A Transformada de Laplace e Algumas Aplicações

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1 Univeridade Federal da Paraíba Centro de Ciência Exata e da Natureza Departamento de Matemática Metrado Proional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT A Tranformada de Laplace e Alguma Aplicaçõe por Joé Ivelton Siqueira Lutoa ob a orientação do Prof. Dr. Uberlandio Batita Severo Trabalho de concluão de curo apreentado ao Corpo Docente do Metrado Pro- ional em Rede Nacional PROFMAT- CCEN-UFPB, como requiito parcial para a obtenção do título de Metre em Matemática. Maio/27 João Peoa - PB O preente trabalho foi realizado com o apoio nanceiro da CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Peoal de Nível Superior.

2 L972t Lutoa, Joé Ivelton Siqueira. A tranformada de Laplace e alguma aplicaçõe / Joé Ivelton Siqueira Lutoa.- João Peoa, f. : il.- Orientador: Uberlandio Batita Severo. Diertação (Metrado) UFPB/CCEN/PROFMAT. Matemática. 2. Tranformada de Laplace. 3. Equaçõe Diferenciai Ordinária. 4. Aplicaçõe - Matemática. I. Título. UFPB/BC CDU 5(43)

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4 Agradecimento Agradeço a Deu, er maior do Univero, por me dá força e conceder a vitória em mai ea etapa de aperfeiçoamento. À minha família, em epecial a meu irmão Antônio Siqueira Lutoa por ter ajudado na confecção de alguma gura. Ao Prof. Dr. Uberlandio Batita Severo pelo convite, apoio e orientação em todo o momento que preciei durante o deenvolvimento do trabalho. À minha namorada Maria Socorro pela paciência e apoio demontrado durante todo o curo. À coordenação e a todo o profeore que fazem parte do PROFMAT - UFPB. Ao meu colega de turma, em epecial a Edon Araújo, pela união em longo momento de etudo, que foram fundamentai para ea vitória. À Sociedade Braileira de Matemática que na buca da melhoria do enino de Matemática na Educação Báica viabilizou a implementação do PROFMAT. iv

5 Dedicatória A todo o que e alegram com o noo uceo. v

6 Reumo Nete trabalho, etudamo a Tranformada de Laplace e exploramo ua aplicação na reolução de alguma equaçõe diferenciai ordinária lineare, a quai modelam vário fenômeno na área de Fíica, Engenharia, Automação Indutrial e na própria Matemática. Tai conhecimento ão de uma importância em curo uperiore que abrangem tai área. Apreentamo a denição, propriedade e principai reultado envolvendo a Tranformada de Laplace e abordamo vário problema na área citada anteriormente. Palavra-chave: Tranformada de Laplace. Equaçõe Diferenciai Ordinária. Aplicaçõe. vi

7 Abtract In thi work, we tudy the Laplace Tranform and explore it application in olving ome linear ordinary dierential equation, which model variou phenomena in the area of Phyic, Engineering, Indutrial Automation and Mathematic itelf. Such knowledge i of great importance in higher education coure covering uch area. We preent the denition, propertie and main reult involving the Laplace Tranform and addre everal problem in the area mentioned above. Keyword: Laplace Tranform. Linear Dierential Equation. Application. vii

8 Sumário Introdução xiii A Tranformada de Laplace: Alguma Deniçõe, Propriedade e Principai Reultado. Hitórico Denição Condiçõe Suciente para a Exitência de L[f(t)] A Tranformada Invera Teorema Sobre Delocamento e Derivada da Tranformada de Laplace.5. Alguma Aplicaçõe do Teorema Forma Invera do Primeiro Teorema do Delocamento Função Degrau Unitário ou Função de Heaviide Forma Invera do Segundo Teorema da Tranlação Tranformada de Laplace de Derivada, Integrai e Funçõe Periódica 7.6. Tranformada de uma Função Periódica Função Delta de Dirac Alguma Aplicaçõe da Tranformada de Laplace Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária Soluçõe de Equaçõe Diferencia Lineare de Primeira Ordem Homogênea Soluçõe de Equaçõe Diferencia Lineare de Primeira Ordem não Homogênea Soluçõe de Equaçõe Diferencia Lineare de Segunda Ordem Homogênea Soluçõe de Equaçõe Diferenciai Lineare de Segunda Ordem não Homogênea Soluçõe de Equaçõe Diferenciai Lineare de Ordem Superior Aplicação na Reolução de Problema em Engenharia Aplicação na Reolução de Problema em Automação Indutrial Modelagem de Sitema de Controle viii

9 2.3.2 Contrução da Função de Tranferência para um Circuito RLC Repota de um Sitema a Partir de ua Função de Tranferência Obtenção da Soluçõe de Equaçõe Diferenciai Ordinária que Modelam Algun Fenômeno em Fíica e Matemática Solução da Equação Diferencial Ordinária que Modela o Movimento de um Corpo em Queda Livre Solução da Equação Diferencial Ordinária que Modela o Movimento de um Sitema Maa Mola Solução da Equação Diferencial Ordinária de um Circuito RLC Solução da Equação Diferencial Ordinária que Modela a De- exão de uma Viga Solução da Equação Diferencial Ordinária que Modela o Problema da Capitalização Contínua Solução da Equação Diferencial que Modela a Lei do Refriamento de Newton Conideraçõe Finai A 65 Apêndice A 65 A. Tabela de Tranformada de Laplace da Principai Funçõe e ua Repectiva Invera B 67 Apêndice B 67 B. Demontração do Teorema Referência Bibliográca 7

10 Lita de Figura Corpo em Queda Livre xv 2 Circuito RLC em Série xvi 3 Viga com Deexão xvii 4 Sitema de Controle Simple xviii. Função Degrau Unitário Gráco da Voltagem Plano - tz Função Dente de Serra Viga Engatada no Extremo Viga Engatada no Extremo Viga Engatada á Equerda e Livre á Direita Sitema de Controle Simple Sitema de Controle Compoto Repreentação da Função de Tranferência em um Digrama de Bloco Circuito RLC Diagrama de Bloco de um Circuito RLC em Série Repreentação do Sitema Maa Mola Circuito RLC x

11 Lita de Tabela A. Tabela de Tranformada de Laplace da Principai Funçõe e ua Repectiva Invera xi

12 Introdução Para deenvolvermo trabalho em área como Matemática, Engenharia, Indútria, Economia entre outra, frequentemente, omo confrontado com problema ou fenômeno que, para erem etudado preciam er decrito, ou modelado atravé de ferramenta matemática. Segundo Biembengut em []: "Um modelo é um conjunto de ímbolo o quai interagem entre i repreentando alguma coia. Eta repreentação pode e dar por meio de um deenho ou imagem, um projeto, um equema, um gráco, uma lei matemática, dentre outra forma". Na matemática, por exemplo, "um modelo é um conjunto de ímbolo e relaçõe matemática que traduzem, de alguma forma, um fenômeno em quetão". Percebemo então, que modelar um problema não é imple. Devemo conhecer bem o fundamento do problema etudado para chegarmo a uma repreentação matemática coerente. É importante detacarmo também que, para a obtenção do modelo, é precio paar pelo proceo de modelagem matemática que, egundo Biembengut em [], etá dividido em trê etapa: "a) Interação com o aunto Neta etapa, a ituação a er etudada erá delineada e para torná-la mai clara deverá er feita uma pequia obre o aunto ecolhido atravé de livro ou revita epecializada. b) Matematização Eta é a fae mai complexa e deaadora, poi é neta que e dará a tradução da ituação problema para a linguagem matemática. Aim, a intuição e a criatividade ão elemento indipenávei. c) Modelo matemático O modelo concluído deverá correponder à ituação-problema apreentada". Portanto, para fazermo ea modelagem, devemo coniderar a variávei que inuenciam o problema fazendo o itema ofrer variaçõe, como também o conjunto xii

13 de hipótee levantada obre a condiçõe apreentada inicialmente pelo itema analiado. A etrutura matemática apreentada na hipótee ão ferramenta eenciai para a contrução do modelo matemático, que erá a chave para olução do problema. Em muito cao, o modelo matemático ão equaçõe de diferença ou equaçõe diferenciai, ou memo um itema de equaçõe de diferença ou de equaçõe diferenciai. A equaçõe de diferença ão modelo gerado quando trabalhamo com problema em Matemática Dicreta, enquanto que a equaçõe diferenciai ão modelo gerado quando trabalhamo com problema em Matemática Contínua. É importante detacarmo aqui a diferença entre Matemática Dicreta e Contínua. A Matemática Dicreta etuda problema deenvolvido em conjunto que geralmente ão nito e enumerávei e a Matemática Contínua etuda problema deenvolvido em ubconjunto do número reai. Para Scheinerman em [2], ea diferença é dada como e egue: "A Matemática Contínua correponde a relógio analógico [...] do ponto de vita de um relógio analógico, entre 2 : 2pm e 2 : 3pm há um número innito de diferente tempo poívei, na medida que o relógio percorre o motrador [...]. A Matemática Dicreta é comparada a um relógio digital, em que há apena um número nito poível de tempo diferente entre 2 : 2pm e 2 : 3pm. Um relógio digital não reconhece função de egundo [...] a tranição de um tempo para o próximo é bem denida e em ambiguidade". Para trabalhar com problema em Matemática Dicreta, ou eja, problema cujo modelo é uma equação de diferença ou um itema de equação de diferença, uae a Tranformada Z para converter a equaçõe gerada no modelo em equaçõe algébrica, o que torna mai imple ua análie. Já no cao do problema em Matemática Contínua, cujo modelo geralmente é uma equação diferencial ou um itema e equaçõe diferenciai, ua-e, geralmente a Tranformada de Laplace para tranformar o modelo em uma equação algébrica. Segundo Venturi em [4], Hu compara a Tranformada Z e a Tranformada de Laplace da eguinte forma: A Tranformada Z é introduzida para repreentar inai de tempo dicreto (ou equência) no domínio z, onde z é uma variável complexa. A Tranformada de Laplace converte equaçõe diferenciai em equaçõe algébrica (muita veze preente na modelagem de fenômeno mecânico e elétrico). De um modo emelhante, a Tranformada Z converte equaçõe de diferença em equaçõe algébrica, implicando aim a análie de itema dicreto no tempo (preente em princípio de controle, progreõe e uceõe). Vale alientar, que ete trabalho via uar a Tranformada de Laplace como método para reolução de problema, cujo modelo matemático gera equaçõe diferenciai. xiii

14 Vejamo, a eguir, algun problema conhecido, cujo modelo matemático gera uma equação diferencial. Ete problema ão adaptado de [5, 6]. Problema : Corpo em Queda Livre Suponha que um objeto eja lançado do alto de um prédio de altura h, em queda livre com velocidade inicial v. Figura : Corpo em Queda Livre Sabemo que durante a queda o objeto poui aceleração contante g (gravidade). Lembrando que a aceleração é a derivada da velocidade, com relação ao tempo, que por ua vez é a derivada da poição do objeto em relação ao tempo t, então ua trajetória é decrita por uma equação diferencial de egunda ordem dada por d 2 dt 2 = g, < t t, onde t é o intante em que o objeto foi lançado, decreve a poiçõe do objeto durante a queda, e o inal negativo de g é porque o peo de um corpo é uma força direcionada para baixo, opota ao entido poitivo da trajetória. Problema 2: Circuito em Série Seja um circuito elétrico imple contendo um indutor L, um capacitor C e um reitor R, como motra a Figura 2, adaptada de []. Temo que, a diferença de potencial U em cada um do elemento do circuito ão dada por U indutor = Ldi dt, U reitor = Ri e U capacitor = q C, onde i é a intenidade da corrente elétrica e q é a carga elétrica. xiv

15 Figura 2: Circuito RLC em Série A Segunda Lei de Kirccho arma que a diferença de potencial v(t) em um circuito fechado é a oma da voltagen no circuito. Portanto, v(t) = U indutor + U reitor + U capacitor = L di dt + Ri + q C.. Como i = dq di, então dt dt = d2 q. Portanto, ubtituindo na última equação, obtemo dt2 v(t) = L d2 q dt 2 + Rdq dt + q C, a qual é uma equação diferencial de egunda ordem. Problema 3: Lei do Refriamento de Newton Seja T (t) a temperatura de um corpo em um intante t. Se colocarmo o memo em um ambiente em que a temperatura é T A e coniderarmo que dt repreenta dt a taxa de variação de ua temperatura com repeito ao tempo, então a Lei do Refriamento de Newton é decrita matematicamente pela equação dt dt = k(t T A), que é uma equação diferencial de primeira ordem. O parâmetro k que aparece na equação é uma contante de proporcionalidade. Como, por hipótee, o corpo etá xv

16 efriando, então T > T A, o que implica k <. Problema 4: Deexão De Viga Conidere uma viga uniforme, de comprimento L, com extremidade equerda xa em um uporte e ua extremidade direita olta, como motra a Figura 3. Sua Figura 3: Viga com Deexão Deexão Elática D(x) para uportar uma carga W (x), por unidade de comprimento, é dada pela equação diferencial de quarta ordem EI d4 D dx 4 = W (x), onde E é o módulo da elaticidade de Young e I é o momento de inércia de uma eção tranveral da viga. Problema 5: Sitema de Controle Um itema de controle é repreentado por ubitema ou planta que ão contruído com o objetivo de coneguir uma aída deejada com um deempenho deejado, para uma entrada epecíca denida. Na Figura 4, temo um itema de controle em ua forma mai imple. xvi

17 Figura 4: Sitema de Controle Simple A equação diferencial linear de enéima ordem, a n d n c(t) dt n + a n d n c(t) dt n a o c(t) = b m d m r(t) dt m + b d m r(t) m b dt m o r(t), decreve muito itema de controle, invariante no tempo, como repreentado na Figura 4. Neta equação temo c(t) a aída, r(t) a entrada, a i com i =,, 2,..., n e b i com i =,, 2,..., m, ão parâmetro do itema. No último ano, apear de etarmo paando por uma crie econômica, o Brail paou por un momento em que houve um deenvolvimento notável na área da Indútria, Contrução Civil e Educação. Houve uma expanão da univeridade Pública e Intituto Federai de Enino, do itema de aúde e divero outro etore. Com ee crecimento, urgiu a neceidade de mão de obra qualicada para trabalhar nee etore e a Univeridade e Intituto Federai paaram a criar novo curo na área técnica e tecnológica, como também na área de formação de profeore, cujo objetivo é a qualicação de peoa para uprir a neceidade exigida pelo mercado de trabalho. A exemplo dio, o Intituto Federal de Ciência e Tecnologia da Paraíba, Campu Cajazeira, criou o curo de Automação Indutrial, Análie de Sitema, Matemática e Engenharia Civil, além do curo técnico de Eletromecânica e Edicaçõe. A maioria dee curo trabalha em ua ementa com problema advindo da Matemática Contínua. Como dito anteriormente, ete problema ão modelado por equaçõe diferenciai. Nete contexto, o objetivo geral do trabalho é: compreender o conceito da Tranformada de Laplace utilizando-o como método para reolução de equaçõe diferenciai que urgem na modelagem de problema em área como a Matemática, Fíica Engenharia e Indútria. O objetivo epecíco ão: Um itema de controle é invariante no tempo, quando a aída c(t) não depende do intante em que a entrada r(t) é aplicada. xvii

18 Denir a Tranformada de Laplace, decrevendo ua principai propriedade e reultado; Aplicar a Tranformada de Laplace como ferramenta para olucionar algun tipo de equaçõe diferenciai ordinária que urgem em modelagen de problema na Engenharia e Indútria; Obter oluçõe de algun problema na área da Matemática e da Fíica, cujo modelo ão equaçõe diferenciai. O trabalho foi deenvolvido com a eguinte etrutura: uma introdução, doi capítulo e doi apêndice. Na Introdução, apreentamo a diferença entre Matemática Dicreta e Contínua, abordamo algun modelo matemático que geram equaçõe diferenciai e detacamo o objetivo gerai e epecíco do trabalho. No primeiro capítulo, zemo um etudo epecíco da Tranformada de Laplace, abordando deniçõe, propriedade, teorema e reolução de exemplo. No egundo capítulo, trabalhamo com aplicaçõe, abordando problema da área de Matemática, Engenharia, Fíica e Indútria, em que podemo utilizar a Tranformada de Laplace para olucioná-lo. No Apêndice A, temo uma tabela da Tranformada de Laplace da principai funçõe e ua repectiva Tranformada Invera e no Apêndice B, apreentamo a demontração do Teorema.2. xviii

19 Capítulo A Tranformada de Laplace: Alguma Deniçõe, Propriedade e Principai Reultado O deenvolvimento dee capítulo tem como bae a referência [5, 7, 8].. Hitórico A Tranformada de Laplace é caracterizada pela aplicação de um operador integral a uma função f que geralmente tem eu domínio variando no tempo. Apear do operador er batizado com ee nome, eu deenvolvimento tem a contribuição de grande matemático e fíico. O urgimento da tranformada integral apareceu, primeiramente, em trabalho de Leonhard Euler, que coniderava, principalmente, a Tranformada Invera para reolver equaçõe diferenciai ordinária de egunda ordem. O próprio Laplace em um de eu trabalho intitulado de Théorie Analytique de Probabilite, publicado em 82, citou Euler como o primeiro a introduzir o uo dea tranformada. Apena em 878 é que o método integral é batizado com o nome "Tranformada de Laplace". Inicialmente, a denição de Tranformada de Laplace foi dada no conjunto do número reai não negativo. Ma no nal do éculo XIX, Poincaré e Pincherle deniram a tranformada na forma complexa e ainda mai tarde foi etendida para funçõe de dua variávei por Picard. Segundo Pacheco em [7], no trabalho de Bateman (9) etá preente a primeira aplicação moderna da Tranformada de Laplace, onde e tranformam equaçõe Pierre Simon Marqui de Laplace ( ) Apear ter nacido de uma família francea de clae baixa, tornou-e um renomado matemático, fíico e atrônomo por ter ecrito importante trabalho nea área. Introduziu a tranformada que levou eu nome em um trabalho obre teoria da probabilidade.

20 .2. Denição oriunda do trabalho de Rutherford obre decaimento radiativo, regido pela equação diferencial ordinária dp dt = λ ip, por meio de P () = e t P (t)dt, (.) chegando, aim, a equação deejada. Em (.) P (t), é a função que decreve o número de núcleo radioativo preente em uma amotra apó um determinado tempo. Em [7], Pacheco cita o trabalho de Oliver Heaviide, deenvolvido na área de Engenharia Elétrica, cujo título é Eletromagnetic Theory, onde ão apreentada técnica uando a Tranformada de Laplace para auxiliar engenheiro eletricita na reolução de problema deenvolvido em ua pequia. Ete trabalho completa o método da Tranformada de Laplace e etá dividido em trê volume, que foram publicado, repectivamente, no ano 894, 899 e 94. Hoje há uma vata aplicação da Tranformada de Laplace em trabalho deenvolvido em vária área como a Engenharia, a Economia, a Indútria e na própria Matemática..2 Denição A maior parte do problema que envolve o uo da Tranformada de Laplace tem como variação principal o tempo. Aim, é conveniente deni-la com um domínio t tal que t [, ). Denição. Seja f : [, ) R uma função. A Tranformada de Laplace de f, que denotaremo por L[f(t)] ou L(f), é a função F () = para todo tal que que a integral convirja. e t f(t)dt, (.2) Aim, quando a integral imprópria (.2) converge, o reultado é uma função de. Podemo coniderar R ou C, io dependerá da ituação problema em que o reultado for aplicado. Aqui, uamo a letra minúcula para indicar a função a er tranformada e a letra maiúcula para denotar a função tranformada, ou eja, L[f(t)] = F (). Como a integral (.2) é imprópria, podemo ecrevê-la da eguinte forma: F () = lim dede que o limite exita e eja nito. b b 2 e t f(t)dt

21 .3. Condiçõe Suciente para a Exitência de L[f(t)] Exemplo. Encontre a Tranformada de Laplace para a função f(t) =. Solução: L() = e t dt = lim b b e t dt. Fazendo u = t, temo du = dt. Aim, b ( ) [ du L() = lim e u = lim ] ( b b b eu = lim b e b + ) = dede que >. De acordo com a denição, oberve que e t [αf(t) + βg(t)]dt = α Portanto, quando amba a integrai convergem e t f(t)dt + β e t g(t)dt. L[αf(t) + βg(t)] = αl[f(t)] + βl[g(t)] = αf () + βg(). Aim, podemo armar que L é linear..3 Condiçõe Suciente para a Exitência de L[f(t)] A integral que dene a Tranformada de Laplace não neceariamente converge. Por exemplo, é fácil vericar que L( 2 t ) e L(et2 ) não exitem. A eguinte condiçõe garantem a exitência da tranformada (conforme reultado abaixo): a ) f é contínua por parte em [, ), ou eja, em todo intervalo a t b, há apena um número nito de decontinuidade e toda decontinuidade é de primeira epécie, ito é, exitem o limite laterai. 2 a ) f é de ordem exponencial, conforme denição a eguir. Denição.2 (Ordem exponencial). Dizemo que f : [, ) R é de ordem exponencial e exitem c, M > e T > tai que f(t) Me ct para todo t >T. Se f é crecente, a denição acima implemente diz que o gráco de f no intervalo [T, ) etá abaixo do gráco da função exponencial Me ct com c >. Por exemplo, a funçõe f(t) = t, f(t) = e t e f(t) = 2 co t ão toda de ordem exponencial para t >. Para ete cao, temo, repectivamente, t e t, e t e t e 2cot 2e t. 3

22 .3. Condiçõe Suciente para a Exitência de L[f(t)] Teorema. (Condiçõe Suciente para a Exitência da Tranformada de Laplace de uma dada Função). Seja c uma contante real. Se f(t) é uma função contínua por parte em [, ) e de ordem exponencial para t > T, então, ua Tranformada de Laplace exite para > c. Demontração: Temo, por denição, que Como T >, podemo ecrever F () = F () = T e t f(t)dt + e t f(t)dt. T e t f(t)dt. Sejam I = T e t f(t)dt e I 2 = T e t f(t)dt. Note que I exite, poi pode er ecrita como uma oma de integrai em intervalo em que e t f(t) eja contínua. Por outro lado, I 2 e t f(t) dt M e t e ct dt = M e ( c)t dt T T T = lim b M Fazendo u = ( c)t, temo du = ( c)dt e, portanto, b lim M b T e ( c)t dt = lim b M b T = M c lim b = M c lim b = M c e ( c)t. ( ) du e u c [ ] b e ( c)t T b [ e ( c)b e ( c)t ] T e ( c)t dt. Logo, I 2 converge para > c. Portanto, a Tranformada de Laplace exite para > c. Exemplo.2 Determine a Tranformada de Laplace da funçõe: a) f(t) = e 3t b) f(t) = en2t 4

23 .3. Condiçõe Suciente para a Exitência de L[f(t)] Solução: a) Uando a denição, L(e 3t ) = e t e 3t dt = lim b b e (+3)t dt. Fazendo u = ( + 3)t, temo du = ( + 3)dt e, portanto, b) Por denição, L(e 3t ) = lim b b = lim b b = + 3 lim b e (+3)t dt ( ) du e u + 3 ( ) b e (+3)t = + 3 lim b = + 3, > 3. ( e (+3)b ) L(en(2t)) = e t en(2t)dt = lim b b e t en(2t)dt. Fazendo u = en(2t) e dv = e t dt, temo du = 2 co(2t)dt e v = e t dt = e t Portanto, L(en(2t)) = + 2 e t co(2t)dt. Fazendo novamente u = co(2t) e dv = e t dt, temo du = 2 en(2t)dt e v = e t dt = e t. Daí, L[en(2t)] = 2 4 e t en(2t)dt 2 2 = L[en(2t)] = , >.. Exemplo.3 Calcular a Tranformada da eguinte função {, e t < 5 f(t) = 3, e t 5. 5

24 .3. Condiçõe Suciente para a Exitência de L[f(t)] Solução: Como a função é contínua por parte, ua Tranformada de Laplace é dada pela oma de dua integrai, ito é, L[f(t)] = = 5 = + 3 e t f(t) e t f(t)dt + 5 b b e t dt = 3 lim e t f(t)dt 5 [ ] e t b = 3 lim b 5 [ ] e b = 3 lim + e 5 b = 3 e 5, >. 5 e t f(t)dt A eguir apreentaremo a Tranformada de Laplace para alguma funçõe: Teorema.2 Tranformada de alguma funçõe báica. L[] =, > 2. L[t] = 2, > 3. L[t n ] = n! n+, > k 4. L[en(kt)] = 2 + k 2, > k 5. L[co(kt)] = 2 + k 2, > k 6. L[e at ] = a, 7. L[coh(kt)] = 8. L[enh(kt)] = > a 2 k 2, > k k 2 k 2, > k. A demontração de. já foi feita. O outro iten etão demontrado no Apêndice B. 6

25 .4. A Tranformada Invera Exemplo.4 Determinar a Tranformada de f(t) = co 2 t. Solução: Sabemo que co 2 t = [ + co(2t)]. Então pela a linearidade 2 [ ] + co(2t) L[co 2 t] = L = 2 2 L[] + 2 L[co(2t)]. Agora, pelo Teorema.2, temo que L[] = e L[co(2t)] = > 2. L[co 2 t] = A Tranformada Invera. Logo, = ( ) = ( 2 + 4) ( 2 + 4), Até o momento, trabalhamo com o eguinte problema: dada uma função f(t), o noo objetivo era tranformar ea função em outra função F () por meio do proceo de integração conhecido como Tranformada de Laplace. Agora, objetivamo trabalhar com o problema invero, ito é, dada uma função F (), procuramo encontrar uma função f(t) tal que ua Tranformada de Laplace eja F (). Aim, denimo f(t) como a Tranformada Invera de Laplace de F (), que denotaremo por f(t) = L [F ()]. Propoição. A Tranformada Invera de Laplace tem a propriedade de linearidade. Demontração: Para provarmo io, conideremo a e b contante e F () e G() funçõe tranformada de f e g. Então, repectivamente. L [af () + bg()] = L (al[f(t)] + bl[g(t)]) = L (L[af(t) + bg(t)]) = af(t) + bg(t) = al [F ()] + bl [G()]. Pode-e motrar também que e f e g ão funçõe contínua por parte em [, ) e de ordem exponencial, então e L[f(t)] = L[g(t)], f e g ão eencialmente iguai, ou eja, ela podem er diferente omente no ponto de decontinuidade de f e g. Io garante que a Tranformada Invera de Laplace de uma função F () não é neceariamente única. A eguir apreentamo a Tranformada Invera de Laplace para alguma funçõe. 7

26 .4. A Tranformada Invera Teorema.3 Vale o eguinte: ] [. () = L [ ] n! 2. t n = L n+ [ 3. e at = L a [ 4. en(kt) = L n =, 2, 3,... ] ] k 2 + k [ 2 ] 5. co(kt) = L 2 + k [ 2 ] 6. enh(kt) = L k 2 k [ 2 ] 7. coh(kt) = L. 2 k 2 A demontração dete teorema erá omitida, poi demanda o uo de variávei complexa. O leitor intereado pode bucar em []. Vejamo alguma aplicaçõe dete reultado. Exemplo.5 Determinar a Tranformada Invera pedida abaixo: a)l [ 3 ] b) L [ ]. Solução: a) Uando o item 2. do Teorema.3, com n = 2, e e multiplicarmo e dividirmo (a) por 2!, obtemo [ ] L = [ ] 2! 3 2! L = 3 2! t2 = t2 2. b) Primeiro, podemo ecrever [ ] [ L 5 = 5L Agora, oberve que e k 2 = 49 e multiplicarmo e dividirmo (b) por 7, e aplicarmo o item 4. do Teorema.3, obtemo [ ] L 5 = 5 7 [ ] L = en(7t). 8 ].

27 .4. A Tranformada Invera Exitem cao que para obtermo a Tranformada Invera, preciamo recorrer a técnica da fraçõe parciai. Abordaremo algun cao no exemplo a eguir. Exemplo.6 Se a Tranformada de Laplace de uma função f(t) é determine f(t) = L [F ()]. F () = Solução: Uando fraçõe parciai, podemo ecrever Da igualdade temo F () = = + 3 ( )( 2) A + B 2 A( 2) + B( ) =. ( )( 2) A( 2) + B( ) =, ( )( 2) + 3 = A( 2) + B( ), de onde obtemo A = 4 e B = 5. Portanto, F () = [ 2 ] L [F ()] = 4L = 4e t + 5e 2t, onde uamo o item 3. do Teorema.3. [ ] + 5L 2 Exemplo.7 Encontre a Tranformada Invera f(t) para F () = Solução: Uando fraçõe parciai, temo que F () = 2 ( + 4) = A + B + C ( + 4). A( + 4) + B( + 4) + C2 =. 2 ( + 4) Da igualdade 2 ( + 4) A( + 4) + B( + 4) + C2 =, 2 ( + 4) 9

28 .5. Teorema Sobre Delocamento e Derivada da Tranformada de Laplace egue que = A( + 4) + B( + 4) + C 2, de onde obtemo A = 6, B = 4 e C = 6. Aim, e, portanto, F () = 2 ( + 4) = f(t) = L [F ()] = 6 L [ ] + 4 L [ 2 ] = t + 6 e 4t. + [ ] 6 L Teorema Sobre Delocamento e Derivada da Tranformada de Laplace Encontrar a Tranformada de Laplace de uma função f(t) uando apena a De- nição. nem empre é conveniente, poi na maioria do cao, o cálculo ão batante trabalhoo. Para facilitar o proceo, apreentamo a eguir algun teorema que poibilitarão contruir uma lita bem mai completa de tranformada em neceitar uar diretamente a denição. Memo endo poível a contrução de tabela exteniva de Tranformada de Laplace é importante abermo a Tranformada de Laplace de alguma funçõe báica, tai como f(t) = t, f(t) = t n, f(t) = e at, f(t) = en(kt) e f(t) = co(kt). Teorema.4 (Primeiro Teorema do Delocamento). Seja a uma contante real. Se a Tranformada de Laplace da função f : [, ) R é F () para > c, então a Tranformada de Laplace da função g(t) = e at f(t) é G() = F ( a) para a > c. Demontração: Uando a denição, obtemo L[g(t)] = para a > c. e t g(t)dt = e t e at f(t)dt =.5. Alguma Aplicaçõe do Teorema.4 e ( a)t f(t)dt = F ( a) Exemplo.8 Sejam a e b contante. Conidere a função f : [, ) R dada por g(t) = e bt co(at). Determine ua Tranformada de Laplace.

29 .5. Teorema Sobre Delocamento e Derivada da Tranformada de Laplace Solução: Como para f(t) = co(at), temo por denição que F () = 2 +a 2 > a. Então, pelo Teorema.4, para g(t) = e bt co(at), G() = F ( b) = b ( b) 2 + a 2, > a. para Exemplo.9 Seja a uma contante. Conidere a função f : [, ) R denida por g(t) = coh(at). Determine ua Tranformada de Laplace. Solução: Para f(t) =, temo F () =, >. Logo, para temo G() = F ( a) = g(t) = coh(at) = eat + e at 2 = eat 2 + e at 2 2( a) + 2( + a) = para > a. 2 a2 Analogamente, para f(t) = enh(at) = eat e at temo 2 F () = 2( a) 2( + a) = a para > a. 2 a2.5.2 Forma Invera do Primeiro Teorema do Delocamento Podemo repreentar a forma invera do Teorema.4 por f(t) = L [F ()]. Para o cao em que F () = temo [ ] f(t) = L Dede que obtemo = ( + 2) 2 + = ( + 2) 2 + = + 2 ( + 2) ( + 2) 2 +, [ ] [ ] [ ] L = L + 2 L ( + 2) 2 + ( + 2) 2 + [ ] [ ] = e 2t L 2e 2t L = e 2t cot 2e 2t ent.

30 .5. Teorema Sobre Delocamento e Derivada da Tranformada de Laplace.5.3 Função Degrau Unitário ou Função de Heaviide Em muito problema de área como Fíica e Engenharia, é comum encontrarmo funçõe que podem repreentar dualidade, como a preença ou a auência de fenômeno de natureza elétrica ou mecânica por exemplo. Para cao como ete, é conveniente denir uma função epecial chamada de função Degrau Unitário ou função de Heaviide. Denição.3 A função H(t a) denida por {, e t < a H(t a) =, e t a é chamada função Degrau Unitário ou função de Heaviide. Repreentação gráca: Figura.: Função Degrau Unitário A função Degrau Unitário pode er uada para ecrever funçõe f(t) denida por parte em uma forma compacta. 2

31 .5. Teorema Sobre Delocamento e Derivada da Tranformada de Laplace Conidere a função f : [, ) R denida por { b(t), e t < a f(t) = c(t), e t a. Então, podemo ecrever poi pela Denição.3 f(t) = b(t) b(t)h(t a) + c(t)h(t a), f(t) = { b(t) b(t). + c(t)., e t < a b(t) b(t). + c(t)., e t a. Se f(t) for denida por, e t < a f(t) = b(t), e a t < b, e t b podemo ecrevê-la na forma f(t) = b(t)[h(t a) H(t b)]. Exemplo. Determinar a Tranformada de Laplace para a função Degrau Unitário f(t) = H(t a). Solução: Pela denição, temo F () = e t H(t a)dt = = a a e t H(t a)dt + e t dt b b = lim e t dt a ] = lim [ e t b b a ( ) e a = = e a, >. a e t H(t a)dt 3

32 .5. Teorema Sobre Delocamento e Derivada da Tranformada de Laplace Exemplo. A voltagem de um circuito elétrico é modelada pela função { t, e t < 2 V (t) =, e t 2. a) Eboce o gráco de V (t). b) Ue a função Degrau Unitário para ecrever uma expreão compacta de V (t). Solução: a) Gráco da Figura.2 Figura.2: Gráco da Voltagem b) V (t) = t th(t 2) Teorema.5 (Segundo Teorema do Delocamento). Seja a uma contante poitiva. Se a Tranformada de Laplace da função f : [, ) R é F (), então a Tranformada de Laplace da função g(t) = f(t a)h(t a) é G() = e a F (). 4

33 .5. Teorema Sobre Delocamento e Derivada da Tranformada de Laplace Demontração: G() = = = = Pela Denição., temo a a a e t f(t a)h(t a)dt e t f(t a)h(t a)dt + e t f(t a)h(t a)dt e t f(t a)dt a e t f(t a)h(t a)dt poi em [a, ) temo H(t a) =. Portanto, fazendo v = t a temo dv = dt. Aim, G() = e (v+a) f(v)dv = e v.e a f(v)dv = e a e v f(v)dv = e a F (). Vejamo um exemplo de como uar ete reultado. Exemplo.2 Calcular a Tranformada de Laplace para a função f(t) denida por { f(t) =, e t < 3 (t 3) 2, e t 3. Solução: Podemo ecrever a função na forma compacta como endo f(t) = (t 3) 2 H(t 3). Como a = 3, pelo Teorema.5, temo que F () = e 3 L[f(t)], onde f(t) = t 2. Portanto, F () = e 3 L[t 2 3 2! ] = e = 2e Forma Invera do Segundo Teorema da Tranlação Vimo no Teorema.5 que L[f(t a)h(t a)] = e a F (), onde F () é a Tranformada de f(t). Aim, a Tranformada Invera é dada por L [e a F ()] = f(t a)h(t a). 5

34 .5. Teorema Sobre Delocamento e Derivada da Tranformada de Laplace [ ] Exemplo.3 Calcular L e π Solução: Temo que a = π e 3 [ ] f(t) = L = 2 [ ] L = en(2t). Portanto, L [ e π ] = ( 2 en 2 t π ) ( H t π ). 3 3 Teorema.6 Se n N então Demontração: L[t n f(t)] = ( ) n dn d n F (). Para n =, provemo que L[tf(t)] = d F (). De fato, d F () = L[f(t)] d d F () = d d = = = = L[tf(t)]. e t f(t)dt [e t f(t)]dt te t f(t)dt e t tf(t)dt Suponha que a igualdade eja verdadeira para n = k. Então, devemo provar que ela é verdadeira para n = k +. Por hipótee, L[t k f(t)] = ( ) k dk d k F (). Aim, L[t k+ f(t)] = L[t.t k f(t)] = d d L[tk f(t)] pelo princípio de indução, o reultado egue. = ( ) d dk ( )k d d F () k = ( ) k+ dk+ F (), dk+ 6

35 .6. Tranformada de Laplace de Derivada, Integrai e Funçõe Periódica Exemplo.4 Encontre a Tranformada de Laplace da função f(t) = te 2t en(6t). Solução: Pelo Teorema.6, temo que L[te 2t en(6t)] = d d L[e2t en(6t)] = d [ ] 6 d ( 2) [ ] 6.2( 2) = [( 2) ] 2 = 2 24 [( 2) ] 2..6 Tranformada de Laplace de Derivada, Integrai e Funçõe Periódica Neta eção, vamo uar a Tranformada de Laplace para reolver algun tipo de equaçõe diferenciai. Para io, vamo preciar do eguinte reultado: Teorema.7 (Tranformada de uma Derivada). Se f(t), f (t),..., f (n ) (t) forem contínua em [, ), de ordem exponencial, e e f (n) (t) for contínua por parte em [, ), então com F () = L[f(t)]. L[f (n) (t)] = n F () n f() n 2 f ()... f (n ) () Demontração: Provemo por indução obre n. Para n =, L[f (t)] = e t f (t)dt. Fazendo u = e t e dv = f (t)dt, temo du = e t dt e v = f(t). Aim, [ L[f (t)] = lim e t f(t) ] b + e t f(t)dt b = f() + L[f(t)] = F () f(). Suponha que a expreão eja verdadeira para n = k, ou eja que L[f (k) (t)] = k F () k f() k 2 f () k 3 f ()... f (k ) (). 7

36 .6. Tranformada de Laplace de Derivada, Integrai e Funçõe Periódica Para n = k +, temo L[f (k+) (t)] = e t f (k+) (t)dt [ = lim e t f (k) (t) ] b + e t f (k) (t)dt b = f (k) () + L[f (k) (t)] = [ k F () k f() k 2 f () k 3 f ()... f (k ) ()] f (k) () = k+ F () k f() k f () k 2 f ()... f (k ) () f (k) (), pelo princípio de indução, o reultado egue. Vejamo um exemplo de como aplicar ete reultado. Exemplo.5 Determinar a Tranformada de Laplace da função onde k é uma contante. f(t) = ktco(kt) + en(kt) Solução: Oberve que f(t) = d (ten(kt)). Portanto, dt [ ] d L[f(t)] = L dt (ten(kt)) = L [ten(kt)] f() = ( dd ) L[en(kt)] = d ( ) k d 2 + k [ 2 ] k2 = ( 2 + k 2 ) 2 = 2k2 ( 2 + k 2 ) 2. Denição.4 (Convolução) Sejam f e g funçõe contínua por parte em [, ). Então, (f g)(t) = t é chamada convolução de f e g. f(ρ)g(t ρ)dρ Lema. A convolução de dua funçõe f e g é comutativa, ou eja, f g = g f. 8

37 .6. Tranformada de Laplace de Derivada, Integrai e Funçõe Periódica Demontração: Pela Denição.4, (f g)(t) = t Fazendo u = t ρ, então du = dρ. Portanto (f g)(t) = donde f g = g f. t f(ρ)g(t ρ)dρ. f(t u)g(u)( du) = = t t g(u)f(t u)du g(u)f(t u)du = (g f)(t), t, Teorema.8 (Teorema da Convolução) Sejam f e g funçõe contínua por parte em [, ) e de ordem exponencial. Então, Demontração: L[f g] = L[f g] = L[f(t)].L[g(t)] = F ()G(). Temo que e t f(t) g(t)dt = e t [ t ] f(z)g(t z)dzdt. Ea integração ocorre no plano tz como motra a Figura.3. Logo pelo Teorema de Fubini, L[f g] = t e t f(z)g(t z)dzdt = Se u = t z, então du = dt. Portanto, L[f g] = f(z) L[f g] = e (u+z) g(u)dudz = e z f(z)dz f(z) f(z) z e u g(u)du. L[f g] = L[f(z)] L[g(u)] = F () G(). e t g(t z)dtdz. e u e z g(u)dudz. OBSERVAÇÃO: A forma invera do Teorema da Convolução também é válida, ou eja, L [F () G()] = (f g)(t). 9

38 .6. Tranformada de Laplace de Derivada, Integrai e Funçõe Periódica Figura.3: Plano - tz Exemplo.6 Encontre a Tranformada de Laplace da função f(t) = t e ρ co(ρ)dρ. Solução: Pela denição de convolução, oberve que f(t) = (g h)(t), onde g(t) = e t co(t) e h(t) =. Logo, pelo Teorema da Convolução egue que Exemplo.7 Seja F () = f(t). Determine f(t). Solução: Temo que f(t) = L [F ()] = L [ 2 L[f] = L[g h] = L[g] L[h] = L[e t co(t)] L[] + = ( + ) = [( + ) 2 + ]., 2 ( 2 a Tranformada de Laplace de uma função + ) ] = L [H() G()] = (h g)(t), 2 + em que H() = e G() =. Daí, [ ] [ ] h(t) = L [H()] = L = t e g(t) = L [G()] = L = en(t)

39 .6. Tranformada de Laplace de Derivada, Integrai e Funçõe Periódica Aim, f(t) = (h g)(t) = t (t ρ)en(ρ)dρ. Fazendo u = t ρ e dv = en(ρ)dρ, obtemo du = dρ e v = en(ρ)dρ = co(ρ). Portanto, f(t) = (h g)(t) = t (t ρ)en(ρ)dρ = (t ρ) ( co(ρ)) t t co(ρ)dρ = t en(t)..6. Tranformada de uma Função Periódica Conidere uma função f periódica com período T, T >, ito é, f(t+t ) = f(t), para todo t. Aim, podemo obter ua Tranformada de Laplace por uma integração no intervalo [, T ]. Teorema.9 (Tranformada de uma Função Periódica). parte [, ) e de ordem exponencial. Se f for periódica de período T, então L[f(t)] = e T T e t f(t)dt. Seja f(t) contínua por Demontração: Vamo uar a Denição. e ecrever a Tranformada de Laplace como dua integrai, ito é, L[f(t)] = T e t f(t)dt + T e t f(t)dt. Sejam I = T e t f(t)dt e I 2 = T e t f(t)dt. Se zermo t = u + T, obtemo dt = du. Agora, ubtituindo na integral I 2, obtemo T e t f(t)dt = = e (u+t ) f(u + T )du e u e T f(u + t)du = e T e u f(u + T )du = e T e u f(u)du = e T L[f(t)]. 2

40 .6. Tranformada de Laplace de Derivada, Integrai e Funçõe Periódica Portanto, L[f(t)] = I + I 2 = T e t dt + e T L[f(t)] L[f(t)] [ e T ] = L[f(t)] = e T T T e t dt e t f(t)dt. Exemplo.8 Obter a Tranformada de Laplace para a Função de Onda Dente de Serra repreentada no Gráco.4, Figura.4: Função Dente de Serra Solução: Oberve que f(t) = at, t < b e f(b+t) = f(t) para todo t >. Como a b função é periódica de período T = b, podemo uar o Teorema.9 para concluirmo que b [ ] t at F () = e e b b dt = a b e t tdt. b( e b ) 22

41 .7. Função Delta de Dirac Fazendo u = t e dv = e t dt, obtemo du = dt e v = e t dt = e t. Aim, [ ] [ ( ( ] e t e t ) a b b F () = t b( e b ) [ ] [ ( ) ] a be b e t b = + b( e b ) 2 [ ] [ a be b = + e b + ] b( e b ) 2 [ ] [ 2 a be b = + ] e b b( e b ) 2 = ae b ( e b ) + a b 2 a = (e b ) + a b 2 = a [ b e b ]. ) dt.7 Função Delta de Dirac O itema mecânico frequentemente etão ujeito a fenômeno impulivo, ou eja, força externa que tem módulo muito elevado e atuam obre o itema por um período de tempo muito curto. Como exemplo, podemo citar uma bola de futebol quando é chutada, uma bola de inuca ao er atingida pelo taco, etc. A função δ p (t a) =, e t < a p 2p, e a p t < a + p, e t a + p com p > e a >, pode ervir como um modelo matemático de tai força. Para p muito pequeno, δ p (t a) é eencialmente uma função contante com módulo muito grande, que atua por um pequeno intervalo de tempo. Ea função é chamada de Impulo Unitário, devido ter a propriedade δ p (t a)dt =. Na prática, denimo a função Impulo Unitário, da eguinte maneira: δ(t a) = lim p δ p (t a). 23

42 .7. Função Delta de Dirac A expreão anterior, que não dene de fato uma função, ca caracterizada pela eguinte propriedade: {, e t = a a ) δ(t a) =, e t a; 2 a ) δ(t a)dt =. Chamamo de função Delta de Dirac, a expreão δ(t a). Podemo obter a Tranformada de Laplace da função Delta de Dirac, upondo de maneira formal que L[(δ(t a)] = lim p L[δ p (t a)]. Teorema. (Tranformada da Função Delta de Dirac). Tranformada de Laplace para a função Delta de Dirac é dada por L[δ(t a)] = e a. Se a >, então a Demontração: Podemo ecrever a função Impulo Unitário δ p (t a) em termo da função Degrau Unitário em ua forma compacta. Aim, δ p (t a) = [H(t (a p)) H(t (a + p))]. 2p Portanto, Daí, L[δ p (t a)] = L[H(t (a p)) H(t (a + p))] 2p = [ ] e (a p) e (a+p) ) 2p = 2p e a [ ] e p e p = e a [ e p e p 2p ]. L[δ(t a)] = lim L[δ p (t a)] p [ ] e = lim e a p e p p 2p [ ] e = e a p e p lim. p 2p 24

43 .7. Função Delta de Dirac Como ete último limite é indeterminado, então podemo utilizar a regra de L'Hôpital. Portanto, [ ] [ ] e L[δ(t a)] = e a p e p e lim = e a p + e p lim = e a, p 2p p 2 o que conclui a prova. OBSERVAÇÃO: Note que e a =, então L[δ(t a)] = L[δ(t)] = e =. Vejamo um exemplo de como aplicar a Tranformada de Laplace para reolver uma equação diferencial ordinária. Exemplo.9 Reolva a equação diferencial ujeito a condição inicial y() =. y (t) 3y(t) = δ(t 2), Solução: Aplicando a Tranformada de Laplace na equação acima, obtemo L[y (t)] 3L[y(t)] = L[δ(t 2)] Y () y() 3Y () = e 2 ( 3)Y () = e 2 Y () = e 2 3. Agora, aplicando a Tranformada Invera, concluímo que [ ] e L [Y ()] = L 2 3 y(t) = e 3(t 2) H(t 2). 25

44 Capítulo 2 Alguma Aplicaçõe da Tranformada de Laplace Nete capítulo, trabalharemo com o método da Tranformada de Laplace para reolução de problema em área como a Matemática, a Fíica, a Engenharia e a Automação Indutrial, nalizando com uma propota para o curo técnico de Eletromecânica e Edicaçõe do etudo introdutório de equaçõe diferenciai ordinária, uando a Tranformada de Laplace como ferramenta. 2. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária O deenvolvimento dea eção foi baeado na referência [5, 7]. Na Matemática, o método da Tranformada de Laplace é uma importante ferramenta para a reolução de equaçõe diferenciai lineare, particularmente, aquela que apreentam coeciente contante. A equação a n y (n) + a n y (n ) a y + a y = g(t), (2.) em que a i (i =, 2, 3,..., n) ão número reai quaiquer e a n, é chamada de equação diferencial linear de ordem n. Quando g(t) =, ou eja, g(t) é a função identicamente nula, dizemo que a equação (2.) é homogênea; cao g(t), ela é chamada de equação diferencial linear não homogênea. 26

45 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária 2.. Soluçõe de Equaçõe Diferencia Lineare de Primeira Ordem Homogênea Vamo utilizar o método da Tranformada de Laplace para reolver a equação diferencial linear homogênea de primeira ordem 2y (t) + y(t) =. Aplicando o método da Tranformada, temo L[2y (t)] + L[y(t)] = 2[Y () y()] + Y () = Aplicando a Tranformada Invera, obtemo (2 + )Y () = 2y() Y () = y() +. 2 L [Y ()] = y()l ( + 2 y(t) = y() e t 2. Fazendo y() = c, então y(t) = c e t 2, que é a olução da equação dada. Conidere, agora, a equação diferencial linear de primeira ordem homogênea dada por a y (t) + a y(t) =, com a, y() = c e a e a contante. Uando o método da Tranformada de Laplace e proeguindo como no exemplo anterior, obtemo Y () = Agora, aplicando a Tranformada Invera y() + a a. L [Y ()] = c L [ y(t) = ce a a t. + a a Chamando m = a a, então y(t) = ce mt. Oberve que m é olução da equação a m + a =. 27 ) ]

46 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária Ea equação é chamada de equação caracterítica aociada a equação diferencial linear de primeira ordem a y (t) + a y(t) =. Portanto, podemo concluir, uando o método da Tranformada de Laplace, que toda equação diferencial linear de primeira ordem homogênea tem olução da forma y(t) = ce mt onde m é a olução da equação caracterítica aociada à equação diferencial dada. Exemplo 2. Dê a olução geral da equaçõe diferenciai lineare homogênea de primeira ordem abaixo: a) y (t) + 2y(t) = b) 4y (t) 5y(t) = Solução: a) A equação caracterítica, nete cao, é m + 2 =. Reolvendo, obtemo m = 2. Portanto, a olução geral erá y(t) = ke 2t, em que k é uma contante real. b) A equação caracterítica, nete cao, é 4m 5 =. Reolvendo, obtemo m = 5 4. Portanto, a olução geral erá em que k é uma contante real. y(t) = ke 5t 4, 2..2 Soluçõe de Equaçõe Diferencia Lineare de Primeira Ordem não Homogênea A equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea a y (t) + a y(t) = g(t), pode er reolvida eguindo o eguinte roteiro: Pao : Encontramo a olução da equação homogênea. Pao 2: Encontramo a Tranformada de Laplace da função g(t) e dividimo pela equação caracterítica. Pao 3: Encontramo a Tranformada Invera do reultado do pao anterior e denotamo de olução particular y p. 28

47 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária Pao 4: A olução geral erá y(t) = y c + y p, onde y c é a olução da equação diferencial linear homogênea. Exemplo 2.2 Utilize o pao anteriore para encontrar a olução geral da equação 2 y (t) + 4y(t) = e 2t. Solução: Seguindo o roteiro dado, temo: o ) Pao: Como a equação caracterítica é m + 4 =, então m = 8. Logo, 2 y c (t) = ke 8t. 2 o ) Pao: g(t) = e 2t. Calculando ua Tranformada de Laplace, temo L[g(t)] = L[e 2t ] G() = 2. Dividindo G() pela equação caracterítica que é + 4 =, obtemo 2 De, G p () = 2 ( 2)( + 8) = A 2 + B + 8. (2.2) 2 A( + 8) + B( 2) = ( 2)( + 8) ( 2)( + 8). 2 = A( + 8) + B( 2), obtemo A = e B =. Subtituindo em 2.2, obtemo 5 5 G p () = o ) Pao: Aplicando a Tranformada Invera no reultado anterior, temo L[G p ()] = [ ] 5 L [ ] 2 5 L + 8 g p (t) = 5 e2t 5 e 8t que é a olução particular. 4 o ) Pao: Portanto a olução geral erá em que k é uma contante real. y(t) = y c (t) + g p (t) y(t) = ke 8t + 5 e2t 5 e 8t, 29

48 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária 2..3 Soluçõe de Equaçõe Diferencia Lineare de Segunda Ordem Homogênea Neta ubeção, conidere a equação diferencial linear homogênea de egunda ordem a 2 y (t) + a y (t) + a y(t) =, (2.3) com a 2, y() = c e y () = c 2. Aplicando o método da Tranformada de Laplace em (2.3), temo donde a 2 L[y (t)] + a L[y (t)] + a L[y(t)] = a 2 [ 2 Y () y() y ()] + a [Y () y()] + a Y (S) =, (a a + a ) Y () = (a 2 + a )c + a 2 c 2 Y () = (a 2 + a )c + a 2 c 2 a a + a. Como a 2, podemo dividir o numerador e o denominador por a 2, obtendo Y () = c + a a 2 c + c a a 2 + a. a 2 Podemo ecrever o denominador como diferença de doi quadrado, como e egue 2 + a + a ( ) ( ) 2 ( ) 2 = 2 a a a a a 2 a 2 2a 2 2a 2 2a 2 a 2 ( ) ( ) [ 2 ( ) ] 2 = 2 a a a a 2a 2 2a 2 2a 2 a 2 ( = 2 2 a ) ( ) 2 a + 2a 2 2a 2 = [ ( a )] 2 ( a a 2 2a 2 Pela diferença de doi quadrado, egue que 2 + a + a = a 2 a 2 ( = a ) ( ) 2 a + a 2a 2 2a 2 a 2 ( = a ) 2 a a 2a 2 2a 2 a 2 ( ) 2 a a 2a 2 a 2 2 ) 2 a ( a 2a 2 a 2 a 2a 2 + ) ( ) 2 a a 2a 2 a 2 ( ) 2 a a. 2a 2 a 2 2 3

49 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária Fazendo α = a 2a 2 e θ = ( a 2a 2 ) 2 a a 2, obtemo Portanto, 2 + a a 2 + a a 2 = [ (α θ)] [ (α + θ)]. Y () = c + a a 2 c + c 2 [ (α θ)] [ (α + θ)]. Em relação a θ = ( a 2a 2 ) 2 a a 2, é neceário coniderarmo trê cao: a 2 Cao : > a. 4a 2 2 a 2 Nete cao, a equação polinomial 2 + a a 2 + a a 2 m = α θ e m 2 = α + θ. Logo, = tem dua raíze reai e ditinta Y () = c + a a 2 c + c 2 ( m )( m 2 ) ( ) = c ( m )( m 2 ) + a c + c 2 a 2 ( m )( m 2 ) Aplicando a Tranformada Invera [ ] ( ) [ L [Y ()] = c L a + c + c 2 L ( m )( m 2 ) a 2 Uando fraçõe parciai, podemo ecrever ( m )( m 2 ) ( m )( m 2 ) = A ( m ) + B ( m 2 ) = A( m 2) + B( m ). ( m )( m 2 ) Daí, obtemo A = m m 2 m e B = m 2 m 2 m. Aim, ( m )( m 2 ) = m (m 2 m )( m ) + m 2 (m 2 m )( m 2 ) m 2 Portanto, [ ] L = ( m )( m 2 ) m 2 m = (m 2 m )( m 2 ) m (m 2 m )( m ) [ m2 = m ]. m 2 m m 2 m = [ L [ [ m2 e m2t m e ] m t m 2 m = m 2e m 2t m e m t m 2 m. 3 ] [ ]] m2 L m m 2 m ].

50 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária Da mema forma, egue que ( m )( m 2 ) = A ( m ) + B ( m 2 ) = A( m 2) + B( m ). ( m )( m 2 ) Daí, obtemo A = m 2 m e B = m 2 m. Logo, ( m )( m 2 ) = (m 2 m )( m 2 ) [ = m 2 m m 2 m (m 2 m )( m ) ]. Portanto, [ ] [ ] [ ]] L = [L L ( m )( m 2 ) m 2 m m 2 m [ = e m 2 t e ] m t = em2t e mt. m 2 m m 2 m Subtituindo o reultado obtido na igualdade [ ] ( ) [ L [Y ()] = c L a + c + c 2 L ( m )( m 2 ) a 2 ( m )( m 2 ) obtemo [ ] ( ) [ m2 e m2t m e m t a e m 2 ] t e m t y(t) = c + c + c 2 m 2 m a 2 m 2 m = c ( ) m 2 e m2t a + c + c 2 e m2t c m e m t m 2 m a 2 m 2 m m 2 m ( ) a c + c 2 e m t a 2 m 2 m [ ( )] c m = 2 a + c + c 2 e m 2t m 2 m m 2 m a [ ( 2 )] c m + a c + c 2 e mt. m 2 m m 2 m a 2 Portanto, y(t) = k e mt + k 2 e m2t, [ ( )] [ c m onde k = m 2 m a c m m 2 m a 2 c + c 2 e k 2 = 2 m 2 m + contante reai e m e m 2 ão raíze da equação a 2 m 2 + a m + a =, 32 ( a m 2 m a 2 c + c 2 )] ], ão

51 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária chamada de equação caracterítica da equação diferencial linear homogênea a 2 y (t) + a y (t) + a y(t) =. a 2 Cao 2: = a. 4a 2 2 a 2 Para ete cao, a equação polinomial 2 + a a 2 + a a 2 iguai m = m 2 = α. Logo, = tem dua raíze reai e Y () = c + a a 2 c + c 2 ( m )( m ) = c + a a 2 c + c 2 ( m ) 2 = c m c + m c + a a 2 c + c 2 ( m ) 2 = c ( m ) ( m ) + +m c + a a 2 c + c 2 2 ( m ) ( 2 = c [c ( m ) c m + a )] a 2 ( m ). 2 Aplicando a Tranformada Invera, obtemo [ ] L [Y ()] = c L + ( m ) ( y(t) = c e mt + [c 2 + c m + a a 2 = k e m t + k 2 te m t, [c 2 + c ( m + a )] te m t a 2 )] L [ ] ( m ) 2 ( )] onde k = c e k 2 = [c 2 + c m + a a 2 ão contante reai e m é a raiz dupla da equação caracterítica a 2 m 2 + a m + a =. Cao 3: a 2 4a 2 2 < a a 2. Nee cao, m = α θi e m 2 = α + θi ão raíze complexa conjugada da equação polinomial 2 + a a 2 + a a 2 =. 33

52 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária Aim, Y () = c + a a 2 c + c 2 [ (α θi)][ (α + θi)] = c + a a 2 c + c 2 ( α)) 2 + θ 2 = c + αc αc + a a 2 c + c 2 ( α)) 2 + θ [ 2 ( ( α) = c ( α) 2 + θ + a c c [ ( )] a = c 2 + c + α a 2 )] + α a 2 ( α) 2 + θ 2 ( α) 2 + θ + c ( α) 2 ( α) 2 + θ. 2 Aplicando a Tranformada Invera na equação anterior, obtemo [ ( )] [ ] [ ] L a [Y ()] = c 2 + c + α L + c a 2 ( α) 2 + θ 2 L ( α) ( α) 2 + θ [ ( )] [ ] [ 2 ] a θ y(t) = c 2 + c + α a 2 θ L + c ( α) 2 + θ 2 L ( α) ( α) 2 + θ [ ( )] 2 a = c 2 + c + α a 2 θ eαt en(θt) + c e αt co(θt) = k e αt en(θt) + k 2 e αt co(θt) = e αt [k en(θt) + k 2 co(θt)], ( )] onde k 2 = c e k = [c a θ 2 + c a 2 + α ão contante reai. Portanto, concluímo que a equação diferencial linear de egunda ordem homogênea tem olução geral: a 2 y (t) + a y (t) + a y =, y(t) = k e m t + k 2 e m 2t, e ua equação caracterítica aociada tem dua raíze reai e ditinta. y(t) = k e m t +k 2 te m t, e ua equação caracterítica aociada tem dua raíze reai e iguai. y(t) = e αt [k en(θt) + k 2 co(θt)], e ua equação caracterítica aociada tem dua raíze complexa conjugada m = α θi e m 2 = α + θi. Vejamo um exemplo do que foi vito. 34

53 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária Exemplo 2.3 Reolver a equaçõe diferenciai abaixo: a) y (t) y (t) 6y(t) = ; b) y (t) + 8y (t) + 6y(t) = ; c) y (t) 4y (t) + 5y(t) =. Solução: a) A equação caracterítica, nete cao, é m 2 m 6 =. Reolvendo, obtemo m = 3 e m 2 = 2. Portanto, a olução geral erá y(t) = k e 3t + k 2 e 2t, em que k e k 2 ão contante reai. b) Nete item, a equação caracterítica ca m 2 + 8m + 6 =. Reolvendo, obtemo m = m 2 = 4. Portanto, a olução geral erá y(t) = k e 4t + k 2 te 4t, com k e k 2 endo contante reai. c) Nete item, a equação caracterítica ca m 2 4m + 5 =. Reolvendo, obtemo m = 2 + i e m 2 = 2 i. Portanto, a olução geral erá com k e k 2 endo contante reai. y(t) = e 2t [k ent + k 2 cot], 2..4 Soluçõe de Equaçõe Diferenciai Lineare de Segunda Ordem não Homogênea Para a equação diferencial linear não homogênea de egunda ordem a 2 y (t) + a y (t) + a y(t) = g(t), podemo obter a olução geral eguindo o pao: Pao : Encontramo a olução da equação homogênea, uando uando o que foi motrado anteriormente. Pao 2: Encontramo a Tranformada de Laplace da função g(t) e dividimo pela equação caracterítica. Pao 3: Encontramo a Tranformada Invera do reultado do pao anterior, obtendo aim uma olução particular y p. 35

54 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária Pao 4: A olução geral erá y(t) = y c + y p, onde y c é a olução da equação diferencial linear homogênea. Exemplo 2.4 Uando o roteiro acima, dê a olução geral para a equaçõe diferenciai lineare não homogênea abaixo. a) y (t) 6y (t) + 9y(t) = t 2 e 3t b) y (t) 5y (t) + 6y(t) = t 2 + Solução: a) o ) Pao: A equação caracterítica é m 2 6m + 9 =, que tem como raíze m = m 2 = 3. Portanto, y c (t) = k e 3t + k 2 te 3t com k e k 2 contante reai. 2 o ) Pao: Calculando a Tranformada de Laplace de g(t) = t 2 e 3t, obtemo L[g(t)] = L[t 2 e 3t ] 2! G() = ( 3). 3 Dividindo G() pela equação caracterítica = ( 3) 2, 2 obtemo G p () = ( 3). 5 3 o ) Pao: Calculando a Tranformada Invera de G p (), temo [ ] L [G p ()] = L 2 ( 3) 5 g p (t) = 2 4! L = 2 t4 e 3t. 4 o ) Pao: Finalmente, temo a olução geral y(t) = y c (t) + g p (t) [ 4! ( 3) 5 = k e 3t + k 2 te 3t + 2 t4 e 3t, em que k e k 2 ão contante reai. b) o ) Pao: A equação caracterítica é m 2 5m + 6 =, que tem como raíze m = 2 e m 2 = 3. Portanto, y c (t) = k e 2t + k 2 te 3t 36 ]

55 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária com k e k 2 contante reai. 2 o ) Pao: Calculando a Tranformada de Laplace de g(t) = t 2 +, obtemo, L[g(t)] = L[t 2 + ] = L[t 2 ] + L[] G() = Dividindo G() pela equação caracterítica obtemo G p () = 3 ( 2)( 3) = A + B + C 2 + D E 3 = = ( 2)( 3), = A2 ( 2)( 3) + B( 2)( 3) + C( 2)( 3) + D 3 ( 3) + E 3 ( 2). 3 ( 2)( 3) Daí, obtemo A = 37, B = 5, C =, D = 3, e E = Logo, G p () = o ) Pao: Calculando a Tranformada Invera de G p (), temo L [G p ()] = 37 [ ] 8 L + 58 [ ] L + 3 [ ] 2 L 3 [ 3 4 L 3 g p (t) = t + t e3t + 27 e2t. 4 o ) Pao: Finalmente, temo a olução geral y(t) = y c (t) + g p (t) 2. = k e 2t + k 2 e 3t t + t e3t + 27 e2t, em que k e k 2 ão contante reai. ] + [ ] 27 L 2 Para obtermo uma olução com parâmetro y() e y () denido, podemo aplicar diretamente o método da Tranformada de Laplace. Vejamo um exemplo. 37

56 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária Exemplo 2.5 Obter uma olução para y (t) 4y (t) + 4y(t) = t 3 e 2t, com a condiçõe iniciai y() = e y () =. Solução: Aplicando a Tranformada de Laplace, obtemo L[y (t)] 4L[y (t)] + 4[y(t)] = L[t 3 e 2t ] [S 2 Y () y() y 3! ()] 4[Y () y()] + 4Y () = ( 2). 4 Subtituindo y() = e y () =, obtemo [ ]Y () = Y () = = 6 ( 4) 4 6 ( 2) 4 ( ) 6 ( 2). 6 Aplicando a Tranformada Invera na última equação, concluímo que [ ] L [Y ()] = L 6 ( 2) 6 y(t) = 6 [ ] 5! 5! L ( 2) 6 = 2 t5 e 2t, que é uma olução particular para a referida equação Soluçõe de Equaçõe Diferenciai Lineare de Ordem Superior O método da Tranformada de Laplace também é útil para reolver equaçõe diferenciai lineare de ordem n, com n > 2. Para enfatizarmo io, vamo reolver a equação de terceira ordem 2y (t) + 3y (t) 3y (t) 2y(t) = e t, com a condiçõe iniciai y() =, y () = e y () =. Aplicando a Tranformada de Laplace, temo 2L[y (t)] + 3L[y (t)] 3L[y (t)] 2L[y(t)] = L[e t ] 38

57 2.. Aplicação na Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária 2[ 3 Y () 2 y() y () y ()] + 3[ 2 Y () y() y ()] 3[Y () y()] 2Y () = +. Subtituindo y() =, y () = e y () =, obtemo [ ]Y () 2 = + + Y () = = ( )( + ). Oberve que é olução de =. Portanto, = ( )( ) = ( )( + )( + 2). 2 Daí, Y () = A ( + )( )( + = )( + 2) + + B + C D + 2. Da igualdade A ( + )( )( + = )( + 2) + + B + C D + 2, obtemo A = 2, B = 5 8, C = 9 6 e D = 9. Aim, Y () = ( + )( )( + )( + 2) 2 = Aplicando a Tranformada Invera na última equação, obtemo L [Y ()] = [ ] 2 L + 5 [ ] + 8 L 9 [ ] 6 L + 2 y(t) = 2 e t et Portanto, concluímo que t 9 e 9 e 2t. y(t) = 2 e t et 6 39 t 9 e e 2t + [ ] 9 L + 2

58 2.2. Aplicação na Reolução de Problema em Engenharia é uma olução particular para a referida equação diferencial. Para a olução geral, bata eguir o roteiro motrado para oluçõe de equaçõe lineare não homogênea de primeira e egunda ordem. Percebe-e que a Tranformada de Laplace é uma ferramenta poderoa para a reolução de problema de valor inicial, cuja modelagem é uma equação diferencial linear de ordem n com coeciente contante. 2.2 Aplicação na Reolução de Problema em Engenharia O deenvolvimento dea eção teve como bae a referência [5, 9]. O método da Tranformada de Laplace é utilizado na reolução de problema em divera área da Engenharia como, por exemplo, em reitência de materiai, deexão de viga, circuito elétrico e mecânica do uído. Daremo ênfae aqui ao uo do método na reolução de problema envolvendo deexão de viga, conteúdo que faz parte da ementa do curo de Engenharia Civil. Noo objetivo é tornar o trabalho uma fonte de pequia que auxilie no etudo do tema. Para io, vamo coniderar uma viga uniforme de comprimento L e y(x) o delocamento tranveral medido para baixo para uportar uma carga W (x), quando a mema é ditribuída em ponto epecíco, intervalo ou uniformimente em toda viga. O modelo matemático que decreve a ituação para qualquer um do cao citado acima é a equação diferencial linear de quarta ordem EI d4 y dx 4 = W (x), onde x é o intervalo da viga em que a carga etá concentrada, E é o módulo da Elaticidade de Young e I é o momento de inércia de uma ecção tranveral da mema. Dede que a viga tenha propriedade elática uniforme e uma ecção tranveral uniforme em todo eu comprimento, E e I ão coniderado contante. Em ambo o cao, o método da Tranformada de Laplace é importante no cálculo da deexão. No cao em que a carga é ditribuída uniformimente ao longo de todo o comprimento da viga, W (x) é contante. Se a carga W (x) é ditribuída em intervalo denido da viga, a função de ditribuição de carga é determinada pela função Degrau Unitário ou função de Heaviide e e a carga é ditribuída em ponto epecíco da viga, a função de ditribuição de carga é determinada pela função Delta de Dirac ou Impulo Unitário. 4

59 2.2. Aplicação na Reolução de Problema em Engenharia Exitem vária ituaçõe a erem analiada para o cálculo da deexão y(x). Analiaremo, aqui, algun cao. o Cao: Conidere uma viga de comprimento L engatada, ou eja, xa em ambo o extremo como motra a Figura 2.. Vamo determinar a deexão da viga. Figura 2.: Viga Engatada no Extremo Quando W (x) = k for contante e etiver ditribuída uniformimente ao longo de todo o comprimento, conideramo a condiçõe y() =, y(l) =, y () = e y (L) =. O ignicado de cada uma da condiçõe iniciai dada ão: y() = e y(l) = (A deexão da viga na extremidade é nula); y () = e y (L) = (A inclinação da viga na extremidade é nula). Para o cálculo da deexão, aplicamo a Tranformada de Laplace na equação Aim donde obtemo EI d4 y dx 4 = W (x). [ ] L EI d4 y = L[W (x)], dx 4 EI[ 4 Y () 3 y() 2 y () y () y () = kl[] EI[ 4 Y () 3 y() 2 y () y () y ()] = k. 4

60 2.2. Aplicação na Reolução de Problema em Engenharia Subtituindo y() = e y () =, obtemo EI[ 4 Y () y () y ()] = k 4 Y () y () y () = k EI Y () = k EI + y () + y () Fazendo y () = k e y () = k 2 na última equação, obtemo Y () = k EI + k 5 + k Aplicando a Tranformada Invera, temo L [Y ()] = k [ ] [ ] [ ] EI L + k 5 L + k 3 2 L 4 y(x) = k EI [ ] 4! 4! L + k [ ] L + k [ ] 2 3! 3 3! L 4 = k 24EI x4 + k 2 x2 + k 2 6 x3. Como y(l) = e y (L) =, podemo obter k e k 2, uando a equação y(x) = Aim, para y(l) =, obtemo Derivando (2.4), temo k 24EI x4 + k 2 x2 + k 2 6 x3. (2.4) k 24EI L4 + k 2 L2 + k 2 6 L3 =. (2.5) y (x) = Portanto, para y (L) =, obtemo k 6EI x3 + k x + k 2 2 x2. (2.6) k 6EI L3 + k L + k 2 2 L2 =. (2.7) Conidere, agora, o itema formado por (2.5) e (2.7), a aber, ( L 2 k 2 + k 2 6 L + K ) 24EI L2 = ( L k + k 2 2 L + K ) 6EI L2 = 42

61 2.2. Aplicação na Reolução de Problema em Engenharia Reolvendo o itema, obtemo k = k 2EI L2 e k 2 = k 2EI y(x) = k 24EI x4 + kl2 24EI x2 kl 2EI x3 = k ( ) x 4 2EI 2 + L2 2 x2 Lx 3. L. Portanto, 2 o Cao: Conidere, agora, uma viga uniforme de comprimento L, xada na extremidade como motra a Figura 2.2, uportando uma carga por unidade de comprimento dada por k, e x < L 2 W (x) =, e L 2 x L, onde k é uma contante. Vamo determinar a função que decreve a deexão y(x) Figura 2.2: Viga Engatada no Extremo com a mema condiçõe do cao anterior. A carga etá ditribuída na primeira metade da viga, ou eja, em um intervalo da mema. Para aplicar o método da Tranformada de Laplace, preciamo ecrever a carga W (x) na forma de função compacta de Heaviide, ito é, W (x) = k k H ( x L 2 ). Aim, ( EI d4 y dx = k k H x L )