Uma classe de estimadores do parâmetro de escala de segunda

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1 Actas o XII Cogresso Aual a SPE 3 Uma classe e estimaores o parâmetro e escala e segua orem Freerico Caeiro Dep. e Matemática e C.M.A., Faculae e Ciêcias e Tecologia - Uiversiae Nova e Lisboa M. Ivette Gomes D.E.I.O. e C.E.A.U.L., Faculae e Ciêcias, Uiversiae e Lisboa Resumo: Para moelos F pertecetes à classe e Hall, a fução quatil Ut é e variação regular com íice igual a γ, oe γ > é o íice e caua. Para x >, a velociae e covergêcia e Utx/Ut x γ para zero, quao t poe ser meia através a fução At γ β t, <, β R. A estimação e, o parâmetro e forma e segua orem, é um tema bastate aborao a literatura, mas pouco existe relativamete à estimação o parâmetro e escala e segua orem β. Num cotexto semi-paramétrico, itrouzimos uma classe e estimaores e β e provamos a sua cosistêcia. Serão também iicaas coições que garatem a sua ormaliae assitótica. Usao o métoo e Mote Carlo estuamos, para amostras e imesão fiita e algus moelos e caua pesaa, as proprieaes esta classe e estimaores e β. Palavras chave: cauas pesaas, estimação semi-paramétrica, parâmetros e segua orem, métoo e Mote Carlo Abstract: I Hall s class of heavy-taile moels, the quatile fuctio Ut is of regular variatio with a iex equal to γ, where γ > is the tail iex. For every x >, the rate of covergece of Utx/Ut x γ towars zero, as t may the be measure through a fuctio At γ β t, <, β R. The estimatio of, the shape seco orer parameter, has bee extesively aresse i the literature, but practically othig has bee oe relate to the estimatio of the scale seco orer parameter β. Uer a semi-parametric framewor, we shall itrouce a class of β - estimators a stuy their cosistecy. We shall also eal with the coitios eablig us to get the asymptotic ormality of this class of estimators, a we shall illustrate the behaviour of the estimators, through Mote Carlo simulatio techiques, for a wie variety of heavy-taile moels. Keywors: heavy tails, semi-parametric estimatio, seco orer parameters, Mote Carlo methoology Classificação MSC2: 62G2, 62G32, 65C5.

2 4 Caeiro e Gomes/Estimaores e um parâmetro e escala Itroução Os moelos e caua pesaa são muito úteis em áreas tais como o tráfego e telecomuicações ou a aálise e aos fiaceiros. Um moelo F é e caua pesaa se a fução caua F F é e variação regular com íice egativo /γ, γ >, ou equivaletemete a fução quatil, Ut F /t, t, com F x if{y : F y x}, é e variação regular com íice γ. O parâmetro γ> é o íice e caua, um os parâmetros mais importates em teoria e valores extremos. É usual amitir-se uma coição e segua orem que mee a velociae e covergêcia e Utx/Ut x γ para zero, para qualquer x >, oe At é uma fução e variação regular e íice Gelu e e Haa, 987: l Utx l Ut γ l x lim t At x. Neste trabalho vamos supor que F é um moelo pertecete à classe e Hall Hall, 982; Hall e Welsh, 985, com At γ β t, <, β R, 2 oe β é o parâmetro e escala e segua orem que iteressa estimar. Para obter algumas proprieaes assitóticas é aia ecessário cosierar uma coição e terceira orem, lim t l Utx l Ut γ l x At Bt x x+η + η, para qualquer x >, oe η < é o parâmetro e terceira orem e Bt RV η. Para muitos os moelos e caua pesaa, tais como por exemplo o Fréchet, Burr, Cauchy e o t-stuet, o parâmetro e terceira orem, η, é igual ao e segua. Assim, e forma a evitar a ecessiae e estimar um parâmetro aicioal, vamos cosierar a coição aterior com η <, ou seja vamos supor que: l Utx Ut x γ l x + At 2 A classe e estimaores e β + AtBt x ot 2 3 De moo a estimar o parâmetro β, presete em 2, vamos utilizar o mesmo tipo e estatísticas cosieraas a estimação e em Fraga Alves et al. 23. Proposição 2.. Seja E uma variável aleatória com istribuição expoecial com valor méio igual a, e Γt x t e x x, t > a fução Gama

3 Actas o XII Cogresso Aual a SPE 5 completa. Etão efia-se, para >, µ : E [E ] Γ +, V σ [E ] Γ2 + Γ2 + : µ Γ µ 2 : [ e E E E ] µ ] V [E e E σ 2 µ 3 2 : µ 3 : µ [ E µ E 2 e E l 2 2 2, µ µ 2 2Γ2 Γ 2, 2 ] { } 2 2 µ 2 2 µ2 µ 2 se { } se. Cosiere-se as seguites estatísticas M : {l X i+: l X : }, >, 4 D,τ : i M τ Γ + M 2 Γ2 + τ/2, >, τ R 5 oe M é o clássico estimaor e Hill Hill, 975 e X i: represeta a i-ésima estatística orial asceete associaa à amostra X, X 2,..., X. Usao a otação : µ 2 µ 2 2 vai-se cosierar, para qualquer estimaor cosistete e, a seguite classe e estatísticas: β,τ : 2 2 τ 2 D,τ 2 D 2,τ oe τ R, e > são parâmetros e cotrolo e um estimaor cosistete e. Após o estuo as proprieaes assitóticas, o parâmetro será fixao e utiliza-se apeas τ como parâmetro e cotrolo. 3 Proprieaes assitóticas No que se segue vai-se amitir que é uma sequêcia iterméia, isto é, uma sequêcia e valores iteiros tal que, o,, 7, 6

4 6 Caeiro e Gomes/Estimaores e um parâmetro e escala Proposição 3. Cosistêcia. Supoo que é vália a coição e segua orem,, com At γ β t, <, que lim A/, e que é,τ uma sequêcia iterméia, a classe e estimaores β, τ R e > é cosistete. Demostração. Poe ser visto em Gomes et al. 22 ou em Fraga Alves et al. 23, que M θ τ/θ γ τ + τσ θ P θ + τ Γθ + θ γ µ2 θ A/ oe P θ com + τ γ σ2 θ A/ + τ 2γ 2 A2 / e P θ D,τ : P θ θ µ 3 θ + τ γ µ2 θ 2A/B/ + o p, + τ θµ2 θ 2 + o p são assitoticamete ormais parão. Assim, M τ M 2 τ/2 Γ + Γ2 + γ τγ τ W + A/ 2γ + A/ + B/ 2 + o p A/ aτ + A/ σ 2 P σ P, a τ : µ 3 + τ µ µ 3 2 W : σ τ 2µ 2 2 2, P σ 2 P 2 2. Para iterméio, e com A/, i.e., / oa/, o seguo termo a represetação aterior, em istribuição, é o omiate. O quarto termo é o p A/ e poe ser esprezao. Cosequetemete, para moelos a classe e Hall com At γ β t, tem-se: D,τ D,τ A/ γ β P τ γτ.

5 Actas o XII Cogresso Aual a SPE 7 resulta que ou seja, D,τ 2 2,τ D 2 2 τ 2 2 D,τ D 2,τ P 2 D,τ D 2,τ 2 β τ 2 2, P β. O resultao aterior cotiua a ser válio se for estimao através e um estimaor cosistete. Proposição 3.2 Normaliae. Se se verificarem as coições a proposição,τ aterior, e a coição e terceira orem, 3, β é assitoticamete ormal. O valor méio assitótico e β,τ A/ β é ulo sempre que A 2 / e A/ B/ covergirem para zero. Se A 2 / λ A e A/B/ λ AB, evetualmete ão ulos, etão A/ β,τ β tem assitoticamete istribuição ormal com valor méio a τ γ aτ λ A + 22 λ AB A variâcia assitótica e β,τ A/ β D,τ A/ σ 2 β,τ 2 [ γβ 2W V é aa por W ] Demostração. A emostração é cosequêcia imeiata os seguites resultaos: τγ [ τ D,τ A/ + γw A/ a τ 2γ A/ + 2 B/ 2 τγ τ 2 [ + + γ 2γW A/ a τ A/ B/ ] ] + o p, + o p.

6 8 Caeiro e Gomes/Estimaores e um parâmetro e escala Como se amitiu que At γ β t, resulta que: β,τ 2 2 τ [ ] 2 [ β ] 2 [D,τ D 2,τ γ + 2W A/ A/ + o p W γ 22 2 a τ aτ ] B/ + o p. Cosequetemete, β,τ A/ β βγ 2W W β a τ γ aτ 2 A 2 / + o p β 22 A/B/ + op, 2 ou seja β,τ A/ β tem assitoticamete istribuição ormal. O cálculo o valor méio e variâcia é imeiato. Com o objectivo e calcular a variâcia, 9, apreseta-se a proposição: Proposição 3.3. Nas coições a proposição aterior, e usao os resultaos presetes em Gomes e Martis 2 ou em Caeiro 2, tem-se que: Cov W, W 2 [ 3Γ3 2 ΓΓ2 3Γ5 4ΓΓ4, V [W ] 2 Γ4 Γ2 2 + [ Γ2 Γ 2 + 3Γ6 8Γ2Γ4 Γ4 8Γ 2 2 ] 4 3Γ3 4ΓΓ2 ] 4. Das expressões ateriores coclui-se que a variâcia o estimaor ão epee o valor o parâmetro e cotrolo τ. Será por esta razão que se irá fixar o valor e teo em cota o efeito este parâmetro a variâcia assitótica e β,τ. Há também que cosierar o efeito a escolha e a uração e um estuo e simulação pelo métoo e Mote Carlo. Sabe-se que se o parâmetro a estatística 4 for um valor iteiro, é possível escrever os algoritmos e moo a torar a simulação mais rápia.

7 Actas o XII Cogresso Aual a SPE 9 Embora ão se apresete uma expressão aalítica a variâcia assitótica e β,τ A/ β como fução e, a Figura apreseta-se, para ois valores e β, o seu gráfico. A figura iica que perto o valor /2 a variâcia é míima. Teo em cota o trabalho e simulação que é ecessário realizar, optou-se por fixar valor iteiro oe a variâcia é míima β.5 β Figura : Variâcia assitótica e β,τ A/ β com γ e. Se se fizer obtemos a classe e estimaores, epeete apeas o parâmetro e cotrolo τ, β τ 2 : 22 τ { τ M M 2 τ /2 M 2 M 4 } τ/2 2 /2 τ/2, /24 com o usual prologameto por cotiuiae para τ, ao por β 2 : 22 {l l M M 2 2 l 2 l /2 M 2 M 4 } 2 /2. /24 4 Estimação o parâmetro e segua orem Vamos cosierar a classe e estimaores itrouzia em Fraga Alves et al. 23 para estimar o parâmetro e segua orem. Trata-se e uma classe e estimaores semi-parametricos que apresetam trajectórias amostrais e vs bastate estáveis, para uma vasta região e valores elevaos e. Seja 3T ν ν : T ν 3,

8 2 Caeiro e Gomes/Estimaores e um parâmetro e escala oe T ν M ν M 2 /2ν/2 ν/2 M 2 /2 M 3 /6 lm 2 2 lm /2 2 l M 2 /2 3 l M 3 /6 ν/3, se ν, se ν. Os resultaos teóricos e e simulação apresetaos em Fraga Alves et al. 23 e em Gomes e Martis 22 levam-os a utilizar o ível mi, 2/ l l 2 ão é escolhio e forma óptima e a utilização os parâmetros e cotrolo ν se e ν se <. 5 Proprieaes para amostras e imesão fiita Os resultaos que se seguem obtiveram-se a partir e simulações com τ amostras e imesão. Com as simulações preteeu-se obter, para β, estimativas o valor méio, E [ ], e o erro méio quarático méio, MSE[ ]. O parâmetro e cotrolo, τ R varia cosoate o moelo já que foi escolhio e moo a obter-se, para valores elevaos e, estabiliae a trajectória e, β τ juto ao veraeiro valor e β. 5. Moelos utilizaos Moelo Burr, com F x + x /γ /γ. Verifica-se que l Utx x x γ l x + γt + γt ot 2 Ut 2 Trata-se e um moelo que verifica 3 oe é o parâmetro e segua orem iepeete e γ teo-se β. Moelo Fréchet, com F x exp x /γ. Para este moelo, l Utx Ut γ l x + γ x + 5γ x 2 2t 2t 2 + ot 2. 2 Assim resulta que e β 2. Moelo Cauchy, F x 2 + π arctax. Como l Utx 2π2 x 2 l x + Ut 3t 2 + 4π4 x t 4 + ot 4, 4 este moelo verifica a coição e terceira orem com γ, 2 e β 2 3 π

9 Actas o XII Cogresso Aual a SPE Resultaos Apresetamos as Figuras 2, 3, 4, 5 e 6 e a Tabela os valores simulaos o valor méio e o erro méio quarático. Nas figuras, as estimativas foram baseaas em amostras e imesão 5, excepto para o moelo Cauchy oe se usou o valor e ão se fez qualquer alteração a localização. Nas figuras apeas ão se apresetam as estimativas para pequeos valores e já que essa região existe uma eorme volatiliae as trajectórias. Na Tabela costa o valor méio e erro méio quarático o respectivo ível óptimo ível oe o erro méio quarático é míimo. E[ ] MSE[ ].2 τ 2.5 τ τ 2.8 τ 3. τ τ Figura 2: Moelo Fréchet com γ.5, β.5 E[ ] MSE[ ] τ.4 τ τ τ.5.8 τ τ Figura 3: Moelo Cauchy γ, 2, β 6.58 Dos resultaos apresetaos poemos tirar as seguites coclusões: A escolha o parâmetro e cotrolo τ, para o qual existe estabiliae as trajectórias amostrais juto a β, parece epeer o moelo F. Embora

10 22 Caeiro e Gomes/Estimaores e um parâmetro e escala E[ ] MSE[ ].5.4 τ.3 τ.2.2 τ τ.5. τ τ Figura 4: Moelo Burr com γ e.5 β E[ ] MSE[ ].5.2 τ τ τ.2. τ.5 τ.5 τ Figura 5: Moelo Burr com γ e β E[ ] MSE[ ].5.5 τ.4 τ.5 τ.3 τ.2 τ.5.2. τ Figura 6: Moelo Burr com γ e 2 β

11 Actas o XII Cogresso Aual a SPE 23 Tabela : Valor méio e erro méio quarático e τ β, o ível óptimo. E[ ] MSE[ ] Moelo Fréchet com γ, β.5 τ 3 τ 2.8 τ 2.5 τ 3 τ 2.8 τ Moelo Cauchy com γ, 2 β 6.58 τ.5 τ.25 τ τ.5 τ.25 τ Moelo Burr com γ e.5 β τ.5 τ.2 τ τ.5 τ.2 τ Moelo Burr com γ e β τ.5 τ.2 τ τ.5 τ.2 τ Moelo Burr com γ e 2 β τ.5 τ.2 τ τ.5 τ.2 τ

12 24 Caeiro e Gomes/Estimaores e um parâmetro e escala os valores positivos sejam amissíveis, a escolha parece recair sempre em valores egativos. No moelo Fréchet a região e valores oe existe estabiliae τ as trajectórias amostrais, β, parece ser muito iferior à e outros moelos. Na figura respeitate a este moelo, só para valores e > 45 é que existe alguma estabiliae as trajectórias amostrais, o que em outros moelos começa ates. No moelo Cauchy, como o veraeiro valor e β é elevao, o estimaor β τ tem uma variâcia muito grae, já que esta é proporcioal a β π2 2. É por esta razão que para amostras e pequea imesão o erro méio quarático o ível óptimo é elevao. De um moo geral, o ível óptimo obtiveram-se bos resultaos para a estimação o valor méio e o erro méio quarático. Referêcias [] Caeiro, F. 2. Geeralizações e estimaores clássicos o íice e variação regular. Tese e mestrao, D.E.I.O., Faculae e Ciêcias a Uiversiae e Lisboa. [2] Gelu, J. e L. e Haa 987. Regular Variatio, Extesios a Tauberia Theorems. Tech. Report CWI Tract 4, Cetre for Mathematics a Computer Sciece, Amsteram, Netherlas. [3] Geeo, B.V Sur la istributio limite u terme maximum ue série aléatoire. A. Math. 44, [4] Fraga Alves, M.I., Gomes, M. I., e e Haa, L. 23. A ew class of semiparametric estimators of the seco orer parameter. Portugaliae Mathematica 6:, [5] Gomes, M. I., e Martis, M. J. 2. Geeralizatios of the Hill estimator - asymptotic versus fiite sample behaviour. J. Statist. Plaig a Iferece 93, 6-8. [6] Gomes, M. I., e Martis, M. J. 22. Asymptotically Ubiase Estimators of the Tail Iex Base o Exteral Estimatio of the Seco Orer Parameter. Extremes 5:, 5-3. [7] Gomes, M. I., e Haa, L. e L. Peg 22. Semi-parametric estimatio of the seco orer parameter - asymptotic a fiite sample behavior. Extremes 54, [8] Hall, P O some Simple Estimates of a Expoet of Regular Variatio. J. R. Statist. Soc. 44, o., [9] Hall, P. e Welsh A.H Aaptative estimates of parameters of regular variatio. A. Statist. 3, [] Hill, B. M A Simple Geeral Approach to Iferece About the Tail of a Distributio. A. Statist. 3, o. 5,