Modelo TEAM de localização de ambulâncias - Solução através do Algoritmo Genético Construtivo

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1 Modelo TEM de localzação de ambulâncas - Solução através do lgortmo Genétco Construtvo Resumo na Paula Slva Fgueredo (INPE / UNIFEI) anapaula@lac.npe.br Luz ntono Noguera Lorena (INPE) lorena@lac.npe.br Solon Venânco de Carvalho (INPE) solon@lac.npe.br Este trabalho apresenta uma representação para a solução do modelo de localzação de ambulâncas TEM através do lgortmo Genétco Construtvo, apresentando os coefcentes de penaldade na construção da função de avalação e as regras do processo de recombnação que caracterza o processo evolutvo do algortmo. Palavras-chave: Localzação de ambulâncas, TEM, lgortmo Genétco Construtvo. 1. Introdução localzação de ambulâncas tem sdo tratada por métodos de otmzação (Toregas et al. 1971; Shllng et al. 1979; Hogan e ReVelle, 1986; Daskn, 1987; Swersey, 1994; Maranov e ReVelle, 1995; Gendrau et al., 1997; rotcorne et al., 2003) entre outros. O obetvo destes trabalhos tem sdo o de encontrar uma confguração espacal da localzação das facldades que melhor forneça cobertura às demandas. Esta cobertura se refere à medda da habldade do sstema em levar a ambulânca em um tempo ou dstânca máxma pré-defnda ao local onde se encontra a emergênca e o de transportar aquele que sofre a emergênca ao local de atendmento. O uso de dstânca ou tempo padrão nas formulações de localzação de modelos remonta ao trabalho de Toregas et al. (1971) no qual um lmte superor do tempo, ou da dstânca, é pré-defndo e desea-se encontrar a localzação das facldades que apresente menor custo. Este arrano deve ser tal que todos os usuáros da regão devam ser atenddos adequadamente dentro daquele padrão. No caso dos custos de se mplantar cada uma das facldades ser o mesmo, o problema passa a ser o de encontrar o menor número de facldades necessáras para atender cada usuáro dentro do tempo ou dstânca padrão. Este modelo é conhecdo como Modelo de Localzação por Cobertura de Conuntos (LSCM). Porém o LSCM gnora alguns aspectos da realdade, dentre eles a stuação de que, uma vez que a ambulânca estea atendendo a um chamado, a área pela qual era responsável estara descoberta. O modelo apresentado por Church e ReVelle (1974) prevê então uma restrção no número de ambulâncas, representando uma quantdade menor do que aquela encontrada com o LSCM. ssm o obetvo passa a ser o de maxmzar a demanda coberta dentro de um padrão de tempo ou dstânca pré-estabelecda, com um número pré-estabelecdo de ambulâncas. Este modelo é conhecdo como Problema de Localzação com Máxma Cobertura (MCLP). O LSCM pode ser utlzado como uma ferramenta de planeamento para estabelecer qual deve ser o número mínmo de ambulâncas necessáras para prover um servço de qualdade para toda a demanda, pelo menos em termos de cobertura. O modelo MCLP também é uma ferramenta de planeamento que proporcona ao admnstrador que tem restrções, nformações sobre onde localzar as ambulâncas de modo a fazer o melhor, em termos de cobertura, com os recursos dsponíves. Estes são modelos determnístcos de localzação de ambulâncas e são usados no estágo de planeamento do sstema, gnorando as consderações estocástcas relaconadas à dsponbldade das ambulâncas. Para resolver o problema de que a demanda estará descoberta quando uma ambulânca estver atendendo a um chamado, foram propostos ENEGEP 2005 EPRO 3140

2 modelos de cobertura extra. Os modelos de cobertura extra tentam garantr que a demanda sea coberta por outra ambulânca, que não a sua prmára, a fm de garantr o atendmento quando esta estver ocupada. Dentre os modelos de cobertura extra, Shllng et al. (1979) propuseram um modelo que contemplava o trabalho conunto de dos tpos de veículos para o atendmento do chamado. Este modelo, chamado TEM (Tandem Equpment llocaton Model), maxmza a demanda coberta por dos tpos de veículos dferentes cuos padrões de cobertura são dferentes e se encontram também em quantdades dferentes. demanda será dta coberta se estver coberta por ambos os tpos de veículos. Em termos de sstemas de emergêncas médcas pode-se consderar ambulâncas de suporte básco e avançado, por exemplo. 2. O sstema de atendmento móvel de urgênca no rasl SMU No rasl o Servço de tendmento Móvel de Urgênca (SMU) é a forma pela qual o Mnstéro da Saúde mplementa a assstênca pré-hosptalar no âmbto do SUS (Sstema Únco de Saúde). No aspecto do transporte das vítmas, o SMU atende a população com dos tpos de veículos. ambulânca de Suporte ásco é um veículo destnado ao transporte nter-hosptalar de pacentes com rsco de vda conhecdo e ao atendmento pré-hosptalar de pacentes com rsco de vda desconhecdo, não classfcado com potencal de necesstar de ntervenção médca no local e/ou durante transporte até o servço de destno. ambulânca do de Suporte vançado é um veículo destnado ao atendmento e transporte de pacentes de alto rsco em emergêncas pré-hosptalares e/ou de transporte nter-hosptalar que necesstam de cudados médcos ntensvos. Por exgênca da legslação, cada um destes veículos deve contar com equpamentos médcos adequados à complexdade de suas funções e pessoal técnco adequado. Mesmo nos locas onde o SMU não está mplementado, va de regra os dos tpos de ambulâncas, para atendmento básco e avançado também se fazem presentes. Uma vez que no rasl, sea o SMU ou seu correspondente, são utlzados dos tpos dferentes de undades de atendmento, neste trabalho propõe-se utlzar o modelo TEM para estabelecer a localzação destes veículos. 3. Modelo TEM O modelo TEM (Tandem Equpment llocaton Model) apresentado por Schllng et al. (1979) fo utlzado orgnalmente para localzar dos tpos de veículos para combate a ncêndos. Porém no contexto da localzação de ambulâncas pode ser utlzado para a localzação de ambulâncas LS (asc Lfe Support) e LS (dvanced Lfe Support). Os servços de emergênca normalmente trabalham com dos tpos de veículos com dferentes habldades, um que fornece o servço básco e o outro com atendmento avançado. mbos podem ser despachados para o local da chamada, conforme a regulação médca estabelecda. 3.1 formulação do modelo TEM Denotando por p e p o número de veículos dsponíves do tpo (básco) e (avançado) e r e r os padrões de cobertura para cada tpo de veículo, a formulação do modelo é V ( TEM ) max d y (3.1) W W x y ( V) (3.2) x y ( V) (3.3) ENEGEP 2005 EPRO 3141

3 x = p (3.4) W x = p (3.5) W x x ( W ) (3.6) { } { } x, x 0,1 ( W) (3.7) y 0,1 ( V) (3.8) equação (3.1) estabelece o obetvo de maxmzar a demanda (d ) coberta. s nequações (3.2) e (3.3) estabelecem que a demanda só estará coberta se for atendda por ambos os tpos de ambulâncas, ou sea não basta ser coberta apenas por um dos tpos de ambulâncas é precso estar coberta pelos dos tpos. s equações (3.4) e (3.5) estabelecem o número de ambulâncas dsponíves dos tpos básco e avançado, respectvamente. equação (3.6) estabelece a herarqua entre os tpos de ambulâncas, ou sea, não é possível cobrr a demanda com um tpo avançado sem que ela á estea coberta com um tpo básco. equações (3.7) e (3.8) expressam as condções de ntegraldade e não negatvdade onde as varáves x, x serão guas a 1 se a ambulânca do tpo ou do tpo estver localzada no local, caso contráro x = 0 e x = 0. s varáves y serão guas a 1 quando a demanda estver coberta por ambos os tpos de ambulâncas. W e W são os conuntos de localzações possíves para as ambulâncas que atendem a demanda dentro dos padrões r e r, ou sea W = { W : t r } e W = { W : t r } onde t é o tempo, ou dstânca, entre a localzação e o local de demanda e deve ser conhecdo prevamente. solução para o problema será a de encontrar os locas para se localzar as p e p ambulâncas dos tpos e dsponíves de modo a maxmzar a demanda coberta por ambas, ou sea a solução será, por exemplo, do tpo x 1 = 1, x 2 = 1,..., x = 0, x 1 = 0, x 2 = 1,..., x = 0 e y 1 = 1, y 2 = 0, y 3 = 1, y 4 = 0, y 5 = 1,..., y = O lgortmo Genétco Construtvo na solução do modelo de localzação TEM O lgortmo Genétco Construtvo (GC), apresentado por Lorena e Furtado (2001), nca com uma população de esquemas que carregam nformações sobre propredades estruturas do problema. Estes esquemas são avalados e os melhores são ncentvados a se recombnarem de tal forma que, através de sucessvas gerações, novos esquemas ou estruturas completas seam produzdas. O GC trabalha com uma população dnâmca que cresce com o uso dos operadores genétcos de recombnação e decresce guada por um fator de evolução α, que a cada geração, se torna mas restrtvo. Quando uma estrutura ou esquema S k é crado, recebe uma avalação proporconal a seu rankng, denomnada δ(s k ), que será usada no teste de evolução. No GC há a consderação explícta de esquemas através da valação-fg. Um esquema é um vetor de comprmento defndo sobre um alfabeto e o símbolo #. Se pensarmos em um cromossomo como um strng de 0 s e 1 s, então por exemplo podemos ter dos cromossomos: ( ) e ( ). mbos são exemplos do esquema (# # 1 ENEGEP 2005 EPRO 3142

4 # 0 # #), onde o símbolo # sgnfca a possbldade de assumr qualquer um dos símbolos do alfabeto utlzado para representação. Os esquemas são uma manera de representar a smlardade exstente entre estruturas pos não estamos nteressados numa únca estrutura soznha, mas no fato de que as smlardades entre as estruturas mas bem adaptadas podem guar a busca. Consderando a representação dos esquemas, o valor da valação-fg aumenta com a dmnução do número de símbolos #, ou sea, quanto mas completa a estrutura, em geral terá valor da avalação-fg maor do que a avalação dos esquemas. O algortmo genétco construtvo pode ser modelado como um problema de otmzação com dos obetvos PO (Problema de otmzação b-obetvo). (PO) mn {g(s k ) f(s k )} (4.1) max g(s k ) (4.2) sueto a g(s k ) f(s k ), S k X. (4.3) o mnmzar {g(s k ) f(s k )} o que se desea é maxmzar a adaptação do ndvíduo. Uma vez que esquemas e estruturas são avalados da mesma forma, va exstr uma dferença numérca em suas avalações, proporconal à quantdade de nformação presente neles. população ncal, denomnada P 0, é formada por P 0 esquemas gerados aleatoramente, mantendo as mesmas característcas do algortmo genétco tradconal, ou sea, de representar o problema de manera que os esquemas ncas permtam que todas as nformações estruturas do problema seam abrangdas. O tamanho ncal da população deve consderar o tamanho do problema, ou sea o número de demandas a serem cobertas na regão, bem como o número de ambulâncas dsponíves. Esta população ncal deverá prover dversdade sufcente para o processo evolutvo. 4.1 Representação dos ndvíduos para o modelo TEM Segundo Fgueredo et al.(2004), os ndvíduos são crados com uma estrutura que contemple um vetor x e um vetor x com dmensões guas ao número m de locas possíves para a localzação das ambulâncas. x [ _..._ ] com m posções e x [ _..._ ] com m posções cração de cada ndvíduo Sk da P 0 é dada pelo sorteo aleatóro do número de ambulâncas do tpo e do tpo, n e n, respectvamente, entre 0 e p, e 0 e p. Os valores n e n representam o número de 1 s que estarão presentes no ndvíduo e suas localzações nos vetores x e x serão sorteadas. 4.2 Os coefcentes da valação-fg Para a construção da função de avalação dos ndvíduos Sk, cada um é avalado através dos seguntes coefcentes: 1 β =, β (0,1] (4.4) 1+ p n 1 β =, β (0,1] (4.5) 1+ p n 1 β H =, β H (0,1] (4.6) 1+ N H ENEGEP 2005 EPRO 3143

5 d y [ d y ] β Y =, βy [0,1] (4.7) max Os valores p e p representam o número de ambulâncas do tpo (atendmento básco) e do tpo (atendmento avançado) que estão dsponíves para serem localzadas, enquanto que n e n representam o número de ambulâncas dos tpos e, respectvamente, que se encontram no ndvíduo Sk. ssm quanto mas próxmos os valores n e n estverem de p e p, respectvamente, melhor adaptados serão os ndvíduos e mas próxmos de 1 serão os coefcentes β (4.4) e β (4.5). O obetvo destes coefcentes é penalzar as soluções Sk que apresentam um número n e n de ambulâncas aquém ou além das quantdades p e p dsponíves. O coefcente β H penalza os ndvíduos Sk que não cumprem com a restrção de herarqua (3.6) entre os tpos de ambulâncas. Quanto maor o número N H de volações da herarqua por é avalado o ndvíduo. O coefcente β y (4.7) mede a proporção da demanda coberta dada pela localzação das ambulâncas encontrada pela solução Sk. ssm este coefcente pode assumr qualquer valor entre 0 e 1, nclusve. função g(sk) será dada por g(sk) = β y + 3 (4.8) função f(sk) será dada por f(sk)= β +β +β H +β y (4.9) Desta forma garantmos que g(sk) f(sk) 0 Cada ndvíduo será avalado através de seu rank, dado por dg max g(sk) f(sk) δ (Sk) = d g g(sk) e g(sk) f(sk) [ 0,3] { } [ ] max (4.10) (4.11) cuo valor ótmo é obtdo a partr da equação (4.12). possbldade de se conhecer o valor de δ(sk) ótmo possblta dentfcar se a solução Sk encontrada é ótma ou não e passa a ser um novo crtéro de parada do algortmo. gmax δ (Sk) otmo = (4.12) g 4 max Quanto maor o valor de seu rank δ(s k ), mas adaptado é consderado o ndvíduo em relação aos obetvos de mnmzar {g(s k ) f(s k )} e maxmzar g(s k ). Com sto, mas tempo de sobrevvênca para reprodução ele tem nas gerações que se sucedem. 4.3 Seleção e recombnação seleção de pas é a tarefa de estabelecer as oportundades de reprodução de cada ndvíduo na população. Cada ndvíduo que é crado é avalado. população é então ordenada de forma não decrescente de acordo com a qualdade de cada estrutura dada pela avalação da mesma. O processo de seleção tem por prncípo que ndvíduos melhor adaptados possuem maor chance de sobrevverem para se reproduzrem. Lorena e Furtado (2001) apresentam a seleção baseada na ordenação da população e os seguntes passos de seleção e recombnação: a) Escolhe-se aleatoramente uma estrutura dentre um percentual pré-defndo das melhores estruturas, que denomnamos S base. b) Escolhe-se aleatoramente outra estrutura da população ntera, denomnada S gua. ENEGEP 2005 EPRO 3144

6 c) s estruturas ou esquemas S base e S gua são comparadas, utlzando algum crtéro que possa melhorar a qualdade da nova estrutura que será gerada, denomnada S nova. O obetvo é gerar uma estrutura S nova de qualdade superor aos seus ancestras e para sto é precso que, no processo de comparação, seam preservados os bons blocos construtvos e agregadas novas nformações a estes blocos. estrutura S base, por se tratar geralmente da estrutura melhor adaptada, serve como fonte prncpal para geração da nova estrutura, sendo que a estrutura S gua fornece nformações adconas do problema, que devem se untar aos bons blocos construtvos. 4.4 Regras de recombnação para a modelagem TEM. O processo de recombnação é um conunto de regras de assocação dos genes da estrutura S base e S nova. ssm, analsam-se as possbldades de arranos entre os símbolos destas estruturas e qual deve ser o símbolo resultante para a estrutura S nova de modo a garantr que este descendente possa ter melhor avalação do que seus pas e que também contnue permtndo dversdade genétca. Essas comparações são fetas posção a posção de cada S base e S gua para construr S nova. Como S base é seleconada dentre os melhores adaptados, as regras tentam passar as característcas deste ndvíduo para o seu descendente S nova, algumas vezes de manera determnístca, outras não. Estas regras são fundamentas no processo evolutvo do algortmo. ssm, cada representação para um modelo terá suas regras própras de recombnação. Para o modelo TEM descrto neste trabalho as regras estabelecdas são: 1. Se x_base[] = x_gua[] então x_nova[] = x_base[] Se x_base[] = x_gua[] então x_nova[] = x_base[]; 2. Se x_base[] = 1 e x_gua[] = 0 então x_nova[] = 1; 3. Se x_base[] = 1 e x_gua[] = # então x_nova[] = 1; 4. Se x_base[] = # e x_gua[] = 1 então escolhe-se aleatoramente x_nova[] = 1 ou x_nova[] = 0; 5. Se x_base[] = # e x_gua[] = 0 então escolhe-se aleatoramente x_nova[] = 1 ou x_nova[] = 0; 6. Se x_base[] = 0 e x_gua[] = 1 então escolhe-se aleatoramente x_nova[] = 1 ou x_nova[] = 0; 7. Se x_base[] = 0 e x_gua[] = # então escolhe-se aleatoramente x_nova[] = 1 ou x_nova[] = 0; 8. Se x_base[] = 1 e x_gua[] = 0 se x_nova[] = 1 então x_nova[] = 1 senão x_nova[] = 0; 9. Se x_base[] = 1 e x_gua[] = # se x_nova[] = 1 então x_nova[] = 1; senão escolhe-se aleatoramente x_nova[] = 1 ou x_nova[] = 0; 10. Se x_base[] = # e x_gua[] = 1 se x_nova[] = 1 então x_nova[] = 1; senão escolhe-se aleatoramente x_nova[] = 1 ou x_nova[] = 0; 11. Se x_base[] = # e x_gua[] = 0 se x_nova[] = # então x_nova[] = #; senão escolhe-se aleatoramente x_nova[] = 1 ou x_nova[] = 0; 12. Se x_base[] = 0 e x_gua[] = 1 se x_nova[] = 1 então x_nova[] = 1; senão x_nova[] = 0; 13. Se x_base[] = 0 e x_gua[] = # se x_nova[] = 1 então x_nova[] = 1; ENEGEP 2005 EPRO 3145

7 senão escolhe-se aleatoramente x_nova[] = 1 ou x_nova[] = 0; regra 1 mostra que se ambos os ndvíduos S base e S gua têm símbolos guas em posções guas, então S nova copa seu valor. s regras 2 e 3 estabelecem que se há uma ambulânca de atendmento básco localzada naquela base, ou sea aquela posção x[] = 1 e S gua, que espera-se ter avalação por do que S base não poscona uma ambulânca naquela posção, então prevalece S base. s regras 4 e 5 resolvem a questão da dúvda quanto a posção x[] estar ndefnda, ou sea com o símbolo #. Neste caso não se consdera que este ndvíduo tenha consegudo cobrr alguma demanda com uma ambulânca localzada naquela posção, mas que mesmo assm anda tem uma avalação de aptdão boa, por sso fo escolhdo S base. Então de x[] do gua é 1 (localza uma ambulânca naquela posção) ou é 0 (não localza), por sorteo escolhemos 1 ou 0 para x[] de S nova. Por conseqüênca as regras 6 e 7 consderam a stuação de não de localzar a ambulânca em x[], ou sea x[] = 0, mas de S gua localzar ou não naquela posção. Como nas regras anterores, aleatoramente estabelecemos o símbolo de x[]. regra 8 prevê o resultado da recombnação para o vetor x. Se há uma ambulânca de atendmento avançado localzada em x[] de S base mas que em S gua não contempla esta localzação, então verfcamos se há uma ambulânca de atendmento básco al localzada, ou sea se x[] = 1. Se houver, então localzamos esta ambulânca de atendmento avançado, senão não localzamos. Esta regra vem evdencar o fato de que uma demanda só será consderada coberta se estver coberta por ambos os tpos de ambulâncas e que não é possível localzar uma ambulânca de atendmento avançado numa base onde não há uma ambulânca de atendmento básco. regra 9 tem a mesma característca da regra 8 senão pelo fato de que não se sabe ao certo que colocamos ou não a ambulânca de atendmento avançado naquela base, ou sea x[] = # e nesta stuação o símbolo de S nova em x[] é estabelecdo aleatoramente. Nas regras 10 e 11 o que acontece é que não se sabe se as ambulâncas de atendmento avançado estão localzadas em x[] pos x[]=# e mesmo assm por ser S base sua avalação fo boa. Como numa stuação x[] nova é 1 e noutra é #, então quando a gua ndcar a localzação, localzamos a ambulânca de atendmento avançado al pos á temos uma ambulânca de atendmento básco. Quando o gua não melhora a nformação, ou sea, o símbolo é #, então mantemos o mesmo nível de nformação #. E fnalmente as regras 12 e 13 estabelecem as condções de S nova quando S base não localza a ambulânca de atendmento avançado na posção x[]. Quando S gua sugerr localzar, ou sea x[]=1 para o gua, verfcamos se naquela posção á temos uma ambulânca de atendmento básco. Se sm, então localzamos a de atendmento avançado al, senão não o fazemos. Quando S gua não tem nformação sobre localzar ou não, ou sea x[]=# para S gua, mas á temos uma ambulânca de atendmento básco localzada naquela posção então aleatoramente escolhemos localzar a de atendmento avançado al. 5. Conclusões utlzação do GC permte encontrar soluções para o problema de localzação de ambulâncas pelo modelo TEM que contempla dos tpos dferentes de ambulâncas, a de suporte básco e a de suporte avançado. função de valação-fg estabelecda com os coefcentes de penaldade permte encontrar ndvíduos Sk que cumprem todas as restrções do modelo e que permtem construr uma relação de compromsso entre a solução encontrada ENEGEP 2005 EPRO 3146

8 e a cobertura, permtndo ao tomador de decsão consderar característcas outras que não foram ncorporadas durante a modelagem. s regras de recombnação, crterosamente estabelecdas, tentar gerar ndvíduos melhor adaptados, mantendo a possbldade de uma dversdade genétca mprescndível para o processo evolutvo do algortmo. Esta formulação do modelo TEM e a respectva solução através do GC está sendo utlzada para a cdade de São José dos Campos SP. nstânca desta cdade contempla 688 pontos de demanda, cada qual com um peso d e 47 pontos potencas de se localzar as ambulâncas. s soluções váves encontradas através do GC serão usadas posterormente em um modelo hpercubo de fla espacalmente dstrbuídas para algumas análses das meddas de desempenho do sstema, dentre elas o tempo médo na fla, a carga de trabalho de cada ambulânca, o tempo médo de vagem e o tempo médo de resposta ao chamado de cada ambulânca. Referêncas ROTCORNE, L. LPORTE, G. E SEMET, F. mbulance Locaton and relocaton models. European Journal of Operatons Research, v. 147, n., p , Jun CHURCH, R.L. E REVELLE, C. The maxmal coverng locaton problem. Papers of the Regonal Scence ssocaton 32, , 1974 DSKIN, M. S. Locaton, Dspatchng, and Routng Models for Emergency servces wth Stochastc Travel Tmes. In: Spatal nalyss and Locaton - llocaton Models. New York: Van Nostrand Renhold Co., v., Cap. 9, p FIGUEIREDO,.P.S., LOREN, L..N. E CRVLHO, S.V. Localzação de mbulâncas pelo Modelo TEM Solução través do lgortmo Genétco Construtvo. In nas do VI Worcap: Workshop dos Cursos de Computação e Matemátca plcada do INPE GENDRU, M., LPORTE, G. E SEMET, F. Dynamc Model and Parallel Tabu Search heurstc for Realtme mbulance Relocaton. Parallel Computng 27, , HOGN, K. REVELLE, C. Concepts and pplcatons of ackup Coverage. Management Scence, v.32, n. 11, p , Nov LOREN, L.. N. FURTDO, J. C. Constructve Genetc lgorthm for Clusterng Problems. Evolutonary Computaton, v. 9, n. 3, p , 2001 MRINOV, V. REVELLE, C. Sttng Emergency Servces. In: Faclty locaton - Survey of pplcatons and Methods. New York: Sprnger, v., Cap. 10, p SCHILLING, D. ELZING, D.J., COHON, J., CHURCH, R., REVELLE, C. The Team/Fleet Models for Smultaneous Faclty and Equpment Stng. Transportaton Scence, v. 13, n. 2, p , Mao SWERSEY,. J. The Deployment of Polce, Fre and Emergency Medcal Unts. In:Handbook n Op. Research and Management Scence. msterdam: North Holland, v. 6, Cap. 6, p TOREGS, C. SWIN, R., REVELLE, C. E ERGMN, L. The Locaton of Emergency Servce Facltes. Operatons Research, v. 19, n., p , ENEGEP 2005 EPRO 3147