eber nunes ferreira desenho geométrico

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1 0 desenho geomético

2 -INTRUÇÃ À GEMETRI desenho geomético. - INTRUÇÃ Geometi é ciênci que tem po ojetivo o estudo igooso do espço e ds figus que nele podem concee. sei-se em: -conceitos pimitivos: queles que não se definem, medinte os quis podem se definidos todos os outos. E.: o ponto -postuldos: poposições dmitids sem demonstções. E.: há infinitos pontos em um et. -teoems: poposições que necessitm de demomonstções. E: som do quddo dos ctetos é igul o quddo d hipotenus (Teem de itágos).. -ELEMENTS FUNMENTIS onto ponto esult d inteseção de dus linhs, sendo indicdo com lets miúsculs ou númeos:,,,...,,,... e epesentdos d seguinte fom: Linh onceitução: linh pode se compd um séie de pontos que se sucedem no espço, tão póimos que se confundem num tço contíguo, unidimensionl. ssim, podemos conceê-l como o conjunto ds posições de um ponto móvel, podendo se pesent com fom: linh et linh poligonl linh mist linh cuv Linh Ret Qundo um ponto se desloc no espço sem nunc mud de dieção, ele dá oigem um linh et, sendo est, infinit e ilimitd nos dois sentidos. et segmento de et semi-et s ets podem se clssificds confome posição solut em que se encont, e qunto às posições eltivs. osição solut osições Reltivs (ets coplnes) INIENTES hoizontl RLELS veticl inclind EER NUNES FERREIR NRRENTES ERENIULRES

3 desenho geomético lno plno pode se considedo como o conjunto ds posições de um linh et móvel, que se desloc plelmente si mêsm em um únic dieção. É designdo po lets minúsculs do lfeto gego. É epesentdo d seguinte fom. - LUGRES GEMÉTRIS = lf = et = gm onceito: Lug Geomético de pontos é o lug do plno onde todos os pontos nele situdos gozm de um mesm popiedde. Eistem váios luges geométicos, no entnto, cinco são considedos os mis impotntes. São eles: cicunfeênci, meditiz, issetiz, plel e co-cpz.. - icunfeênci: é o lug geomético dos pontos equidistntes de um ponto ddo.. - Meditiz: é o lug geomético dos pontos eqüidistntes de dois pontos ddos. = =. - lel: é o lug geomético dos pontos eqüidistntes de um et dd d d E E E d d= distânci ' EER NUNES FERREIR ' ' ' 4' 5'

4 desenho geomético.4 - issetiz: é o lug gemético dos pontos eqüidistntes de dus ets concoentes, ou o lug geomético dos pontos eqüidistntes dos ldos de um ângulo ddo. d d ISSETRIZ ISSETRIZ ISSETRIZ ' ' ' d ' ' ' d.5 - co-cpz: é o lug gemético dos pontos de onde segmentos ddos, são vistos segundo ângulos ddos. ' " Est é um popiedde osevd ente cicunfeênci e su cod. (od é o segmento que une dois pontos distintos d cicunfeênci) R ' " R R R ' Q R R Q' 80º R Q' Leme-se que mio cod de um cicunfeênci é o seu diâmeto. vlo do co-cpz qundo cod pss pelo cento é de 90º e neste cso, os ângulos e são conguentes (iguis). Q 80º 90º Q EER NUNES FERREIR R = IÂMETR 4

5 desenho geomético.6 - EXERÍIS RESLVIS. s eecícios que se seguem de 0 09 são pesentdos já esolvidos e compnhdos do método constutivo. luno deveá epeti cd eecício ssimilndo e ciocinndo os pocedimentos utilizdos. s eecícios de 0 7 são pesentdos pens com o enuncido e o luno deveá vle-se dos conhecimentos dquiidos. (s eecícos esolvidos nem sempe se pesentm com s medids eis). ER0 - etemine meditiz dos pontos e. Leme-se : meditiz detemin o ponto médio do segmento definido pelos pontos e. onstução: ento em, com etu qulque do compsso mio que metde de, desceve-se um co cim e outo io do segmento ddo. ento em, com mesm etu epete-se opeção nteio. s cos se cuzãos os pes deteminndo os pontos e, que ligdos deteminão meditiz pedid. s.: etu mio que metde, pode se mio que o pópio segmento. Vle slient que qunto mis distntes ficem os pontos e, mio seá pecisão. ER0 - Levnt um pependicul o meio do segmento (meditiz ) situdo soe et. onstução: etemin meditiz de. ER0 - o um ponto situdo fo d et, levnt et pependicul à. RESS I - onstução: ento em, etu qulque, desceve-se um co deteminndo os pontos e soe (polongue-o se necessáio). go detemine meditiz de e otenh. EER NUNES FERREIR 5

6 RESS II - onstução: etemin-se itimente o ponto soe et. ento em, etu, desceve-se um co deteminndo o ponto soe. ento em, etu desceve-se outo co que inteceptá o pimeio no ponto. Uni-se e otém-se pependicul pedid. desenho geomético ER04 - o um ponto, situdo n et, levnt et pependicul à. onstução: ento em, etu qulque, desceve-se um co deteminndo os pontos e soe. tenh deteminndo meditiz de. ER05 - elo ponto, situdo n etemidde d et, levnt et pependicul à. (Nos pocessos efeentes este eecício, não é pevisto o polongmento d et RESS I - onstução: Tomndo como etemidde o ponto, etu qulque, desceve-se um co (mio que 0º) deteminndo o ponto soe. om mesm etu, cento em, detemin-se, em seguid, cento em e detemin-se, mos soe o co inicil. go, st encont meditiz dos pontos e e teemos soluciondo o eecício. elo fto do ponto, petence à meditiz, st detemin o ponto 4. s.: etu inicil é qulque, ms depois de estelecid, não podeá se lted dento do eecício. 4 RESS II - onstução: Tomndo como etemidde o ponto, etu qulque, desceve-se um co (mio que 60º) deteminndo o ponto soe. om mesm etu, cento em, detemin-se soe o co. Une-se polongndo-o, deteminndo ssim et uili. om mesm etu, à pti de detemin-se soe. ponto ligdo o ponto deteminá pependicul pedid. EER NUNES FERREIR 6

7 desenho geomético RESS III - onstução: e um ponto qulque, fo d et dd, com etu, desceve-se um co (mio que 80 ) deteminndo o ponto soe. Une-se polongndo-o, etemin-se ssim, et uili que encontá o ponto soe o co. ponto ligdo o ponto deteminá pependicul pedid. RESS IV - onstução: Este pocesso sei-se no fto de que todo tiângulo de ldos u, 4u e 5u, é um tiângulo etângulo. Soe um et uili e com o uílio do compsso ou com o uso d égu gdud, mc-se 5 módulos quisque, ms que sejmiguis ente si. ento em, etu igul módulos, desceve-se um co deteminndo o ponco soe. ento novmente em, etu igul 4 módulos e desceve-se um segundo co. ento em, etu igul 5 módulos e desceve-se um co que inteceptá o nteio deteminndo o ponto. Une-se e otém-se pependicul desejd. 4u 5u u u u u u u ER06 - o um ponto, situdo fo d et, tç um et plel. RESS I - onstução: o, psse um et qulque, que cote no ponto. ento em, etu e detemin-se soe o ponto. elo ponto, psse um et qulque, que cote no ponto. ento em etu e detemin-se soe o ponto. om união dos pontos e, otém-se et pedid. ' = ' = EER NUNES FERREIR 7

8 desenho geomético RESS II - onstução: ento em, etu qulque, desceve-se um co deteminndo em. ento em, mesm etu e detemin-se soe o ponto (co ). ento em, etu, detemin-se soe o pimeio co o ponto. om união dos pontos e, otém-se et pedid. = = ER07 - Tç um et plel à et dd. onstução: ento em (ponto qulque soe ), etu qulque, desceve-se um semi-cicunfeênci deteminndo e soe. ento em, com mesm etu, detemin-se soe o co, o ponto. ento em, mesm etu, detemin-se soe o co o ponto. om união dos pontos e, otém-se et pedid. ER08 - etemine o lug geomético dos pontos equidistntes do ângulo ddo (issetiz). onstução: ento em, etu qulque, detemin-se soe os ldos do ângulo, os pontos e. ento em, etu qulque, tç-se um co de cicunfeênci. ento em, mesm etu, e tç-se um outo co que concoeá com o nteio, deteminndo o ponto. Unindo os pontos e, otém-se issetiz pedid. EER NUNES FERREIR 8

9 desenho geomético ER09 - etemine issetiz do ângulo ddo, sem ecoe o vétice. onstução: Tçe um et uili qulque cotndo os ldos do ângulo ddo, otendo os ângulos uilies,, e. Enconte o ponto com o cuzmento ds issetizes dos ângulos e, e o ponto com s issetizes dos ângulos e. om união dos pontos e, otém-se issetiz pedid. EXERÍIS RSTS E0 - dos os pontos,, e 4, enconte o ponto que sej equidistnte dos pontos e e dos pontos e 4. 4 E0 - onstu um cicunfeênci cujo cento petenç et e que contenh os pontos R e S. S R E0 - onstu um cicunfeênci de io = cm e que contenh os pontos R e S. S R EER NUNES FERREIR 9

10 E04 - Enconte soe et os pontos e distntes cm d et. desenho geomético E05 - Enconte o ponto K sendo-se que o mesmo encont-se equidistnte dos ldos não plelos do tpézio e distnte,5 cm d se mio. Quntos pontos solucionm este eecício? E06 - onstu um cicunfeênci que tngencie os ldos em cd tiângulo ddo. E07 - onstu o tiângulo sendo que o ldo = 4 cm, é plelo et. EER NUNES FERREIR 0

11 - IVISÃ E SEGMENTS desenho geomético TEREM E TLES Um feie de ets plels detemin em dus ou mis tnsvesis quisque, segmentos popocionis. s t s t c d z v w z onsidendo o feie de ets plels equidistntes (v,,, w e z), cotdo pels ets tnsvesis s e t, temos n et s, segmentos iguis de medid, e n et t, segmentos iguis de medid..- IVISÃ E SEGMENTS Eemplo de divisão do segmento em n ptes iguis. onside n = 4. s' s//s' 4 s RESS: ontução: o psse um et uili s deteminndo um ângulo qulque com o segmento. Tnspote este ângulo p o ponto deteminndo et s' plel et s. om o uso do compsso ou de um égu gdud, mque soe s e s', n módulos iguis. o unimos os pontos dos módulos, fomndo ets plels, o segmento é dividido em n ptes iguis. EER NUNES FERREIR

12 .- IVISÃ SIMULTÂNE E SEGMENTS desenho geomético ividi os segmentos, e EF em n ptes igusis. onside n= 5 E F E 60º 60º 60º RIMEIR SS F ontução: Soe um et uili qulque, com o uso do compsso ou de um égu gdud, mque n módulos iguis. - ontu um tiângulo equiláteo tendo po ldo um dos segmentos seem diivididos, pefeencilmente o mio. ento em com etu, tnspot-se o segmento p o tiângulo. Repete-se est opeção p todos os demis segmentos seem divididos incluisve o segmento fomdo pelos módulos. o unimos os pontos dos módulos o ponto todos os segmentos são divididos em n ptes iguis simultnemente. E F E F SEGUN SS TEREIRSS.- IVISÃ E SEGMENTS EM RTES RRINIS ER0 - ividi os segmentos popocionl os ldos do Tiângulo XYZ. Z X z Y ' z z' ' s' RESS I : ontução: o, psse um et uili fomndo um ângulo qulque com o segmento ddo. Soe, pti de, tnspote os ldos, z e com o uso do compsso. Un o ponto etemidde do ldo deteminndo et s. els etemiddes de cd segmento tnspotdo, psse um et plel s. enconto de cd et plel com o, divide o segmento em ptes popocionis, z e. RESS II : plic o mesmo ciocínio utilizdo o segundo pocesso de divisão em ptes iguis. SERVÇÃ: om divisão do segmento em ptes popocionis os ldos, e z, do tiângulo, podemos constui um outo tiângulo de ldos ', ' e z' popocionl o pimeio e cujo peímeto é igul o segmento. ssim sendo, podemos contui váis figus popocionis s outs conhecendo-se o seu peímeto. EER NUNES FERREIR

13 4 - ÂNGULS desenho geomético onsidee, inicilmente tês pontos, e distintos não-colinees soe um supefície pln. o definimos dus semi ets e, tmém definiemos dus egiões que els limitm no plno. eunião ds semi-ets com qulque um ds dus egiões po els limitds no plno é denomind ÂNGUL. ângulo ângulo otnto, ângulo é eunião ds semi-ets com egião po eles delimitd. Qundo os ldos do ângulo foem coincidentes, teemos fomção dos ângulos: de volt intei e nulo. ldos coincidentes ldos coincidentes ÂNGUL E VLT INTEIR ÂNGUL NUL Qundo os ldos do ângulo foem semi-ets oposts,ou sej, os pontos, e foem distintos colinees, eunião ds dus, esult em um únic et. ssim teemos fomção dos ângulos denomindos de sos ou de mei volt. ldos opostos ldos opostos ÂNGUL RS U E MEI VLT ÂNGUL RS U E MEI VLT Um figu é denomind conve se, p quisque dois pontos distintos el petencentes, todos os pontos do segmento el tmém petenceem. ldo ldo ldo ldo ÂNGUL NVEX ÂNGUL ÔNV EER NUNES FERREIR

14 4. - ELEMENTS E UM ÂNGUL Vétice do Ângulo : é o ponto comum às semi-ets. Ldos : são s pópis semi-ets. etu ngul : é unidde de medid do ângulo. Região ngul : é poção compeendid ou delimitd pelos ldos. desenho geomético Vétice ldo etu ngul Região ngul ldo 4.- MEIS ERTUR NGULR etu ngul pode se epess em gus, gdos e dinos, onde o mio ângulo que se otém o nível do desenho geomético é o de 60, 400 g ou pd, ou sej, um ângulo de volt intei. No entnto utilizemos dunte o cuso, o gu, como unidde de medid g d g 00 g d 0 g 0 d d g d NTÇà : indicmos que um ângulo, tem um detemind etu, escevemos ds seguintes mneis:  = 45 ou  = 45 tente p o fto de que dois ou mis ângulos que possuem medids iguis são chmdos ângulos conguentes.     ÂNGUL NUL ÂNGUL RET ÂNGUL RS ÂNGUL E VLT INTEIR 4. - REGIà INTERN E NT INTERIR (NT INTERN) Ecluíndo os ldos de um ângulo, otemos s seguintes egiões: - egião inten do ângulo conveo - e egião inten do ângulo côncvo. Um ponto é considedo ponto inteio, qundo petece à egião inten do ângulo. ÂNGUL NVEX ÂNGUL ÔNV NT INTERIR EER NUNES FERREIR 4

15 4.4 - ÂNGULS NSEUTIVS desenho geomético ois ângulos são consecutivos qundo possuem o mesmo vétice e um mesmo ldo comum. ângulos consecutivos ' Ô e Ô são ângulos consecutivos Ô e Ô são ângulos consecutivos ângulos não consecutivos ÂNGULS JENTES ois ângulos consecutivos são djcentes qundo não possuem ponto inteio comum Ô e Ô são ângulos consecutivos djcentes, pois não possuem ponto inteio comum, ou sej, o ponto qundo petence egião inten de Ô, não petence egião inten de Ô e vice-ves. Se considemos os ângulos Ô e Ô,eles seão clssificdos como ângulos consecutivos não djcentes, pois possuem ponto () inteio comum, ou sej o ponto petence egião inten dos dois ângulos. Se considemos os ângulos Ô e Ô, eles seão clssificdos como ângulos não consecutivos,(possuem mesmo vétice, poém não possuem ldo comum), e não djcentes, pois possuem um ponto () inteio comum (o ponto petence egião inten dos dois ângulos) ÂNGULS MLEMENTRES E SULEMENTRES ois ângulos são complementes, qundo som de sus etus ngules é igul um ângulo eto (90 ). + = 90º ' + = 90º ois ângulos são suplementes, qundo som de sus etus ngules (medids) é igul um ângulo so (80 ). EER NUNES FERREIR + = 80º + = 80º 5

16 nlise os ângulos io e clssifique-os confome o eemplo. desenho geomético 0 Ô e Ô ângulos consecutivos não djcentes complemtes Ô e Ô... Ô e Ô... Ô e Ô TRNSRTE GEMÉTRI E ÂNGULS s ângulos otidos com o uílio do compsso necessitm que o mesmo sej pontdo coetmente, p otenção de contuções geométics com um pecisão dequd. 75º º Eemplo de constuções Técnics ER - do um âgulo, pede-se tnspotá-lo geometicmente p semi-et. ' ' V ' ' ' M ERTUR QULQUER E ENTR EM V ESREVE-SE UM R QUE RT S LS ÂNGUL EM E. M MESM ERTUR E ENTR EM ESREVE-SE UM R QUE RT SEMI-RET EM '. M ERTUR E RTIR E ' MR-SE ' M UNIÃ E ' TÉM-SE ÂNGUL ESEJ. V EER NUNES FERREIR 6

17 desenho geomético Utilizndo o tnspote de ângulos podemos plic este conhecimento p dição e sutção geométic de ângulos IÇÃ E ÂNGULS ER - dos os âgulos e, pede-se somá-los geometicmente tendo como vétice o ponto V. V V ' ' ' ' ' ' V ' V ' V ' SUTRÇÃ E ÂNGULS ER - dos os âgulos e, pede-se sutí-los geometicmente tendo como vétice o ponto V. V V ' ' ' ' ' ' V om etu e cento em ' detemin-se o ponto '. EER NUNES FERREIR V V ' ' ' om etu e cento novmente em '' detemin-se o ponto '. ângulo pocudo é difeenç ente e. otnto st ton os ângulos e em ângulos consecutivos não djcentes 7

18 EXERÍIS desenho geomético E06 - Efetue gficmente s opeções com os ângulos io. V V NSTRUÇÕES GEMÉTRIS S ÂNGULS ER4 - onstução do ângulo de 45º tvés d divisão do ângulo de 90º 45º ento em com etu qulque otem-se e. om mesm etu centos em e e detemin-se. divide o ângulo de 90º em ângulos de 45º. ER5 - onstução do ângulo de 0º tvés d divisão do ângulo de 90º em ptes iguis º 0º 0º ento em com etu qulque otem-se e 4. om igul etu, centos em e 4 e detemin-se e. e 0 dividem o ângulo de 90º em ângulos de 0º. EER NUNES FERREIR seve o dividi um ângulo eto em ptes iguis otém-se tmém um ângulo de 0º e outo de 60º 8

19 ER6 - onstução do ângulo de 60º desenho geomético 60º ento em com etu qulque otem-se. om igul etu, cento em detemin-se. define o ângulo de 60º ER7 - onstução do ângulo de 0º 0º ento em com etu qulque otem-se. om igul etu, cento em detemin-se. define o ângulo de 0º ER8 - onstução do ângulo de 5º 0º ento em com etu qulque otem-se. om igul etu, cento em detemin-se. define o ângulo de 0º 5º onstu issetiz d o ângulo de 0º e otenh um ângulo de 5º. ER9 - onstução do ângulo de 75º 0º 5º 5º 60º 75º 75º Repit opeção do eecício. onstu issetiz d o ângulo de 0º e otenh um ângulo de 5º. somtói de 60º e 5º poduz o ângulo desejdo. EER NUNES FERREIR 9

20 ER0 - onstução do ângulo de 0º desenho geomético 60º 0º 60º ento em com etu qulque otem-se. om igul etu, cento em detemin-se. ento em com mesm etu e otemse o ponto ângulo mede 0º. ER - ividi um ângulo ddo em um númeo p de ptes iguis. etemin-se issetiz do ângulo ddo. ssim ele foi dividido em dus vezes. E m s e g u i d t ç m - s e sucessivs issetizes. ER - ividi um ângulo ddo não eto em tês iguis. - om cento em, tç-se um cicunfeênci uili de io qulque, deteminndo os pontos e. - Tç-se meditiz do ângulo Ô deteminndo o ponto soe cicunfeênci. - pti do ponto, tnspot-se com o uílio do compsso, medid do io deteminndo o ponto soe issetiz. - olong-se os ldos do ângulo ddo, deteminndo os ponto e 4 soe cicunfeênci. - Unindo os pontos e e tmém os pontos 4 e otem-se os pontos 5 e 6 espectivmente. - Unindo os pontos 5 e 6, dividimos o ângulo ddo em ptes iguis. 4 / 5 6 / / EER NUNES FERREIR 0

21 desenho geomético 5 - NSTRUÇÃ E R-Z NHEEN-SE R Qulque segmento cujs etemiddes foem tocds po um cicunfeènci, ton-se um cod d cicunfeênci, e pss defini dois cos de cicunfeênci distintos. R R R Leme-se que est é um popiedde osevd ente cicunfeênci e su cod. (od é o segmento que une dois pontos distintos d cicunfeênci) Qulque ponto soe um dos cos, qundo unido s etemiddes d cod, deteminá um ângulo constnte. Est popiedde comum destes pontos, define o lug geomético denomindo, co-cpz. (ve pág. ) Vejmos segui os pocedimentos p otenção do co-cpz qundo nos é fonecido cod e o ângulo desejdo. Leme-se que tod meditiz de um cod pss pelo cento d cicunfeênci. tenção geométic do ângulo uili. elo vétice do ângulo ddo, levnte um pependicul em elção um dos ldos. Em mos os csos, o ângulo uili é difeenç ente o ângulo ddo e o ângulo eto. (o mio menos o meno) 90º R ÂNGULS GUS R ÂNGULS TUSS EER NUNES FERREIR

22 6 - LÍGNS desenho geomético. onceitos F E E G F - Linh oligonl: é linh fomd p e l s u c e s s ã o d e s e g m e n t o s consecutivos não colinees. - olígono: é egião do plno limitd po um linh poligonl fechd.. Elementos E igonl E E Ldo pótem Vétice Ângulos Intenos Ângulos Etenos segmento que une o cento do polígono egul o ponto médio de um dos ldos é denomindo de pótem, e coesponde o io d cicunfeênci inscit no polígono.. lssificção Qundo um pte de um segmento unindo dois pontos intenos situ-se fo d áe poligonl. ôncvo onveo Regul Iegul ) onfome posição dos ddos: ) onfome dimensão dos ldos: c) Qunto o númeo de ldos: N de ldos olígono Tiângulo 4 Qudiláteo 5 entágono 6 Heágono 7 Heptágono 8 ctógono N de ldos olígono N de ldos olígono 9 Eneágono 0 ecágono Undecágono odecágono Tidecágono 4 Tetdecágono 5 entdecágono 6 Hedecágono 7 Heptdecágono 8 ctodocágono 9 Enedecágono 0 Icoságono EER NUNES FERREIR

23 7 -TRIÂNGUL desenho geomético 7. - onceito: Tiângulo é o polígono conveo de tês ldos e tês ângulos lssificção: - onfome dimensão dos ldos: Equiláteo Isósceles - onfome ntuez de seus ângulos intenos: Escleno ossui os ldos iguis ossui dois ldos iguis ossui os ldos desiguis Retângulo cutângulo tusângulo ossui um ângulo eto ossui ângulos gudos ossui um ângulo otuso 7. - Elementos : Ldos : Segmentos de ets ou cuvs que fomm o tiângulo. Vétices : são os pontos de cuzmento dos ldos. Ângulos : são fomdos pelos ldos do tiângulo evins Notáveis ângulo ldo vétice efinição de evin : é todo segmento que tem um etemidde num vétice qulque de um tiângulo e out num ponto qulque d et supote do ldo oposto esse vétice (denomindo pé d cevin). R e t s u p o t e d e u m s e g m e n t o, o u, simplesmente, supote de um segmento, é et n qul esse segmento está contido. São tês s cevins notáveis: ltu, issetiz inten e medin. nome cevin foi ddo esses segmentos como um homengem o mtemático itlino Giovnni ev. m s h 4 EER NUNES FERREIR

24 desenho geomético ltu: é pependicul tçd de um vétice o ldo oposto ou o seu polongmento. Est é únic cevin que pode se eten (no tiângulo otusângulo), ou mesmo coincidi com um ldo (no tiângulo etângulo). Hc h H H h hc h hc Hc Medin : é o segmento que lig um vétice o ponto médio do ldo oposto. (evin que tem um etemidde no ponto médio de um ldo). H h H h h hc m M Mc mc m M issetiz Inten : é tod cevin que divide um ângulo inteno em dois ângulos djcentes e conguentes.  / s  / s S Sc sc S entos Geométicos (ontos Notáveis) tocento (H) : é o ponto de enconto ds ltus de um tiângulo ou ds ets supotes ds ltus. Hc Hc H H h hc h hc h H Hc h h hc H H h h h Utlilize o co-cpz de 90º (semicicunfeênci) p detemin os pés de dus ltus, o que é suficiente p encont o tocento. hc M H EER NUNES FERREIR 4

25 desenho geomético icento (G) : é o ponto de enconto ds tês medins de um tiângulo sendo o seu ento de Gvidde. Mc m M m G mc M Incento (I) : é o ponto de enconto ds issetizes dos ângulos intenos do tiângulo, o qul equidist dos ldos e é o cento d cicunfeênci inscit no tiângulo. seve que p detemin o io d cicunfeênci inscit, fz-se necessáio deteminção de um ponto de tngênci, que é otido tçndo-se um pependicul pelo incento em dieção um dos ldos. Sc s S T I T s I sc S T E-incento (E) : é o ponto de enconto ds issetizes dos ângulos etenos do tiângulo. seve que p detemin o io d cicunfeênci e-inscit, fz-se necessáio deteminção de um ponto de tngênci, que é otido tçndo-se um pependicul pelo e-incento em dieção o polongmento de um dos ldos. E E E E s s I sc E T E E T T EER NUNES FERREIR 5

26 desenho geomético icuncento () : é o ponto de enconto ds meditizes dos ldos de um tiângulo, o qul equidist dos tês vétices e é o cento d cicunfeênci cicunscit o tiângulo. c c c No tiângulo cutângulo o icuncento é um ponto inteno. No tiângulo tusângulo o icuncento sempe é um ponto eteno. No tiângulo Retângulo o icuncento sempe seá o ponto médio d hipotenus NMENLTUR, e c - medids dos ldos, e, espectivmente. (lf), (et) e (gm) - medids dos ângulos Â, e. i - io d cicunfeênci inscit. c - io d cicunfeênci cicunscit. c c i h, h e hc - medids ds ltus tçds dos vétices, e espectivmente. H, H e Hc - pés ds ltus h, h e hc. Hc h hc H h m, m e mc - medids ds medins tçds dos vetices, e espectivmente. M, M e Mc - pés ds medins m, m e mc Mc H m M s, s e sc - medids ds issetizes tçds dos vetices, e espectivmente. S, S e Sc - pés ds issetizes tçds dos vetices, e espectivmente. Sc m M s mc S s sc S EER NUNES FERREIR 6

27 7.7- RRIEES S MEINS E RIENTR desenho geomético segmento que lig os pontos médios de dois ldos de um tiângulo é plelo e de medid igul metde do teceio ldo. m m m Mc M Mc M Mc M m G mc m G mc m G mc M M lelogmo (ldo plelo ) M M M é plelo o ldo. M M = / M Mc é plelo o ldo. M Mc = / M Mc é plelo o ldo. M Mc = / tiângulo MM Mc é semelhnte o tiângulo. icento (cento de gvidde do tiângulo) divide cd medin em dois segmentos, onde o segmento que contém o vétice é o doo do outo RELTIVS ÀS ISSETRIZES tiângulo tem tês issetizes intens e seis issetizes etens.s noves issetizes encontm-se, de tês em tês,em quto pontos: E,E e E. ponto "I" é denomindo INENTR. - s pontos E,E e E são EX-IENTRS; são os centos ds tês cicunfeêncis e-inscits. - us issetizes, um inten e out eten, com oigens no mesmo vétice são pependicules ente si. - tiângulo é ótico do tiângulo E E E. - issetiz do ângulo inteno de um tiângulo detemin soe o ldo oposto dois segmentos popocionis os outos dois ldos. E 90º m s 90º s sc I n 90º E E RELTIV S LTURS tiângulo H H Hc é denomindo tiângulo ótico. s issetizes do tiângulo ótico são ltus do tiângulo. Hc h H h hc H EER NUNES FERREIR 7

28 EXERÍIS RESLVIS ER - onstui um tiângulo equiláteo XYZ conhecendo-se o ldo. desenho geomético Z = = z NSTRUÇÃ - Soe um et supote, tç-se XY. - om etu igul o ldo do tiângulo, cento em X, desceve-se um co uili. - ento em Y, com mesm etu, descevese outo co que inteceptá o pimeio em Z. - união dos pontos X, Y e Z detemin o tiângulo desejdo. X z Y ER4. onstui um tiângulo escleno conhecendo-se os tês ldos. c NSTRUÇÃ - Tç-se et supote e tnspot-se soe el. - ento em, io, desceve-se um co uili. - ento em, io, desceve-se outo co, inteceptndo o pimeio em. - união dos pontos, e detemin o tiângulo desejdo. c ER5. onstui um tiângulo conhecendo-se o ldo c e os ângulos e. c = 45º = 60º NSTRUÇÃ - Tç-se et supote e tnspot-se soe el. - Em constoi-se um ângulo de 45º - Em constoi-se um ângulo de 60º - polongmento dos ldos dos ângulos deteminm o ponto. - união dos pontos, e detemin o tiângulo desejdo. 45º 60º c EER NUNES FERREIR 8

29 desenho geomético ER6 - onstui um tiângulo qulque, conhecendo-se dois ldos e o ângulo ente eles. c c NSTRUÇÃ - Tç-se et supote e tnspot-se soe - Em constoi-se o ângulo ddo - Soe o polongmento do ldo deste ângulo tnspot-se. - união dos pontos, e detemin o tiângulo desejdo. ER7 - onstui um tiângulo qulque, conhecendo-se dois ldos e ltu eltiv um deles. c hc NSTRUÇÃ - Tç-se et supote e tnspot-se (ldo c) soe el. - Tç-se //. distntes medid de hc. (pós mc soe um pependicul uili, ltu hn, utilize um pocesso geomético p tç // ). - ento em, com etu igul o ldo tçse um co que inteceptá ' em e '. -- união dos pontos, e detemin o tiângulo desejdo. (' tmém é espost o eecício) ' ' ' ' hc hc c ER8 - onstui um tiângulo qulque, conhecendo-se dois ldos e medin eltiv um deles. mc c mc c/ Mc c/ NSTRUÇÃ - Tç-se et supote e tnspot-se soe el. - Tç-se meditiz de deteminndo Mc. - ento em Mc, io mc, desceve-se um co uili. - ento em, io (ldo ), desceve-se outo co que inteceptá o pimeio no ponto. - união dos pontos, e detemin o tiângulo desejdo. EER NUNES FERREIR 9

30 desenho geomético ER9 - onstui um tiângulo isósceles, conhecendo-se se e o io d cicunfeênci inscit. T T NSTRUÇÃ - Tç-se et supote e tnspot-se soe el. - Tç-se meditiz de, deteminndo T. - Soe meditiz, tnspot-se o io T. - ento em, desceve-se cincunfeênci inscit. - ento em, io T e detemin-se o ponto n cincunfeênci inscit. - ento em, io T e detemin-se o ponto n cincunfeênci inscit. - polongmento do segmento e, encontm-se no ponto. - união dos pontos, e detemin o tiângulo desejdo. ER0 - onstui um tiângulo isósceles, conhecendo-se se e o ângulo oposto el. issetiz do Suplemento de c NSTRUÇÃ - Tç-se et supote e tnspot-se soe el. - o um ds etemiddes d se constoi-se o ângulo ddo. - ividi-se o suplemento do ângulo o meio (issetiz) otendo o ângulo d se -Tnspot-se este ângulo p out etemidde que inteceptá issetiz no ponto. - união dos pontos, e detemin o tiângulo desejdo. ER - onstui um tiângulo qulque, conhecendo-se um ldo, ltu ele eltiv e o io d cicunfeênci cicunscit. hc io ' io hc ' NSTRUÇÃ - om o io ddo tç-se cicunfeênci. - Soe cicunfeênci, mc-se o ponto itimente. - ento em, com etu, tnspot-se se. - olong-se deteminndo et uili. - o um ponto qulque de levnt-se um pependicul mcndo soe mesm o vlo de hc deteminndo o ponto. - elo ponto tç-se '//, deteminndo os pontos e '. - união dos pontos, e detemin o tiângulo desejdo. EER NUNES FERREIR 0

31 desenho geomético EXERÍIS RSTS sevndo notção io, constu os tiângulos pedidos de codo com s infomções fonecids. É de fundmentl impotânci, fze um esoço de um tiângulo genéico p cd eecíco, pois somente ssim é que você conseguiá indentificção dos luges geométicos seem utilizdos n constução dos mesmos. c ET c LF i GM Hc h h H H hc H E07 -, e c E08 -, e h E09 -, e lf Mc m G M m mc M Sc s s S I sc S c h E0 -, e gm E -, e m E -, h e m h m m E -, h e et E4 -, h e lf E5 -, m e et h h m E6 -, m e lf E7 -, et e gm E8 -, et e lf m E9 -, e m E0 -, lf e m E -, m e mc m m m mc EER NUNES FERREIR

32 desenho geomético E -, m e m E -, h e et E4 -, h e m m h h E5 -, h e c E6 -, h e lf E7 -, h e m h h h c m E8 -, h e h E9 -, h e hc E0 -, h e m h h h h hc m E - etemine o icento, Incento, icuncento e tocento dos tiângulos,, e 4 espectivmente. 4 EER NUNES FERREIR

33 8 - QURILÁTER 8. - onceitos desenho geomético Qudiláteo é todo polígono de quto ldos. Todo qudiláteo tem: quto ângulos intenos, oito ângulos etenos, quto vétices e dus digonis. s qudiláteos são designdos po lets miúsculs ou númeos, colocdos nos vétices, em qulque sentido, oedecendo odem dd. est fom os vétices consecutivos limitm os ldos e os não consecutivos, s digonis. Ldo igonis Vétice 4 Ângulos Intenos 8 Ângulos Etenos 8. -lssificção s qudiláteos se clssificm em: TRÉZIS - Todo Qudiláteo que possui dois ldos plelos. RLELGRMS - Todo Qudiláteo que possui ldos plelos dois dois. RETÂNGUL - Todo Qudiláteo que possui quto ângulos etos. LSNG - Todo Qudiláteo que possui quto ldos iguis QUR - É o conjunto inteseção ente o conjunto dos etângulos e o cojunto dos losngos. (possuem quto ângulos etos e quto ldos iguis). Qudíláteos le logmos Tpézios Losngos Quddos Retângulos TRÉZIS - s tpézios popimente ditos, possuem dois ldos plelos (ses) e dois ldos não plelos. distânci ente s ses é chmd de ltu do tpézio. odem se clssificdos qunto ntuez de seus ângulos d seguinte fom: TRÉZI RETÂNGUL ossui um ldo não plelo pependicul às ses TRÉZI ISÓSELES s ldos não plelos são conguentes - ossui dois ângulos etos, um gudo e um otuso. - ossui os ângulos ds ses com os ldos iguis ente si. TRÉZI ESLEN ossui os ldos e os ângulos desiguis se Meno se Meno se Meno se Mio se Mio se Mio s ldos não plelos dos tpézios, qundo polongdos gem tiângulos de mesmo nome. (etângulo, isósceles e escleno) tiângulo etângulo tiângulo isósceles tiângulo escleno EER NUNES FERREIR

34 desenho geomético RLELGRM opimente dito s ldos opostos são iguis e plelos dois dois. s digonis são difeentes, olíqus ente si e se cotm o meio. s ângulos opostos são iguis, e os ângulo consecutivos são suplementes. RETÂNGUL 90º 90º 90º 90º s ldos opostos são iguis e plelos dois dois. s digonis são iguis, olíqus ente si e se cotm o meio. s quto ângulos são etos. LSNG 90º 90º 90º 90º s quto ldos são iguis e plelos dois dois. s digonis são difeentes, pependicules ente si e se cotm o meio. s ângulos intenos opostos são iguis, e os ângulo consecutivos são suplementes QUR 90º 90º 90º 90º 90º ÓTEM 90º 90º 90º s quto ldos são iguis e plelos dois dois s quto ângulos são etos. pótem coesponde metde do ldo e é o io d cicunfeênci inscit. s digonis são iguis, pependicules ente si e se cotm o meio. EER NUNES FERREIR 4

35 EXERÍIS RESLVIS desenho geomético ER - onstui um quddo, sendo-se que o ldo mede 8 mm. NSTRUÇÃ - Tçm-se ets uilies e s pependicules ente si, no ponto. - ento em, com etu igul o ldo, e deteminm-se os pontos e soe s pependicules. - om mesm etu, cento em e desceve-se um co. - Repete-se opeção com cento em e o cuzmento dos cos deteminm o ponto. - Une-se,, e e tem-se o quddo desejdo. s ER - onstui um etângulo sendo-se que os ldos medem espectivmente 4,5 e, cm. s NSTRUÇÃ - Tçm-se ets uilies e s pependicules ente si, no ponto. - ento em, com etu igul o ldo mio, e detemin-se o ponto soe. - ento em, com etu igul o ldo meno, e detemin-se o ponto soe s. -ento em, etu, desceve-se um co. - ento em, etu, desceve-se outo co que inteceptá o co nteio no ponto. - Une-se,, e e tem-se o quddo desejdo. ER4 - onstui um etângulo conhecendo-se o ldo = 6, cm e su semi-digonl que mede 4,0 cm. NSTRUÇÃ - Tç-se um cicunfeênci de cento, com io igul semi-digonl. - etemin-se itimente o ponto soe cicunfênci. - ento em, etu, detemin-se o ponto soe ciecunfeênci. - polongmento de detemin o ponto n cicunfeênci. - polongmento de detemin o ponto n cicunfeênci. - Une-se,, e e tem-se o quddo desejdo. ER5 - onstui um losngo sendo-se que o ldo mede,8 cm e su digonl = 5, cm. NSTRUÇÃ - Tç-se et supote e soe el tnspot-se digonl. - ento em, etu igul o ldo, desceve-se um co - Repete-se mesm opeção com cento em e os cuzmentos dos cos deteminm os pontos e. - Une-se,, e e tem-se o quddo desejdo. EER NUNES FERREIR 5

36 desenho geomético ER6 - onstui um losngo conhecendo-se sus digonis. dos: = 55 mm ; = 0 mm. NSTRUÇà - Tç-se et uili e tnspot-se digonl soe el. - Tç-se meditiz de deteminndo o ponto. - ento em, com etu igul metde d digonl, e deteminm-se os pontos e soe meditiz. - Une-se,, e e tem-se o quddo desejdo. s. demonste geometicmente divisão do segmento. ER7 - onstui um plelogmo conhecendo-se se, o ângulo  e ltu. dos: = 45 mm; h = 7 mm ;  = 75 (No plelogmo o ângulo inteno de um vétice é igul o ângulo eteno do vétice consecutivo) h ' NSTRUÇà - Tç-se et supote e tnspot-se soe el. - Em constói-se o ângulo ddo. - Em constói-se o mesmo ângulo plelo o pimeio. - onstoi-se // ' distntes 7mm. (Levnte um pependicul uili p est opeção) - inteseção de ' com os ângulos constuídos deteminm os pontos e. - Une-se,, e e tem-se o plelogmo desejdo. ER8 - onstui um tpézio isósceles conhecendo-se s dus ses e ltu. dos: = 7 cm ; =,4 cm ; h =,8 cm. ' h NSTRUÇà - Tç-se et supote e tnspot-se soe el. - Tç-se meditiz de e soe el tnspot-se h deteminndo. - o tç-se //. - ento em, etu igul metde de, detemin-se e soe. - Une-se,, e e tem-se o tpézio desejdo.. ER9 - onstui um tpézio etângulo conhecendo-se se mio, um ldo e um digonl cujos vloes são espectivmente: = 4,8 cm ; =, cm ; =,5 cm. co-cpz de 90 NSTRUÇà - Tç-se et supote e soe el tnspot-se. - ento em io desceve-se um co uili. - ento em, io desceve-se outo co que inteceptá o pimeio no ponto. - Levnt-se um pependicul pelo ponto. - Tç-se o co-cpz de 90 (semi-cicunfeênci) tomndo po diâmeto. - inteeção do co com pependicul que pss em, detemin o ponto. - Une-se,, e e tem-se o tpézio desejdo. EER NUNES FERREIR 6

37 EXERÍIS RSTS desenho geomético E - onstui um qudiláteo conhecendo-se: = 47 mm; = 6 mm; = 0 ; = 49 mm; = mm. E - etemine o segmento de et concoente em e s espectivmente de tl fom que o ponto M sej o onto Médio do segmento. M s E4 - onstu um tpézio MN etângulo sendo-se que MN = 6,4 cm, M = 4,0 cm e N =,4 cm. E5 - onstui um plelogmo conhecendo-se: = 5 cm, digonl = 5/ de e  = 60. E6 -. ede-se um losngo conhecendo-se o ldo =,5 cm e semidigonl E =,5 cm. E7 - Num tpézio, s ses medem 70 mm e 5 mm, um ldo não plelo, 40 mm, e o ângulo fomdo pel se mio e o ldo não plelo é 60.ede-se o qudiláteo. E8 - onstui um tpézio conhecendo-se s dus ses e s dus digonis. dos: ses =,0 e = 4,0, digonis = 5,6 e = 5, (ud cm). E9 - onstu um etângulo, cuj digonl mede 5,0 cm, e fom um ângulo de 0 com o ldo. E40 - onstu um quddo cuj semi-digonl mede 8 mm. E4 - onstui um plelogmo KLMN sendo dds s sus digonis KM = 7, cm e LN =, cm e o ângulo fomdo po els é de 75. E4 - onstui um quddo cujo peímeto é igul o do tiângulo ddo. E4 - onstui um qudiláteo sendo que mede 6 cm e digonl que mede 6,7 cm, fom com o ldo 60. ldo mede cm e fom com ângulo de 45. E44 - onstui um losngo conhecendo-se o seu ldo e um de seus ângulos. = 4cm;  = 45. E45 - onstui um plelogmo conhecendo-se dois ldos e ltu. = 60mm; = 9mm e h = 8mm. EER NUNES FERREIR 7

38 9 - IRUNFERÊNI E IRUL desenho geomético 9. - onceito: cicunfeênci é o lug geomético dos pontos de um plno, equidistntes de um ponto ddo, denomindo cento, situdo no mesmo plno. poção deste plno limitd pel cicunfeênci denomin-se ÍRUL. í podemos conclui que cicunfeênci é o contono do cículo, sendo quel um linh e este um supefície pln, um áe Elementos: s f d n t R - intesecção d cicunfeênci com um ângulo centl qulque (de vétice ), é denomindo co d cicunfeênci.() R - É segmento que une dois pontos distintos de um cicunfeênci.() IÂMETR - É tod cod que pss pelo cento. Um diâmeto é equivlente dois ios, um situdo no polongmento do outo. (d) FLEH - É o segmento do io que une o ponto médio d cod um ponto d cicunfeênci (f) NRML - É pependicul à tngente em um ponto d cicunfeênci. (n) RI - Qulque segmento com um etemidde n cicunfeênci e out em seu cento. () SENTE - É et que possui dois pontos comuns à cicunfeênci. (s) TNGENTE - É et que possui um só ponto comum à cicunfeênci. (t) 9. - Ângulos d cicunfeênci cicunfeênci pode pesent os seguintes ângulos pincipis; ângulo centl, ângulo inscito; ângulo cicunscito e ângulo segmento. Ângulo entl Ângulo Inscito Ângulo icunscito Ângulo Segmento o o o o Tem o vétice no cento d cicunfeênci e os ldos são ios Tem o vétice soe cicunfeênci e os ldos são cods. Te m o v é t i c e f o d cicunfeênci e os ldos são tngentes. Um dos ldos é um cod e o outo é um tngente. EER NUNES FERREIR 8

39 9.4 - Elementos do ículo desenho geomético cículo é um poção do plno limitd po um cicunfeênci. cículo pode se dividido em poções. Semicículo Seto oo icul É supefície limitd po um semicicunfeênci. É supefície compeendid ente o co e os dois ios que fomm um ângulo centl. É poção do cículo compeendid ente dus cicunfeêncis concentics. Segmento icul Zon icul Tpézio icul É supefície limitd po um cod e seu co coespondente. É supefície compeendid ente dus cods plels. É p o ç ã o d c o o c i c u l compeendid po dois ios. FÇ S EXERÍIS SEGUIR. E46 - onstui um coo cicul sendo-se que o diâmeto mio mede.5cm e o diâmeto meno mede /5 do mio. E47 - onstui um seto cicul de um cicunfeênci cujo ângulo centl é igul 40º. EER NUNES FERREIR 9

40 E48 - onstui um zon cicul sendo-se que su mio cod é tmém mio cod d cicunfeênci e cuj medid é igul 4,5 cm. cod meno é igul /4 d mio. desenho geomético E49 - ontui um segmento cicul conhecendo-se flech = cm. Rio d cicunfeênci é igul 7mm. E50 - do o ângulo segmento io pede-se detemin cicunfeênci e evidenci o co coespodente IVISÃ E IRUNFERÊNI tenção: Todos os pocessos segui, necessitm d loclizção et do ento d icunfeênci. Qundo cicunfeênci fo pesentd sem o cento, você deveá deteminá-lo. o Leme-se que meditiz de um cod d icunfeênci pss oigtoimente pelo cento d mesm, potnto, st detemin dus cods distints e sus espectivs meditizes. cento seá o cuzmento ds meditizes. EER NUNES FERREIR 40

41 ER40 - IVISÃ E IRUNFERÊNI EM, 4, 8,... desenho geomético ER4 - IVISÃ E IRUNFERÊNI EM, 6,,... L6 = L U ER4 - IVISÃ E IRUNFERÊNI EM 5, 0, M L5 L0 M L5 M 5 9 L0 M ER4 - IVISÃ E IRUNFERÊNI EM 7, 4, 8,... L7 7 L7 M EER NUNES FERREIR 4

42 ER44 - IVISÃ E IRUNFERÊNI EM 9, 8, 6,... desenho geomético L9 9 L ER45 - IVISÃ E IRUNFERÊNI EM,, 44,... L M L ER46 - IVISÃ E IRUNFERÊNI EM, 6, 5,... L L ¼ ER47 - IVISÃ E IRUNFERÊNI EM 5, 0,... L L EER NUNES FERREIR 4

43 RESSS GERIS R IVISÃ IRUNFERÊNI desenho geomético ER48 - ividi um cicunfeênci em um númeo n qulque de ptes iguis pelo método gel devido IN. - Em um cicunfeênci de cento conhecido, dividi-se o diâmeto em n ptes (qunts se desej dividi cicunfeênci). o eemplo em 7. om etu igul o diâmeto e com cento ns etemiddes do pópio diâmeto, tçm-se dois cos que se cuzm em. - polongmento do segmento detemin o ponto n pópi cicunfeênci. - 0 é poimdmente igul um ds n ptes em que se que dividi cicunfeênci. - om o uílio do compsso tnspot-se o co 0 dividindo ssim cicunfeênci em n ptes. 0 L ER49 - ividi um cicunfeênci em um númeo n qulque de ptes iguis pelo método gel devido RINLINI. Em um cicunfeênci de cento conhecido, dividi-se o diâmeto em n ptes (qunts se desej dividi cicunfeênci). o eemplo em 7. om etu igul o diâmeto e com cento ns etemiddes do pópio diâmeto, tçm-se dois cos que se cuzm em e. - s polongmentos dos segmentos, 4 e 6 concoem com semi-cicunfeênci, do ldo contáio o ponto, em pontos que dividem-n em ptes poimdmente iguis. - s polongmentos dos segmentos, 4 e 6 concoem com semi-cicunfeênci, do ldo contáio o ponto, em pontos que dividem-n em ptes poimdmente iguis. Você tmém pode opt po lig somente os pontos e os númeos ímpes ' 5 6 olígonos - Eecícios E5- onstui um quddo conhecendo-se seu pótem, M = 0mm. E5- onstui um pentágono egul sendo-se que o io d cicunfeênci inscit mede,5 cm. E5- onstui um heágono egul conhecendo-se seu pótem, M = 8mm. E54- onstui um dudecágono inscito em um cicunfeênci de io = 4cm. E55- onstui um heágono sendo-se que o vlo do ldo mede,4cm. EER NUNES FERREIR 4

44 LIGNL E ELISTRE desenho geomético Este pocesso pemite constução de polígonos conhecendo-se o ldo. ER50 - onstui um eneágono, cujo ldo mede 5mm (potnto, N = 9) NSTRUÇÃ: - Soe et supote, tnspot-se. - om etu do compsso igul, tç-se meditiz de, deteminndo o ponto 6. (6 é um tiângulo equiláteo) - ivide-se em seis ptes iguis. (utilize pefeencilmente, um segmento uili conguente, p não congestion o eecício) - Soe meditiz, à pti do ponto 6, tnsfee-se /6 de p io deteminndo-se os pontos 5, 4 e. - Soe meditiz, à pti do ponto 6, tnsfee-se /6 de p cim deteminndo-se os pontos 7, 8, 9,... e ssim sucessivmente té lcnç o númeo desejdo que coespond o vlo de N. - Neste momento você tem constuíd escl poligonl de eliste. - ento em N (neste eemplo N = 9), io N, tç-se cicunfeênci pedid. - Soe cicunfeênci, à pti de e/ou, tnsfee-se, otendo-se os vétices do polígono desejdo. qulque vlo de N, o ldo do polígono deveá se dividido em 6 ptes F G E /6 /6 /6 /6 /6 / H I RI /6 /6 /6 /6 /6 / EER NUNES FERREIR 44

45 9.6 - RETIFIÇÃ IRUNFERÊNI desenho geomético onsiste em detemin um segmento de et cujo compimento sej igul o compimento de um cicunfeênci dd. ER5 - RESS (Não é muito peciso) d cicunfeênci, insceve n mesm um tiângulo equiláteo e um quddo. compimento d cicunfeênci seá somtói de dus vezes o ldo do quddo mis dus vezes o ldo do tiângulo. =.( + E) E ER5 - RESS - Tçmos cicunfeênci de diâmeto e levntmos po um pependicul. - om cento em e io tçmos o co. - Tçmos meditiz de e otemos o ponto soe pependicul. 4 - Mcmos E = vezes o io 5 - Unimos E e tommos E como metde do compimento d cicunfeênci. otnto,. (E) é igul o compimento d mesm. M E ER5 - RESS - Tçmos cicunfeênci de diâmeto e levntmos - ivide-se em 7 ptes iguis. - compimento d cicunfeênci seá o segmento cuj medid é vezes o diâmeto mis /7 do diâmeto. /7 ompimento d icunfeênci = + / RETIFIÇÃ E R E IRUNFERÊNI onsiste em detemin um segmento de et cujo compimento sej igul o compimento do co de um cicunfeênci dd. ER54 - RESS R RS MENRES U IGUL 90º E - Tçmos o diâmeto e tommos = /4 do io d cicunfeênci. - Levntmos po umpependicul o diâmeto. - Unimos o ponto e otemos E n pependicul tçd. E é poimdmente o compimento do co ddo. E EER NUNES FERREIR 45

46 desenho geomético 0 - TNGÊNI 0. - onceito: iz-se que um et é tngente um cicunfeênci qundo tem um só ponto comum com est cicunfeênci ou sej, qundo su distânci o cento d mesm é igul o io. ssim, teemos sempe tngente pependicul o io no seu ponto de tngênci. TNGÊNI: opeção que nos pemite tç tngentes. Essim podemos tç: - Rets tngentes cicunfeêncis dds. - icunfeêncis tngentes ets dds. c - icunfeêncis tngentes ente si Tçdos: ER55 - Tç um tngente um cicunfeênci dd, pssndo po um ponto T nel situdo. t T T - Tç-se cicunfeênci de cento, mcndo nel um ponto qulque T. - Une-se T, polongndo-o po T. - Tç-se t pependicul T, que seá tngente pedid. ER56 - e um ponto situdo fo de um cicunfeênci dd, tç dus tngentes el. dos: = cm, = 5,4 cm. T' M T - Un o ponto o ponto e detemine o ponto médio M do segmento. - ento em M e io M tç-se um co uili que cotá cicunfeênci em T e T, pontos de tngênci. - Une-se T, e T polongndo-os, e temos s tngentes pedids. EER NUNES FERREIR 46

47 desenho geomético ER57 - Tç tngentes eteioes e comuns dus cicunfeêncis sendo-se que seus centos, ( ) distm 6,0 cm, e possuem os espectivos ios: =,5 cm, =, cm. '' M ' ' ' - ' = '' - Soe um et uili, deteminm-se os centos e distntes 6cm. - Tçm-se s espectivs cicunfeêncis de ios e. - om cento em tç-se um cicunfeênci uili de io = - (otido gficmente), - ento em M, ponto médio de, tç-se um co que iá cot cicunfeênci uili em e. - Une-se e, polongndo-os e deteminndo e (pontos de tngênci n cicunfeênci ). - o tç-se um plel e, deteminndo e (pontos de Tngênci n cicunfeênci ). - Unindo, e tem-se s tngentes pedids. ER58 - Tç tngentes inteioes e comuns dus cicunfeêncis de ios difeentes. dos: =,8 =,5 = 6,0 (centímetos). '' M ' ' ' + ' = '' - constução é idêntic à nteio, mudndo pens o io d cicunfeênci uili = +. // e //. EER NUNES FERREIR 47

48 desenho geomético ER59 - Tç um cicunfeênci de io = 5mm tngente os ldos de um ângulo ddo. ' T' ' T - Tç-se // e // n distânci (io ddo), deteminndo no cuzmento de com o ponto. - Tç-se T pependicul e T pependicul - ento em e io, tç-se cicunfeênci pedid. - T e T são os pontos de tngênci. ER60 - Tç um cicunfeênci que psse po um ponto e que sej tngente um et no ponto M. situ-se fo d et. M M - elo ponto M levnt-se, pependicul et dd. - Tç-se, meditiz de M, deteminndo o ponto n pependicul. - ento em e io M, tç-se cicunfeênci pedid. ER6 - Tç um cicunfeênci de io =,5 cm, que sej tngente simultnemente um et e um out cicunfeênci dd, de tl fom que o ponto, sej o ponto de tngênci ente s cicunfeêncis. ' - Une-se, polongndo-o. - elo ponto levnt-se um pependicul et, deteminndo o ponto soe cicunfeênci. - Une-se, polongndo-o té detemin soe. - Tç-se meditiz de que iá cuz com o polongmento de deteminndo. - ento em e io, tç-se cicunfeênci pedid. EER NUNES FERREIR 48

49 desenho geomético ER6 - Tç dus cicunfeêncis de io = cm, que sejm tngente inteio e eteio espectivmente um cicunfeênci, em um ponto ddo. ' '' - olong-se união dos pontos e, deteminndo et. - ento em, etu igul cm, detemin-se os potos e soe. - ento, io = cm, tç-se cicunfeênci inten pedid. - ento, mesm etu, tç-se cicunfeênci eten pedid. ER6 - Tç tês cicunfeêncis tngentes ente si cujos ios são espectivmente: =, cm, =, cm c =,5 cm. X Y - onstu um tiângulo XYZ, cujos ldos sejm iguis à som dos ios ddos dois dois, ou sej: XY = + ; YZ = + c e XZ = + c. - s vétices X, Y e Z do tiângulo são os centos ds cicunfeêncis tngentes ente si. c c c Z c EER NUNES FERREIR 49

50 - NRÂNI desenho geomético. - onceito. oncod dus linhs, de mesm espécie ou de espécies difeentes, é eunils de tl fom, que se poss pss de um p out, sem ângulo, infleão nem solução de continuidde. Eemplos: '. - incípios. omo veemos nos polems que se seguião, concodânci ente cos de cículo e ets, e ente cos e cos, se seim em dois pincípios fundmentis: - que um et e um co estejm em concodânci é necessáio que: º - cento do co e o ponto de concodânci ente eles estejm soe um mesm pependicul. º - et sej tngente o co no ponto de concodânci. Eemplo: - que dois cos estejm em concodânci é necessáio que: º - Seus centos e o ponto de concodânci estejm soe um mesm linh et. º - Sejm tngentes ente si no ponto de concodânci. Eemplo: S ' E R. - Tçdos. ER64 - oncod um segmento de et, em, com um co de cícunfeênci de io = 0 mm. s - Levnt-se um et s pependicul pelo ponto. - Soe s, pti de, tnspot-se o io ddo, deteminndo o cento. -ento em e io =, tç-se o co pedido. EER NUNES FERREIR 50

51 desenho geomético ER65 - oncode um co de cicunfeênci com semi-et no ponto, de tl fom que ele contenh um ponto qulque, não petencente semi-et. - o levnt-se um et pependicul. - Tç-se meditiz de, deteminndo em. - ento em e io, tç-se o co pedido. ER66 - oncod um co de cicunfeênci de io = 5 mm com dus ets pependicules ente si. F F G G - om io, e cento no ponto de concoênci ds pependicules, tç-se um co uili que deteminá em e em. - ento em e, mesmo io, detemin-se. - ento em, mesmo io, tç-se o co, fzendo concodânci pedid. ER67 - oncod um co de cicunfeênci de io ddo =,5 cm, com dus ets que se cuzm 0º. ' ' ' - Tçm-se s ets e, fomndo um ângulo de 0. - Tçm-se // e // n distânci (io ddo), s quis se cuzm em. - o tçm-se pependicules às ets dds, deteminndo e, que seão os pontos de concodânci. - ento em, io, desceve-se o co, fzendo concodânci pedid EER NUNES FERREIR 5

52 desenho geomético ER68 - oncod dus semi-ets //, de oigens difeentes e sentidos contáios, po meio de dois cos iguis. Sendo-se que os pontos de concodânci ente s semi-ets e os cos não se encontm no mesmo linhmento. ' M s - o e tim-se pependicules, e s. - Une-se e detemin-se M, ponto médio de - etemin-se meditiz de M que cotá em. - etemin-se meditiz de M que cotá s em. - ento em e, io desceve-se os cos ds cuvs pedids SERVÇÃ: - união dos centos e pss oigtoimente pelo ponto de concodânci dos cos, ponto M. ER69 - oncod dois segmentos plelos de medids difeentes po meio de dus cuvs concodntes e de mesmo sentido. (Tmém conhecido como co vijdo). ' - elos pontos e, tçm-se pependicules os segmentos. - Tçm-se s issetizes dos ângulos etos e, que se cuzão no ponto. - o, tç-se um et plel os segmentos, deteminndo e soe s pependicules. - ento em, io =, tç-se o co. - ento em, io =, e tç-se o co. ER70 - oncod dus ets convegentes/divegente po meio de dois cos de cicunfeênci concodntes ente si e de mesmo sentido. dos: ontos de concodânci: onto soe et onto soe et. R ' s S - els etemiddes e de e, levntm-se s pependicules e s. - ento em, io qulque, detemin-se o ponto soe. - ento em, mesm etu, detemin-se o ponto em s. - Tç-se meditiz de, que cotá et s em. - Une-se polongndo-se. - ento em, io, desceve-se um co que encontá o polongmento de no ponto (ponto de concodânci ente os cos). - ento em, io =, complet-se concodânci com o co. EER NUNES FERREIR SERVÇÕES: - Este mesmo pocesso é válido p s etemiddes divegentes (pontos R e S) - Se no eecício nteio, distânci ente s ets plel fo meno que distânci ente s pependicules levntds pels etemiddes este pocesso tmém solucioná o eecício. - Em todos estes csos, o pimeio cento petenceá pependicul levntd pel etemidde mis vnçd. 5

53 desenho geomético Tç um co de cicunfeênci de io ddo, concodnte com dus cicunfeêncis de ios e, conhecidos. dos =5, cm, =,0 cm, =,0 cm e = 6, cm. ER7 - oncodânci eten - Tçm-se s cicunfeêncis dds com centos e, distntes 6, cm. - ento em, io -, desceve-se um co uili. - ento em e io -, desceve-se outo co que cotá o pimeio em. - Une-se e, polongndo-os té cotem s cicunfeêncis em e. - ento em, e io =, tç-se o co, que é concodânci pedid. ' ' '' - ' - '' '' ' ' ER7 - oncodânci inten. - pocesso de constução é idêntico o cso nteio. - Modificndo-se pens o seguinte: ponto é detemindo pelo cuzmento dos cos de centos e e ios + e +. '' + ' + '' '' ' ' '' - '' ' + '' ER7 - oncodânci inten e eten. - pocesso de constução é idêntico o º cso, modificndo-se pens o seguinte: ponto é detemindo pelo cuzmento dos cos de centos e e ios - e +. EER NUNES FERREIR 5

54 desenho geomético ER74 - Eecício / utódomo - oncode os pontos e tvés de IS RS IGUIS E E SENTIS NTRÁRIS - oncode os pontos 4 e 6 tvés de IS RS E MESM SENTI sendo-que o co que nsce no ponto 6 tem 5 mm de io. - oncode os pontos 7 e 9 tvés de IS RS E MESM SENTI. - oncode UM R com s cicunfeêncis dds, deteminndo os pontos 0 e. TENÇÃ: S NTS, 5 e 8 SÃ NTS E NRÂNI E EVEM SER IENTIFIS, EM M S ENTRS S RS NSIERE S NTS S N EXTREMIE E SEGMENT 6 7 ' ' 9 4 EER NUNES FERREIR 54

55 desenho geomético RESST EXERÍI NTERIR 0 ' ' ' - '' '' '' - ' 9 8 ' EER NUNES FERREIR 55

56 desenho geomético ER75 - onstui um vl, ddo o eio mio = 0cm. ER76 - onstui um vl, ddo o eio meno = 6cm. ER77 - onstui um Óvulo, ddo o eio meno = 5cm. ER77 - onstui um Elipse, ddos os eios = 0 e = 4cm. 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º Us uv Fnces EER NUNES FERREIR 56