6 ) Logaritmo e Função Logarítmica

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1 6 ) Logritmo e Função Logrítmic Professor Lur Aguir 6.1) Estudndo Logritmo Os logritmos form desenvolvidos pelo escocês John Npier ( ), no início do século XVIII. Antes do seu desenvolvimento, efetur cálculos como, por exemplo, 1, ,38761 er, em gerl, trblhoso e demordo. Contudo, pós descobert de Npier, operções deste tipo puderm ser trnsformds em dições e subtrções, o que n miori dos csos er muito mis simples e rápido ) Definição de Logritmo Chm se logritmo de um número N > 0 em relção um bse (0 < 1), o expoente que se deve elevr bse, fim de que potênci obtid sej igul N. log N N, onde: N > 0, > 0 e 1. N é o logritmndo é bse. é o logritmo. de n bse. E podemos pensr: - Qul o logritmo de N n bse? - Qul o número que devemos exponencir o pr o que o resultdo sej N? Exemplo: Clculr log Bst igulr x, ssim: log = x, dí, por definição, o logritmndo é igul à bse elevdo o resultdo x, vej: log = x 729 = 3 x. Ftormos 729 e encontrmos 729 = 3 6, logo: log = x 729 = 3 x 3 6 = 3 x e ness iguldde, temos que se s bses são iguis, então seus expoentes tmbém são iguis, logo, x = ) Consequêncis d Definição Decorrem d definição de logritmo s seguintes conseqüêncis pr: 0 < 1, N > 0 e R C.1. log 1 0, pois 0 =1 C.2. log 1, pois ¹ = C.3. log, pois =. C.4. N log N, pois log N log N log N N 92

2 6.2) Proprieddes dos Logritmos Logritmo do produto Se 0 < 1, M > 0 e N > 0 então: log ( M N) log M log N Ex.: log 5 (25.625) = log 5 (25) + log 5 (625) = log log = = 6 Logritmo do Quociente Se 0 < 1, M > 0 e N > 0, então: M log log M log N N Ex.: log 4 (1/16) = log 4 1 log 4 16 = 0 2 = -2 Logritmo d Potênci Se o < 1 e N > 0 e m R, então: m log (N ) m log N Ex.: log 2 3 1/2 = ½ log 2 3 -Mudnç de Bse _ 6.3) Função Logrítmic 6.3.1) Definição Dd função exponencil f: R R + tl que y = x, com o < 1, podemos determinr su função invers, visto que, ests condições, função exponencil é BIJETORA. A função logrítmic é função invers d exponencil, isto é: x y x log y ou permutndo s vriáveis: y log x 6.3.2) O gráfico de um função logrítmic Podemos representr grficmente um função logrítmic escolhendo lguns vlores pr x e montndo um tbel com os respectivos vlores de f(x). Depois loclizmos os pontos no plno crtesino e trçmos curv do gráfico. 93

3 Vmos representr grficmente função e como estmos trblhndo com um logritmo de bse10, pr simplificr os cálculos vmos escolher pr x lguns vlores que são potêncis de 10: 0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2. Temos então seguinte tbel: x y = log x 0,001 y = log 0,001 = -3 0,01 y = log 0,01 = -2 0,1 y = log 0,1 = -1 1 y = log 1 = 0 10 y = log 10 = 1 Temos o gráfico dest função logrítmic, no qul loclizmos cd um dos pontos obtidos d tbel e os interligmos trvés d curv d função: Vej que pr vlores de y < 0,01 os pontos estão quse sobre o eixo ds ordends, ms de fto nunc chegm estr. Note tmbém que neste tipo de função um grnde vrição no vlor de x implic num vrição bem inferior no vlor de y. Por exemplo, se pssrmos de x = 100pr x = , vrição de y será pens de 2 pr 6. Isto porque: De mneir gerl, temos que: Um função logrítmic é crescente se >1. Sempre que umentmos os vlores de x, os vlores correspondentes de y tmbém umentm, isto é: 0 x1 x2 log x1 log x2 94

4 Um função logrítmic é decrescente se > 1. Sempre que umentmos os vlores de x, os vlores correspondentes de y diminuem, isto é: 0 x1 x2 log x1 log x2 6.4) Fixção 1) Se log 10 8 = então log 10 5 vle ) 3 b) 5 1 c) 2/3 d) 1 + /3 e) 1 - /3 log x 3x 5 2) A som ds rízes d equção 3 é: 2 2 ) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3) Ness figur, está representdo o gráfico de f(x) =log n x. O vlor de f(128) é: ) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 7 2 4) A energi nucler, derivd de isótopos rditivos, pode ser usd em veículos espciis pr fornecer potênci. Fontes de energi nucler perdem potênci grdulmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser P P t. 0 e 250 descrito pel função exponencil n qul P é potênci instntâne, em wtts, de rdioisótopos de um veículo espcil; P 0 é potênci inicil do veículo; t é o intervlo de tempo, em dis, prtir de t 0 = 0; e é bse do sistem de logritmos neperinos. Nesss condições, quntos dis são necessários, proximdmente, pr que potênci de um veículo espcil se reduz à qurt prte d potênci inicil? (Ddo: In2=0,693) ) 336 b) 338 c) 340 d) 342 e)

5 5) (UFF) A figur represent o gráfico d função f definid por f(x) = 2 : A medid do segmento PQ é igul : ) b) c) log 5 d) 2 e) log 2 6) (PUC-PR) Se log (3x+23) log (2x-3) = log 4, encontrr x. ) 4 b) 3 c) 7 d) 6 e) 5 7) (UFSM) O gráfico mostr o comportmento d função logrítmic n bse. Então o vlor de é: ) 10 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) -2 8) (UERJ) O número, em centens de indivíduos, de um determindo grupo de nimis, x dis pós liberção de um preddor no seu mbiente, é expresso pel seguinte função: 96

6 Após cinco dis d liberção do preddor, o número de indivíduos desse grupo presentes no mbiente será igul : ) 3 b) 4 c) 300 d) 400 9) O resultdo d expressão é: ) 8 b) 3 c) 7 d)2 e)5 10) (UFSM) O gráfico mostr o comportmento d função logrítmic n bse. Então o vlor de é: ) 10 b) 2 c) 1 d) ½ e) -2 11) (MACKENZIE) O ph do sngue humno é clculdo por ph = log, sendo X molridde dos íons H3O +. Se ess molridde for dd por 4, e, dotndo-se log 2 = 0,30, o vlor desse ph será: ) 7,20 b) 4,60 c) 6,80 d) 4,80 e) 7,40 12)(UFSCr SP-01) A ltur médi do tronco de cert espécie de árvore, que se destin à produção de mdeir, evolui, desde que é plntd, segundo o seguinte modelo mtemático: h(t) = 1,5 + log 3 (t+1), com h(t) em metros e t em nos. Se um desss árvores foi cortd qundo seu tronco tingiu 3,5 m de ltur, o tempo (em nos) trnscorrido do momento d plntção té o do corte foi de: ) 9. b) 8. c) 5. d) 4. e)3. 13) Os átomos de um elemento químico rdiotivo possuem um tendênci se desintegrrem (emitindo prtículs e se trnsformndo em outro elemento). Assim sendo, com o pssr do tempo, quntidde originl desse elemento diminui. Suponhmos que cert quntidde de um elemento rdiotivo com inicilmente 0 m grms de mss se decomponh segundo equção mtemátic: m(t)=m t/70, onde m(t) é quntidde de mss rdiotiv no tempo t (em nos). Determine quntos nos demorrá pr que esse elemento se decomponh té tingir um oitvo d mss inicil. ) 63 nos b) 70 nos c) 8 nos d) 49 nos e) 0 nos 14)(Puccmp 2005) No di 7 de fevereiro de 1984, um ltur de 100 km cim do Hví e com um velocidde de cerc de km/h, Bruce Mc Cndless sindo de um ônibus espcil, sem estr preso por nenhum cord, tornou-se o primeiro stélite humno. Sbe-se que forç de trção F entre o stronut e Terr é proporcionl (m.m)/r², onde m é mss do stronut, M d Terr, e r distânci entre o stronut e o centro d Terr. 97

7 (Hllidy, Resnick e Wlker. Fundmentos de Físic. v. 2. Rio de Jneiro: LTC, p.36) A lei d trção grvitcionl, dd pel fórmul F = G [(m. M)/r 2 ] é equivlente ) log F = 1/2 (log G + log m + log M - log r) b) log m = 1/2 (log G + log M + log F - log r) c) log r = 1/2 (log G + log m + log M - log F) d) log M = 1/2 (log G + log m + log F - log r) e) log F = (log G). (log m). (log M) - 2 log r 15) (Puccmp 2005) O ponto forte ds polítics públics de conservção de águ d cidde de Cmpins está relciondo um mplo progrm de educção mbientl, em especil no que diz respeito à recuperção d qulidde dos cursos d'águ urbnos. N tbel bixo, têm-se ddos sobre utilizção de águ em Cmpins no período de (Adptdo d Revist Snemento Ambientl. Ano XIV. n São Pulo: Signus. p. 39) Pr concretizção d melhori d qulidde dos cursos d'águ urbnos, obrs de mplição d rede coletor e de construção de estções de trtmento estão sendo relizds de modo que, pós t nos, quntidde de poluentes sej dd por Q = Q n, em que n é um constnte e Q 0 quntidde de poluentes observd inicilmente. Se 36% d quntidde de poluentes form removidos o fim do segundo no, então porcentgem d poluição restnte o fim de seis nos, em relção Q 0, será ) 33% b) 25% Ddo: c) 20% log 2 = 0,30 d) 16% e) 12% 98

8 16) O ltímetro dos viões é um instrumento que mede pressão tmosféric e trnsform esse resultdo em ltitude. Suponh que ltitude h cim do nível do mr, em quilômetros, detectd pelo ltímetro de um vião sej dd, em função d pressão tmosféric p, em tm, por Num determindo instnte, pressão tmosféric medid pelo ltímetro er 0,4 tm. Considerndo proximção log10 2 = 0,3, ltitude do vião nesse instnte, em quilômetros, er de: ) 5 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12 17) (FUVEST) A figur bixo mostr o gráfico d função logritmo n bse b. O vlor de b é: ) 1/4 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10 18) (FUVEST 2010) A mgnitude de um terremoto n escl Richter é proporcionl o logritmo, n bse 10, d energi liberd pelo blo sísmico. Anlogmente, o ph de um solução quos é ddo pelo logritmo, n bse 10, do inverso d concentrção de íons H+. Considere s seguintes firmções: I. O uso do logritmo ns escls mencionds justificsse pels vrições exponenciis ds grndezs envolvids. II. A concentrção de íons H+ de um solução ácid com ph 4 é 10 mil vezes mior que de um solução lclin com ph 8. III. Um blo sísmico de mgnitude 6 n escl Richter liber dus vezes mis energi que outro, de mgnitude 3. Está correto o que se firm somente em: 99

9 ) I b) II c) III d) I e II e) I e III 19) Os biólogos dizem que há um lometri entre dus vriáveis, x e y, qundo é possível determinr dus y c. x n constntes, c e n, de mneir que. Nos csos de lometri, pode ser conveniente determinr c e n por meio de ddos experimentis. Consideremos um experiênci hipotétic n qul se obtiverm os ddos d tbel seguir. Supondo que hj um relção de lometri entre x e y e considerndo 301 que o vlor de n é: ) 0,398 b) 0,699 c) 0,301 d) 0,477 log 2 0,, pode-se firmr 20) (UERJ) Pr melhor estudr o Sol, os strônomos utilizm filtros de luz em seus instrumentos de observção. Admit um filtro que deixe pssr d intensidde d luz que nele incide. Pr reduzir ess intensidde menos de 10% d originl, foi necessário utilizr n filtros. Considerndo log 2 = 0,301, o menor vlor de n é igul : ) 9 b) 10 c) 11 d) 12 Gbrito 1.e 2.c 3. 4.e 5.b 6.c 7.d 8.c 9.b 10.d 11.e 12.b c 15.b 16.b 17.d 18.d c 100

10 6.5) Pintou no ENEM A Escl de Mgnitude de Momento (brevid como MMS e denotd como M w ), introduzid em 1979 por Thoms Hks e Hiroo Knmori, substituiu Escl de Richter pr medir mgnitude dos terremotos em termos de energi liberd. Menos conhecid pelo público, MMS é, no entnto, escl usd pr estimr s mgnitudes de todos os grndes terremotos d tulidde. Assim como escl Richter, MMS é um escl logrítmic. M w e M 0 se relcionm pel fórmul: Onde M 0 é o momento sísmico (usulmente estimdo prtir dos registros de movimento d superfície, trvés dos sismogrms), cuj unidde é o din. cm. O terremoto de Kobe, contecido no di 17 de Jneiro de 1995, foi um dos terremotos que cusrm mior impcto no Jpão e n comunidde científic interncionl. Teve mgnitude M w = 7,3. U.S. GEOLOGICAL SURVEY.Historic Erthqukes. Disponível em: Acesso em 1 mio 2010 (dptdo) U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Erthquke Mgnitude Policy. Disponível em: Acesso em 1 mio 2010 (dptdo) Mostrndo que é possível determinr medid por meio de conhecimentos mtemáticos, qul foi o momento sísmico M 0 do terremoto de Kobe em (din. cm)? ) 10-5,10 b) 10-0,73 c) 10 12,00 d) 10 21,65 e) 10 27,00 Respost: e 6.6) Sessão Leitur O ph é símbolo pr grndez físico-químic potencil hidrogeniônico que indic cidez, neutrlidde ou lclinidde de um solução quos. O termo ph foi introduzido, em 1909, pelo bioquímico dinmrquês Søren Peter Luritz Sørensen ( ) com o objetivo de fcilitr seus trblhos no controle de qulidde de cervejs (n époc trblhv no Lbortório Crlsberg, d cervejri homônim). O "p" vem do lemão potenz, que signific poder de concentrção, e o "H" é pr o íon de hidrogênio (H + ). Wikipédi ph é o log negtivo de bse 10 d concentrção molr de íons hidrogênio (H+) ph: - log [H+] Exemplo: concentrção molr por litro do suco gástrico é: [10-1 ] mol/l. Qul seri seu ph? ph: - log [H+] ph: - log [10-1 ] ph 101

11 Dics sobre logritmos: O expoente que est no número 10, "ci" ph = - -1 log [10] Multiplicndo o logritmo, no cso o 1 do expoente de 10 irá multiplicr o 1 já presente. ph = + 1 log [10] Como bse do logritmo é dez, então: ph = log [10] = 1 O ph do suco gástrico é 1. Se o expoente do log for negtivo, o ph será positivo poh poh é o símbolo pr potencil hidroxiiônico. Pr encontrr o vlor do poh, clculmos o vlor do logritmo negtivo de bse 10 d concentrção molr de hidroxils [OH-] d solução poh: - log [OH-] Escl de ph A escl de ph foi crid pelos químicos, el é eficz pr clssificr s substâncis em ácids ou básics. Assim, se soluções 25 ºC tem ph vrindo de 0 té um vlor inferior 7 será um solução ácid, se o ph for um vlor superior 7 e inferior 14 solução será um bse e se soluço tiver um ph de 7 solução será neutr. Qundo o vlor d concentrção molr hidrogeniônic d solução: [H+] FOR GRANDE O VALOR DO ph SERÁ PEQUENO. Qundo o vlor do ph FOR PEQUENO O VALOR DA CONCENTRAÇÃO HDROGENIÔNICA: [H + ] SERÁ GRANDE. Escl de poh Os vlores de ph e poh somdos resultm 14, ou sej: ph + poh :

12 6.7) Referêncis MELLO,J. L.P. (2005). Mtemátic: Construção e significdo. Volume único. 1. Ed. São Pulo: Modern SOUZA, Jomir. (2010). Mtemátic: Novo Olhr. Volume 1. 1 Ed. São Pulo: FTD PAIVA,Mnoel. (2005). Mtemátic. Volume único. 1 Ed. São Pulo: Modern < cessdo em 10/01/