RICARDO GUIMARÃES SANTANA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS COM TRANSFORMADA DE LAPLACE MONOGRAFIA DE ESPECIALIZAÇÃO

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA RICARDO GUIMARÃES SANTANA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS COM TRANSFORMADA DE LAPLACE MONOGRAFIA DE ESPECIALIZAÇÃO CAMPO MOURÃO 23

2 RICARDO GUIMARÃES SANTANA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS COM TRANSFORMADA DE LAPLACE Monografia apreentada ao Programa de Pógraduação em Matemática da Univeridade Tecnológica Federal do Paraná como requiito parcial para obtenção do título de Epecialita em Ciência Área de Concentração: Matemática. Orientadora: Viviane Colucci Co-orientador: Adilandri Mércio Lobeiro CAMPO MOURÃO 23

3 TERMO DE APROVAÇÃO Ricardo Guimarãe Santana Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária com Tranformada de Laplace Monografia apreentada ao Programa de Pó-graduação em Matemática da Univeridade Tecnológica Federal do Paraná como requiito parcial para obtenção do título de Epecialita em Ciência Área de Concentração: Matemática. Orientador: Prof. Mc.Viviane Colucci Co-orientador: Prof. Dr. Adilandri Mércio Lobeiro Prof. PhD. Juan Amadeo Soriano Palomino Campo Mourão, 23

4 Dedico eta, e toda a minha conquita, incluive a que ainda etão por vir, a Deu, ao meu querido e amado pai Valdenion e Márcia, ao meu irmão Rafael e a toda minha família.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deu, por etar ao meu lado em todo o momento da minha vida, principalmente no mai difícei. Agradeço também ao meu pai por todo o apoio que me deram dede o dia em que comecei minha trajetória acadêmica, ao meu irmão e toda minha família. Agradeço a profeora Viviane pela dipoição e paciência na orientação, pelo apoio que tornou a concluão dete trabalho poível. Ao profeor Adilandri, como co-orientador dete trabalho e coordenador do curo, pelo convívio, pelo apoio, pela compreenão e pela amizade. Ao profeore do curo, todo me deram a oportunidade de agregar um pouco mai de conhecimento, o qual em duvida nenhuma erá muito importante na minha caminhada daqui para frente. Ao meu amigo de viajem, o quai todo o finai de emana que tínhamo aula encarávamo 3Km de etrada de noa caa até a intituição onde aitíamo a aula. E ao colega de turma, pelo incentivo e pelo apoio contante.

6 A matemática é o alfabeto com o qual Deu ecreveu o univero. (Pitágora)

7 RESUMO SANTANA, Ricardo Guimarãe. Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária com Tranformada de Laplace. 58 f. Monografia Programa de Pó-graduação em Matemática, Univeridade Tecnológica Federal do Paraná. Campo Mourão, 23. Reolver equaçõe diferenciai não é uma tarefa fácil, exitem divero método diferente, todo têm ua facilidade, dificuldade e limitaçõe. A tranformada de Laplace não é diferente, têm ua retriçõe, io ignifica que não é em toda a ituaçõe que podemo uá-la, porém ao aplicarmo ea tranformada, ela no diponibiliza uma mudança na forma da equação diferencial, aim facilitando o meio para chegarmo à olução da equação. Nete trabalho foi realizado um etudo detalhado obre ea tranformada, e que exitem fórmula para facilitar o eu uo. O teorema de tranlação no da uporte para aplicar a tranformada em funçõe que não podemo uar diretamente a fórmula. Será motrado o proceo de como reolver equaçõe diferenciai com a tranformada de Laplace e também alguma ituaçõe encontrada na fíica que podem er reolvida com a ajuda dea tranformada. Palavra-chave: equaçõe, diferenciai, tranformada, Laplace

8 ABSTRACT SANTANA, Ricardo Guimarãe. Solving Ordinary Differential Equation with Laplace tranform. 58 f. Monografia Programa de Pó-graduação em Matemática, Univeridade Tecnológica Federal do Paraná. Campo Mourão, 23. Solving differential equation i not an eay tak, there are everal different method all have their facilitie, difficultie and limitation. The Laplace tranform i no different, have their retriction, thi mean that it i not in all ituation we can ue it, but to apply thi tranform, it provide u with a change in the differential equation, thu facilitating the mean to get the olution of the equation. In thi paper we preent a detailed tudy on thi tranformed, and that there are formula to facilitate it ue. The theorem in the tranlational upport for applying the tranform function in that we can not directly ue the formula. Will be hown the proce of how to olve differential equation with Laplace tranform and alo ome ituation encountered in phyic that can be olved with the help of thi tranform. Keyword: equation, differential, tranform, Laplace

9 SUMÁRIO INTRODUÇÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DIMENSÃO HISTÓRICA UMA BREVE INTRODUÇÃO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Tipo Ordem Linearidade Solução A TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES A tranformada de Laplace é linear Condiçõe uficiente para exitência de L { f(t)} TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNÇÕES BÁSICAS TRANSFORMADA INVERSA Tranformada de Laplace invera é linear Fraçõe Parciai TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO E DERIVADA DE UMA TRANSFORMADA 3 4. PRIMEIRO TEOREMA DE TRANSLAÇÃO SEGUNDO TEOREMA DE TRANSLAÇÃO DERIVADAS E INTEGRAIS DE TRANSFORMADAS TRANSFORMADA DE DERIVADA, INTEGRAL E FUNÇÃO PERIÓDICA TRANSFORMADA DE UMA DERIVADA CONVOLUÇÃO TRANSFORMADA DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA RESOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM TL PROCEDIMENTO APLICAÇÕES CONCLUSÃO REFERÊNCIAS ANEXO A -- TRANSFORMADA DE LAPLACE: FÓRMULAS GERAIS

10 7 INTRODUÇÃO Memo que não percebemo a equaçõe diferencia, fazem parte do noo dia a dia, no etudo da matemática e ão utilizada em muita área da ciência. Sempre que indagarmo obre a evolução de um dado fenômeno uceptível de tratamento matemático, do qual abemo algo obre como varia no tempo, etaremo pretendendo reolver uma equação diferencial (LEITHOLD, 994, p.3); na fíica muita da fórmula que uamo para reolver problema, ão equaçõe diferenciai, por exemplo, na fíica cláica a egunda lei de Newton: F = m a nada mai é que uma equação diferencial: F ( r,t) = m d2 r dt 2 Também ão utilizada para cálculo de decaimento radioativo, controle de tráfego, taxa de crecimento populacional, entre muita outra coia. A equaçõe diferenciai etão totalmente ligada ao etudo de integrai e derivada. Claificamo a equaçõe diferenciai em: equaçõe diferenciai ordinária e equaçõe diferenciai parciai. Exitem divera forma de encontrar a oluçõe dea equaçõe, como o método da variávei eparávei, coeficiente contante, tranformada de Laplace, entre outro. Nete trabalho etudaremo apena a equaçõe diferenciai ordinária e como método de olução a tranformada de Laplace. A tranformada de Laplace é utilizada para etudo de itema de controle lineare e invariante no tempo. Ee itema ão repreentado por equaçõe diferenciai em relação a variável tempo, onde muita veze o método de oluçõe mai cláico tornam-e inviávei. Como por exemplo, um itema de maa-mola que pode er repreentado pela eguinte equação diferencial: m d2 x dt 2 + β dx dt + kx = f(t)

11 8 A maior vantagem da tranformada de Laplace é que ela tranforma o problema de uma equação diferencial em um problema de equação algébrica, deixando o problema um pouco mai imple de er reolvido, já que claramente reolver um problema algébrico é mai imple que reolver um problema com diferenciação.

12 9 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 2. DIMENSÃO HISTÓRICA A hitória da equaçõe diferenciai etá entrelaçada com o etudo do cálculo e também o etudo da fíica. Grande nome de matemático e fíico fizeram contribuição para o deenvolvimento deta área da matemática. Iaac Newton ( ) e Gottfried Wilhelm Leibniz (646-76), foram o primeiro a etudar a área da equaçõe diferencia durante o éculo XVII. Newton atuou pouco neta área, porém eu etudo em cálculo e ua compreenão no princípio báico da mecânica foram um importante alicerce para a aplicação da equaçõe diferenciai no éculo XVIII. A notação dy para derivada e o inal de integral ão invençõe de Leibniz. Em 69 dx decobriu o método de eparação de variávei, no memo ano também deenvolveu o método de redução de equaçõe homogênea a equação eparávei. Em 694 criou o proceo para reolver equaçõe lineare de primeira ordem. O irmão Bernoulli, Jakob (654-75) e Johann ( ) foram importante para o deenvolvimento de método para reolver equaçõe diferenciai e para ampliar o campo de ua aplicaçõe (BOYCE; DIPRIMA, 26, p. 5). Johann compreendeu o princípio da mecânica e coneguiu modelar matematicamente acontecimento fíico com o auxílio de equaçõe diferenciai e encontrar ua oluçõe. Jakob por ua vez reolveu a equação diferencial y =[a 3 /(b 2.y a 3 )] 2. O filho de Johann, Daniel Bernoulli (7-782) também etudou equaçõe diferenciai e foi o primeiro a encontrar a funçõe de Beel. Leonhard Euler (77-783), inventou método para reolver divero tipo de equaçõe diferenciai, a chave para eu entendimento era eu conhecimento e percepção de funçõe (DINIZ, 26). Euler decobriu quai a condiçõe para que uma equação diferencial de primeira ordem eja exata, criou o teorema de fatore integrante, achou a olução geral de equaçõe lineare homogênea uando o coeficiente contante e alargou ete reultado para equaçõe não homogênea,além dio, uou érie de potência para reolver equaçõe diferenciai. Também fez

13 contribuiçõe para equaçõe diferenciai parciai. Entre o ano de , Joeph-Loui Lagrange (736-83), etudou equaçõe diferenciai e motrou que a olução de uma equação diferencial linear homogênea de ordem n é uma combinação linear de n oluçõe independente, também deenvolveu o método de variação de parâmetro e ainda fez etudo com equaçõe diferenciai parciai. Apear de ter ido detaque na área da mecânica Pierre-Simon de Laplace ( ) também fez contribuiçõe para equaçõe diferenciai, a tranformada de Laplace ( TL), eta que erá etudada nete trabalho, leva ete nome em ua homenagem. No final do éculo XIX já havia ido inventada inúmera forma de reolver equaçõe diferenciai, porém muita deta ainda mantinham-e em oluçõe. Um método auxiliar para encontrar oluçõe eria o método de aproximação numérica, que apreentava uma olução aproximada. Em meado de 9, muito método de integração numérica já exitiam, porém reolver ee cálculo a mão não era muito viável e a tecnologia da época era muito antiquada. Já no éculo XX o etudo em equaçõe diferenciai parciai tornaram-e importante para o deenvolvimento da fíica e da matemática, com io divera oluçõe de equaçõe diferenciai ordinária, apareceram em muita ituaçõe e foram etudada exautivamente. Ainda no éculo XX, com o objetivo de entender o comportamento de oluçõe por um ponto de vita geométrico, foi criado o método geométrico, principalmente em equaçõe não-lineare. Atualmente com o avanço da tecnologia, o computadore tornaram-e um importante aliado para etudioo de toda a área e no campo da equaçõe diferenciai não foi diferente. Com ajuda da computação gráfica, pode-e obervar que alguma equaçõe diferenciai nãolineare ofrem fenômeno ineperado, como atratore etranho, cao e fractai (BOYCE; DIPRIMA, 26, p. 6). Ea decoberta deu um novo impulo no etudo de equaçõe diferenciai não-lineare e com io, ideia nova etão urgindo para divera aplicaçõe diferente. A equaçõe diferenciai apear de ter uma hitória antiga, ainda hoje continuam endo fonte de muita decoberta. 2.2 UMA BREVE INTRODUÇÃO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Dizemo que uma equação diferencial é Definição 2. (Equação Diferencial) Uma equação onde a incógnita ão funçõe e exite ao meno uma derivada ou diferencial deta funçõe. A equaçõe diferenciai ão claificada conforme o eu tipo, ua ordem e ua linearidade.

14 2.2. Tipo A equaçõe diferenciai ão claificada em doi tipo, a equaçõe diferenciai ordinária ( EDO ) e a equaçõe diferenciai parciai ( EDP ). Equaçõe onde exite derivada de uma função em relação a uma única variável independente, ão chamada de EDO. Exemplo 2. dy a) = x 3 dx b) (x 4)dx = (3 y)dy d 2 u c) dx 2 du = dx A equaçõe acima ão exemplo de de EDO. Uma EDP é uma equação onde exite derivada parciai de uma função em relação a dua ou mai variávei independente. Exemplo de EDP : Exemplo 2.2 u a) x b) x 3 2 u x 2 y u y = v y = Ordem A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior ordem da derivada da equação apreentada. Exemplo 2.3 a) y + 3y = 2 tem ordem b) y + y + 4y = tem ordem 3 c) y+3y = 3 tem ordem 2

15 Linearidade A equaçõe diferenciai podem er linear ou não-linear. Uma EDO é linear, quando pode er ecrita da eguinte forma: a n (x) dn y dx n + a n (x) dn y dx n +...+a (x) dy dx + a (x)y=g(x). (2.2.) Da equação 2.2., temo dua propriedade: i) A potência de y é de grau em toda a derivada, ii) Todo o coeficiente dependem apena de x. Por outro lado a EDO que não e encaixam na propriedade da equação 2.2., é chamada de não-linear. Exemplo 2.4 a) x d2 y dx 2 + dy dx = é uma equação linear b) yy + 4y + y 2 = é uma equação não-linear Oberve que o item a do exemplo 2.4 é linear poi atifaz a propriedade da equação Já o item b é não-linear poi o primeiro termo depende de y e ainda no último termo, o y etá elevado a uma potência de grau Solução A olução de uma equação diferencial é qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando ubtituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade. (ZILL; CULLEN, 27, p. 4). Para reolver uma equação diferencial utilizamo o cálculo de integrai, e como nem toda a integrai pouem primitiva, aim nem toda a equaçõe diferenciai pouem olução. Exitem muito método para reolver uma equação diferencial, nete trabalho apreentaremo a tranformada de Laplace ( TL) como um meio para encontrarmo a olução de uma equação diferencial.

16 3 3 A TRANSFORMADA DE LAPLACE 3. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES A TL é um operador, aim como a derivada e a integral, como já foi dito na eção 2. recebeu ete nome em homenagem a Pierre-Simon de Laplace. Porém o eu deenvolvimento deve-e a muito nome além do próprio Laplace, como Cauchy, por eu trabalho em cálculo de reíduo e exploraçõe em método imbólico (TONIDANDEL; ARAúJO, 22). Cauchy utilizava operadore diferenciai nee eu trabalho. Para chegarmo a definição de TL conideremo uma função de dua variávei f(x,y), e aplicarmo uma integral definida em relação a uma da variávei em f, teremo uma função definida na outra variável, por exemplo: xy dx=y/2. Se definirmo a integral b a K(,t) f(t)dt, depoi de aplicar a integral teremo uma função em relação a. Noo interee é etudar eta última integral no intervalo [, ). Definição 3. Seja f(t) uma função definida no intervalo [, ), então a integral imprópria pode er ecrita como um limite: K(,t) f(t)dt b lim b K(,t) f(t)dt (3..) Se o limite exitir, temo que a integral exite ou podemo dizer que é convergente. Quando o limite não exite, a integral não exite ou podemo dizer que é divergente. O limite em 3.. poderá exitir apena para algun valore de. Se ecolhermo K(,t)=e t temo uma integral muito intereante. Definição 3.2 (Tranformada de Laplace) Seja f(t) uma função definida no intervalo [, ), então a integral L { f(t)} = e t f(t)dt (3..2)

17 4 quando exite, é chamada de tranformada de Laplace(TL). Oberve que quando a integral imprópria 3..2 convergir, obteremo uma função de. Como notação para TL, uamo letra minucula para a função a er tranformada e letra maiúcula para função já tranformada, por exemplo: L { f(t)}=f(), L {g(t)}=g(), L {y(t)}= Y() Exemplo 3. Calcule L {} Solução: Pela definição 3.2, temo L { f(t)} = L {} = e t f(t)dt e t dt Agora uando a definição 3. e reolvendo a integral definida teremo: b ( L {} = lim e t dt u= t du ) b ( = dt ) L {} = lim e t b b ) )] L {} = lim [( e b ( e b Oberve que no primeiro termo e > o expoente b fica negativo e o e b quando b, quando < a integral não exite, por que o limite vai er divergente. No egundo termo o expoente = e e =. Logo ficamo com: L {} = ( ),> L {} = + L {} =,>,> 3.. A tranformada de Laplace é linear A TL poui a propriedade da linearidade, por io para uma oma de funçõe podemo ecrever: L {α f(t)+βg(t)} = L {α f(t)}+l {βg(t)} = αl { f(t)}+βl {g(t)}

18 5 onde α,β IR. Podemo verificar ea propriedade uando a definição 3.2 L {α f(t)+βg(t)} = e t [α f(t)+βg(t)]dt Como a integral é linear podemo ecreve-lá da eguinte forma: L {α f(t)+βg(t)} = e t α f(t)dt+ e t βg(t)dt L {α f(t)+βg(t)} = α e t f(t)dt+ β Se a integrai forem convergente podemo ecrevê-la aim L {α f(t)+βg(t)} = αl { f(t)}+βl {g(t)} e t g(t)dt 3..2 Condiçõe uficiente para exitência de L { f(t)} A eguinte condiçõe garantem a exitência da TL: i) f é contínua por parte no intervalo [, ), ii) f é de ordem exponencial para t > T. Dizemo que f é contínua por parte no intervalo [, ), quando em qualquer intervalo a t b, exitir um número finito de decontinuidade empre de primeira epécie, ou eja, exite o limite laterai. Definição 3.3 (Ordem Exponencial) Uma função é de ordem exponencial e exitem número c,m > e T > tai que f(t) Me ct, t > T. A definição 3.3 quer dizer, que e tivermo uma função crecente, o gráfico deta função no intervalo (T, ), não crece mai rápido que o da função Me ct, onde c>. Podemo citar a funçõe f(t)= t e f(t)=e t como funçõe de ordem exponenciai, poi t e t, e t e t

19 6 Oberve também no gráfico da figura, que a função Me ct crece mai rapidamente que f(t)= t e f(t)=e t. (a) f(t)= t (b) f(t)=e t Figura : Funçõe de Ordem exponencial Oberve que o polinômio ão todo de ordem exponencial, para c>, t n Me ct ou t n M, para t > T e ct Teorema 3. (Condiçõe Suficiente de Exitência) Seja uma função f(t), contínua por parte no intervalo [, ) e de ordem exponencial para t > T, então ua tranformada de Laplace exite para todo >c. Prova: Uando a definição 3.2, temo que L { f(t)} = e t f(t)dt Podemo reecrever aim, L { f(t)} = T L { f(t)} = I + I 2 e t f(t)dt+ e t f(t)dt T Temo que a integral I exite, poi pode er ecrita como oma de integrai em intervalo, onde e t f(t) é contínua. Para I 2 temo T T I 2 Me ct e t f(t)dt e t Me ct dt T e t f(t) dt M e t e ct dt = M T T e ( c)t dt

20 7 Uando a definição 3. e reolvendo a integral b ( M lim e ( c)t dt u= ( c)t du ) b T ( c) = dt = M lim e ( c)t b ( ) ( ) = M lim e ( c)b e ( c)t b c b c c T Oberve que quando c>, o expoente fica negativo então e ( c)b quando b. Em outra palavra quando >c e b então e ( c)b. Então ficamo com M e ( c)t c,>c Com io concluímo que I 2 é convergente quando >c. Portanto, a TL exite para todo >c. Ea condiçõe ão uficiente, ma não neceária para a exitência da TL. Exitem funçõe que não atifazem ea condiçõe, porém ua TL exite. Exemplo 3.2 Calcule L {t} Solução: Uando a definiçõe 3.2 e 3. L {t} = = lim b e t tdt b e t tdt Uando a integral por parte b L {t} = lim e t tdt b dv=e t dt u= t du=dt v= e t Aplicando em b L {t} = lim t b [ a udv=uv b b a vdu [ = lim t b [ = lim b b ( e t ( e t ( e b a ) b b ) ] ( e t dt ) b ( e t) ] b + 2 ) ) ( e + ( e b 2 ) ( e 2 )]

21 8 Lembrando que e b quando > e b, então ) L {t} = + ( e 2,> L {t} = 2,> 3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNÇÕES BÁSICAS O próximo teorema no traz a generalização da tranformada de alguma da funçõe mai utilizada. É importante que tenha ficado entendido que tem que pertencer a um intervalo no qual a TL eja convergente, poi a partir daqui, não faremo mai referência a ua retrição. Teorema 3.2 (Fórmula Geral da Funçõe Báica) a) L {} = b) L {t n n! } = n+, onde n ZZ c) L {t n } = nγ(n) ( ), onde n Q e Γ = π n+ 2 d) L {e at } = a k e) L {enkt} = 2 + k 2 f) L {cokt} = 2 + k 2 k g) L {enhkt} = 2 k 2 h) L {cohkt} = 2 k 2 O item a) do teorema 3.2 já foi motrado no exemplo 3.. A função gama é muito parecida com a integral da TL, neta eção uaremo a função gama como um auxílio para demontrar o iten b) e c) do teorema 3.2. Euler definiu a função gama da eguinte forma Γ(x) = e t t x dt (3.2.3) Para que ea integral convirja é neceário que x > ou x >. Atravé da função 3.2.3, chegamo a concluão que: Γ(x+) = xγ(x) (3.2.4)

22 9 Prova: Uando a equação 3.2.3, podemo ecrever aim Γ(x) = Γ(x+) = = e t t x dt e t t x+ dt e t t x dt Por meio da definição 3. temo b Γ(x+) = lim e t t x dt b Agora fazendo u= t x du=xt x dt e dv=e t dt v= e t e uando a integração por parte, obtemo Γ(x+) = lim b = lim b [ ] b b t x e t + e t xt x dt ( ) b b t x e t + x lim e t t x dt b }{{} Γ(x) ( t x ) b = lim b e t + xγ(x) [( b x) ( x = lim b e b ( e b x) = lim + xγ(x) b e b )] + xγ(x) ( b x) Oberve que lim b e b é uma indeterminação, para reolver aplicamo a regra de L Hopital x veze, aim concluímo que Então, ( c ) lim b e b = Γ(x+) = +xγ(x) Γ(x+) = xγ(x) Calculando a função gama para x=, temo Γ() = e t dt

23 2 A função acima é a mema função do exemplo 3., porém com =. Então temo que Γ()= Agora por podemo dizer que Γ(2) = Γ(+) = Γ() = Γ(3) = Γ(2+) = 2Γ(2) = 2. = 2 Γ(4) = Γ(3+) = 3Γ(3) = 3.2. = 6 Γ(5) = Γ(4+) = 4Γ(4) = = 24 Então repetindo ete proceo até x=n, com n ZZ temo que Γ(n+)=n! Agora calculemo Γ(/2), então ( ) Γ = 2 e t t 2 dt = e t t 2 dt Uando a mudança de variável ( ) ( Γ = e t t 2 dt ( 2) ( Γ = e u2 u 2 ) 2 2udu 2 = 2 e u2 du t = u 2 dt = 2udu ) Analogamente fazendo t = v 2, temo ( ) Γ 2 = 2 e v2 dv Então ( ) ( ) Γ.Γ 2 2 [ ( )] 2 Γ = 4 2 = 2 e u2 du.2 e v2 dv e (u2 +v 2) dudv (3.2.5)

24 2 Com o auxilo da coordenada polare u 2 +v 2 = r 2, u=r coθ, v=r enθ e dudv=jdrdθ. Para calcular o jacobiano temo que calcular o determinante da eguinte matriz [ ] du/dr dv/dr J = du/dθ dv/dθ Então [ ] coθ enθ J = = rco 2 θ + r en 2 θ = r ( co 2 θ + en 2) = r r enθ r coθ Lembrando que pela identidade trigonométrica co 2 θ + en 2 θ =. Quando u= r coθ = para r = ou θ = π/2. Quando u r coθ para r. Voltando em 3.2.5, temo Calculando primeiramente e r2 rdr [ ( )] 2 π 2 Γ = 4 e r2 rdrdθ (3.2.6) 2 e r2 rdr, então b = lim e r2 rdr b Quando r= w= e quando r=b w= b 2, logo ( w= r 2 dw 2 = rdr ) e r2 rdr = b 2 2 lim e w dw b = 2 lim b 2 b ew (e b2 e ) = 2 lim b = 2 lim b ( ) e b2 Quando b /e b2, então ficamo com e r2 rdr = 2 ( ) = 2

25 22 Então voltando ee reultado na equação e calculando a egunda integral [ ( )] 2 Γ = 4 π 2 dθ 2 2 π 2 = 2θ ( π ) = 2 2 = π Então Γ ( ) 2 = π (3.2.7) Exemplo 3.3 Calcule Γ ( ) ( ) 3 7 e Γ. 2 2 Solução: Uando a equação e o reultado temo ( ) ( ) 3 Γ = Γ = ( ) π 2 Γ = ( ) ( ) Γ = Γ = 5 ( ) 5 2 Γ = 5 ( ) Γ 2 + = Γ ( 3 2 ) = 5 8 π Para a demontração do item c) do teorema 3.2, uamo a definição 3.2 ( L {t n } = e t t n dt t = u t = u dt = du ) então Uando a mudança de variávei e abendo que quando t = u= e t u, Veja que a integral e u u n du é igual a Γ(x+)= e t t x dt, então podemo reecreve- la da eguinte forma L {t n } = = = n+ e u( u u un du e n ) n du e u u n du L {t n } = Γ(n+) n+

26 23 Lembrando que e n ZZ então L {t n } = Γ(n+) n+ = n! n+ Se n Q então L {t n } = Γ(n+) n+ = nγ(n) ( ) n+,onde Γ = π 2 Para demontrar o item d) do teorema 3.2 podemo fazer aim: L {e at } = lim b b b e t e at dt = lim e ( a)t dt b = lim e ( a)t b b a [( ) = lim e ( a)b b a ( e ( a) a )] ( u= ( a)t du ( a) = dt ) = + e a = a Podemo fazer a demotração do iten e) e f) de maneira diferente, uando a definição da TL ou uando informaçõe imple do conjunto do número complexo. Nete trabalho apreentaremo a demontração atravé do número complexo. Conideremo o item d) do teorema 3.3, agora fazendo a=ik com i=, aim teremo e ikt, então L { e ikt} = ik = +ik ( ik)(+ik) = +ik 2 + k 2 = 2 + k 2 + i k 2 + k 2 Pela linearidade da TL e com e ikt = cokt+ ienkt, então L { e ikt} = L {cokt+ ienkt} = L {cokt}+il {enkt} Equacionando a parte real e imaginária teremo dua equaçõe, aim obtemo a tranformaçõe do iten e) e f), e) L {cokt} = 2 + k 2, f) L {enkt} = k 2 + k 2

27 24 Para demontrar o item g) conideremo que enhkt = ekt e kt 2 Então { e kt e kt } L {enhkt} = L 2 Pela linearidade da TL, temo L {enhkt} = 2 ( { L e kt} L {e kt}) Uando o item d) do teorema 3.2, obtemo L {enhkt} = ( 2 k ) +k = [ ] +k ( k) 2 ( k)(+k) = [ ] 2k 2 2 k 2 k = 2 k 2 Agora para demotrar o item h), temo que cohkt = ekt + e kt 2 Então { e kt + e kt } L {cohkt} = L 2 Pela linearidade da TL, temo L {cohkt} = 2 ( { L e kt} +L {e kt})

28 25 Uando o item d) do teorema 3.2, obtemo L {cohkt} = ( 2 k + ) +k = [ ] +k+ k 2 ( k)(+k) = [ ] k 2 = 2 k TRANSFORMADA INVERSA A tranformada invera é o contrário da TL, agora temo F() e temo que encontrar uma f(t), onde ua TL é igual a F(). Uamo a eguinte notação para tranformada invera L {F()} = f(t) Onde podemo dizer que f(t) é a tranformada de Laplace invera de F() (ZILL; CUL- LEN, 27, p. 362). Aim emelhante ao teorema 3.2 podemo ecrever o eguinte teorema para tranformada invera Teorema 3.3 (Tranformada Invera da Funçõe Báica) { } a) L = { } n! b) L n+ = t n, onde n ZZ { } c) L = e at { a } k d) L 2 + k 2 = en kt { } e) L 2 + k 2 = co kt { } k f) L 2 k 2 = enhkt { } g) L 2 k 2 = cohkt A tranformada invera também é uma integral, porém o cálculo dee tipo de integral requer a utilização de muito conceito obre variávei complexa, o que etá além do aunto dete trabalho. Para cálculo de tranformada invera uaremo o reultado do teorema 3.3. Exemplo 3.4 Calcule L { 4 }

29 26 Solução: Veja que para uar a parte b) do teorema 3.3, temo que n=3, então multiplicando e dividindo por 3!. Segue que: { } { 3! L 4 = L 3! } 4 = { } 3! 3! L 4 = 3! t3 = t Tranformada de Laplace invera é linear A TL invera é uma tranformada linear, então podemo ecrever aim: onde α,β IR. L {αf()+βg()} = αl {F()}+βL {G()} Fraçõe Parciai O uo de fraçõe parciai é muito importante para o cálculo da TL invera, por io relembraremo o cao báico dea teoria, que ão: fatore lineare ditinto, fatore lineare repetido e fator quadrático irredutível. Relembraremo primeiro o cao de fatore lineare ditinto, então conidere o eguinte cao: { } Exemplo 3.5 Calcule L (+2)(+4) Solução: Suponhamo que (+2)(+4) = A + B +2 + C (+2)(+4) +4 = A(+2)(+4)+B(+4)+C(+2) (+2)(+4) = A2 + B 2 +C 2 + 6A+4B+2C+8A (+2)(+4) Por igualdade de fraçõe = A 2 + B 2 +C 2 + 6A+4B+2C+8A Uando igualdade de polinômio, obtemo o eguinte itema de equaçõe A+B+C = 6A+4B+2C = 8A =

30 27 Reolvendo ete itema de equaçõe, temo que A = /8, B = /4 e C = /8. Agora voltando o valore de A, B e C temo (+2)(+4) = ( ) Aplicando a TL invera, uando ua linearidade e o iten a) e c) do teorema 3.3 temo: { } L = { } (+2)(+4) 8 L { } 4 L + { } +2 8 L +4 = 8 e 2t 4 + e 4t 8 O egundo cao é com fatore lineare repetido, endo aim conidere o eguinte cao: { } Exemplo 3.6 Calcule L 2 (+2) Solução: Suponhamo que 2 (+2) = A + B 2 + C +2 = A(+2)+B(+2)+C2 2 (+2) 2 = A2 + 2A+B+2B+C 2 (+2) 2 (+2) Por igualdade de fraçõe temo = A 2 +C 2 + 2A+B+2B Uando igualdade de polinômio A+C = 2A+B = 2B = Reolvendo o itema de equaçõe acima, temo que A= /4, B=/2 e C = /4. Voltando o valore de A, B e C temo 2 (+2) = ( ) Aplicando a TL invera, uando ua linearidade da TL invera e o iten b) e c) do teorema

31 28 3.3, concluímo que { } L 2 (+2) = { 4 L = t 2 + e 2t 4 }+ 2 { } L 2 + { } 4 L +2 O último cao de fraçõe parciai é o de fator quadrático irredutível, ito ignifica que o fator quadrático não poui raiz real. Oberve o próximo exemplo: { } 2 3 Exemplo 3.7 Calcule L ( 2 + 9) Solução: Suponhamo que 2 3 ( 2 + 9) Por igualdade de fraçõe = A + B+C ( 2 + 9) = A(2 + 9)+(B+C) ( 2 + 9) = A2 + B 2 +C+9A ( 2 + 9) 2 3 = A 2 + B 2 +C+9A Agora uando igualdade de polinômio, temo A+B = C = 2 9A = 3 Reolvendo o itema de equaçõe acima, obtemo que A= /3, B=/3 e C = 2. Voltando o valore de A, B e C temo 2 3 ( 2 + 9) = ( ) e reolvendo a TL invera com ajuda do iten a) e e) e f) do teorema 3.3 { } 2 3 L ( 2 = { } + 9) 3 L + { } { } 3 L 2 + 2L = { } 3 L + { } 3 L { } L = co(3t)+2en(3t) 3

32 29 Teorema 3.4 (Conduta de F() quando ) Seja f(t) continua por parte em [, ) e de ordem exponencial para t > T, então lim L { f(t)} = Prova: Como f(t) é continua por parte no intervalo t T, então é ela é limitada nee intervalo: f(t) M = M e t Temo ainda f(t) M 2 e γt para t > T. Se M denota o max{m,m 2 } e c denota o max{,γ}, então L { f(t)} = M e t f(t) dt = M lim b ( = M lim b = M c e t e ct dt b e ( c)t dt e ( c) t c ) b Para >c. Como, temo que L { f(t)} então L { f(t)}. Exemplo 3.8 A funçõe F ()= 3 e F 2 ()=/+ não ão TL de nenhuma função contínua por parte de ordem exponencial, poi F () não tende a e F 2 () também não tende a, quando tende a. Então dizemo que L {F ()} e L {F 2 ()} não exitem.

33 3 4 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO E DERIVADA DE UMA TRANSFORMADA 4. PRIMEIRO TEOREMA DE TRANSLAÇÃO Reolver a TL uando a definição 3.2 nem empre é viável, alguma integrai por parte podem er demaiadamente difícei de reolver, como por exemplo: L { e t t 3 co7t }. O teorema que etudaremo a eguir facilitam o cálculo da TL e também poibilita a contrução de uma lita mai extena de tranformada, em preciar uar a definição de TL. Teorema 4. (Primeiro Teorema de Tranlação) Se a IR, então onde F()=L { f(t)} L {e at f(t)} = F( a) Prova: A prova é imple, poi pela definição 3.2 L {e at f(t)} = e t e at f(t)dt = e ( a)t f(t)dt = F( a) Oberve na figura 2 que o gráfico de F( a) é o gráfico de F() delocado no eixo de, para direita e a> ou para equerda, e a<. Figura 2: Primeiro Teorema de Tranlação

34 3 Muita veze é conveniente utilizar imbolimo L {e at f(t)} = L { f(t)} a Onde a ignifica que temo que ubtituir em F() por a. Exemplo 4. Calcule (a)l { e t t } e (b)l {e t en3t} Solução: O reultado vem do teorema 4. (a) L { e t t } = L {t} = (b) L {e t en3t} = L {en3t} + = 2 = = + ( ) 2 3 (+) O teorema 4. poui uma forma invera que pode er ecrita da eguinte maneira L {F( a)} = L {F()} a = e at f(t) (4..) onde L {F()}= f(t). { } Exemplo 4.2 Calcule (a)l (+2) 3 Solução: Por 4.. temo { } { } L (+2) 3 = L +2 3 { } Exemplo 4.3 Calcule L = { } 2! 2! L +2 3 = t2 e 2t 2 Solução: Primeiro completamo o quadrado do denominador { } { } L 2 = L (+2) 2 + Veja que ainda não podemo uar 4.., poi no numerador temo que ter + 2, então para que io aconteça, ubtraimo e adicionar 2 no numerador, obtendo { } { } L (+2) 2 = L + (+2) (+2) 2 +

35 32 Agora uando a linearidade da TL invera e 4.. temo { { } +2 = L } 2L {(+2) 2 + } {(+2) 2 + } = L 2 + 2L = e 2t cot 2e 2t ent 4.2 SEGUNDO TEOREMA DE TRANSLAÇÃO A função degrau unitário é uma função que no poibilita motrar uma dualidade, como por exemplo: uma voltagem em circuito, que pode er deligada apó um certo período. Ea função é definida da eguinte maneira Definição 4. (Função Degrau Unitário) Dada uma função µ(t a) que é definida por µ(t a) = {, t < a, t a Podemo uar a função degrau unitário para decrever funçõe definida por parte em uma forma mai concentrada. Por exemplo: f(t) = { g(t), t < a h(t), t a (4.2.2) Podemo ecreve-lá aim f(t) = g(t) g(t)µ(t a)+h(t)µ(t a) (4.2.3) Podemo comprovar uando a definição 4. f(t) = { g(t) g(t).+h(t)., t < a g(t) g(t)+h(t), t a Automaticamente uma função f(t) do tipo, t < a f(t) = g(t), a t < b, t b

36 33 Onde podemo ecrever f(t) = g(t)[µ(t a) µ(t b)] Oberve na figura 3, que quando temo uma função do tipo f(t a) quando t e multiplicamo pela função degrau unitário µ(t a), o gráfico da multiplicação é igual ao gráfico de f(t a) porém tranladado em t. (a) f(t)= t,t (b) f(t a)µ(t a) Figura 3: Função Degrau Unitária No teorema 4. vimo que quando f(t) é multiplicado por uma exponencial, então F() é tranladada em. Agora veremo que quando F() é multiplicado por uma exponencial adequada, então a tranformada invera dee produto é f(t a)µ(t a). Io é conhecido como o egundo teorema de tranlação. Teorema 4.2 (Segundo Teorema de Tranlação) Se a IR + então em que F()=L { f(t)} L { f(t a)µ(t a)} = e a F() Prova: Pela definiçõe 3.2 e 4. L { f(t a)µ(t a)} = = a e t f(t a)µ(t a)dt e t f(t a) µ(t a) dt+ }{{} a e t f(t a) µ(t a) dt }{{}

37 34 Agora fazendo v= t a dv=dt, logo L { f(t a)µ(t a)} = e (v+a) f(v)dv = e v e a f(v)dv = e a e v f(v)dv Exemplo 4.4 Calcule L {(t )µ(t )} = e a L { f(t)} Solução: Sabendo que a=, pelo teorema 4.2 temo que L {(t )µ(t )} = e L {t} = e 2 Para encontrar a TL da função degrau unitário, uamo o teorema 4.2. Para io fazemo f(t)= no teorema 4.2, então f(t a)=, F()=L {}=/, endo aim L {µ(t )} = e a F() = e a (4.2.4) Exemplo 4.5 Calcule a TL de f(t) = { 2, t < 3 2, t 3 Solução: Uando do reultado e 4.2.3, podemo ecrever a função f(t) do eguinte modo f(t) = 2 2µ(t 3) 2µ(t 3) Agora uando o reultado L { f(t)} = L {2} 2L {µ(t 3)} 2L {µ(t 3)} = 2 2e 3 2e 3 = 2 4e 3 A forma invera do teorema 4.2 pode er decrita da eguinte forma L {e a F()} = f(t a)µ(t a) (4.2.5) Onde a> e L {F()}= f(t).

38 35 { e Exemplo 4.6 Calcule L 2} 3 Solução: Obervamo que a=2 e f(t)=l { / 3} = t 2 /2. Então por { e L 2} 3 = { } 2! 2! L 3 t t 2 = t2 2 = t t 2 2 (t 2)2 µ(t 2) 4.3 DERIVADAS E INTEGRAIS DE TRANSFORMADAS Sabemo que F()=L { f(t)}, então uando o teorema de Leibniz, para derivar ob o inal de integração, temo d d F() = d d = e t f(t)dt [ e t f(t) ] dt Fazendo u = t du/d = t e reolvendo a derivada temo d d F() = e t ( t) f(t)dt = e t t f(t)dt = L {t f(t)} Então concluímo que L {t f(t)} = d d L { f(t)} Analogamente podemo ecrever L { t 2 f(t) } = L {tt f(t)} = d L {t f(t)} ( d = d )( d )L { f(t)} = d2 d d d2l { f(t)} O doi reultado acima apontam para fórmula geral de L {t n f(t)}. Teorema 4.3 (Derivada de Tranformada) Com n =, 2, 3,... então onde F()=L { f(t)}. L {t n f(t)} = ( ) n dn d n F()

39 36 Exemplo 4.7 Calcule L {t co 2t} Solução: Pelo teorema 4.3, temo a = e f(t) = co 2t, então então L {t co2t} = d d L {co2t} = d ( ) d = (2 + 4)..(2) [ ( 2 + 4) ] = ( 2 + 4) 2 L {t co2t} = 2 4 ( 2 + 4) 2 Para a integrai de tranformada, conideremo uma função f(t) que atifaça a condiçõe do teorema 3. e o limite de f(t)/t, quando t para a direita, exite. Então { } f(t) L = F()d (4.3.6) t Aim vemo que, a integração da tranformação de uma função f(t) correponde à divião de f(t) por t. Motraremo io uando a definição 3.2 e integrando ambo o lado em relação a, temo F()d = [ ] e t f(t)dt d Oberve que podemo muda a ordem de integração na equação acima, então teremo [ ] [ ] F()d = e t f(t)d dt = f(t) e t d dt Integrando e t em relação a, obtemo e t / t.nee cao a integral obre à direita é e t /t. Portanto F()d = t f(t) e dt t { } f(t) = L t De forma equivalente a equação 4.3.6, podemo dizer que a tranformada invera é ecrita

40 37 da eguinte forma L { } F()d = f(t) t (4.3.7) Exemplo 4.8 Encontre a tranformada invera da função ln ) (+ k2 2 Solução: Derivando a função d ( ) d ln + k2 2 = + k2 2.( 2) k2 3 = 2k 2 ( 2 + k 2 ) = k 2 A função F() que obtemo é a derivada da função dada, de modo que a última igualdade é a integral de F() no intervalo [, ). Uando o item a) e f) do teorema 3.2, temo { } 2 f(t) = L {F()} = L 2 + k 2 = 2 2cokt Eta função atifaz a condiçõe da equação Então L {ln )} (+ k2 2 = L { } F()d = f(t) t Reolvendo temo L {ln )} (+ k2 2 = 2 t ( cokt)

41 38 5 TRANSFORMADA DE DERIVADA, INTEGRAL E FUNÇÃO PERIÓDICA 5. TRANSFORMADA DE UMA DERIVADA Noo objetivo é reolver equaçõe diferenciai com o auxílio da TL. Para que io eja poível temo que aber como calcular tranformada do tipo L {dy/dt} e L { d 2 y/dt 2}. Então conidere f contínua para t, por integração por parte temo L { f (t)} = e t f (t)dt b = lim e t f (t)dt b b = lim [e t f(t) b b ) = lim (e t f(t) b + b ] f(t)( e t )dt f(t)e t dt } {{ } L{ f(t)} = lim b ( e b f(b) e f() ) + L { f(t)} Oberve que e b quando b e e =, então L { f (t)} = f()+l { f(t)} L { f (t)} = F() f() (5..) Igualmente temo que L { f (t)} = e t f (t)dt b = lim [e t f (t) b b ) = lim (e t f (t) b + b ] f (t)( e t )dt f (t)e t dt } {{ } L{ f (t)} = lim b ( e b f (b) e f () ) + L { f (t)}

42 39 Oberve que e b quando b e e =, então L { f (t)} = f ()+[F() f()] L { f (t)} = 2 F() f() f () (5..2) O reultado 5.. e 5..2 ão conequência do próximo teorema, o qual no fornecerá a TL da n-éima derivada de f. Teorema 5. (Tranformada de uma derivada) Sejam f(t), f (t),..., f (n ) (t) contínua por parte em[, ), de ordem exponencial, e e f n (t) for contínua por parte em[, ), então L { f n (t)} = n F() (n ) f() (n 2) f ()... f (n ) (), em que F()=L { f(t)}. Exemplo 5. Calcule L {kt cokt+ enkt} Solução: Veja que a oma kt co kt + en kt é a derivada de t en kt, então { } d L {kt cokt+ enkt} = L (t enkt) dt Agora por 5.. e pelo teorema 4.3, então L {kt cokt+ enkt} = L {t enkt} = ( dd ) L {enkt} ( 2k = )= 2k2 ( 2 + k 2 ) 2 ( 2 + k 2 ) CONVOLUÇÃO Se temo dua funçõe f e g contínua por parte no intervalo [, ), repreentamo a convolução de f e g como f g e é dada pela eguinte integral f g = f(τ)g(t τ)dτ (5.2.3) Exemplo 5.2 Calcule a convolução de f(t)=e t e g(t)= ent

43 4 Solução: Aplicando f e g em 5.2.3, temo e t ent = t e t en(t τ)dτ = 2 (et ent cot) Podemo calcular a TL de uma convolução em preciar reolver primeiramente ua integral, o próximo teorema no apreentará ete caminho Teorema 5.2 (Teorema da Convolução) Sejam f(t) e g(t) funçõe contínua por parte no intervalo [, ) e de ordem exponencial, então L { f g} = L { f(t)}l {g(t)} = F()G() Prova: Sejam F() = L { f(t)} = G() = L {g(t)} = e τ f(τ)dτ e β g(β)dβ Fazendo F()G(), obtemo ( F()G() = = = )( e τ f(τ)dτ f(τ)dτ e (τ+β) f(τ)g(β)dβdτ e (τ+β) g(β)dβ Firmando τ e etabelecendo t = τ+ β dt = dβ então ) e β g(β)dβ F()G() = f(τ)dτ e t g(t τ)dt Oberve na figura 4, que etamo integrando a região pintada do plano tτ. Como f e g ão contínua por parte no intervalo [, ) e também é de ordem exponencial, então podemo trocar a ordem da integração.

44 4 Figura 4: Convolução F()G() = = e t dt [ t e t f(τ)g(t τ)dτ ] f(τ)g(t τ)dτ dt = L { f g} Se temo g(t)= e G()=/, o teorema 5.2 acarreta que a TL de uma integral é { t } L f(τ)dτ = F() { t Exemplo 5.3 Calcule L } e τ en(t τ)dτ (5.2.4) Solução: Veja que f(t)=e t e g(t)= ent, uando o teorema 5.2, temo { t } L e τ en(t τ)dτ = L {e t }L {ent} = 2 + = ( )( 2 + ) A tranformada invera do teorema da convolução é muito utilizado para calcular TL invera de um produto de dua tranformada. Então pelo teorema 5.2, temo L {F()G()} = f g (5.2.5) { } Exemplo 5.4 Calcule L ( 2 + k 2 ) 2

45 42 Solução: Temo que F()=G()= 2 + k 2 f(t)=g(t)= { } k k L 2 + k 2 = k enkt Por concluimo que { } L 2 + k 2 = k 2 t enkτ enk(t τ)dτ (5.2.6) Coniderando a eguinte igualdade trigonométrica (i) co(a+b) = coacob enaenb (ii) co(a B) = coacob+ enaenb Subtraindo (i) de (ii), obtemo enaenb= 2 [co(a B) co(a+b)] Se fizermo A=kt e B=(t τ)k, podemo calcular a integral { } L ( 2 + k 2 ) 2 = t 2k 2 [cok(2τ t) cokt]dτ = t 2k 2 cok(2τ t)dτ cokt = 2k 2 [ t dτ 2k enkt t cokt+ ] 2k enkt = 2k3(enkt kt cokt) 5.3 TRANSFORMADA DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA É poível calcularmo a TL de uma função periódica, dede que eta tenha um período T, onde T >. Obtemo a tranformada por meio de uma integração obre o intervalo [,T]. Teorema 5.3 (Tranformada de uma Função Periódica) Seja f(t) contínua por parte no intervalo[, ) e de ordem exponencial. Se f(t) for periódica de período T, então L { f(t)} = T e T e t f(t)dt Prova: Ecrevendo a TL com dua integrai temo L { f(t)} = T e t f(t)dt+ e t f(t)dt (5.3.7) T

46 43 Se fizermo t = u+t, a última integral torna-e T e t f(t)dt = e (u+t) f(u+t)du = e T e u f(u)du = e T L { f(t)} Voltando em 5.3.7, temo L { f(t)} = L { f(t)} e T L { f(t)} = ( e T )L { f(t)} = L { f(t)} = T T T e t f(t)dt+ e T L { f(t)} e t f(t)dt e t f(t)dt e T T e t f(t)dt Exemplo 5.5 Encontre a TL da função periódica repreentada pelo gráfico abaixo Figura 5: Função Periódica Solução: Podemo definir a função, no intervalo t < 2, da eguinte forma f(t) = { t, t <, t < 2

47 44 e fora do intervalo por f(t+ 2)= f(t). Como T = 2, uamo o teorema 5.3 e a integração por parte temo L { f(t)} = = = 2 e 2 ( e 2 ( e 2 e t f(t)dt e t tdt+ ) e t tdt 2 ) e t dt Fazendo u= t du=dt e dv=e t v= e t / ( ) L { f(t)} = e 2 t e t e t + dt ( ) = e 2 e e t 2 = ( e e 2 e 2 + ) ( 2 e e ) + = e 2 2 = e (+) 2 ( e 2 )

48 45 6 RESOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM TL 6. PROCEDIMENTO A TL no poibilita calcular equaçõe diferenciai lineare que apreentam problema de valor inicial com coeficiente contante, o método conite em reolver equaçõe diferenciai como e foem equaçõe algébrica (FIGUEIREDO; NEVES, 22, p. 8). Veja por exemplo o eguinte problema de valor inicial d n y a n dt n + a d n y n dt n +...+a dy dt + a y = g(t), y()=y,y ()=y,...,y(n ) ()=y (n ), Onde a i, i=,,...,n e y,y,...,y(n ) ão contante. Uando a linearidade da TL, ecrevemo a n L { d n } y dt n + a n L { d n } y dt n +...+a L Pelo teorema 5., então 6.. torna-e ] G() = a n [ n Y() n y()... y (n ) () { } dy + a L {y} = L {g(t)} (6..) dt + a n [ n Y() n 2 y()... y (n 2)] +...+a Y() Ou [ an n + a n n ] ] +...+a Y() = an [ n y +...+y (n ) [ ] + a n n 2 y +...+y (n 2) +...+G() (6..2) Onde Y() = L {y(t)} e G() = L {g(t)}. Iolando Y() em 6..2 e por intermédio da TL invera, obtemo y(t) L {Y()}=y(t)

49 46 Veja que a figura 6 equematiza o procedimento uado para calcular uma equação diferencial com a TL. Primeiro calculamo a TL da equação diferencial, aim obteremo uma equação algébrica, depoi reolvemo a equação obtida. Apó reolve-lá aplicamo a TL invera, aim obtendo a olução da equação diferencial. Figura 6: Equema TL Exemplo 6. Reolva dy y=, y()= dt Solução: Primeiro calculamo a TL de cada membro da equação { } dy L L {y} = L {} dt Y() y() Y() = Aplicando valor de y() e reolvendo, temo Y() Y() = Y()( ) = Y() = ( )

50 47 Com o auxílio de fraçõe parciai, podemo ecrever ( ) A = + B = A( )+B ( ) = A A+B ( ) Uando igualdade de fraçõe, temo = A+B A Atravé da igualdade de polinômio temo { A+B = A = Reolvendo o itema de equaçõe temo que A= e B=. Então ( ) Y() = { + } { } L {Y()} = L L Pelo iten a) e c) do teorema 3.3 concluímo que y(t) = e t Exemplo 6.2 Reolva x x 6x=, x()=2 e x ()= Solução: Calculamo primeiro a TL de cada membro da equação L {x } L {x } 6L {x} = 2 X() x() x () X()+x() 6X() = Aplicando o valore de x() e x (), temo 2 X() 2+ X()+2 6X() = X()( 2 6) 2+3 = X()( 3)(+2) = X() = ( 3)(+2)

51 48 Com a ajuda de fraçõe parciai, podemo ecrever 2 3 ( 3)(+2) = A 3 + B ( 3)(+2) = A(+2)+B( 3) ( 3)(+2) = A+B+2A 3B ( 3)(+2) Uando igualdade de fraçõe temo 2 3 = A+B+2A 3B Por igualdade polinômio podemo dizer que { A+B = 2 2A 3B = 3 Reolvendo o itema de equaçõe acima temo que A=3/5 e B=7/5. Então X() = X() = ( 3) + 7 5(+2) Aplicando a TL invera, temo L {X()} = 3 { } 5 L + 7 { } 3 5 L +2 Uando o item c) do teorema 3.3, concluímo que x(t) = 3e3t + 7e 2t APLICAÇÕES Equaçõe diferenciai lineare com coeficiente contante podem decrever evento fíico, por exemplo, o fluxo de corrente elétrica em um circuito imple em érie, o movimento de uma maa prea a uma mola, entre outro problema. Podemo uar a TL como ferramenta para chegarmo a oluçõe dete problema, dede que ele tenham condiçõe iniciai. Vejamo um exemplo em que podemo uar a TL para determinar a corrente em um circuito em érie L-R-C. Para io conideremo a egunda lei de Kircchhoff. A oma da queda de tenão em um indutor, reitor e capacitor é igual à voltagem imprea E(t) (ZILL; CULLEN,

52 27, p.4). Temo que a queda da tenão atravé do indutor é L di, atravé do reitor é Ri(t) dt t e do capacitor é i(τ)dτ, onde L,R e C ão contante e i(t) é a corrente. Então um circuito C do tipo atitaz a equação abaixo: L di dt + Ri(t)+ t i(τ)dτ = E(t) (6.2.3) C Exemplo 6.3 Determine a corrente i(t) em um circuito em érie L-C-R quando L=, henry, R=2 ohm, C= 3 farad, i()= e a voltagem imprea em E(t) é dada na figura Figura 7: Voltagem Solução: A equação de um circuito é dada pela equação Veja na figura 7 que a voltagem etá deligada para t, então temo E(t) = 2t 2tµ(t ) (6.2.4) Veja que ainda não podemo aplicar o egundo teorema de tranlação na equação 6.2.4, então recrevemo ela como Agora a equação torna-e E(t) = 2t 2(t )µ(t ) 2µ(t ), di t dt + 2i+3 i(τ)dτ = 2t 2(t )µ(t ) 2µ(t ) (6.2.5) Aplicando a TL na equação 6.2.5, obtemo,i()+2i()+ 3 I() [ ] = 2 2 e 2 e

53 5 Multiplicando por podemo reecrever aim [ ] (+) 2 I() = 2 e e [ I() = 2 (+) 2 e (+) 2 e ] (+) 2 Com a ajuda da fraçõe parciai podemo ecrever [ / I() = 2 / + / (+) 2 / e + / + e + / ] (+) 2 e (+) 2 e Uando a TL invera do egundo teorema de tranlação, temo i() = 3 25 [ µ(t )] 3 25 [e t e (t ) µ(t )] 2te t 88(t )e (t ) µ(t ) Agora etudaremo um itema de maa-mola amortecido com movimento forçado. Io acontece quando uma força externa f(t) age obre uma maa vibrante em uma mola. Para encontrarmo a equação diferencial do movimento forçado, ao adicionarmo f(t) na equação diferencial do movimento livre amortecido, temo my + βy + ky = f(t) (6.2.6) onde m, β e k ão repectivamente: a maa, o coeficiente de amortecimento e a contante da mola. Dividindo por m, y + 2δy + ω 2 y = F(t) (6.2.7) onde F(t)= f(t)/m, 2δ = β/m e ω 2 = k/m. Exemplo 6.4 Um itema de amortecimento de maa-mola, com uma externa força atuando no intervalo < t < π, é repreentado pela eguinte equaçõe: y + 2y + 2y = r(t), { en2t e < t < π r(t) = e t > π com y()=, y ()= 5.

54 5 Solução: Uando e 4.2.3, podemo recrevemo r(t) da eguinte forma r(t) = en2t en2(t π)µ(t π) aim, temo y + 2y + 2y = en2t en2(t π)µ(t π) para reolver eta equação diferencial, aplicamo a TL em ambo o lado da igualdade L {y }+L {2y }+L {2y} = L {en2t} L {en2(t π)µ(t π)} agora uando o item e) do teorema 3.2 e o teorema 4.2 e 5., temo 2 Y() y() y ()+2[Y() y()]+2y() = aplicando o valore y() e y (), eπ Y() +5+2Y() 2+2Y() = Y()( ) +3 = Y() = eπ eπ ( 2 + 4)( ) 2e π ( 2 + 3)( ) agora podemo uar a TL invera, L {Y()} = L { { 2 } L ( 2 + 4)( 2 } + 2+2) + L { e π ( 2 + 4)( ) reolveremo eparadamente a tranformada invera da equação acima, primeiramente faremo a TL invera da primeira fração, para io temo que uar a fraçõe parciai, então } 2 ( 2 + 4)( ) 2 ( 2 + 4)( ) = A+B C+D = (A+B)( )+(C+D)( 2 + 4) ( 2 + 4)( ) pela igualdade de fraçõe, podemo ecrever 2 = (A+B)( )+(C+D)( 2 + 4) 2 = A 3 + 2A 2 + 2A+B 2 + 2B+2B+C 3 + 4C+D 2 + 4D

55 52 agora pela igualdade de polinômio, temo o eguinte itema de equaçõe A+C = 2A+B+D = 2A+2B+4C = 2B+4D = 2 reolvendo ee itema, temo que A= 2, B= 2, C=2 e D=6, então { } { L ( 2 + 4)( 2 = L + 2+2) } { } { } = L 2 +L veja que ainda não podemo aplicar a TL invera, para io preciamo ajutar a fraçõe, da eguinte forma { 2 = L } { } { 2 = 2L 2 L { + 4} { = 2L L { = 2L { } L } } { L } { L } {(+) 2 + 2(+) +L } { + + 2L (+) 2 + } (+) (+) 2 + { }+4L (+) 2 + na dua última tranformada, podemo uar a invera do primeiro teorema de tranlação, então podemo ecrever { } { } { 2 } { = 2L 2 L L } L uando o iten d) e e) do teorema 3.3 e a invera do primeiro teorema de tranlação, temo { } L 2 ( 2 + 4)( 2 = 2co2t en2t+ 2e t cot+ 4e t ent (6.2.8) + 2+2) a egunda tranformada invera é L { 2e π ( 2 + 4)( ) obervamo que podemo aplicar a invera do egundo teorema de tranlação, então podemo ecrever { } L 2 ( 2 + 4)( 2 µ(t π) (6.2.9) + 2+2) t t π vejamo que a tranformada é parecida com a tranformada 6.2.8, então de forma analoga } }

56 53 a temo { } L 2 ( 2 + 4)( 2 µ(t π) = { 2co2t en2t + 2+2) t t π + 2e t cot+ 4e t ent} t t π µ(t π) [ = 2co2(t π) en2(t π)+2e (t π) co(t π) ] + 4e (t π) en(t π) µ(t π) (6.2.) para reolver a terceira tranformada, temo que ajutar a fração e uar a invera do primeiro teorema de tranlação { } 3 L { } + 4 = L {(+) 2 + { } + = L } 4L {(+) 2 + (+) 2 + } { = L } 2 4L agora uando o iten d) e e) do teorema 3.3 e a invera do primeiro teorema de tranlação, obtemo lembrando que { } 3 L = e t cot 4e t ent (6.2.) L {Y()} = y(t) para encontrarmo y(t) bata omarmo a equaçõe 6.2.8, 6.2. e 6.2. y(t) = 2co2t en2t+ 2e t cot+ 4e t ent [ 2co2(t π) en2(t π) ] + 2e (t π) co(t π)+4e (t π) en(t π) µ(t π)+e t cot 4e t ent y(t) = 2co2t en2t+ 3e t cot [ 2co2(t π) en2(t π) ] + 2e (t π) co(t π)+4e (t π) en(t π) µ(t π) é o memo que y(t) = { 3e t cot 2co2t en2t, < t < π e t [(3+2e π )cot+ 4e π ent], t > π A função y(t) repreenta o movimento da maa prea a mola, vejamo a figura 8

57 Figura 8: Gráfico y(t) 54

58 55 7 CONCLUSÃO Nete trabalho fizemo um etudo detalhado obre a tranformada de Laplace, vimo que ela é uma tranformada integral com o intervalo de integração de[, ), integrai dete tipo ão conhecida como integrai imprópria. Se reolvermo a tranformada de Laplace de funçõe generalizada por meio da definição da tranformada, obtemo fórmula gerai, que facilitam o cálculo, por exemplo, ao reolver L {ent}, uando apena a fórmula geral da tranformada de eno, chegamo ao reultado rapidamente, no entanto para reolvermo a mema tranformada uando a integral imprópria, o cálculo eriam mai difícei e demorado. Uar a tranformada invera é reolver o problema invero da tranformada de Laplace, ito é, primeiro tinhamo uma função f(t) que ao aplicarmo a tranformada de Laplace obtinhamo uma função do tipo F(), e com tranformada invera temo uma função do tipo F() e ao uarmo ea tranformada invera obtemo uma função f(t), intuitivamente o que a tranformada de Laplace faz com uma função a tranformada invera defaz. A tranformada de Laplace invera também é uma integral, porém para realizar eu cálculo é precio o uo de conceito de variávei complexa e por ee motivo não realizamo a demontraçõe da fórmula gerai da tranformadade de Laplace invera, poi o conceito de variávei etá além da finalidade do trabalho. O etudo de fraçõe parciai e motrou de uma importância para encontrarmo a tranformada de Laplace invera. A apreentação do teorema de tranlação no trouxe um bom uporte para reolvermo a tranformada de Laplace de funçõe exceivamente difícei. Ao etudarmo a tranformada de uma derivada, obtemo bae uficiente para reolvermo equaçõe diferenciai com o auxílio da tranformada de Laplace, obervamo que ao aplicar a tranformada em uma derivada, ela tranforma a derivada em uma equação algébrica, aim facilitando o cálculo. Porém também vimo que para chegarmo a ea equação algébrica, preciamo de condiçõe iniciai dada pelo problema a er etudado e que podemo uar a tranformada de Laplace apena em equaçõe diferenciai com coeficiente contante.