MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA Órgãos de Máquinas II
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- João Henrique Ferreira Rios
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1 METRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA Elbordo e revisto por Pulo Flores, José Gomes, Nuno Dourdo e Filipe Mrques - 07 Deprtmento de Engenhri Mecânic Cmpus de Aurém Guimrães - PT Tel: Fx: E-mil: pflores@dem.uminho.pt URL: Deprtmento de Engenhri Mecânic Cmpus de Aurém Guimrães - PT Tel: Fx: E-mil: jgomes@dem.uminho.pt URL: Deprtmento de Engenhri Mecânic Cmpus de Aurém Guimrães - PT Tel: Fx: E-mil: nunodourdo@dem.uminho.pt URL: Deprtmento de Engenhri Mecânic Cmpus de Aurém Guimrães - PT Tel: Fx: E-mil: fmrques@dem.uminho.pt URL:
2 T.07 ENGRENAGEN CÓNICA. Introdução. Gerção do Dente 3. Nomencltur 4. Trçdo Aproximdo de Tredgold 5. Relções Geométrics 6. Prâmetros de Desempenho 7. Hipoides 8. Revisão de Conhecimentos 9. Referêncis Bibliográfics
3 . Introdução Tipos de Engrengens Cónics As engrengens cónics são utilids ns situções em que os eixos ds rods motor e movid são concorrentes. As engrengens cónics podem ter dentes retos, inclindos e espiris ou curvos, podendo ind presentr eixos descentrdos (hipoides). A figur ilustr estes tipos de engrengens cónics. Fig. Principis tipos de Engrengens cónics. Deve referir-se que ns hipoides, os eixos ds rods estão descentrdos. Este tipo de engrengem é ds mis silencioss e present um excelente cpcidde de crg devido à mior áre de contcto entre os flncos dos dentes. Contudo, s hipoides presentm rendimentos mis bixos, germ mior quntidde de clor e requerem, por isso, lubrificntes especiis, vulgo, lubrificntes de elevd viscosidde.. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Relções 5. Prâmetros 6. Trçdo 7. Rods 8. Revisão 9. Referêncis 3
4 . Introdução Relção de Trnsmissão e Ângulo de Conicidde Ns engrengens cónics s relções de trnsmissão são, em gerl, mis bixs do que ns engrengens cilíndrics, podendo tingir, no máximo vlores d ordem de 6:. N miori dos csos, s engrengens cónics funcionm em trnsmissões cujos eixos de rotção fem entre si um ângulo de 90º. Embor não sej tão frequente, há tmbém situções prátics em que os eixos ds rods presentm um ângulo inferior ou superior 90º. O diferencil dos utomóveis é indubitvelmente o mis populr e conhecido exemplo de plicção de engrengens cónics, tl como o que se ilustr n figur. Fig. Diferencil de um utomóvel. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 4
5 . Gerção do Dente uperfícies Primitivs, Cones Primitivos Ns engrengens cónics s superfícies primitivs têm form cónic e rolm sem escorregr um em relção à outr. As superfícies primitivs ns engrengens cónics são frequentemente denominds de cones primitivos, tl como os que se mostrm n figur 3. Pr que dus rods cónics funcionem corretmente, os seus eixos devem crur-se no mesmo vértice, o ponto representdo n figur 3. Durnte o movimento reltivo de dus rods cónics, o qul é teoricmente do tipo esférico, cd ponto d engrengem permnece à mesm distânci do vértice. Cone primitivo Fig. 3 Representção dos cones primitivos de um engrengem cónic.. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 5
6 . Gerção do Dente Método d Evolvente Tl como no cso ds engrengens cilíndrics, tmbém ns engrengens cónics os perfis dos dentes podem ser definidos pelo trçdo em evolvente. Ns primeirs consider-se um circunferênci de bse, obtendo-se um evolvente cilíndric, enqunto ns segunds se utili um cone de bse, resultndo, deste modo, um evolvente esféric. A evolvente esféric ext pode obter-se pelo rolmento puro de um círculo gerdor sobre o cone de bse. O círculo gerdor é concêntrico e tngente o cone de bse, como se ilustr n figur 4, em que o rco PP represent prte d evolvente esféric ext que result d trjetóri descrit pelo ponto P pertencente à linh gertri do elemento gerdor, qundo este último rol sem escorregr sobre o cone de bse. Círculo gerdor Gertri P P Cone de bse Fig. 4 Evolvente esféric ext em engrengens cónics 6. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis
7 . Gerção do Dente Perfil Exto e Perfil Aproximdo As engrengens cónics em evolvente esféric têm reltivmente pouco interesse prático em virtude d dificuldde em obter rods com o perfil exto. N verdde, os perfis dos dentes ssim obtidos presentm um flnco curvo com um ponto de inflexão, (ver figur 5). () (b) Fig. 5 Perfis de dentes de rods cónics Por isso, n prátic prefere-se o perfil pirmidl ou trpeoidl pr form dos dentes ds engrengens cónics, em detrimento do perfil exto (ver figur 5b). N figur 6 represent-se um secção de um engrengem cónic qundo est é intersetd por um superfície esféric cujo centro é coincidente com o vértice virtul dos eixos ds rods. Os perfis dos dentes que se obtêm deste modo correspondem os perfis extos dos dentes. Dqui pode inferir-se que o perfil dos dentes ument com o umento d superfície esféric considerd. Pode observr-se que ns rods cónics geometri de contcto deve ser exmind num superfície esféric. Fig. 6 ecção esféric de engrengem cónic. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 7
8 . Gerção do Dente Engrenmento Octoide A figur 7 di respeito o engrenmento de dus rods cónics em que form dos dentes não é gerd em evolvente esféric. N verdde, neste engrenmento existe um pequeno desvio em relção o perfil exto, em virtude ds superfícies dos dentes serem constituíds por fces plns. Como consequênci, linh de ção ou de engrenmento present form de oito, sendo, por isso, o perfil denomindo de octoide. Neste tipo de perfil de dente se consider um rod coro, qul present um relção semelhnte à cremlheir no cso ds engrengens cilíndrics. Neste tipo de engrenmento, rod coro rod cónic, s fces dos dentes são plns que crum com o centro d esfer teóric, como se mostr n figur 7b. () (b) Fig. 7 Representção do engrenmento de dus rods cónics 8. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis
9 . Gerção do Dente Engrengens Cónics de Dentes Retos A figur 8 di respeito à representção simplificd de um engrengem cónic de dentdo reto. Neste cso prticulr, observ-se que os dentes ds rods motor e movid concorrem no vértice dos cones primitivos. N figur 9 ilustrm-se s diferençs entre o dentdo em evolvente esféric e dentdo pirmidl pr o cso ds engrengens cónics de dentes retos. Fig. 8 Dentdo reto Evolvente esféric Perfil pirmidl Fig. 9 Diferentes perfis de dentes N figur 0 represent-se, um engrengem cónic de dentes inclindos. Deve notr-se que neste cso s superfícies dos dentes não concorrem pr o mesmo vértice virtul dos cones primitivos. A figur ilustr perfis de dentes em evolvente esféric e pirmidl desenvolvidos pr o cso de engrengens cónics de dentes inclindos ou helicoidis.. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 9
10 . Gerção do Dente Engrengens Cónics de Dentes Inclindos e Curvos Evolvente esféric Perfil pirmidl Fig. 0 Fig. A figur mostr um engrengem cónic de dentes espiris ou curvos. Fig.. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 0
11 3. Nomencltur Prâmetros Geométricos N figur 3 estão representdos os principis prâmetros geométricos e termos utilidos n crterição de um engrengem cónic. Listm-se de seguid lguns prâmetros e termos ssocidos às rods cónics: ângulo de conicidde d ângulo de cone primitivo d ângulo de cone de coro d f ângulo de cone de ri n ângulo de ltur do dente n ângulo de sliênci n f ângulo de ri R gertri primitiv R m gertri médi b lrgur do dentdo m módulo exterior d engrengem d Círculo médio Diâmetro de pé, d f Diâmetro primitivo, d Diâmetro de cbeç, d Cone interior Cone de cbeç Cone primitivo Cone de pé Cone exterior Fig. 3 Nomencltur fundmentl de um engrengem cónic. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis
12 3. Nomencltur Prâmetros Geométricos e Proporções dos Dentes Deve desde já referir-se que no cso ds rods cónics, o psso é definido n extremidde exterior do dentdo sobre os cones primitivos. O estbelecimento ds relções mtemátics entre o módulo, o psso, o número de dentes e os diâmetros primitivos são s mesms que se considerm pr s engrengens cilíndrics, ou sej d m d m p mπ No tinente às proporções dos dentes, no cso ds rods cónics considerm-se s mesms que no cso ds engrengens cilíndrics, isto é h m h f, 5m h, 5m. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis
13 4. Trçdo Aproximdo de Tredgold Rod Cilíndric Equivlente O trçdo de Tredgold bsei-se no fcto de um cone tngente um esfer, no ponto primitivo de um engrengem cónic, presentr um superfície muito próxim d de um esfer, qundo quel está n viinhnç do ponto primitivo (ver figur 4). O cone referido é denomindo de cone complementr e pode ser plnificdo. O perfil dos dentes de rods cónics, qundo definido n prte de trás do cone ou cone complementr, é idêntico o que se obtém pr um rod cilíndric com um diâmetro primitivo equivlente, tl como se represent n figur 4b. uperfície esféric Cone complementr r r e Cone primitivo Ponto primitivo () (b) Fig. 4 () Representção do trçdo proximdo de Tredgold; (b) Representção d rod cilíndric equivlente 3. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis
14 4. Trçdo Aproximdo de Tredgold Rod Cilíndric Equivlente A figur 5 ilustr um engrengem cónic e correspondente engrengem cilíndric equivlente formd prtir dos respetivos cones complementres. A engrengem equivlente é construíd prtir dos rios equivlentes representdos n figur 5. Os rios equivlentes correspondem à gertri dos cones complementres. r r e d d r r e Fig. 5 Engrengem cónic e engrengem cilíndric equivlente D nálise d figur 5 observ-se que os rios equivlentes são ddos por r e r cosd r e r cosd. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 4
15 4. Trçdo Aproximdo de Tredgold Número de Dentes Equivlente O número de dentes ds rods cilíndrics equivlentes pode ser determindo do seguinte modo e cosd e cosd Pode verificr-se que o número de dentes equivlente não é, necessrimente, um número inteiro. Um ve que o número de dentes equivlente é sempre superior o número de dentes rel, um engrengem cónic present um funcionmento mis suve do que um engrengem cilíndric com o mesmo número de dentes. Tl fcto, decorre d existênci de miores comprimentos de condução. Deve ind slientr-se que engrengem cónic e engrengem cilíndric equivlente presentm o mesmo módulo. Com efeito, o estudo dos prâmetros de desempenho de um engrengem cónic pode ser levd cbo considerndo nálise d engrengem cilíndric equivlente, virtul ou imginári, em que o número de dentes é ddo pels expressões nteriores. Considere um engrengem cónic exterior de dentdo reto cujo ângulo primitivo do pinhão é igul 8,43º. O ângulo de conicidde ds rods é igul 90º. Atendendo que o pinhão e rod têm, respetivmente, 6 e 48 dentes, determine o número de dentes formtivo d engrengem cilíndric equivlente. Respost: e = 6,86 e = 5,83. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 5
16 5. Relções Geométrics Relção de Trnsmissão Considere-se figur 6, reltiv à representção esquemátic de um engrenmento cónico, cujs velociddes de rotção são, respetivmente, w e w. Aind nest figur está representdo o eixo instntâneo de rotção, I, d engrengem, em que I denot o ponto primitivo exterior w d d w w A I Por definição, velocidde liner do ponto primitivo é dd por B v v IAw IBw Fig. 6 Engrenmento cónico ou sej i w w IB IA Atendendo que IA Isend e IB Isend result que w send i w send. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 6
17 5. Relções Geométrics Posições Reltivs dos Cones Primitivos Conforme se trte de engrengens exteriores ou interiores, o estbelecimento do vlor do ângulo formdo entre os eixos ds rods permite distinguir cinco posições reltivs dos cones primitivos de dus rods cónics. A figur 7 ilustr esquemticmente ests cinco situções distints. d d d d d d () (b) (c) d d d d =90º (d) (e) Fig. 7 Posições reltivs dos cones primitivos em engrengens cónics: () Engrengem exterior, =90º; (b) Engrengem exterior, <90º; (c) Engrengem exterior, >90º; (d) Engrengem interior, <90º; (e) Engrengem interior com rod pln, >90º. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 7
18 5. Relções Geométrics Posições Reltivs dos Cones Primitivos Pr engrengens exteriores em que =90º tem-se que d d tgd Σ tgd w i w cotg send send sen(90 -d ) send d Pr engrengens exteriores em que <90º tem-se que tgd senσ cos Σ d Σ d. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 8
19 5. Relções Geométrics Posições Reltivs dos Cones Primitivos Pr engrengens exteriores em que >90º tem-se que tgd d Σ d sen(80 Σ) cos(80 Σ) Pr engrengens interiores em que <90º tem-se que senσ tgd senσ d d Σ Pr engrengens interiores em que >90º, sendo rod pln, tem-se que d 90º d Σ d. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 9
20 5. Relções Geométrics Proporções dos Dentes Ns engrengens cónics s proporções dos dentes são estbelecids n extremidde exterior dos dentes sobre s circunferêncis primitivs h m h f, 5m send tgn,5send tgn f d sen( d n ) d send cosn d h cosd d f sen( d n ) f d send cosn f d h f cosd R R m d send R b r r. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 0
21 Relção de Condução Pr engrengens cónics de dentes retos, relção de condução pode ser clculd do seguinte modo Pr engrengens cónics de dentes inclindos, relção de condução é escrit d seguinte form onde o primeiro termo do segundo membro dest equção é ddo por em que t denot o ângulo de pressão prente, b represent o ângulo de inclinção primitivo, sendo e e e o número de dentes equivlente e b di respeito à lrgur dos dentes. 6. Prâmetros de Desempenho T.07 ENGRENAGEN CÓNICA. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis sen sen 4 sen 4 πcos e e e e e e t t t m b m l π tg cos π b t e e e t e e t e t b b b b sen cos cos sen 4 cos cos sen 4 πcos
22 6. Prâmetros de Desempenho Rendimento e Interferêncis Relembre-se que o ângulo de pressão rel ( n ), o ângulo de pressão prente ( t ) e o ângulo de inclinção d hélice primitiv (b) podem relcionr-se do seguinte modo tg tg cosb n t Por seu ldo, o módulo rel (m n ) e o módulo prente (m t ) relcionm-se d seguinte form m m cosb n t No cálculo do rendimento ns engrengens cónics podem ser considerds s expressões presentds pr os csos ds engrengens cilíndrics de dentes retos ou helicoidis um ve obtids s engrengens equivlentes correspondentes utilindo pr o efeito o trçdo proximdo de Tredgold. Do mesmo modo, temátic ds interferêncis de funcionmento pode ser nlisd tendo em considerção s expressões reltivs às engrengens cilíndrics de dentdo reto ou de dentdo inclindo, desde que se substitum o vlor de e pelos números de dentes equivlentes, resultndo cosd cosd cosd cosd Qundo tende pr infinito, est equção pode ser simplificd do seguinte modo cosd sen 4cosd sen. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis cosd cosd
23 7. Hipoides Forms dos Dentes Tl como no cso ds engrengens cilíndrics, ns engrengens cónics o dentdo reto é bstnte utilido um ve que o seu projeto e fbrico são reltivmente simples de concretir. A montgem ds engrengens cónics de dentes retos deve ser bstnte cuidd de modo grntir o bom funcionmento. Contudo, qundo s velociddes de funcionmento são elevds, s engrengens cónics de dentes retos são ss ruidoss. Com o intuito de obter engrenmentos mis suves utilim-se rods cónics com dentes curvos, tl como se ilustr n figur 8. O ângulo de pressão neste tipo de dentdo é, em gerl, o mesmo que se consider pr o dentdo reto, ou sej, =0º. Por seu ldo, o ângulo de espirl é normlmente igul 35º. Qundo o ângulo de espirl é nulo, o dentdo denomin-se de dentdo erol. r Fig. 8 Diferentes forms de dentes de rods cónics. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 3
24 7. Hipoides Rods Cónics Descentrds As hipoides são engrengens mis suves que s engrengens cónics de dentes curvos e proporcionm mior cpcidde de trnsmissão de crg. N verdde, ns hipoides proporcionm um mior número de dentes em contcto o mesmo tempo, tornndo o engrenmento mis silencioso. Como inconvenientes, s hipoides têm um funcionmento que combin rolmento com escorregmento. Qunto mior for o descentrmento dos eixos ds rods, mior será o escorregmento entre s superfícies dos dentes. Por isso, s hipoides presentm rendimentos mis bixos devido o escorregmento existente e requerem utilição de lubrificntes dequdos às crgs e temperturs em jogo. Fig. 9 Ilustrção de um engrengem hipoide. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 4
25 8. Revisão de Conhecimentos Pergunts de Revisão Apresent-se, de seguid, um conjunto diversificdo de questões reltivs os principis spetos relciondos com temátic ds engrengens cónics: Apresente qutro tipos de engrengens cónics. Descrev s principis plicções ds engrengens cónics. Descrev sucintmente o processo de trçdo de perfis de dentes pr engrengens cónics. Disting perfil exto de perfil proximdo ns rods cónics. Defin ângulo de conicidde de um engrengem cónic. Defin ângulo primitivo de um rod cónic. Pr s engrengens cónics, dig em que on ds rods se define o psso. Dig em que consiste o trçdo proximdo de Tredgold. Dig como se pode obter o número de dentes formtivo ou imginário de um rod cónic. Dig o que entende por rod cilíndric equivlente. Represente grficmente um rod cónic e correspondente rod cilíndric equivlente. Dig como podem ser definidos os ângulos de conicidde em engrengens cónics. Descrev s principis crterístics ds hipoides. Considere um engrengem cónic de dentes helicoidis cujo ângulo de conicidde é igul 90º. Atendendo que relção de trnsmissão é igul 4, o ângulo de inclinção primitiv é igul 30º e que o pinhão tem 5 dentes, determine o número de dentes equivlentes. Considerndo que lrgur dos dentes é de 30 mm, clcule relção de condução dest engrengem.. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 5
26 9. Referêncis Bibliográfics Bibliogrfi Recomendd Apresentm-se em seguid s principis fontes bibliográfics utilids n preprção deste documento: Brnco, C.M., Ferreir, J.M., d Cost, J.D., Ribeiro, A.. (009) Projecto de Órgãos de Máquins. ª Edição, Fundção Clouste Gulbenkin, Lisbo. Budyns, R.G., Nisbett, J.K. (0) Elementos de Máquins de higley. 8ª edição McGrw-Hill, Brsil. Flores, P., Gomes, J. (04) Cinemátic e Dinâmic de Engrengens.. Aspetos Geris sobre Engrengens.,, publicção intern, Guimrães, Portugl, 4p. Flores, P., Gomes, J. (04) Cinemátic e Dinâmic de Engrengens.. Engrengens Cilíndrics de Dentes Retos.,, publicção intern, Guimrães, Portugl, 44p. Flores, P., Gomes, J. (05) Cinemátic e Dinâmic de Engrengens. 4. Engrengens Cónics.,, publicção intern, Guimrães, Portugl, 7p. Flores, P., Gomes, J. (05) Cinemátic e Dinâmic de Engrengens: Teori e Exercícios de Aplicção. Publindústri, Porto. Henriot, G. (979) Trité Théorique et Prtique des Engrenges. Editor Dunod. Juvinll, R.C., Mrshek, K.M. (006) Fundmentls of Mchine Component Design. John Wiley nd ons, New York. Wilson, C.E., dler, J.P. (993) Kinemtics nd Dynmics of Mchinery. nd Edition, Hrper Collins College Publishers, New York.. Introdução. Gerção 3. Nomencltur 4. Trçdo 5. Relções 6. Prâmetros 7. Hipoides 8. Revisão 9. Referêncis 6
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