entr um situção impossível. Assim, fontes de correntes de diferentes intensiddes não podem ser ligds em série, d mesm mneir que fontes de tensão com tensões diferentes não podem ser conectds em prlelo. 8. ANÁLSE DAS COENTES NOS AMOS Antes de exminr os detlhes do primeiro método importnte de nálise, exminremos o circuito n Figur 8.9 pr ter certez de que você compreende necessidde desses métodos especiis. nicilmente, pode precer que poderímos usr o método d redução e retorno pr retornr pr fonte E e clculr fonte de corrente s. nfelizmente, entretnto, os elementos em série e E não podem ser comindos E 8 A L s L V L s 0 A p L Figur 8.5 Exemplo 8.8. Figur 8.7 Circuito n Figur 8. reduzido su form mis simples. L A 8 A L Não! E V A 8 Figur 8. Circuito n Figur 8.5 depois d conversão d fonte de tensão em um fonte de corrente. A 7 A Figur 8.8 Situção inválid.

7 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) porque são tipos diferentes de elementos. Um exme posterior do circuito revel que não há dois elementos iguis que estejm em série ou em prlelo. Nenhum cominção de elementos pode ser relizd, e está clro que outro método tem de ser definido. Deve ser oservdo que o circuito d Figur 8.9 pode ser soluciondo se convertermos cd fonte de tensão em um fonte de corrente e, então, cominrmos fontes de corrente em prlelo. Entretnto, se um quntidde específic do circuito originl é necessári, seri preciso trlhá-lo novmente usndo s informções determinds prtir d conversão de fonte. Além disso, teremos circuitos complexos pr os quis s conversões de fonte não permitirão um solução, de mneir que é importnte compreender os métodos serem descritos neste cpítulo. O primeiro método ser introduzido é chmdo de, porque vmos definir e clculr s correntes de cd rmo no circuito. A melhor mneir de introduzir esse método e compreender su plicção é seguir um série de pssos, como os listdos seguir. Cd psso é cuiddosmente definido nos exemplos seguintes. E s E Figur 8.9 Demonstrção d necessidde de um método como nálise ds correntes nos rmos. Procedimento d nálise ds correntes nos rmos. Associe um corrente distint de sentido ritrário cd rmo de circuito.. ndique s polriddes de cd resistor, de cordo com o sentido escolhido pr corrente.. Aplique lei de Kirchhoff pr tensões em cd mlh independente e fechd do circuito. A melhor mneir de determinr qunts vezes lei de Kirchhoff pr tensões terá de ser plicd é descorir o número de jnels no circuito. O circuito do Exemplo 8.9 é clrmente similr à configurção de dus jnels mostrds n Figur 8.0(). Como resultdo, lei de Kirchhoff pr tensões será plicd dus vezes. Pr circuitos com três jnels, como o visto n Figur 8.0(), são necessáris três plicções d lei de Kirchhoff, e ssim por dinte.. Aplique lei de Kirchhoff pr correntes o número mínimo de nós que inclu tods s correntes nos rmos do circuito. O número mínimo tem um unidde menos que o número de nós independentes do circuito. Pr os ojetivos dess nálise, um é um junção de dois ou mis rmos, enqunto um rmo é qulquer cominção de elementos em série. A Figur 8. ilustr o número de plicções d lei de Kirchhoff pr correntes necessáris pr cd um ds configurções mostrds n Figur 8.0. () () Figur 8.0 Determinção do número de mlhs independentes. ( nós) ( nós) ( nós) ( nós) eq. eq. eq. eq. Figur 8. Determinção do número de vezes que lei de Kirchhoff pr correntes deve ser plicd.

8 ntrodução à nálise de circuitos 5. esolv s equções lineres simultânes resultntes Definido por pr s correntes de rmo escolhids. Considermos que o uso do - pr clculr s correntes, e sej conhecido e fz prte d se mtemátic do estudnte. Se esse não for o cso, um explicção detlhd do processo é presentd no Apêndice C. Clculdors e progrms de computdor como o MATLAB e o Mthcd podem encontrr s soluções de form rápid e precis. Definido por Polridde fix E V Definido por Polridde fix E V EXEMPLO 8.9 Aplique o método ds correntes nos rmos o circuito d Figur 8.. Solução : Psso : Como há três rmos distintos (cd, c, c), são escolhids três correntes de sentido ritrário (,, ), como indic Figur 8.. Os sentidos ds correntes e form escolhidos pr cominr com pressão exercid pels fontes E e E, respectivmente. Como e estão entrndo no nó, está sindo desse nó. Psso : As polriddes de cd resistor são identificds de cordo com os sentidos postuldos pr s correntes, conforme indic Figur 8.. Psso : A lei de Kirchhoff pr tensões é plicd em cd mlh ( e ) no sentido horário: Elevção potencil V E V V 0 Qued de potencil Elevção potencil V V V E 0 Qued de potencil e V V 0 d E V Potencil d teri Qued de tensão entre os terminis do c E Qued de tensão entre os terminis do V Figur 8. nserção ds polriddes ds tensões entre os terminis dos elementos resistivos de cordo com s correntes de rmo escolhids. V V 0 Psso : Aplicção d lei de Kirchhoff pr correntes o nó (em um circuito com dois nós, lei é plicd somente em um deles): Psso 5: Há três equções e três incógnits (s uniddes form removids pr fcilitr leitur): 0 errnjndo: Usndo determinntes de terceir ordem (Apêndice C), temos: D D D Um sinl negtivo ssocido um corrente de rmo indic pens que corrente rel tem o sentido oposto o escolhido. Figur 8. Exemplo 8.9.

9 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 5 Solução : Em vez de usr um determinnte de terceir ordem como n Solução, poderímos reduzir s três equções dus, sustituindo terceir equção n primeir e n segund equções: ( ) 0 0 ( ) 0 0 ou 5 Multiplicndo primeir equção por, temos: 5 e usndo determinntes, temos: Solução T-89: O procedimento pr encontrr o determinnte no Exemplo 8.9 exige lgum procur pr oter s funções mtemátics desejds, ms com prátic esse procedimento pode ser relizdo de mneir stnte rápid. Assim como com qulquer computdor ou sistem de clculdor, é fundmentl que você insir todos os prâmetros corretmente. Um erro n sequênci invlid todo o processo. Pr T-89, s inserções são mostrds n Figur 8.(). Após seleciond últim tecl ENTE, tel mostrd n Figur 8.() prece. Agor, é importnte que o impcto dos resultdos otidos sej compreendido. As correntes, e são s correntes reis nos rmos ns quis els form definids. Um sinl negtivo n solução signific que corrente rel tem o sentido oposto do que foi inicilmente definido; o vlor soluto está correto. Um vez que os sentidos de correntes reis e seus vlores solutos sejm inseridos no circuito originl, s váris tensões e níveis de potênci podem ser determindos. Pr esse exemplo, s direções de correntes reis e seus vlores solutos form inseridos no circuito originl n Figur 8.5. Oserve que corrente trvés dos elementos em série e E é A; corrente trvés de, é A; e corrente trvés dos elementos em série e E é A. Devido o sinl de menos n solução, direção de é opost dquel mostrd n Figur 8.. Agor, tensão trvés de qulquer resistor pode ser clculd usndo lei de Ohm, e potênci fornecid por qulquer um ds fontes ou pr qulquer um dos três resistores pode ser clculd usndo equção de potênci dequd. Aplicndo lei de Kirchhoff pr tensões pr mlh indicd n Figur 8.5, temos: E V V 0 V A V A A E V 8 8 Figur 8.5 evisão dos resultdos d nálise do circuito n Figur 8.. Home ND MATH Mtrix ENTE det( ENTE ND [, ND ;, 5 ND ] ) ND MATH Mtrix ENTE det( ND [, ND ;, 5 ND ] ) ENTE () ENTE det 5,00E0 det 5 () Figur 8. Solução T-89 pr corrente d Figur 8..

10 ntrodução à nálise de circuitos V V V V V (confere) EXEMPLO 8.0 Aplique nálise ds correntes nos rmos o circuito n Figur 8.. Novmente, os sentidos d corrente form escolhidos pr cominr com pressão de cd teri. As polriddes são então crescentds, e lei de Kirchhoff pr tensões é plicd em cd mlh no sentido horário. O resultdo é o seguinte: 0 V 0 0 V 0 Aplicndo lei de Kirchhoff pr correntes o nó, temos: Sustituindo terceir equção ns outrs dus (com s uniddes removids pr fcilitr leitur), temos: Sustituindo por (já que el prece um vez 0 0 5( ) 0 0 ns dus equções) ou Multiplicndo segund equção por, temos: ,77 A, A o que mostr que os sentidos supostos erm mesmo os corretos, com igul à som de e. E 0 5 V E Figur 8. Exemplo V 5 E 0 V 8.7 MÉTODO DAS MALHAS (ABODAGEM GEAL) O próximo método ser descrito o é, n relidde, um extensão do método d nálise ds correntes nos rmos introduzido há pouco. Ao definir um disposição específic de correntes pr o circuito, informção fornecid pel plicção d lei de Kirchhoff pr corrente já está incluíd qundo plicmos ess lei pr tensões. Em outrs plvrs, não há necessidde de plicr o psso no método de correntes nos rmos. E E () () Figur 8.7 Definição d corrente de mlh: () circuito de dus jnels ; () nlogi d cerc de mlh de rme.

11 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 7 As correntes serem definids são chmds de N Figur 8.7(), um circuito com dus jnels teve dus correntes de mlh definids. Oserve que cd um form um mlh fechd em torno do ldo de dentro de cd jnel; esss mlhs são similres às mlhs definids n cerc de mlh de rme n Figur 8.7(); dí o uso do termo pr s correntes de mlh. Descoriremos que o número de correntes de mlh exigido n nálise de um circuito vi ser igul o número de jnels d configurção. As correntes de mlh definids podem inicilmente ser um pouco confuss, porque prece que dus correntes form definids pr o resistor. Não há prolem com E e, que têm pens corrente, ou com E e, que têm pens corrente. Entretnto, definir corrente trvés de pode precer prolemático. N relidde, é lgo stnte direto. A corrente trvés de é simplesmente diferenç entre e, com o sentido sendo o d corrente mior. sso é demonstrdo nos exemplos seguir. Como corrente de mlh pode resultr em mis de um corrente trvés de um elemento, nálise ds correntes nos rmos foi introduzid primeiro. A nálise ds correntes nos rmos é plicção diret ds leis ásics de circuitos elétricos. O método ds mlhs empreg um mnor (um truque, se você preferir) que elimin necessidde de se plicr lei de Kirchhoff pr correntes. Procedimento do método ds mlhs. Associe um corrente no sentido horário cd mlh fechd e independente do circuito. Não é necessário escolher o sentido horário pr tods s correntes de mlh. De fto, podemos escolher qulquer sentido pr cd um desss correntes sem lterr o resultdo, enqunto todos os outros pssos são seguidos corretmente. Entretnto, escolhendo o sentido horário como o pdrão, podemos desenvolver um método mis rápido (Seção 8.8) pr escrever s equções necessáris, o que pouprá tempo e possivelmente evitrá lguns dos erros mis comuns. Esse primeiro psso é relizdo com mis eficáci qundo colocmos um corrente de mlh dentro de cd jnel do circuito, como demonstrmos n seção nterior, pr ssegurr que tods sejm independentes. Existe um vriedde de outrs correntes de mlh que podem ser escolhids. No entnto, em cd cso, certifique-se de que informção originári de um equção não estej incluíd n cominção de outrs equções do circuito. Esse é o ponto fundmentl do significdo do termo independente. Não import como sejm escolhids sus correntes de mlh, o número de correntes deve ser igul o número de jnels do circuito plno (sem interseções). Podem surgir situções em que o circuito se mostre não plno. Entretnto, ocsionlmente ele pode ser redesenhdo de modo revelr que é, de fto, plno. Esse poderá ser o cso em um ou dois dos prolems presentdos no finl do cpítulo. Antes de dr o próximo psso, devemos nos ssegurr de que o conceito de corrente de mlh foi em compreendido. Pr o circuito mostrdo n Figur 8.8, corrente de mlh é que percorre o rmo que contém, pois ele tmém é percorrido pel corrente de mlh. Como els possuem sentidos opostos, é igul à diferenç entre s dus, ou, dependendo do sentido escolhido. Em outrs plvrs, um corrente de mlh coincide com um corrente de rmo somente qundo el é únic corrente que percorre esse rmo.. ndique s polriddes de cd resistor dentro de cd mlh de cordo com o sentido d corrente postuldo pr ess mlh. Oserve necessidde de que polriddes sejm estelecids pr todos os componentes de tods s mlhs. Portnto, isso requer, como mostr Figur 8.8, que o resistor de. Aplique lei de Kirchhoff pr tensões em tods s mlhs no sentido horário. Novmente, o sentido horário foi escolhido pr mnter uniformidde, e com o intuito de nos preprr pr o método ser introduzido n próxim seção. E V V E Figur 8.8 Definição ds correntes de mlh pr um circuito de dus jnels.

12 8 ntrodução à nálise de circuitos ) Se um resistor é percorrido por dus ou mis correntes, corrente totl que o trvess é dd pel corrente d mlh à qul lei de Kirchhoff está sendo plicd mis às correntes de outrs mlhs que o percorrem no mesmo sentido e menos às correntes que o trvessm no sentido oposto. ) A polridde de um fonte de tensão não é fetd pel escolh do sentido ds correntes ns mlhs.. esolv s equções lineres simultânes resultntes pr oter s correntes de mlhs. EXEMPLO 8. Considere o mesmo circuito ásico do Exemplo 8.9 d seção nterior, reproduzido n Figur 8.8. Psso : Dus correntes de mlh ( e ) são ssocids, no sentido horário, às jnels do circuito. Um terceir mlh ( ) poderi ser incluíd o longo do contorno externo do circuito, ms informção que oterímos já está contid ns equções decorrentes d nálise ds outrs dus. Psso : Determinmos s polriddes no interior de cd mlh, de cordo com os sentidos estelecidos pr s correntes. Note que, nesse cso, s polriddes s dus correntes de mlh. Psso : Aplic-se lei de Kirchhoff pr tensões cd mlh no sentido horário. Tenh em mente que, enqunto esse psso é relizdo, lei se refere somente à intensidde e à polridde ds tensões n mlh, não um umento ou um qued de tensão devido um teri ou um elemento resistivo. A tensão entre os terminis de cd resistor é determind por V, e pr um resistor percorrido por mis de um corrente, corrente resultnte é de mlh do rmo em questão mis ou menos s outrs correntes de mlh, de cordo com os seus sentidos. Se s plicções d lei de Kirchhoff pr tensões forem sempre feits no sentido horário, s correntes de mlh serão sempre sutríds dquel que está sendo nlisd. mlh : E V V 0 (sentido horário, prtir do ponto ) Qued de tensão ) 0 Corrente totl no resistor de Sutrímos, pois tem sentido oposto o de. mlh : V V E 0 (sentido horário, prtir do ponto ) V 0 Psso : As equções são então reescrits como segue (sem s uniddes pr fcilitr leitur): mlh : 0 mlh : 0 e mlh : 0 mlh : 5 0 ou mlh : mlh : 5 Aplicndo os determinntes, temos: e O sinl negtivo indic que s correntes possuem sentido oposto o escolhido pr s correntes de mlh. A corrente rel trvés d fonte de V e do resistor de inicilmente, e corrente trvés d fonte de V e o determind pel seguinte equção do circuito originl: mlh : A ( A) A A (n direção de ) Se tivéssemos utilizdo mlh extern ( ) e um ds mlhs interns ( ou ), tmém terímos otido os resultdos corretos. Entretnto, esse método costum levr erros, pois s equções ds mlhs podem ser mis difíceis de serem escrits. O melhor método de se escolher s correntes de mlh é o ds jnels. EXEMPLO 8. Determine corrente que percorre cd rmo do circuito visto n Figur 8.9. E 5 V E Figur 8.9 Exemplo V

13 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 9 Pssos e : Estão indicdos no circuito. Note que s corrente de mlh. Psso : É plicd lei de Kirchhoff pr tensões cd mlh, no sentido horário: mlh : E V V E 0 (sentido horário, prtir do ponto ) ) 0 V 0 E V E V E V mlh : E V V 0 (sentido horário, prtir do ponto ) 0 As equções são reescrits como: Psso : A A 0 0 Como e são positivos e fluem em sentidos opos- corrente totl nesse rmo é igul à diferenç entre esss dus correntes com o sentido d de mior intensidde: Portnto: > ( A > A) no sentido oposto o de. A A no sentido de. Algums vezes não é prático desenhr todos os rmos de um circuito que formm ângulos retos entre si. O próximo exemplo demonstr prênci, provocd por vários tipos de restrições, que um prte de um circuito pode ter. O método de nálise não vri por cus dess mudnç de configurção. EXEMPLO 8. Determine s correntes nos rmos do circuito mostrdo n Figur 8.0. Figur 8.0 Exemplo 8.. Pssos e : Estão indicdos no circuito. Psso : Aplicmos lei de Kirchhoff pr tensões o longo de cd mlh: mlh : E E V 0 (sentido horário, prtir do ponto ) ) 0 mlh : V E V E 0 (sentido horário, prtir do ponto ) ) V 0 que é reescrit como: ou, multiplicndo primeir equção por, otemos: Psso : mlh é:,8 A (0,77 A),8 A 0,77 A o que nos mostr que intensidde d corrente é, A no sentido oposto (devido o sinl negtivo) n mlh.

14 50 ntrodução à nálise de circuitos Supermlhs Ocsionlmente, você descorirá fontes de corrente em um circuito sem um resistênci em prlelo. sso elimin possiilidde de converter fonte em um fonte de tensão, como exige o procedimento ddo. Nesses csos, você pode optr pel escolh de um entre dois métodos. O método mis simples e mis direto consiste n colocção de um resistor em prlelo com fonte de corrente que tem um vlor muito mis lto que os outros resistores do circuito. Por exemplo, se miori dos resistores do mis umentri ind mis precisão d respost. Você nunc vi conseguir respost ext porque o circuito foi modificdo por esse elemento introduzido. Entretnto, pr miori ds plicções, respost será suficientemente precis. Outr escolh é usr o descrito nos pssos seguir. Apesr de esse método proporcionr solução ext, ele exige lgum prátic té que se otenh proficiênci em seu uso. O procedimento é o seguinte: comece como ntes, supondo um corrente de mlh pr cd mlh independente e incluindo s fontes de corrente, como se fossem resistores ou fontes de tensão. Em seguid, remov mentlmente (redesenhe o circuito se for necessário) s fontes de corrente (sustitu por circuito erto) e plique lei de Kirchhoff pr tensões todos os cminhos independentes restntes do circuito, usndo s correntes de mlh previmente definids. Qulquer cminho resultnte, incluindo dus ou mis correntes de mlh, é definido como o cminho de um. elcione então s correntes d mlh escolhids pr o circuito às fontes de corrente independentes do circuito e resolv s equções resultntes pr oter s correntes de mlh. O próximo exemplo tornrá mis clr definição de supermlh e o procedimento usdo. EXEMPLO 8. Usndo o método ds mlhs, determine s correntes no circuito mostrdo n Figur 8.. Primeirmente s correntes de mlh são definids, como mostr Figur 8.. Em seguid, removemos mentlmente fonte de corrente, como mostr Figur 8., e plicmos lei de Kirchhoff pr tensões o circuito resultnte. O cminho único que gor inclui os efeitos ds dus correntes de mlh é chmdo de cminho de um corrente de supermlh. Aplicndo lei de Kirchhoff, temos: 0 V ou 0 O nó é então usdo pr relcionr s correntes de mlh e fonte de corrente utilizndo lei de Kirchhoff pr correntes: O resultdo é um sistem de dus equções e dus incógnits: 0 Aplicndo os determinntes, temos: E 0 V 0 ( ) ( ) ( )( ) 0( ) ( )( ) A E 0 V Figur 8. Definição ds correntes de mlh pr o circuito d Figur 8.. E 0 V A E V E 0 V E V Corrente de supermlh Figur 8. Exemplo 8.. Figur 8. Definição d corrente de supermlh.

15 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 5 e, A A N nálise nterior, pode precer que qundo fonte de corrente é removid,. No entnto, ordgem de supermlhs requer que nos finemos com definição originl de cd corrente de mlh e não lteremos esss definições qundo s fontes de corrente forem removids. EXEMPLO 8.5 Usndo o método ds mlhs, determine s correntes no circuito mostrdo n Figur 8.. As correntes de mlh são definids n Figur 8.5. As fontes de corrente são removids, e o cminho d corrente únic d supermlh é definido n Figur 8.. Aplicndo lei de Kirchhoff pr tensões o longo d supermlh, temos: V V V 0 ( A 8 8 A Figur 8. Exemplo 8.5. A 8 8 A A introdução d relção entre s correntes de mlh e s fontes de corrente: A 8 A result ns seguintes soluções: 8 0 ( A) 8(8 A) 0 e 7 A Então: e A,75 A 8 A,75 A Novmente, oserve que é necessário que você se mntenh fiel sus definições originis ds diverss correntes de mlh qundo plicr lei de Kirchhoff pr tensões o longo dos cminhos d supermlh. 8.8 MÉTODO DAS MALHAS (ABODAGEM PADONZADA) Agor que se pr o método ds mlhs foi estelecid, exminremos um técnic usd pr escrever s equções de mlh mis rpidmente e com menos chnce de cometer erros. Pr uxilir n compreensão do procedimento, o circuito do Exemplo 8. (vej Figur 8.9) foi reproduzido n Figur 8.7 com s correntes de mlh ssinlds. (Oserve que o sentido horário foi escolhido pr tods s correntes de mlh.) As equções otids são: Figur 8.5 Definição ds correntes de mlh pr o circuito d Figur Corrente de supermlh E 5 V E 0 V Figur 8. Definição d corrente de supermlh pr o circuito d Figur 8.. Figur 8.7 Circuito d Figur 8.9 redesenhdo com s correntes de rmo ssinlds.

16 5 ntrodução à nálise de circuitos que podem ser reescrits como: e expndids como: ( ) (5 0) ( ) 0 Oserve ns equções nteriores que colun é compost por um corrente de mlh multiplicd pel som dos resistores trvés dos quis pss ess mesm corrente de mlh. A colun é o produto dos resistores comuns um corrente de mlh pel outr corrente. Note que, em cd equção, ess colun é sutríd d colun. A colun é som lgéric ds fontes de tensão trvés ds quis pss corrente de mlh que nos interess. Um sinl positivo é ssocido à fonte se corrente de mlh pss do terminl negtivo pr o positivo; se corrente pss no sentido oposto, o sinl é negtivo. Esses comentários somente são válidos se for escolhido um sentido único pr tods s correntes em cd mlh, nesse cso, o sentido horário. Esss instruções podem ser estendids o desenvolvimento d seguinte ordgem pdronizd do método ds mlhs: Procedimento do método ds mlhs. Suponh um corrente de mlh pr cd mlh independente (como n seção nterior), no sentido horário.. O número de equções necessáris é igul o número de mlhs independentes. A colun de cd equção é formd pel som dos vlores d resistênci dos resistores pelos quis corrente de mlh de interesse pss, multiplicd por ess corrente.. Agor, temos de considerr os termos comuns, que, como vimos no exemplo nterior, são sempre sutrídos d primeir colun. Um termo comum é simplesmente qulquer elemento resistivo percorrido por mis de um corrente de mlh. É possível hver mis de um termo comum se corrente de mlh de interesse possuir um elemento em comum com mis de um corrente de mlh. Esse fto será demonstrdo mis dinte em um exemplo. Cd termo é o produto d resistênci em comum e d outr corrente de mlh que pss pelo mesmo elemento.. A colun à direit do sinl de iguldde é som lgéric ds tensões ds fontes de tensão trvés ds quis pss corrente de mlh de interesse. Sinis positivos são ssocidos às fontes de tensão com um polridde tl que corrente de mlh psse do terminl negtivo pr o positivo. Sinis negtivos são ssocidos às fontes pr s quis o inverso contece. 5. Solucione s equções simultânes resultntes pr oter s correntes de mlh desejds. Antes de nlisr lguns exemplos, si que, como colun à direit d iguldde é som lgéric ds fontes de tensão nquel mlh, o método pdronizdo só pode ser plicdo circuitos cujs fontes de correntes tenhm sido convertids em fontes de tensão equivlentes. EXEMPLO 8. Escrev s equções de mlh pr o circuito mostrdo n Figur 8.8 e determine corrente trvés do Psso : Conforme indic Figur 8.8, tods s correntes de mlh têm o sentido horário. Pssos : V 9 V e 9 9 com o uso de determinntes, temos: 9 9 e V 9 V Figur 8.8 Exemplo 8..

17 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 5 EXEMPLO 8.7 Escrev s equções de mlh pr o circuito mostrdo n Figur 8.9. Cd jnel está ssocid um corrente de mlh no sentido horário: não trvess um elemento em comum com. 0 V V V 0 V A som dos termos result em: não trvess um elemento em comum com. que reescritos como determinntes resultm em: c Oserve que os elementos ds digonis de e são iguis. Ess simetri em relção o eixo c será sempre verddeir pr equções escrits prtir d ordgem pdronizd. Ess é um o mneir de verificr se s equções form escrits corretmente. Agor, considerremos um circuito com pens um fonte de tensão pr demonstrr que o método ds mlhs pode ser usdo com vntgem mesmo em um circuito simples. EXEMPLO 8.8 mostrdo n Figur V 0 0 ou e 8 5 V V , A Solução d clculdor T-89: Qundo clculdor T-89 é usd, o resultdo é sequênci mostrd n Figur 8.(), o que, de mneir reduzid, prece como n Figur 8.(). Os pssos ND intermediários e de rolgem não form incluídos. Ess sequênci certmente requer lgum cuiddo n inserção dos ddos no formto exigido, ms, mesmo ssim, ind se trt de um formto simples e preciso. A expressão resultnte n Figur 8. confirm noss solução. 0 0 V V V 5 V 8 5 Figur 8.9 Exemplo 8.7. Figur 8.0 Exemplo 8.8.

18 5 ntrodução à nálise de circuitos Home ND MATH Mtrix ENTE det( ENTE ND [, (), 5 ND ; (), 0, 0 ND ; () 8, () 5, 0 ND ] ) Home ND MATH Mtrix ENTE det( ENTE ND [, (), () 8 ; (), 0, () 5 ND ; () 8, () 5, ND ] ) ENTE, () () det([,,5;,0,0;8,5,0])/det([,,8;,0,5;8,5,]) ENTE, Figur 8. Uso d clculdor T-89 pr solucionr corrente. () nserções do tecldo; () form reduzid. det det ,E0 Figur 8. Expressão resultnte pós inserção, de mneir proprid, dos ddos pr corrente. 8.9 MÉTODO DOS NÓS (ABODAGEM GEAL) Os métodos introduzidos té o momento servirm pr clculr s correntes do circuito. Agor, voltremos tenção pr o, método que fornece s tensões nodis de um circuito, isto é, tensão dos vários (pontos de junção) do circuito com o terr. O método se desenvolve trvés d lei de Kirchhoff pr correntes de mneir stnte semelhnte à qul lei de Kirchhoff pr tensões foi usd pr o método ds mlhs. Apesr de não ser um requisito, dotmos como regr fzer do terr nosso nó de referênci e designr ele um nível potencil de zero volt. Todos os outros níveis de tensão são então determindos com relção esse nível de referênci. Pr um circuito de N nós, o designr um como su referênci, temos (N ) nós, pr os quis tensão tem de ser determind. Em outrs plvrs, o número de nós pr os quis tensão tem de ser determind usndo o método dos nós é menos que o número totl de nós. O resultdo é que existem (N ) tensões nodis que precism ser determinds, exigindo que (N ) equções independentes sejm escrits pr clculr s tensões nodis. Em outrs plvrs, o número de equções exigids pr solucionr pr tods s tensões nodis de um circuito é menos que o número totl de nós independentes. Tendo em vist que cd equção é o resultdo de um plicção d lei de Kirchhoff pr corrente, lei de Kirchhoff pr corrente tem de ser plicd (N ) vezes pr cd circuito. O método dos nós, d mesm mneir que o método ds mlhs, pode ser plicdo trvés de um série de pssos cuiddosmente definidos. Os exemplos seguir explicm cd psso em detlhe. Procedimento do método dos nós. Determine o número de nós no circuito.. Escolh um nó de referênci e rotule cd nó restnte com um vlor suscrito de tensão: V, V, e ssim por dinte.. Aplique lei de Kirchhoff pr correntes todos os nós, exceto o de referênci. Suponh que tods s correntes desconhecids sim do nó cd vez que lei de Kirchhoff pr s correntes for plicd cd nó. Em outrs plvrs, não se deixe influencir pelo sentido que um corrente desconhecid poss ter tido em outro nó. Cd nó deve ser trtdo como um entidde isold, independentemente d plicção d lei de Kirchhoff pr corrente outros nós.. esolv s equções resultntes pr oter s tensões dos nós. Alguns exemplos tornrão mis clro o procedimento definido pelo psso. Será preciso lgum prátic, inicilmente, pr escrever corretmente s equções decorrentes d plicção d lei de Kirchhoff pr s correntes, ms, com o tempo, vntgem de considerr que tods s correntes deixm o nó, em vez de escolher um sentido

19 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 55 específico pr cd rmo, vi se tornr óvi. (O mesmo tipo de vntgem foi oservdo qundo considermos que tods s correntes de mlh se movem no sentido horário o plicr o método ds mlhs.) Assim como com o método ds mlhs e nálise ds correntes nos rmos, o número de circuitos serem encontrdos ness seção pode ser clculdo usndo um simples conversão de fonte. No Exemplo 8.9, por exemplo, o circuito d Figur 8. pode ser fcilmente resolvido convertendo fonte de tensão em um fonte de corrente e cominndo s fontes de corrente em prlelo. Entretnto, como oservdo no método ds mlhs e n nálise ds correntes nos rmos, esse método tmém pode ser plicdo circuitos mis complexos em que um conversão de fonte não é possível. EXEMPLO 8.9 Aplique o método dos nós o circuito mostrdo n Figur 8.. Pssos e : O circuito possui dois nós, como vemos n Figur 8.. O nó inferior foi tomdo como referênci, potencil terr (zero volt), e o outro nó como V, que é tensão do nó em relção o terr. Psso : Consider-se que e estão deixndo o nó n Figur 8.5, e lei de Kirchhoff pr correntes é plicd como segue: A corrente está relciond à tensão nodl V pel lei de Ohm: V V A corrente tmém é determind pel lei de Ohm, como segue: com: E V V V V V E Fzendo sustituição n equção d lei de Kirchhoff pr correntes, temos: V E V egrupndo os termos, temos: (0 V) A Figur 8.5 Aplicção d lei de Kirchhoff pr correntes o nó V. E V A V E V E V E ou V Sustituindo por vlores numéricos, otemos: Figur 8. Exemplo 8.9. V Ω Ω V Ω A A A E V V A V 5 Ω A V 0 V As correntes e podem ser determinds usndo s equções nteriores: (0 V) Figur 8. Circuito d Figur 8. com os nós ssinldos. V E 0 V V V Ω Ω

20 5 ntrodução à nálise de circuitos O sinl negtivo indic simplesmente que corrente possui sentido oposto o indicdo n Figur 8.5. Além disso, V 0 V Ω,7 A EXEMPLO 8.0 Aplique o método dos nós o circuito mostrdo n Figur 8.. Pssos e : O circuito possui três nós, como definido n Figur 8.7, e o nó inferior, novmente, é tomdo como referênci (no potencil terr, ou zero volt), e os outros nós como V e V. Psso : Pr o nó V, s correntes são escolhids como mostr Figur 8.8, e plicndo lei de Kirchhoff pr correntes, temos: com: então 0 V E V V V E Assim: V 8 V V E V V 0 V E V V ou 0 E e V V Sustituindo os vlores numéricos, temos: A Figur 8.8 Aplicção d lei de Kirchhoff pr correntes o nó V. V V 8 Ω Ω Ω A V 8 Ω A V 0 8 A E V Figur 8. Exemplo Pr o nó V, s correntes são ilustrds como mostr Figur 8.9, e plicção d lei de Kirchhoff pr correntes result em: V V V com V V V ou e V V V V V V E 8 V A 0 E 8 V A 0 Figur 8.7 Definição dos nós pr o circuito n Figur 8.. Figur 8.9 Aplicção d lei de Kirchhoff pr correntes o nó V.

21 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 57 Sustituindo os vlores, temos V V Ω 0 Ω Ω A Psso : O resultdo é um sistem de dus equções com dus incógnits: V V 8 Ω Ω Ω A V V Ω Ω 0 Ω A A Figur 8.50 Exemplo 8.. V V A que se torn: 0,75V 0,5V 0,5V 0,5V A A Usndo determinntes, temos: V V Como E é mior do que V, o sentido d corrente é do terr pr V, e su intensidde é igul : E V V 7, 8V,7 A 8 Ω Como o vlor de V é positivo, corrente que flui do nó V pr o terr é igul : V V 7, V 0 Ω,7 A Como V é mior do que V, o sentido d corrente é de V pr V, com intensidde igul : V V 7, 8V, 7V,7 A Ω Os resultdos de V 7,8 V e de V,7 V confirmm solução teóric. EXEMPLO 8. Determine s tensões nodis pr o circuito mostrdo n Figur Pssos e : Como indic Figur 8.5. Psso : ncluído n Figur 8.5 pr o nó V. Aplicndo lei de Kirchhoff pr correntes, temos: e A A V V V V V V Ω Ω Expndindo e regrupndo, temos: V V Ω Ω Ω A Pr o nó V, s correntes são definids como n Figur 8.5. Aplicndo lei de Kirchhoff pr correntes, temos: e V V 0 A V V V V A 0 A 0 Ω Ω Expndindo e regrupndo: V V Ω Ω Ω A eferênci Figur 8.5 Definição dos nós e plicção d lei de Kirchhoff pr correntes o nó V. V V A A eferênci Figur 8.5 Aplicção d lei de Kirchhoff pr correntes o nó V.

22 58 ntrodução à nálise de circuitos o que result em dus equções e dus incógnits: V V Ω Ω Ω A V V Ω Ω Ω A o que result em: 7 V V 7V V 8 V V V V e V V (8.) Como V é mior do que V, o sentido d corrente em é de V pr V. Seu vlor é: V V ( ) V V V Ω Ω A Pelo fto de o vlor V ser positivo, o sentido d corrente é de V pr o terr, e intensidde dess corrente é: V V V Ω A Finlmente, como V é negtivo, o sentido d corrente é do terr pr V, e é igul : V V V Ω A Supernó Ocsionlmente, você pode encontrr fontes de tensão em um circuito que não tem um resistênci intern em série que permitiri um conversão em um fonte de corrente. Em tis csos, você tem dus opções. O método mis simples e direto é colocr um resistor em série com fonte de um vlor muito pequeno comprdo com os outros elementos resistivos do circuito. Por tensão fornece um nível de precisão su respost. Entre- nível de precisão de su respost. Você nunc conseguirá um respost ext, pois o circuito foi modificdo pelo elemento introduzido. Ms pr miori ds plicções, precisão será suficientemente lt. O outro método é usr o descrito seguir. Esse método fornece um solução ext, ms exige lgum prátic ntes que se consig dominá-lo em. Comece como nteriormente, ssocindo um tensão de nó cd nó independente do circuito, incluindo cd fonte de tensão independente como se fosse um resistor ou um fonte de corrente. Em seguid, sustitu mentlmente s fontes de tensão por curtos-circuitos e plique lei de Kirchhoff pr correntes n definição dos nós do circuito. Qulquer nó que inclu o efeito de elementos ligdos somente outros nós é considerdo um supernó (pois possuirá um número dicionl de termos). Finlmente, relcione os nós às fontes de tensão do circuito e resolv s equções resultntes pr oter s tensões de nó. O próximo exemplo tornrá mis clr definição de supernó. EXEMPLO 8. Determine s tensões nodis V e V d Figur 8.5 usndo o conceito de supernó. Sustituindo fonte de tensão de V por um curto- -circuito, otemos o circuito d Figur 8.5. Emor tenhmos dito nteriormente que sustituição por um curto-circuito pode ser feit mentlmente, é prudente, no estágio inicil de prendizgem, redesenhr o circuito como foi feito n Figur 8.5. O resultdo é um supernó o qul lei de Kirchhoff pr correntes tem de ser plicd. Deixe os outros nós em seus lugres e use-os pr definir s correntes que sem dess região do circuito. Note, em prticulr, que corrente deix o supernó em V e entr no mesmo supernó em V. Portnto, el deve precer dus vezes qundo plicmos lei de Kirchhoff pr correntes, conforme mostrdo seguir: 0 E V V A A Figur 8.5 Exemplo 8.. V

23 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 59 ou Então e i o A A A A A V V A V V A Ω Ω elcionndo s tensões nodis definids à fonte de tensão, temos: V V E V o que result em um sistem de dus equções e dus incógnits: 0,5V 0,5V V V Ao fzermos sustituição, temos: V V 0,5(V ) 0,5V e 0,75V ssim V 075, e V V V, V V A corrente do circuito pode então ser determind como segue: V 0, 7V Ω V, V Ω V V 0 Ω 0 Supernó V V A A Figur 8.5 Definição do supernó pr o circuito d Figur 8.5. ( ) 0, 7V, V 0 Ω Ω 0 Ω Um exme cuiddoso do circuito no início d nálise revelri que tensão entre os terminis do resistor tem de ser V e, igul, A. 8.0 MÉTODO DOS NÓS (ABODAGEM PADONZADA) Um exme minucioso d Equção 8. no Exemplo 8. revel que tensão com suscrito ssocido o nó, o qul lei de Kirchhoff pr correntes é plicd, é multiplicd pel som ds condutâncis ligds esse nó. Oserve tmém que s outrs tensões nodis presentes n mesm equção são multiplicds pelo negtivo d condutânci entre os dois nós. As fontes de corrente são representds à direit do sinl de iguldde com sinl positivo se eles fornecem corrente o nó e com sinl negtivo se drenm corrente do nó. Esss conclusões podem ser generlizds pr incluir circuitos com um número qulquer de nós. sso permite escrever s equções nodis rpidmente e de um mneir conveniente pr o uso de determinntes. No entnto, um exigênci importnte é que tods s fontes de tensão sejm convertids em fonte de corrente ntes que o procedimento nterior sej plicdo. Note o prlelismo entre os qutro pssos seguintes e queles necessários à plicção do método ds mlhs n Seção 8.8. Procedimento do método dos nós. Escolh um nó de referênci e ssocie um vlor de tensão com suscrito os (N ) nós restntes do circuito.. O número necessário de equções pr solução é igul o número ds tensões com suscrito definido (N ). A colun de cd equção é formd pel som ds condutâncis ligds o nó de interesse, multiplicd pel tensão com suscrito ssocid o nó.. Agor, temos de considerr os termos comuns que, como vimos no exemplo nterior, são sempre sutrídos d primeir colun. É possível hver mis de um termo comum se tensão do nó de interesse possuir um elemento em comum com mis de um tensão nodl. Esse fto será demonstrdo mis dinte em um exemplo. Cd termo em comum é o produto d condutânci em comum pel outr tensão nodl ssocid à mesm condutânci.

24 0 ntrodução à nálise de circuitos. A colun à direit d iguldde é som lgéric ds fontes de corrente conectds o nó de interesse. Um fonte de corrente recee o sinl positivo se fornecer corrente um nó, e o sinl negtivo, se drenr corrente do nó. 5. esolv s equções simultânes resultntes pr oter s tensões nodis desejds. Exminemos gor lguns exemplos. EXEMPLO 8. Escrev s equções nodis pr o circuito mostrdo n Figur Psso : A figur é redesenhd com s tensões pertinentes ssinlds, como vemos n Figur 8.5. Pssos : Fornecendo corrente o nó V : Ω Ω V Ω V A Som de condutâncis conectds o nó Condutânci mútu A A e V : Ω Ω V Ω V A Som de condutâncis conectds o nó Condutânci mútu V V 7 V V EXEMPLO 8. Determine tensão entre os terminis do resistor de Convertendo s fontes e escolhendo os nós (vej Figur 8.58), temos Ω Ω Ω V Ω V A 0 Ω Ω Ω V Ω V 0, A V V V V 0, 5 o que result em: V V 8 5V 8V Fornecendo corrente o nó Figur 8.55 Exemplo 8.. V V e 8 V 5 V Ω ,0 V A A 0 8 V V V eferênci Figur 8.5 Definição dos nós pr o circuito d Figur Figur 8.57 Exemplo 8..

25 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) V V V 5 5 A V 0 0, A V V V A eferênci Figur 8.58 Definição dos nós pr o circuito d Figur Como foi demonstrdo no cso do método ds mlhs, o método dos nós tmém pode ser um técnic muito útil pr resolver circuitos com um únic fonte. EXEMPLO 8.5 Usndo o método dos nós, determine diferenç de n Figur O nó de referênci e os qutro vlores de tensão form escolhidos como mostr Figur 8.0. Lemre-se de que pr qulquer diferenç no potencil entre V e V, corrente e qued de potencil trvés de cd re- V é simplesmente metde d diferenç entre V e V, e será conhecid se esss tensões forem determinds. Por isso, não incluiremos entre s tensões nodis e redesenhremos o circuito como mostr Figur 8.. Entretnto, entend que V pode ser mntid no circuito se ssim desejrmos, cso em que teremos de usr qutro tensões nodis em lugr ds três serem otids n solução desse prolem. Temos V : V : (0 V) Figur 8.0 Definição dos nós pr o circuito d Figur V 0 V V A (0 V) Figur 8. edução do número de nós pr o circuito d Ω Ω Ω V V Ω V A 0 Ω Ω Ω Ω V V 0 Ω V 0 V : Ω Ω 0 Ω Ω V V 0 Ω V 0 que podem ser reescrits como:,v 0,5V 0,V 0 V 0,5V 0,5V 0,85V 0,5V 0,V A Figur 8.59 Exemplo 8.5. Usndo determinntes, temos: c,v 0,5V 0,V 0 0,5V V 0,5V 0,V 0,5V 0,85V 0 Antes de continurmos, oserve simetri em relção à digonl principl n equção mostrd nteriormente.

26 ntrodução à nálise de circuitos Lemre-se do resultdo semelhnte otido usndo o método ds mlhs. Os exemplos 8. e 8. tmém exiem ess propriedde ns equções resultntes. Tenh isso em mente qundo testr os resultdos de futurs plicções do método dos nós. Temos: V : V : Ω Ω Ω Ω V V Ω V 0 0 Ω Ω V Ω V 0 V V Ω, 0, , 0, 05, 0, 0, 5 0, 05, 05, 0, 0,5 0, 85,5 V e 0,5V 0,5V 0 0 0,5V 7 V V 0 0 V,5V 0 Note simetri em relção à digonl principl. A plicção de determinntes revel que: O exemplo seguir tem pens um fonte plicd um circuito em csct. EXEMPLO 8. Escrev s equções nodis e determine tensão entre Figur 8.. As tensões nodis form escolhids conforme mostr Figur 8.. Temos: V : 0 Ω Ω Ω V Ω V 0 A 0 V 9 Figur 8. Exemplo 8.. V V 8. CCUTOS EM PONTE Ess seção introduz o, um configurção que possui diverss plicções. Nos próximos cpítulos, ele será empregdo em medidores de corrente contínu e lternd. Os cursos de eletrônic introduzem os circuitos em ponte n discussão dos circuitos retificdores empregdos pr converter sinis lterndos em sinis contínuos. Diverss áres de plicção exigem certo conhecimento de circuitos lterndos; esss áres serão discutids mis dinte. O circuito em ponte pode precer em um dos três formtos mostrdos n Figur 8.. O circuito d Figur 8.(c) é tmém chmdo de treliç simétric se e. A Figur 8.(c) é um excelente exemplo de como um circuito plnr pode precer não plnr. Pr fins didáticos, exminremos o circuito d Figur 8.5 usndo o método ds mlhs e o método dos nós. O método d mlhs (vej Figur 8.) lev 0 V 0 0 V V V 0 A Figur 8. Conversão d fonte de tensão em fonte de corrente e definição dos nós pr o circuito d Figur 8.. (0 V)

27 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) () () (c) Figur 8. Vários formtos pr um circuito em ponte. V s 5 5 E 0 V V s 0 A 5 5 V (0 V) Figur 8.5 Configurção-pdrão de um circuito em ponte. Figur 8.7 Definição ds tensões nodis pr o circuito d Figur 8.5. s 5 5 E 0 V Figur 8. Definição ds correntes de mlh no circuito d Figur 8.5. e o que result em:,7 A,7 A 0 A O método dos nós (vej Figur 8.7) lev : e 0 Ω Ω Ω Ω V V Ω V A Ω Ω 5 Ω Ω V V Ω V 0 5 Ω Ω Ω V 5 Ω V Ω V Ω Ω Ω Ω V V Ω V, A Ω V V V 0 Ω Ω 5 Ω 5 Ω V Ω 5 Ω V V 0 5 Ω Ω Ω Oserve simetri d solução. Solução d clculdor T-89 Com clculdor T-89, prte superior do determinnte é indicd pel sequênci n Figur 8.8 (preste tenção os cálculos dentro dos prênteses), com prte inferior do determinnte estelecid pel sequênci n Figur 8.9. Finlmente, divisão simples n Figur 8.70 fornece o resultdo desejdo.

28 ntrodução à nálise de circuitos det([,7,/,/;0,(///5),/5;0,/5,(/5//)]) ENTE 0,5E0 Figur 8.8 Solução T-89 pr o numerdor d solução pr V. det([(///),/,/;/,(///5),/5;/,/5,(/5//)]) ENTE,E0 Figur 8.9 Solução T-89 pr o denomindor d equção pr V. 0,5/, ENTE 8,0 Figur 8.70 Solução T-89 pr V. s e V Similrmente, V e V E 0 V V V V V,7 A.7 A Como V 0 V, podemos inserir um curto no lugr desse rmo d ponte sem fetr o comportmento do circuito. (Certmente V (0) 0 V.) N Figur 8.7, um curto-circuito sustitui o resistor 5, e tensão entre os terminis de pode ser determind. O circuito é redesenhdo n Figur 8.7, e: V ( ) ( ) ( ) Ω Ω 0V Ω Ω Ω Ω Ω 0 ( V) ( 0 V) 8 9 ( ) 0 V 0V 9 5 como otido nteriormente. s E 0 V V 0 (regr do divisor de tensão) V Figur 8.7 Sustituição do rmo centrl de um ponte equilird por um curto-circuito. Figur 8.7 edesenho do circuito n Figur 8.7. Concluímos, por meio do método ds mlhs, que 0 A, o que é equivlente o circuito erto que prece n Figur 8.7(). (Certmente V/ 0 A.) A tensão entre os terminis do resistor pode ser novmente determind e comprd com o resultdo nterior. O circuito é redesenhdo pós cominr os elementos em série conforme mostr Figur 8.7(), e: Ω Ω 0V V Ω Ω Ω Ω ( )( ) ( ) ( ) Ω 0V Ω Ω Ω 8V 8V e V Ω,7 V Ω Ω 8V como nteriormente. A condição V 0 ou 0 A existe somente pr um relção prticulr entre os resistores do circuito. Agor, deduziremos ess relção usndo o circuito visto n Figur 8.7, no qul é indicdo que 0 A e V 0 V. Oserve que o resistor s do circuito d Figur 8.7 não prece n nálise seguir. Dizemos que um circuito em ponte está equilirdo (lncedo) qundo condição 0 A ou V 0 V é stisfeit. Se V 0 V (curto-circuito entre e ), então:

29 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 5 s E 0 V 0 V s E 0 V () () Figur 8.7 Sustituição do rmo centrl de um ponte equilird por um circuito erto. s E V V 0 V V 0 V Figur 8.7 Determinção d condição de equilírio pr um circuito em ponte. Figur 8.75 Método visul pr relemrr condição de equilírio. V V e ou Além disso, qundo V 0 V: V V e Se fizermos 0 A, então e, o que fz com que equção nterior se trnsforme em: Sustituindo, temos: ou, regrupndo, temos: (8.) Ess equção mostr que se rzão entre e for igul à rzão entre e, ponte estrá equilird, e 0 A ou V 0 V. Um método pr memorizr ess fórmul é mostrdo n Figur Pr o exemplo nteriormente citdo, Ω Ω Ω Ω A ênfse dd ness seção foi pr o cso de pontes equilirds. Entend que, se relção nterior não for stisfeit, hverá um diferenç de potencil no rço centrl e ele será trvessdo por um corrente. Os métodos que cmos de descrever (método ds mlhs e método dos nós) podem ser usdos pr determinr s tensões e s correntes no circuito, mesmo que ponte não estej equilird. 8. CONVESÕES Y- (T- ) E -Y ( -T) Frequentemente, pode-se encontrr configurções de circuitos ns quis os resistores não estejm em série ou em prlelo. Nesss condições, pode ser interessnte converter o circuito de um mneir em outr mis conveniente pr determinr os vlores ds tensões e ds correntes sem usr o método ds mlhs, nem o método dos nós. Dus configurções usulmente responsáveis por esse tipo de dificulddes são e, ilustrds n Figur 8.7(). Els tmém são identificds como

30 ntrodução à nálise de circuitos C B A B A C () () Figur 8.7 e, respectivmente, como indic Figur 8.7(). Oserve que o pi é representdo como um delt invertido. O ojetivo dest seção é desenvolver s equções de conversão normlmente lev um circuito que pode ser resolvido usndo técnics como s descrits no Cpítulo 7. Em outrs plvrs, n Figur 8.77, com os terminis, e c em vez d tudo que temos fzer é plicr diretmente s equções que serão deduzids seguir. O termo em vez de é enftizdo porque queremos ssegurr que ficou entendido que C B c A Figur 8.77 somente um desss configurções pode precer de cd vez entre os terminis indicdos. Nosso ojetivo (em relção à Figur 8.77) é determinr um expressão pr, e em função de A, B e C, e vice-vers, que irá nos grntir que resistênci Pr que os dois circuitos sejm equivlentes, resistênci totl entre dois terminis quisquer precis ser mesm. Considere os terminis -c n Figur ( A, B e C, e ). sso exige que tenhmos um expressão pr, e em função de A, B e C. Se resistênci entre os terminis -c tem de ser mesm de modo que: -c -c ( ) ( ) B A C c - (8.) B A C C C -c B A -c c Externo o rmo onde é feit medição -c B A c c Figur 8.78 Otenção d resistênci -c

31 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 7 Usndo mesm ordgem pr - e -c, otemos s seguintes expressões: ( ) ( ) C A B - (8.) C A B ( ) ( ) A B C e c - (8.c) A B C Sutrindo Equção 8.() d Equção 8.(), temos: ( ) ( ) C B C A A B C de modo que: A C B A A B C B A B A A B C (8.) Sutrindo Equção 8. d Equção 8.(c), temos: ( ) ( ) logo A B A C A B C B A A B C A C B A A B C o que result n seguinte expressão pr, em função de A, B e C : A B (8.5) A B C Seguindo o mesmo procedimento pr e, temos: Em seguid, dividimos Equção 8.5() pel Equção 8.5(c): ou AB A B C ( ) ( ) ( AC) ( A B C) C B Sustituindo A e B por esses vlores n Equção 8.5(c), temos: e ( ) ( ) ( ) C C ( ) C C C C ( ) ( ) eduzindo um denomindor comum, otemos: ( ) C C ( ) ( ) C (8.) Seguimos o mesmo procedimento pr B e A : A B C (8.) B C A B C (8.5) e B (8.c) e A C A B C (8.5c) Note que cd resistor de Y é igul o produto dos resistores nos dois rmos mis próximos do dividido pel som dos resistores do. Pr oter expressão necessári pr converter Equção 8.5(): ou A B A B C ( ) ( ) ( ) ( ) B C A B C A C A C Note que o vlor de cd resistor do é igul à som ds possíveis cominções dos produtos ds resistêncis do Y dividid pel resistênci do Y mis distnte do resistor ser determindo. Vmos considerr o que poderi ocorrer se todos os A B C, Equção 8.5() se trnsformri em (usndo-se pens A ): A B A B C A A A A A e, seguindo o mesmo procedimento: Portnto, em gerl: A A A A A

32 8 ntrodução à nálise de circuitos Y Δ (8.7) ou (8.8) C 0 o que indic que, pr um de três resistores iguis, o vlor de cd resistor de é igul três vezes o vlor de um dos resistores do Y um tmém terá dois elementos iguis. A conversão ds equções será deixd como um exercício pr o leitor. mostr Figur Nesse cso, eles são denomindos circuitos e, respectivmente. As equções usds pr converter um form em outr são extmente s EXEMPLO 8.7 B C A B C A C A B C A B A B C ( )( ) 0Ω 0Ω 00Ω 0Ω 0Ω 0Ω 0 0Ω 0Ω 0Ω ( )( ) 0Ω 0Ω 0Ω ( )( ) 00Ω 0 O circuito equivlente é visto n Figur Ω 0 c B Figur 8.80 Exemplo 8.7. c 0 EXEMPLO 8.8 c A 5 0 Figur 8.8 c 0 A ( 0 Ω)( 0 Ω) ( 0 Ω)( 0 Ω) ( 0 Ω)( 0 Ω) 0 Ω () C B A () Figur 8.79 c Figur 8.8 Exemplo 8.8. c

33 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) Ω. 00 Ω. 00 Ω Ω 0 Ω 0 Ω A o uso d Equção 8.8, o que result em: e B C O circuito equivlente pode ser visto n Figur 8.8. T,5,5 0,75 Figur 8.85 c EXEMPLO 8.9 Determine resistênci totl do circuito d Figur 8.8, onde A B C iguis; portnto, dois B C A B C A C A B C ( )( ) Ω Ω 8Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ( )( ) 8Ω A B ( Ω )( Ω ) 9Ω A B C Ω Figur 8.85, temos: C 80 ( )( ) ( ) ( 55, Ω )( 5, Ω ) Ω 5, Ω Ω 5, Ω T 075, Ω ( Ω 5, Ω) Ω 5, Ω 075, Ω 55, Ω 5, Ω T EXEMPLO 8.0 Determine resistênci totl do circuito mostrdo n Figur 8.8. Soluções: equções 8.7 e 8.8 podem ser usds pr converter um form em outr. ) Conversão de em Y. Not: qundo isso é feito, o ponto d' d d figur originl pens porque os sistems estão equilirdos. sso quer dizer que s resistêncis dos três rmos possuem o mesmo vlor: B 80 A 80 Δ Ω Y Ω (Figur 8.87) c c O circuito, então, será como o que se vê n Figur Temos: Figur 8.8 T C A B T d c c Figur 8.8 Exemplo 8.9. Figur 8.8 Exemplo 8.0.

34 70 ntrodução à nálise de circuitos 8. APLCAÇÕES c ( )( ) T Ω 9 Ω Ω 9Ω ) Convertendo Y em ' T ( )( ) Ω 7Ω Ω 7Ω T T T T ' 9, Ω Ω ( ) ( ) TT T T T T ( ) o que confirm solução nterior. c T d Figur 8.87 T c d, d Figur 8.88 circuito d Figur 8.8. T c Figur 8.89 Figur 8.8. Nest seção, discutiremos plicção d crcterístic d corrente constnte no projeto de sistems de segurnç, os circuitos em ponte usdos em um detector de fumç de uso residencil comum e s tensões nodis de um pont de prov lógic. Sistem de lrme com corrente constnte Os componentes ásicos de um sistem de lrme que us um fonte de corrente constnte são mostrdos n Figur Esse projeto é um versão melhord dquele presentdo no Cpítulo 5, no sentido de ser menos sensível às vrições de resistênci no circuito devido quecimento, umidde, vrições no comprimento dos fios dos sensores, entre outros ftores. O reostto de,5 e ) é justdo pr grntir um corrente de 5 ma trvés do circuito único de segurnç. O reostto justável é necessário pr compensr s vrições reltivs fios, sensores, relé, sensor e milimperímetro n resistênci do circuito. O milimperímetro foi incluído pr grntir que o vlor de corrente sej de 5 ma o se justr o reostto. Se qulquer um dos sensores rir, corrente trvés do circuito cirá pr zero, oin do relé lierrá o êmolo e o contto pssrá pr posição N/F (norml fechdo). Ess ção fech o circuito d cmpinh, fzendo sor o lrme. Pr nálises futurs, tenh em mente que s posições do contto do relé são sempre mostrds como se ele não estivesse energizdo, o que result n posição N/F vist n Figur Qundo o relé é energizdo, o contto pss ter posição indicd pel linh trcejd. Ou sej, diversos ftores, como vrição n resistênci de qulquer um dos elementos devido quecimento, umidde, entre outros, poderim fzer com que tensão plicd se redistriuísse crindo um situção de instilidde. Com um corrente justd em 5 ma, crg pode vrir, ms corrente sempre será 5 ma, e chnce de um cionmento flso é reduzid. Note que o relé é especificdo como de 5 V 5 ma, o que indic que, no estdo ligdo, tensão nos terminis d oin do relé é 5 V e corrente é 5 ma. Su resistênci intern Um sistem de lrme mis vnçdo que us um corrente constnte é mostrdo n Figur 8.9. Nesse cso, o sistem eletrônico empreg um único trnsistor, resistores de polrizção e um teri CC pr estelecer um corrente de ma trvés dos sensores em série conectdos n entrd positiv (não inversor) de um mplificdor opercionl (mp-op). Tlvez o trnsistor e o mp-op sejm dispositivos novos pr você (eles são estuddos em detlhes nos cursos de eletrônic), e por enqunto

35 elé sensor Chve d port Películ cold sore jnel Chve mgnétic 5 ma k E Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 7 N/F N/A 5 5 ma k 0 ma glvnômetro eostto 0,5 k 0 V Pr o circuito d cmpinh Figur 8.90 Sistem de lrme com corrente constnte. 5 V Chve d port 5 V ma E Películ cold sore jnel Chve mgnétic ma ma ref 5 V 7 Amp-Op LM900 Fonte de corrente constnte Síd Pr o circuito de lrme d cmpinh Figur 8.9 Sistem de lrme com corrente constnte usndo componentes eletrônicos. você só precis ser que o trnsistor está sendo usdo ness plicção como prte do projeto que estelece um corrente constnte trvés do circuito, e não como um mplificdor. O mp-pop é um componente stnte útil em diversos sistems eletrônicos, e tem importntes crcterístics determinds por um vriedde de componentes usdos em seu projeto interno. O mplificdor opercionl LM900, mostrdo n Figur 8.9, é um dos qutro mplificdores contidos em um circuito integrdo com encpsulmento DP (Dul-in-line pckge) que prece n Figur 8.9(). Os pinos,,, 7 e form usdos no projeto mostrdo n Figur 8.9. Oserve n Figur 8.9() o número de elementos necessários pr estelecer s crcterístics desejds; os detlhes serão estuddos em seus cursos de eletrônic. N Figur 8.9, fonte de tensão CC de 5 V indicd, os resistores de polrizção e o trnsistor loclizdos no cnto superior direito do esquem estelecem um corrente constnte de ma trvés do circuito. Ess prte do circuito é denomind fonte de corrente constnte porque corrente é mntid constnte em ma, ind que possm ocorrer vrições moderds n resistênci totl do circuito com os sensores em série conectdos o trnsistor. Percorrendo o cminho seguido pel corrente de ma, vemos que est entr pelo terminl (entrd positiv) do mp-op. Um segund corrente de ma, denomind corrente de referênci, é estelecid pel fonte de 5 V juntmente com resistênci entrndo pelo terminl (entrd negtiv) do mp-op. A corrente de referênci de ma é necessári pr estelecer um corrente de modo ser comprd com corrente de ma no circuito. Enqunto existir corrente de ma, o mplificdor opercionl fornecerá um síd em nível lto que excede,5 V, sendo típico o vlor de, V (de cordo com s especificções otids ds folhs de ddos do mp-op). Entretnto, se corrente do sensor cir de ma pr um nível ixo do de referênci de ma, o mp-op responde com um tensão de síd de nível ixo, cujo vlor gir, tipicmente, em torno de 0, V. A síd do mplificdor opercionl sinlizrá o distúrio pr o circuito de lrme. Oserve, prtir do que foi dito, que não é necessário que corrente do sensor ci zero pr sinlizr o circuito de lrme; st um vrição em torno do vlor de referênci que preç incomum. Um crcterístic muito importnte desse mp-op em prticulr é que su impedânci de entrd é reltiv-

36 7 ntrodução à nálise de circuitos Entlhe de referênci no encpsulmento pr identificção dos números dos pinos Entrd Entrd 0 V V Ent. Ent. Ent. Síd Síd Ent mente ix. Ess crcterístic é importnte porque não se desej que os circuitos de lrme rejm um surto (spike) de tensão ou de perturção que venh interferir no circuito dos sensores devido chvementos externos ou efeitos de forçs externs como relâmpgos. N Figur 8.9(c), por exemplo, se precesse um tensão lt n entrd d configurção em série, mior prte d tensão seri sorvid pels resistêncis em série do circuito de sensores em vez de percorrer o circuito té os terminis de entrd do mplificdor opercionl, o que evitri um síd fls e um tivção do lrme. () 00 μa 7 () V lt série 7 (c) Encpsulmento DP 5 7 Ent. Ent. Ent. Síd Síd Ent. GND VSTA SUPEO V Síd V ix ix Amp-Op Figur 8.9 Amplificdor opercionl LM900: () encpsulmento DP; () componentes; (c) efeito d impedânci de entrd ix. Detector de fumç que us ponte de Whetstone A ponte de Whetstone é um configurção de circuito populr usd sempre que é necessário detectr um pequen vrição em um grndez. N Figur 8.9(), configurção em ponte CC us um dispositivo fotoelétrico pr detectr presenç de fumç e fzer sor um lrme. Um foto de um detector de fumç comercil prece n Figur 8.9(), e su construção intern é mostrd n Figur 8.9(c). Primeiro, oserve que s pssgens de r (respirdouros) são inserids pr permitir que fumç entre n câmr ixo do plástico trnsprente. Esse plástico evit que fumç entre n câmr superior, porém permite que luz d lâmpd, loclizd n câmr superior, ricocheteie no refletor inferior té o sensor luminoso feito de mteril semicondutor (um fotocélul de cádmio) loclizd o ldo esquerdo d câmr inferior. A seprção entre s câmrs, feit pelo plástico trnsprente, grnte que luz que tinge o sensor n câmr superior não sej fetd pel entrd de fumç. sso estelece um nível de referênci pr ser comprdo com câmr n qul fumç entr. Se não houver fumç, diferenç entre s resposts ds céluls sensors será registrd como um situção norml. É clro que, se s dus céluls forem idêntics, e se o plástico trnsprente não reduzir pssgem de luz, os dois sensores estelecerão o mesmo nível de referênci, sendo diferenç entre eles nul. Entretnto, isso é um cso rro, de modo que um diferenç em relção à referênci é reconhecid como um sinl que indic usênci de fumç. Entretnto, um vez que hj fumç, hverá um nítid diferenç n reção do sensor em relção à situção norml, e o lrme será tivdo. N Figur 8.9(), vemos que os dois sensores estão loclizdos em rços opostos d ponte. Sem presenç de fumç, o reostto de juste de lncemento será usdo pr grntir que tensão V entre os pontos e sej nul e que corrente resultnte trvés d oin do relé sensor sej zero. Oservndo o relé, vemos que usênci de tensão entre e deix oin do relé sem energi, e o contto n posição N/A (lemre-se de que o contto de um relé é desenhdo sempre n posição reltiv o estdo desenergizdo). Um situção de deslncemento result em um tensão nos terminis d oin com tivção do relé e movimentção do contto pr posição N/F, fechndo o circuito do lrme e tivndo-o. elés com dois conttos e um rço móvel são denomindos relés com contto comutdor (SPDT, do inglês, single-pole-doule-throw). A fonte CC é necessári pr justr situção de lncemento, energizr lâmpd em prlelo pr que simos que o sistem está ligdo, e fornecer tensão entre e cso ocorr um situção de deslncemento.

37 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 7 Ajuste de lncemento lncemento Detector de fumç Lâmpd Fonte de limentção CC V lncemento Conector do módulo de teste LED (diodo emissor de luz) eferênci elé sensor N/F N/A Pr o circuito de lrme Tel () () Botão de teste emutido Teto efletor Célul de referênci Céluls fotocondutivs (esistênci dependente d luz plicd) Câmr de referênci Brreir opc Fonte de luz Plástico trnsprente Detector de fumç efletor Sl (c) espirdouro pr pssgem de r ou fumç Figur 8.9 Detector com ponte de Whetstone: () configurção de um ponte CC; () prênci extern; (c) construção intern. Alguém poderi perguntr por que não é usdo pens um sensor, já que su resistênci poderi detectr presenç de fumç. A respost sei-se no fto de que o detector de fumç poderi gerr um respost fls se tensão de limentção ou intensidde luminos d lâmpd vrisse. Os detectores de fumç do tipo descrito têm de ser usdos em estções de gás, cozinhs, consultórios dentários etc. em que fix de emnções de gás presente pode situr-se for d fix de tução de um detector de fumç do tipo ionizção. Digrm esquemático com tensões nodis Qundo um responsável pel mnutenção está dinte de um sistem que não funcion dequdmente de mneir prcil ou totl, um ds primeirs opções é verificr s tensões especificds no digrm esquemático. Os níveis desss tensões são n relidde s tensões nodis ordds neste cpítulo. Tensão nodl é simplesmente um termo especil pr um tensão medid prtir de um ponto em relção GND. Pr efetur ess medid, o

38 7 ntrodução à nálise de circuitos técnico fix pont de prov negtiv no terr (GND) do circuito (gerlmente o chssi) e então coloc pont de prov positiv nos pontos especificdos no circuito pr verificr s tensões nodis. Se o vlor medido for igul o especificdo, é um om sinl de que quel seção do sistem está operndo dequdmente. Se um ou mis medições não forem iguis os vlores indicdos, áre com prolem gerlmente pode ser identificd. Si que de um leitur esperd de V se s ponts de prov forem conectds dequdmente. Emor os números preçm próximos, diferenç é, n relidde, mior que 0 V. Pode se esperr lgum desvio em relção o vlor mostrdo no digrm, ms ele é sempre muito próximo do sinl resultnte d leitur. O digrm esquemático mostrdo n Figur 8.9() inclui s tensões nodis pr um pont de prov lógic usd pr medir os estdos de entrds e de síds de chips (Cs) digitis. Em outrs plvrs, pont de prov lógic indic se medid d tensão está em um dos dois estdos: lto ou ixo (frequentemente referido como on ou off, ou então ou 0). Se o terminl ENTADA LÓ- GCA d pont de prov lógic for colocdo em um pino de um C no qul tensão estej entre 0 e, V, tensão será considerd um nível ixo e o LED verde cenderá. (LEDs são diodos semicondutores que emitem luz qundo trvessdos por um corrente elétric.) Se medid de tensão estiver entre,8 e 5 V, leitur será considerd nível lto, e o LED vermelho cenderá. Qulquer tensão entre, e,8 V é considerd um tensão de flutução, e é um indicção de que o sistem que está sendo medido não está operndo corretmente. Oserve que os níveis de referênci menciondos ntes são estelecidos pelo circuito divisor de tensão no ldo esquerdo do digrm. Os mp-ops empregdos são dispositivos que presentm um impedânci lt de entrd, de form que o efeito de crg no circuito divisor de tensão pode ser ignordo, fzendo, ssim, com que o circuito divisor de tensão sej considerdo um circuito isoldo. Emor três fontes de limentção CC de 5,5 V tenhm sido indicds no digrm, si que os três pontos estão conectdos n mesm fonte de limentção. As outrs tensões fornecids (tensões nodis) correspondem os níveis de tensão que devem estr presentes no ponto considerdo em relção GND se o sistem estiver funcionndo dequdmente. Os mplificdores opercionis são usdos pr sentir diferenç entre s tensões de referênci nos pontos e e s tensões presentes n ENTADA LÓ- GCA. Qulquer diferenç resultrá em um síd com o LED verde ou com o vermelho ceso. Si que, devido à conexão diret, tensão no ponto é mesm que à esquerd, ou sej,,8 V. D mesm mneir, tensão no ponto é, V, que é comprd com s tensões nos pontos 5 e, refletindo tensão medid. Se contecer de tensão de entrd ser de,0 V, diferenç entre s tensões nos pontos 5 e será 0, V, qul idelmente precerá no ponto 7. Esse potencil ixo no ponto 7 resultri em um corrente fluindo do potencil mis lto, 5,5 V, trvés do LED verde, fzendo com que ele cendesse como indicção de um condição de nível ixo. A propósito, os LEDs, ssim como os diodos, permitem pssgem de corrente pens n direção d set que é vist em seu símolo. Oserve tmém que tensão no ponto tem de ser mior que tensão no ponto 5 pr que síd ligue o LED. O mesmo é verdde pr o ponto sore o ponto, que revel por que o LED vermelho não cende qundo um tensão de,0 V é medid. Frequentemente, é imprticável desenhr todo o circuito como mostr Figur 8.9() por existirem limitções de espço ou porque o mesmo circuito divisor de tensão pode ser usdo em outrs prtes do sistem. Nesses csos, temos de reconhecer que os pontos que têm o mesmo desenho simólico são conectdos entre si, e os números n figur revelm qunts conexões quele ponto tem. A Figur 8.9(c) mostr um foto ds prtes intern e extern de um pont de prov lógic disponível comercilmente. Note o umento n complexidde do sistem devido à vriedde de funções que pont de prov lógic reliz. 8. ANÁLSE COMPUTACONAL PSpice O circuito em ponte mostrdo n Figur 8.7 será nlisdo gor com o uso do PSpice pr nos certificr de seu estdo de lncemento. O único componente que ind não foi presentdo em cpítulos nteriores é fonte de corrente CC. El pode ser otid tivndo-se primeiro o otão e, em seguid, iliotec SOUCE. Use rr de rolgem em té encontrr opção DC. Um clique com o otão esquerdo do mouse em seguido de um clique no otão selecion fonte de corrente CC cujo sentido d corrente está voltdo pr prte de ixo. Um clique com o otão esquerdo do mouse (pr torná-l vermelh tiv) seguido de um clique com o otão direito do mouse fz precer um list contendo opção. Ao selecionr ess opção, fonte será posiciond n direção mostrd n Figur 8.7. Os componentes (prtes) restntes dess nálise que us o PSpice são fáceis de serem inseridos, e resultm no circuito mostrdo n Figur 8.95, que é funcionlmente igul o otido n nálise do circuito mostrdo n Figur

39 Cpítulo 8 Métodos de nálise e tópicos seleciondos (CC) 75 5,5 V,8 k,8 V 50 5,5 V M 50, V, k 5,5 V UA LM Alto 5,5 V 5 UB Bixo LM 7 () 0 k 5,5 V LED Vermelho 7, k LED Verde 5,5 V PT ENTADA LÓGCA,8 k,8 V 50 5,5 V M 50, V, k 5,5 V UA LM Alto 5,5 V 5 UB Bixo LM 7 LED Vermelho 7, k LED Verde 5,5 V () 0 k PT ENTADA LÓGCA C Plc LEDs de circuito impresso C esistores Cpcitores (c) Figur 8.9 Pont de prov lógic: () digrm esquemático com tensões nodis; () circuito com tods s conexões; (c) foto de um unidde comercilmente disponível A tensão entre os terminis d fonte de corrente é de 8 V positivo em relção GND, e tensão ns dus extremiddes dos rços d ponte é de,7 V. A tensão entre os terminis de 5 é ovimente 0 V pr o nível de precisão mostrdo, e corrente tem um vlor tão pequeno comprdo os outros níveis de corrente do circuito que pode ser essencilmente considerd nul. Oserve tmém que pr se ter ponte lnced, s correntes trvés de e devem ser iguis, ssim como s correntes trvés de e. Multisim Agor, o Multisim será usdo pr verificr os resultdos do Exemplo 8.8. Todos os elementos usdos n construção do digrm esquemático visto n Figur 8.9 form presentdos nos cpítulos nteriores; ssim,

40 7 ntrodução à nálise de circuitos Figur 8.95 Uso do PSpice n nálise do circuito em ponte mostrdo n Figur 8.7. Figur 8.9 Uso do Multisim n verificção dos resultdos no Exemplo 8.8.