Modelos de Localização de Ambulâncias

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1 Modelos de Localzação de Abulâncas Ana Paula Slva Fgueredo Luz Antono Noguera Lorena Solon Venânco de Carvalho LAC Laboratóro Assocado de Coputação e Mateátca Aplcada INPE - Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas anapaula@lac.npe.br Resuo Ths paper presents a short revew of soe abulance locaton odels. These odels are classfed n two categores: deternstc and probablstc. We present the followng probles: MCLP (Maxal Coverng Locaton Proble), MEXCLP (Maxal Expected Coverng Locaton Proble), BACOP and II (Backup Coverage) DSM, (Double Standard Model) and MALP I and II (Maxal Avalablty Locaton Proble). Neste artgo é feta ua breve revsão de alguns odelos ateátcos de localzação de abulâncas. Os odelos são classfcados e deternístcos e probablístcos. Dentre os odelos apresentados o MCLP (Problea de localzação de áxa cobertura) te coo obetvo áxa cobertura e o MEXCLP a localzação co áxa cobertura esperada. Os odelos BACOP I e II faze a cobertura co backup, o odelo DSM co dos padrões de cobertura e os odelos MALP I e II te coo obetvo a áxa dsponbldade.. Introdução As questões relaconadas à localzação e operação de servços de eergênca tê sdo estudadas ao longo dos anos buscando soluções que possa atenuar as conseqüêncas decorrentes de ua atuação nefcente, e especal que não atenda o ndvíduo e, por consegunte, a socedade acerca de suas expectatvas. A localzação de facldades eergencas desafa aqueles que tê a ssão de planear os ssteas de eergênca, ua vez que estarão cuprndo u coprosso entre o atendento ao ndvíduo e a organzação do sstea na tentatva de encontrar o elhor para abos. Segundo Swersey (994) a políca, os ssteas de eergênca do corpo de boberos e de abulâncas estão todos nteressados e elhorar o be estar públco e copartlha o eso obetvo que é o de responder às chaadas dos cdadãos o as rápdo possível para evtar a perda da vda e dnur os danos decorrentes de ncdentes. E cada sstea os probleas são o de decdr o núero e a localzação das undades eergencas e qual, ou quas undades despachar para a chaada recebda. Maranov e ReVelle (995) apresenta alguas questões que deve ser responddas quando da localzação e planeaento dos servços eergencas. Alguns dos crtéros que são utlzados para ulgar o desepenho dos servços eergencas são a velocdade co que o sstea reage quando a chaada eergencal é realzada e a habldade do pessoal de atendento e ldar co a stuação. A localzação dos servços eergencas nfluenca sobreanera a efcênca sobre o tepo da resposta e será a otvação deste trabalho. A prera questão a ser respondda é Quantos servdores são necessáros? Quando não houver restrções orçaentáras o núero íno deve ser aquele que garanta a cobertura total da população. Dante de ua restrção orçaentára, o desepenho que o sstea poderá obter será o de elhor atender co os recursos dsponíves. Por exeplo, o obetvo pode ser o de atender a população co áxa cobertura e co a qualdade requerda pelo sstea e partcular. Outra pergunta é Quanto tepo as pessoas envolvdas na eergênca pode esperar pelo servço eergencal antes que as conseqüêncas de sua falta se torne ntoleráves? Nos casos de eergêncas édcas, o rsco de orte auenta co o tepo de resposta. Ass o obetvo é nzar o tepo de resposta, ltado a u orçaento. Ua outra abordage é garantr que o atendento a todas as chaadas estea dentro de u tepo padrão, ou de anera equvalente, assegurar que haa u servdor dsponível para toda a deanda dentro de u tepo ou dstânca padrão.

2 O que fazer quando os servdores não estvere dsponíves? Algu servdor pode não estar dsponível devdo a utos fatores dentre eles, por exeplo, o tepo deandado para atender ua chaada anteror. Isto se refere ao fenôeno de congestonaento e a questão de qual undade envar quando o servdor as próxo não estver dsponível. Ua polítca de envo não aproprada pode tornar o sstea não funconal, ndependente de todos os esforços para otzar a localzação. Mendonça e Morabto (2000) apresenta ua abordage utlzada para localzar e despachar abulâncas para atendento eergencal e rodovas, utlzando o odelo hpercubo para flas espacalente dstrbuídas. Dentre outras questões que deve ser responddas, destaca-se tabé a carga de trabalho. O planeaento do sstea eergencal precsa consderar a carga de trabalho dos atendentes de odo a proporconar seu equlíbro e tabé atendento a requstos trabalhstas. A carga de trabalho será nfluencada pela polítca de despachos do sstea e revela a fração do tepo que o servdor, neste caso, a abulânca está ocupada. Segundo Repede e Bernardo (994) o obetvo dos Servços de Eergêncas Médcas (EMS) é reduzr a ortaldade resultante de trauas e enferdades agudas. O alcance desta eta passa pelo tepo que ua equpe de paraédcos e ua abulânca de resgate leva até chegar ao local de onde se orgnou a chaada e posterorente o tepo de transporte do pacente até o local aproprado de atendento eergencal as próxo. O taanho da frota de abulâncas e suas localzações são fatores que pode ser gerencados e controlados pelo planeaento do EMS e afetarão dretaente no alcance de sua eta. Há u relaconaento dreto entre o tepo de resposta e a ortaldade e é sto que faz co que a localzação de abulâncas sea u problea portante a ser resolvdo. Fgueredo (2003) faz ua revsão do processo de EMS, destacando os ntervalos de tepo de u servço típco de atendento. 2. Modelos deternístcos de localzação Segundo Lorena (2003) o problea de localzação consste na escolha de locas para nstalar u certo núero de facldades (servdores) que atenda u conunto de clentes (pontos de deanda) dstrbuídos e u espaço geográfco e deternar a alocação dos clentes entre as facldades de fora a otzar u certo crtéro. E se odelando o problea de localzação por cobertura, alguas nforações serão relevantes: as posções potencas para a localzação das facldades, a deanda e cada regão, o tepo de vage entre os pontos de deanda e os locas potencas de localzação das facldades. Segundo Brotcorne et al (2003) os preros odelos ldava co probleas de localzação estátcos e deternístcos gnorando as consderações estocástcas. Os odelos probablístcos fora então sendo desenvolvdos para refletr o fato de que as abulâncas opera coo servdores nu sstea de flas e alguas vezes estão ndsponíves para responder ao chaado. Os odelos dnâcos são as recentes e apresenta o problea de realocar repetdaente nu eso da as abulâncas de odo a garantr elhor cobertura. Os odelos de localzação de abulâncas pode ser defndos segundo grafos. O conunto de nós de deanda é denotado por V e o conunto de nós potencas para localzação denotado por W. A enor dstânca entre o nó e o nó é conhecda e denotada por t. U nó de deanda V é dto coberto pela localzação se e soente se t r, onde r é o padrão de cobertura. O conunto de todos os nós que cobre a deanda é dado por W = { W: t r}. 2. LSCM Modelo de localzação de cobertura de conuntos O odelo LSCM (Locaton Set Coverng Model) apresentado por Whte e Case (974) busca localzar o enor núero de abulâncas de odo que todos os nós de deanda tenha pelo enos ua abulânca ncalente posconada dentro do padrão de cobertura r. Neste contexto, sto sgnfca que cada ndvíduo na população terá pelo enos ua abulânca localzada dentro do padrão. Poré o problea consdera que a população estará totalente coberta eso quando a abulânca estver atendendo, o que pode nvablzar o odelo. A forulação do problea é (LSCM) Mn x () W sueto a x ( V) (2) W x 0, ( W) (3) x será gual a se e soente se a abulânca estver localzada no nó. A função obetvo () nza o núero de facldades requerdas e (2) estabelece que cada nó de deanda deve ser coberto por pelo enos u servdor localzado dentro do padrão r, que é ua dstânca (ou, alternatvaente, u tepo) pré-defnda entre a facldade e u servdor. Este odelo gnora o aspecto de que ua vez que a abulânca tenha sdo envada para atender u chaado, alguns nós de deanda estarão

3 descobertos. Co este odelo pode-se deternar quantas abulâncas serão necessáras, sendo que o núero áxo pode eventualente alcançar o valor W. 2.2 MCLP Problea de localzação co áxa cobertura Segundo Brotcorne et al (2003), o problea LSCM exge que todos os pontos de deanda sea cobertos, não portando quão grande ou pequena sea a população, quão dstante estea os nós uns dos outros na rede ou quão pequena sea a necessdade de servços. Ua vez que os recursos para cobrr toda a população possa ser excessvos, Church e ReVelle (974) apresenta u problea que não requer cobertura total de todos os nós, chaado problea de localzação de cobertura áxa (MCLP). Este odelo fxa o núero p de facldades, que pode ser nsufcente para cobrr toda a população dentro do padrão de cobertura. Neste odelo o obetvo é axzar a população ou o núero de chaadas cobertas dentro do padrão r. A forulação do problea é: (MCLP) Max dy (4) V sueto a x y ( V) (5) W x = p (6) W x 0, ( W) (7) y 0, ( V) (8) d é a deanda do nó e p é o núero de abulâncas dsponíves. A função obetvo (4) axza a soa das deandas cobertas. A restrção (5) põe que a deanda não pode ser coberta a não ser que pelo enos ua facldade estea localzada dentro da dstânca (ou do tepo) padrão r. A restrção (6) fornece o núero de abulâncas dsponíves. Esta forulação pode ser utlzada para construr ua curva que reflete o coprosso entre a população coberta e o núero de facldades utlzadas. 2.3 Modelos de cobertura extra Para garantr que a deanda estea coberta, eso quando ua abulânca está realzando u atendento, ua saída é localzá-las de odo a garantr cobertura extra. Dentre os odelos de cobertura extra o odelo TEAM (Tande Equpent Allocaton Model), apresentado por Shllng et al (979), fo utlzado para localzar dos tpos de veículos para cobate a ncêndos, poré no contexto da localzação de abulâncas pode ser utlzado para a localzação de veículos BLS (Basc Lfe Support) e ALS (Advanced Lfe Support). Os servços de eergênca noralente trabalha co dos tpos de veículos co dferentes habldades e quantdades. Este odelo consdera que a deanda estará coberta quando estver coberta por abos os tpos de abulâncas, ua vez que seus tepos padrão de atendento são dferentes. Hogan e ReVelle (986) apresenta a forulação de odelos de cobertura extra co backup (BACOP e BACOP2). Na forulação BACOP a função obetvo axza a deanda coberta duplaente, ao passo que na forulação BACOP2, a função obetvo (9) axza sultaneaente tanto a deanda coberta duplaente quanto a cobertura prára. A forulação BACOP2 é dada por : (9) (BACOP2) Max θ dy + ( θ) du V V sueto a x y u 0 ( V) (0) W u y 0 ( V) () x = p (2) W 0 u ( V) (3) 0 y ( V) (4) x 0 ( W) (5) A varável y é gual a se e soente se o nó de deanda V estver coberto ua vez por ua abulânca dentro do padrão r e u será gual a se e soente se o nó for coberto duplaente dentro do padrão r. A restrção (0) põe que a cobertura dada pelo prero e pelo segundo servdor é ltada pelo núero de servdores localzados nas vznhanças do nó de deanda. Portanto se houver apenas u servdor nas vznhanças, soente haverá a prera cobertura. Se houver dos ou as servdores haverá tanto a cobertura prára quanto a de backup. A restrção () ndca que ua deanda só estará coberta duplaente se a estver pelo enos ua vez.

4 Gendreau et al (997) propõe u odelo co dupla cobertura, DSM (Double Standard Model), co o uso de dos raos r e r2 (r2 > r). Toda a deanda deve ser coberta por ua abulânca localzada dentro do rao r2 e ua proporção α da deanda deve estar dentro do rao r da localzação de ua abulânca. São ntroduzdas as varáves bnáras γ e δ, de odo que γ = se a dstânca (ou o tepo) entre o vértce de deanda e o vértce potencal de localzação for enor que o padrão r, ou sea, t < r. De anera slar δ = quando, t < r2. Caso contráro as varáves assue o valor zero. Para garantr a dupla cobertura é possível localzar y abulâncas no vértce e p é o lte superor de y. A varável bnára x (k) será gual a se e soente se V estver coberto pelo enos k (k = ou 2) vezes dentro do rao r. A forulação do odelo é tal que: (DSM) Max (2) dx (6) V sueto a δ y ( V) (7) W dx α d (8) V () V () (2) γ y x + x ( V) (9) W x x ( V) (20) (2) () y = p (2) W y p ( W) (22) () (2) x, x 0, ( V) (23) y ntero ( W) (24) Neste odelo a função obetvo (6) representa a deanda total coberta pelo enos duas vezes dentro de r. As restrções (7) e (8) expressa os requerentos de cobertura sples e dupla. A restrção (7) põe que toda a deanda deva estar coberta dentro de r2. O lado esquerdo da restrção (9) conta o núero de abulâncas que cobre V dentro de r. O lado dreto será gual a se a deanda for coberta apenas ua vez e r e gual a 2 se for coberta pelo enos duas vezes dentro de r. As restrções (8) e (9) untas assegura que a proporção α de toda a deanda está coberta e que o rao de cobertura deve ser r. Pela restrção (20) o nó V não pode ser coberto duplaente se não tver sdo coberto pelo enos ua vez. As restrções (2), (22) e (24) põe ltes no núero de abulâncas e cada nó. 3. Modelos de localzação probablístcos Ua desvantage dos odelos deternístcos é que eles parte da hpótese que os servdores estão dsponíves quando solctados, o que ne sepre é razoável e aplcações prátcas. O congestonaento e servços de atendento de eergênca pode causar a ndsponbldade de u servdor, eso que estea localzado a enos de ua dstânca padrão, otvando o desenvolvento de odelos de localzação probablístcos. As forulações clásscas dos probleas de localzação supõe que a deanda e u nó precsa ser coberta por ua facldade e que a facldade nstalada no nó, desgnada para atendê-la será capaz de responder a toda deanda, eso que a dstânca entre a deanda e a nstalação sea enor ou gual do que o padrão. Entretanto e stuações do undo real a facldade que cobre a deanda do nó pode não estar dsponível. Ua solução para este problea é forular o problea co cobertura últpla, coo nos odelos apresentados na seção 2.3. Outra anera é tentar estar o tepo e que a facldade não está dsponível. Chaando de q a fração do tepo e que a facldade nstalada no nó não está dsponível, os odelos probablístcos tenta axzar a cobertura, dspondo de u núero fnto (e utas vezes ncapaz de cobrr toda a deanda) de facldades co ua confança α estabelecda. 3. MEXCLP - Problea de localzação de áxa cobertura esperada Daskn (983) apresenta a forulação do problea de localzação de áxa cobertura esperada (MEXCLP). Nesta forulação assue-se que cada abulânca te a esa probabldade q de estar ocupada e não poder atender a u chaado. Esta probabldade é chaada de fração ocupada ou taxa de ocupação e pode ser estada dvdndo-se o tepo total estado para todas as chaadas de todos os pontos de deanda pelo núero de abulâncas dsponíves. Sea M ( =,2,..,...M) o núero de facldades a sere localzadas e N ( =,...N) o núero de nós na rede. O núero de facldades dsponíves a qualquer oento segue a dstrbução bnoal tal que Pr [ facldades ndsponíves de u total de M] = M M = ( p) p = 0,... M (25) A probabldade de que o nó k estea coberto por ua facldade dsponível, dado que facldades o cobre é

5 Pr [nó k estea coberto por ua facldade dsponível dado que sea capazes de cobr-lo] = Pr [ facldades estea ndsponíves] = p (26) Sea H k, ua varável aleatóra gual ao núero de deandas cobertas no vértce k por ua facldade dsponível, dado que facldades são capazes de cobrlo. h co prob. p = (27) 0 co prob. p k H k, e k, EH ( ) = h ( p ) (28) k A contrbução argnal de ua facldade, é dada por EH ( ) = EH ( ) EH ( ) = k, k, k, = = hp k ( p),2,..., M (29) O odelo MEXCLP te coo obetvo axzar a cobertura esperada de todas as áreas de deanda sob consderação (Galvão et al 2003) e sua forulação é dada por: (MEXCLP) sueto a N M Max ( p) p hy k k k= = M (30) N y a X 0 k (3) k k = = M X M (32) = X = 0,,... M (33) yk 0, k, (34) A restrção (3) conta o núero de abulâncas que cobre o vértce de deanda e a restrção (32) estabelece o lte superor, M, de abulâncas a sere localzadas. Segundo Daskn (983) o odelo perte localzar as de ua abulânca no eso vértce. Coo a função obetvo é côncava e p, o odelo não necessta de restrções de herarqua. 3.2 MALP I e MALP II Probleas de localzação co áxa dsponbldade O problea de localzação de áxa cobertura (MCLP) te coo obetvo posconar p abulâncas de odo a axzar a população coberta. ReVelle e Hogan (989) apresenta a versão probablístca deste problea, o problea de localzação co dsponbldade áxa (MALP) no qual são localzadas p abulâncas de odo a axzar a cobertura da população dentro de u tepo padrão co ua confança α. A probabldade q de que ua abulânca estea ocupada pode ser estada a partr de sulação (Maranov e ReVelle 995) ou através do odelo hpercubo (Larson e Odon, 98) e é chaada de fração ocupada. As duas versões dos odelos, MALP I e MALP II, propõe o problea da esa anera, exceto na fração de tepo ocupado da abulânca. No odelo MALP I consdera-se que todas as abulâncas são gualente ocupadas e o odelo MALP II austa a fração do tepo ocupado e função da localzação da abulânca MALP I Nesta versão o tepo ocupado das abulâncas é calculado gualente para todas e é dado por t d I q = (35) 24p A fração ocupada é calculada a partr da duração édat dos tepos de atendento (horas) e a deanda d de chaadas por da. I é o conunto de vértces de deandas. A probabldade de dsponbldade de servço pode ser escrta coo Pr[ua ou as abulancas dsponves] α, ou sea que lnearzado resulta e x W q α (36) b (37) x W log( α) b = log q (38) onde x é u núero ntero de abulâncas posconadas e e s ndca o enor ntero aor do que s. Ou sea, cada vértce de deanda requer que b abulâncas faça a cobertura para atngr o nível de confança α.

6 Ass a forulação é dada por (MALP I) Max dy b (39) sueto a b I y x ( I) (40) k k= N yk yk ( I) k = 2,... b (4) x = p (42) J x {0,}, y b {0,} e y k {0,}, ou sea se a deanda d for coberta por pelo enos k servdores dentro do padrão, então y k = MALP II A versão MALP II relaxa a suposção de que a fração ocupada de cada servdor sea gual, ass cada servdor terá a sua fração ocupada. Se por u lado, o uso da fração ocupada específca de cada servdor e u local (vértce) pode ser ua escolha as aproprada do que o uso de ua fração ocupada gual para todos os servdores, ela só é conhecda e função das localzações dos servdores e sto só é obtdo coo a solução de u odelo de localzação. Portanto não é ua nforação dsponível prevaente para a odelage. Para se conhecer a fração ocupada de cada servdor nstalado e deternado vértce, ReVelle e Hogan (989) sugere o odelo hpercubo apresentado por Larson e Odon (98), que descreve as eddas de desepenho do sstea, coo a fração ocupada. O odelo hpercubo não é u odelo de localzação, ua vez que deve ser conhecdas prevaente as localzações das abulâncas nos átoos geográfcos. Este odelo não será dscutdo neste trabalho. 4.Conclusões Os odelos de localzação de facldades eergencas, coo no caso das abulâncas, devera conteplar a cobertura das deandas durante todo o tepo. Os odelos estátcos LSCM e MCLP consdera que não exstrá ua deanda descoberta quando a abulânca estver atendendo a u chaado. Por sua vez, os odelos co cobertura extra BACOP e 2 proporcona a cobertura co backup das áreas de deanda. Já no odelo DSM a cobertura é axzada consderando-se padrões de cobertura dferentes. Conhecdas as taxas de ocupação das undades de atendento, ou sea, o tepo estado que elas se anté e atendento, o odelo probablístco MEXCLP perte axzar a cobertura esperada. Já nos odelos MALP I e II é axzada a cobertura esperada para u dado grau de confança. Referêncas Brotcorne, L., Laporte, G. e Seet, F. Abulance locaton and relocaton odels. European Journal of Operatonal Research, 47:45-463, Jun Daskn, M.S. A axu expected locaton odel: Forulaton, propertes and heurstc soluton. Transportaton Scence, 7:48-70, 983. Church, R.L. e ReVelle, C. The axal coverng locaton proble. Papers of the Regonal Scence Assocaton, 32:0-8, 974. Fgueredo, A.P.S. Modelos de localzação de facldades eergencas. A localzação de abulâncas. Exae de qualfcação. INPE Gendreau, M.; Laporte, G. e Seet, F. Solvng Abulance Locaton Model by Tabu Search. Locaton Scence, 5(2):75-88, 997. Galvão, R.D.; Chyosh, F.Y. e Morabto, R. Towards unfed forulatons and extensons of two classcal probablstc locaton odels. Coputers & Operaton Research, no prelo, Hogan, K. e ReVelle, C. Concepts and Applcatons of Backup Coverage. Manageent Scence, 32(): , 986. Larson, R. e Odon, A. Urban Operatons Research. Englewood Clffs, N.J.: Prentce- Hall, 98. Lorena, L. A. N. Análse Espacal de Redes co Aplcações e Ssteas de nforões Geográfcas. < Mao Maranov, V. e ReVelle, C. Stng Eergency Servces. In: Faclty Locaton - A Survey of Applcatons and ethods. New York: Sprnger, Cap. 0, p , 995 Mendonça, F.C. e Morabto, R. Aplcação do odelo Hpercubo para análse de u sstea édco-eergencal e rodova. Gestão e produção, 7():73-9, Abr Repede, J.F. e Bernardo, J.J. Developng and valdatng a decson support syste for locatng eergency edcal vehcles n Lousvlle, Kentucky. European Journal of Operatonal Research, 75:567-58, 994. ReVelle, C., Hogan, K. The axu avalablty locaton proble. Transportaton Scence, 23(3):92-200, 989. Shllng, D., Elznga, D.J., Cohon J., Church, R. e ReVelle, C. The Tea/Fleet odels for Sultaneous faclty and equpent stng. Transportaton scence, 3(2):63-75, Mao 979. Swersey, A.J. The Deployent of Polce, Fre and Eergency Medcal Unts. In: Handbooks n Operatons Research and Mangeent Scence. Asterda: NorthHolland, v. 6, Cap. 6, p , 994. Whte, J. A. e Case, K. E. On coverng probles and the central facltes locaton proble. Geographcal Analyss, 28:28-293, 974.