PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY VIA ROUGH SETS

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1 PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY VIA ROUGH SETS CARLOS A. M. PINHEIRO Istituto de Egeharia de Sistemas e Tecologia da Iformação, Uiversidade Federal de Itajubá Caixa Postal 5, Itajubá, MG, BRASIL piheiro@uifei.edu.br Abstract A ew desig method of fuzzy cotrollers via rough sets is proposed. The method ca defie liear ad o-liear characteristics i the compesatio of cotrol systems, supplyig a simple alterative to desig rule-based cotrollers. A systematic methodology to compute cotrol rules will be proposed. Numeric examples of computatioal simulatios ad of real experimets will be show. Keywords Fuzzy cotrollers, cotrol systems, rule-based cotrollers, rough sets, rule-based models. Resumo Um ovo método de projeto de cotroladores ebulosos via cojutos aproximados é proposto. O método pode defiir características lieares e ão-lieares a compesação de sistemas de cotrole, forecedo uma alterativa simples para projetar cotroladores baseados em regras. Exemplos uméricos de simulações computacioais e de experimetos reais serão mostrados. Palavras-chave Cotroladores ebulosos, sistemas de cotrole, cotroladores baseados em regras, cojutos aproximados, modelos baseados em regras. Itrodução Modelos baseados em regras costituem o cere das represetações a modelagem de sistemas diâmicos complexos e de cotroladores que utilizam lógica difusa. As regras resultates estabelecem relações etre as variáveis evolvidas e os respectivos procedimetos de processameto (Pedrycz e Gomide, 7. Existem dois esquemas pricipais para costruir modelos baseados em regras, os baseados em cohecimetos de especialistas e os orietados por dados. Os dois métodos têm suas vatages e desvatages, e existem abordages que permitem combiar ambos em determiados cotextos. Em aplicações ode a extração de cohecimetos efetuada por especialistas é dificultada em razão da quatidade das iformações evolvidas, métodos orietados por dados são mais eficietes. A teoria dos cojutos aproximados ou Rough Set Theory (Pawlak, 98, tem sido aplicada com sucesso a obteção de sistemas de iformações cocisos a partir de dados empíricos. Uma das pricipais vatages desta abordagem é ão ecessitar de detalhes a respeito dos dados a serem maipulados, como distribuições de probabilidade, itervalos de cofiaça ou valores de possibilidades (Pawlak, 99. A geração de modelos baseados em regras via processameto de cojutos aproximados, cosiste de uma abordagem simples e relativamete fácil de ser realizada (Piheiro et al., 9. As regras de modelagem podem ser computadas diretamete dos dados processados com técicas de cojutos aproximados. Ou alterativamete serem geradas regras difusas e cojutos ebulosos associados, costituido a modelagem correspodete as iformações processadas. No cotexto citado, aplicações práticas em sistemas de cotroles mostram-se promissoras. Os cotroladores baseados em regras podem ser derivados de sistemas de iformações, ode as regras são obtidas diretamete de processametos de cojutos aproximados. Etretato, aplicações em sistemas de cotrole que utilizem regras difusas geradas com a metodologia mecioada, aida ão foram devidamete desevolvidas e testadas. A utilização desta abordagem o projeto de cotroladores fuzzy e as aplicações correspodetes em algus sistemas de cotroles, costituem a essêcia deste trabalho. Nos próximos segmetos deste artigo ecotrase uma revisão de coceitos básicos, a metodologia proposta, exemplos de aplicações, e fialmete as coclusões fiais. Coceitos Básicos Um espaço aproximado é defiido como S = (U,A, ode U é um cojuto de objetos chamado uiverso e A é um cojuto de atributos. Seja S um sistema de iformação represetado por uma tabela de atributosvalores, ode os atributos a A e os correspodetes valores V a determiam fuções de classificação F:U A V a. Seja R uma relação de equivalêcia sobre U deomiada relação de idisceribilidade. Classes de equivalêcia de R (deotadas por U/R são deomiadas elemetares. Objetos de U pertecetes ao mesmo cojuto elemetar são idisceríveis. Seja I(X um cojuto de todos os elemetos de uma classe de equivalêcia. Dado X U, é importate saber quatos elemetos de X são defiidos por

2 cojutos elemetares de S. Para este propósito defie-se a aproximação iferior (I * e a aproximação superior (I *, expressas em. Se I * (X = I * (X o cojuto X é cohecido como I-exato, caso cotrário como I-rough. I* ( X = { x U : I( x X}; * I ( X = { x U : I( x X φ}. Sejam P e Q cojutos de atributos. Uma região chamada P-positiva (deotada por POS P de Q é o cojuto de todos os objetos do uiverso U que podem ser classificados como classes de U/Q. POS P ( Q = U P ( X X U / Q * Seja o grau de depedêcia γ(p,q de um cojuto de atributos P relativos a outro cojuto de atributos Q, coforme defiido em (3. O grau de depedêcia em questão forece uma medida de quão importate os atributos de P estão mapeado um cojuto de dados de um sistema de iformação relativos aos atributos de Q. Se γ(p,q =, etão Q ão está associado com P. Se γ(p,q =, etão Q está completamete associado com P. POSP ( Q γ ( P, Q = (3 U Dados L e K, um reduto é defiido como um cojuto míimo de atributos para qual γ(k,l = γ(m,l, M K. Regras de decisão de um sistema de iformação são geradas pela computação de redutos (Pawlak e Skowro, 7. Dado P, Q e um objeto x P, um atributo x é dispesável se γ(p,q = γ(p {x},q. As relações etre classes de equivalêcias associadas a cojutos de atributos são utilizadas para gerar regras de decisão a forma de (4. Ode F são fuções de classificação do sistema de iformação, a, a e a v são atributos de codição, b, b e b m são atributos de decisão. IF F(x,a = a AND AND F(x,a v = a v THEN F(x,b = b OR OR F(x,b m = b m (4 Existem ferrametas computacioais (várias de acesso gratuito desevolvidas especificamete para o processameto de cojutos aproximados, tais como: RSL (Rough Sets Library; Rough Eough; CI (Colum Importace facility; Rosetta. Processadose os dados de um determiado sistema de iformação (SI com softwares deste tipo (que utilizam os coceitos citados ateriormete, é fácil obter regras de decisão correspodetes ao sistema em questão. As regras obtidas refletem as iformações computadas em um SI de forma cosistete, ode valores ão pertietes ou redudâcias os dados ão são icorporados as regras de decisão resultates. 3 Metodologia Proposta A represetação de um sistema de iformação geérico está ilustrada a Tabela. As seteças (5 derivam da tabela em questão. Por exemplo, para = x, = x, x 3 = x 3, e = tem-se y = y expresso por s k. E para = x (m, = x (m, x 3 = x (m 3, e = x (m N tem-se y = y (m defiido por s m. Valores itermediários etre x (m, x x (m, x 3 x 3 x (m 3, e x (m N podem ser represetados pela combiação de s k e s m por meio da regra geérica (6. Tabela. Sistema de Iformação Geérico. x 3... y x 3... y x y x (m y (m (m x 3... (m (v (v x 3 (v... (v y (m y (v s : IF = x AND = x AND AND = THEN y = y s : IF = x AND = x AND AND = THEN y = y s k : IF = x AND = x AND AND = THEN y = y s m : IF =x (m AND = x (m (m AND AND = THEN y = y (m (v s v : IF = AND = x (v (v AND AND = THEN y = y (v (5 r g : IF (m AND (m AND AND (m => mi{y,, y (m } y max{y,, y (m } (6 Como ilustração seja a Tabela. Os dados desta tabela podem represetar, por exemplo, valores uméricos de um cotrolador do tipo PI (Proporcioal e Itegral. A variável está relacioada com a iformação do erro do cotrolador, e com a itegração do mesmo. Cosiderado a variável y a iformação de atuação do cotrolador, a tabela em questão pode vista como um sistema de iformação. Reali-

3 zado uma iterpretação dos dados da tabela por meio de (5 e (6, obtém-se (7. Tabela. Dados do SI. y r : IF - AND - => - y ; r : IF - AND => - y ; r 3 : IF AND - => - y ; r 4 : IF AND => y. (7 Com as iformações das regras de decisão (7 é fácil obter os parâmetros de um modelo fucioal difuso correspodete (8. r : IF = D m (ij AND = D m (ij THEN y = c + c + c (8 Os cojutos ebulosos podem ser defiidos por fuções de pertiêcia gaussiaas, cujos valores modais são os extremos (ou médias dos itervalos das variáveis de etrada. Neste exemplo, - e (defiido dois cojutos ebulosos N e P, por exemplo. Os desvios padrões das fuções são escolhidos de modo que a iterseção das mesmas ocorra em um grau de pertiêcia em toro de,5. Os coeficietes dos poliômios do modelo são obtidos diretamete pela fução de iterpolação de Lagrage (9, ode os dados são proveietes de (7 coforme a otação (6. y = ( x, x ( i, y ( i i= k m =,, N = y ( k ( y + ( m y N ( k N = ( x x ( x ( m ( k ( k x (9 As regras resultates do modelo fucioal estão idicadas em. A equação de modelagem ( de um cotrolador PI clássico será utilizada para efeito de comparação. A Fig. ilustra o cotrolador PI difuso correspodete, ode g e g são fatores de escala. A Fig. mostra a resposta (u do mesmo para uma etrada de erro (e degrau uitário. Os potos circulares o gráfico represetam a resposta do cotrolador difuso para um tempo de amostragem (T em, [s] e fatores de escala uitários. A resposta do compesador clássico (para mesma etrada de erro e com gahos (K p e K i uitários, está represetada em liha cheia o gráfico. Os resultados idicam que o modelo ebuloso está de acordo com o comportameto desejado para um cotrolador difuso com ação PI. r : IF = N AND = N THEN y = + ; r : IF = N AND = P THEN y = + ; r 3 : IF = P AND = N THEN y 3 = + ; r 4 : IF = P AND = P THEN y 4 = +. e u(t u ( t = K e ( t + K e ( t dt ( g g. e.t p i Figura. Cotrolador difuso com ação PI t [s] Figura. Respostas do modelo clássico e do fuzzy. Para um cotrolador difuso com ação PID bastaria acrescetar a modelagem outra variável (x 3 com a iformação da derivada do erro. O próximo item cotém exemplos de sistemas de cotrole de processos práticos. 4 Exemplos Neste item serão mostrados dois exemplos. O primeiro é relativo a um sistema de cotrole de velocidade real. O segudo é referete a sistemas de amortecimeto ativo aplicados em veículos automotivos. 4. Exemplo O diagrama de blocos ilustrado a Fig. 3 represeta uma plata modelada por uma fução de trasferêcia e duas ão-liearidades. A primeira é represetada pelo bloco (a, e modela os íveis de saturação de um amplificador eletrôico (K do processo. Regras u

4 A seguda ão-liearidade, idicada pelo bloco (b, represeta um efeito de zoa-morta relacioado com folgas de egreages do sistema. A fução de trasferêcia de seguda ordem modela um motor elétrico. Os pólos da mesma estão relacioados com a parte elétrica (devido a resistêcias e idutâcias associadas, e com a parte mecâica (devido a mometos de iércia e atritos do motor. Os valores omiais dos parâmetros do processo são: K =,55; c =,73; c =,74; d =,73; íveis das saturações em ±; faixa da zoa-morta em ±. A Fig. 4 ilustra uma malha de cotrole típica para regulação da velocidade do processo detro de certa faixa de operação. u sp K - + e a d P( s = ( s + c s + c A Fig. 5 é um gráfico de respostas da malha de cotrole em questão para um cotrolador PI covecioal, com gahos K p = e K i =. Os mesmos foram ajustados para ateder as especificações de tempo de acomodação próximo de 7 segudos e máximo pico em toro de % (para um valor de referêcia de etrada ou set-poit (sp em,8. Os valores das respostas foram ormalizados (c/sp, e são referetes aos seguites valores de referêcia sp = [.5; ;.8]. Devido às características ãolieares da plata, as respostas diâmicas da malha de cotrole mudam coforme os valores de set-poit. Alterações os gahos do cotrolador em fução da itesidade do erro da malha de cotrole, matém a diâmica do sistema detro das especificações desejadas. O mapeameto dos gahos por meio de redes eurais artificiais ou por lógica difusa, por exemplo, possibilita a realização de cotroladores com características adaptativas. A Tabela 3 ilustra algus valores de gahos em fução da itesidade do erro ( e da sua itegral (. O mapeameto dos gahos pode ser defiido a forma y = K p ( + K i (. A Fig. 6 ilustra este mapeameto (a parte superior da figura em cor preta estão os dados relativos à variável, e em cor ciza os dados relativos a. b Figura 3. Plata ão-liear. Cotrolador u P(s Plata Figura 4. Malha de cotrole. c c Normalized resposes (classical cotroller Iput values Output values sp=.5 sp= sp= Time (s Figura 5. Respostas da malha com o cotrolador clássico. Tabela 3. Gahos em fução do erro e da sua itegral. 4 - K p K i Figura 6. Dados do mapeameto dos gahos. As iformações da Fig. 6 costituem a tabela do sistema de iformação em questão. Para processar estes dados e gerar as regras de decisão, foi utilizado o software Rosetta ( rosetta/. Os seguites procedimetos foram selecioados o aplicativo: Discretize Equal frequecy biig Itervals = 5; Reductio Exhaustive calculatio (RSES Full; Rule geerator (RSES. As regras de decisão (as primeiras e as últimas geradas pelo software estão mostradas em (3.

5 x(.6875,* AND x(.94,.88 => y(4.889 OR y(4.937 OR... OR y(.53 OR OR y(3.486 x(.6875,* AND x(-.3,.94 => y(.4749 OR y(3.66 OR y( OR... OR y(.8793 x(.744,.6875 AND x(-.979,-.3 => y(.73 OR OR y(.57 OR y(.89 OR OR y(.8768 x(.744,.6875 AND x(.94,.88 => y(.865 OR y(3.64 OR OR y(.344 OR OR y(.5777 x(*,-.834 AND x(.94,.88 => y( OR y(-.837 OR OR y(-3.73 OR OR y(-.9 (3 Utilizado a metodologia proposta, regras podem escritas a forma dada por (6 resultado em (4, cujos valores dos itervalos são: x (a = ; (b (c = -.834; (d = -.338; =.744; (e (f =.6875; (a =.849; = -3.57; (b (c = -.979; (d = -.3; =.94; x (e =.88; x (f =.74. r : IF x (e x (f AND x (d x (e =>.53 y r : IF x (e x (f AND x (c x (d =>.8793 y r 3 : IF x (d x (e AND x (b x (c =>.89 y.57 r 4 : IF x (b x (c AND x (a x (b => y r 5 : IF x (a x (b AND x (c x (d => y -.94 r 6 : IF x (b x (c AND x (e x (f => -.39 y -.46 r 7 : IF x (a x (b AND x (e x (f => -.78 y.847 r 8 : IF x (c x (d AND x (d x (e => -.86 y.47 r 9 : IF x (b x (c AND x (c x (d => -.4 y r :IFx (a x (b AND x (b x (c => y r :IF x (c x (d AND x (e x (f => -.34 y.64 r :IF x (c x (d AND x (b x (c => y.6 r 3 :IF x (c x (d AND x (a x (b => y r 4 :IF x (b x (c AND x (b x (c => -3.3 y -.76 r 5 :IF x (e x (f AND x (b x (c =>.753 y r 6 :IF x (b x (c AND x (d x (e => -.85 y -.78 r 7 :IF x (e x (f AND x (a x (b =>.6 y.736 r 8 :IF x (c x (d AND x (c x (d => -.98 y.97 r 9 :IF x (d x (e AND x (c x (d =>.7996 y.458 r :IF x (d x (e AND x (e (f =>.96 y 3.66 r :IF x (a x (b AND x (a x (b => y -3.9 r :IF x (e x (f AND x (e x (f =>.8684 y r 3 :IF x (d x (e AND x (a x (b =>.6848 y.9 r 4 :IF x (d x (e AND x (d x (e =>.344 y 3.64 r 5 :IF x (a x (b AND x (d x (e => y -.84 (4 Para a obteção das regras fucioais (5 correspodetes, os dados da represetação (4 são aplicados em (9 para se calcular os coeficietes das fuções poliomiais do modelo difuso. Os valores resultates são: c =,79; c =,4; c =,5; c =,5; c =,85; c = 3,56; c 3 =,6; c 3 =,8; c 3 =,58; c 4 = -,6; c 4 =,54; c 4 =,; c 5 = -,4; c 5 =,6; c 5 = 4,58; c 6 = -,88; c 6 =,64; c 6 =,; c 7 = -,8; c 7 =,6; c 7 =,7; c 8 = -,66; c 8 = 5,8; c 8 = 3,6; c 9 = -,7; c 9 =,66; c 9 =,79; c = -,75; c =,49; c =,7; c = -,8; c = 4,8; c =,96; c =,3; c = 5,67; c = 3,3; c 3 = 3,9; c 3 =,57; c 3 =,67; c 4 = 3,89; c 4 = 4,4; c 4 = 3,69; c 5 = 3,75; c 5 =,4; c 5 = 3,7; c 6 = -,49; c 6 =,6; c 6 =,64; c 7 =,7; c 7 =,5; c 7 =,4; c 8 =,; c 8 = 5,8; c 8 = 4,7; c 9 =,8; c 9 =,64; c 9 =,65; c =,6; c =,69; c =,9; c = -,4; c =,66; c =,47; c =,74; c =,66; c =,77; c 3 =,96; c 3 =,5; c 3 =,; c 4 =,88; c 4 =,8; c 4 =,7; c 5 = -,59; c 5 =,39; c 5 =,. Os valores modais das fuções de pertiêcia gaussiaas são obtidos pela média aritmética dos valores dos (a itervalos de (4, exemplificado: m ab = ( + x (b (b /; m bc = ( + x (c (e /; m ef = ( + x (f /; (a m ab = ( + x (b (b /; m bc = ( + x (c /; m ef = (x (e + x (f /. Os valores de dispersão das fuções gaussiaas são escolhidos de modo que a iterseção das mesmas ocorra em um grau de pertiêcia em toro de,5. Assim, podem ser defiidos os cojutos ebulosos deomiados D, D (bc, D (cd, D (de, D (ef, D, D (bc, D (cd, D (de, D (ef. r : IF =D (ef AND =D (de THEN y = c +c +c r : IF =D (ef AND =D (cd THEN y = c +c +c r 3 : IF =D (de AND =D (bc THEN y 3 = c 3 +c 3 +c 3 r 4 : IF =D (bc AND =D THEN y 4 = c 4 +c 4 +c 4 r 5 : IF =D AND =D (cd THEN y 5 = c 5 +c 5 +c 5 r 6 : IF =D (bc AND =D (ef THEN y 6 = c 6 +c 6 +c 6 r 7 : IF =D AND =D (de THEN y 7 = c 7 +c 7 +c 7 r 8 : IF =D (cd AND =D (de THEN y 8 = c 8 +c 8 +c 8 r 9 : IF =D (bc AND =D (cd THEN y 9 = c 9 +c 9 +c 9 r :IF =D AND =D (bc THEN y =c +c +c r :IF =D (cd AND =D (ef THEN y =c +c +c r :IF =D (cd AND =D (bc THEN y =c +c +c r 3 :IF =D (cd AND =D THEN y 3 =c 3 +c 3 +c 3 r 4 :IF =D (bc AND =D (bc THEN y 4 =c 4 +c 4 +c 4 r 5 :IF =D (ef AND =D (bc THEN y 5 =c 5 +c 5 +c 5 r 6 :IF =D (bc AND =D (de THEN y 6 =c 6 +c 6 +c 6 r 7 :IF =D (ef AND =D THEN y 7 =c 7 +c 7 +c 7 r 8 :IF =D (cd AND =D (cd THEN y 8 =c 8 +c 8 +c 8 r 9 :IF =D (de AND =D (cd THEN y 9 =c 9 +c 9 +c 9 r :IF =D (de AND =D (ef THEN y =c +c +c r :IF =D AND =D THEN y =c +c +c r :IF =D (ef AND =D (ef THEN y =c +c +c r 3 :IF =D (de AND =D THEN y 3 =c 3 +c 3 +c 3 r 4 :IF =D (de AND =D (de THEN y 4 =c 4 +c 4 +c 4 r 5 :IF =D AND =D (de THEN y 5 =c 5 +c 5 +c 5 (5 Na Fig. 7 têm-se as respostas ormalizadas (c/sp da malha de cotrole usado agora o cotrolador fucioal modelado pelas regras (5. As respostas tedem a mater as características especificadas de máximo pico e tempo de acomodação para os diferetes valores de set-poit utilizados sp = [.5; ;.8], diferetemete das respostas do cotrolador PI clássico (cujas respostas estão mostradas a Fig. 5. Isto mostra que o cotrolador difuso icorporou as relações (ão-lieares dos gahos da Tabela 3 em fução do erro da malha de cotrole da sua itegração. Os fatores de escala (Fig. são uitários, pois as regras já icorporam as variações dos gahos relativos ao mapeameto das iformações pertietes a Tabela 3. A atuação do cotrolador fuzzy resultate tem ação adaptativa coforme a itesidade do sial do erro da malha de cotrole

6 Normalized resposes (rough cotroller sp=.5 sp= sp= Time (s Figura 7. Respostas da malha com o cotrolador difuso. 4. Exemplo Este exemplo refere-se a um sistema de suspesão ativo. Nas referêcias bibliográficas é citado um trabalho (Piheiro, 4 que forece detalhes sobre a estrutura, modelagem e resultados experimetais de um sistema de suspesão semi-ativo típico. No artigo é desevolvida uma estratégia de cotrole que utiliza lógica fuzzy, ode as regras ebulosas são obtidas por meio de aálises qualitativas de uma lógica de cotrole típica (6. A gradeza F a correspode à força desevolvida pelo amortecedor ativo (ou semiativo do sistema de amortecimeto. A mesma depede dos valores (C o e C off defiidos para o coeficiete de operação do amortecedor, e das velocidades absoluta (V abs e relativa (V rel do processo. Neste exemplo as regras serão obtidas com o emprego da metodologia proposta. A Fig. 8 mostra dados de (6 que processados pelo software Rosetta, chega-se as regras (7 segudo a estrutura (6 proposta, ode: x (a = -.385; x (b = -.68; x (c = -.84; x (d =.383; x (e =.9; x (f =.73; x (a = -.353; x (b = -.78; (c (d (e = -.8; =.4; x (f =.; =.368. Os resultados obtidos com o cotrolador fucioal resultate são similares aos do artigo citado, ode está relacioado com V abs, com V rel e y com F a. CoVabs + C off Vrel se VabsVrel, F = (6 a Coff Vrel se VabsVrel <. Absolute speed (m/s Commad iput (V Compesatio force (N Relative speed (m/s Figura 8. Dados da estratégia modelada por (6. r : IF x (e x (f AND x (e x (f => y.56 r : IF x (e x (f AND x (d x (e => y.379 r 3 : IF x (c x (d AND x (d x (e =>.6 y.6 r 4 : IF x (e x (f AND x (b x (c => y -.3 r 5 : IF x (e x (f AND x (c x (d => -.79 y -.8 r 6 : IF x (d x (e AND x (c x (d => -.9 y r 7 : IF x (a x (b AND x (a x (b =>.53 y r 8 : IF x (e x (f AND x (a x (b => -.5 y -.8 r 9 : IF x (a x (b AND x (d x (e =>.967 y r :IF x (d x (e AND x (b x (c => -.53 y -.6 r :IF x (a x (b AND x (c (d =>.93 y 3.74 r :IF x (c x (d AND x (a x (b => y -.74 r 3 :IF x (b x (c AND x (a x (b =>.783 y.547 r 4 :IF x (c x (d AND x (c x (d => y.88 r 5 :IF x (d x (e AND x (a (b => -.88 y -.58 r 6 :IF x (c x (d AND x (e x (f => -.48 y.6 r 7 :IF x (d x (e AND x (d x (e => -.36 y r 8 :IF x (b x (c AND x (d x (e =>.8 y.8 r 9 :IF x (d x (e AND x (c x (d =>.3 y.8 r :IF x (c x (d AND x (b x (c => y.3 r :IF x (a x (b AND x (e x (f =>.854 y.688 r :IF x (d x (e AND x (e x (f => -.69 y -.99 r 3 :IF x (b x (c AND x (e x (f =>.35 y.848 r 4 :IF x (a x (b AND x (b x (c =>.73 y.998 r 5 :IF x (b x (c AND x (b x (c =>.48 y.99 (7 5 Coclusão Este trabalho apresetou uma ova metodologia para projeto de cotroladores difusos via processameto de cojutos aproximados. O método proposto possibilita a obteção de parâmetros de modelos baseados em regras de forma sistemática e de fácil computação. Os resultados obtidos idicam que o método é adequado para aplicações em sistemas de cotrole reais. A extesão desta metodologia para sistemas de múltiplas etradas e saídas é simples e será mostrada em trabalhos futuros. Referêcias Bibliográficas Pawlak, Z. (98. Rough sets. Iteratioal Joural of Computer ad If. Scieces, Pawlak, Z. (99. Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoig about Data. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Pawlak, Z. e Skowro, A. (7. Rudimets of rough sets. Iformatio Scieces, 77, 3-7. Pedrycz, W. e Gomide, F. (7. Fuzzy Systems Egieerig: Toward Huma Cetric Computig. Wiley Itersciece/IEEE, Hoboke. Piheiro, C. (4. Estratégia de Cotrole Fuzzy para Suspesão Ativa Automobilística. XV Cogresso Brasileiro de Automática (em CD. Piheiro, C., Gomide, F., Carpiteiro, O. e Lopez, B. (9. Graular Sythesis of Rule-Based Models ad Fuctio Approximatio usig Rough Sets. Chapter i the book Novel Developmets i Graular Computig, ed. JigTao Yao, Iformatio Sciece Publishig.