Seminários de Ensino de Matemática/ SEMA FEUSP setembro/2009 Coordenação: Profº Drº Nilson José Machado

Transcrição

1 Smináios d Ensino d Mtmáti/ SEMA FEUSP stmo/9 Coodnção: Pofº Dº ilson José Mhdo Fçõs Contínus no Ensino Médio? Wgn M Pomm wmomm@us Rsumo As dos vnços ds nts oosts uiuls, lguns tms mtmátios, glmnt oddos no Ensino Suio, ind s nontm distnts do otidino d sl d ul do ilo ásio Assim, st tto oõ um v flão nvolvndo stos uiuls istmológios didátios disussão d tmáti ds Fçõs Contínus do ilo ásio O ttmnto dst tm, não omo omonnt uiul, ms tvés d situçõs d nsino mit -vloizção dos tuis tms do uíulo, ligdos Toi dos úmos lç s onõs intns tns os onhimntos mtmátios Intodução: Iniilmnt, osvndo ói dnominção, s Fçõs Contínus sntm, o um ldo, um sto ssoido o disto, lo fto d snt um fção lção d númos intios, ind, o sgundo tmo mont s gndzs d ntuz ontínu Assim, s: fçõs ontínus onstitum um mlo intssnt d odimnto u é finito, undo odo so númos ionis, infinito, undo o númo ddo é iionl A oigm ds fçõs ontínus stá n Géi, ond s fçõs, fito d omçõs, m tods sits om numdo CUHA, 7, Com lção intodução d tms mis tuis no nsino d Mtmáti, fço fêni tul Poost Cuiul do Estdo d São Pulo 8 Est doumnto snt um list d ontúdos Mtmáti do ilo ásio sm ltçõs iávis m lção o u s viul nos divsos sistms d nsino istnts tulmnt, lvndo-s m onsidção o iníio d u os ontúdos são mios o dsnvolvimnto ds omtênis ssois SÃO PAULO, 8, 8 A ustão d tulizção dos tms mtmátios do uíulo é vloizd o muitos utos é inlusiv disutid ui no SEMA/FEUSP D modo gl, são ontdos Pogmção Lin, o Cálulo Difnil Intgl, os Ftis s Fçõs Contínus, dnt outos, omo tms oíios sm oddos no ilo ásio, num odgm dud st nívl d nsino Assim, há nssidd d sol st sm lt mudnçs d ontúdos mtodologis m f d novs lidds do mundo tul, oiindo ondiçõs u os indivíduos s dtm sts mudnçs sjm iddãos onsints d su l n soidd Est oost d tulizção d tms do uíulo d mtmáti nov Poost Cuiul odm s onilids, omo, o mlo, ont om insção no nsino d Biologi nov volução d gnéti, ssunto omlo, ms u s mostou ssívl d s oddo tzido o otidino d sl d ul num odgm ssívl lunos do nsino ásio Tmém, o movimnto novção do Ensino d Físi stá disutindo insção d tóios usulmnt oddos somnt no Ensino Suio, omo lguns sultdos d Físi Modn Dnto dss visão: o ontúdo mtmátio s ttdo n sol ási é ns um víulo o dsnvolvimnto ds idéis fundmntis d d disilin, u dvm s onvnintmnt tiulds tndo m vist s funçõs sm dsmnhds no uíulo É fom d odgm dos difnts ssuntos u distingu difnts oosts, dndo-lhs o sustâni MACHADO, 99, Assim, os ssuostos dlindos m ltm ossiilidd do ns nívl uiul istêni d outos tms do nsino suio u odim s oddos nst nívl d nsino, om um tnsosição didáti dud, omo gdos d situçõs d nsino oíis Atntmos ossiilidd d um novo olh o uíulo, onndo mtáfo do onhimnto omo d, onfom Mhdo 99 us d tms ssoidos à ói disilin d Mtmáti, u mit um tiulção intgção nt os óios onitos mtmátios vignts no tul uíulo A idéi d d onstitui um imgm, ond onh é omo:

2 nd, t signifiçõs, tilh signifidos Os signifidos, o su vz, são onstuídos o mio d lçõs stlids nt os ojtos, s noçõs, os onitos Um signifido é omo um fi d lçõs O signifido d lgo é onstuído flndos so o tm, stlndo onõs tinnts, às vzs insusitds, nt divsos tms Os fis d lçõs, o su vz, tiulm-s m um gnd ti d signifiçõs o onhimnto é um ti dss tio MACHADO,, Assim, um imotnt onão, s ossiilit o onhimnto omo d é stl lçõs nt os signifidos dos ojtos mtmátios no intio d Mtmáti tnmnt l MACHADO, 99, 7 Osvo u tulmnt, tl osiionmnto s dslo us om u lusividd o uso d onttulizção, u om tz é tmmnt imotnt, ms u tou um to suimnto m lção loção ds imotnts onõs intns, u viiliz tiulção nt os óios tms d Mtmáti Em lção os ossívis tms, fço mnção um ds sugstõs d n mindo n osião d dfs d mstdo o mim dfndid, u si dsnvolv suis m lção s Fçõs Contínus, ssunto iniilmnt dsnvolvido los ggos u foi sndo niuido o longo do dsnvolvimnto históio d mtmáti somnt tomdo nos séulos XVII XVIII A nális dss uso históio m fz lguns nós d ti tid o ss tm, odndo imiçõs nt os úmos Rionis os úmos Iionis u mitm o dsnvolvimnto d omtênis ásis nst fi d nsino As imiçõs nt os úmos Rionis os úmos Iionis Sgundo Bolzzi 99, no tto A At d Cont, odgm histói tm imotâni fundmntl stutu o tlho didátio d Mtmáti s nsind Isso od s osvdo om lção o sugimnto dos úmos Iionis su lção om os úmos Rionis É usul odgm no Ensino Básio, dfinindo o onjunto dos númos iionis omo os númos is u não tnm o onjunto dos númos ionis Iionis R Q A imi vist, isto od os lunos u não ist lção nt mos Ms histói do dsnvolvimnto d Mtmáti nos most out visão Confom Boy 97, os ovos ntigos utilizvm sistmtimnt oimçõs numéis Há fêni, no io d Ahms, d álulo d á d íulo m lção á d um uddo onsiddo uivlnt Alguns utos, sgundo Boy 97, fzm uso dst onhimnto míio lul o vlo d PI, fto u não t sido oução dos ovos ntigos Tmém, há fêni os msootâmios, m Bolzzi 99, u tvés do uso d s sgsiml lizm oimçõs d númos iionis Com lção à ivilizção gg su go os númos ntuis, Bolzi 99 gumnt u ls não onsidvm omo númos s fçõs ionis nm os iionis, oém tinhm onhimnto d istêni dsts, ontonndo st onflito lo uso d Gomti ss sts númos, o u gou is dos inomnsuávis Assim, s dos gíios os ovos d msootâmi utilizm fçõs númos dimis, nosso studo most u somnt ós idntifição ds gndzs inomnsuávis é u sugm d um fom mis dfinitiv os óios númos ionis BROLEZZI, 99, Assim, o onflito sultnt d is dos inomnsuávis, u m o sugimnto dos númos iionis, tmém dfin mlhos ontonos os númos ionis É justmnt st imimnto nt os númos ionis os númos iionis u mit dfini mlho sts onjuntos, dito, s imotnt ontiuição o nsino d Mtmáti A sntção diml dos númos iionis é nssimnt infinit não iódi Assim, úni vi d sso um númo iionl é utilizção d oimçõs sussivs tvés d númos ionis Aind hoj, [isto] dsont todos os u nfntm os iionis gndo o sttuto d númos s zõs nt gndzs u onduzim os iionis, foi ossívl os ggos viv timnt o lgo d tis ojtos indsjávis Há muito s s, no ntnto, u mioi solut, us totlidd dos númos is istnts é onstituíd o númos iionis MACHADO, 99, -

3 us d indíios dst imimnto nos doumntos ofiiis, nos PCs, Bsil 997, ud vifi vs itçõs om lção os númos iionis, uj odgm é sugid l ustão dos inomnsuávis, m tiul d lção d digonl o ldo do uddo zão :, l onstução gométi ds ízs sussivs não ts d,,, 7, tvés do uso do Tom d Pitágos, ssim omo lo álulo oimdo tvés d sntção diml ionl dsts ízs não-ts do númo PI, sugindo lolizá-ls n t l Osvo u st doumnto não snt fêni om lção o númo d ul Em vist d tis sultdos, tnsão nt os dois onjuntos lv nssimnt ustão d omo dministá-l m fvo do nsino d ndizgm m mtmáti Adito u o tm ds Fçõs Contínus ossiilit ontiui o dminist st jogo A sgui, sá lizd um v osição d sttégis u odm s lizds oim um númo iionl o um númo ionl, tvés d fmnt ds Fçõs Contínus As Fçõs Contínus Dfinição: Um fção ontínu simls, om intio os dmis tmos i, i> ntuis não nulos, é d fom: [ ;,,,,] Um fção ontínu simls od t finitos ou infinitos tmos As fçõs,,, são dnominds onvgnt, onvgnt, onvgnt onvgnt d fção ontínu simls [ ;,,,,, n ] ; [ ; ]; [ ;, ]; [ ;,, ] A oimção d númos iionis o ionis é um ustão d gnd imotâni m divss situçõs Um mlo u tiz st tio d situção é mostdo io, u utilizmos o um séi d odimntos ltntivos Julgmos imotnt loção d divss sttégis d solução, onfom omndm Ehví Pozo 998, u mit osição o lionmnto d váios tms mtmátios, onfigundo-s um onttulizção int-mtmáti Situção-olm : Um fint d lógios is oduzi dois tios d ods dntds n zão : É imtiávl u sts ods tnhm mis u dnts Enont lgums ossiilidds os númos d dnts ds ods u ião oim zão dsjd, utilizndo s oimçõs dds los onvgnts onsutivos d um fção ontínu simls [Adtdo d Snhs; Slomão ] A Rlção d tnsmissão, d oo ngngm mio o inhão ngngm mno, od s sntd o, ond snt o númo d dnts d oo y snt o númo d y dnts do inhão, om y intios ositivos A fção ontínu simls simnt s ssmlh um uittu d fçõs unitáis sussivs, iindo t similidd om o uso d fçõs unitáis los gíios A solh d zão : omo viávl didáti foi dvido t fmiliidd d sol ási om st númo iionl, mitindo tç um llo históio om is dos inomnsuávis, tmém, u ossiilit um ttmnto numéio om uno vlo d gndz

4 P snt iz n fom d fçõs ontínus, imi solução u nminhmos é o u dnomino odimnto itmétio Est onsist m sv, sünilmnt, os onvgnts, té s ot um fção u sond ustão, ou sj, u sit ondição d ontono dd lo limit d dnts, ngngm mio oo º, onvgnt º,,, onvgnt º 7,,,, onvgnt º 7,,, onv O º onvgnt vl u o nº d dnts d oo si 7 o do inhão, om oimção dd o: 7/,7, o u ooion um oimção ot té odm ds ntns, u um d ngngns usuis é stisftói Dtminndo-s o º o º onvgnt, tm-s: 7 99,8,, 9,,, Osv-s, nos sis imios onvgnts, u ist um tição do lgismo Sá u tl onjtu é vddi? P vifiá-l, d modo mis gl, odmos sv um sgundo odimnto, d ntuz lgéi D,, dond Aind, d : sult ionlizdo u Dí, :, ntão Como > Assim: D: Assim, o sustituiçõs sussivs: ] [; [;,,,,] Est lgoitmo mlifi u um númo iionl tm sntção infinit n fom d fção ontínu simls iódi D modo gl, nm, todo númo iionl tm sntção iódi Lgng, m 77, dmonstou u somnt os númos iionis lgéios têm sntção iódi

5 Cdit-s u o uso d fçõs ontínus mont os séulos XVI, XVII XVIII, oém há indíios u outos ovos ntigos onhssm udimntos dss tm Sgundo Boy 97, os imios ssos montm Pito Antonio Ctldi 8-, d Bolonh, u svu lgums ízs udds n fom d fçõs ontínus Assim, um tio odimnto, tmém d ntuz lgéi, ss o númo n fom d um fção ontínu, onsist m sv ução olinomil Elvndo-s o uddo mos os ldos, dsnvolvndo o º mmo odnndo os tmos m no º mmo, tms: O óimo sso é fto o º mmo isol, d modo u: Dst modo, no dnomindo do º mmo stá snt inógnit, u novmnt o s sustituíd, d modo ont, sultndo ssão m fom d fção ontínu Como, ntão,] [;,, Um uto odimnto ss um fção ontínu é ddo o Bomlli sé XVI Consist n ssão: A dmonstção d tl ssão é fonid io s tm :, Ms: E lindo-s sussivmnt o sultdo im: Alindo-s tl odimnto sntção d omo fção ontínu simls, tm-s: ] [; [;,,,] Em 7, Bomlli utilizou sguint oimção snt iz udd d Considndo, d: :, tm s

6 Em 77, Eul sv omo um fção ontínu P ss uinto odimnto, iniilmnt onsidmos, d modo gl, ddo um iionl, odmos svê-lo omo: ond, < < Tmém: ond, < < Assim: P o álulo d tm-s: : Aind Dí: : Aind Rsult: ] [; o so tiul d, u Eul oôs, od-s sv: : Aind Dí: Assim: ] [, [,] Vl osv u s ténis dlinds vloizm o uso d oção d ionlizção omo odimnto lgéio d solução, u sá tomdo somnt ostiomnt, no studo d limits

7 7 Um mo u utiliz muito ds oimçõs d númos iionis o ionis é stonomi Um olm intssnt foi dsito no tigo d Vll stá sntdo sgui Situção : o finl d gosto d, tivmos mlho osião osv o lnt Mt d todo o séulo XXI Mt stv m oosição o Sol m 8 d gosto, no di ntio, n su mno distâni à T dos últimos nos! Su ilho ionl suou, nss osião, o d tods s stls do éu notuno Ess oosição tiu, m ondiçõs muito mis fvoávis, oosição d d gosto d 9, undo Mt stv,78 milhõs d uilômtos d T Pfsndo Vll, ntnd o u signifi oosição, n Astonomi, figu ilust uto ossívis osiçõs nt o Sol, T Mt As óits dos lnts fom oimds o um iunfêni onsidds olns ntiidd d mioi dos lnts do Sistm Sol são óims unidd, om ção d Múio o tulmnt ido Plutão A figu vl u n oosição oo o linhmnto do Sol, d T d Mt, nss odm,, nss osião, nont-s m su mno distâni m lção T Figu : As uto osiçõs ltivs nônis dos lnts T Mt Vll, P ntndmos lção ds fçõs ontínus om ss situção, iniilmnt mto Vll, u li o íodo sinódio S, do ggo synodikós, omo o intvlo d tmo doido nt dus onfiguçõs iguis onsutivs, d modo u um sto ou ojto no msmo lol, m lção o sto d óit mis intn Est íodo é dnomindo volução nt do sto no so Mt, m lção o sto d fêni no so T Em onttid, o íodo sidl é o intvlo d tmo u um ojto sto, lnt o um volução ou óit omlt m tono d outo, tndo omo fni s stls fis É o íodo l d tnslção d um sto, ltivmnt um stl fi, omo o Sol Dst modo, o íodo sinódio dif do sidl lo fto d hv o movimnto d tnslção do sto m lção stl fi Po mlo, no so do sistm T/Lu, Lu tm um íodo sidl d 7, dis um íodo sinódio d 9, dis O íodo sinódio mês lun osond às osvçõs ds fss d Lu, u dm oigm os lndáios luns luni-sols D modo mis gnlizdo, onsid dois lnts, A B, sndo u o lnt B stá m oosição m lção um osvdo osiiondo no lnt A O lnt A ossui mio vloidd oitl, ou sj, mov-s mis áido o st vijndo num uv d mno vlo d io oitl, d modo ossui um íodo d volução mno figu Considmos osição iniil, ond os lnts A B nontm-s m oosição m lção o Sol osiçõs A B P fito d mio omnsão, onsidndo-s imi volução do lnt A m tono do Sol ond A A, o lnt B tá um osição gnéi B, distint d A Continundo o movimnto oitl, o lnt A tá um nov oosição om o lnt B somnt n osição

8 8 Figu : Oosição nt dois lnts A B OLIVEIRA FILHO; SARAIVA, P otnção d lção nt o íodo sidl dos lnts P i : íodo sidl do lnt intno P : íodo sidl do lnt tno o íodo sinódio S, u é o msmo os dois lnts, º º onsid u m um di o lnt intio mov-s o lnt tio o Assim, ós P i P º º um di, o lnt intio tá gnho um ângulo d, m lção o lnt tio Po Pi P º º º dfinição, ss gnho é uivlnt o íodo sinódio Assim: Est S Pi P S Pi P ssão foi dsnvolvid o Coénio o so tiul do sistm T/Mt, s-s u Mt lv d 78 dis ns undo o Sol s õ dus vzs sguids, ou sj, st m oosição om T P fito d visulizção, há um lnt simulção d oosição do sistm Mt/T no sit htt://stoifufgs//nodhtm P omov-s o vlo dst íodo, lvmos m onsidção u T snt íodo sidl P T d h 9m s ou oimdmnt, dis Mt P M 8,9798 dis O íodo sinódio d Mt sá luldo tvés d ssão: - - S 779,9 9 dis S PT PM, 8,9798 Enttnto, osvou-s u dus oosiçõs onsutivs não oom nos msmos ontos d sus óits o so do sistm T/Mt, s oosiçõs oom m nos, nos, nos, 7 nos, dnt outs Então, sug um ustão: Como dtmin ul dsts oosiçõs o lnt Mt s nont m su mno distâni m lção o Sol, omo ooid m d? Considndo-s u o íodo sidl d T P T, dis é o intvlo d tmo u T ton o msmo onto d su óit Mt o íodo sinódio é S 779,9 9 dis, ntão, ddo u oou um oosição, s óims oosiçõs nos msmos ontos d sus óits ooão num intvlo d tmo u sj um múltilo omum d P T S Assim, o olm onsist m dtmin dois númos intios m n u stisfçm sguint lção: ms np T m 779,9 9 n, n / m 779,9 9 /,, P ot sts intios m n, fz-s uso do método ds fçõs ontínus,, º onvgnt,, º onvgnt 7,

9 , 7,978 7, ,8 Assim, fção ontínu od s sit o: 9 º onvgnt n [;7,,,,,,] m 7 7 Ests sultdos odm s sinttizdos n tl A n / m Vlo Difnç /, -, / 7, 87,7 997 /, -, /,, 9 79 / 7, -, 7 8 /, 8, 7 Tl : Divss lçõs duzids nt s oosiçõs Mt/T Vl, Dnt s divss oimçõs, stão vidnids s iodiidds itds nts, é zoávl s onsid oimção: S / T n / m 79 / 7 Considndo-s u o lndáio ggoino não utiliz o íodo sidl d tnslção d T, ms o íodo do tono ds stçõs do no, u tm o vlo médio d, dis o no, o íodo d stnt nov nos osond : 79, dis 88,7 dis P os 7 íodos sinódios d Mt tm-s: 7 779,9 9 dis 887, dis, oo um un difnç d d,9 dis do nosso lndáio Com sts ddos od-s v óim oosição: gosto d 8 O úmo d Ouo A fção ontínu simls mis simls l! d s sv é dd o [;,,,] ± Assim, o númo,8, snt o onhido númo d ouo Ao sv os onvgnts tm-s:, º onvgnt,8,8 º onvgnt,8 º onv,8,8,8,8 8 º onv,8,8,88 Ests vlos ssm zão nt dois tmos onsutivos d Süêni d Fioni, dd o,,,,, 8,,

10 O Algoitmo d Eulids Histoimnt, Andd&Bili ssltm u, mo os ggos onhssm o lgoitmo d Eulids, não há vidênis u ls o utilizssm onstui fçõs ontínus Est indíio não di d s onstitui m um odimnto tmmnt átio ngnhoso, u mis um vz vl imotâni d tl lgoitmo, u glmnt não é oddo no nsino ásio Um númo ionl tm sntção finit m fção ontínu Sjm númos ntuis Eulids oõ o sguint lgoitmo v tl Divisão uoint sto : : : Tl : Os tmos do osso d divisão A sit osondnt oção d divisão é dd n tl : < < < < < < < < s- s- s- s- < s- < s- s- s- s- s- s- s- s s- s s- s- Tl : Algoitmo d Eulids A tl most u d fção imói dd no º mmo é igul som d um ofiint intio i um fção ói, st últim dsnvolvid m d t sguint, n fom invs º onvgnt º onvgnt º onvgnt Assim:,],, ; [ O Algoitmo d Eulids od s utilizdo s dtmin o md nt dois númos intios, o md nt dois olinômios s dtmin s soluçõs d um Eução Diofntin Lin, nt outs liçõs

11 Situção : O Clndáio Ggoino: Um inívl oinidêni! Bskin 987 lm um vlho mnul d osmogfi ond há itção Lmntvlmnt, o no não é igul um númo intio d dis, fto u susit um intssnt olm mtmátio, ligdo s fçõs ontínus O no tóio, ul u m s stçõs, tm dução médi d no dis hos 8 minutos sgundos, 99 dis O lndáio julino, stlido m C, onsid oimção no dis hos, dis, ou sj, tinh um difnç d d minutos Est difnç d minutos, m m nos, usv um dsvio d: mins no 7s,min min s 8h min s nos Est oimção usos um olm: s stçõs is hvim todido tz dis m lção o lndáio Julino Em 8, o Ggóio III onvoou mtmátios stônomos solv st olm Dsd C té 8, s ssm 7 nos, sndo o dsvio umuldo dsd ntão: 8h min s nos 998s 87 min8s h min8s dishmin8s 7 nos P tl, iniiou-s m s lul o dsvio ooiondo um di S m no o dsvio é d min s 7 s, ntão di h min 8 s ooion um dsvio ddo o: 8 s: 7 s 8,9 nos Assim, oo um dsvio d 8 nos d di, ou ind, d d dis m d nos Est nminhmnto ooionou um un ltção n intlção d tês nos d um no d dis do lndáio julino P ti sts tês dis, g foi intoduzi o no issto, u ul ddo l sguint g: os nos múltilos d diim d s isstos, to los múltilos d Enunto dução médi do no Julino d dis h, om tid d tês dis do 97 lndáio ggoino, o vlo ssou s dis,dis dishos9mins O u ind us um difnç d d sgundos do vlo l A dução médi d no dis hos 8 min s, 99 dis h8mins 9 A fção di 8 i A fção ontínu osondnt no dis hos 8 min s [;, 7,,,, ] O º onvgnt é dis O º onvgnt é ddo o: dis, ói do lndáio Julino 7 O º onvgnt é ddo o: dis, ou sj, 7 nos isstos d 9 nos O º onvgnt é ddo o: dis, ou sj, 8 nos isstos d nos 7 O º onvgnt é ddo o: dis, nos isstos d 8 nos 8 7

12 nos isstos 8nos do lndáio nos do lndáio 9,87 97 nos isstos Sgundo Bskin 987, isto é um inívl oinidêni, lvndo-s m onsidção u n éo do Ggoino III s fçõs ontínus não um ssunto stlido Considçõs Finis As onsidçõs tids nst tto vlm ossiilidds d odgm ds Fçõs Contínus Simls no Ensino Básio, onsidndo- omo um ootunidd d tulizção do uíulo d Mtmáti Ptimos do ssuosto u tos tms dvm figu nt uls dos uis todo iddão dv t sido infomdo dunt o íodo d sol oigtói u, no ntnto, té ntmnt s onsidvm [somnt] nívis do nsino suio SATALÓ, 99, 7 Aind, st tóio ossiilit tiulção nt os onjuntos dos úmos Rionis o onjunto dos úmos Iionis A ói ntuz do tm mit sl mli o óio onito d fção, ssim omo omov um mio ntndimnto nvolvndo ntuz dos númos iionis, num odgm u vl diotomi lgnt intção nt ntuz dist finit, m onttid d ntuz ontínu infinit dos númos is Alim-s sts onsidçõs ootunidd oiid l intodução d um tm u tiul divsos onitos mtmátis, mlindo-s lção onstituíd intnmnt mtmáti, mitindo onstução d um d d signifidos, onfom Mhdo 99 Em lção às ontiuiçõs d odm didáti, o s lizm oimçõs ds ízs não-ts, u sntm númos iionis, o uso à intodução ds fçõs ontínus omo tm mdido ossiilit loção d divss sttégis d odgm n solução d olms nvolvndo fçõs ontínus Dst modo, tl odimnto mit loção d odgm itméti tiulção om o uso d sttégi lgéi, fvondo o dsnvolvimnto ds omtênis ssois dos lunos Est tto s n o ui E ind há mis fl ds fçõs ontínus, silmnt s findo o númo PI o númo d Eul inilmnt s ssoido ustão d oimçõs o onito d vntgm d oimção Fi óim! Rfênis Biliogáfis ADRADE, E X L; BRACCIALI, C F Fçõs Contínus: Poidds Aliçõs São Clos, SMABC; São Pulo: Edito Plêid, v BESKI, M Fçõs Contínus Tdução d: Pdo Lim Edito Mi, Mosou, 987 BOYER, C B Histói d Mtmáti 9 d São Pulo: Edito Edgd Blüh, BROLEZZI, A C A At d Cont: Um Intodução o Estudo do Vlo Didátio d Histói d Mtmáti Disstção d Mstdo: São Pulo, Fuldd d Edução d USP, 99 A Tnsão nt o Disto Contínuo n Histói d Mtmáti no Ensino d Mtmáti Ts d doutodo São Pulo, Fuldd d Edução d USP, 99 CHIQUETTO, Mos Bv Histói d Mdid do Tmo São Pulo: Siion, 99 CUHA, M O So idéi d lgoitmo São Pulo: SEMA/USP, 7 Disonívl m: <wwwdudog//7---so_o_onito_d_lgoitmodo >

13 ECHEVERRÍA, M P P; POZO, J I And Rsolv Polms Rsolv Polms And In: POZO, J I og A Solução d olms: And solv, solv nd Poto Alg: AtMd, 998 C - ISB X MACHADO, J A Univsidd ognizção do onhimnto: d, o táito, dádiv São Pulo: Estudos Avnçdos, v, n, -, Eistmologi Didáti: As Conçõs d onhimnto intligêni áti dont São Pulo: Edito Cotz, 99 OLIVEIRA FILHO, Kl d Souz; SARAIVA, Mi d Fátim Olivi Píodo Sinódio Sidl dos Plnts IAG/USP, Disonívl m: < htt://stoifufgs//nodhtm> Asso m st 9 SACHES, Colin Fnndz Molin; SALOMÃO, Luiz Alto Dun A Ensão Do úmo m Fçõs Contínus Ulândi: FAMAT m Rvist, n, dz Disonívl m: <htt://wwwfmtufu/vist/vistdz/tigos/atigocolinslomodf> Asso m nov 7 SATALÓ, L Mtmáti não-mtmátios In: PARRA, C; SAIZ, I Didáti d Mtmáti: Rflõs Psiodgógis Tdução d: Jun Auñ Llons Poto Alg: AtMd, 99 C - SÃO PAULO Poost Cuiul do Estdo d São Pulo: Mtmáti/ Ensino Fundmntl ilo II Médio São Pulo: SEE, 8 VARELLA, Iinu Goms Piodiidds ns Oosiçõs d Mt Rvist Astonomi Astofísi, n, dz