APLICAÇÕES DE PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTO PARA DADOS NÃO NORMAIS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Centro de Cêncas Matemátcas e da Natureza Insttuto de Matemátca Departamento de Métodos Estatístcos Dogo da Hora Elas APLICAÇÕES DE PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTO PARA DADOS NÃO NORMAIS Ro de Janero 04

2 DIOGO DA HORA ELIAS APLICAÇÕES DE PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTO PARA DADOS NÃO NORMAIS Projeto Fnal de Curso como parte dos requstos para a obtenção do título de ESTATÍSTICO Fláva Landm UFRJ Orentador Marane Alves UFRJ Banca Avaladora Marna Paez UFRJ Banca Avaladora Ro de Janero 04

3 Agradecmentos Agradeço a toda mnha famíla, prncpalmente aos meus pas, Helo e Mara de Lourdes por todo carnho, pacênca e esforço para que eu chegasse até aqu. A Professora Fláva Landm pela atenção, conhecmento e todo o tempo dsponblzado para me auxlar na construção deste projeto.

4 Resumo Neste trabalho, após realzarmos uma revsão dos conteúdos de Planejamentos de Expermentos e Modelos Lneares Generalzados (MLG s, utlzamos três exemplos prátcos que são smultaneamente consttuídos por um plano fatoral k e uma varável resposta que segue uma dstrbução da famíla exponencal. Em cada exemplo, além da metodologa de MLG s, foram abordadas outras duas alternatvas que são amplamente utlzadas, prmero, o modelo lnear normal, segundo, alguma transformação da varável resposta que, supostamente, conduzra a varável resposta à normaldade. Dessa forma, podemos comparar os três métodos e comprovar a efcênca dos Modelos Lneares Generalzados. No prmero exemplo, trabalhamos com uma stuação hpotétca, os dados foram obtdos através de uma smulação que forneceu um plano fatoral 4 com uma únca replcação e varável resposta com dstrbução bnomal. O objetvo da smulação fo analsar o uso da regressão logístca, que é um dos casos mas populares da aplcação de MLG s, empregada prncpalmente quando a resposta é uma proporção. Neste exemplo, além do modelo lnear normal, utlzamos a transformação de Box-Cox, em ambos os casos foram observadas algumas ncoerêncas dscutdas com detalhes no capítulo 4. O segundo exemplo é um estudo dos fatores sobre a dstânca alcançada pela bola lançada pela catapulta, baseado em um exercíco do lvro de Myers et al (00, também fo realzada uma smulação. Temos um expermento fatoral fraconado 4 com três replcações, já que em cada combnação de tratamento a bola fo atrada três vezes, a escolha um plano fraconáro fo ntenconal, pos o fraconamento é uma estratéga muto comum quando não é possível obter realzações para todas as combnações de tratamento. Nesse caso, a dstrbução da varável resposta é gama, por ser contínua e não ser uma proporção, para mutos, sera natural consderar uma varável que segue uma dstrbução normal. Incalmente, utlzamos o modelo lnear normal e a transformação logarítmca, já que a resposta é sempre postva, e fnalmente, um modelo de regressão gama com função de lgação logarítmca. O objetvo era avalar quas fatores que afetam a dstânca alcançada pela bola e construr um modelo de regressão adequado. O tercero exemplo é um estudo sobre a sobrevvênca de espermatozóde em um banco de esperma também fo retrado de Myers et al (00. Nesse estudo, os espermatozódes são armazenados em ctrato de sódo e glcerol, a quantdades dessas substâncas vararam juntamente com o tempo de equlíbro. Dessa forma, temos um plano fatoral ³ com apenas uma replcação e a varável resposta é a proporção de espermatozódes sobrevventes. O propósto é encontrar quas fatores (substâncas e o tempo de equlíbro afetam a resposta, a partr daí, construr o modelo de regressão. Consderando que a resposta segue dstrbução bnomal, utlzamos novamente o modelo logístco. Como alternatvas usamos o modelo lnear normal e a transformação arco seno da raz quadrada, que establza a varânca quando os dados são proporções.

5 v Sumáro Resumo. Introdução.... Planejamentos de Expermentos: uma ntrodução Modelos Fatoras Expermentos k Expermentos fatoras fraconados k p Introdução a Modelos Lneares Generalzados Famíla Exponencal Modelos para dados bnáros ou na forma de proporções Modelo para dados de contagens Metodologa dos Modelos Lneares Generalzados Aplcações Smulação de dados bnomas Estudo dos fatores sobre a dstânca alcançada pela bola lançada pela catapulta Sobrevvênca do Espermatozóde em um banco de esperma Consderações Fnas...63 Referêncas Bblográfcas...64 Apêndce A Modelo Lnear Normal...65 Apêndce B Detalhes do MLG para lgações canôncas...68 Apêndce C Teste de Anderson-Darlng...69

6 CAPÍTULO - Introdução O prmero objetvo desse trabalho fo realzar um resumo de tópcos de Planejamento de Expermentos, especalmente os planos fatoras k, e de Modelos Lneares Generalzados (MLG s. Isto fo feto através de uma revsão bblográfca. O segundo objetvo fo, através da teora apresentada nos capítulos ncas, mostrar aplcações dos MLG s em Planejamentos de Expermentos. Como o conteúdo da dscplna de graduação Análse de Regressão é grande e MLG s é seu últmo tópco, mutas vezes o tempo que sobra para a apresentação do mesmo dexa a desejar. Além dsso, geralmente, em mutas stuações envolvendo Planejamentos de Expermentos, o pesqusador, automatcamente, supõe que a varável resposta possu dstrbução normal, o que pode levar a conclusões erradas. Pretendemos mostrar que os Modelos Lneares Generalzados podem representar uma boa alternatva nesses casos. Segundo Montgomery (007, o desenvolvmento do planejamento de expermentos pode ser dvddo em quatro fases. A prmera fase fo lderada pelo trabalho ponero de Ronald A. Fsher, entre as décadas de 90 e 930, quando este fo o responsável pelas estatístcas e análse de dados em um nsttuto de pesqusa sobre agrcultura. A convvênca com centstas e pesqusadores de dferentes áreas possbltou o conhecmento necessáro para que Fsher estabelecesse os três prncípos báscos do planejamento de expermentos: aleatorzação, replcação e blocagem. Fsher ntroduzu prncípos e o pensamento estatístco na nvestgação expermental, nclundo o conceto de plano fatoral e a análse da varânca. A segunda fase fo estmulada pelo desenvolvmento da metodologa de superfíce de resposta por Box e Wlson (95. Eles reconheceram e exploraram o fato de mutos expermentos ndustras serem fundamentalmente dferentes daqueles pratcados na agrcultura de duas maneras: geralmente, a resposta pode ser observada medatamente, e o pesqusador pode aprender rapdamente nformações crucas sobre um pequeno grupo de realzações que podem ser usadas para planejar o próxmo expermento. No entanto, a aplcação do planejamento estatístco no processo de fabrcação anda não era amplamente dfundda. Isso aconteca devdo a um trenamento nadequado sobre concetos báscos de estatístca, a falta de recursos computaconas e a não exstênca de um software compatível para aplcações em planejamento de expermentos. O aumento do nteresse em melhora da qualdade mpulsonou a tercera fase. O trabalho de Gench Taguch teve sgnfcante mpacto para o nteresse no uso de planejamento de expermentos. Taguch defendeu que o processo deve ser nsensível em relação à varação de fatores de dfícl controle e encontrar níves das varáves do processo que levam a méda a ter um determnado valor desejado, ao mesmo tempo em que a varabldade em torno deste valor é reduzda. Quando esses objetvos são alcançados, podemos dzer que o processo é robusto. A quarta fase apresenta um nteresse renovado em planejamento estatístco por pesqusadores e pratcantes e o desenvolvmento de novas abordagens para problemas expermentas no campo ndustral nclundo alternatvas aos métodos de Taguch que permtem que concetos de engenhara sejam utlzados de forma mas efcente. Segundo Turkman e Slva (000, os Modelos Lneares Generalzados, ntroduzdos na década de 970, tveram grande mpacto no desenvolvmento da estatístca aplcada. No níco, seu uso esteve confnado a um grupo restrto de pesqusadores, devdo a falta de bblografa acessível e à complexdade ncal do GLIM, prmero software drgdo

7 para aplcação desta metodologa. Foram necessáros 0 anos para que os MLG s chegassem ao domíno públco. Isso ocorreu devdo às melhoras no software exstente. Hoje, a maora dos pacotes estatístcos contém módulos aproprados ao estudo destes modelos. Pode-se dzer que o conhecmento da metodologa dos MLG s é mprescndível para qualquer ndvíduo que utlze métodos estatístcos. A mportânca dos Modelos Lneares Generalzados não é apenas de caráter prátco. Do ponto de vsta teórco, a sua mportânca vem, essencalmente, do fato desta metodologa consttur uma abordagem unfcada de mutos procedmentos estatístcos usados habtualmente e promover o papel central da verossmlhança na teora de nferênca. Para alcançar os objetvos desse trabalho, essa monografa fo estruturada em cnco capítulos. O capítulo contém uma ntrodução e os objetvos do trabalho. No capítulo, apresentam-se uma ntrodução ao planejamento de expermentos com foco para os modelos fatoras. No capítulo 3, faz-se uma breve revsão dos modelos lneares generalzados, MLG s. No capítulo 4, são fetas aplcações dos modelos lneares generalzados para o planejamento de expermentos. Fnalmente, no capítulo 5, conclusões e consderações fnas do trabalho são expostas. k

8 CAPÍTULO - Planejamentos de Expermentos: uma ntrodução A dscussão a segur está baseada no lvro do Montgomery (007. Segundo Montgomery (007, expermentos são testes ou uma sére de testes, nos quas mudanças ntenconas são fetas na varável de entrada de um processo ou sstema para que possamos observar e dentfcar as razões para mudanças que podem ser observadas na varável resposta. Seu objetvo é fazer com que o processo seja mnmamente afetado por fontes externas de varabldade. As prncpas áreas de utlzação de expermentos estão na cênca e engenhara, porém exstem aplcações em áreas como: marketng e negócos. Podemos ctar o segunte exemplo, um engenhero metalúrgco está nteressado em estudar o efeto de dos processos de enrjecmento de lgas de alumíno: solução de óleo ou solução de água salgada. A méda de rgdez das lgas em cada processo será determnada para saber qual é o melhor. No entanto, devemos fcar atentos para algumas questões: Outros processos poderam ser testados? Exstem outros fatores que poderam afetar o enrjecmento? Quantas lgas deveram ser testadas em cada processo? Como devem ser determnadas as soluções e, em qual ordem, os dados devem ser coletados? Qual método de análse de dados deve ser usado? Qual dferença observada na rgdez entre as duas soluções deve ser consderada mportante? Estas questões devem ser responddas antes do expermento ser executado. É mportante que o expermento seja bem planejado porque os resultados e as conclusões a serem tomadas dependem do modo em que os dados são coletados. Suponha que no exemplo anteror, o engenhero não tenha conhecmento sufcente para saber o quanto da dferença entre as médas está relaconado ao processo de enrjecmento e o quanto provém do aquecmento (feto anterormente. Assm, o método de coleta de dados afetou as conclusões que podem ser tomadas do expermento. Podemos vsualzar um processo como uma combnação de operações, máqunas, métodos, pessoas e recursos que transformam o nsumo em produto que tem uma ou mas varáves respostas. Algumas das varáves do processo x, x,..., xp são controláves enquanto outras varáves não controláves,,..., q z z z. Expermentos envolvem város fatores e, mutas vezes, o objetvo do expermentador é determnar a nfluênca que esses fatores exercem na varável resposta do sstema. O expermentador pode usar váras estratégas. No lvro do Montgomery, há o segunte exemplo do jogo de golfe. Suponha que um pratcante deseja melhorar seu desempenho, mas não tem muto tempo para trenar. Prmeramente, foram estabelecdos oto fatores que podem nfluencar seu rendmento, mas percebe que quatro podem ser gnorados, pos não possuem nenhum efeto prátco. Os efetos consderados seram tpo de bola, tpo de taco, tpo de bebda e tpo de locomoção. Na prmera rodada, percebe-se que as tacadas estão rregulares, portanto, na rodada segunte muda-se o tpo de taco, mantendo outros fatores no mesmo nível. O processo contnua ndefndamente, sempre mudando o nível dos fatores de acordo com o resultado observado. Essa estratéga é chamada de melhor palpte. No entanto, tem duas desvantagens: não há garantas de sucesso e o prmero palpte é sempre consderado nacetável. Outra estratéga a ser usada sera um fator a cada vez, estabelece-se um ponto de partda com cada fator em determnado nível, então se vara cada fator mantendo os 3

9 outros fatores constantes. A desvantagem é que a nteração entre fatores é desconsderada. O método mas adequado para tratar város fatores é um expermento fatoral. Nesta abordagem, os fatores varam juntos, ao nvés de um de cada vez. Se temos k fatores, cada um com dos níves, expermento será fatoral Para expermentos com quatro, cnco fatores ou mas não é necessáro usar todas as combnações possíves. Para casos como estes, a técnca a ser utlzada será o expermento fatoral fraconáro, que é uma varação do expermento fatoral básco. Exstem dos aspectos em um problema expermental: o planejamento do expermento e a análse estatístca dos dados. Esses dos assuntos estão ntmamente relaconados porque o método de análse depende dretamente do planejamento empregado. Os três prncípos báscos do planejamento de expermentos são: aleatorzação, replcação e blocagem. Através da aleatorzação é defnda a alocação do materal do expermento e ordem na qual as observações do expermento são executadas são determnadas aleatoramente. Métodos estatístcos exgem que as observações (ou erros sejam varáves aleatóras ndependentemente dstrbuídas. Programas de computadores são amplamente usados para ajudar a seleconar e construr o planejamento do expermento. Esses programas, geralmente, apresentam as realzações em ordem aleatóra. Essa ordem é crada pelo uso de um gerador de números aleatóros. A replcação é uma repetção ndependente de cada combnação de fatores. No exemplo do engenhero metalúrgco, se cnco lgas de alumíno são tratadas em cada processo de resframento, temos cnco replcações. Replcação tem duas mportantes propredades: permte obtenção de uma estmatva do erro expermental, essa estmatva é utlzada para avalar se dferença observada entre os dados é estatstcamente sgnfcante. Se a méda amostral é utlzada para estmar a verdadera méda da resposta, a replcação permte obter uma estmatva mas precsa do parâmetro. Por exemplo, consderando como a varânca de uma observação ndvdual gual a e n replcações, a varânca da méda amostral será gual a Blocagem é uma técnca de planejamento para melhorar a precsão de como é feta a comparação entre os fatores de nteresse. Geralmente, a blocagem é usada para dmnur ou elmnar a varabldade transmtda por fatores que podem nfluencar a resposta, mas que não são de nosso nteresse (fatores de ruído. Blocagem pode ser defnda como um conjunto de condções relatvamente homogêneas do expermento. Podemos destacar um conjunto de estratégas para realzar um expermento. Pode parecer óbvo, mas, mutas vezes, não é smples perceber que o problema precsa ser tratado através da expermentação. É mportante solctar nformações de todos os profssonas envolvdos no processo, além dsso, devemos fazer uma lsta de questões sobre o expermento. Estabelecer exatamente qual o problema contrbu para um melhor entendmento do fenômeno a ser estudado e para sua solução. Devemos estar certos que a varável resposta seleconada fornece nformações útes sobre o processo a ser estudado. Geralmente, a méda e o desvo padrão serão a varável resposta. A capacdade de medção é fator mportante, porque, caso este seja nadequado, somente os efetos dos fatores com relatva grandeza serão detectados pelo expermento, ou replcações adconas podem ser necessáras. Em alguns casos de nconsstênca da capacdade de medção, podemos medr a undade expermental váras vezes e usar a méda como resposta observada. k σ n. 4

10 Consderando os fatores que podem nfluencar um sstema, podemos classfcá-los como: fatores potencas de planejamento e fatores de ruído. Os fatores potencas de planejamento são aqueles que podem varar no expermento. Fatores de ruído podem ter um grande efeto, mas podem não ser nteressantes no contexto do expermento. Classfcamos fatores desta espéce como: controláves e ncontroláves. Os fatores de ruído controláves são aqueles que podem ser dentfcados. Na escolha do planejamento, levamos em consderação o número de replcações, seleção de uma ordem adequada para as realzações e determnar se a blocagem e restrções na aleatorzação estão envolvdas. Há város programas estatístcos que ajudam nessa fase do processo. Informamos o número de fatores, níves e faxa de varação e o programa apresentará uma seleção de planejamentos. Quando realzamos um expermento, é vtal montorar o processo cudadosamente para assegurar que tudo está sendo feto de acordo com o planejamento. Neste momento, erros destroem a valdade do expermento. Coleman e Montgomery (993 sugerem que antes de realzar o expermento, é aconselhável realzar testes ou expermentos-plotos que nformarão a consstênca do materal e do sstema de medção. Os resultados da análse estatístca devem fornecer resultados mas objetvos que o julgamento natural. Se o expermento fo bem planejado, os métodos estatístcos não precsam ser muto elaborados. Também é mportante apresentar os resultados de acordo com o modelo empírco. Análse resdual e checagem da adequação do modelo são técncas que podem ser usadas. Uma vez que os dados foram analsados, podemos tomar conclusões prátcas sobre os resultados e recomendar que ações serão realzadas. Métodos gráfcos também são utlzados neste momento. Testes de confrmação devem ser usados para valdar suas conclusões. Segundo Montgomery (007, expermentação é uma mportante parte do processo, ncalmente, formulamos hpóteses que servrão de base para execução do processo e para avalação dos resultados. Planejar um expermento grande e complexo é um erro, o sucesso do expermento depende do nosso conhecmento sobre os mportantes fatores, faxa de varação, escolha dos níves e undade de medção adequada. Os fatores e suas faxas de varação podem mudar durante o processo... Modelos Fatoras... Defnções báscas e prncípos Planejamentos fatoras são mas efcentes para estudar os efetos de dos ou mas fatores em um expermento, pos, em cada replcação, todas as combnações dos níves dos fatores são nvestgadas. Por exemplo, se exstem a níves de um fator A e b níves de um fator B cada replcação contém ab combnações. A varação da resposta produzda por uma varação do fator é o que chamamos de efeto de um fator. Por se referr, frequentemente, aos fatores prmáros de nteresse, chamamos de efeto prncpal. Os níves altos e baxos são denotados, respectvamente, por + e -. Consderando um plano fatoral ² com uma únca replcação, o efeto do fator A pode ser calculado através da dferença entre as respostas médas no nível alto e no nível baxo de A, o procedmento é feto de modo análogo para B 5

11 Tabela. Plano fatoral ². Fatores Nível baxo de A(- Nível alto de A(+ Nível alto de B(+ Nível baxo de B(- y y A y y y y y y y y B Para fatores com mas de dos níves, os efetos são obtdos de forma dferente. Quando a dferença da resposta entre os níves de um fator não é a mesma para todos os níves de outro fator, temos nteração entre os fatores. A nteração pode ser percebda caso haja dferença entre a varação de A no nível mas baxo e mas alto. y y y_ y AB O modelo de regressão é uma abordagem muto útl para nterpretar a nteração entre os fatores. Em um expermento ² fatoral, temos y 0 x x x x A resposta e os parâmetros devem ter seus valores estmados, usamos representar o fator A, representa o produto dos dos níves dos dos fatores. Nos níves baxos, altos, por +. Consequentemente, quando os snas de são guas, o valor para a nteração é +, caso sejam contráros, temos que será gual a -. x e x para representar o fator B, x x e xx y y x para x são representados por -, nos níves É possível mostrar que os coefcentes estmados através do método de mínmos quadrados são guas à metade da estmatva dos efetos. ˆ ˆ A estmatva para o coefcente ˆ x e xx y y y y y y y y y y y y x ˆ 0 será a méda das quatro observações para a resposta. ˆ y y y y 0 4 Quando ˆ é pequeno em relação a ˆ e ˆ, podemos gnorar a nteração. Para um modelo no qual a nteração não exste ou pode ser consderada desprezível, temos o segunte ajuste. ŷ ˆ 0 ˆ ˆ x x A representação geométrca da equação é um plano que é chamado gráfco de superfíce de resposta, uma ferramenta mportante de análse do expermento. Para o modelo sem nteração, o gráfco será uma superfíce totalmente plana, já quando consderamos a nteração, a superfíce adqure uma curvatura A B AB 6

12 Geralmente, nas stuações em que a nteração é grande, os efetos prncpas têm pequeno sgnfcado prátco. Vamos supor que o fator A seja pequeno, sso nos nduz a conclusão de que o efeto de A deve ser gnorado. Porém, antes devemos examnar os efetos de A para os dferentes níves de B. Se houver grande dferença entre as varações de A para o nível alto e o nível baxo, o efeto de A exste, mas depende do nível de B. Portanto, a nteração mascara efetos prncpas sgnfcantes. Para não tomarmos conclusões precptadas, sempre que houver nteração, temos de examnar os níves de um fator fxando o nível dos outros fatores.... Expermentos a dos fatores Em um exemplo de um expermento fatoral envolvendo dos fatores, um engenhero está desenvolvendo uma batera para usar em um dspostvo que estará sujeto a varações extremas de temperatura. O únco parâmetro que pode ser seleconado é o tpo de materal da batera, ele tem três opções. O engenhero decdu testar as três opções de materal em três níves de temperatura: 5, 70 e 5 graus Fahrenhet. Portanto, temos um expermento 3² fatoral. Quatro bateras são testadas em cada combnação, então são obtdas 36 realzações. Neste problema, o engenhero quer responder as seguntes perguntas: Quas são os efetos do tpo de materal e da temperatura na vda da batera. Há um tpo de materal que fornecera uma vda longa ndependentemente da temperatura? A últma questão é mportante, porque caso a resposta seja sm, o engenhero pode tornar a batera robusta a varação de temperatura. Este é um problema de projeto robusto de produção, muto utlzado na engenhara. O modelo para um planejamento fatoral é descrto da segunte forma: Na equação acma, a é o número de níves de fator A, b é o número de níves do fator B, n é o número de replcações, é a resposta observada consderando que o y jk fator A está no -ésmo nível e o fator B está no j-ésmo nível para a k-ésma replcação. A ordem das abn observações é feta de modo aleatóro, por sso, este é uma planejamento completamente aleatorzado, em que é a méda geral do efeto, é o efeto do -ésmo nível de A, é o efeto do j-ésmo nível de B, ( é o efeto da j nteração do -ésmo nível de A com o j-ésmo nível de B e ejk j é a componente correspondente ao erro aleatóro. Temos ao todo abn observações. Supomos que ambos os fatores são fxos e os efetos do tratamento são defndos como desvos da méda geral, então a a b j j 0e b j 0. Os efetos da nteração também são fxos tas como( ( j 0. Ambos os fatores, A e B, são de nteresse. Dessa forma, estamos nteressados em testar os seguntes testes de hpóteses: - H 0 :... a 0 j 7

13 H : pelo menos um - H 0 0 :... b 0 j H : pelo menos um, 3- H 0 : ( j 0 para todo,j H : pelo menos um ( 0 j 0, Tabela. Níves de um plano fatoral ². Observações Soma Méda No -ésmo nível do fator A b n y y No j-ésmo nível do fator B Na combnação do -ésmo nível do fator A com o j- ésmo nível do fator B Total y y j. y j. j k a n k y jk jk y y... j. y.. bn y.. an n yj. yjk yj. k n a b n j k A soma de quadrados total corrgda é escrta como: SS SS SS SS SS y jk T A B AB E y... y... abn Tabela.3 - ANOVA para um expermento a dos fatores Fonte de Varação Graus de Lberdade Soma de Quadrados Quadrado Médo A SSA MS A MS A a MSE B SSB MSB MSB b MSE AB ( a( b SS MS AB MS AB ( a( b MSE Erro ab( n SSE MSE ab( n Total abn a b SS A SS B SS AB SS E SS T Assumndo que o modelo apresentado é adequado e que os erros são ndependentes e normalmente dstrbuídos com varânca constante, a dvsão do quadrado médo do determnado fator ou nteração pelo MS E possu dstrbução F, cujo grau de lberdade do numerador é gual ao do fator ou nteração, para o denomnador, o grau de lberdade é o mesmo do resíduo. Quando rejetamos a hpótese nula, então pode ser necessáro executar comparações ndvduas entre os níves para descobrr se essa dferença entre as médas dos tratamentos é sgnfcante. Quando a nteração é sgnfcante, comparações entre as médas de um fator podem ser complexas como vmos anterormente. Uma solução sera fxar B em determnado nível e aplcar o teste de Tukey, que é baseado na F 0 AB 8

14 ampltude studentzada e consste em defnr a menor dferença sgnfcatva, para a méda do fator A em cada nível. Antes de as conclusões fornecdas pela ANOVA serem valdadas, é necessáro verfcar a adequação do modelo, podemos usar análse de resíduos. Defnmos o resíduo em um expermento fatoral como: e y yˆ, já que o valor ajustado é jk jk jk gual à méda das observações para a combnação entre o -ésmo nível de A e o j-ésmo nível de B. Da mesma forma que o modelo de regressão lnear, usamos o gráfco de resíduos versus valores ajustados são ferramentas que auxlam a verfcação de normaldade e varânca constante...3. Estmação dos Parâmetros do Modelo Os estmadores são obtdos va mnmzação da soma dos quadrados das dferenças entre o valor estmado e observado. Devdo ao modelo possur ab+a+b+ parâmetros, são necessáras ab+a+b+ equações normas para encontrar todos os estmadores. : abn ˆ bn ˆ an ˆ n ( y j j j j : bn ˆ bn ˆ n ˆ n ( y j j.. j j,,..., a : an ˆ n ˆ an ˆ n ( y j j j. j. j,,..., b ( : n ˆ n ˆ n ˆ n( y j j j j.,,..., a a a b a b b j,,..., b Já que exstem equações lnearmente dependentes, para obter solução do modelo, devemos mpor as seguntes restrções: b a a b a ˆ 0; ˆ 0; ( 0 j j j... b e j ( 0 Então, encontramos os estmadores dos parâmetros. ˆ y... ˆ y y ;,,..., a..... ˆ y y ; j,,..., b j. j....,,..., a ( j yj. y.. y. j. y... ; j,,..., b Os resultados obtdos no modelo para dos fatores podem ser estenddos para o caso geral. j 9

15 ..4. Ajuste de curvas e superfíces de resposta A ANOVA sempre trata os fatores de um expermento como se fossem qualtatvos e categórcos, mas, geralmente, o expermento possu pelo menos um fator quanttatvo. Portanto, é útl termos uma relação entre os níves de um fator e a resposta que é encontrada através do ajuste da curva de resposta. Essa equação pode ser usada para prever a resposta de acordo com os níves do fator. Se tvermos pelo menos dos fatores quanttatvos, podemos ajustar uma superfíce de resposta. Dessa forma, pode se prever a resposta dada uma combnação de níves dos fatores. Normalmente, métodos de regressão lnear são usados para ajustar o modelo...5. Blocagem no expermento fatoral Dscutmos o planejamento fatoral em um contexto de expermento completamente aleatorzado. No entanto, às vezes, não é possível que todas as realzações sejam totalmente aleatorzadas. Por exemplo, quando exste um fator de ruído, uma alternatva é realzar o expermento em blocos. Suponha um expermento fatoral com os dos fatores, A e B, e a presença de nteração AB. Para realzar o expermento, é necessáro uma matéra-prma especfca que não está dsponível em quantdade para executar abn combnações de tratamentos num únco lote. Observou-se que sera possível gerar ab combnações com apenas um lote. Conseqüentemente, os lotes são uma restrção a aleatorzação. O modelo para o expermento nclundo a blocagem é y ( e k jk j k jk,,..., a; j,,..., b; k,,..., n representa o efeto do k-ésmo bloco. O modelo supõe desprezível a nteração entre tratamentos e blocos. Além da matéraprma, podem exstr outras restrções a aleatorzação como: tempo. Por exemplo, o expermento não pode ser feto nteramente em um da, então, sera executada uma replcação num prmero da e outra replcação em um segundo da. Cada da representa um bloco... Expermentos K Uma replcação desse expermento requer observações, por sso, é chamado de fatoral. Lembrando que estamos supondo que os fatores são fxos, o expermento é completamente aleatorzado e as suposções de normaldade estão satsfetas. Os expermentos são amplamente utlzados em estágos ncas de pesqusas para seleconar dentre mutos fatores quas são realmente relevantes.... O Planejamento ² k Em um expermento ² fatoral com fatores A e B, cada um com dos níves: alto e baxo. O expermento também pode ser nterpretado através da fgura abaxo, um quadrado onde cada vértce representa uma combnação de tratamento. k k 0

16 Alto b ab Baxo ( a Baxo Alto Fgura. Plano fatoral ² O nível alto de A com o nível baxo de B é representado por a, o nível baxo de A com o nível alto de B é representado por b, quando A e B estão no nível alto, temos ab, e os dos fatores no nível baxo, temos (. Como se mostrou na fgura acma, essa notação representa o total de cada combnação de tratamento. A partr dessa notação, calcularemos os efetos prncpas e a nteração. A ([ ab b ] [ a (] n ( ab a b ( n B ([ ab a ] [ b (] n ( ab b a ( n AB ([ ab b ] [ a (] n ( ab ( a b n Repare que o efeto de A é a méda entre os efetos de A no nível mas baxo e mas alto de B. O efeto de B é calculado de manera análoga. O efeto da nteração AB é a méda da dferença do efeto de A no nível mas baxo e mas alto de B, mas também,

17 pode ser defndo como a méda da dferença entre o efeto de B no nível mas alto e mas baxo de A. Exstem excelentes pacotes estatístcos capazes de realzar todos os cálculos para um expermento fatoral, mas podemos fazer sso manualmente. Para determnar as somas de quadrados de A, B e AB, usamos os contrastes, também chamados de efeto total. Por exemplo, o contraste de A, usado para estmação de A, é k Contraste A ab a b ( A soma de quadrados é o quadrado do contraste dvddo pelo número total de observações. [ ab a b (] SS A 4n [ ab b a (] SSB 4n [ ab a b] SS AB 4n A ANOVA também auxla para confrmar a nterpretação da magntude e dreção dos efetos, mas não deve ser a únca ferramenta a ser utlzada, pos não contém todas as nformações necessáras. Note que os contrastes para os efetos A, B e AB são ortogonas. Consequentemente, o expermento fatoral é ortogonal. Um expermento fatoral pode faclmente ser expresso por meo de um modelo de regressão. Desta forma, temos o modelo y x x e k 0 x é uma varável codfcada que representa o fator A, x é uma varável codfcada que representa o fator B. Antes de valdar o modelo, precsamos realzar a análse de resíduos para verfcar as suposções de normaldade e varânca constante.... Planejamento ³ fatoral Supondo que agora temos três fatores de nteresse: A, B e C, cada um com dos níves. As oto combnações de tratamento são representadas por meo de um cubo. Cada vértce é uma combnação. Fgura. Plano fatoral ³

18 A estmatva do efeto de A pode ser nterpretado como uma méda de quatro stuações: o efeto de A quando B e C estão no nível baxo, [a-(]/n, o efeto de A quando B está no nível baxo e C está no nível alto, [ac-c]/n, o efeto de A quando B está no nível alto e C está no nível baxo, [ab-b]/n, e o efeto de A quando B e C estão no nível alto, [abc-bc]/n. Dessa forma, o efeto médo de A é A [ a ( ab b ac c abc bc ] 4n Do mesmo modo, obtemos os outros efetos prncpas: B [ abc ab bc b ac a c (] 4n C [ abc ac bc c ab a b (] 4n Note que a equação para o efeto de A é um contraste entre as combnações que estão no vértce da face do lado dreto e da face do lado esquerdo do cubo na fgura.. A nteração AB é a dferença da méda do efeto de A nos dos níves de B. AB ( a b ab c ac bc abc 4n De modo análogo, podemos encontrar os efetos das nterações AC e BC. AC ( a b ab c ac bc abc 4n BC ( a b ab c ac bc abc 4n Podemos defnr a nteração ABC como a méda da dferença méda de AB entre os dos níves de C. ABC [( abc bc ( ac c ( ab b ( a (] 4n abc bc ac c ab b a ( 4n Em todas estas equações, as quantdades entre colchetes são os contrastes nas combnações de tratamentos. A partr dos contrastes, podemos construr uma tabela com os snas de mas ou menos. Os snas para as nterações são obtdos pela multplcação das colunas. Por exemplo, os snas da nteração AB são obtdos por meo do produto das colunas A e B em cada lnha. Com a exceção da coluna I, que possu apenas snas postvos, cada coluna possu quantdades guas de snas postvos e negatvos. A soma do produto de snas para duas quasquer duas colunas é zero. Qualquer coluna multplcada pela coluna I se mantém nalterada. O produto de quasquer duas colunas forma uma coluna que pertence à tabela. Estas propredades são mplcações da ortogonaldade do planejamento ³ e dos contrastes utlzados para estmar os efetos. A soma de quadrados para os efetos são calculados faclmente porque cada efeto tem um contraste que corresponde a grau de lberdade. Em um planejamento ³ com n replcações, temos que para qualquer efeto: ( Contraste SQ ; N ³ n N 3

19 Da mesma forma que os planejamentos ², pode ser construído um modelo de regressão para os planejamentos ³. O modelo consderando todos os efetos prncpas e nterações como sgnfcantes tera o segunte formato: ŷ ˆ 0 ˆ x ˆ x ˆ 3x3 ˆ ˆ ˆ ˆ x x 3x x3 3x x3 3 x xx3 As varáves codfcadas e representam respectvamente A, B e C. Os termos xx, xx 3, xx 3 e x xx3 x, x x 3 são, respectvamente, as nterações AB, AC, BC e ABC. Lembrando que quando exstr nteração, as lnhas de contorno da resposta não serão retas. A análse da varânca é uma manera formal para determnar quas efetos dos fatores são dferentes de zero. Há város outros métodos para julgar a sgnfcânca dos efetos. O erro padrão dos efetos é utlzado para construr um ntervalo de confança. O erro padrão é calculado faclmente. Supondo que temos n replcações de cada um das k combnações de tratamentos. n s ( yj y., n j,,..., k Essa é uma estmatva da varânca para -ésma realzação. estmatvas da varânca podem ser combnadas para consegur uma estmatva geral da varânca. s k s k ( n Essa estmatva é também chamada de quadrado médo do resíduo. A varânca de cada efeto estmado é Contraste V ( Efeto V V ( Contraste k n k n Cada contraste é uma combnação lnear dos totas de tratamentos e cada total consste de n observações. Portanto, V ( Efeto e V ( Contraste n k n k O estmador do erro padrão é raz quadrada da expressão para varânca do efeto substtundo-se por. s se( Efeto n k A sgnfcânca de qualquer efeto é testada por meo da segunte estatístca. Efeto t0 se( Efeto Essa estatístca possu dstrbução t de Student com N-p graus de lberdade. Onde N é o número de observações e p é o número de parâmetros do modelo. Portanto, um ntervalo de confança com 00(-α% para determnado efeto é Efeto t /, N pse( Efeto..3. Planejamento k fatoral s Os métodos apresentados anterormente podem ser generalzados no planejamento k fatoral, que contém k fatores com dos níves cada um. Um modelo estatístco para o k k 4

20 k fatoral nclu k efetos prncpas, k nterações de ordem, k k 3 nterações de ordem 3,..., e uma nteração de ordem k, somando um total de efetos. Em um procedmento de análse de expermentos dessa espéce, devemos segur algumas etapas: ( estmar os efetos dos fatores, ( formular o modelo ncal, (a se for replcado, ajustar o modelo replcado, (b caso contráro, formular o modelo utlzando o gráfco de probabldade normal dos efetos, (3 executar teste estatístcos, (4 refnar o modelo, (5 analsar os resíduos, (6 nterpretar os resultados. A prmera etapa fornece uma noção ao expermentador de quas fatores e nterações são mportantes e como esses fatores podem ser ajustados para melhorar a resposta. Na tercera etapa utlzamos a análse da varânca para testar a sgnfcânca dos fatores e nterações. A quarta etapa consste em remover as varáves não sgnfcantes do modelo completo, e na qunta etapa, checamos as suposções e a adequação do modelo. Em certas stuações, o refnamento do modelo poderá ocorrera pós a análse dos resíduos, casos em que o modelo é nadequado ou quando as suposções são voladas. Ocasonalmente, pode ser necessáro calcular os efetos estmados ou a soma de quadrados manualmente, portanto precsamos determnar os contrastes, uma opção é utlzar a tabela de snas, porém, quando k é grande, sso se torna muto trabalhoso. Outra alternatva é expandr o lado dreto da equação. O snal em cada parêntese é negatvo se o fator está ncluso, e postvo, caso contráro. Por exemplo, o contraste AB em plano ³, temos Contraste ( a ( b ( c abc ab c ( ac bc a b Podemos defnr um contraste como: Contraste AB... K ( a ( b...( k Desta forma, determnamos o efeto estmado e a soma de quadrados. AB... K ( ContrasteAB... K k n SSAB... K ( Contraste k AB... K n AB..4. Plano k com uma únca replcação Geralmente, os recursos de um expermento são lmtados. Consequentemente, o número de replcações é restrto, e em alguns casos, é possível obter apenas uma replcação. Nessas stuações, se y tem varabldade alta, podemos tomar conclusões erradas sobre o expermento. Com apenas uma replcação, não há como ter uma estmatva nterna do erro (ou erro puro. Uma abordagem é assumr que as nterações de ordem mas alta são desprezíves e combnar seus quadrados médos para estmar o erro. No entanto, quando as nterações de ordem mas altas são sgnfcantes, a combnação de quadrados médos não é adequada. Nesse caso, o método a ser usado é atrbuído a Danel (959, e consste em examnar o gráfco de probabldade normal da estmatva dos efetos. Neste gráfco, os efetos desprezíves possuem dstrbução normal com méda zero e varânca e tendem a car ao longo da reta, já os efetos sgnfcantes, com médas dferentes de zero, se encontrarão dstantes da reta. Dessa forma, o modelo conterá apenas os efetos que são não nulos. Os efetos aparentemente desprezíves serão combnados para estmar o erro. 5

21 ..5. Propredades do plano fatoral Os planos fatoras k têm mutas propredades útes e nteressantes. Consderando o caso mas smples, um expermento ² com uma únca replcação, tem quatro combnações de tratamento: (, a, b e ab. Nesse caso, obtemos o segunte modelo ajustado. y 0 x x x x Lembrando que as varáves representam os fatores prncpas e é a nteração entre os dos fatores. Cada combnação de tratamento pode ser escrta como: ( ( ( ( ( x e x 0 a ( ( (( 0 b ( ( ( ( 0 3 ab 0 ( ( (( 4 Torna-se mas fácl se escrevermos as quatro equações em forma matrcal. ( a y=xβ+ε, onde y, X, β =, e ε = b ab O vetor β contém os coefcentes do modelo de regressão obtdo pelo método mínmos quadrados. Os erros do modelo são representados por ε. Provaremos, no próxmo capítulo, que β ( X' X X' y. Dessa forma, para encontrarmos β, precsamos calcular as matrzes XXe. Como, o planejamento é ortogonal, a matrz XXé dagonal XX ' ( ( a b ab a ( a b ab Xy ' b ( a b ab ab ( a b ab ' Xy ' Consequentemente, ( a b ab ( a b ab ( a b ab ( a b ab ( a b ab ( a b ab ( a b ab 4 ( a b ab 4 ' xx 6

22 Os estmadores dos coefcentes de regressão são guas à metade dos efetos estmados. Isso mostra que a varânca de qualquer coefcente é fácl de encontrar. ˆ Var( ( XX ' 4 Todos os coefcentes possuem a mesma varânca. Não há outro expermento de quatro observações com as varáves codfcadas pelos valores ± que tenha menor varânca. O valor máxmo do determnante da matrz em um expermento de quatro observações é 56. O volume da regão de confança conjunta que contém todos os coefcentes de regressão é nversamente proporconal à raz quadrada do determnante de. Portanto, para construr a menor regão de confança possível, devemos escolher um planejamento com o valor máxmo possível do determnante de. Um plano que mnmza a varânca dos coefcentes do modelo de regressão é chamado de D-ótmo. O plano é D-ótmo para ajustar modelo de prmera ordem ou modelos de prmera ordem com nteração. Var( yˆ ( x, x Var( ˆ ˆ x ˆ x ˆ x x XX ' XX ' k XX ' 0 ( x x x x 4 A varânca máxma da prevsão da resposta ocorre quando x x e é gual a. Agora, precsamos saber o melhor valor possível da varânca da prevsão que podemos alcançar. O menor valor possível da máxma varânca da prevsão no espaço [-,] é p N, onde p é o número de parâmetros do modelo e N é o número total de observações. Em um expermento ² fatoral com uma únca replcação, temos N=4 e p=4. Então, o modelo ajustado para os dados mnmza a máxma varânca da prevsão sobre a regão do plano. Um plano que possu esta propredade é chamado de G-ótmo. Geralmente, os planos são G-ótmos para ajustar modelos de prmera ordem ou modelos de prmera ordem com nterações. k..6. O uso de varáves codfcadas Em quase todos os momentos, usamos a varáves codfcadas ao nvés de trabalhar com os valores orgnas. Os resultados obtdos com as varáves orgnas podem ser muto dferentes se comparados às analses com varáves codfcadas e, geralmente, os resultados fnas são de dfícl nterpretação. Na análse das varáves codfcadas, podemos comparar dretamente os coefcentes do modelo, ou seja, não há undade própra, o efeto da varação de todos os fatores são meddos sobre o mesmo espaço [-,] e são estmados com a mesma precsão. Em um modelo com as varáves orgnas, os fatores não são ortogonas, portanto os coefcentes têm undades própras e suas estmatvas possuem precsões dferentes. Normalmente, prefermos usar a análse em escala codfcada, porque sto nos permte observar a mportânca relatva dos efetos..3. Expermentos fatoras fraconados k p Consderando um plano 6 fatoral não replcado, temos 63 graus de lberdade: 6 graus para os efetos prncpas, 5 graus para as nterações entre dos fatores. Portanto, 7

23 apenas graus de lberdade estão assocados aos efetos que provavelmente são os de maor nteresse. Supondo que é possível assumr que as nterações de ordem mas altas são desprezíves, as nformações sobre os efetos prncpas e nterações podem ser obtdas executando apenas uma fração do expermento fatoral completo. Os fatoras fraconados são muto usados quando se tem um expermento com mutos fatores a serem consderados e o objetvo é dentfcar quas fatores possuem os maores efetos. Estes são chamados de expermento de seleção e, geralmente, são executados nas etapas ncas de um projeto quando mutos daqueles fatores consderados ncalmente têm efeto pequeno ou nexstente sobre a resposta. Os fatores classfcados como mportante são nvestgados de forma mas especfca nas etapas seguntes. O uso bem suceddo dos planejamentos fatoras fraconados é baseado em três déas chaves. O prncípo dos efetos esparsos - Quando há varas varáves, o sstema ou processo, provavelmente, é drgdo por alguns dos efetos prncpas e de nterações de baxa ordem. A propredade da projeção Os fatoras fraconados podem ser projetados dentro de planos maores no subconjunto de efetos sgnfcantes. Expermentação sequencal É possível combnar as realzações de dos ou mas fatoras fraconados para juntá-las sequencalmente em um plano maor para estmar os efetos dos fatores e nterações de nteresse..3.. Defnções e Prncípos Báscos Imagnemos um expermento de três fatores cada um com dos níves. Desse modo, teríamos oto (³ combnações de tratamento. Suponha que os recursos dsponíves permtem apenas quatro combnações. Dessa forma, será realzado uma fração ½ do planejamento ³ ou um planejamento. Supondo que seleconamos as quatro combnações: a, b, c e abc. Na tabela de snas abaxo, as combnações executadas estão na parte de cma e possuem o snal postvo na coluna ABC. A prmera coluna da tabela é I, que tem apenas snas (+. Observe que na parte superor da tabela, os snas da coluna I e ABC são guas. Consequentemente, a relação de defnção desse plano fatoral fraconado é I=ABC. Geralmente, a relação de defnção da fração do planejamento é sempre o conjunto de todas as colunas, que são guas à coluna dentdade I. 3 Tabela.5 - Tabela de snas para o fatoral ³. Combnação de I A B C AB AC BC ABC tratamentos A B C ABC AB AC BC ( Também com o auxlo da tabela, vemos que as combnações lneares das observações são utlzadas para estmar os efetos prncpas. 8

24 [ A] ( abc a b c [ B] ( abc b a c [ C] ( abc c a b As nterações entre dos fatores também são estmadas por meo das combnações lneares. [ BC] ( abc a b c [ AC] ( abc b a c [ AB] ( abc c a b Dessa forma, [A]=[BC], [B]=[AC] e [C]=[AB], o que torna mpossível dstngur entre A e BC, B e AC, e C e AB. Quando estmamos A, B e C, na realdade, estamos estmando A+BC, B+AC e C+AB. Dos ou mas efetos com esta propredade são chamados de efetos assocados.essa relação pode ser ndcada pela segunte notação. [ A] A BC,[ B] B AC e [ C] C AB. Os efetos assocados podem ser encontrados usando a relação de defnção, nesse caso, I=ABC. Dado o efeto fatoral, o seu efeto assocado é obtdo multplcando ambos os lados da relação de defnção pelo efeto fatoral. Vamos usar como exemplo o efeto A. A.I=A.ABC=A²BC=BC Agora suponha que seleconamos a outra fração, que corresponde a parte nferor da tabela: (,ab, ac e bc. Nesse caso, a relação de defnção será I=-ABC. As combnações lneares das observações, dgamos [A ], [B ] e [C ], da fração alternatva, são calculadas de modo análogo a [A], [B] e [C]. Consequentemente, obtemos [A] A-BC [B] B-AC [C] C-AB Desta manera, quando estmamos A, B e C, na verdade, estamos estmando A-BC, B-AC e C-AB. Na prátca, não nteressa qual fração é utlzada, pos ambas as frações são da mesma famíla, as duas juntas formam um expermento ³ completo. Este exemplo é um plano 3 de resolução III, ou um plano, onde os efetos prncpas estão assocados a nterações entre dos fatores. Uma defnção geral para um fatoral fraconado de resolução R é: um plano é de resolução R se nenhum efeto fatoral com p fatores está assocado a outro efeto fatoral com menos de R-p fatores. Outra defnção utlzada é: uma fração é de resolução R se o comprmento da menor palavra da relação de defnção é R. Neste exemplo, a únca palavra na relação de defnção é ABC, o comprmento tem três letras. Nos planejamentos de resolução III, nenhum efeto prncpal está assocado a outro efeto prncpal, mas os efetos prncpas podem ser assocados a nterações de dos fatores e nterações de dos fatores podem estar assocadas entre s. Nos planejamentos de resolução IV, nenhum efeto prncpal está assocado a outro efeto prncpal e nem com nterações de dos fatores, mas nterações de dos fatores 3 III 9

25 estão assocadas entre s. Um exemplo sera um plano I=ABCD, que é um plano. 4 IV 4 com relação de defnção Nos planejamentos de resolução V, nenhum efeto prncpal ou nteração de dos fatores estão assocados a outro efeto prncpal ou nteração de dos fatores, mas nterações de dos fatores estão assocadas com nterações de três fatores. Um exemplo é um plano fatoral 5, com relação de defnção I=ABCD, é um plano.3.. Construção e Análse da Fração ½ de um plano k fatoral. Para construr uma fração ½ do plano com a mas alta resolução, escrevemos um plano completo, depos, é adconada uma coluna formada pelo produto dos snas das colunas à esquerda. A fração alternatva é obtda multplcando a coluna da fração orgnal por -. Como exemplo, o plano, obtdo utlzando um plano ² fatoral. k k 3 III Tabela.6 - Plano fatoral. Observações A B C=AB C=-AB Para um plano completo, I=ABC...K, o que nos leva a K=ABC...(K-. Dessa forma, a coluna K terá o mesmos snas da nteração ABC...(K-. Qualquer nteração podera ser usada para gerar a fração, a coluna correspondente a fator K. No entanto, o uso de qualquer outro efeto dferente de ABC...(K- não produzra plano de mas alta resolução. Qualquer plano fatoral fraconado de resolução R contém um plano fatoral completo em qualquer subconjunto de R- fatores. Por exemplo, se um pesqusador tem város fatores de potencal nteresse, mas acredta que somente R- fatores são mportantes. Portanto, esse plano fatoral fraconado de resolução R é uma escolha aproprada. k 3 III.3.3. Fração ¼ do Planejamento k Para um número grande de fatores pode ser necessáro usar frações anda menores de expermento k fatoral. Consderemos a fração de um quarto de um plano k fatoral. Este plano contém observações é conhecdo como fatoral fraconado. A construção de um fatoral fraconado k consste na utlzação de um fatoral completo com k- fatores, onde serão adconadas duas colunas com escolhas adequadas de nterações envolvendo os prmeros k- fatores. Consequentemente, a fração de um quarto de um plano k tem dos geradores. Se P e Q representam os dos geradores escolhdos, então I=P e I=Q são chamadas de relações geradoras para o plano. O que determnará a fração ¼ produzda serão os snas de P e Q. A fração na qual P e Q tem smultaneamente snal postvo é a fração prncpal. A relação de defnção completa para o plano consste de todas as colunas que são guas a coluna dentdade I. Esta tem P, Q e a nteração generalzada PQ. Então, a relação de defnção completa é I=P=Q=PQ. Os efetos assocados são produzdos pela multplcação de cada efeto pelos elementos da relação de defnção. O pesqusador deve ser cudadoso na escolha dos geradores de modo que efetos potencalmente mportantes não estejam assocados entre s. k 5 V. k 0

26 Como exemplo, consdere um plano. Escolhemos os geradores ABCE e BCDF, portanto, a nteração generalzada é ADEF. Temos a segunte relação de defnção completa. I=ABCE=BCDF=ADEF Através da quantdade de letras da menor palavra, vemos que o plano possu resolução IV. Os efetos assocados multplcando a equação acma por cada efeto. Dessa forma, A=BCE=ABCDF=DEF Nesse caso, todos os efetos prncpas estão assocados a nterações de três e cnco fatores. Quando estmamos A, na verdade, estamos estmando A+BCE+ABCDF+DEF. Se as nterações com três fatores ou mas são consderadas desprezíves, o plano nos dará estmatvas claras dos efetos prncpas. 6 A construção deste plano se ncará a partr de um plano fatoral completo com os fatores: A, B, C e D. As colunas dos fatores E e F serão obtdas respectvamente por meo das nterações ABC e BCD. Tabela.7 - Construção de um plano com geradores ABCE e BCDF. 6 IV Observações A B C D E=ABC F=BCD O plano descrto acma também podera se tornar um plano com duas replcações nos fatores ABDE, BCDF e ADEF, pos estes são os elementos geradores Plano Fatoral Fraconado Geral Um plano fatoral fraconado é uma fração / p de um plano fatoral. Para a construção desses planos, são necessáros p geradores ndependentes. A relação de p defnção nclu os p geradores e as p nterações generalzadas. Devemos tomar cudado na escolha dos geradores, efetos de potencal nteresse não podem estar p assocados entre s. Para cada efeto, temos efetos assocados. Segundo a mesma lógca dos casos especas apresentados anterormente, para obter o conjunto de efetos assocados, devemos multplcar os efetos fatoras por cada elemento da relação de defnção. As frações obtdas dependem dos snas dos geradores, a fração prncpal é aquela na qual todos os snas são postvos. Se tvermos um valor alto para k, geralmente assummos que as nterações de ordem mas alta são desprezíves, smplfcando a estrutura de assocação. É mportante seleconar os p geradores para o plano k-p de modo que possamos obter a melhor 4 4 k