MÉTODOS DE ESTIMATIVA DE PARÂMETROS DE CABOS ISOLADOS: UM ESTUDO COMPARATIVO

Transcrição

1 MÉTODOS DE ESTIMATIVA DE PARÂMETROS DE CABOS ISOLADOS: UM ESTUDO COMPARATIVO Hélder de Paula, Marcelo L. R. Chaves*, André W. Cirino Laboraório de Aplicações Indusriais, Deparameno de Engenharia Elérica, UFMG Av. Anônio Carlos, 6627 Pampulha / CEP Belo Horizone, MG helder@cpdee.ufmg.br / *Universidade Federal de Uberlândia Resumo - Simulações compuacionais envolvendo problemas de Qualidade da Energia Elérica, Transiórios Eleromagnéicos e Compaibilidade Eleromagnéica, denre ouros, exigem a uilização de modelos de linhas e cabos eléricos apropriados a esudos em ala freqüência, que incluam, denre ouras caracerísicas, a correa represenação do efeio pelicular ( skin effec ). Em sua maioria, ais modelos requerem, para a sua elaboração, dados de enrada referenes ao valor da resisência e induância da linha ou cabo em diferenes freqüências. Uma vez que a medição desses parâmeros muias vezes mosra-se inviável, a uilização de formulações para a sua deerminação ornase basane práica e araiva. Nese conexo, rês diferenes proposas desinadas à deerminação de parâmeros de cabos são descrias, avaliadas e comparadas no presene rabalho, uilizando-se como referência a roina Cable Consans do simulador ATP. Com base no esudo desenvolvido, pode-se concluir que ais méodos, apesar de sua formulação simplificada, conduzem a resulados basane saisfaórios. Palavras-chave - Efeio pelicular, esimaiva de parâmeros de cabos, modelagem de cabos. Absrac - Compuaional simulaions involving problems of Power Qualiy, Elecromagneic Transiens and Elecromagneic Compaibiliy, among ohers, require he applicaion of cable and line models appropriae for high-frequency sudies, feauring skin effec accurae represenaion. Mos models ha saisfy his condiion require, for heir elaboraion, inpu daa regarding he cable or line resisance and inducance values for differen frequencies. Since he measuremen of such parameers is ofenimes no feasible, he possibiliy of heir deerminaion from analyical mehods arises as a very useful and aracive ool. In his conex, hree differen approaches for cable parameer calculaion are described, evaluaed and compared in his work, using he ATP Cable Consans rouine as he reference. Based on he conduced sudy, i can be concluded ha hese mehods lead o quie good resuls, despie heir simpliciy. Keywords - Skin effec, Cable parameer esimaion, cable modeling. I. INTRODUÇÃO No âmbio da Engenharia Elérica, vários são os problemas cujos fenômenos apresenam freqüências diferenes da freqüência indusrial. Tal, por exemplo, é o caso das quesões associadas à área de Qualidade da Energia Elérica, que conempla esudos de peneração harmônica, análise de ressonâncias em insalações eléricas, efeios de harmônicos em máquinas e disposiivos eléricos diversos, denre ouros. Normalmene, a análise de ais problemas limia-se a freqüências de alguns khz [1], enquano que aqueles associados à área de Transiórios e Compaibilidade Eleromagnéica podem envolver fenômenos cuja freqüência predominane siua-se na faixa de dezenas de Khz ou aé mesmo de vários MHz [2, 3, 4]. A íulo de exemplificação, pode-se ciar o fenômeno das sobreensões ransiórias e correnes de modo comum em sisemas de acionameno de moores de indução por meio de inversores PWM. Além da freqüência fundamenal, correspondene à velocidade de operação da máquina, em-se ambém a presença das componenes harmônicas provenienes do chaveameno do inversor, em freqüências múliplas à da onda poradora, as quais apresenam valores da ordem de dezenas e aé algumas cenenas de khz. Exise, ainda, a freqüência das oscilações ransiórias da ensão nos erminais do moor, oriunda da propagação e reflexão dos pulsos, que pode aingir a faixa de MHz, dependendo do amanho do cabo. Por fim, em-se a freqüência equivalene ao empo de subida dos pulsos da forma de onda PWM, que, no caso dos inversores auais, ainge o paamar de MHz [5]. Dessa forma, observa-se que a análise desse problema envolve um amplo especro de freqüências, iniciando-se em alguns Hz e chegando aé a faixa de MHz. Assim sendo, em qualquer um dos casos mencionados nos parágrafos aneriores, em-se que os modelos a serem

2 uilizados para a represenação dos cabos eléricos devem incluir, com boa aproximação, a variação da resisência e induância com a freqüência, possibiliando a obenção de resulados confiáveis a parir de simulações compuacionais. Como exemplo, pode-se ciar as modelagens proposas em [6, 7, 8], as quais foram uilizadas com sucesso nos esudos em que foram empregadas. Um pono em comum enre a maioria delas é a necessidade de se conhecer a resisência e a induância do cabo em diferenes freqüências, informação al que é uilizada como dado de enrada para a elaboração dos modelos. Uma vez que a medição de ais parâmeros requer a uilização de equipamenos de alo cuso, em-se que o mesmo muias vezes enconra-se indisponível ao engenheiro / pesquisador. Além disso, em freqüências mais elevadas, as ressonâncias naurais do cabo podem ser exciadas, ornando difícil o processo de medição e resulando em erros nos valores obidos [9]. Assim sendo, a uilização de méodos analíicos para a deerminação dos parâmeros dos cabos apresena-se como um recurso muio práico e desejável. Nese conexo, no presene rabalho são descrias e analisadas rês diferenes proposas para o cálculo dos parâmeros de cabos isolados. Os resulados obidos de ais formulações simplificadas são comparados com aqueles provenienes da roina Cable Consans do simulador ATP, que uiliza formulações mais complexas e elaboradas. O objeivo é a verificação dos erros advindos de cada um dos méodos e da viabilidade de sua aplicação nas modelagens de cabos onde a inclusão do efeio pelicular é requerida. II. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DE CABOS ELÉTRICOS Nese iem são esudadas rês diferenes proposas para a esimaiva de parâmeros de cabos, aplicáveis a cabos coaxiais composos de conduor, isolação, blindagem e capa exerna. Conforme será viso adiane, a impedância série de um cabo é composa de várias parcelas. Denre elas, pode-se desacar a parcela relaiva ao efeio da erra na circulação das correnes, e é jusamene nese pono que as diferenes abordagens divergem enre si, sendo as demais parcelas comuns a odas elas, obidas de formulações simples e já consagradas [10, 11]. O sisema em análise consise de n cabos que apresenam uma seção ransversal semelhane àquela mosrada na figura 1, onde r 1 é o raio do conduor, r 2 é raio exerno da isolação; r 3 é o raio exerno da blindagem e r 4 é raio exerno da coberura ou capa exerna. A. Caracerização da Mariz de Impedâncias A mariz de impedâncias série do cabo é dada por 1 21 = 31 1 n n n n 1n 2n 3n n n Reporando-se à expressão (1), em-se que os elemenos (1) Conduor Blindagem ou Armação r 1 r2 r 3 r4 Isolane Capa exerna Fig. 1. Represenação da seção ransversal do ipo de cabo em esudo. da diagonal principal ( i ) associam-se à impedância série da malha formada pelo conduor correspondene e a erra. Já os elemenos fora da diagonal principal ( ) represenam a parcela da impedância série associada ao acoplameno múuo enre conduores, e deerminam a ensão induzida longiudinalmene num conduor i quando uma correne elérica circula num conduor j, ou vice-versa. Os ermos resisivos que aparecem em ais elemenos, os quais serão deerminados poseriormene, são inroduzidos pela presença da erra, que represena um caminho poencial de reorno de correne. B. Deerminação dos Elemenos da Mariz de Impedâncias A deerminação da impedância série de cada cabo envolve a soma de diversas parcelas (z 1 a z 7 ), a parir das quais se compõe os elemenos da diagonal principal da mariz ( i ), al como i = z z2 + z3 + z4 + z5 + z6 z7 - z 1 é a impedância inerna do conduor cenral (o conduor propriamene dio); - z 2 é a impedância devido à variação do campo magnéico na isolação; - z 3, z 4 e z 5 são, respecivamene, as impedâncias inerna, múua e exerna da blindagem ou armação; - z 6 é a impedância devido à variação do campo magnéico na coberura; - z 7 é a impedância própria do caminho de reorno pela erra. Caso o cabo seja composo apenas pelo conduor e isolação, reira-se de (2) as parcelas correspondenes à blindagem e capa exerna. Com relação às parcelas z 1 a z 6, em-se que as mesmas podem ser calculadas aravés de equacionamenos radicionais ais como aqueles enconrados em [10, 11], os quais não foram mosrados aqui devido às limiações de espaço. Todavia, no ocane à z 7, em-se que a deerminação da mesma é objeo de esudo de vários rabalhos enconrados na lieraura, cujo foco concenra-se na correa modelagem da erra como um caminho poencial de circulação de correnes. O cálculo de z 7 depende da forma de insalação do cabo, iso é, se o mesmo enconra-se enerrado, ocando o solo ou disposo em bandejas aerradas ou ainda insalado a uma cera alura em relação ao solo. Em cada um desses casos são (2)

3 aplicados equacionamenos específicos, pariculares a cada um. Fórmulas para o cálculo de z 7, assim como para o das parcelas de impedância relacionadas com os acoplamenos múuos (elemenos de (1)), foram desenvolvidas por Carson e Pollaczek [12]. Esas formulações foram empregadas, inicialmene, em circuios de elefonia, mas podem ser usadas ambém para linhas de ransmissão. Ambas conduzem a resulados semelhanes para linhas aéreas, porém aquelas proposas por Pollaczek são mais genéricas e podem ser aplicadas ambém a cabos enerrados. Uma oura abordagem enconrada na lieraura para o cálculo das impedâncias de reorno pela erra foi uilizada por Semlyen e al. [13], a qual, aravés de equações basane simplificadas, produz resulados semelhanes aos obidos com o méodo de Carson, apresenando discrepâncias nunca superiores a 9 %, para freqüências enre 100 Hz e 10 khz, sendo menores em qualquer oura faixa [12]. Para o caso paricular de cabos enerrados, em-se ambém a formulação apresenada por Klewe [12], a qual emprega equações basane simples e fáceis de se implemenar, sendo enão basane araivas. Desa forma, são apresenados, na seqüência, os equacionamenos proposos por odos os auores supraciados, com exceção de Carson, cuja maior complexidade desesimula a sua uilização. C. Méodo de Pollaczec As expressões de Pollaczek [10, 12] para a deerminação de z 7 envolvem uma série infinia, basane complexa. Todavia, aé freqüências basane elevadas, uma simplificação da mesma, proposa por Wedepohl [10], pode ser uilizada, com erros aceiáveis. Uma vez que a formulação das parcelas da impedância série associadas ao acoplameno múuo ( ) ambém é baseada na modelagem da erra como um caminho de reorno, as mesmas podem ser calculadas por expressões semelhanes às de z 7, al como mosrado na seqüência. z µ = γ [ ln( m r / 2) + 1/ 2 4 / m h] [ ln( γ m d / 2) + 1/ 2 2 / m L] µ = 3 - j é o operador complexo; - ω é a freqüência angular da correne; - µ é a permeabilidade magnéica da erra; - γ é a consane de Euler; - µ m = (profundidade de peneração skin); ρ - ρ é a resisividade da erra; - d é a disância enre dois conduores genéricos do sisema, i e j ; - h é a profundidade do cabo em análise, enquano L é a soma das profundidades dos conduores i e j. (3) (4) Embora (3) e (4) esejam paricularizadas para cabos enerrados, as mesmas podem ser uilizadas ambém para cabos na alura do solo, ou insalados em bandejas aerradas. D. Méodo de Semlyen e al. As expressões desenvolvidas por esses auores [12, 13] para o cálculo de z 7 e dos elemenos são, respecivamene, ( h p) µ 2 i + z7 = ln ri µ = ln ( h + h + 2 p) i k d ik 2 + x - h i e h k são as aluras do conduor i e j em relação à erra, respecivamene; - p 1/ m = ; - r i é o raio do conduor i ; - x é o espaçameno horizonal enre os conduores i e j (diferença enre as coordenadas, no eixo horizonal, deses dois conduores, em relação a um mesmo diferencial); - d é a disância enre os conduores i e j. E. Méodo de Klewe Da mesma forma que a formulação represenada por (3) e (4), o presene méodo ambém é direcionado à esimaiva de parâmeros de cabos enerrados; odavia, o mesmo pode ser ambém aplicado a cabos ocando o solo ou disposos em bandejas aerradas. As expressões para a obenção de z 7 e, segundo esa meodologia, são [14] : µ z7 = ln 4 B 2 π 4 µ = ln 2 π 2 π ( r A) + B j ' π ' ( x A) + B j B 4 - r 4 é o raio da coberura ou capa exerna, o qual deve ser subsiuído por r 2 caso o cabo seja composo apenas de conduor e isolação (ver figura 1); - f A = ; ρ 3 ' 3 - B = A l e B = A 2 l ; - l = profundidade do cabo. III. RESULTADOS COMPARATIVOS PROVENIENTES DOS MÉTODOS ANALISADOS As formulações descrias no iem anerior foram implemenadas compuacionalmene, de forma que seus resulados puderam ser analisados e comparados. Embora os erros advindos das mesmas enham sido calculados uilizando como referência os resulados de um méodo (5) (6) (7) (8)

4 igualmene analíico (ATP Cable Consans ), é imporane ressalar que ese úlimo uiliza equacionamenos bem mais complexos e elaborados, consiuindo uma ferramena basane radicional e confiável nos esudos de Engenharia Elérica. Para ese esudo comparaivo, delimiou-se o sisema em análise às seguines caracerísicas: i) seção ransversal do conduor enre 4 mm 2 e 240 mm 2, ii) arranjos geoméricos planar e riangular, iii) cabos disposos sobre o piso ou em bandejas aerradas. Acredia-se que a maioria das insalações indusriais apresene cabeameno com caracerísicas ais que possa ser inserido no conjuno delineado acima. Assim sendo, a roina Cable Consans do ATP foi uilizada para deerminar as resisências e induâncias, próprias e múuas, para diversas freqüências enre 60 Hz e 3 MHz, de conduores de 4, 25, 95 e 240 mm 2. Além disso, com relação a cabos disposos em arranjo planar, considerouse as disâncias de 0, 5, 10 e 30 cm enre os conduores; no que ange os cabos com geomeria riangular, disâncias enre 0 e 10 cm foram avaliadas. Em seguida, odos esses casos foram reproduzidos uilizando-se os rês méodos de esimaiva ciados aneriormene, cujos erros, em relação ao ATP, foram enão deerminados. Como produo desse esudo, uma grande quanidade de resulados foi obida, cujo coneúdo, após devidamene organizado, foi uilizado para gerar diversos gráficos. Denre eles, alguns foram selecionados e enconram-se mosrados a seguir, ilusrados pelas figuras 2 aé 5. Com base nos resulados obidos, valem os seguines comenários (sub-iens A aé D): A. Induância própria Conforme pode ser observado na figura 2, o méodo de Klewe produziu os menores erros denre os méodos analisados, mas endo o méodo de Semlyen siuado-se bem próximo ao mesmo. O equacionameno de Pollaczek resulou em erros bem maiores que aqueles relaivos aos ouros dois, mas que ainda podem ser considerados saisfaórios. Somene em siuações muio pariculares (freqüências inferiores a 600 Hz e cabos de 25 e 95 mm 2 ) é que esse úlimo foi mais eficiene que os demais. Noa-se, ainda, que odos os méodos apresenaram erros mais elevados no caso de cabos de biolas menores e freqüências inferiores a Hz. B. Resisência própria No caso dese parâmero, os rês méodos analisados apresenaram resulados muio próximos enre si, apesar de o méodo de Pollaczek, para freqüências mais elevadas, começar a divergir e produzir erros maiores (figura 3). De qualquer forma, a esimaiva da resisência série dos cabos apresenou-se muio eficiene, endo-se erros máximos de aproximada-mene 3,2 % para odos os méodos. A única exceção fica para o cabo de 4 mm2, onde um erro de 17,5 % foi obido na freqüência de 50 khz. Observou-se que, quano maior o diâmero do conduor, menor é a freqüência onde o máximo erro ocorre. C. Induâncias múuas No que ange as induâncias múuas, percebe-se que, para qualquer um dos méodos avaliados, os erros aumenam an - (a) (b) Fig. 2. Erros em função da freqüência obidos na esimaiva da induância própria pelos méodos de Klewe (azul), Pollaczek (preo) e Semlyen (verde). Cabos de (a) 25 mm 2 e (b) 240 mm 2. o com a seção ransversal dos conduores como com o espaçameno enre os mesmos. Com exceção de alguns poucos casos, o méodo de Semlyen mosrou-se muio mais exao que os demais, exibindo erros bem pequenos (aproximada-mene 2,5 %), mesmo nas freqüências exremas. Na seqüência, em-se o méodo de Pollaczek, com erros bem maiores, e, por úlimo, o méodo de Klewe, com os maiores erros, al como ilusrado pela figura 4. D. Resisências múuas No caso dese parâmero, os erros obidos foram muio pequenos, independenemene da biola e do espaçameno enre conduores, assim como do méodo uilizado. Observou-se que os erros aumenam ano com o aumeno da seção do conduor como com a freqüência, mas independem do espaçameno enre os cabos (por essa razão, somene o resulado para disância igual a zero foi mosrado). Além disso, conforme mosrado pela figura 5, os méodos de Klewe e Pollaczek produziram resulados muio próximos enre si, mas com erros bem superiores àqueles provenienes das equações de Semlyen. De modo a se esabelecer uma classificação dos rês méodos avaliados, considerando-se os limies dos casos esudados, pode-se dizer que, de modo geral, a meodologia de Semlyen mosrou-se a mais eficiene denre odas as avaliadas, sendo, porano, aquela mais indicada e preferível

5 (a) (a) (b) Fig. 3. Erros em função da freqüência obidos na esimaiva da resisência própria pelos méodos de Klewe (azul), Pollaczek (preo) e Semlyen (verde). Cabos de (a) 25 mm 2 e (b) 240 mm 2. a ser uilizada. Apesar de al méodo apresenar erros ligeiramene maiores que o de Klewe com relação à induância série, o mesmo é muio mais exao no caso da esimaiva das induâncias múuas e consideravelmene superior no que se refere às resisências múuas. Com relação à resisência série, em-se que ambos são muio próximos. (b) Fig. 4. Erros em função da freqüência obidos na esimaiva da induância múua enre os conduores 1 e 2, pelos méodos de Klewe (azul), Pollaczek (preo) e Semlyen (verde). Cabos de 240 mm2. Arranjo planar, onde d é a disância enre os conduores. Cabem ainda as seguines observações: i) Apesar da resisência em correne conínua ser inversamene proporcional à área da seção ransversal do conduor, noou-se que, para freqüências da ordem de algumas cenenas de khz, as resisências dos diversos cabos analisados convergiram para valores muio próximos enre si. ii) Como a formulação de Semlyen e al. foi desenvolvida para cabos aéreos, é conveniene analisar, mesmo que de maneira superficial, se al meodologia produz resulados razoáveis quando empregada em cabos suberrâneos, de modo a expandir a sua aplicação. Observou-se que os parâmeros resisivos e induivos de um cabo, quando enerrado a profundidades pequenas, como 30 ou 50 cm, por exemplo, não divergem muio daqueles relaivos ao posicionameno aéreo próximo ao nível do solo. Como exemplo, pode-se ciar um arranjo planar de cabos de 95 mm2, espaçados de 10 cm: a máxima diferença enconrada nos ermos resisivos foi inferior a 7 % para freqüências de Fig. 5. Erros em função da freqüência obidos na esimaiva da resisência múua enre os conduores 1 e 2, pelos méodos de Klewe (azul), Pollaczek (preo) e Semlyen (verde). Cabos de 240 mm 2. Arranjo planar, onde d é a disância enre os conduores. aé 1 MHz, enquano que, no caso dos parâmeros induivos, as discrepâncias observadas foram sempre inferiores a 1,5 %. iii) Uma vez que o méodo de Semlyen e al. mosrou-se o mais eficiene nas análises realizadas, o mesmo foi enão uilizado na modelagem de cabos indusriais para a

6 deerminação das correnes de modo comum presenes em sisemas de acionameno de moores aravés de inversores, onde resulados muio saisfaórios foram obidos, conforme apresenado em [3]. Além disso, com esa mesma modelagem supraciada, foram deerminadas com basane êxio ambém as sobreensões ransiórias nos erminais do moor, onde resulados praicamene idênicos àqueles mosrados em [6] foram obidos. IV. CONCLUSÃO Nese rabalho, os resulados provenienes de rês diferenes formulações para a esimaiva de parâmeros de cabos foram comparados. Os méodos analisados apresenam equacionameno basane simples e conduzem a resulados muio saisfaórios, conforme pôde ser observado. Uma vez que a medição dos seus parâmeros mosra-se muias vezes inviável, ais equações consiuem uma ferramena muio úil na modelagem de cabos isolados para esudos em ala freqüência. Considerando as caracerísicas do sisema de cabos que foi analisado, o méodo que produziu menores erros foi aquele proposo por Semlyen e al., o qual recomenda-se enão ser empregado na elaboração dos modelos. AGRADECIMENTO À Fapemig, pelo apoio financeiro. REFERÊNCIAS [1] Arrilaga, J. e Wason, N. R., Power Sysem Harmonics, Ediora John Wiley and Sons, Second Ediion, [2] Imece, A. F. e al., Modeling Guidelines for Fas Fron Transiens Repor Prepared by he Fas Fron Transien Task Force of he IEEE Modeling and Analysis of Sysem Transiens Working Group, IEEE Transacions on Power Delivery, p , vol. 11, n. 1, [3] Paula, H., Chaves, M. L. R., Andrade, D. A., Domingos, J. L. e Freias, M. A. A., Circulação de Correnes de Terra em Insalações Indusriais devido a Inversores PWM: Uma Proposa para a sua Deerminação, VII Conferência Inernacional de Aplicações Indusriais, Recife, PE, [4] Paul, C. R., Inroducion o Elecromag-neic Compaibiliy, Ediora John Wiley and Sons, Second Ediion, [5] Saunders, L. A., Skibinski, G. L., Evon, S. T. e Kempkes, D. L., Riding he Refleced Wave IGBT Drive Technology Demands New Moor and Cable Consideraions, IEEE 43rd IAS Annual Meeing, pp , Sepember [6] Paula, H., Chaves, M. L. R., Andrade, D. A., Domingos, J. L. e Freias, M. A. A., An Efficien Cable Modeling Technique for Transien Overvolage Sudies in PWM Moor Drives, VII Congresso Brasileiro de Elerônica de Poência, Recife, PE, [7] A. F. Moreira, T. A. Lipo, G. Venkaaramanan e Berne, S.,High frequency Modeling for Cable and Inducion Moor Overvolage Sudies in Long Cable Drives, IEEE Trans. on Indusry Applicaions, vol. 38, n. 5, pp , [8] Oliveira, J. C., Paulsen, R. J., Amaral, M. A., Andrade, D. A. e Araújo, S. C. N., Elecrical Transmission Sysem wih Variable Frequency Through Long Lengh Cable, Offshore Technology Conference, Houson, May [9] Vendrúsculo, E. A., Esudo e Implemenação de Esraégia para a Minimização de Sobreensões Produzidas por Inversores PWM em Sisemas de Acionameno de Moores Eléricos com Cabos Longos, Tese de douorado, Universidade Esadual de Campinas, [10] Wedepohl, L.M. e Wilcox, D.J., Transien Analysis of Underground Power Transmission Sysems, IEE Procedures, vol. 120, n.2, p , February [11] Ameani, A., A General Formulaion of Impedance and Admiance of Cables, IEEE Transacions on Power Apparaus and Sysems, p , vol. 99, n. 3, May/June [12] ATP Theory Book. [13] Semlyen, e al., The complex Ground Reurn Plane: a Simplified Model for Homogeneous and Muli-Layer Earh Reurn, IEEE Trans. on Power App. and Sysems, v. 100, 1981 [14] Indulkar, C. S., Kumar, P. e Kohari, D. P., Sensiiviy Analysis of Modal Quaniies for Underground Cables, IEE Procedures, p , vol. 128, n. 4, July BIOGRAFIAS Hélder de Paula, nascido em Dezembro de 1975, graduou-se em Engenharia Elérica, com ênfase em Sisemas de Poência, em 1998, na Universidade Federal de Uberlândia (UFU). Obeve os íulos de mesrado e douorado pela mesma insiuição, em 2001 e 2005, respecivamene. Aualmene é professor adjuno do Deparameno de Engenharia Elérica da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e membro do LAI Laboraório de Aplicações Indusriais, dese mesmo deparameno. Suas áreas de maior ineresse são: acionamenos de máquinas eléricas, ransiórios e compaibilidade eleromagnéica e qualidade da energia. Marcelo Lynce Ribeiro Chaves nasceu em Ouubro de Graduou-se em Engenharia Elérica pela UFU em Recebeu o diploma de mesre em 1985, pela UFU, e o de douor em 1995, pela UNICAMP. Aualmene é professor iular na Faculdade de Engenharia Elérica da UFU. Suas linhas de pesquisa são principalmene: acionamenos eléricos, ransiórios eleromagnéicos, modelagem de ransformadores. André Weber Cirino, nascido em Ouubro de 1985, ingressou na Universidade Federal de Minas Gerais em 2005, onde cursa aualmene o 6º período do curso de Engenharia Elérica, com ênfase em Sisemas de Energia. No momeno, desenvolve um projeo de iniciação cienífica relaivo à modelagem de cabos isolados aravés da Análise de Elemenos Finios (FEA).