Introdução. Séries Temporais. Nuno Fidalgo. Metodologia clássica popular para a previsão a curto prazo.

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1 Séries Temporis Nuno Fidlgo Inrodução Meodologi clássic populr pr previsão curo przo Consumos de gás em Lisbo Previsão dos fuuros vlores d série emporl com bse nos vlores pssdos d própri vriável e dos seus erros. A meodologi dod em TPRE mbém se design por ox-jenkings (modelos ARIMA) Produção de um prque eólico ARIMA Auo-regressivos (AR), inegrdos (I) e médi móvel (MA)

2 Requisios básicos Muios modelos requerem escionridde. Série escionári médi e vriânci consnes MWH Se exisir um endênci ( rend ) pode jusr-se o desvio por um curv, subrindo o vlor d curv à série (méodos de decomposição). Se vriânci não for consne exrir o logrimos ou um poênci d série Log(MWH) Diferencir série pode levr um série escionári ver méodos inegrivos ARIMA(0,d,0). Série originl: x() Série diferencid: x () = x() x(-) x() x(-) 3 Diferencição Série originl: x() Série diferencid: x () = x() x(-) diferencição Aumeno de escl 4

3 Diferencição conceio e noção 5 Diferencição de primeir ordem pr um primeir diferenç Diferencição de primeir ordem pr um segund diferenç Diferencição de segund ordem ) ( ' = = ) ( ' = = ( ) ( ) ) ( ' = = Modelos 6 Modelos uo-regressivos (AR) ou ARIMA(p,0,0) O vlor presene é um função liner dos vlores pssdos -p A ordem d uo-regressãodepende do vlor mis nigo p, que corresponde o número de vriáveis d regressão. n são os coeficienes de regressão, consnes e reis. pr enconrr eses vlores podem ser usds écnics de mínimos qudrdos. p p = δ L ( ) p p δ = + L

4 Modelos 7 Modelos de médi móvel (MA) ou ARIMA(0,0,q) O vlor presene é um função liner dos vlores presene e pssdos dos resíduos (erros ou ruídos) -q Diferene dos modelos AR que dependem dos vlores pssdos d série -p A ordem do modelo depende do vlor mis nigo do erro q, que é o número de vriáveis do modelo. θ m são os coeficienes de regressão. O sinl negivo é pens um quesão de convenção. q q θ θ θ = L ( ) q q θ θ θ = L Modelos 8 Modelos misos ARMA ou ARIMA(p,0,q) O vlor presene é um função liner dos vlores pssdos d série -.. -p e dos vlores pssdos dos erros -.. -q A ordem do modelo depende do vlor mis nigo dos elemenos d série -p e do erro -q, ou sej, depende de p e de q n e θ m são os coeficienes de regressão q q p p = θ θ θ δ L L ( ) ( ) q q p p θ θ θ δ + = L L

5 Modelos Modelos misos ARIMA ou ARIMA(p,d,q) Qundo série não é escionári recorre-se à diferencição de ordem d A ordem d uo-regressãodepende do vlor mis nigo dos elemenos d série pe do erro q e d ordem de diferencição d d p 7 q 30 ( ) ( L p )( Φ ) = δ + ( θ θ L θ q )( Θ ) I ( d ) uoregres siv AR(p) ssonl AR médimóvel MA(q) ssonl MA 9 Modelos exemplos ARIMA(,0,) ( ) = δ + ( θ) = δ + + θ ARIMA(,,) ( )( ) = δ + ( θ) = δ + ( + ) + θ AR() MA() Diferencição de ª ordem 0

6 Cálculo dos prâmeros do modelo Como deerminr os prâmeros d expressão ( + ) + θ = δ + Orgnizr vriáveis n folh de cálculo Aenção os rsos -, -, -, -, Pode ignorr-se o esimr os prâmeros Inicilizr prâmeros (vriáveis do Solver): δ,, θ Clculr (esimdo) Considerr = 0 Clculr erro qudráico e som dos erros qudráicos Grndez minimizr: som dos erros qudráicos Cálculo dos prâmeros do modelo Exemplo = δ + ( + ) + θ δ θ x x x- x- - medido esimdo Prâmeros de regressão (vriáveis lerr no Solver) Deermindo com bse n fórmul (ignorndo ) Grndez minimizr (Solver) som ( ) 47.3

7 Idenificção dos modelos ARIMA Os slides neriores mosrm como jusr os prâmeros d regressão dos modelos ARIMA Apens fl sber como idenificr os modelos, iso é, como esbelecer equção de bse, idenificndo p, d e q de ARIMA(p,d,q) 3 Idenificção dos modelos conceios bse Covriânci Aé que pono é que vrição de Y esá ssocid à vrição de Z? N Cov (Y, Z) = (Yk Y)(Z k Z) N k= Y, Z -Vlores médios de Y e de Z Correlção ρ ρ = Cov (Y, Z) V(Y)V(Z) ρ= normlizção d covriânci pr [ ; ], dividindo pel médi geoméric ds vriâncis de Y e Z 4

8 Idenificção dos modelos conceios bse Auo-correlção (ACF) ρ(, k ) = ρ k = Cov ( V(, ) k ), 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4 ACF Correlção é um medid d dependênci liner enre vriáveis. Se for reliv à própri vriável com rso k, -k, diz-se uo-correlçãode ordem k. 5 Idenificção dos modelos conceios bse Auo-correlção Prcil (PACF) Apens com ACFé difícil discriminr enre modelos AR(p). Por exemplo, enre AR() e AR(3) ou enre AR(3) e AR(4) Anlisemos o seguine cso, AR(): = - + Ddoque - em od informção pr deerminr - enão -, -3,... não ineressm. Um regressão liner de em -, converge pr. Um regressão liner de em -, converge pr. Conudo, se regressão liner for de em - e -, o coeficiene de - converge pr zero, ddo que - fz odo o rblho n previsão de. Ou sej, é como se correlção enre e - fosse zero. PACFulrpss es dependênci em cdei, eliminndo o efeio dos elemenos inermédios (denro do ime lg) A PACFde rso k corresponde à uocorrelçãoenre e -k que não é explicd pelos rsos de k. 6

9 Idenificção dos modelos Auoregressivs(AR) e médi móvel (MA) Que diferençs? O modelo AR inclui ermos de rso n própri série O modelo MA inclui ermos de rso no ruído ou resíduos Como decidir qul usr? ACF e PACF 7 Séries emporis Pr idenificr ipo e deerminr p e q MA(q) AR(p) ARMA(p,q) ACF Desprezável pós q Deci PACF Deci Desprezável pós p Deci pós q Deci pós p Decimeno cenudo ipo exponencil ou sinusoide enud Séries não-escionáris: ACF permnece elevdo pr 6 ou mis lgs diferencir série e renlisr; 8

10 Exemplos Modelos uoregressivos de ª ordem: AR() ou ARIMA(,0,0) 9 Exemplos Modelos médi móvel de ª ordem: MA() ou ARIMA(0,0,) 0

11 Exemplos Modelos uoregressivos de ª ordem: AR() ou ARIMA(,0,0) Exemplos Modelos uoregressivos de ª ordem: AR() ou ARIMA(,0,0)

12 Exemplos AR() ou ARIMA(,0,0) ACF PACF 3 Exemplos MA() ou ARIMA(0,0,) ACF 4 PACF

13 Exemplos Exemplos ARMA(,) ou ARIMA(,0,) ACF PACF Nem sempre é evidene! 5 Exemplos ARMA(,) ou ARIMA(,0,) ACF PACF Vlor empírico Vlor eórico 6

14 Szonlidde Szonlidde 00 Time Series Plo of Sles Sles M onh Yer J n 963 Jn 964 Jn 965 J n 966 Jn 967 Jn 968 J n 969 Jn 970 Jn 97 Jn 97 7 Szonlidde ACF Auocorrelion Funcion for Sles (wih 5% significnce limis for he uocorrelions) Auocorrelion Lg Szonlidde nos ime lg, 4 e Pril Auocorrelion PACF Pril Auocorrelion Funcion for Sles (wih 5% significnce limis for he pril uocorrelions) Lg

15 Szonlidde ACF e PACF pr exemplos ARIMA(p,d,q) 4 szonl ARIMA(0,,0) 4 ARIMA(,0,0) 4 Nem sempre é fácil idenificr os modelos Nos inegrivos, o decimeno é normlmene leno e liner. 9 Szonlidde Exemplos ARIMA(p,d,q) 4 szonl ACF PACF ARIMA(,0,0) 4 ARIMA(0,0,) 4 30

16 Idenificção de modelos Pr idenificr ipo e deerminr p e q MA(q) AR(p) ARMA(p,q) ACF Desprezável pós q Deci PACF Deci Desprezável pós p Deci pós q Deci pós p Decimeno cenudo ipo exponencil ou sinusoide enud Séries não-escionáris: ACF permnece elevdo pr 6 ou mis lgs diferencir série e renlisr; 3 Idenificção de modelos Pr idenificr ipo e deerminr p e q (con.) Séries não-escionáris: ACF permnece elevdo pr 6 ou mis lgs diferencir série e re-nlisr; Processos szonis: picos em lgs periódicos; Nos modelos ARMA(p,q) conr os lgsmis elevdos que um ddo limie O SPSS ribui esse limie No finl (pós especificção do modelo), nlisr sempre o ACF e PACF do resíduo pr verificr se coném informção; Podem ocorrer picos ocsionis (isoldos) pr grndes lgs: à prid deverão ser ignordos. 3

17 Idenificção de modelos Mis exemplos Obs: Os exemplos seguines são puros (eóricos). ACFe PACF de ddos reis rrmene são ão limpos como eses. ARIMA(0,0,) ou MA() 33 Idenificção de modelos ARIMA(0,0,) ou MA() ARIMA(0,0,) ou MA() 34

18 Idenificção de modelos ARIMA(,0,0) ou AR() ARIMA(,0,0 ou AR() 35 Idenificção de modelos ARIMA(,0,) Nem sempre é rivil ARIMA(,0,0) ou AR() 36

19 Cso rel Série rel: inscrições d universidde de Oregon Tlvez ARIMA (,, 0): o PACF em um pico no lg (e, prir dí, deci rpidmene) AR(); o ACF permnece elevdo pós bsnes lgs inegrivo. 37 Sínese Consrução de um modelo ARIMA 38 Observr gráficos (linhs); idenificr escionridde; idenificr szonlidde Tornr série escionári:. Subrir médi e dividir por desvio pdrão ou. Aplicr rnsformções logrímics ou poêncis ou 3. Aplicr diferencição pr grnir escionridde e/ou pr exrir szonlidde Observr ACF e PACF pr idenificr o ipo de modelo ARMA Deerminr os prâmeros do modelo ARMA Consruir o modelo compleo; fzer previsão; vlidr o modelo; vlir o desempenho do modelo Obs: A idenificção de modelos bsed n nálise de ACF e PACF não é inflível ms, normlmene, permie ober informções sobre modelos dequdos. Ns séries reis ou com muio ruído, s conclusões poderão ser menos clrs. Ours medid pr idenificção de modelos: Akike s informion crierion (AIC), yesin Informion Crierion (IC), Hnnn-Quinn Crieri (HQIC),

20 Sínese Consrução de um modelo ARIMA Não Fzer gráfico d série emporl Escionári? Sim Eliminr endênci ou plicr log ou diferencir série Idenificr possível modelo Não Dignósico OK? Sim Previsões 39 Exemplo Série não escionári com endênci crescene 40

21 Exemplo ACFe PACF O decimeno liner do ACF sugere processo não escionário 4 Exemplo Diferencir série A diferencição ornou série (mis) escionári 4

22 Exemplo ACF e PACF (pr série diferencid) O ACF deci gor mis rpidmene. O PACF é desprezável pós o lg, compormeno ípico do modelo uoregressivo de ª ordem AR(). ARIMA (,,0) Modelo AR() d série diferencid Inegrd ( diferencição) 43