Jacob Palis. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss.

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1 Jacob Palis Euclides Roxo David Hilbert George F. B. Riemann George Boole Niels Henrik Abel Karl Friedrich Gauss René Descartes Gottfried Wilhelm von Leibniz Nicolaus Bernoulli II

2 Matemática SUMÁRIO DO VOLUME MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA Introdução 5 1. Eixo orientado 5 1. Sistema cartesiano ortogonal Localização de pontos Distância entre dois pontos Razão de secção Ponto médio de um segmento Baricentro de um triângulo Condição de alinhamento de três pontos 16. Noções sobre retas 0.1 Introdução 0. Posições Genéricas 0. Tipos de equação de reta 1.4 Interseção de duas retas 5 8. Circunferência Introdução Defi nições e elementos Posição relativa entre ponto e circunferência Posição relativa entre reta e circunferência Posição relativa entre duas circunferências Ângulos na circunferência Polígono inscrito numa circunferência Polígono circunscrito a uma circunferência 1 9. Elementos notáveis de um triângulo Introdução Base média Pontos notáveis 11. Teoria Angular 1.1 Condição de paralelismo 1. Condição de Perpendicularismo. Ângulo agudo entre duas retas 8.4 Distância de ponto a reta Áreas de polígonos Introdução Área de Triângulo Área de polígono não entrelaçado Noções sobre circunferência Introdução Defi nição Equação reduzida Equação geral 5 GEOMETRIA PLANA Introdução Postulados da determinação Semirreta Segmento de reta Ângulo Retas no plano Distância de ponto a reta Distância entre retas paralelas Mediatriz de segmento Polígonos Introdução Defi nições Nomenclatura Triângulo Quadrilátero convexo Polígonos convexos quaisquer 101

3 SUMÁRIO COMPLETO MATEMÁTICA Volume 1 UNIDADE: GEOMETRIA ANALÍTICA 1.. Noções sobre retas. Teoria Angular 4. Áreas de polígonos 5. Noções sobre circunferência UNIDADE: GEOMETRIA PLANA Polígonos 8. Circunferência 9. Elementos notáveis de um triângulo Volume UNIDADE: GEOMETRIA ANALÍTICA 10. Noções sobre cônicas 11. Reconhecimento de equações e lugares geométricos 1. Duas curvas no plano 1. Regiões planas UNIDADE: GEOMETRIA PLANA 14. Segmentos proporcionais 15. Relações métricas no triângulo retângulo 16. Relações métricas num triângulo qualquer 17. Relações métricas no círculo 18. Relações métricas num polígono regular 19. Medidas lineares na circunferência 0. Noções sobre áreas Volume UNIDADE: GEOMETRIA ESPACIAL 1. Poliedros convexos. Noções sobre prisma. Noções sobre pirâmides 4. Noções sobre cilindro 5. Noções sobre cone circular 6. Noções sobre esfera 7. Inscrição e circunscrição UNIDADE: ÁLGEBRA II 8. Noções sobre números complexos 9. Noções sobre polinômios 0. Noções sobre equações algébricas (Polinomiais)

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5 Matemática 5 GEOMETRIA ANALÍTICA 1. NOÇÕES BÁSICAS 1.1 Introdução O filósofo e matemático francês René Descartes ( ), com o objetivo de transferir às demais ciências os métodos matemáticos, associou a Álgebra à Geometria Euclidiana, criando a Geometria Analítica (ou Geometria Cartesiana). Essa associação permite expressar, de forma bem sintetizada, as relações entre grandezas, proporcionando uma interpretação imediata das informações relativas a essas grandezas. Para formalização dessa associação, foi necessária a criação de alguns elementos, tais como eixo orientado, plano cartesiano, coordenadas e par ordenado, dentre outros. Esses elementos serão conceituados e estudados a seguir. Sugestão de pesquisa: Pesquise sobre os trabalhos de René Descartes e você verá que ele trouxe grandes contribuições para o avanço das ciências em geral. 1. Eixo orientado Em diversas situações, nas quais apenas uma grandeza precisa ser representada (analisada), usase um recurso gráfico chamado eixo orientado para avaliar essa grandeza. Tomemos como exemplo a periodização didática da História : a Idade Antiga inicia-se por volta de 4000 a.c. e termina por volta de 476 depois de Cristo (d.c.), com a queda do Império Romano. Nesse período, a partir do ano 1, inicia-se a Era Cristã; a Idade Média inicia-se em 476 (d.c.) e estende-se até 145, com a tomada de Constantinopla pelos turcos otomanos; a Idade Moderna inicia-se em 145 e estende-se até 1789, com o início da Revolução Francesa; a Idade Contemporânea inicia-se em 1789 e estende-se até os dias de hoje. Formalmente, dizemos que eixo orientado é a reta na qual se tomam um ponto (O) como origem (marco zero), uma unidade arbitrária para identificação dos números inteiros e um sentido de orientação positiva. Nesse aparato, os demais números reais são localizados entre dois números inteiros, conforme figura a seguir: Formalmente, consideremos A e B dois pontos de um eixo orientado, associados aos números x A e x B, respectivamente, conforme figura a seguir: A B + x A x B A distância entre esses pontos pode ser calculada como segue: AB = x A x B ou AB = x B x A Exercício resolvido 1 Seja A um ponto de um eixo orientado, associado ao número. Obtenha o número associado ao ponto que dista 8 unidades de A. Seja x B o número procurado: Com uma simples análise visual desse gráfico, podemos verificar que: por volta de anos antes de Cristo (a.c.), termina a Era Pré-Histórica e inicia-se a História, com a invenção da escrita; A Da defi nição, temos: AB = x A x B 8 = x B 8 = x B x B = 11 8 = x B x B = 5 x B B O número procurado pode ser 5 ou 11.

6 6 Matemática 1. Sistema cartesiano ortogonal Nas situações em que duas grandezas se relacionam, o recurso gráfico a ser considerado é aquele que associa cada grandeza a um eixo orientado. Desse modo, cada informação completa, chamada de par ordenado, será composta por duas informações parciais (as quais serão chamadas de coordenadas), cada uma associada ao seu respectivo eixo orientado. Nesse nosso estudo, adotaremos um sistema de coordenadas no qual os eixos orientados são perpendiculares entre si. Esse sistema recebe o nome de sistema cartesiano ortogonal (o termo cartesiano refere-se a Cartesius, nome de René Descartes em latim). Convencionalmente, nesse sistema, a primeira coordenada recebe o nome de abscissa, e a segunda recebe o nome de ordenada. Exemplo: Os pontos A, B e C da figura representam, respectivamente, as pessoas de nomes: Antônio, Beatriz e Cristina. Essa representação foi feita a partir das alturas (abscissas) e das idades (ordenadas) de cada uma dessas pessoas. Uma simples visualização do gráfico permite verificar que: Antônio é o de menor estatura (abscissa h A ) e o que tem a menor idade (ordenada I A ). Desse modo, o ponto A pode ser representado pelo par ordenado A (h A, I A ); Beatriz é a mais alta e tem idade situada entre a de Antônio e a de Cristina. O ponto B pode ser representado pelo par ordenado B (h B, I B ); Cristina tem estatura situada entre a de Antônio e a de Beatriz e é a que tem a maior idade. O ponto C pode ser representado pelo par ordenado C (h C, I C ). Formalmente, dizemos que o sistema cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos orientados, Ox e Oy, perpendiculares entre si. Por comodidade, esses eixos são tomados na horizontal (Ox ) e na vertical (Oy ). Assim: o eixo Ox é chamado eixo das abscissas. o eixo Oy é chamado eixo das ordenadas. o ponto O, intersecção dos eixos Ox e Oy, é chamado de origem. y O Um sistema assim definido é denotado por sistema cartesiano ortogonal xoy. 1.4 Localização de pontos De modo formal, estabelecido o sistema xoy, podemos localizar qualquer ponto do plano por meio de um par ordenado (x, y) de números reais. Assim, dado um ponto P(x P, y P ) do plano, temos que: o número real x P é chamado abscissa do ponto P; o número real y P é chamado ordenada do ponto P; os números reais x P e y P são chamados coordenadas do ponto P. um ponto situado sobre o eixo Ox tem ordenada nula e um ponto situado sobre o eixo Oy tem abscissa nula. dois pares ordenados são iguais quando representam o mesmo ponto. Assim: A(x A, y A ) = B(x B, y B ) x A = x B e y A = y B. Os dois eixos (Ox e Oy ) dividem o plano em quatro regiões (Fig. 1) denominadas quadrantes, cuja identificação é feita no sentido anti-horário (Fig. ), como sendo (I Q., II Q., III Q. e IV Q.). x

7 Matemática 7 De um modo geral: se P 1 o quadrante, então: x P > 0 e y P > 0 se P o quadrante, então: x P < 0 e y P > 0 se P o quadrante, então: x P < 0 e y P < 0 se P 4 o quadrante, então: x P > 0 e y P < 0 Exercícios de sala 4 Seja A um ponto do eixo das abscissas, associado ao número. Obtenha, nesse eixo, um ponto B, tal que AB = 16. Para discutir com os colegas: A qual quadrante pertence a origem O(0, 0) do sistema cartesiano ortogonal? Exercícios resolvidos O ponto (a, b) pertence ao III quadrante. A qual quadrante pertence o ponto Q (a, b)? Se P(a, b) pertence ao III quadrante, temos então que: a 0 e b 0. Desse modo, a ordenada b do ponto Q será tal que ( b) 0. Assim, Q(a, b) pertence ao II quadrante, pois a 0 e ( b) 0. O ponto Q(a, b) pertence ao II quadrante. 5 Represente cada ponto a seguir e indique a qual(is) quadrante(s) pertence cada um: a) A(, 4) c) C(0, ) b) B(, ) d) D(, 0) Estude, em função de m, a posição do ponto P(m 4, m + ) em relação aos quadrantes. Primeiramente, obteremos as raízes das expressões: expressão da abscissa: m 4 = 0 m = ± expressão da ordenada: m + = 0 m = Agora, vamos fazer o estudo de sinal: 6 Se P(a, b) pertence ao IV quadrante, a qual quadrante pertence o ponto Q em cada caso? a) Q(a, b) b) Q(b, a) Para m <, temos m 4 > 0 e m + < 0, estando o ponto no IV quadrante. Para < m <, temos m 4 > 0 e m + > 0, estando o ponto no I quadrante. Para < m <, temos m 4 < 0 e m + > 0, estando o ponto no II quadrante. Para m >, temos m 4 > 0 e m + > 0, estando o ponto no I quadrante. 7 Determine m para que o ponto M(m, m ) pertença: a) ao eixo Oy ; b) ao eixo Ox.

8 8 Matemática 8 Sabendo que P(m 6, m + 6) pertence ao terceiro quadrante, determine os possíveis valores reais de m. Três objetos puntiformes, P 1, P, e P, encontram-se em repouso sobre um mesmo plano. Suas características são dadas a seguir, sendo expressas por m(x, y), em que m é a massa em kg e (x, y) são as coordenadas cartesianas em metros: P 1 (0, 1); P 1(1, 0); P (, 6) a) Qual o centro de massa desse sistema? b) Qual deve ser o ponto, de massa 1 kg, que deve ser acrescentado ao sistema, de modo que o centro de massa seja o ponto P(, 4)? 9 Sabe-se que os pontos da bissetriz de um ângulo são equidistantes dos lados desse ângulo. Baseado nesse fato, dê a condição para que um ponto P(x P, y P ) pertença: a) à reta bissetriz dos quadrantes pares; b) à reta bissetriz dos quadrantes ímpares. 10 Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares é tal que a soma de suas coordenadas é 10. Qual é esse ponto? 1 O gráfi co a seguir mostra os pontos P 1, P, P,..., P 15, que se referem a três dias de uma certa pesquisa. Dentre esses quinze pontos, nove, sendo três a cada dia, representam o consumo de três alimentos pesquisados (legumes, arroz e carne). 11 Sabe-se, da Física, que as coordenadas (x, y ) do centro de massa de um conjunto de objetos puntiformes e coplanares é dado por: x = x 1. m 1 + x. m x i. m i m 1 + m m i y = y 1. m 1 + y. m y i. m i m 1 + m m i sendo x i a abscissa, y i a ordenada e m i a massa do objeto situado no ponto P i (x i, y i ).

9 Matemática 9 A pesquisa consistia em descobrir quantos quilogramas (kg) de cada produto eram consumidos nos três primeiros dias de um certo mês, numa certa comunidade. Os resultados obtidos foram marcados nesta tabela. Alimento Dia Legumes Arroz Carne 1 o 1,5 o 1,5 1 o,5 1,5 Nessas condições, indique na tabela a seguir, em cada dia, quais os pontos que representam os produtos: Alimento Dia Legumes Arroz Carne 1 o o o Exercícios propostos 14 (MACK-SP) Identifi que a sentença falsa: a) O ponto (0, ) pertence ao eixo y. b) O ponto (4, 0) pertence ao eixo x. c) O ponto (500, 500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. d) O ponto (80, 80) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. e) O ponto ( + 1, + 1) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. 15 (USJT-SP) O valor de k para que o ponto P = (4k 1; k + ) pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares é: a) b) c) 4 d) 1 e) 0 16 (UFMG) Os pontos (a, b) e (c, d) estão representados na fi gura. 1 Sabe-se, da Óptica Geométrica, que a imagem de um objeto puntiforme, obtida através de um espelho plano, situa-se numa posição simétrica desse objeto em relação ao espelho, conforme fi gura a seguir: Nessas condições, supondo que os eixos Ox e Oy representem perfi s de espelhos planos, dê as coordenadas das imagens de um objeto puntiforme, situado no ponto A(, ), em relação a esses espelhos, respectivamente: O ponto (a + b, c d ) está situado no: a) 1 o quadrante. d) 4 o quadrante. b) o quadrante. e) eixo Ox. c) o quadrante. 17 (FUVEST) Se (m + n, m 4) e ( m, n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a: a) b) 0 c) d) 1 e) 1 18 (UFPE) No gráfi co a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de três anos. O nível de 40 m foi atingido quantas vezes neste período? a) 1 b) c) d) 4 e) 5

10 10 Matemática 19 (UFPE) Na questão a seguir, escreva nos parênteses a letra V se a afi rmativa for verdadeira ou F se for falsa. O gráfi co a seguir fornece o perfi l do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. AB = AC + BC AB = x B x A + y B y A Analisando o gráfi co, podemos afi rmar que: ( ) 10 foi o único ano em que ela foi defi citária. ( ) 0 foi o ano de maior lucro. ( ) 5 foi um ano deficitário. ( ) 15 foi um ano de lucro. ( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano (UFMG) Seja P = (a, b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1. As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado de vértices (0, 0), (, 0), (0, ) e (, ) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado nesta fi gura: Evidentemente, x B x A = (x A x B ) e y B y A = (y A y B ). Então: AB = (x A x B ) + (y A y B ) Exercícios resolvidos 1 Qual a medida do segmento AB de vértices A(, 4) e B( 6, 10)? A medida de AB é igual à distância entre A e B. Assim: AB = (x A x B ) + (y A y B ) AB = ( + 6) + (4 10) AB = AB = 10 A medida de AB é 10 unidades. Considere o ponto Q = ( a + b, ab). Então, é correto afi rmar que o ponto Q está na região a) I. b) II. c) III. d) IV. 1.5 Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos A(x A, y A ) e B(x B, y B ), situados num plano cartesiano ortogonal, pode ser determinada em função das suas coordenadas. Vamos ao caso mais geral, considerando um segmento AB inclinado em relação aos eixos, coordenados (Fig. 1). Nesse caso, a distância AB pode ser obtida aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ABC (Fig. ) a seguir: Qual é o ponto P do eixo das abscissas que equidista dos pontos A(, 4) e B(, 4)? P Ox P (x, 0) O termo equidistante indica mesma distância, ou seja, PA = PB. Desse modo: (x P x A ) + (y P y A ) = (x P x B ) + (y P y B ) (x ) + (0 4) = (x ) + (0 + 4) (x ) + 16 = (x ) + 16 (x ) = (x ) x 4x + 4 = x 6x + 9 4x + 4 = 6x = 6x + 4x x = 5 P 5, 0

11 Matemática 11 Exercícios de sala Calcule a medida de AB em cada caso: a) A(, 4) B(6, 1) b) A(5, ) B(, 0) 6 Qual o ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares que equidista dos pontos A(6, 7) e B( 1, 0)? 4 Qual o valor de m, de modo que AB = 10, sendo A(m, ) e B(0, 8)? 7 Considere um ponto A, fi xo nas coordenadas (, 4) e um ponto móvel B que se desloca sobre o eixo das abscissas, a uma velocidade de unidades por segundo. Supondo que B parta da origem (0, 0) e percorra o sentido positivo do eixo, após quanto tempo AB irá medir 5 cm? 5 Obtenha, no eixo das ordenadas, um ponto Q que diste 10 do ponto P(6, ).

12 1 Matemática 8 Sabe-se, da Geometria Plana, que, para qualquer triângulo: se o quadrado da medida do maior lado for maior que a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, o triângulo é obtusângulo. se o quadrado da medida do maior lado for igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, o triângulo é retângulo. se o quadrado da medida do menor lado for menor que a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, o triângulo é acutângulo. Nessas condições, classifi que o triângulo ABC quanto aos lados e quanto aos ângulos, sendo A(, 4), B( 1, 0) e C(8, ) seus três vértices. AP PB = AC PD = PC BD r = AC PD ou r = PC BD r = x P x A x B x P ou r = y P y A y B y P (x B x P e y B y P ) Para a razão de secção, adotam-se as seguintes convenções: Caso P seja interno ao segmento AB, consideramos r > 0 e vice-versa. AP PB > 0 r > 0 Caso P seja externo ao segmento AB, consideramos r < 0 e vice-versa. PA PB < 0 r < Razão de secção C onsiderando três pontos colineares e distintos A, B e P, chamamos razão de secção do segmento AB, determinada pelo ponto P, o número real r, dado por r = AP PB. Nessas condições, o ponto P é chamado de ponto divisor do segmento AB. Para obtermos a razão r, consideremos os pontos alinhados A, P e B (Fig. 1) e percebamos os triângulos semelhantes APC e PBD (Fig. ): Para discutir com os colegas: É possível que a razão de secção entre dois segmentos seja igual a 1? E igual a 1? Quando é que cada caso ocorre? Exercícios resolvidos 9 Sejam A(1, 1), B(4, ) e P(, 1) três pontos alinhados. Determinar a razão r = AP PB. 1 o modo (usando as abscissas): r = x P x A x B x P r = 1 4 r =

13 Matemática 1 o modo (usando as ordenadas): r = y P y A 1 ( 1) r = y B y P 1 r = 0 Até que ponto C(x C, y C ) devemos prolongar, no sentido de A(, 4) para B(5, ), o segmento AB de modo que ele triplique? Analogamente: Exercício resolvido y M = M x A + x B y A + y B, y A + y B 1 M(, 4) é o ponto médio do segmento de extremos A(, 6) e B(x, y). Nessas condições, qual o valor de x y? Consideremos B o ponto divisor de AC. Notemos que BC = AB. Desse modo, temos: AB BC = AB AB AB BC = 1 Usando a razão de secção, temos: AB x B x A AB y B y = A x C x ou = BC B BC y C y B = x C = 11 x C 5 4 = y y C C = C(11, ) 1.7 Ponto médio de um segmento S ejam A e B dois pontos distintos e M o ponto médio de AB (Fig. 1). Nessas condições, M divide AB em dois segmentos congruentes AM e MB (Fig. ). x M = x A + x B 4 = + x x = 7 y M = y A + y B 8 = 6 + y y = = + x 4 = 6 + y x y = Baricentro de um triângulo Denomina-se baricentro (ou centro de gravidade) de um triângulo o ponto G, intersecção das três medianas desse triângulo, sendo que mediana é o segmento de reta que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. Consideremos o triângulo ABC da figura a seguir, cujos pontos médios dos lados são M, N e P: Como AM e MB são dois segmentos congruentes, temos AM = MB. Desse modo: r = AM MB r = 1 r = x M x A x B x M x M x A x B x M = 1 x M x A = x B x M x M = x A + x B M é médio de BC AM é mediana de BC N é médio de AC BN é mediana de AC P é médio de AB CP é mediana de AB

14 14 Matemática Sabe-se, da Geometria Plana, que o baricentro G de um triângulo ABC divide cada mediana na razão de para 1, ou seja: AG GM = 1 ; BG GN = 1 ; CG GP = 1 Consideremos o triângulo ABC da figura a seguir, no qual destacamos a mediana CP e o baricentro G. y y A A Exercícios de sala O ponto A(, 4) é simétrico do ponto B(x, y) em relação à origem. Calcule o valor de x. y. y C y B B G C 4 As coordenadas x G e y G do baricentro de um certo triângulo ABC, nessa ordem, são termos consecutivos de uma progressão aritmética. Obtenha a razão dessa progressão, conhecendo as coordenadas A(, 4), B(8, 6) e C(0, ). O x B x A x C x Tomando a mediana CP, temos: CG GP = 1 x G x C x P x = G 1 x G x C = (x P x G ) x G x C = x P x G x G = x A + x B + x C x G = Analogamente: y G y C = y P y G 1 y A + y B + y y C G = x A + x B + x C G x A + x B + x C, y A + y B + y C Exercício resolvido O baricentro do triângulo de vértices A(x, ), B(, 4) e C(8, ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. Calcule x. 5 Divida, usando pontos médios, o segmento AB em quatro partes iguais, sendo A(8, 16) e B(16, 8). As coordenadas do baricentro G são: x G = x A + x B + x C e y G = y A + y B + y C. Se G pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então suas coordenadas são iguais, ou seja: x G = y G. x G = x y G = x + 10 x G = x + 10 y G = = x + 10 = 9 x = 1

15 Matemática 15 6 Divida, em três partes iguais, o segmento AB de extremos A(1, 4) e B(6, 1). 8 Da Geometria Plana, sabe-se que uma base média de um triângulo é o segmento cujos vértices são os pontos médios de dois lados desse triângulo. Desse modo, qual o perímetro do triângulo MNP, cujos lados são as bases médias do triângulo equilátero ABC, com dois vértices nos pontos A(1, 9) e B(7, 1)? 9 Dividir harmonicamente um segmento AB numa razão r. implica obter um ponto M(interno a AB) e um ponto N(externo a AB), tal que: AM MB = r e AN = r. Nessas condições, divida NB AB na razão r =, sendo A(10, 15) e B(0, 0). 7 Até que ponto devemos prolongar o segmento AB, no sentido de A(, 8) para B(0, 0), de modo que ele quadruplique?

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