LIMITES E CONTINUIDADE

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1 Capítulo 3 LIMITES E CONTINUIDADE 3.1 Introdução A seguir, apresentaremos como listar os valores de uma função, no formato de tabela, em uma vizinhança de um ponto que não necessariamente pertence ao do domínio da função. Não nos aprofundaremos muito no significado destas sintaes: copiar: print para: for se: if então: then senão: else de: from a: to faça: do A sintae print(epressão); permite eibir a epressão digitada. A sintae for se utiliza para indicar avariação deumcontadordaseguinteforma-forcontadorfrominíciotofinaldo. Em geral, a sintae é utilizada para realizar tarefas repetitivas, uma certa quantidade de vezes. Asintaeiféparaeecutarumainstrução,ouumgrupodeinstruções,see,somentese,verifica certa condição. Se além disso, desejamos que as intruções sejam eecutadas, ainda que algumas outras intruções não se verifiquem, se utiliza a sintae else. As sintaes fi e od são para fechar as intruções. Note que fi é if ao contrário e od é do ao contrário. Sugerimos que a seguinte tabela seja copiada, para realizar os eercícios. A sintae para obter estas tabelas é a seguinte: Para estudar uma função em uma vizinhança de 0, escrevemos > print([.. f() ]); forifrom-10 to10 do if i<> 0then print(array([seq([evalf(1/(100*k),6),evalf(f(1/(100*k)),5)],k=i)])) else print( indefinido em =0 ) 75

2 76 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE fi; od; Para estudar uma função para valores de arbitrariamente grandes; isto é em ±, escrevemos: > print([.. f() ]); forifrom -10 to10do if i <> 0 then print(array([seq([evalf(100*k,6),evalf(f(100*k),5)],k=i)])) else print( ->+infinito ) fi; od; Eemplo Seja f() = 1. Estudemos f emuma vizinhança de 0: >f:=->1/: >print([.. f() ]); forifrom -10 to10 do ifi<>0thenprint((array([seq([evalf(1/(100*k)),evalf(f(1/100*k),5)],k=i)])) else print( indefinida em =0 ) fi; od; [. f()] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] indefinida em =0 [ ] [ ] [ ]

3 3.1. INTRODUÇÃO 77 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A tabela nos indica que os comportamentos da função à esquerda e à direita de = 0, são diferentes. 2. Analogamente, estudemos f em uma vizinhança de ± : >f:=->1/: >print([.. f() ]); forifrom-10 to10 do if i <> 0 then print(array([seq([evalf(100*k),evalf(f(100*k),5)],k=i)])) else print( ->+infinito ); fi; od; [. f()] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ->+infinito [ ] [ ] [ ]

4 78 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Atabela nosindica queocomportamentodafunção em ±,tendeazero. 3.2 Limites Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma função y = f() nas proimidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio. Eemplo Seja f() = sen() Éclaro que Dom(f) = R {0}. Estudaremosafunção nosvalores de queficam próimosde 0, mas sem atingir 0. Vamos construir uma tabela de valores de aproimando-se de 0, pela esquerda( < 0) e peladireita( > 0) e oscorrespondentesvalores de f(). Digitemos: >f:=->sin()/, f := sen() >print([.. f() ]); forifrom -10 to10 do ifi<>0thenprint(array([seq([evalf(1/(100*k)),evalf(f(1/(100*k)),5)],k=i)])) else print( indefinido em =0 ) fi; od; [. f()] [ ] [ ]

5 3.2. LIMITES 79 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] indefinida em =0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Observando o resultado da tabela, podemos verificar que: à medida que vai se aproimando de 0, os valores de f() vão aproimando-se de 1. A noção de proimidade pode ficar mais precisa utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer, y R é y. Assim a frase escrita entre aspas, pode ser epressa por: se aproima-se de zero, então f() 1 também se aproima de zero; em outras palavras: para que f() 1 seja pequeno é necessário que também seja pequeno. Logo: sen() lim = 1. 0

6 80 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE 2. Seja Figura 3.1:. f() = (1 + ) 1/. Éclaro que Dom(f) = R {0}. Estudaremosafunção nosvalores de queficam próimosde 0, mas sem atingir 0. Vamos construir uma tabela de valores de aproimando-se de 0, pela esquerda( < 0) e peladireita( > 0) e oscorrespondentesvalores de f(). Digitemos: >f:=->(1+) ˆ (1 /), f := (1 + ) 1/ >print([.. f() ]); forifrom -10 to10 do ifi<>0thenprint(array([seq([evalf(1/(100*k)),evalf(f(1/(100*k)),5)],k=i)])) else print( indefinida em =0 ) fi; od; [. f()] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

7 3.3. CÁLCULO DE LIMITES 81 [ ] [ ] indefinida em =0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Observando o resultado da tabela, podemos verificar que: à medida que vai se aproimando de 0, os valores de f() vão aproimando-se de e. Logo, para que f() e seja pequeno é necessário que também seja pequeno. Logo: lim (1 + 0 )1/ = e. Figura 3.2:. 3.3 Cálculo de Limites A sintaeparaocálculo dolimite: é: lim f() a

8 82 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE apodeserum ponto -infinityse a = infinityse a = +. Adireção é opcionalepodeser: left seforum um limite lateralpelaesquerda rightseforum um limite lateral peladireita. > limit(função, variável=a, direção); Uma forma alternativa para calcular limites é utilizar a seguinte sintae: > Limit(função, variável=a, direção); >evalf(%); Observamos que o comando onde aparece limit, com letra minúscula, calcula o limite e o comando Limit, om letra maiúscula, somente eibe a epressão matemática do limite, por isso acima precisamos utilizar o comando evalf(%);. Juntando ambas as sintaes, podemos reescrever os limites em forma mais didática: Veja os eemplos Eemplo Determine lim 0 > Limit(função, variável=a, direção)=limit(função, variável=a, direção); >p1:=(root(ˆ2+1,7)-root(1- ˆ 2,7))/(root( ˆ 2+1,4)-root(1- ˆ 2,4)): > Limit(p1,=0)=limit(p1,=0); 2. Determine lim π/2 tg(). lim = 4 7 > Limit(tan(),=Pi/2)=limit(tan(),=Pi/2); Se incluimos as opções: lim tan() = undefined π/2 > Limit(tan(),=Pi/2,right)=limit(tan(),=Pi/2,right);

9 3.3. CÁLCULO DE LIMITES 83 lim tan() = π + /2 > Limit(tan(),=Pi/2,leftt)=limit(tan(),=Pi/2,left); 3. Determine lim sen ( 1). 0 lim tan() = π /2 >Limit(sin(1/),=0)=limit(sin(1/), =0) Pode eplicar este resultado? lim sin ( 1) = Determine lim > p2:=sqrt(ˆ4+ ˆ 2) /: >Limit(p2,=0)=limit(p2, =0) lim 0 >Limit(p2,=0,left)= limit(p2, =0, left) = undefined lim 0 > Limit(p2,=0,right)=limit(p2, =0, right) = 1 Pode eplicar este resultado. lim = 1 Figura 3.3:.

10 84 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE 5. Determine lim 0 cos(α ) cos(β ) 2. >p3:=(cos(alpha*)-cos(beta*))/ ˆ2: > Limit(p3,=0)=limit(p3,=0); tg(2) 6. Determine lim. 0 cos (α ) cos (β ) lim 0 2 = 1 2 α β2 >Limit(tan(2*)/,=0)=limit(tan(2*)/, =0) ( ) Determine lim tan(2 ) lim = 2 0 >p4:=((+3)/(+5)) ˆ : > Limit(p4,=infinity)=limit(p4,=infinity); 8. Determine lim 0 ( 6 1 ). lim ( ) = e 2 >p5:=(6ˆ-1)/: > Limit(p5,=0)=limit(p5,=0); 6 1 lim = ln(2) + ln(3) 0 Figura 3.4:.

11 3.3. CÁLCULO DE LIMITES 85 2 b 2 9. Determine lim. b b >p6:=( ˆ2-b ˆ 2)/(sqrt()-sqrt(b): > Limit(p6,=b)=limit(p6,=b); lim b 2 b 2 b = 4b 3/2 cos(π ) se < Se f() = sen(π ) se 1 < 1, calcule lim f(). ±1 se > 1 >p7:= piecewise(<1, *cos(),and -1<=, <= 1, sin()/, >1, sqrt()): > Limit(p7,=-1,right)=limit(p7,=-1,right); lim 1 + ( cos(π ) < 1 ) sin(π ) 1 and 1 = 1 1 < > Limit(p7,=-1,right)=limit(p7,=-1,right); lim 1 + ( cos(π ) < 1 ) sin(π ) 1 and 1 = 0 1 < > Limit(p7,=1,right)=limit(p7,=1,right); lim 1 + ( cost(π ) < 1 ) sin(π ) 1 and 1 = 1 1 < > Limit(p7,=1,left)=limit(p7,=1,left); lim 1 ( cos (π ) < 1 ) sin(π ) 1 and 1 = 0 1 <

12 86 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE 11. Se f() = 2 sen ( 1) ; determine >f:=-> ˆ2 *sin(1/): p8:=(f(+h)-f())/h: >factor(limit(p8,h=0)); 3.4 Definição de Limite Seja: lim h 0 Figura 3.5:. f( + h) f(). h 2sin ( 1) (1) cos f : A R R, definida em A, eceto possívelmente, em a. Sabemos que: se,esomentese: lim f() = L a Paratodo ε > 0,eiste δ > 0talquese (a δ,a+δ) ( A {a} ),então f() (L ε,l+ε). Observequeolimitedeumafunção y = f()numponto a,dependeapenasdosvaloresque f assume nas proimidades de a, ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro a. Uma das principais dificultades, dos alunos, de entender a definição de limite é sua característica dinâmica. Para facilitar a compreensão da definição, apresentaremos alguns eemplos, onde é utilizanda a sintae animate.

13 3.4. DEFINIÇÃO DE LIMITE 87 Eemplo É claro que lim 2 2 = 4. Então para todo número real positivo ε eiste outro número real positivo δ, quedependede ε,tal quese 0 < 2 < δ, então f() 4 < ε. Esbocemosasituação para ε = 0.8 e δ 0.18, digitandoaseguintesequênciadecomandos: with(plots): > H:=plots[implicitplot]({=2,y=4},=0..2,y=-1..4,color=blue): > G:=plots[implicitplot]({=1.82,=2.18},=0..4,y=-1..7,color=red): > L:=plot( ˆ 2,=0..4,color=black,thickness=2): >M:=plot({4.8,3.2},=0..4,y=-1..7,color=red): >display(h,g,l,m); Figura 3.6:. 2. Visualizemos lim 1 2 = 2. Esbocemos a situação, digitando a seguinte sequência de comandos: >with(plots): >M := plot(2*, =0.. 2, numpoints=300, scaling = constrained,color=black): >M1 :=plot(2, =0.. 1, numpoints=200, scaling =constrained,color=blue): >M2 :=plots[implicitplot]( =1, = 0.. 1, y=0.. 2, numpoints=200, scaling = constrained, color = blue): >A1:= animate(2+(1-(1/10)*t), = 0.. 2, t = 0.. 8, frames = 50, scaling =constrained,color=red): >A2:= animate(1+(1/10)*t, =0.. 2, t=0.. 8, frames = 50, scaling = constrained,color=red): >B1:= animate([1+(1-(1/10)*t)*(1/3),, = ], t =0.. 8, frames = 50, scaling = constrained, color = green): >B2:= animate([, 2+2*((1-(1/10)*t)*(1/3)), =0.. 2], t = 0.. 8, frames = 50, scaling = constrained, color =green):

14 88 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE >B3:=animate([1-(1-(1/10)*t)*(1/3),,= ], t=0.. 8, frames =50, scaling = constrained, color = green): >B4:=animate([, 2-2*((1-(1/10)*t)*(1/3)), =0.. 2], t =0.. 8, frames = 50, scaling = constrained, color = green): >display(m,m1, M2, A1, A2, B1,B2,B3, B4); Notemos que as retas limitantes em vermelho indicam a escolha do ε e as retas limitantes horizontais, em verde, indicam a regão de segurança para o correspondente δ representado pelas retas limitantes verticais, em verde. Nos desenhos, diferentes estágios da animação: Figura 3.7: Figura 3.8: Agora estamos em condições de esclarecer o primeiro eemplo, do parágrafo sobre as deficiências do MAPLE, no capítulo anterior. Consideremos a função: f() = 2 1 1

15 3.5. ASSÍNTOTAS 89 >f:=->( ˆ2-1)/(-1) : >f(1); >g:= unapply(simplify(f()), ); >g(1); Error, (in f) numeric eception: division by zero g := Quando usamos o comado simplify, o MAPLE cancela, seguindo o mesmo procedimento que utiliza para determinar a solução de: lim 1 1 = lim + 1 = 2 1 Istoé,aosimplificar, omaplenão consideramais afunção f,esim, afunção g. 3.5 Assíntotas A reta y = b é uma assíntotahorizontal ao gráfico da função y = f(), se pelo menos uma das seguintes afirmações é verdadeira: lim f() = b ou lim f() = b. + A reta = a é uma assíntota vertical ao gráfico da função y = f(), se pelo menos uma das seguintes afirmações é verdadeira: lim f() = ± a + ou lim f() = ±. a Observamos que,mesmose Dom(f) = R,afunção podeterassíntotasverticais. Poreemplo: 1 se 0 f() = 2 se = 0 Nocaso, de Dom(f) = R eafunção sercontínua,então f não possuiassíntotasverticais. Para descobrir, eperimentalmente, se uma função possui assíntotas horizontais e/ou verticais, utilizamos a sintae: >plot(f, = -infinity.. infinity);

16 90 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE Figura3.9: Gráfico de quando ±. Eemplo Esboceográfico de y = 1. Dom(f) = R {1} eacurva passapor (0,0). De fato: >f:=->/( -1): >solve(f()=0,); >plot(f(), =-infinity.. infinity) 0 Figura3.10: Gráfico de f quando ±. Do desenho, podemos concluir que o gráfico da função possui uma assíntota horizontal e uma vertical. De fato: >lim(f(),=infinity,left);

17 3.5. ASSÍNTOTAS 91 1 >lim(f(),=infinity,rigth); 1 Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal. Por outro lado, determinamos as assíntotas verticais: >lim(f(),=1,left); >lim(f(),=1,rigth); Logo, = 1 éumaassínotavertical. Esboçodográfico: >with(plots): >p:= /(-1): >a1:= plot(p,=-3.. 3, discont=true,thickness=3, color = blue): >a2:= plot(1,=-3.. 3, style=point,symbol=cross,color = green): >a3:= implicitplot([ = 1], = , y=-4.. 4, style=point): >display(a1,a2,a3,view=[-3..3,-4..4]); Figura3.11: gráfico de f. 2. Esboceográficode y = Dom(f) = R { 1, 1} eacurva passapor (0,0). De fato:

18 92 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE >f:=-> ˆ 2/( ˆ 2-1): >solve(f()=0,); 0 >plot(f(), =-infinity.. infinity) Figura3.12: gráfico de f quando ±. Do desenho, podemos concluir que o gráfico da função possui uma assíntota horizontal e duas verticais. De fato: >lim(f(),=infinity,left); 1 >lim(f(),=infinity,rigth); 1 Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal. Por outro lado, determinamos as assíntota verticais: >lim(f(),=1,left); >lim(f(),=1,rigth); >lim(f(),=-1,left);

19 3.5. ASSÍNTOTAS 93 >lim(f(),=-1,rigth); Logo, = ±1 são assíntotas verticais. Esboço do gráfico: >with(plots): >p:= ˆ 2/( ˆ 2-1): >a1:= plot(p,=-3.. 3, discont=true,thickness=3, color = blue): >a2:= plot(1,=-3.. 3, style=point,symbol=cross,color = green): >a3:= implicitplot([ = -1,=1], =-4.. 4, y=-4.. 4, style=point): >display(a1,a2,a3,view=[-3..3,-4..4]); Figura3.13: gráfico de f. 3. Esboceográficode y = >f:=->( ˆ 4+1)/( ˆ 5-): >plot(f(), = -infinity.. infinity)

20 94 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE Figura3.14: Gráfico de f quando ±. Do desenho, podemos concluir que o gráfico da função possui uma assíntota horizontal e três verticais. De fato: >lim(f(),=infinity,left); 0 >lim(f(),=infinity,rigth); 0 Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal. Por outro lado, determinamos as assíntota verticais: >lim(f(),=1,left); >lim(f(),=1,rigth); >lim(f(),=-1,left); >lim(f(),=-1,rigth); >lim(f(),=0,left);

21 3.6. CONTINUIDADE 95 >lim(f(),=0,rigth); Logo, = 1, = 1e=0sãoassíntotasverticais. Esboçodográfico: >with(plots): >p:= (ˆ4+1)/(ˆ 5-): >a1:= plot(p,=-3.. 3, discont=true,thickness=3, color = blue): >a2:= implicitplot([=-1, =1], =-4.. 4, y=-4.. 4, style=point): >display(a1,a2,view=[-3..3,-4..4]); Figura3.15: gráfico de f. 3.6 Continuidade A seguintesintaeéutilizada para saberseumafunção é contínuaounão: >iscont(função, =a..b); A resposta será true onde for contínua e false onde for descontínua, relativa ao intervalo (a, b). Para o intervalo [a, b], utilizamos: >iscont(função, =a..b,closed); Para determinar os pontos de descontinuidade de uma função, utilizamos:

22 96 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE >discont(função, ); Vamos a prestar atenção à diferença de terminologia empregada nas Ciências Aplicadas, como Engenharia e Física, e daquela usada em Matemática. Considereumafunção racional f() = g(),onde g e hsãocontínuasea Rtalque h(a) = 0, h() seeiste δ > 0talquese (a δ,a + δ) ( A {a} ),entãofazsentidoperguntarse f admite uma etensão contínua que esteja definida no ponto a; isto é, se eiste F tal que F() = f() para todo Dom(f) = A e F(a) eista e seja contínua nesse ponto. Isso foi o que MAPLE eecutou no eemplo, onde substituiu: f() = por F() = + 1. É claro que na prática, se eiste a etensão contínua, iremos sempre substituir a função original por sua etensão contínua. Porém, nas Ciências Aplicadas, a terminologia empregada é outra. É comum usarem a palavra descontinuidade para os pontos que anulam o denominador da função e perguntarem se f tem descontinuidade removível em a. No eemplo a seguir, empregaremos a terminologia das Ciências Aplicadas. Achar os pontos onde f é descontínua é equivalente a determinar o domíniodafunção racional f eachar ospontosqueanulam o seudenominador. Ocomandodiscont(),ecluide Rospontosqueanulamnodenominadorde f e,futuramente, iremos perguntar se f admite uma etensão contínua a esses pontos. Eemplo Determineospontosonde f() = q:=( ˆ 2-5)/( ˆ 4+2* ˆ 3-17* ˆ 2-18*+72): >discont(q,); é descontínua. { 4, 3,2,3} 2. Verifiqueseafunção : écontínua. f() = { 2 se se > 2 > k:=piecewise(<=2, ˆ 2,>2, ˆ 2 +2); k := { > 2

23 3.6. CONTINUIDADE 97 >discont(k,); >iscont(k,=0..3); >iscont(k,=2.1..infinity); >iscont(k,=-infinity..1.9); De fato, calculemos diretamente: > limit(k,=2,left); > limit(k,=2,right); {2} false true true 4 6 Logo,oslimiteslaterais não sãoiguais;portanto,afunção édescontínuaem 0 = 2. Paravero gráfico: >plot(k,=-4.. 4, thickness=3,color = blue, discont=true); Figura 3.16: Eemplo Determineaconstante c, talque: f() = 2 sen( 1 ) se 0 c se = 0

24 98 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE seja contínua. > k1:=piecewise(<>0, ˆ 2 *sin(1/),c); k1 := 2 sen( 1 ) se 0 c otherwise > limit(k1,=0,left); 0 > limit(k1,=0,right); 0 Logo,definimos c = 0e: >iscont(k1,=-infinity..infinity); k1 := 2 sen( 1 ) se 0 0 otherwise true Paraver ográfico: >plot(k1,= , thickness=3, color =blue); Figura 3.17: Eemplo Seja 1 f() = ( 1) 2 se 1 4 se = 1. Verifiquese f é contínuaem 1.

25 3.6. CONTINUIDADE 99 > k2:=piecewise(=1,4,1/(-1)ˆ2); 4 = 1 k2 := 1 ( 1) 2 otherwise > limit(k2,=1,left); > limit(k2,=1,right); Por outrolado, f(1) = 4; logo,afunção não écontínuaem 1. >plot(k2, = , color = blue,thickness=3, discont=true,view = [ , ]); Figura 3.18: Eemplo Seja 2 se 1 f() = A + B se 1 < < 3 2 se 3. Determine A e B taisque f sejaumafunção contínuaem R. Os pontos problemáticos do domínio de f são = 1 e = 3. Utilizando a definição, f é contínuase: f() = lim f() = f( 1) + Digitamos: lim 1 1 lim f() = lim f() = f(3), > z1:=piecewise(<=-1,2, -1< and <3,A*+B,>=3,-2);

26 100 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE > eq1:=limit(z1,=-1,left)=limit(z1,=-1,right); > eq2:=limit(z1,=3,left)=limit(z1,=3,right); > solve({eq1,eq2},a,b); 2 1 z1 := A + B 1 < and < eq1 := A + B = 2 eq1 := 3A + B = 2 {A = 1} {B = 1} Logo, temos: 2 1 z1 := 1 1 < and < Figura 3.19: Eemplo 3.

27 3.7. EXERCÍCIOS Eercícios 1. Calcule os seguintes limites usando tabelas: (a) lim 1 1 ) (b) lim 0 ( 2 (c) lim 0 tg(4) ( + 2) 2 (d) lim (e) lim ( 2 1) (f) lim Calcule os seguintes limites: (a) lim (b) lim (c) lim (d) lim a 2 (e) lim a + a (f) lim (g) lim (t + h) 2 t 2 (h) lim h 0 h (i) lim (j) lim (k) lim (l) lim (m) lim (n) lim (o) lim Verifique se os seguintes limites eistem: 3 1 (a) lim 1 1 (b) lim (c) lim (d) lim (e) lim (f) lim (g) lim 0 (cos() [[sen()]]) (h) lim 0 (sen() [[cos()]]) (i) lim 0 + a b (j) lim 0 + [[ a ]] 4. Calcule os seguintes limites no infinito:

28 102 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE (a) lim (b) lim (c) lim (d) lim + (e) lim (f) lim (g) lim (h) lim ( 2 + 1) + 3 (i) lim (j) lim Calcule os seguintes limites infinitos: (a) lim m (b) lim + (c) lim (d) lim (e) lim (f) lim (g) lim (h) lim (i) lim 0 + sen() 3 2 (j) lim 0 + ln() (k) lim 0 ln( ) 6. Se f() = 3 5eg() = 2 2 3, calcule: (a) lim(f + g)() 1 (b) lim(g f)() 1 (c) lim(g f)() 1 (f ) (d) lim () 1 g (g ) (e) lim () 1 f (f) lim(f f)() 1 (g) lim(f g)() 2 (h) lim 2 (g f)() (i) lim (f g f)() 3 2 (j) lim 2 ln( f() ) (k) lim 4 3 cos ( g() ) f() (l) lim sen ( 1 ) 0 g() 7. Calcule os seguintes limites:

29 3.7. EXERCÍCIOS 103 (a) lim π sen() π (b) lim + sen(1 ) (c) lim 0 tg() + tg() (d) lim + (1 + 2 )+1 ) ( 1 (e) lim (f) lim(1 + 2) 1 0 e 2 1 (g) lim 0 e 2 1 (h) lim 0 (i) lim (j) lim e a e b (k) lim 0 sen(a) sen(b), a, b 0 (l) lim 0 cos 2 () tg 2 () (m) lim 0 2 sec() (n) lim + (1 4 )+4 (o) lim (1 1 ) f() f(a) f(t + a) f(a) 8. Calcule lim e lim, se: a a t 0 t (a) f() = 2, a = 2 (b) f() = 2 + 1, a = 2 (c) f() = 3 2, a = 0 (d) f() = 2, a = 2 (e) f() =, a = 1 (f) f() = (1 ), a = 1 (g) f() = cos(), a = π (h) f() = ( 3) 2, a = 1 (i) f() = ln(), a = 1 (j) f() = e 2, a = 0 9. Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo bairro, após t diasédadopor: L(t) = e 0.8t (a) Determine a quantidade máima de indivíduos atingidos pela doença. (b) Esboceográfico de L. 10. Esboce o gráfico das seguintes funções: (a) y = (b) y = 1 ( 1)( 3 + 1) ( 1)( 3 + 1) (c) y = (d) y = 1 ( 3)( + 2)( 2 + 1) 2 ( 3)( + 2)( 2 1)

30 104 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE 11. Verifique se as seguintes funções são contínuas: { 2 se 1 (g) f() = 1 se > se 2 (h) f() = 2 4 se = 2 Esboce os gráficos correspondentes. 12. Seja f() = 3 +. Verifiqueque: (a) f() f(2) 20 2 se 0 3 (b) f écontínuaem Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados: 2 se 0 (a) f() =,no ponto = 0. L se = se 3 (b) f() = 3, noponto = 3. L se = 3 { + 2L se 1 (c) f() = L 2, noponto = 1. se < 1 { 43 se < 0 (d) f() =,noponto = 0. 2L + se Verifique se as seguintes funções são contínuas. sen() 1 0 (a) f() = (c) f() = 1 0 = = (b) f() = 2 2, = 2 9 = < 1 (d) f() = ln(2 2 ) > Seja f() = 1 sen ( 1), 0. Como escolher o valor de f(0), para que a função f possaserdefinidaem = 0 esejacontínuanoponto?

31 3.7. EXERCÍCIOS Sendo f() = arctg ( 1 ), 2, é possível escolher o valor de f(2) tal que a função f 2 possaserdefinidaem = 2esejacontínuano ponto? 17. Afunção sinal de édefinidapor: 1 se > 0 sgn() = 0 se = 0 1 se < 0. Verifiquese f() = sgn()eg() = 2 sgn()sãofunçõescontínuas. 18. Verifiquequeaequação = tg() temuma infinidadederaízes reais. 19. Uma esfera oca de raio R está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A intensidade de um campo elétrico E() num ponto P localizado a unidades do centro da esfera é determinada pela função: 0 se 0 < < R 1 E() = 3 2 se = R 2 se > R. Verifiqueseafunção E = E() écontínua. Esboceográficode E. 20. A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligadae,édefinidapor: H(t) = { 0 se t < 0 1 se t 0 (a) Discutaacontínuidadede f(t) = H(t 2 + 1)ede g(t) = H(sen(π t)). Esboceosrespectivos gráficos em [ 5, 5]. (b) Afunção R(t) = cth(t) (c > 0) échamada rampaerepresentaocrescimentogradual na voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de R e esboce seu gráficopara c = 1, 2, 3. (c) Verifiqueque u c (t) = H(t c). { f(t) se 0 t < c (d)se h(t) = g(t) se t c, verifiqueque h(t) = (1 u c (t))f(t) + u c (t)g(t).

32 106 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE