Estatística Aplicada à Engenharia Prof. Hélio Radke Bittencourt

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU ESPECIALIZAÇÃO Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção Estatística Aplicada à Egeharia Prof. Hélio Radke Bittecourt Curso de Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção Abril de 014

2 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. Sumário 1. Coceitos Básicos Tipos de Variáveis 1. Estatística Descritiva e Iferecial. Estatística Descritiva.1 Tabelas de freqüêcia. Tabelas de freqüêcia.3 Separatrizes.4 Medidas de Variabilidade.5 Aálise Gráfica 3. Um pouco de Probabilidade 3.1 Pricipais Coceitos 3. Variáveis Aleatórias Discretas Distribuição Biomial 3.3 Variáveis Aleatórias Cotíuas Distribuição Normal 4. Amostragem e distribuições amostrais 4.1 Coceitos básicos 4. Pricipais técicas de amostragem probabilística 4.3 Distribuições Amostrais & Estimação por poto e por itervalo 4.4 Distribuição amostral da média 4.5 Distribuição amostral da proporção 5. Iferêcia Estatística: Itervalos de Cofiaça 5.1 Itervalo de cofiaça para a média (teórico) 5. Itervalo de cofiaça para a média (prático) 5.3 Itervalo de cofiaça para a proporção 5.4 Dimesioameto de Amostras Caledário de aulas Aula 1 Coceitos Básicos, Estatística Descritiva Aula Probabilidade, Amostragem e distribuições amostrais Aula 3 Itervalos de Cofiaça, Cálculo do 5/04 6/04 10/05 As aulas com o Professor Lori Viali ocorrerão em 09/05, 16/05 e 17/05.

3 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 3 Cap. 1 CONCEITOS BÁSICOS A Estatística pode ser defiida como o cojuto de ferrametas para coleta, orgaização, aálise e iterpretação de dados experimetais. O objeto de estudo em Estatística é um cojuto de dados que pode costituir uma população ou uma amostra. População é um cojuto fiito ou ifiito de elemetos. Amostra é um subcojuto da população. Geralmete buscamos amostras represetativas. Uma amostra represetativa é aquela que matém as características da população. Questões: 1) Qual o úmero aproximado de eleitores o Rio Grade do Sul? Qual o tamaho amostral das pesquisas eleitorais realizadas pelos istitutos? ) Como se chama a ivestigação de toda a população? Por que, por exemplo, o IBGE ão realiza aualmete? 1.1 Tipos de Variáveis Já vimos que a Estatística trabalha com cojuto de dados formado por elemetos. Nós ão trabalharemos diretamete com os elemetos que formam o cojuto de dados, mas sim com suas características. Variáveis são características dos elemetos que formam o cojuto de dados. Vamos imagiar um carro e listar variáveis associadas a ele: As variáveis podem ser classificadas em qualitativas ou quatitativas: as variáveis qualitativas expressam uma classificação em categorias e, por isso, também são chamadas de categóricas. As variáveis quatitativas expressam quatidades uméricas e se dividem em discretas e cotíuas. As variáveis discretas assumem apeas determiados valores um dado cojuto eumerável, equato as variáveis cotíuas podem assumir, ao meos teoricamete, qualquer valor um dado itervalo umérico.

4 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 4 Na prática todas as variáveis são discretas, devido à limitação dos istrumetos de mesuração. As variáveis qualitativas aida podem ser classificadas em omiais ou ordiais. O ível omial de mesuração é caracterizado por úmeros que apeas difereciam ou rotulam as categorias. O ível ordial de mesuração evolve úmeros que, além de difereciar, hierarquizam as categorias. Figura Resumo dos tipos de variáveis e escalas de mesuração

5 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág Estatística Descritiva e Iferecial A estatística é um cojuto de ferrametas utilizadas para a coleta, tabulação, aálise e iterpretação de um cojuto de dados experimetais. A Estatística pode ser dividida em duas grades áreas: Descritiva e Iferecial. A estatística descritiva é aquela que costumamos ecotrar com maior freqüêcia em jorais, revistas, relatórios, etc. Essa parte da estatística utiliza úmeros para descrever fatos. Seu foco é a represetação gráfica e o resumo e orgaização de um cojuto de dados, com a fialidade de simplificar iformações. Nessa categoria se equadram as médias salariais, taxas de iflação, ídice de desemprego, etc. A estatística iferecial cosiste a obteção de resultados que possam ser projetados para toda população a partir de uma amostra da mesma. Ela fudameta-se a teoria da amostragem e o cálculo de Probabilidades. Essa é a área mais importate da Estatística. Figura - Esquema geral de um curso de Estatística Estatística Descritiva Iferecial Probabilidade Amostragem Probabilidade é um ramo da Matemática que estuda feômeos aleatórios. Amostragem é o ome dado ao cojuto de procedimetos e técicas para extração de elemetos da população para compor a amostra.

6 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 6 Cap. ESTATÍSTICA DESCRITIVA Apeas para lembrar: a estatística descritiva os preocupamos em apresetar a iformação de cojutos de dados de forma resumida, mas, ao mesmo tempo, útil para o pesquisador..1 Tabelas de freqüêcia Tabelas de freqüêcia são ecotradas em jorais iformativos (Zero Hora, Correio do Povo, etc.), relatórios técicos, moografias, dissertações, teses e revistas cietíficas. As tabelas de freqüêcia simples apresetam de forma cocisa o úmero de ocorrêcias (absoluta e relativa) dos valores de uma variável Uma tabela de freqüêcia geérica tem a seguite cofiguração: Tabela 1 Tabela de freqüêcias geérica i x i f i fr i F i Fr i 1 x 1 f 1 fr 1 F 1 Fr 1 x f fr F Fr M M M M M M k x k f k fr k F k Fr k Σ 100,0% - - A otação utilizada é a seguite: X é uma variável qualquer x é um particular valor da variável X i é um ídice útil para euciar as expressões matemáticas k é o úmero de lihas da tabela

7 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 7 Os compoetes da tabela de freqüêcias são: Freqüêcia absoluta (f i ): úmero de ocorrêcias do valor x i. Freqüêcia relativa (fr i ): percetual de ocorrêcias do valor x i Freqüêcia absoluta acumulada (F i ): úmero de ocorrêcias até o valor x i. Freqüêcia relativa acumulada (Fr i ): percetual de ocorrêcias até o valor x i Como calcular as freqüêcias: Tabela de freqüêcia cruzada são represetações tabulares da freqüêcia de ocorrêcia de duas variáveis de maeira simultâea. São também chamadas de tabelas de cotigêcia. Uma tabela cruzada tem l lihas e c coluas. Exemplo Tabela de cotigêcia geérica X y 1 y y c Y x 1 f 11 f 1... f 1c f 1 x f 1 f... f c f M M O M M x l f l1 f l... f lc f l f 1 f... f f c

8 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 8. Medidas de Tedêcia Cetral São valores que trazem iformação sobre a região em toro da qual os dados estão posicioados. As medidas de tedêcia cetral mais utilizadas são: Média, Mediaa e Moda. Para apresetar as medidas de tedêcia cetral vamos utilizar o seguite exemplo. Baco de dados do ENADE 011 (Cursos de Egeharia de Produção)..1 Média Aritmética (µ, X ) A média aritmética é defiida como a soma de todas observações da variável X, dividida pelo úmero de elemetos do cojuto de dados. Freqüetemete a média aritmética é o valor que melhor represeta um cojuto de dados. Quado os dados ão estão orgaizados a forma de uma tabela de freqüêcias e, portato, estão a forma isolada, as expressões geéricas para ecotrar a média são: População µ N i= = 1 N x i X Amostra i= = 1 x i Quado os dados estão orgaizados a forma de uma tabela de freqüêcias devese poderar os diferetes valores x i pelas respectivas freqüêcias f i. Procededo desta forma o cálculo da média aritmética tora-se mais simples e rápido. População Amostra µ k i= = 1 x i N f i X k i= = 1 x i f i.. Mediaa (Md) A mediaa é o valor que divide o cojuto de dados ordeado em duas partes com igual úmero de observações. Para calcular a mediaa iremos utilizar uma ova otação. Seja x[ 1] x[], K, x[ ] um cojuto de dados ordeado (ordem ão-, decrescete), ode o valor etre colchetes represeta a posição o cojuto ordeado.

9 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 9 As expressões geéricas para ecotrar a mediaa são: ímpar par..3 Moda (Mo) A moda é defiida como o valor mais freqüete de um cojuto de dados. É possível que o cojuto seja bimodal (duas modas) ou até mesmo multimodal (três os mais modas). Mo = { x i } com maior fi Exemplo Ecotrar as MTCs para o CPC cotíuo e seus 8 compoetes o EXCEL = MÉDIA(??:??) =MED(??:??) =MODO(??:??) Cosiderações sobre as MTC 1. A média é a MTC mais iflueciada por valores extremos, etretato é a medida mais rica, porque cosidera todos valores do cojuto de dados.. A mediaa ão é afetada por valores extremos. 3. A moda é a MTC mais pobre, porque cosidera apeas os valores mais freqüetes. 4. Existem outros tipos de média que ão são tão afetadas por valores extremos, etretato ão toleram, por exemplo, o valor zero. Média harmôica Média geométrica X h = i= 1 1 x i X = x x K G 1 x Pode-se estabelecer a seguite relação etre as médias: X h X G X

10 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 10 Exemplo Aplicado a Média Harmôica aos dados da plailha Vestibular Aluo A Aluo B Aluo C Matemática Física Química Geografia História Biologia Literatura Lígua Portuguesa Média Mediaa Média sem Matemática Média Harmôica

11 .3 Separatrizes Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 11 São valores que separam o cojuto de dados ordeado em partes com igual úmero de observações. A Mediaa é, portato, uma separatriz porque divide o cojuto de dados em duas partes iguais. Mi Máx Md Os Quartis (Q i ) dividem o cojuto de dados em 4 partes iguais. Mi Máx Os Percetis (P i ) dividem o cojuto de dados em 100 partes iguais. Mi Máx Exemplo Boletim de Desempeho do Provão do MEC Exemplo Estabelecer uma régua de percetis para o CPC cotíuo Mí P10 P0 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90 Máxi =PERCENTIL(??:??)

12 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 1.4 Medidas de Variabilidade São medidas que complemetam as MTC trazedo iformação sobre a dispersão existete o cojuto de dados. Para itroduzi-las vamos recorrer a um exemplo ode temos três diferetes empresas e a variável X ivestigada é o salário. Todas empresas têm seis fucioários. Tabela Distribuição salarial em três empresas Empresa A Empresa B Empresa C Média ( X ) Moda (Mo) Mediaa (Md) Questões 1 O que acoteceu com as MTC a tabela acima? As três empresas são iguais em relação a distribuição salarial? 3 O que diferecia uma empresa da outra? A partir de agora aprederemos a calcular medidas capazes de quatificar a variabilidade existete um cojuto de dados.4.1 Amplitude (R, do termo Rage) É a difereça etre o maior e o meor valor de um cojuto de dados. R = máx { x } mí{ } i x i

13 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág Variâcia (σ, s ) A variâcia é uma medida da variação em toro da média. Por defiição, variâcia é a média dos quadrados dos desvios em toro da média. População σ N i= = 1 ( x µ ) i N s = Amostra ( xi X ) i= 1 1 A variâcia, ao cotrário da Amplitude, cosidera todos elemetos do cojuto de dados o seu cálculo. Quato maior for a variação dos valores do cojuto de dados, maior será a variâcia. Quado os dados estão orgaizados a forma de uma tabela de freqüêcias, deve-se poderar os quadrados dos desvios pela freqüêcia. Esse procedimeto facilita o cálculo. σ População = k i=1 ( x µ ) i N f i s = Amostra k ( xi X ) i= 1 1 f i.4.3 Desvio-padrão (σ, s) O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variâcia. Essa medida corrige o problema de uidade que surge a variâcia. O desvio-padrão também é uma medida da variação em toro da média. σ = População σ Amostra s = s O desvio-padrão expressa a variação média do cojuto de dados em toro da média, para mais ou para meos..4.4 Coeficiete de Variação (CV) O CV é a razão etre o desvio-padrão e a média de um cojuto de dados. Ele expressa a variação relativa (%) presete o cojuto de dados em relação à média. População Amostra σ CV = 100% µ s CV = 100% X

14 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 14 Quato maior o CV, mais heterogêeos serão os dados. Cosiderações sobre as Medidas de Variabilidade (MV) 1. A Amplitude é a MV mais pobre, porque cosidera apeas os dois valores extremos do cojuto de dados.. A Variâcia ão é iterpretada a prática devido ao problema da uidade, que está ao quadrado. 3. O Desvio-padrão é a MV mais cohecida, sedo amplamete utilizada. 4. Detre as MV estudadas, sugere-se que o CV seja utilizado para comparação da variabilidade etre diferetes cojutos de dados. Por ão ter uidade, o CV pode ser utilizado até mesmo para comparar a variabilidade etre variáveis expressas em diferetes uidades. Exemplo Difereciado as empresas Ecotrar as medidas de variabilidade para difereciar as três empresas. =MAXIMO(??:??) MINIMO(??:??) =VAR(??:??) =DESVPAD(??:??) =DESVPAD(??:??)/MEDIA(??:??) Exemplo Ecotrar a média e o desvio-padrão do CPC cotíuo por Dep. Admiistrativa (Tipo)

15 .5 Aálise Gráfica Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 15 O tipo de gráfico adequado para cada variável depede do tipo de variável. Segue uma relação de exemplos de variáveis e tipos de gráficos adequados. Variável Qualitativa Nomial (com poucas categorias) GRÁFICO DE SETORES Figura Marca mais lembrada o quesito Empresa Aérea. Gol 1% Vasp 13% Varig 39% TAM 36% Fote: Dados de lembraça fictícios. O gráfico foi costruído de acordo com a participação o mercado em 00. Variável Qualitativa Nomial (com muitas categorias): GRÁFICO DE BARRAS Figura As 10 empresas gaúchas mais lembradas Gerdau 8,7% RBS 6,3% Azaléia Tramotia Marcopolo GM Coca-Cola 4,1% 3,8% 3,3% 3,3% 3,3% Sup.Nacioal Reer Gredee 1,8% 1,8%,1% 0,0% 5,0% 10,0% Fote: Top of Mid Revista Amahã 00 Obs.: As outras empresas citadas somam 63,3%, etretato idividualmete ão ultrapassam 1,7%.

16 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 16 Variável Qualitativa Ordial: GRÁFICO DE BARRAS Figura Avaliação do atedimeto em um restaurate Ótimo 45% Muito Bom 5% Avaliação Bom Regular 8% 15% Ruim 5% Péssimo % 0% 10% 0% 30% 40% 50% % Fote: Dados fictícios. Base: 100 observações. Variável Quatitativa Discreta GRÁFICO DE COLUNAS Figura Distribuição da turma por idade 45% 40% 35% Freqüêcia Relativa (%) 30% 5% 0% 15% 10% 5% 0% Idade (aos completos) Fote: Dados coletados a turma de Estatística para ADM Empreedorismo e Sucessão. Base: 8 aluos

17 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 17 Variável Quatitativa Cotíua HISTOGRAMA Figura Distribuição de uma turma por altura Freqüêcia 0 150,0 160,0 170,0 180,0 190,0 00,0 Altura (cm) Fote: Aluos de uma turma de Estatística I. Gráfico costruído o software SPSS. Base: 0 observações Séries Temporais - GRÁFICO DE LINHAS Figura - Evolução das matrículas a Educação Superior o RS a 003 Fote: MEC/INEP (extraído do Atlas Sócio Ecoômico do RS

18 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 18 Exemplo Costruir o Excel Um gráfico de setores (var. qualitativa poucas categorias) Um gráfico de barras (var. qualitativa com muitas categorias) Um gráfico de barras (var. qualitativa ordial) Histograma (melhor fazer o Miitab ou SPSS) OUTRO TIPO DE GRÁFICO 1 Box-plot Exemplo - Fazer um Box-plot do CPC Cotíuo por De. Acadêmica OUTRO TIPO DE GRÁFICO Gráfico do Pareto ,0% Passageiros ,0% 60,0% ,0% ,0% 0 0,0% GRU GIG CGH CFI SDU VIR SSA POA REC CUR FOR FLN VIX BEL MAN CUI GOI NAT MCZ SLZ Outros Fote: Ifraero, Jul013 (exceto GRU e VIR, cujos dados são de 01). Total de 66 aeroportos. Exemplo - Fazer um Pareto para as matrículas as Egeharias

19 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 19 Cap. 3 Um pouco de Probabilidade 3.1 Pricipais coceitos Probabilidade é o ramo da matemática que trata de feômeos aleatórios. A observação de um feômeo aleatório por parte do homem é chamada de experimeto aleatório. Características de um experimeto aleatório: 1ª) Não se cohece um particular valor do experimeto ates dele ser executado, porém podemos descrever todos os possíveis resultados - as possibilidades; ª) Quado o experimeto é repetido algumas vezes, os resultados ocorrem de uma forma aparetemete acidetal. Mas quado o úmero de repetições aumeta, uma regularidade aparecerá. E esta regularidade que tora possível costruir um modelo matemático útil para aálise do experimeto. Exemplos de feômeos aleatórios: 1) Codições meteorológicas ) Produção de arroz aual uma cidade 3) Resultado de uma cirurgia 4) Laçameto de uma moeda 5) Resultados de loterias Exemplos de experimetos aleatórios: E1: Jogue um dado e observe o.º a face de cima. E: Jogue uma moeda 3 vezes e observe o úmero de caras obtido. E3: Jogue uma moeda 3 vezes e observe a seqüêcia de caras e coroas obtida. E4: Uma mulher está grávida de gêmeos. O sexo dos bebês será verificado. E5: O úmero de aluos matriculados a turma de Est Apl à Psicologia é verificado E6: A temperatura de um paciete é verificada pela efermeira. Nos seis exemplos ateriores ão somos capazes de precisar o resultado, etretato coseguimos listar os possíveis resultados. Espaço amostral de um experimeto aleatório é o cojuto de todos os resultados possíveis do experimeto. É deotado por S ou Ω.

20 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 0 Exemplos de espaços amostrais relacioados aos experimetos ateriores. S 1 = S = S 3 = S 4 = S 5 = S 6 = Um eveto é um subcojuto de S. Em particular, S e (cojuto vazio) são evetos; S é dito o eveto certo e o eveto impossível. Exemplo de evetos o laçameto de um dado S = {1,,3,4,5,6} A: ocorre um.º par A = {,4,6} B: ocorre a face 6 B = {6} C: ocorre um.º maior que 6 C = D: ocorre º 6 ou º par D = {,4,6} E: ocorre º par ou º ímpar E = {1,,3,4,5,6} = S É possível realizar operações com evetos que ada são do que operações com cojutos já estudadas o Esio Fudametal. Operações com evetos Sejam A e B dois evetos associados a um espaço amostral S. 1) Uião: A B A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem ) Iterseção: A B A ocorre e B ocorre 3) Complemetar: A c ou A ão ocorre A

21 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 1 Duas defiições importates: 1) Dois evetos A e B são excludetes ou mutuamete exclusivos se a ocorrêcia de um impedir a ocorrêcia de outro. Em outras palavras, ão podem ocorrer simultaeamete. ) Evetos ou resultados equiprováveis têm a mesma probabilidade de ocorrêcia. Exemplo Laçameto de um dado e uma moeda, ambos hoestos Escreva o espaço amostral. Os resultados são todos equiprováveis? Qual a probabilidade de um particular par (x,y) ser selecioado. Assiale os seguites evetos: Coceitos de probabilidade Coceito Axiomático Seja A um eveto de S. A probabilidade de ocorrêcia de A, deotada por P(A), deverá satisfazer os seguites axiomas (propriedades fudametais): Axioma 1: 0 P(A) 1 Axioma : P(S) = 1 Coceito clássico Esse coceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos assim a probabilidade de ocorrêcia do eveto A é obtida por: ( A) P ( A) = ( S) (A) é o úmero de resultados favoráveis ao eveto A (S) é o úmero total de resultados em S Exemplos Coceito clássico 1) Mega-sea, Laçameto de moedas e dados hoestos.

22 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. Coceito freqüetista Neste coceito a probabilidade é vista como um limite. Para casos assim a probabilidade de ocorrêcia do eveto A é obtida por: 1º) O experimeto é repetido vezes. º) Observa-se a freqüêcia relativa de ocorrêcia de um certo resultado A: ( A) f r (A) =, ode (A) é o º de vezes em que ocorre o resultado A em realizações do experimeto. 3º) Probabilidade como limite. A medida que aumeta, a fr(a) coverge para a real probabilidade P(A). P( A) = lim ( A) Exemplos Coceito freqüetista 1) Verificado se um dado é hoesto. ) Ecotrado a probabilidade de ocorrêcia de um acidete aéreo. 3) Qual a probabilidade de uma criaça ascer com Sídrome de Dow? 3.1. Probabilidade Codicioal A probabilidade de ocorrêcia de um eveto pode ser iflueciada pela ocorrêcia de um eveto paralelo. Cosidere que A e B são evetos de um mesmo espaço amostral S. Chamaremos de P(A B) a probabilidade de ocorrêcia do eveto A dado que o eveto B já ocorreu. Graficamete: Olhado para o deseho podemos estabelecer as seguites relações: P(A B) = P(B A) =

23 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 3 Exemplo Escolhedo alguém a sala de aula Supoha que um aluo da turma será sorteado. Após saber o resultado o professor faz algumas pergutas utilizado probabilidade codicioal. Exemplo Máquia X Coformidade Resultado Máquia Coforme Não coforme Total A B Total Resolver as seguites probabilidades: Idepedêcia Dois evetos A e B são cosiderados idepedetes se a ocorrêcia de um ão iterfere a probabilidade de ocorrêcia do outro: P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B) Isolado a itersecção a expressão de probabilidade codicioal obtemos: P(A B) = P(A) x P(B) Esse coceito é fudametal para aplicações em Estatística. Exemplo A probabilidade de ter um carro roubado o período de 1 ao é de 0,6%. Escreva o espaço amostral e calcule as probabilidades para todos possíveis resultados de uma família que tem dois carros.

24 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág Variáveis aleatórias discretas Distribuição Biomial O exercício acima pode ser resolvido pela Distribuição Biomial. Sempre que um experimeto que assume apeas dois possíveis resultados em cada repetição for repetido vezes e que a probabilidade de sucesso é costate em cada repetição podemos modelar o úmero de sucessos pela distribuição Biomial. X = úmero de sucessos, variado de 1 até p = probabilidade de sucesso em cada repetição 1-p = probabilidade de fracasso em cada repetição = úmero de repetições Expressão geérica da Biomial P( X x x = x) = p (1 p) x!! ( x)! O úmero esperado ou esperaça de sucessos a distribuição Biomial é facilmete ecotrado. Ituitivamete, respoda as pergutas a seguir: 1) Se laçarmos uma moeda hoesta 100 vezes, qual o úmero esperado de caras? ) Se laçarmos um dado 600 vezes, qual o úmero esperado de faces 5. 3) Em uma frota que 1000 carros, qual o úmero esperado de carros roubados o período de 1 ao? E ( X) = p Exercício Ispeção por amostragem Supoha que lotes com uma quatidade muito grade de peças são produzidos e que a proporção de peças defeituosas esses lotes é estimada em %. Numa amostra aleatória de 30 ites para ispeção: a) Qual modelo descreve X=úmero de peças defeituosas a amostra? b) Esboce o modelo teórico (tabela e gráfico). c) Faça uma simulação com um lote de N=5000 o Excel e costrua a distribuição empírica de X. Exercício Aceitação por amostragem Costrua uma Curva Característica de Operação (CCO) para um plao de amostragem para aceitação / rejeição de um lote. Siga as istruções do professor.

25 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág Variáveis aleatórias cotíuas Coceitos As variáveis cotíuas podem, ao meos teoricamete, assumir qualquer valor um itervalo umérico. Sedo assim fica impossível represetarmos variáveis cotíuas da mesma forma que as variáveis discretas. Importate As variáveis cotíuas são represetadas por curvas, chamadas de fução desidade de probabilidade, e a área sob essa fução represeta a probabilidade de ocorrêcia. Nas variáveis cotíuas ão existe a probabilidade de ocorrêcia de um valor exato, mas sim de itervalos. A fução desidade de probabilidade, deotada por f x (x), é a fução que idica o comportameto probabilístico da variável aleatória cotíua X. A fução desidade de probabilidade deverá satisfazer as seguites codições: a) f(x) 0, para todo x R. b) Área total sob a curva deve ser igual a 1. A área sob a curva f x (x) os iforma a probabilidade de ocorrêcia de valores da variável X. Supodo que o gráfico acima represete a fução de probabilidade de uma variável aleatória X. Como sabermos a probabilidade de ocorrêcia de valores etre a e b? Exemplo Gerador de Números pseudo-aleatórios (Distribuição Uiforme) Supoha que o gerador de úmeros pseudo-aleatórios do Excel siga uma distribuição Uiforme o itervalo de [0 ; 1]. a) Esboce graficamete a fução desidade de probabilidade para esse caso. b) Ecotre a probabilidade de ocorrer um úmero maior que 0,8.

26 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág A Distribuição Normal ou Curva de Gauss A distribuição Normal ou Gaussiaa é, sem dúvida, o modelo probabilístico mais cohecido. Várias técicas estatísticas ecessitam da suposição de que os dados se distribuam ormalmete para serem utilizadas. Na atureza uma grade quatidade de variáveis apresetam tal distribuição. Uma v.a.c. X tem distribuição ormal com parâmetros µ e σ se sua fução desidade de probabilidade é dada por: ( x) σ f = e, x R, σ π ode µ eσ são parâmetros, - < µ < + ( x µ ) 1 ; σ > 0 Notação X N(µ,σ) X tem distribuição Normal com média µ e desvio-padrão σ. Os parâmetros da Normal são a média e o desvio-padrão, que permitem ifiitas curvas ormais com diferetes formatos (mas sempre simétricas). O gráfico da f X é apresetado a seguir:

27 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 7 A distribuição Normal, idepedetemete dos valores dos parâmetros, apreseta sempre a seguite relação: Etededo os parâmetros da Normal: A média µ iforma o cetro da distribuição. É um parâmetro de locação. O desvio-padrão σ iforma o formato da curva. f(x) f(x) f(x) Valores de X Valores de X Valores de X Os cálculos itegrais evolvedo a distribuição Normal são bastate complicados. Felizmete, veremos a seguir uma relação que facilita muito ossa vida.

28 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 8 Exemplo Aplicação prática A altura de mulheres adultas o RS segue uma distribuição Normal com média de 165cm e desvio-padrão de 6cm. a) Qual a probabilidade de uma mulher ter etre 159 e 171cm? b) Qual a probabilidade de uma mulher ter etre 153 e 177cm? c) Qual a probabilidade de uma mulher ter mais de 177cm? d) Qual a probabilidade de uma mulher ter meos de 180cm? Distribuição Normal-padrão ou Normal reduzida Seja X uma variável aleatória ormalmete distribuída com quaisquer parâmetros média µ e desvio-padrão σ. Se realizarmos a seguite trasformação obteremos uma ova variável Z com média 0 e desvio-padrão 1: X N(µ,σ) µ = X σ Z Z (0,1) Qualquer variável com distribuição Normal pode ser padroizada para a Normal. A distribuição Normal padroizada (Z) é tabelada. O valor de Z idica quatos desvios acima ou abaixo ós estamos em relação à média. Exemplo Aprededo a usar a tabela 1) Calcule: a) P(Z < 1,4) = b) P(Z < 1,67) = c) P (Z >,1) =

29 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 9 Cap. 4 Amostragem & Distribuições Amostrais 4.1 Coceitos Básicos Amostragem é o ome dado ao cojuto de procedimetos e técicas para extração de elemetos da população para compor a amostra. O objetivo da amostragem é obter uma amostra represetativa da população em estudo. Um Ceso é a ivestigação da população completa. Por que trabalhar por amostragem? A fração de amostragem f é a razão etre o tamaho amostral () e o tamaho populacioal (N). Não existem regras fixas para tamaho de amostra, ou seja, cada caso merece um cuidado especial. Frases como 10% da população é ideal, quase sempre ão são verdadeiras. f = N As técicas de amostragem se dividem em: probabilísticas e ãoprobabilísticas. As técicas probabilísticas são aquelas ode todos os elemetos da população têm uma probabilidade ão ula de seleção; é possível associar probabilidade de seleção a todos elemetos que compõem a população. Nas técicas ão-probabilísticas ão podemos garatir que todos elemetos têm probabilidade de serem selecioados para a amostra. 4. Pricipais técicas de amostragem probabilística Geralmete as técicas probabilísticas produzem melhores resultados do que as ão probabilísticas, tedo uma melhor receptividade pela comuidade cietífica. Neste tipo de amostragem, a seleção dos elemetos evolve a utilização de algum dispositivo aleatório para seleção das uidades amostrais, pois, desta forma, estamos garatido que todos os elemetos da população tiveram sua chace de serem selecioados. Exemplo de dispositivos aleatórios: Fução Aleatório do Excel, Radom, Ura, Dado, Moeda.

30 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág Amostragem Aleatória Simples (AAS) Apesar de ser uma forma extremamete simples de seleção de elemetos da população, a AAS é cosiderada uma das melhores técicas de amostragem. Na AAS cada elemeto da população tem igual probabilidade de seleção. Etapas: 1) Eumerar a população de 1 até N. ) Sortear úmeros o itervalo de 1 até N. (pode ser COM ou SEM reposição) 3) Compor a amostra com os elemetos selecioados. Probabilidade de seleção de um elemeto a AAS: Número de amostras possíveis SEM reposição: Número de amostras possíveis COM reposição: Exemplo Amostra = da população N=5 Verificar quatas amostras são possíveis SEM reposição da população de tamaho 5 verificado também as probabilidades de seleção de cada uidade. A B C D E

31 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág Distribuições Amostrais & Estimação por poto e por itervalo Agora que já cohecemos seus dois pilares Probabilidade e Amostragem iiciaremos a parte de Iferêcia Estatística. Iferir sigifica trasceder resultados amostrais para toda população. No item a seguir faremos a distição etre características populacioais e amostrais Parâmetros e Estimadores Um parâmetro é um valor que descreve uma característica da população. Um estimador é uma fução de dados amostrais que gera estimativas para um parâmetro. A palavra estatística pode ser utilizada como um siôimo de estimador. Cosidere x 1, x,..., x uma amostra aleatória de elemetos de uma população. Deotaremos por θ um parâmetro qualquer e por θˆ ( x) ou simplesmete θˆ um estimador de θ. Os parâmetros geralmete são deotados por letras gregas e é bastate comum utilizar o chapéu para difereciar os estimadores dos parâmetros Propriedades dos Estimadores Cosidere x 1, x,..., x uma amostra de elemetos de uma população com média µ e desvio-padrão σ, sedo os x i idepedetes e ideticamete distribuídos. Um estimador θˆ ( x) será cosiderado uma variável aleatória pois, cada uma das possíveis amostras de tamaho da população provavelmete gerará uma diferete estimativa. Um estimador θˆ ( x) é uma variável aleatória porque depede da amostra (aleatória) selecioada. Um bom estimador do parâmetro θ deverá apresetar algumas propriedades desejáveis. Iremos discutir quatro propriedades dos estimadores: 1 a ) Não tedeciosidade: um estimador é ão-tedecioso se a sua esperaça coicide com o valor do parâmetro. Em outras palavras, uma estimador é ãotedecioso se as suas estimativas, em média, são corretas, orbitado em toro de θ. Exemplo: E( X ) =

32 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 3 a ) Cosistêcia: um estimador é cosistete se a sua variabilidade dimiui a medida que o tamaho amostral aumeta. Esta é uma propriedade altamete desejável quado aliada a ão-tedeciosidade. Se θˆ ( x) é cosistete, etão lim Var( ˆ) θ = 0 Exemplo: Var( X )=. Importate: O desvio-padrão de um estimador também é chamado de Erro-padrão. DP( ˆ θ ) = Var( ˆ θ ) = Erro padrão 3 a ) Eficiêcia: um estimador ˆ θ1é mais eficiete que ˆ θ se Var( ˆ θ 1 ) < Var( ˆ θ ) para um mesmo tamaho amostral. 4 a ) Suficiêcia: um estimador θˆ é suficiete se utilizar o máximo de iformação dispoível a amostra para estimar o parâmetro θ Métodos de Estimação Neste texto discutiremos dois diferetes métodos de estimação de parâmetros. Um terceiro método, chamado de míimos quadrados, será trabalhado o item o ) Método da Máxima Verossimilhaça (MáxVer) ou Maximum Likelihood (ML): é o método computacioalmete mais empregado para estimação de parâmetros, cosistido a maximização da fução de verossimilhaça l (θ ) ou de seu logaritmo l l (θ ). A fução de verossimilhaça retrata a probabilidade de uma particular amostra x 1,x,...,x ter sido selecioada em fução do(s) parâmetro(s) que regem a fução de probabilidade do feômeo. Assim sedo, a estimativa de máxima verossimilhaça para θ será aquela que torar máxima a fução. De acordo com Meyer (1969), as estimativas de MáxVer podem ser tedeciosas, mas são cosistetes, assitoticamete eficietes e, a medida que aumeta, os estimadores de MáxVer seguem distribuição aproximadamete ormal. ( x1, θ ) f ( x, θ ) K f ( x, θ ) = f ( x i, ) l ( θ ) = f θ i= 1

33 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 33 Para eteder melhor a fução de verossimilhaça, tete lembrar da regra da idepedêcia: P ( A B ) = P( A ) P( B ) P ( A B C ) = P( A ) P( B ) P( C ) P( I i= 1 A i ) = P( Ai ) i= 1 Exemplo URNA (Costa Neto, 1977): Cosidere uma ura com S bolas Pretas e 10-S bolas Bracas e quatro bolas COM reposição serão extraídas da caixa. Estimar por MáxVer o valor de S sabedo que, uma extração aleatória ocorreu uma bola Preta e três Bracas. Como =10 bolas, logo sabemos que o valor de S irá variar etre 0 e 10 e, por ser extração COM reposição, podemos modelar este feômeo pela distribuição Biomial com parâmetros =4 e p=s/10. Supoha que X=úmero de bolas pretas a amostra, assim a fução de verossimilhaça l(s) será baseada a biomial e ficará úica e exclusivamete como fução de S, visto que X=1 a partir dos dados da amostra =4. l ( S) = P( X = 1) = C S 10 S S 10 S = S (10 S) = S(10 S) = Mostraremos graficamete o processo de maximização de l(s) a forma de um gráfico próprio para esta fução discreta. Figura Fução de verossimilhaça para o exemplo da ura L(S) 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05-0 0,916 0,4116 0,4096 0,3456 0,5 0,1536 0,0756 0,056 0, S

34 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 34 Exemplo PRÊMIOS OCULTOS Uma promoção distribui picolés gratuitos detre aqueles que ecotrarem o valebride o palito. Supoha que você deseje estimar a taxa de premiação, ou seja, qual a proporção p de picolés vedidos que têm prêmio. Supoha que, a terceira tetativa você ecotre um prêmio. Perceba que, embora tehamos outro problema que evolva variáveis discretas, este caso ão podemos eumerar todas possibilidades para p visto que ão sabemos o total de picolés produzidos. De qualquer forma, obviamete, 0<p<1. Figura Fução de verossimilhaça para o exemplo do Prêmio Oculto L(p) 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0-0% 10% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Exemplo Estimador de MáxVer para λ a Poisso Ecotar o estimador MáxVer para λ sabedo que X ~ Poisso (λ). Neste caso é muito mais simples maximizar o logaritmo atural da fução de verossimilhaça. o ) Método dos Mometos: Este método foi proposto pelo iglês Pearso em 1894 e cosiste em igualar os mometos amostrais aos mometos da distribuição populacioal. Exemplo Distribuição Normal Média amostral (1 o mometo amostral) = X Variâcia amostral ( o mometo amostral) = ˆ σ Na distribuição Normal: E(X) = µ e Var(X) = σ Portato X pode ser usado para estimar µ e ( ) ˆ σ para estimar σ. Sabemos, xi X etretato, que i= ˆ σ = 1 é um estimador viciado para σ. Exemplo Poisso Sabedo que X ~ Poisso (λ), ecotrar pelo método dos mometos um estimador para λ.

35 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág Distribuição amostral da média ( X ) Já sabemos que o estimador X é uma variável aleatória, mas aida ão estudamos o seu comportameto probabilístico. Vejamos um exemplo: Exemplo População N=6 e Amostra =3 A B C D E F Parâmetros; µ = 35 σ =17,078 Quadro Possíveis estimativas para µ i Amostra X i i Amostra X i 1 ABC 11 BCD ABD 1 BCE 3 ABE 13 BCF 4 ABF 14 BDE 5 ACD 15 BDF 6 ACE 16 BEF 7 ACF 17 CDE 8 ADE 18 CDF 9 ADF 19 CEF 10 AEF 0 DEF X 0 X i = 1 = i 0 Graficamete: σ 0 i = 1 = i X ( X X ) O objetivo deste exemplo foi demostrar o fucioameto do teorema do limite cetral, formalizado a seguir.

36 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 36 Teorema do Limite Cetral Para populações ifiitas: X, a medida que ifiito, tem distribuição Normal com Média=µ e Desviopadrão = σ Quado N é fiito: X, a medida que N, tem distribuição Normal com σ N = N 1 Média=µ e Desvio-padrão Exemplo População com média 0,5 Cosidere uma população ifiitamete grade com média µ = 0, 5. Vamos avaliar as distribuições amostrais da média amostral X com = 30 e 300.,0 3,5 1,5 3,0,5 1,0,0 1,5 0,5-0 0, 0,4 0,6 0,8 1 Médias amostrais 1,0 0,5-0 0, 0,4 0,6 0,8 1 Médias amostrais = 30 = 300 Percebemos claramete que com o aumeto do tamaho amostral a distribuição de X fica cada vez mais cocetrada em toro do parâmetro µ. Isso quer dizer que, quato maior amostra, maior a possibilidade de acertarmos o valor do parâmetro.

37 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág Distribuição amostral da proporção ( pˆ ) O estimador pˆ teoricamete pode ser descrito pela distribuição Biomial. Vamos defiir uma variável biária X assumido os valores 0 (característica ausete) e 1 (característica presete). Cosidere uma população ifiita com parâmetro p. O xi estimador imediato de p é a proporção amostral i= pˆ = 1. Se assumirmos população ifiita (equivalete a amostragem com reposição) a distribuição amostral de pˆ será descrita pela Biomial com parâmetros ( ; p). No caso de populações fiitas a distribuição de pˆ será Hipergeométrica. Exemplo População N=6 e Amostra =3 A B C D E F Quadro Possíveis estimativas para p i Amostra pˆ i i Amostra 1 ABC 11 BCD ABD 1 BCE 3 ABE 13 BCF 4 ABF 14 BDE 5 ACD 15 BDF 6 ACE 16 BEF 7 ACF 17 CDE 8 ADE 18 CDF 9 ADF 19 CEF 10 AEF 0 DEF pˆ i pˆ 0 X i = 1 = i 0 Para > 30 a distribuição de pˆ pode ser aproximada pela Normal, com média igual ao parâmetro p e desvio-padrão dado por pˆ ( 1 pˆ ).

38 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 38 Cap. 5 Iferêcia Estatística: Itervalos de Cofiaça A estimação por poto e por itervalo costitui um tipo de iferêcia estatística, pois buscamos ecotrar o verdadeiro valor do parâmetro populacioal a partir de uma amostra. 5.1 Estimação por poto Visa estimar o valor do parâmetro através de estimativas potuais (úicas). A vatagem é ser de fácil e rápida iterpretação, mas, em cotrapartida, a probabilidade de acerto a mosca é praticamete ula. Mas por que a probabilidade de acertar a mosca é praticamete zero? Você se lembra que os estimadores podem ser ecarados como variáveis aleatórias cotíuas e que, esse tipo de variável, ão é possível calcular a probabilidade de ocorrêcia para valores exatos, mas sim para itervalos. 5. Estimação por itervalo de cofiaça Cosiste em cercar o valor da estimativa potual por uma região cuja probabilidade de coter o verdadeiro parâmetro seja cohecida. NOTAÇÕES que serão utilizadas a partir de agora α (alfa) = ível de sigificâcia 1 - α = ível de cofiaça t = valor da distribuição t de Studet com -1 graus de liberdade e área α à ; 1 α direita. α z α = valor da distribuição ormal padrão com área à direita 1 o ) Itervalo de Cofiaça para µ (teórico) Cohecedo o teorema do limite cetral podemos costruir itervalos de cofiaça para a média populacioal. Para isso basta cercarmos a estimativa potual X por um itervalo cuja probabilidade de coter o parâmetro seja cohecida. P ( a < µ < b ) = 1 α O itervalo [a;b] tem 1-α de probabilidade de coter µ. Mas quais os valores de a e b? O cohecimeto do comportameto probabilístico de X possibilita ecotramos um itervalo de cofiaça para µ.

39 X µ P a < < b = α σ 1 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 39 I.C. para µ com 1-α de cofiaça = X ± z α σ Na fórmula de IC acima percebemos a preseça de um parâmetro (σ). Se estamos procurado um itervalo de cofiaça para µ é porque NÃO cohecemos µ. É praticamete impossível cohecermos σ e ão cohecermos µ. Por isso esse resultado acaba sedo INÚTIL a prática. o ) Itervalo de Cofiaça para µ (prático) Ao substituirmos o parâmetro σ por seu estimador s, a distribuição amostral de X deixa de ter uma distribuição Normal e passa a ter uma distribuição t de Studet. Desta forma os Itervalos de cofiaça podem ser utilizados em situações práticas. I.C. para µ com 1-α de cofiaça = X ± t 1, α s Quado a população é fiita, faz-se ecessário o fator de correção para populações fiitas: I.C. para µ com 1-α de cofiaça = X ± t s N α 1, N 1 Exemplo Diâmetro de Aros Aros são produzidos uma idústria metalúrgica. O diâmetro omial é de 15cm. Numa amostra aleatória de 31 aros, o diâmetro médio ecotrado foi de 15,3cm com um desvio-padrão de 0,8cm. Costrua um IC 95% para o verdadeiro diâmetro médio dos aros esta liha de produção.

40 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág o ) Itervalo de Cofiaça para uma proporção populacioal p A estimativa potual para uma proporção é dada diretamete pela proporção amostral. Já vimos que para >30, a distribuição de pˆ pode ser aproximada pela distribuição Normal (p; pˆ ( 1 pˆ ) ). Vamos deduzir a expressão do itervalo: I.C. para p com 1-α de cofiaça = ) p ± z α pˆ ( 1 pˆ ) O fator de correção N N 1 é acrescetado em caso de populações ifiitas. I.C. para p com 1-α de cofiaça = ) ± pˆ ( 1 pˆ) N p z α N 1 ode z 0, 05=1,645 (90%) z 1 96 (95%) 0, 05 =, 0, 005 =, z 576(99%) Exemplo Proporção de reclamações o período de garatia Uma empresa vedeu 1500 uidades de uma máquia com garatia de aos. Uma amostra de 150 clietes (leia-se 150 máquias) revelou que 15 tiham utilizado os serviços de garatia. Costrua um Itervalo de cofiaça 95% para a verdadeira proporção de clietes que utilizou serviços de garatia.

41 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág Dimesioameto de Amostras Dimesioar uma amostra é verificar qual o ecessário para atigir uma precisão pré-defiida, fixado-se um ível de cofiaça e fazedo algumas suposições. Na realidade, dimesioar a amostra é cotrolar a margem de erro do estudo. Margem de erro = semi-amplitude do Itervalo de Cofiaça As expressões a seguir são de fácil aplicação, mas é ecessário ter algum cohecimeto prévio sobre a variável de iteresse para ser possível calcular. Os valores de t, X, s e pˆ podem ser obtidos em amostras piloto ou em estudos ateriores, ou aida, em último caso, por ituição. Deduções das expressões de cálculo do tamaho amostral: Para médias: Para proporções: t α 1; = erro s = z α pˆ ( 1 pˆ) erro Esses tamahos amostrais precisam ser ajustados em caso em populações fiitas: N fiito = N + Exercícios: 1) No exercício do diâmetro dos aros, qual deveria ser o para reduzir a margem de erro para 0,15cm, matedo a cofiaça em 95%. ) No exercício da garatia, qual deveria ser o para reduzir a margem de erro para % matedo a cofiaça em 95%. 3) Diferecie ível de cofiaça de margem de erro. 4) A relação etre a margem de erro e o é liear?

42 Especialização em Egeharia de Processos e de Sistemas de Produção ESTATÍSTICA - Pág. 4 Exercícios 1) Segudo a FEE, o redimeto médio real dos ocupados a RMPA foi estimado em R$ 1395,00 em Abril/011. Cosiderado um desvio-padrão correspodete a 50% da média, qual deverá ser o tamaho amostral para estimar esse redimeto médio com margem de erro de R$ 100,00. ) Costruir uma curva que mostre o tamaho amostral como fução do erro usado os dados do exercício aterior. 3) Numa amostra de =10 porto-alegreses obteve-se um total de 30 pessoas que asceram em outras cidades. Costrua um itervalo de cofiaça BINOMIAL e outro usado a fórmula baseada a aproximação pela NORMAL para a proporção de potoalegreses que ão asceram em POA. 4) Extrair 500 amostras de tamaho =30 da população N= do arquivo Excel. Costruir itervalos para cada estimativa de x-barra e cotar quatos cotém o parâmetro.