APLICAÇÃO E PERFORMANCE DA ANÁLISE DE INTERVENÇÃO EM SÉRIES MACROECONÔMICAS BRASILEIRAS ADRIANO MENDONÇA SOUZA

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1 APLICAÇÃO E PERFORMANCE DA ANÁLISE DE INTERVENÇÃO EM SÉRIES MACROECONÔMICAS BRASILEIRAS ADRIANO MENDONÇA SOUA

2 ADRIANO MENDONÇA SOUA APLICAÇÃO E PERFORMANCE DA ANÁLISE DE INTERVENÇÃO EM SÉRIES MACROECONÔMICAS BRASILEIRAS MONOGRAFIA DE ESPECIALIAÇÂO Sn Mr, RS, Brsl 99

3 APLICAÇÃO E PERFORMANCE DA ANÁLISE DE INTERVENÇÃO EM SÉRIES MACROECONÔMICAS BRASILEIRAS Por ADRIANO MENDONÇA SOUA Monogrf presend o Curso de Pós-Grdução em Esísc e Modelgem Qunv, d Unversdde Federl de Sn Mr (RS), como requso prcl pr obenção do gru de Especls em Esísc e Modelgem Qunv. Sn Mr, RS, Brsl 99

4 v UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA E MODELAGEM QUANTITATIVA APLICAÇÃO E PERFORMANCE DA ANÁLISE DE INTERVENÇÃO EM SÉRIES MACROECONÔMICAS BRASILEIRAS ELABORADO POR ADRIANO MENDONÇA SOUA COMO REQUISITO PARCIAL PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ESPECIALISTA EM ESTATÍSTICA E MODELAGEM QUANTITATIVA COMISSÃO EAMINADORA: Mr Emíl Cmrgo Rmchndrn Rdhrmnàn Angel Pellegrn Ansuj Mrl Goebel Sn Mr, 0 de goso de 99.

5 v AGRADECIMENTOS Não poder dexr de regsrr qu mnh grdão os professores e colegs, pos eses form fundmens no decorrer des ep. À mnh mg e professor Mesr Mr Emíl Cmrgo gosr de grdecer pel su dedcção, clrez, sbedor e segurnç com que me orenou durne relzção des monogrf. A odos os professores do curso de Especlzção em Esísc e Modelgem Qunv e os membros d bnc exmndor. Aos colegs, que ns hors ms dfíces d cmnhd se mosrrm presenes, ornndo ms grdável. Em especl meus ps, pelo ncenvo e poo que sempre souberm me dr.

6 v RESUMO APLICAÇÃO E PERFORMANCE DA ANÁLISE DE INTERVENÇÃO EM SÉRIES MACROECONÔMICAS BRASILEIRAS Auor: Adrno Mendonç Souz Orendor: Mr Emíl Cmrgo No presene rblho fo desenvolvd fundmenção eórc sobre nálse de nervenção, bem como um survey sobre s plcções fes em séres res. Form nlsds s séres represenvs dos gregdos moneáros nos conceos M, M, M, M4 e índce de produção ndusrl, como o objevo de mosrr robusez dos modelos com nervenção. Os modelos com nervenção enconrdos presenrm um melhor sgnfcv em relção os modelos sem nervenção, bem como deecrm s nfluêncs dos choques econômcos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA E MODELAGEM QUANTITATIVA Auor: Adrno Mendonç Souz Tíulo: Aplcção e performnce d nálse de nervenção em séres mcroeconômcs brslers Monogrf de Especlzção em Esísc e Modelgem Qunv. Sn Mr, 0 de goso de 99.

7 v SUMÁRIO RESUMO...v LISTA DE FIGURAS...x LISTA DE TABELAS...x LISTA DE QUADROS...x - INTRODUÇÃO... - MATERIAL E MÉTODOS Objevos.... Plno de Trblho... - REVISÃO DA LITERATURA DEFINIÇÕES E CONCEITOS BÁSICOS Sére emporl Processo esocásco Processo esconáro Processos homogêneos Ruído brnco Processo ergódgo Modelo Análse dos componenes báscos de um sére emporl Tendênc (T) Cclo (C) Szonldde (S) Erro (E ) MODELOS UNIVARIADOS consrução dos modelos unvrdos de Box-Jenkns Modelo méds móves (MA) Modelo uorregressvo (AR) Modelo uorregressvo-méds móves (ARMA) Modelos não esconáros (ARIMA) Verfcção d vldde dos modelos rvés de eses esíscos Sobrefxção Tese de comprção ds uocorrelções Tese de uocorrelçâo resdul Tese de Box & Perce (Poremneu ese) Tese de correlção cruzd Tese do perodogrm cumuldo Aplcção do ese Análse de séres dos resíduos...

8 v 5.- Esmção dos prâmeros Prevsão pr modelos unvrdos MODELOS DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Modelos de função de rnsferênc dscre ANÁLISE DE INTERVENÇÃO Modelos dnâmcos pr nervenção Efeo9s de nervenção Esruur de função de rnsferênc Esmção e ese do efeo de nervenção Processo ervo Modelo lner gerl Efeos de nervenção no modelo ARIMA Trnsformçâo do modelo ARIMA no modelo lner gerl Inclusão do efeo de nervenção no modelo rnsformd APLICAÇÃO DA METODOLOGIA A SÉRIES REAIS Análse de sére de meos de pgmenos M Análse de sére de meos de pgmenos M Análse de sére de meos de pgmenos M Análse de sére de meos de pgmenos M Análse de sére do índce de Produção ndusrl CONCLUSÃO BIBLIOGRAFIA

9 x LISTA DE FIGURAS FIGURA - Processo esocásco nerpredo como um fmíl de rjeórs...8 FIGURA - Represenção d endênc em um sére emporl...0 FIGURA - Represenção do cclo em um sére emporl...0 FIGURA 4- Represenção d ocorrênc de szonldde num sére emporl... FIGURA 5- Esquem lusrvo dos modelos unvrdos... FIGURA 6- Fluxogrm do cclo ervo de Box & Jenkns... FIGURA 7- Compormeno ds funções de uocorrelção e uocorrelção prcl de um modelo MA ()...4 FIGURA 8- Compormeno ds funções de uocorrelçâo e uocorrelção prcl de um modelo AR ()...5 FIGURA 9- Gráfco do perodogrm cumuldo... FIGURA 0- Represenção de um ssem dnâmco...7 FIGURA - Represenção de um modelo dnâmco... FIGURA - Gráfco d vrção percenul d sére de meos de pgmeno M...54 FIGURA - Sére orgnl dos resídu de M...57 FIGURA 4- Perodogrm cumuldo dos resíduos de M...58 FIGURA 5- Sére orgnl d vrção percenul de M...59 FIGURA 6- Sére orgnl dos resíduos de M...6 FIGURA 7- Perodogrm cumuldo dos resíduos de M...6 FIGURA 8- Sére orgnl d vrção percenul de M...64 FIGURA 9- Sére orgnl dos resíduos de M...67 FIGURA 0- Perodogrm cumuldo dos resíduos de M...68 FIGURA - Séres d vrção percenul de M4...69

10 x FIGURA - Sére orgnl dos resíduos de M4...7 FIGURA - Perodogrm cumuldo dos resíduos de M4...7 FIGURA 4- Gráfco d sére orgnl do índce d produção ndusrl...74 FIGURA 5- Sére orgnl dos resíduos do índce d produção Indusrl...77 FIGURA 6- Perodogrm cumuldo dos resíduos d sére do índce d Produção Indusrl.78

11 x LISTA DE TABELAS TABELA - Prâmeros d sére M...54 TABELA - Inervenções fes sére M...55 TABELA - Prâmeros d sére M com nervenção...55 TABELA 4- Prâmeros d sére M...60 TABELA 5- Inervenções fes sére M...6 TABELA 6- Prâmeros d sére M com nervenção...6 TABELA 7- Prâmeros d sére M...65 TABELA 8- Inervenções fes sére M...66 TABELA 9- Prâmeros d sére M com nervenção...66 TABELA 0- Prâmeros d sére M TABELA - Inervenções fes sére M TABELA - Prâmeros d sére M4 com nervenção...7 TABELA -Relção enre meos de pgmeno e o PIB no período de TABELA 4- Prâmeros d sére do índce d Produção Indusrl...75 TABELA 5- Inervenções fes séres do índce de Produção ndusrl...76 TABELA 6- Prâmeros d sére do índce de Produção...76

12 x LISTA DE QUADROS QUADRO - Efeos de Inervenção...6 QUADRO - Esruur d Função de rnsferênc...40

13 INTRODUÇÃO No decorrer de nosss vds conecem fenômenos que vrm com o empo e o homem en nls-los pr explcr lguns conecmenos fuuros. A eses ddos que vrm com o empo e represenm lgum crcerísc do fenômeno chmmos de sére emporl. Anls-se os ddos de um sére emporl com o objevo de prever, prognoscr ou conrol de lgum form o processo. WILLIAN PLAYFAIR (8), fo um dos prmeros presenr rblhos onde precem ddos relcondos com o empo, sobre sução críc d grculur dos Esdos Undos. Por vol do século I, os fenômenos que ocorrem no empo erm rdos de form deermnísc, só no fm do século é que ulzou-se modern eor esísc, lnçndo-se mãos dos conhecmenos memácos, crndo-se os modelos esíscos que hoje usmos. Muos modelos form usdos, ms n úlm décd os ms populres são os modelos ARIMA, do qul mor dos ouros modelos são pens csos prculres. Box & Jenkns, crrm um esruur erv pr o modelo, o qul é crdo com bse nos ddos d própr sére. Algums vngens n ulzção dos modelos Box & Jenkns são: ) O modelo é escolhdo denro de um grnde vredde de pos; b) A escolh é bsed no própro compormeno ds observções d sére; c) O modelo é prcmonoso quno o de prâmeros d) As observções obds são ms precss. Denre s desvngens, de mor relevânc é deermnção do modelo de prevsão, pos, em sdo o mor obsáculo o seu uso, dependendo d perspcác e experênc do usuáro. A áre de nálse e prevsão de séres empors, é um cmpo bem defndo denro d esísc, que começou o seu desenvolvmeno e prmormeno n décd de 70, devdo publcção de esudos feos n époc por Box & Jenkns (970) e ese rblho chmou muo enção dos esíscos. Quse que no mesmo no surge o ldo Byesno de prevsão, proposo por Hrrsom e Sevens em 97. Assm, no o ldo clássco como o ldo Byesno, durne od décd de 70, como é nossos ds esão sendo melhordos com conseqüenes mplemenções meodológcs, sugerds pel plcção rel deses méodos. Mus lernvs meodológcs form desenvolvds no domíno do empo e no domíno d freqüênc, prov dso pode ser vs em Mkrdks e ll (98), onde são mosrdos ms de 4 méodos de prevsão, mor pós 970.

14 Sbe-se que prr de um sére emporl pode-se relzr fuurs prevsões bseds em seus ddos hsórcos, ms por ouro ldo sbe-se que fenômenos for d normldde como geds, empesdes, nundções, secs, greves, mudnçs polícs, choques econômcos, guerrs e ouros nos podem lerr o seu curso norml de desenvolvmeno, fendo ssm o esudo d sére e sus prevsões. Ao relzr-se o esudo de um sére crmos um modelo que represene ods s sus crceríscs báscs. No momeno de relzr-se s projeções d sére deve-se nformr o modelo se exse ou não lgum eveno exerno, como os cdos cm que rão nfluencr ou não sére. A es nformção dconl, possível nos modelos ARIMA, chm-se de nervenção, que ndc o período em que o eveno exerno ocorreu, nclundo no mesmo o seu efeo. Inervndo ssm n sére, consegur-se-á um ulzção dos ddos, ou melhor, um prevsão com mor proxmdde d reldde.

15 MATERIAL E MÉTODOS.-OBJETIVOS ) Esudr eor de Análse de Inervenção, pr fuurs prevsões; b) Conceur e crcerzr o esudo de Inervenção em séres empors; c) Aplcr meodolog desenvolvd às séres res: - Meos de pgmeno M: ppel moed em poder públco ms depósos à vs. - Meos de pgmeno M: M ms íulos feders. - Meos de pgmeno M: M ms depósos de poupnç. - Meos de pgmeno M4:M4 ms depósos przo. - Índce d produção ndusrl..- Plno de rblho N prmer pre, dá-se um vsão gerl sobre os modelos ARIMA e seus csos prculres, em segud, rblh-se com Função de Trnsferênc e por fm mosr-se eor d Análse de Inervenção, seus pos e os procedmenos pr esmá-los e esá-los.

16 4 REVISÃO DE LITERATURA TIAO, BO E HAMMING (975), ulzrm nálse de nervenção pr os ddos referenes polução de Los Angeles no período de jnero de 955 dezembro de 97. Com ese esudo consrm que os ms séros problems que cusrm rrções oculres e pulmonres, não são cusdos por poluenes prmáros, como o ozôno, ms sm de reções fooquímcs enre lguns poluenes prmáros. HIPEL e ll (974), esudrm vzão méd nul do Ro Nlo, em Assu, Ego, de ouubro de 870 ouubro de 945. A prmer brrgem fo ermnd em 90 e o reservóro fo enchdo pel prmer vez em 90 e 90. A consrução d repres cusou um qued de cerc de % n vzão méd do ro. Ulzou-se rnsformção logrímc dos ddos e esmrm dos modelos de nervenção e os uores chegrm conclusão que houve efeo sgnfcvo n consrução d repres e do enchmeno do reservóro sobre vzão do ro. Mosrndo mbém que é de grnde vl nálse de nervenção em recursos hdrológcos. SABOIA (976), ulzou nálse de nervenção pr esudr o efeo d qued no pdrão de vd sobre o índce de morldde nfnl no muncípo de São Pulo. Enre 90 e 96 houve um decréscmo cenudo n morldde nfnl. Fo consdo que mor dos óbos de crnçs menores de um no ocorre em fmíl de bxo poder qusvo que dependem somene do sláro mínmo. HIPEL, Mc LEOD e BEAS (977), esudrm vzão mensl do ro Souh Sskchewn, em Sskoon, Cndá, de jnero de 94 dezembro de 974. Os pdrões de vzão do ro form lerndos em jnero de 969 com enrd em operção d repres Grdner. Conclu-se que operção d repres feou sgnfcvmene s vzões méds do ro.há mbém, umenos sgnfcvos n vzão de novembro mrço. Os uores sugerem, nd que nálse de nervenção pode vr ser ulzd pr verfcr os efeos de mudnç no uso de err, como crescmeno urbno, refloresmeno, consrução e operção de repress, cns de desvos e ours, sobre os pdrões de vzão de ros. PACK (977), ulzou nálse de nervenção pr esudr sére de vends de um cero remédo no período de jnero de 954 junho de 960, num ol de 78 observções. LEDOLTER e l (978), nlsrm polução de New Jerse no período de jnero de 97 junho de 977. Os ddos referm-se medções horárs d concenrção de monóxdo de crbono (CO) em see locs. NEVES e FRANCO (978), esudrm o efeo do depóso compulsóro, nsuído em 976, sobre o movmeno mensl de pssgeros ds lnhs éres enre Brsl e Europ, de jnero de 970 mrço de 978. Ulzou-se rnsformção Box & Cox dos ddos, pr elmnr heerocedscdde, so é, vrção do desvo pdrão d sére o longo do empo.

17 5 Pr nlsr o efeo d nervenção, os uores denfcrm e esmrm um modelo ARIMA (,0,0) x (0,,), pr s observções nerores el. Com esse modelo fzerm prevsões pr os meses segunes, verfcndo que, com exceção do mês de junho de 976, os vlores prevsos, conclundo que o efeo d nervenção fo sgnfcvo, nd que relcondo ours vráves econômcs. BHATTACHARYYA E LAYTON (979), ulzrm nálse de nervenção pr verfcr efcác d legslção sobre o uso do cno de segurnç n dmnução do número de pessos mors em cdenes ns esrds de Queenslnd, no período de Inroduzuse no modelo um sére de peróleo, como medd de volume de vddes de rânso ns esrds, concluu-se que legslção eve efeo muo sgnfcvo sobre o número de mores em cdenes. D ASTONS e HIPEL (979), esudrm ddos de quldde d águ em dos locs do Grnd Rver, em Onáro, Cndá. Os ddos são méds menss de concenrção de fósforo em mlgrms por lro, omds bxo ds usns de rmeno de esgoos. Ulzou-se séres de jnero de 970 dezembro de 976. A nálse de nervenção é ulzd pr esudr cpcdde de um processo convenconl de rmeno reduzr os níves de fósforo n águ. Os uores concluem que nrodução do rmeno eve efeo sgnfcvo, dmnundo s concenrções de fósforo nos locs de esudo. PINO e MORETTIN (98), prevsão ds séres de produção e produvdde de lee e cfé, explcds por efeos, dversos s como bolção d escrvur, guerrs munds, geds, polícs governmens ec. Eses efeos são rdos n modelgem como séres explcvs consuíds de um seqüênc bnár de e 0, correspondendo à exsênc ou não dos fenômenos respecvos. N lerur, ese po de écnc é conhecd como Análse e Inervenção e s séres bnárs correspondenes de séres de nervenção. BELL (98) descreveu um ron de progrm compuconl pr denfcr rês pos de oulers pr seres empors. Esses oulers podem ser represendos como vráves de nervenção d form: mpulso, degru e mpulso szonl. CAMARGO e l (985), mosrm meodolog de Box jenkns, e desenvolvem-se um modelo de nervenção pr nlsr o compormeno do crescmeno econômco e do processo nflconáro no período de jnero de 965 e dezembro de 98, ulzndo-se s xs de crescmeno do Produo Inerno Bruo e os umenos percenus dos Índces de Preços por Acdo-Dsponbldde Inern. A nálse fe mosr os períodos de celerção e de descelerção do crescmeno econômco e d nflção. HARVEY e DURBIN (986), esudrm os efeos d legslção do cno de segurnç sobre os cdenes de rânso n Grã-Brenh. Os ddos menss são nlsdos fm de deermnr os efeos sobre s xs de cdenes d le do cno de segurnç nroduzd em de jnero de 98. Tl nálse é conhecd como nálse de nervenção. A form de nálse de nervenção fo bsed n modelgem esruurl de séres empors.

18 6 Os ddos exmndos conssm do número de pessos grvemene ferds cd mês, pr várs cegors de usuáros do rânso, pr o período de jnero de 969 e dezembro de 984. Com ese esudo o uso de cnos de segurnç por ocupnes de bncos dneros de crros e uláros ornou-se obrgóro no Reno Undo em de jnero de 98. A le fo nroduzd pr um período de rês nos, qul fo prorrogd nes d exprção dese przo. As prmers proposs de l po de nálse form fes n áre de cêncs socs, com Cmpbell e Snley (966). O ermo nervenção fo nroduzdo por Glss (97), bsedo no rgo de Box e To (965). Conceulmene, o modelo de nervenção é equvlene modelo de função de rnsferênc, onde sére de enrd é bnár.

19 7 4 DEFINIÇÕES E CONCEITOS BÁSICOS Nese cpíulo r-se lguns conceos báscos em séres empors, pr mor compreensão dese rblho Sére Temporl Um sére emporl é um conjuno numérco que produz um seqüênc de ddos dsrbuídos no empo. Eses ddos devem presenr-se em empos eqüdsnes, presenndo um fore dependênc serl. Represenmos um sére emporl d segune form:,,..., n ou,,,..., n. onde n represen o mnho d sére. Se é um conjuno de observções correlconds enre s e segundo um ordem cronológc de empo emos um sére emporl dscre, o cso ms freqüene é quele em que sére só pode ser descr com um dsrbução de probbldde, nese cso emos um sére não deermnísc. Deermnd relção de dependênc de, pode-se crr um modelo memáco pr que prr dele possmos fzer prevsões dos vlores fuuros d sére. A sére emporl pode ser dscre ou conínu, unvrd ou mulvrd e o empo T pode ser undmensonl ou muldmensonl. Um sére emporl em por objevo esudr o processo gerdor d sére; fzer prevsões em função dos seus vlores pssdos e descrever o compormeno d sére. Ese esudo pode ser feo n nálse do empo ulzndo-se função de uocorrelção, ou no domíno d freqüênc ulzndo-se nálse especrl. Ulzmos séres esconárs pos só ssm ornremos os efeos szons dvos, ornndo vrânc resdul consne grnndo ergodcdde do processo Processo esocásco É um conjuno de vráves leórs dsrbuíds equespçdmene no empo, defnds num mesmo espço de probbldde ( Ω, A, P). { ( T} ),

20 8 R. O conjuno T é normlmene consderdo como o conjuno dos neros ou conjuno dos FIGURA - Processo esocásco nerpredo como um fmíl de rjeórs Processo esconáro O conjuno de vráves leórs { T}, é do esconáro se s esíscs do conjuno de ddos não vrr nos nsnes e k, k 0,,,... n, ou sej: E [ ] E[ k ] Vr [ ] [ k ] Temos ouros pos de esconreddes, s como: processo esrmene esconáro e esconredde de segund ordem Processos homogêneos Exsem séres empors que não são esconárs s como s séres econômcs e es não esconredde pode ser rnsformd em esconár rvés de dferençs sucessvs ulzndo o operdor dferenç ( ou ) ; logo eremos um processo não esconáro homogêneo.

21 Ruído brnco É seqüênc de cráves leórs não correlconds e dencmene dsrbuíds com méd zero e vrânc consne. N (0, σ Processo ergódgo ) N prác é um únc sére emporl que represen odo o processo. O processo ergódgo descreve ods s crceríscs do processo esocásco, rblhndo rvés de mosrs Modelo É um rfíco memáco que em por fm represenr reldde n le de seus efeos, espelhndo represenção forml de um reldde empírc. O modelo deve ser prcmonoso, fornecendo rconldde de odos os fos empírcos consderdos. Moren (985) Análse dos componenes báscos de um sére emporl Um sére emporl pode ser consuíd dos segunes elemenos: - Tendênc (T ) - Cclo (C ) - Szonldde ou For Szonl (S ) - Erro (e ) Sendo represend d segune mner: Ddos Modelo Erro Ddos f ( T, C, S ) erro Tendênc ( T ) Represen o compormeno dos ddos, podendo umenr, dmnur ou permnecer consne.

22 0 FIGURA - Represenção d endênc em um sére emporl Cclo ( C ) É o movmeno d sére que se repee o longo dos períodos de empo, endo um long durção, qul vr de cclo pr cclo ou se repee em períodos muos curos. FIGURA - Represenção do cclo em um sére emporl Szonldde (S ) Rel s fluuções peródcs de comprmeno do período é denodo por S.

23 FIGURA 4- Represenção d ocorrênc de szonldde num sére emporl Erro (E ) É udo qulo que não é explcdo pels ours componenes d sére ou sej, é o que o modelo esmdo não consegue cpr. Um erro é do ruído brnco qundo méd de seus componenes é zero e vrânc consne eses são descorrelcondos ndcndo ssm, que o modelo elbordo conseguu explcr o máxmo d sére de ddos. ε N (0, σ )

24 5 - MODELOS UNIVARIADOS São queles que bsem-se somene n nformção referene sére emporl em esudo. Cremos dos pos de méodos, queles que levm em consderção ão somene nformção cond n sére hsórc, ssm como queles que lém ds nformções conds em permem nclusão de ours nformções relevnes n sére hsórc. Esses méodos são bsedos em esísc clássc e esísc byesn. Souz (989). SÉRIE INPUT SÉRIE OUTPUT MODELO UNIVARIADO ( j) FIGURA 5 Esquem lusrvo dos modelos unvrdos. 5.- Consrução dos modelos unvrdos de Box & Jenkns Informções Relevnes A esrég ulzd pr consrução de modelos pel meodolog Box & Jenkns é bsed no cclo ervo, fgur 6 no qul esruur do modelo é formd pelos própros elemenos d sére. são: Um clsse gerl de modelos é consderd pr nálse. As eps do cclo ervo -Idenfcção d esruur do modelo, fe rvés d nálse d função de uocorrelção e função de uocorrelção prcl, função de uocorrelção expndd (FASE), fundão de correlção nvers (FACI), função de correlção nvers prcl (FACIP), créro AKAIKE, e ours ferrmens. -Esmção fe rvés d mxmzção d função de verossmlhnç condconl ou rvés do méodo de mínmos qudrdos. -Verfcção do modelo jusdo rvés dos resíduos. Se ese for ruído brnco o modelo é dequdo, cso conráro, repee-se o cclo ervo. -Prevsão dos vlores fuuros ulzndo o modelo dequdo.

25 IDENTIFICAÇÃO DO MODELO ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS VERIFICAÇÃO NÃO O MODELO É ADEQUADO SIM PREVISÃO FIGURA 6- Fluxogrm do cclo ervo de Box & Jenkns Pr consrução dos modelos de Box & Jenkns usremos um processo esocásco e/ou de um sére emporl (relzção do mesmo), pos esremos ssumndo um esconáro, ou sej, ergódgo. Souz (98) Modelo méds móves (MA) O nome vem do fo que é um função som lgébrc ponderd dos que se movem no empo. O nome em s não é exo, pos não é méd, vso que os prâmeros θ s' não somm obrgormene undde. O modelo em ϑ (B) é chmdo méds móves. Noção: MA (q) onde q é ndc ordem do modelo θ... θq θ ( B) Exemplo: MA θ ( ) q

26 4 MA θ ( ) θ µ ) Esconredde: O processo é de ordem fn, logo será sempre esconéro. b) Inversbldde: A sére π (B) deve convergr pr B < com π ( B) θ B cr for do crculo unáro., s rízes d equção devem A denfcção do modelo é fe rvés ds uocorrelções prcs, sendo que uocorrelção fornece ordem do modelo: ρ K ϕ k k FIGURA 7- Compormeno ds funções de uocorrelção e uocorrelção prcl de um modelo MA (). A uocorrelção presenrá um core rápdo no gsgnfcvo, ndcndo ordem do modelo, enquno que uocorrelção prcl dec exponenclmene se odos os prâmeros forem posvos. Cso conráro formrá um senóde morecd Modelo uorregressvo (AR) O nome uorregressvo é do fo que no nsne é função dos s no nsnes nerores e de um erro no nsne. O modelo que coném θ ( B) é chmdo modelo uorregressvo. Noção: AR (p) onde p ndc ordem do modelo

27 5 ϕ ϕ... ϕ p p ϕ ( B ) Exemplo: AR ( ) ϕ AR ( ) ϕ ϕ µ ) Esconredde: Será esconáro se ϕ (B) converge pr B comoϕ ( B) 0, s rízes d equção devem cr for do círculo unáro. b) Inversbldde: O processo é de ordem fn, logo será sempre esconáro. A denfcção do modelo será fe rvés ds funções de uocorrelção e uocorrelção prcl que ndcm ordem do modelo: ρ k ϕ k k FIGURA 8- Compormeno ds funções de uocorrelção e uocorrelção prcl de um modelo AR (). A uocorrelção prcl presenrá um core rápdo no g sgnfcvo, ndcndo ordem do modelo, enquno que correlção prcl dec exponenclmene, lernndo ou não de snl, em gerl é um msur de exponencs e onds senomorecds Modelo uorregressvo méds móves (ARMA) Sendo o processo esocásco esconáro, usremos um modelo ARMA qundo o processo presenr crceríscs que não permm su descrção rvés de um

28 6 prmerzção prcmonos de um processo purmene uorregressvo ou purmene méds móves, pelo fo de seu compormeno nclur crceríscs de mbos os pos de processos enão, consdermos um modelo mso, ou sej, é o modelo que em um pre AR(p) com ϕ ( B) com um MA(q) com θ ( B). Noção: ARMA (p,q) onde p ndc ordem AR e q ordem MA do modelo. ϕ ϕ θ... θ... p p... p ϕ B... ϕ p B θ B p ϕ B... ϕ p B ( θ B (... θ q q B θ q q q B q onde: ϕ B ) ϕ B... ϕ ( B p p θ B) θ B... θ ( B q q µ B m m Logo, ϕ ( B) θ ( B) ϕ( B ) θ ( B) ARMA( ϕ B ϕ B θ B θ Ex.:,) ( ) ( ) MA( q) ARMA(0, q) AR ( q) ARMA( q,0) Deve-se resslr que um modelo ARMA equvle um modelo AR com nfnos prâmeros, ou um modelo MA com ouro conjuno nfno de prâmeros. Assm, um modelo ARMA (p,q) nclu os modelos AR (p) e MA (q) com um grnde econom de prâmeros. B

29 7 (Prncípo d prcmôn de Box & Jenkns) ) Esconredde Será esconár se s rízes d pre uorregressv círem for do crculo unáro ϕ ( B) 0. b) Inversbldde Será nversível se s rízes d pre de méd móves círem for do crculo unáro; θ ( B) 0. A função de uocorrelção de um processo ARMA (p, q) consse em um msur de exponencs e/ou senódes morecds, se q < p ; se q p, os prmeros q p vlores não segurão ese pdrão Modelos não esconáros (ARIMA) Aé gor, obvemos prr de um processo de ruído brnco, um processo esconáro porém com relção de dependênc. Como os processos enconrdos n vd prác são rrmene esconáros, emos que enconrr lgum po de operdor que produz prr de um processo esconáro. Consdermos nes modelgem somene os processos chmdos não esconáros homogêneos. Aquel clsse de processos não esconáros pr os qus s dferençs sucessvs produzem um processo esconáro. Nelson (978). Dd um sére, prmer dferenç de é defnd por: Genercmene, d-ésm dferenç de é defnd por: d ( d ) Assm, ( ) Ess séres são não esconárs homogênes, pos com um número fno de dferençs, consegumos escon-ls.

30 8 Dd, não esconár, se modelo ARMA (p,q), so é: W d, for esconár podemos represenr W por um ϑ ( B ) W θ ( B) Dzemos que segue um modelo uorregressvo negrdo de méds móves, ARIMA (p, d, q). ϑ ( θ (5.) d B ) ( B) Como ( B), vemos que B e (5.) pode ser escro como: ϑ ( θ d B )( B) ( B) N mor dos csos é sufcene omr d ou dferençs pr que esconár. d sej Séres que presenm perodcdde podem ser modelds rvés de um modelo ARIMA szonl, d form: ϑ ( θ θ θ (5.) S d D S B ) ( B ) S ( B) ( B ) onde S é o período d szonldde que pode ser rmesrl, semesrl ou nul conforme o cso. B S S É o operdor dferenç szonl, D é o número de dferençs szons, S S SP φ ( B ) φ B... φ é o operdor uorregressvo szonl de ordem P e P S S SQ ( B ) φ B... φq B é o operdor de méds móves szonl de ordem Q. φ A equção (5.) mplc que devemos omr d dferençs szons d sére, de modo que sére Y B B ) d D d S D S ( ) ( (5.) sej esconár. O modelo (5.) é denomndo ARIMA szonl de ordem (p, d, q) (p, D, Q) s. Exemplo: ARIMA (0,, ) (0,, ) em segune form:

31 9 ( B )( B) ( θ B)( θ B ) 5.- Verfcção de vldde do modelo rvés de eses esíscos 5..- Sobrefxção O ese de sobrefxção consse, bscmene, n elborção de um modelo com um número de prâmeros superor o do modelo fxdo, que cubr s suposs dreções de dscrepâncs. Ese modelo ms elbordo é submedo à nálse (bscmene, à esmção dos seus prâmeros), que ndcrá necessdde ou não de prâmeros dcons. Com ese ese esmos enndo corrgr lgum erro que porvenur enh sdo comedo qundo d denfcção do modelo. Iso porque, sendo denfcção de modelos fe rvés de esmdores d uocorrelção e d uocorrelção prcl, poder conecer de lguns vlores esmdos subfxrem (ou sobrefxrem) os vlores de p e q Tese de comprção ds uocorrelções Comprm-se s uocorrelções esmds prr d sére com s correspondenes correlções. Se o modelo denfcdo pr um sére for um ARIMA (p, d, q) d B ) ( B) ϑ ( θ Podemos defnr um sére Y l que: Y d ϑ ( B (5.4) ) Y θ ( B) (5.5) Arvés de (5.4) e dos prâmeros ϕˆ s, podemos deermnr sére Y e, prr del, esmr o seu correlogrm ˆ ρ y ( k) ; k,,.... D equção (5.5), podemos deermnr função gerdor d uocovrânc de Y. γ [ θ ( B) θ ( B) ] σ (5.6) Ulzndo os θ ˆ s' e o esmdor de vrânc dos resíduos, podemos rvés d equção (5.6) clculr o correlogrm de Y. [ ρ y ( k) θ θˆ; σ ]

32 0 que comprndo com ˆ ρ y ( k), pode fornecer um ndcção de vercdde do modelo esdo Tese d uocorrelção resdul Esmdos ˆθ ˆ ( B) ϕ e θ, enão são os resíduos esmdos. Se o modelo for dequdo, os â deverão esr próxmos dos e, porno deverão ser proxmdmene não-correlcondos. Se rˆ k ndcrem s uocorrelções dos resíduos â, enão deverímos er r ˆ k 0. Devemos er proxmdmene: ˆ N (0,/ n) r k Sempre sob suposção de que o modelo jusdo é proprdo. As uocorrelções rˆ k são clculds por n k k n rˆ ˆ ˆ k ˆ O desvo pdrão de rˆ k pode ser consdervelmene menor que / n, especlmene pr pequenos vlores de k Tese de Box & Perce (Pormneu ese) Sugerdo por 970, por Box & Perce, pr esr s uocorrelções dos resíduos, o ese não deec quebrs específcs no compormeno do ruído brndo, pode ndcr se esses vlores são muo los. Se o modelo for proprdo esísc: k r ( ˆ) Q n ( n ), k em um dsrbução de n com k p q grus de lberdde. A hpóese de ruído brnco pr os resíduos é rejed pr vlores grndes de Q. Em gerl bs omr s prmers 0 ou 5 rˆ observções.

33 5..5- Tese d correlção cruzd A verfcção ds uocorrelções rˆ k fornece nformções sobre novos ermos de méds móves serem ncluídos no modelo. Se rˆ j > / n, nese ermo deve ser ncluído no modelo. O ese de correlção cruzd é feo com os vlores pssdos d sére e o vlor presene do ruído. Cov Se o modelo é dequdo, enão e k são ndependenes pr k, logo, 0, k. Iso sugere nvesgr função de correlção cruzd (fcc). { } k s k ( k ) [ ( ) ] /, k,,,... Se pr um ddo k 0, S k 0 em um vlor grnde, so sugere que o modelo é ndequdo. Como não conhecemos os verdderos, consdermos os resíduos esmdos â e subsuímos s k por sˆ k n k ˆ( n n ( k ) ) /, k,,,... Se z é esconáro, com fc E ( ) 0 S k VAR ( S k ), k > 0 n k n ρ k, enão: S k será sgnfcvmene dferene de zero se s k > / n Tese do perodogrm cumuldo Suponh que ;,..., n ; sejm observções de um processo esocásco, um esmdor do especro do processo é:

34 n n n sen n n f I cos ) ( π π 0 < / < f, chmdo perodogrm cumuldo. Um pco n freqüênc n f / ndc um perodcdde no período f /. Ese esmdor fo proposo no níco dos esudos em nálse especrl que de sére empors pr deecr perodcddes nos ddos. j f I N f P ) ( ) ( ou δ σ σ ) ( ˆ ˆ ) ( ) ( j j f I N f P f C Ese é o esmdor não endencoso do especro cumuldo Aplcção do ese A prr dos resíduos esmdos â clculmos: - /,,..., ), ( N f I - ˆ ) / ( ), ( f P f C σ onde j j f I N f P ) ( ) ( - Lmes de probbldde Aplcndo o ese Smrnov-Kolmogorov, podemos ober lmes d ± em orno d lnh eórc. N ímpr N pr N N q q k d ) / ( ) / ( ; α

35 FIGURA 9 Gráfco do perodogrm cumuldo Se os ponos esverem denro dos lmes de confnç será ruído brnco, cso conráro não será Análse de séres dos resíduos Serve pr mosrr ou não dequção do modelo ou pr modfcr o modelo enconrdo. Por exemplo, nclmene denfc-se o modelo: ϕ B θ ( B) η (5.7) d 0 ( ) 0 0 Suponh que os resíduos η do modelo jusdo não sejm leóros. Podemos descrever os resíduos rvés do modelo: ϕ ( θ (5.8) d B ) b ( B) Subsundo (5.7) em (5.8), emos um novo modelo: Φ B B B ( B), d d 0 ( ) ϕ ( ) 0 θ0 ( ) θ cujos resíduos são leóros, e que deverá ser jusdo os ddos. O cclo de denfcção, esmção e verfcção deve ser connudo, é que o modelo ssfóro sej enconrdo. 5. Esmção dos prâmeros Fe denfcção do modelo genérco ARIMA (p, d, q) que melhor represen sére em esudo pss-se obenção de esmvs pr os prâmeros do modelo denfcdo.

36 4 A esmção dos prâmeros, sgnfc obenção de p esmvs pr os prâmeros ϕ, ϕ,..., ϕ p e q esmvs pr os prâmeros θ, θ,..., θ q, lém de vrânc do ruído, σ, ou sej p q prâmeros no veor ( ϕ, θ, ). σ Aqu, qundo d > 0, esmos supondo µ 0. Cso conráro, µ é ncluído como ms um prâmero ser esmdos e eremos p q prâmeros. Sej η ( ϕ, θ ). Pr esmção dos prâmeros pode-se ulzr dos méodos que são: o de mínmos qudrdos ordnáros e o méodo d máxm verossmlhnç. Pr se deermnr s esmvs de máxm verossmlhnç (EMV) será necessáro supor que o processo sej norml, ou sej, pr cd, (0, σ ). Ness condções, os EMV serão proxmdmene os esmdores de mínmos qudrdos (EMQ). O méodo de máxm verossmlhnç consse em chr grndezs populcons que gerem os vlores que ms se ssemelhem os d mosr observd, ou sej, o méodo consse em seleconr queles esmdores que mxmzm probbldde de se ober mosr relmene observd. O méodo de mínmos qudrdos, em o objevo de esmção de um modelo ARIMA (p,d,q). Pr sso, pss-se chr o veor uorregressvo ϕ e o veor dos prâmeros méds móves θ s que mnmzem som ds dferençs qudrds enre os ponos observdos n mosr e o esperdo pel esmv obd com eses prâmeros esmdos. Smbolcmene deve-se chr ϕ, θ s que S ϕ, θ ) Σ sej um mínmo. ( Tornndo-se d dferençs pr lcnçr esconredde, fcmos com n N d d observções,..., n, onde W. Como o modelo ARMA (p, q) resulne é esconáro e nversível, podemos escrever ϕ... ϕ θ... θ onde µ p p q q (5.9) 5.4 Prevsão pr modelos unvrdos Denro do fluxogrm operconl dos méodos de Box & Jenkns presendo nerormene, esá é úlm pre de plcção do méodo. Pr seu cesso necessmos que o modelo pr sére já enh sdo denfcdo, seus prâmeros esmdos e que enh pssdo pelo ese esísco de dequção do modelo. Consdermos o modelo ARIMA escro em su form gerl:

37 5 ϕ ( θ (5.0) d B ) ( B) Podemos ssm, ober rês forms possíves pr escrever s equções do modelo (5.0), onde me cd um dels enmos explcr sére orgnl. Pr melhor compreensão ds equções que presenmos segur vmos consderr em (5.0) o polnômo ϕ ('B ), onde: B B) d ϕ (' ) ϕ (, que fornece pr (5.0): ( ϕ ' ' ' p d q B ϕ B.. ϕ p d B ) ( θ B.. θ q B ) (5.) Serão presends rês forms de explcção de do modelo descro pel equção (5.). resíduos. ) f, ), com j,.., p d e 0,.., q ( j O vlor ul d sére é função dos vlores nerores Es form é obd dremene d equção (5.) que fornece:, ods obds rvés de formulção e um ul e neror dos j ϕ ϕ ϕ θ. θ ' ' '.. p d ( p d ). q q (5.) onde: b) f ), com j 0,,,.... ( j O vlor ul d sére em função dos vlores dos resíduos ul e neror. Podemos escrever es equção d segune mner: Ψ j Ψ ( B) (5.) j 0 Ψ ( B ) Ψ j B B Ψ... ou sej é síd de um flro lner Ψ (B), cuj enrd é seqüênc de ruídos brncos.

38 6 Os prâmeros Ψ,,... Ψ, do polnômo Ψ (B) podem ser obdos dremene de (5.) e d própr defnção de Ψ (B), so é: Ψ ( B) ϕ ' ( B). θ ( B) Obendo os prâmeros Ψ,,... Ψ, gulndo-se os coefcenes de mesmo gru em B n guldde cm. c) f, ) com j,,... ( j. Vlor ul d sére em função dos vlores nerores e do vlor ul do resíduo j Ψ ( B) ou π ( B) onde: π ( B) π j B j j Des form, explcndo pr oberímos: ( π B B...) π os coefcenes π j ' s de π (B) podem ser obdos d mesm form que os Ψ s'. Sob o pono de vs do cálculo ds prevsões, formulção () é ms smples pr escrever o modelo de prevsão, rzão pel qul doremos pr descrção do lgormo gerl d prevsão.. Noção: ; : vlor eórco ser prevso pssos - à - frene prr d orgem " ( ); prevsão obd pelo modelo do vlor (prevsão fe n orgem, - pssos à frene). A equção gerl de prevsão é obd dremene d equção () pr ϕ... ϕ p p θ... θ q q (5.4) onde: p p d ϕ ϕ. ' ;

39 7 6 MODELO DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA É comum em mus áres do conhecmeno, modelr relções enre vráves, no sendo de esbelecer pdrões de cusldde ou feedbck enre els (MORETTIN e TOLOI, 979). O cso ms smples é quele onde emos um vrável de enrd e um vrável de síd y, de modo formr um ssem dnâmco. ENTRADA SISTEMA DINÂMICO SAÍDA y FIGURA 0 Represenção de um ssem dnâmco Um dos objevos do ssem dnâmco pode ser prevsão de sére Y, com bse em vlores pssdos e presenes de e Y, usndo o modelo: Y Y... α p Y p β 0 β... β q q α η (6.) onde (p, d, q). α,...,α modo que p, q β 0,..., β são prâmeros serem esmdos e η é o ruído, em gerl um ARIMA Consderndo um sére emporl bvrd, Y ) com { 0, ±, ±,...}, de l ( sej sére de enrd e Y sére de síd do ssem dnâmco. A lgção enre que relção for lner. e Y pode ser de qulquer po, ms nos neressremos no cso em Y j 0 V j j, (6.) Ulzndo o operdor rerovo B, B, podemos escrever (6.) n form Y ( V V B V B...) (6.) 0 onde os V s são s funções resposs de mpulsos do ssem, logo emos:

40 8 Y V ( B) (6.4) A relção (6.4) é um flro lner ou modelo de função de rnsferênc (MFT) lner e v(b) é função de rnsferênc (FT). enrd d O ssem será esável se V(B) converge pr B. Sgnfc que ncremenos fnos n produzem ncremenos fnos n síd. 6. Modelos de função de rnsferênc dscre Generlzndo (6.4) e consderndo um ermo de ruído e o modelo : Y V ( B) η (6.5) η não é necessrmene ruído brnco, usulmene segue um modelo ARIMA (p, d, q), ou sej: ϕ ( θ d B ) ( B) ( B) onde ϕ (B) é o operdor uorregressvo de ordem p e θ (B) é o operdor méds móves de ordem q e é o ruído brnco segundo N (0, σ ). Freqüenemene o modelo (6.5) é não prcmonoso, no sendo de hver necessdde de esmr muos V. Enreno, se V(B) for um função rconl, podemos escrevê-l: j V ( B) b W ( B) B (6.6) δ ( B) onde: W B) W W B W B... W B S ( 0 δ ( B) δ B δ B... δ são polnômos fnos de grus s e r, respecvmene. r B r S b sgnfc um rso n respos à enrd pr dmr um efeo de rerdo n enrd, ou sej, é um prâmero de defsgem. Se b dfere de zero ndc que V V V b Y V ( B) η

41 9 W ( B) B Y δ ( B) b η ( B Y W B B η (6,7) b δ ) ( ) Comprndo (6.5) com (6.7) emos V ( B) ( ) ( ) b δ B W B B (6.8) De (6) emos que o modelo de função de rnsferênc dscreo será esável se s rízes d equção crcerísc δ ( B) 0 círem for do círculo unáro. O número ol de prâmeros de um função de rnsferênc é: d dferencções n síd d Y ) ( d dferencções n síd d Y ) ( r gru do polnômo δ (B) s gru do polnômo W (B) p gru do polnômo ϕ (B) q gru do polnômo θ (B) b lg do rerdo. Os gráfcos segur presenm V b sem nenhum pdrão e V,,.. b Vb. segundo um senóde morecd, ndcndo que s rízes de δ ( B) 0, nese cso, são complexs. Pr rízes res erímos um som de exponencs. Um equção de dferenç de ordem r cuj solução é do po: r 0 v 0 k r v k em um decrescmeno exponencl r v k em um compormeno de senóde morecd (Rízes complexs).

42 0 Enconrdo no gráfco v rˆ x k o lg r 0, r ou r em v k, denfcmos s pel relção: k, prr do qul verfc-se um ds suções onde S K b (6.9) A prr dos vˆ k ' s esmdos, ger-se sére de resíduos ηˆ, ou sej η ˆ Y vˆ( B) (6.0) esm-se o correlogrm e o prcl de ηˆ pr se denfcr p e q. Verfc-se com exemplos que segue Exemplo Se r s 0, de (6.6) eremos V0 V B V B... W0 b B ou sej: Y W 0 b V j... b w 0 V j 0, j < b ; V j W0, j b e V j 0, j > b Exemplo Se r 0, s, enconrmos.. j Y ) ( W0 W B b V j 0, j < b ; V j W0, j b ; V j W, j b

43 V j 0, j > b V j W W 0 b b j Exemplo Se s r, emos δ ) ( B) Y ( W0 W B b onde: V V 0, j < b ; V j W0, j b ; V j W0 W, j b j δ V j, j > b. j δ V j W W 0 b b j

44 7 ANÁLISE DE INTERVENÇÃO A nálse de nervenção é um modelo de Função de Trnsferênc Esocásc, onde é possível nerprer mner de ncorporr seus efeos o modelo d sére emporl. É possível fzer nervenções nurs ou nduzds pelo homem, com o objevo de vlr o mpco de l eveno no compormeno d sére emporl, verfcndo se cus ou não um mudnç sgnfcv no nível médo de um sére emporl. Os mores efeos de nervenção são nodos n mudnç do nível n dreção ou nclnção d sére em esudo, e mbém pr lerr s vráves dos erros e nroduzr no modelo componenes que não hvm nes, por exemplo, nroduzr componenes uorregressvos em um processo de méds móves. Ouro exemplo é em relção vrbldde d sére, onde pode-se orná-l ms esável ou ms vrável prr ds nervenções. Qundo nervenção ser fe é complex, o seu efeo ocorre grdvmene e se houver ms de um nervenção, é possível exsr um nerção enre els, confundndo pre de seus efeos. Os efeos de nervenção podem ser consdos o longo do empo, ssm como podem ser vráves. O seu efeo é deermndo pel esruur d Função de Trnsferênc, do seu modelo e dos seus prâmeros esmdos. Três fones de ruído podem lesr os efeos de nervenção. Eses ruídos são endênc, o efeo szonl e o erro leóro. O erro η deve ser modeldo por um ARIMA (p, d, q), pos ese lev em con s componenes de endênc, szonldde e erro. A uldde de Análse de nervenção pode se mnfesr ns ms dverss áres: cêncs socs e polícs, econom, socolog, hsór, pscolog, meo mbene, ec. Pck mosr o desenvolvmeno d consrução de modelos pr séres empors e Análse de regressão. Assm: ) Modelos de função de rnsferênc de enrd smples podem ser comprdos modelos de regressão smples; b) Modelos de função de rnsferênc de enrd múlpl são compráves modelos de regressão múlpl;

45 7. Modelos dnâmcos pr nervenção Bscmene consrução de modelos de nervenção consse em crescenr os modelos ARIMA os efeos de vráves rvés de um função de rnsferênc. V (B) Y VARIÁVEL DE INTERVENÇÃO FIGURA Represenção de um modelo dnâmco Sej um sére emporl pr qul verfcou-se e esmou-se um modelo ARIMA com o qul vem se fzendo prevsões há lgum empo. Num ddo nsne ocorre um eveno ndependene do fenômeno que orgnou sére emporl, ms cujos efeos podem se mnfesr sobre el. Tommos como exemplo um sére de produção nul de deermndo produo grícol, pr qul se dspõe de um modelo dequdo pr fzer prevsões. Em um deermndo momeno ou nervlo de empo, há ocorrênc de lerções clmács como ged, sec ou enchenes que podem fer emporrmene ou prclmene ess produção grícol e conseqüenemene o modelo ulzdo pr presená-l. A esse eveno exerno, cujos efeos nfluencm sére em esudo, devem ser ncorpordos o modelo, como um nformção dconl sére. Es ncorporção de nformção chmmos de nervenção. N mor dos csos rmos de modelos dnâmcos onde um vrável pode ser endógen ou dependene; dependene de um ou ms vráves chmds exógens ou ndependenes, e es dependênc é especfcd rvés de modelos d form: onde: f ( k, x, ) η F ( ) é sére rnsformd ou não f ( k, x, ) é lgum efeo deermnísco ou empo, ou o efeo d vrável exógen x, no cso de nervenções.

46 4 f k ( k, x, ) V ( B) η (7.) j j j f ( k, x, ) W ( B) k j j δ j ( B) j (7.), j, j,,..., k são k vráves exógens (nervenções), k é o conjuno de prâmeros desconhecdos que precem em V j (B) ou em W j (B) e δ (B). A função (7.) é um função de rnsferênc d j-ésm vrável exógen, sendo V j (B), W j (B) e δ j (B) polnômos em B e η é o ruído que pode ser represendo por um modelo ARIMA. Em Análse de Inervenção, suporemos que lgum ds vráves bnárs, fzendo o mesmo ppel que vráves dummy em regressão. As séres chmds ndcdors de nervenção. j, são vráves j, são Como se sbe que nervenção é ocorrênc de lgum po de eveno em um ddo nsne de empo, podendo mnfesr-se por um nervlo de empo subseqüene, e que fe emporrmene ou permnenemene sére emporl em esudo. A Análse de Inervenção em por objevo vlr o pco de l eveno no compormeno d sére. Usulmene, s séres de nervenções podem ser represends por rês pos de vráves bnárs. ) Função mpulso I < 0, T ( T ),, (7.), T ) Função degrus ( Sep funon ) j I ( T ), < 0, < T, (7.4), T

47 5 ) Função mpulso szonl 0, S, S,S, I ( T ), <, S, S,S (7.5) No cso d função (7.) o efeo d Inervenção é emporáro, no cso d função (7.4) o efeo d Inervenção é permnene pós o nsne T, o psso que função (7.5) o efeo é S e seus múlplos. Em gerl, o feo d Inervenção é mudr o nível d sére, ou enão nclnção. Sbemos que rês fores podem nos levr flss conclusões, ou sej, podem obscurecer o efeo d Inervenção. ( ) endênc ( ) szonldde ( ) erro leóro De fo, se endênc exse, e um Inervenção ocorre no nsne T, o nível pós- Inervenção é mor que o nível pré-inervenção. Pr sso ulzm-se os modelos ARIMA, pos os rês elemenos cdos cm são elevdos em con qundo componene resdul η de (7.) mbém for modeldo por um ARIMA. 7. Efeos d nervenção Há mus forms pels qus um Inervenção pode fer um sére emporl. As lerções ms comuns são s mudnçs no nível d sére e s mudnçs n dreção ou nclnção d sére. Ess úlms ocorrem qundo nervenção é complex e seu efeo mnfes-se grdvmene. Além dsso, Inervenção pode lerr vrânc dos erros e mbém nroduzr no modelo componenes que não hvm nes, por exemplo, nroduzr um componene uoregressv num processo de méds móves. A mudnç pode ser brup (ou med), ou enão, só ocorrer depos de lgum empo de ncd Inervenção (demord ou defsd). Pode nd ser emporár ou permnene, podendo ornr sére ms esável ou umenr vrbldde. A sére mbém pode ser fed de várs mners smulnemene.

48 6 O Qudro (dpdo de Glss e l, 975, Mc Dowll e l, 980), esquemz os pos ms comuns de efeos de um Inervenção sobre um sére de empo. QUADRO Efeos de Inervenção O efeo de evolução mosrd no qudro, conece qundo sére dec nclmene, como se exngusse, pr segur reomr o seu desenvolvmeno é um novo nível. Ese po de efeo prece, por exemplo, qundo se esud sobrevvênc de um espéce pós mução dpd. A mudnç ocsond n sére emporl pel ocorrênc de um Inervenção pode ser: ( ) Quno mnfesção - brup; - grdul; ( ) Quno durção - permnene; - emporáro; Pode hver mbém, mudnç n vrbldde de sére, pós nervenção, bem como um efeo de evolução pode precer: sére dec nclmene e depos reorn o crescmeno, é ngr um novo nível.

49 7 7. Esruur d função de rnsferênc O efeo de nervenção é deermndo pel esruur d Função de Trnsferênc. Conhecendo-se form d Função de Trnsferênc do modelo e esmndo-se seus prâmeros, conhece-se o po de efeo de Inervenção. O conhecmeno do problem pode sugerr o possível efeo d Inervenção, o que fclrá denfcção do modelo ser usdo. O conhecmeno prorísco do problem uxl n denfcção d função de rnsferênc, enquno os ddos fornecem novs nformções sobre efeos desconhecdos pror. O cso de um só Inervenção cujo o modelo é ddo por: V ( B) W ( B) δ ( B) A segur descreve-se lguns dos csos ms comuns e Inervenção e sus respecvs funções de rnsferêncs, que são resumds no qudro, dequd por Pck, 977 e Box & Jenkns, 976, enconr-se consderções semelhnes pr modelos de função de rnsferênc. Cso em que função de rnsferênc é: V ( B) W 0 Se I < 0, < T ( T ),,,, T 0, < T enão: r < W 0, T e em um mudnç med e permnene no nível d sére de um qundde W 0 somene no nsne T. É o cso ( b ) do qudro. ) Cso em que função de rnsferênc é: V B) W 0 / (δ ( B)) (

50 8 0, < T Se <, T, 0, < T enão r < k W0. δ, T k, k 0,,,... j 0 e obém-se um progressão geomérc em que : r W / ( ) 0 δ porno, um mudnç descelerd de nível d sére é ssíno W 0 / (δ ). É o cso (c) do qudro. 0, < T Se <, T enão r < 0, < T k δ, W0, T k, k 0,,... Iso é mudnç em é nclmene W 0, depos exponenclmene é desprecer o efeo d nervenção. É o cso (d) do qudro. ) Cso em que função de rnsferênc é V ( B) W0 / ( ( B)) Nese cso, δ e pós Inervenção o modelo é não esconáro.

51 9 0, < T Se <, T, enão r < 0, < T ( k ) W0, T k, k 0,,... e em-se um endênc deermnísc no modelo, nroduzd pel Inervenção prr de T. É o cso ( e ) do qudro e o csos ( ) do qudro. 0, T Se <, T 0, < T enão r < W 0, T e em-se novmene um mudnç fx e permnene no nível d sére de um qundde W 0. É o cso ( c ) do qudro e ( f ) do. A segur são presendos csos ms comuns dos efeos d Inervenção e esruur d função de rnsferênc, segundo Pck e Box & Jenkns.

52 40 QUADRO Esruur d função de rnsferênc e efeo de Inervenção de Pck, 977 e Box & Jenkns, 976. Pr grnr esconredde é precso que δ <. Nese cso, δ. r r W0 7.4 Esmção e ese do efeo de nervenção Os procedmenos esíscos usus, quer prmércos, quer não prmércos, não podem ser ulzdos, não ser em csos muo especs, pr fzer nerferênc sobre nervenções. De modo gerl, n esmção e n nferênc em modelos de séres empors procur-se reduzí-los o cso do modelo lner gerl. É ese o cmnho colocdo por Glss, Wllson e Gomn que enre ouros, é presendo segur. Suponh que se enh N N N observções de um sére emporl, com N observções nerores à ocorrênc de um observção e N poserores. Se s observções fossem ndependenes com ;...; N N ( µ, ) e,..., ( µ, ) enão σ N N N σ poderímos esr hpóese H 0 : δ δ 0, onde δ µ µ usndo esísc: δ s N N (7.6) onde e são s méds mosrs ds dus sub-séres e S é esmv de σ, conforme Box & To (965), esísc es com dsrbução de Suden, sob H 0.

53 4 Sbe-se que num sére emporl exse um fore correlconmeno enre s observções, sére pode não ser esconár, com endênc e/ou componenes szons. Logo, o procedmeno cm não pode ser plcdo. O que se fz enão, é ulzr esmv dos prâmeros de função de rnsferênc que nclu s vráves ndcdors, descrevendo evenos que ocsonm nervenções. A Sgnfcânc esísc dos prâmeros correspondenes ess vráves ndcrá se o efeo d Inervenção fo sgnfcvo. Box e To (976) sugerem o segune procedmeno lernvo pr esr nervenções: ) Idenfc-se e esm-se um modelo esocásco pr pre d sére neror à Inervenção. ) Us-se ese modelo pr fzer prevsão dos vlores poserores à Inervenção. Ess prevsões são comprds com os vlores res pr vlr o efeo d nervenção. ) Clcul-se s funções proprds dos modelos de prevsões, que possm ndcr possíves mudnçs no modelo posuldo. Pr um modelo ARIMA escro n form: Ψ j j 0 Y, sendo Ψ, 0 prevsão de erro qudráco médo mínmo é ddo por: Y ˆ( ) Ψ j j 0 j (7.7) e o erro de prevsão e ( ) Y Yˆ( ) é ddo por j 0 e ( ) Ψ, j j sendo o horzone de prevsão e orgem ds prevsões. Segue-se que e ( ), ou sej, os erros de prevsão um psso são não- correlcondos. Consdere esísc: m Q j j σ, j,..., m (7.8)

54 4 onde Y Yˆ, j,... m são os erros de prevsão um psso-à-frene e m é o comprmeno j j j, do período pós-inervenção. Q segue um dsrbução de qu-qudrdo, com m grus de lberdde ( ), se m for grnde. m Se Q for mor que o vlor beldo, s prevsões são consderds sgnfcvmene dferenes dos vlores observdos. Como Qˆ m j σ não é conhecdo usmos σ ˆ em (6.), obendo-se: j σ sendo que Qˆ pode ser comprdo o vlor beldo de F com m e n p grus de lberdde, sendo n o número de observções e p o número de prâmeros esmdos. Se o número ol de observções for relvmene pequeno ese procedmeno não é dequdo. Ver Bchry e Anderson (976). Um procedmeno lernvo sugerdo por Glss e l (975) é rnsformr o modelo ARIMA no modelo lner gerl e enão usr os procedmenos usus, ver Pno (980). 7.5 Processo ervo Um procedmeno neressne pr esr efeos de Inervenção consse em denfcr e esmr modelos de nervenção rvés de Funções de Trnsferêncs, segundo flosof de Box & Jenkns. Com mrz de covrânc ds esmvs dos prâmeros é possível fzer nerferênc, esndo-se cd prâmero é esscmene não nulo e verfcndo, ssm, se o modelo é proprdo ou não. Se o modelo fnl nclur componenes de nervenção so sgnfcrá que o seu efeo é sgnfcvo Modelo lner gerl Um procedmeno pr esmr e esr os efeos de Inervenção rnsformndo o modelo ARIMA no modelo lner gerl é presendo em Glss, Wllson e Gomm (975) e descro pr um cso prculr em Glss (97), sendo mosrdo segur Efeo de nervenção no modelo ARIMA Sej um processo ARIMA ( p, d, q) cujo o nível ncl é µ : j 0 µ Ψ (7.9) j j

55 4 Suponh-se que ocorr um Inervenção no nsne T, e cujo efeo é lerr o nível d sére de um qundde δ prr dese nsne. Enão, T B T B Ψ < < Ψ, ) (, ) ( δ µ µ (7.0) Pr esmr e esr o efeo δ d nervenção é necessáro rnsformr o modelo ARIMA ( p, d, q ) num modelo lneres, enão, plcr os procedmenos usus. Exemplo. Sej o processo MA (): θ µ que pós Inervenção orn-se: θ δ µ Vmos rnsformr em um sére Y que esej n form do modelo lner gerl, so é, n qul odos os erros, exceo, enhm sdo removdos. A prmer observção já esá n form desejd: Y µ A segund observção mbém esr se não fosse o ermo θ, que deve ser removdo. ) ( Y Y θ θ µ θ θ µ θ De modo nálogo, verfc-se que s ours observções podem ser rnsformds rvés d relção recursv.. )... ( Y Y µ θ θ θ Após Inervenção, em-se δ µ θ θ θ µ θ θ θ θ δ µ θ Y )... ( )... (

56 44 É fácl mosrr que, pr T, T Y )... ( )... ( θ θ µ θ θ Em form mrcl pode-se escrever:. x Y β, onde N T T y y y y Y : : :, T N N T T x θ θ θ θ θ :... : :... : β δ µ e N :. Os esmdores de mínmos qudrdos µ e δ são ddos por: ' ' ) ( ˆ Y β As esmvs dos erros são ddos por: ˆ ˆ β x Y e s soms dos qudrdos ds esmvs dos erros, por: ˆ ˆ, ), ( SQ θ N prác, clcul-se SQ pr dversos vlores de θ, ornndo-se como esmv θˆo vlor que mnmz SQ, o que equvle mnmzr esmv de vrânc resdul do erro, S. ˆ N C S µ µ