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1 CPV seu Pé Direito no INSPER INSPER Resolvida 5/novembro/0 Prova A (Verde) ANÁLISE quantitativa e lógica 0 Por um terminal de ônibus passam dez diferentes linhas A mais movimentada delas é a linha : quatro em cada sete usuários do terminal viajam nessa linha Cada uma das demais linhas transporta cerca de 00 usuários do terminal por dia Considerando que cada passageiro utiliza uma única linha, a linha transporta por dia cerca de a) 500 usuários do terminal b) 900 usuários do terminal c) 000 usuários do terminal d) 5600 usuários do terminal e) 800 usuários do terminal Sendo x, o total de passageiros, temos: Então, o número de passageiros que utilizam a linha é: x = 00 9 Þ x = = 5600 Alternativa D 0 Considere o produto abaixo, cujos fatores são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas medidas, em graus, são números inteiros pertencentes ao intervalo [9, 69] P = cos 9º cos 9º cos 9º cos 68º cos 69º Nessas condições, é correto afirmar que a) < P < b) < P < 0 c) P = 0 d) 0 < P < e) < P < P = cos 9º cos 9º cos 9º cos 68º cos 69º P = cos 69º cos 9º cos 68º cos 9º cos 67º cos 9º cos 8 cos 79º cos 80º cos 60º + cos 78º P = ( + cos 78º P = ( ) ( ) ( cos 60º + cos 76º ) ( ) ( + cos º + cos 76º ) ( cos 60º + cos 7º cos 60º + cos º ) ( ) cos 80º + cos º + cos 9º + cos 88º ) ( ) ( ) cos 80º P = ( cos 78º ) ( cos 76º ) ( cos 9º ) ( ) No produto, cada fator é positivo e menor que, com excessão do último que vale ( ) Assim, < P < 0 Alternativa B CPV inspernov0

2 INSPER 5//0 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades Texto para as questões 0 e 0 Em um curso de computação, uma das atividades consiste em criar um jogo da memória com as seis cartas mostradas a seguir 0 Suponha que o primeiro jogador tenha virado as duas cartas mostradas abaixo Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo Em seguida, o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par 0 A probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira tentativa é a) b) c) d) e) 5 6 A primeira carta escolhida pode ser qualquer uma delas A segunda carta terá que ser igual à primeira Assim, temos: P = = 5 Alternativa D Como não foi feito par, o programa desvira as duas cartas e é a vez do segundo jogador, que utiliza a seguinte estratégia: ele vira uma das quatro cartas que não foi virada pelo primeiro jogador Se a carta virada for um quadrado ou um triângulo, ele certamente forma um par, pois sabe onde está a carta correspondente Caso contrário, ele vira uma das outras três cartas que ainda não foram viradas A probabilidade de que o segundo jogador forme um par usando a estratégia descrita é a) 5 b) 8 c) d) 5 e) 6 Na primeira carta virada pelo segundo jogador, haverá de chances deste obter o triângulo ou quadrado Haverá também de chances deste virar o círculo Ocorrendo o segundo caso, o segundo jogador terá, na segunda virada, de chance de virar novamente o círculo Assim, temos: P = + = Alternativa C CPV inspernov0

3 seu Pé direito nas MelhoRes Faculdades insper 5//0 05 A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei f(x) = (sen x + cos x) (sen x cos x) 06 A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que André representou três navios nas posições dadas pelas coordenadas B, B e M Cada navio está identificado por um quadrado sombreado O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a a) b) c) d) e) 5π π 9 π 8 5π 6 π f (x) = (sen x + cos x) (sen x cos x) f (x) = [(sen x + cos x) + (sen x cos x) ] [(sen x + cos x) (sen x cos x) ] f (x) = [ + sen x cos x + sen x cos x] [ + sen x cos x + sen x cos x] f (x) = [] [ sen cos x] f (x) = 8 sen x cos x para x = a, temos: 8 sen a cos a = sen a cos a = sen (a) = sen (a) = André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante dos centros dos três quadrados onde foram posicionados os navios Para isso, a base deverá estar localizada no quadrado de coordenadas: a) G8 b) G9 c) H8 d) H9 e) H0 A quadrícula equidistante deverá estar na mediatriz de B B, ou seja, na coluna 8 Assim temos apenas duas alternativas possíveis (G8 e H8) entre as apresentadas Tomando a quadrícula G8, podemos construir triângulos congruentes, cujos catetos medem 7 e 6 quadrículas, como na figura, o que não será possível na quadrícula H8 7 6 No gráfico, observamos que é pedido o segundo valor positivo para a Assim: a = 5π Þ a = 5π 6 Alternativa A Alternativa A inspernov0 CPV

4 insper 5//0 seu Pé direito nas MelhoRes Faculdades 07 Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura 08 Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB = b e AD = h, que foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos E F e G H As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto A área da parte revestida, em cm, é igual a a) 7( + ) b) 6(6 + 5 ) c) 08( + 5 ) d) 7(8 + 7 ) e) 5( + 7 ) O 6 No triângulo AOB, temos AB = Þ AB = 6 Na face ABC, calculamos a altura h: h A 6 A 6 C h + () = (6 ) h = 7 B cm As retas E F, B D e G Hsão paralelas Dessa forma, sendo AE = x e AF = y, a razão x b é igual a a) b) c) d) e) 6 6 A área do triângulo AEF é da área do retângulo A área do triângulo ABD é da área do retângulo Logo, a razão entre as áreas de AEF e ABD é: A ΔAEF A ΔABD = = Como E F // B D, os triângulos AEF e ABD são semelhantes e podemos escrever: B A área da parte revestida é: A = 6 (6) C 7 Þ A = 5 ( + 7) cm Alternativa E x b = K A ΔAEF A ΔABD = K x ( b ) = Þ x b = 6 Alternativa E CPV inspernov0

5 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 5//0 09 As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de metros, conhecidos como Octógonos Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um Octógono decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles 0 De acordo com estimativa do Fundo Monetário Internacional, o Produto Interno Bruto (PIB) da China em 0 foi de 8 trilhões e 7 bilhões de dólares Considerando que a população desse país em 0 era de aproximadamente bilhão e 57 milhões de habitantes, pode-se concluir que o PIB por habitante da China em 0 foi da ordem de a) 6 dólares b) 60 dólares c) 600 dólares d) 6 mil dólares e) 60 mil dólares PIB = 8 trilhões e 7 bilhões de dólares = 8,7 0 População = bilhão e 57 milhões de dólares =, O PIB por habitante é dado por: A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do Octógono Se a área desse quadrado é S, então a área do Octógono vale PIB 8,7 0 = população,57 0 9» 6 0 = 6000 dólares Alternativa D a) S( + ) b) S( + ) c) S( + ) d) S( + ) e) S( + ) a Da figura, temos: x + x = a Þ x = a A área total é: A T = a + x a + x x A T = a + a Þ a + a A T = a + a = a ( + ) a Como S = a Þ A T = S( + ) Alternativa C inspernov0 CPV

6 6 INSPER 5//0 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades Um leitor enviou a uma revista a seguinte análise de um livro recém lançcado, de 00 páginas: O livro é eletrizante, muito envolvente mesmo! A cada página terminada, mais rápido eu lia a próxima! Não conseguia parar! Dentre os gráficos apresentados abaixo, o único que poderia representar o número de páginas lidas pelo leitor (N) em função do tempo (t) de modo a refletir corretamente a an alise feita é: a) b) c) d) e) A frase a cada página terminada, mais rápido eu lia a próxima pode ser entendida como a cada instante, mais páginas eu lia Ou seja, conforme t cresce, a variação de N aumenta O único gráfico que segue sempre este comportamento é o da alternativa B Alternativa B CPV inspernov0

7 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 5//0 Desde o dia da partida inaugural até o dia da final de um torneio de futebol, terão sido transcorridos dias Considerando que serão disputados, ao todo, 6 jogos nesse torneio, pode-se concluir que, necessariamente, a) ocorrerão duas partidas por dia no período de disputa do torneio b) haverá um único jogo no dia em que for disputada a final c) o número médio de jogos disputados por equipe será, no máximo, d) ocorrerá pelo menos um dia sem jogos no período de disputa do torneio e) haverá duas partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia Com os dados fornecidos, poucas conclusões (seguramente verdadeiras) podem ser obtidas: C A média de jogos no campeonato é de jogos por dia C O maior valor possível para uma quantidade de jogos em um mesmo dia em particular é 6 haveria, por exemplo, 6 jogos no dia inicial da competição e jogo no dia final da competição ( dia depois) O menor valor possível para uma quantidade de jogos em um mesmo dia em particular é, portanto, 0 (zero) [CENÁRIO DE CONCENTRAÇÃO MÁIMA] C O menor valor possível para uma mesma quantidade de jogos em um mesmo dia em geral é com jogos em cada um dos dias da competição [CENÁRIO DE UNIFORMIDADE MÁIMA] Logo, em ao menos um dos dias teremos ao menos jogos Alternativa E Em um jogo, cada participante recebe fichas coloridas, devendo dividi-las em quatro grupos de três fichas cada, de modo a tentar obter a máxima pontuação possível Cada trio de fichas formado é pontuado da seguinte maneira: três fichas da mesma cor 8 pontos; duas fichas de uma mesma cor e uma ficha de cor diferente 6 pontos; três fichas de cores diferentes ponto Se um participante recebeu fichas verdes, amarelas, brancas, preta e marrom, então a máxima pontuação que ele poderá obter é a) b) c) 5 d) 6 e) 7 Vamos simular algumas estratégias e comparar os resultados: Estratégia A: priorizar trios de uma mesma cor (? indica uma ficha de qualquer cor não-emparelhada): V V V (8 pontos) A A A (8 pontos) B B? (6 pontos)??? ( ponto) Estratégia B: priorizar duplas de uma mesma cor: V V? (6 pontos) V V? (6 pontos) A A? (6 pontos) A A? (6 pontos) (*note que essa estratégia requer desmembrar uma dupla, como B B, para completar os trios) Estratégia C: compor um trio e três duplas (técnica mista): V V V (8 pontos) A A? (6 pontos) A A? (6 pontos) B B? (6 pontos) A melhor estratégia é a C, que produzirá 6 pontos Alternativa D inspernov0 CPV

8 8 INSPER 5//0 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades As três afirmações abaixo, todas verdadeiras, foram feitas por Luís para descrever o que pretendia fazer em relação às suas economias e planos de viagem Se o preço do dólar cair no final do ano, então eu vou investir em poupança e viajar para o exterior Se eu viajar para o exterior, então vou comprar um equipamento de esqui Se eu alugar ou comprar um equipamento de esqui, então vou esquiar em Bariloche A partir das três afirmações e da informação de que Luís não esquiou em Bariloche, pode-se tirar algumas conclusões que são, necessariamente, verdadeiras Dentre as conclusões abaixo, a única que não é, necessariamente, verdadeira é a) o preço do dólar não caiu no final do ano b) Luís não investiu em poupança c) Luís não viajou para o exterior d) Luís não comprou um equipamento de esqui e) Luís não alugou um equipamento de esqui Inicialmente, vamos reescrever as sentenças, encadeando-as em forma condicional: S [ dólar cai ] [ investir poupança viajar exterior ] S [ viajar exterior ] [ comprar equipamento de esqui ] S [ alugar equipamento de esqui comprar equipamento esqui ] [ esquiar em Bariloche ] Ora, como a sentença final esquiarei em Bariloche é FALSA, temos que: Em S: [ alugar equipamento de esqui comprar equipamento esqui ] [ esquiar em Bariloche ] F F Ou seja, é FALSO que aluguei equipamento de esqui e é FALSO que comprei equipamento de esqui Em S [ viajar exterior ] [ comprar equipamento de esqui ] F F Ou seja, é FALSO que viajei para o exterior Em S: [ dólar cai ] [ investir poupança viajar exterior ] F F Ou seja é FALSO que o dólar caiu Note que nada se pode afirmar sobre a veracidade da proposição investi em poupança, já que o evento o dólar caiu não aconteceu Na verdade, Luís pode ter investido em poupança ou não Alternativa B CPV inspernov0

9 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 5//0 5 A figura abaixo mostra o gráfico do polinômio P(x), de 5 o grau e coeficientes reais, que apresenta uma única raiz real O número de raízes reais do polinômio Q(x), dado, para todo x real, pela expressão Q(x) = P(x), é igual a a) b) c) d) e) 5 y = P (x) y = P (x) O gráfico de y = P(x) intercepta o eixo Ox em três pontos, portanto admite três raizes reais Alternativa C inspernov0 CPV

10 0 INSPER 5//0 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 6 Um retângulo tem comprimento e largura Y, sendo e Y números positivos menores do que 00 Se o comprimento do retângulo aumentar Y % e a largura aumentar %, então a sua área aumentará a) ( + Y + 00) Y % b) ( Y + +Y 00 ) % c) ( +Y + Y 00 ) % d) ( + Y)% e) (Y)% Do enunciado, temos: y área = xy x Aplicando-se o aumento: y ( + x 00) x ( + y 00) Área = x ( + y 00 ) y ( + x ( xy x + 00 ) ( y + yx xy + yx 00 + xy 00 + x y 00 xy ( + 00 ) 00 ) x 00 + y 00 + xy 00 ) Ou seja, haverá na área um aumento de x 00 + y 00 + xy 00 ou ( xy x + y + 00 ) % Alternativa A CPV inspernov0

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