MATEMÁTICA MATERIAL DE APOIO 2 DO ENSINO MÉDIO. Este material foi desenvolvido para o auxílio na aprendizagem de matemática.

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1 MATEMÁTICA MATERIAL DE APOIO DO ENSINO MÉDIO Este material foi desenvolvido para o auxílio na aprendizagem de matemática. Jairo Weber 0/0/0

2 MATRIZES E DETERMINANTES A ( a ). A partir da matriz ij x cujo a ij i j B ( b ) e ij x b i j, dado por ij, determine o valor de A B.. Utilizando as matrizes do exercício anterior, determine a matriz (X), tal que, A t B X. (A) (B) (C) (D) N.d.a. 6. Sendo a matriz B ( b ij ) x cujo b ij i² j determine o valor numérico da soma dos elementos da diagonal principal da matriz B. e) 8 a) b) 6 c)0 d). O termo da terceira linha e segunda coluna da matriz A ( a ij ) cujo a i j ij a)/ b) 6/6 c)0/ d)7/6 e) n.d.a.. (UPF) Na matriz A ( a ij ) x, onde a ij i j², o valor de a (A)6 (B) (C) (D) (U.F. Lavras) Seja A a ij uma matriz de i j, i j ordem x, dada por a ij. A, i j matriz pode ser escrita como. (A) (B) (C) (D) Calcule A B, sendo A e 0 B. (A) 9 8

3 (B) (C) (C) (D) 9 N.d.a. 8. Calcule (A) (B) 9 8 (C) 9 9 (D) 8 N.d.a.. 9. (PUC) Sendo A e B, então o produto A.B é igual a: (A) 6 8 (B) (D) (UFRGS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada arroz C carne salada usadas num restaurante: A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P, P, P desse restaurante: pratop C pratop 0 pratop arroz carne salada A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P,P, P A. B

4 C. D. E (UFRGS) Sendo A ( a ij ) mxm uma matriz quadrada de ordem e i² j, o determinante da matriz A (A) -. (B) -. (C) 0. (D)... (UFRGS) Se A, então A² é a matriz: (A) (B) 0 0 (C) (D) 0 0 a ij. (UFRGS) Se A é uma matriz x e deta =, então o valor de det A (A) (B) 0 (C) 0 (D) 0. A partir da matriz A ( a ij ) x cujo a ij i j e B ( b ij ) x, dado por b ij i j, determine o valor de A B. Resposta: 7 0 x. Calcule a equação x. (A). (B) -. (C) -/. (D) 0. 7/8. 6. (UFRGS) O valor de x, na equação x (A) -. (B). (C). (D). 0.

5 7. (UCS) O valor de x na equação x x x 8 a b 8. (UFRGS) Se, então a b (A). (B). (C) 6. (D) Calcule a determinante de 0 0 A. 0. (PUC) A solução da equação x 0 0. (Fuvest-SP)O valor de é : 0 (A) 0 (B) 0 (C) 0 (D) 0. (UNIBAHIA-BA) Considerando a matriz A x e det(a)=, pode-se afirmar que x x o valor de x é igual a: (A). (B) -. (C) -. (D)... (UFOR-CE) Se a matriz B ( b ij ) x é a matriz inversa de (A) b. 6 (B) b. (C) b. (D) b. b 0 A, então:. Calcule a determinante de A Calcule a determinante de 0 A SISTEMAS LINEARES.

6 6. O valor de a para que x y tenha 6x ay solução (A) a 0 (B) a (C) a (D) a N.d.a. 7. (PUC-RS) Para que o sistema x ky x y seja impossível o valor de K deve ser: (A)/ (B)/ (C)/ (D)/ / 8. (UFSM) O sistema x y terá uma x my única solução: (A)somente para m - (B)somente para m= (C)para qualquer número real. (D)somente para m = 0 para qualquer m. 9. (UFRGS) O sistema linear x y x my possível e determinado se e somente se: (A)m = (B)m = (C)m - é mx y z 0. (PUC) O sistema x y mz x y mz indeterminado, se m for igual a: (A). (B). (C). (D). 0.. (UFRGS) O conjunto das soluções (x, y, z) do sistema x y z 0 x y z 0 (A) (B) 0 ;0;0 (C) 0 ;; (D) 0 ; t; t t; 0; t / t R / t R. (UFRGS) A relação entre a e b que o x 9y a sistema seja compatível e 6x 8y b indeterminado (A)a=b/ (B)a=b/. (C)a=b (D)a=b a=b é (D)m m= 6

7 x my n. (UFRGS) O sistema admite x y infinitas soluções se, e somente se o valor de m n (A)9 (B)6 (C) (D) 0 6. A soma da terna x+y+z do seguinte sistema x y z x y z 0 x y z A. 0. B.. C.. D.. E. 7. x y z 0. (UFRGS) O sistema ax y bz 0 com a e x y z 0 b reais, é determinado se, e somente se, (A)b=-a+ (B)b -a+. (C)b=a- (D)b a- b a+. (UFRGS) A soma dos valores de x, y e z x y z 0 que verificam o sistema x y z x y z 0 (A)- (B)- (C)0 (D) 7. (UFGO) Os valores de x, y e z, nesta ordem, x y tais que y z são: x y z 7 (A)7/; -/ e / (B) / ;-/ e 7/ (C) 7/; / e -/ (D) /; 7/ e -/ -/ ; / e 7/ ANÁLISE COMBINATÓRIA. ARRANJO SIMPLES 8. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto E,,,,? (A)0 (B)60 (C)0 ( D) 89 N.d.a. 9. Uma empresa possui 6 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos três, que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha? (A)00 (B) 60 (C)00 ( D) Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta? 7

8 (A) 890 (B) (C) 890 ( D) 670 N.d.a.. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos,,,6,7,8 e 9? (A) 678 (B)80 (C) ( D) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos,,,6,7,8 e 9? (A) (B) 6 (C) 60 ( D)6 60. Quantos números impares de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos,,,6,7,8 e 9? (A) 80 (B) 9078 (C) ( D) 6. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos,,,6,7,8 e 9 que comecem com? (A) (B) 0 (C) 70 ( D)6. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos,,,6,7,8 e 9 que comecem com e terminem com 9? (A) 0 (B)0 (C)! ( D) 0 6. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos 0,,,, e? (A) (B) (C) 00 ( D) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos,,,,, e 6? (A) (B) (C)00 ( D) Quantos números ímpares com três algarismos podemos formar a partir de 0,,,,, e 6? (A) (B) (C)0 ( D) 7 PERMUTAÇÃO SIMPLES 9. Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 90 (B) 70 (C) 60 ( D) 0. Quantos anagramas, que começam com a letra S, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 0 (B)0 (C) 0 ( D)9 8. Quantos anagramas, que começam com a letra S e terminam com a letra I, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) (B) (C)6 ( D) 7 8. Quantos anagramas, que começam com uma vogal, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 0 (B) 0 (C)80 ( D)70. Quantos anagramas, que começam e terminam com vogais, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) (B) 8 (C) 6 ( D)6 0. Quantos anagramas, que começam e terminam com consoantes, podemos formar a partir da palavra TRAPO? (A) 6 (B) (C) ( D) 8. Quantos anagramas, que começam mantém as letras I e V juntas, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 0 (B) 60 (C) 0 ( D) Quantos anagramas, que mantém as letras IV juntas e nessa ordem, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 0 (B) (C) ( D) 0 7. Sem repetir algarismos, quantas senhas diferentes podemos formar com seis dígitos, 0,,,, e? (A)889 (B)990 (C) 908 ( D) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam com vogais (A) (B) (C)66 ( D) 8 COMBINAÇAO SIMPLES 8

9 9. Nove professores de matemática se candidataram a quatro vagas de um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis. (A) (B)6 (C)66 ( D) Quantos grupos diferentes de quatro lâmpadas podem ficar acesos num galpão que tem 0 lâmpadas? (A)0 (B) (C)6 ( D) Quantos subconjuntos de elementos possuem um conjunto de seis elementos? (A) (B) (C) ( D) 6. O número de combinações de n objetos distintos tomados a é. Determine n. (A) (B) (C) ( D) Quantas comissões de membros podemos formar numa assembléia de participantes? (A) (B) (C)6 ( D) Quantos produtos de fatores podemos obter com os divisores naturais do número? (A) (B) (C) ( D)8 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 6. Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra URUGUAI? (A)80 (B) (C) ( D) Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra URUGUAIANA? (A)08870 (B)990 (C)000 ( D) Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PÁSSARO? (A) 0 (B)09 (C)890 ( D) Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra ARARA? (A) (B) (C) ( D) A partir da palavra AMADA, o número de anagramas formado (A) 0 (B)0 (C) 0 ( D) 0 60 NÚMEROS BINOMIAIS Dado o número binomial, temos: 8 a)90 b)80 c)80 d)0 e)n.d.a. 7. Dado o binômio x, determine o polinômio que representa sua solução: 7. O termo dependente desenvolvido a partir de x 7 x do polinômio a) 6 b)8 c)0 d) e) 7. O termo independente de x 6 a) b) - c) d)- e)n.d.a. 7. O quarto termo T() do polinômio que resulta de a) 80x b) e)n.d.a. x 80x c) 80x d) 80x 9

10 7. O termo que representa x³ dado a partir do binômio x Calculando o coeficiente numérico do termo 8 x do polinômio dado a partir da resolução do binômio 9 x, temos: a) 0 b)0 c)0 d)0 e)n.d.a 77. Determine o coeficiente numérico de x² dado na expressão que resulta de x : A. B. - C. D. E. n.d.a. POLINÔMIOS 78. (UFGRS) O polinômio (m² - )x³+(m-)x² - (m+) é de grau se, e somente se, (A) m= - (B) m= (C) m = ± (D) m m (UFRGS) O valor de a para que a x a² a x³ ax² x seja um polinômio do º grau na variável x (A) - (B) - (C) 0 (D) 80. (UFRGS) Se P(x) = x²+x-7, então P(-) vale: (A) -6 (B) -7 (C) 0 (D) 8. (UFRGS) O polinomio P(x) do º grau tal que P()= e P(-)= (A) x+ (B) x+ (C) x+ (D) x+ x 8. Dado o polinômio P x x x x x, então P(-); P() e P(-), respectivamente são: (A) -; ; 9 (B) -; - ; 9 (C) -; ; -9 (D) ; ; 9 -; - ; A partir do polinômio P x x x x x,então P (A) 6 (B) 6 (C) 6 (D) N.d.a. 8. Dado o polinômio p ( x) x x x, calculando p (), obteremos: A. B. C. D. E. N.d.a. 8. Calcule a e b de modo que os polinômios sejam idênticos P(x) = (a +6)x³ + (b-)x² e Q(x)=x³+x². Resp. - e. 86. Dados os polinômios A ( x) x² x 6 e B ( x) x³ 6x 0, dê o que se pede: 0

11 a) A( x) B( x). Resp. x ³ x² x b) A( x) B( x). Resp. x ³ x² x 6 c) B( x) A( x). Resp. x ³ x² x 6 d) A( x) B( x). Resp. x x 8x³ 0x² 86x Dê o quociente e o resto da divisão de p ( x) x x x 9 por g( x) x x. 96. Determine o valor do resto da divisão entre p ( x) x x x e g ( x) x, usando o teorema do resto. 87. Sendo os polinômios P ( x) x x x x e Q ( x) x x x, calcule o valor numérico de P() Q( - ). (A) 8 (B) (C) 8 (D) 90 n.d.a. 88. Considere os polinômios P( x) x³ x, Q ( x) x 6x³ x² x e calcule: a) P (x) ². Resp. x 6 x x ² b) P ( x). Q( x). Resp. 7 6 x 6x x x x x² x 89. Obtenha o quociente e o resto de cada divisão abaixo: 90. A ( x) x² x por B ( x) x 9. A ( x) x³ x² x 0 por B ( x) x 9. A ( x) x³ 9x² x 6 por B ( x) x² 9. A ( x) 7x² 8 por B ( x) x 9. A( x) x x² x por B ( x) x² 97. (UFRGS) A divisão de P(x) por x²+ tem quociente x- e resto. O polinômio P(x) (A) x²+x- (B) x²-x- (C) x²+x (D) x³-x²+x- x³-x²+x- 98. (UFRGS) Na divisão do polinômio A(x)=x³+x²-0x+8 pelo binômio x-, obteve-se o quociente Q(x). As raízes da equação Q(x)=0 são: (A) 0 e (B) - e 0 (C) - e (D) - e - e 99. Encontre o quociente da divisão do polinômio x 6x² x 6 pelo binômio x +. Este exercício pode ser resolvido pelo dispositivo de Briot-Ruffini. 00. (UFRGS) O quociente da divisão de x³+x- por x- (A) x²+x-9 (B) x²+x+ (C) x²-x+ (D) x²+x- x²+x+9

12 0. Calcule através do dispositivo de Briot- Ruffini o quociente e o resto da divisão de p ( x) x 8x x 6 por g ( x) x. 0. Determinar o valor de k, de modo que a divisão do polinômio A ( x) x² x pelo binômio x+k seja exata. 0. Determinar, usando o dispositivo Briot- Ruffini, o quociente e o resto da divisão do polinômio A ( x) x³ x² 8 por B ( x) x 0. (UFGRS) Uma das raízes do polinômio x³ x² 9x 8 0é -. A soma das outras raízes (A) - (B) - (C) 0 (D) 0. O polinômio representado no gráfico abaixo (A) x³ x² x (B) x³ x² x (C) x³ x² x (D) x³ x² x N.d.a. 06. (UFGRGS) Considere o gráfico abaixo. Esse gráfico pode representar a função definida por: (A) x³ x² 0 (B) x³ x² x 0 (C) x x³ 0x (D) x x x 0 x x x² 0x 07. (Unicruz) Uma equação algébrica possui como raízes os valores, e. Esta equação (A) x³ x² x 0 (B) x³ x² x 8 0 (C) x³ x² x 0 (D) x 9x 6x 0 x x² x (UFRGS) O resto da divisão de x³+ax²x+a por x- é. O valor de a é; (A) 0 (B) (C) - (D) (UFRGS) Para que o polinômio P(x) = x²+(a-b)x-a seja divisível por x-, a e b devem satisfazer: (A) a qualquer número real e b =. (B) a= e b qualquer numero real (C) somente para a= e b=. (D) somente para a=0 e b= a e b qualquer valor real. TRIGONOMETRIA. 0. Um papagaio é empinado por um garoto através de um barbante de 0m, com o sol a pino a sombra do papagaio é projetada a uma

13 distância de 0 m do garoto exatamente abaixo dele, calculando a altura do papagaio, teremos: a)0m b) 0m c) 0m d)m e) N.d.a.. Uma escada de 0m está encostada no topo do prédio formando, com o chão, um ângulo de 60. A altura do prédio é aproximadamente: a)m b)m c)m d)m e)n.d.a.. Para que a caçamba de um caminhão basculante com,m de comprimento inclinese formando um ângulo de, é necessário que o hidráulico erga o outro lado, em m: a),7 b),0 c),0 d), e)n.d.a.. Um navio se aproxima da costa e avista uma torre luminosa através de um ângulo de 0, o capitão sabe que a torre está a 00 m do nível do mar, fazendo alguns cálculos é possível afirmar que o navio está distante da costa, aproximadamente: a)0m b)m c)0m d)9m e)0m. Um homem postado à 0m de uma torre avista seu topo com um ângulo de 60. Qual é a altura aproximada dessa torre a partir da cabeça do observador? a)0,m b),m c)8,9m d)7,m e)n.d.a.. (PUC) De acordo com a figura, x, em cm, é igual a 6. Um observador vê a torre vertical CD sob um ângulo 0º e caminhando ate B passa a vê-la sob um ângulo de 60º. Sendo AB=0m, a altura da torre e a distancia entre a torre e o observador, posicionado em B, devem ser, respectivamente. (A) h=m e d=0m (B) h= 0 m e d m (C) h 0 m e d 0m (D) h=0m e d=0m h=0m e d=0m 7. Associe as colunas contendo ângulos correspondentes: a) ( ) rad b) 7 ( ) rad c) 6 ( ) rad d) ( ) rad e) 600 ( 0 ) rad f) 60 ( ) rad g) 0 ( ) rad (A) (B) 0 (C) (D) O arco de 80 equivale a: (A) 0 (B) 0 (C) 90 (D) 00 90º 9. O arco de 9 :

14 (A) Está situado no º quadrante e é côngruo à 8 (B) Está situado no º quadrante e é côngruo à 0 (C) Está situado no º quadrante e é côngruo à (D) Está situado no º quadrante e é côngruo à N.d.a. 0. O arco -7º é côngruo à: a) 0 b) 00 c) 0 d) O arco de : a) Está situado no º quadrante. b) Está situado no º quadrante e é côngruo a 0 c) Está situado no º quadrante e é côngruo à d) Está situado no º quadrante e é côngruo à O arco de : a) Está situado no º quadrante. b) Está situado no º quadrante e é côngruo a c) Está situado no º quadrante e é côngruo à d) Está situado no º quadrante e é côngruo à 60. Do arco a) b) e e, temos seno e cosseno: c) e d) e. Usando as primeiras relações 9 trigonométricas podemos afirmar que sen : a) b) c) cos tg sen d) cos. sen0 é igual a: a) Cosseno de 0 b) Cosseno de 60 c) Tangente de 0 d) Tangente de (PUC) O valor de sen 00 A. / B. -/ C. D. -/ E. N.d.a. 7. O valor numérico de sen0º cos60 tg a) b) c) d) 8. O valor numérico de (cos 0 )² ( sen0)² a) b) c) d) 9. O valor numérico de (cos 60)² ( sen 60)² a) b) c) d)

15 0. Qual o valor numérico de sen² cos ²? A. B. C. D. E.. Qual o menor ângulo entre os ponteiros do relógio quando marca hmin? 0. Qual o valor numérico de cos cos cos? sen. cos8. O valor de (sen 80 )² + (cos 0 )² (tg 0 )². Um garoto tem como tema de aula descobrir o menor ângulo entre os ponteiros no relógio municipal exatamente as 7hmin. O que o menino deve responder? a. Que é maior de 0. b. Que é exatamente 0 c. Que é exatamente. d. Que é maior que e menor que 0 e. Que é menor que.. Qual a medida do maior ângulo entre os ponteiros do relógio ao marcar 9h0min? 7. Qual o ângulo que equivale a rad?. O ângulo rad equivale a: 6. Qual o valor numérico da expressão : sen 60 + sen0 - sen 70. A. B. C. D. E Qual o valor numérico da expressão : cos80 -. Cos780 -/cos0. A. - B. - C. 0 D. - E Qual o valor da expressão: cos8 cos cos? Resposta: cos.cos 9. O valor da expressão cos 0 + sen 00 - tg - cos 90 Resposta: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. A função que melhor representa o gráfico a. y senx b. y. senx / c. y senx d. y. senx e. y senx

16 . A função que melhor representa o gráfico. A função que melhor representa o gráfico a. y. senx / b. y senx c. y senx d. y. senx e. y senx. A função que melhor representa o gráfico a. y. senx / b. y senx c. y senx d. y. senx e. y cos x 6. A função que melhor representa o gráfico a. y senx b. y senx (A) y.cosx / c. y senx d. y. senx e. y. senx / (B) (C) (D) y y cos cos x y.cos x y cos x x 6

17 . A função que melhor representa o gráfico d. Im=[;] e p=π e. Im=[;] e p=π TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen( a b) sen a. cos b sen b. cos a sen( a b) sen a. cos b sen b. cos a a. y senx b. y. senx / c. y. senx d. y senx e. y senx. A função que melhor representa o gráfico (A) y.cosx / (B) (C) (D) y cos x y cos x y.cos x y cox. A função y senx tem como característica: a. Im=[-;] e p=π b. Im=[-;] e p=π c. Im=[-;] e p=π d. Im=[-;] e p=π e. Im=[-;] e p=π 6. A função y senx tem como característica: a. Im=[;] e p=π b. Im=[-;] e p=π c. Im=[-;] e p=π cos( a b) cos a. cos b sen a. sen b cos( a b) cos a. cos b sen a. sen b tg a tg b tg( a b) tg a. tg b tg a tg b tg( a b) tg a. tg b 7. Exemplo Determine o valor de sen(7 ): 6 resp. sen(7 )= 8. Calcule tg7. a. b. 6 c. 6 d. 6 e Calcule cos( ). a. b. c. d. e

18 0. Utilizando as fórmulas da adição, determine sen a. b. c. d. e.. O valor de cos 6. a. b. c. d. e Qual o valor de sen(0 ): Sugestão (0 =80 +0 ). a. -/ b. / c. / d. -/ e.. sen( x) é o mesmo que: a. Senx b. senx c. Cosx d. cos x e. tgx. sen( x) é o mesmo que: a. sen(x) b. sen(x) c. cos(x) d. cos(x) e. n.d.a. FÓRMULAS DA MULTIPLICAÇÃO. sen( a). sen a. cos a cos( a ) cos ² a sen² a tg a tg a tg a tg(a) tg( a a) tg a. tg a tg² a. Sendo sen ( a), com 0 a, calcule sen(a): a. /. b. 0/ c. / d. / e. / 6. Sendo sen ( a), com 0 a, calcule cos (a): a. /. b. -7/ c. / d. -/7 e. 7/ 7. Sendo sen ( a), com 0 a, calcule tg(a): a. /. b. -7/ c. / d. -/7 e. 7/ 8. Sabendo que sen(a)=/, calcule sen(a): a. b. 8

19 c. d. e. 9. Dado cos a =, determine o valor de DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. São Paulo, Ed. Atica, 00. IEZZI, Gelson [et al.].matemática: ciência e aplicações. São Paulo, Atual, 00. UNIFICADO: pre-vestibular. In: acessado em 00. cos(a): a. b. c. d. e. 0. Dado tg(x)=/, calcule tg(x): a. / b. / c. / d. / e. /. Usando a afirmação anterior, tg(x)=/, calcule cotg(x): a. / b. / c. / d. / e. /. Sabe-se que cos(x) =/, com 0<x<90. Nessas condições calcule o valor numérico da soma cosx+senx: (A) / (B) / (C) / (D) / / Referências Bibliográficas: GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática Completa: ensino médio: volume único. São Paulo, FTD, 00. KOLB, Carlos Walter. Matemática. Curitiba, Ed. Positivo,