Capítulo 4 Dinâmica do ponto material

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1 Caítulo 4 Dinâmica do onto mateial Na Cinemática foam descitos matematicamente os movimentos das atículas (coos mateiais tomados como ontos mateiais). Na Dinâmica vamos estuda as azões elas quais as atículas se movem segundo as tajectóias descitas na cinemática. Veificamos que; - os coos óximos da Tea caem aa esta com aceleação constante. Poquê? - a Tea move-se em tono do Sol, descevendo uma óbita elítica. Poquê? - os átomos ligam-se aa foma moléculas. Poquê? - que uma mola oscila quando esticada ou comimida. Poquê? Atavés da obsevação e do entendimento dos fenómenos, odemos descobi o comotamento básico da natueza e assim usá-lo em nosso oveito, o exemlo na engenhaia, no ojecto de máquinas que se movam do modo como desejamos. O estudo da elação ente o movimento de um coo e as causas desse movimento é chamado de Dinâmica. A nossa exeiência diáia diz-nos que o movimento de um coo é o esultado diecto da sua inteacção com os outos coos que o odeiam. Quando um jogado lança uma bola, ele inteagiu com a bola modificando o seu movimento, esse movimento é também alteado ela inteacção que a bola tem com a Tea. Todas estas inteacções são convenientemente descitas o um conceito matemático chamado de foça. O estudo da Dinâmica é basicamente a análise da elação ente a foça e as vaiações do movimento de um coo. Todas as leis do movimento que aesentamos a segui são genealizações que decoem da análise cuidada dos movimentos obsevados o nós e da extaolação que fazemos dessas obsevações, ideais ou simlificadas. Física Engenhaia Civil

2 4. Lei da Inécia Uma atícula que não esteja sujeita à inteacção é dita uma atícula live. É uma situação ideal, que não existe no Univeso, ois todas as atículas inteagem com todas as estantes atículas. Po consequência uma atícula live deveia esta comletamente isolada ou se a única atícula do Univeso. Tal caso não existe, ois o simles facto de obseva essuõe uma inteacção ente o obsevado e o objecto em estudo. A ática, no entanto, mosta-nos que odemos considea algumas atículas como lives, que oque, estando elas suficientemente afastadas das demais, as suas inteacções são desezíveis, que oque as inteacções mútuas são canceladas, esultando uma inteacção nula. 4.. Enunciado da Lei da Inécia "uma atícula live move-se seme com velocidade constante, isto é, sem aceleação" Ou seja, o análise do enunciado vemos que uma atícula live ou se move em linha ecta com velocidade constante (m..u.) ou está em eouso (tem velocidade nula). Esta afimação é também conhecida como a imeia Lei de Newton, uma vez que foi Si Isaac Newton, o imeio a enuncia-la desta foma. É a imeia de tês leis enunciadas o Newton, no século XVII. Lembemos que o movimento é um conceito elativo, e assim sendo devemos seme indica a que sistema de efeência nos estamos a eota. Admitimos que o movimento de uma atícula live é elativo a um obsevado que seja ele óio consideado uma atícula (ou sistema) live, isto é, ele também não está sujeito a inteacção com o esto do Univeso. Tal obsevado é chamada um obsevado inecial, sendo o seu sistema de efeência dito efeencial inecial (efeencial não aceleado). Como tal um efeencial deste tio não ode te movimento de otação. (oquê?). De acodo com a lei da inécia, odemos te váios obsevadoes ineciais, todos com velocidades constantes. Suas descições de obsevações estão elacionadas ela tansfomação de Galileu na mecânica clássica (ve caítulo 3, exessão 3.73) ou ela tansfomação de Loentz (mecânica elativista), deendendo da gandeza das suas velocidades elativas. A Tea não é um efeencial inécial, que devido à sua otação diáia, que devido à inteacção com o Sol e os outos lanetas. No entanto, em muitos casos, odemos considea essas inteacções e otação desezíveis, consideando os nossos obsevatóios teestes como ineciais, sem gande eo. O Sol também não ode se consideado um efeencial inécial. Devido à sua inteacção com os estantes coos celestes da Galáxia, ele desceve uma óbita cuvilínea em tono do cento da nossa galáxia, como ilustado na figua 4.. (Isaac Newton, 64-77), físico e matemático inglês. Fomulou as leis fundamentais da mecânica e da gavitação univesal, tal como o cálculo difeencial e integal. Física Engenhaia Civil

3 Figua 4. Reesentação do movimento da Tea em tono do Sol, e deste em tono do cento da Galáxia. Exemlo: Uma bola esféica colocada sobe uma suefície hoizontal e lisa emaneceá em eouso a menos que actuemos sobe ela. Ou seja, a sua velocidade emanece constante, com valo igual a zeo. Admitimos que a suefície sobe a qual a bola eousa equiliba a inteacção ente a bola e a Tea, e otanto a bola está essencialmente live de inteacções. Quando actuamos na bola, o exemlo numa mesa de bilha, ela sofe momentaneamente uma inteacção e adquie velocidade. Mas aós essa acção, a bola ode se consideada como live, movendo-se em linha ecta com a velocidade adquiida quando foi atingida. Se a bola é efeitamente esféica e ígida, e a suefície efeitamente lisa, odemos admiti que a bola continuaá a move-se indefinidamente em linha ecta com velocidade constante. Na ática, tal não acontece, ois a bola ede velocidade e acaba o aa. Dizemos que ocoeu uma inteacção adicional ente a bola e a suefície inteacção essa que conhecemos como atito. 4. Quantidade de Movimento Podemos intoduzi o conceito oeacional de massa como sendo um valo numéico que atibuímos a cada coo ou atícula, númeo esse atibuído o comaação com um cooadão (massa adão de kg, caítulo, ágina 3). A massa assa a se um aâmeto que distingue uma atícula de outa. A nossa definição de massa é aa o coo suosto em eouso, ou seja, massa em eouso. Po esta definição não sabemos qual o comotamento da massa (seá que se mantém constante?) com o movimento da atícula. Mas admitamos que a massa é indeendente do estado do movimento aa começa, é uma boa aoximação (desde que a velocidade seja, quando comaada com a velocidade da luz c 0, muito infeio a esta). A quantidade de movimento (também chamada de momento cinético, simlesmente momento, ou momentum - do latim), de uma atícula é definido como o oduto da sua massa ela sua velocidade. = m v (4.) é uma quantidade vectoial e tem a mesma diecção e sentido da velocidade. É um conceito muito imotante em Física, ois combina os dois elementos que caacteizam o estado dinâmico de uma atícula (coo); a sua massa e a sua velocidade. No Sistema Intenacional (S.I.) a quantidade de movimento é exessa em m.kg.s -. Física Engenhaia Civil

4 Váias exeiências mostam que este conceito de quantidade de movimento é uma gandeza dinâmica mais infomativa (abangente) do que a velocidade o si só. Po exemlo, um camião caegado, em movimento, é mais difícil de consegui aa (ou de se aceleado) do que um camião vazio, mesmo que ambos tenham a mesma velocidade, ois as suas quantidades de movimento são distintas (é maio no camião caegado). Podemos agoa enuncia a lei de inécia de outa foma; uma atícula live move-se seme com quantidade de movimento constante 4.. Pincíio da Consevação da Quantidade de Movimento A consequência imediata deste último enunciado, diz-nos que um obsevado inécial econhece que uma atícula não é live, quando ele obseva que esta não emanece com velocidade ou quantidade de movimento constantes, o outas alavas; a atícula sofe uma aceleação. Consideando agoa uma situação ideal, de aenas duas atículas sozinhas no Univeso, inteagindo ente si. Como esultado dessa inteacção as suas velocidades individuais vaiam com o temo e as suas tajectóias são em geal cuvas. Num deteminado instante t, a atícula está em A, com velocidade v (e massa m ), a atícula está em B, com velocidade v (e massa m ). Num instante osteio t, as atículas ' estaão em A e B, com velocidades esectivamente v ' e v. A quantidade de movimento total do sistema, no instante t, é: P = (4.) + = m v + m v Figua 4. Inteacção ente duas atículas. No instante t, a quantidade de movimento total do sistema, seá: P' = ' + ' = m v + m O imotante, é que a obsevação nos instantes t e t, quaisque que eles sejam, mosta-nos seme que: P = P' a quantidade de movimento total de um sistema comosto o duas atículas sujeitas somente às suas inteacções mútuas emanece constante ' v ' Física Engenhaia Civil

5 Po exemlo se consideássemos somente a Tea e a Lua (desezando os efeitos do Sol e estantes lanetas), a soma das suas quantidades de movimento, elativas a um efeencial inécial seia constante. Este Pincíio de Consevação de Quantidade de Movimento, enunciado aa duas atículas, ode se genealizado aa um qualque númeo de atículas constituído num sistema isolado, isto é um sistema de atículas só com inteacções mútuas. Potanto, numa ega geal temos o seguinte enunciado: a quantidade de movimento total de um sistema isolado de atículas é constante que ode se exessa da seguinte foma; P n = i= i = n = constante (4.3) Tal é o que se veifica nas exeiências. Muitas atículas atómicas e sub-atómicas foam descobetas, oque "não se veificava" a consevação da quantidade de movimento. A "não consevação" esultava da inteacção não eseada (e desconhecida até então) de uma nova atícula (figua 4.5). Voltando ao caso aticula de um sistema constituído o aenas duas atículas; ' ' + = constante + = + em dois instantes t e t' esectivamente, o que imlica que; = ' = ( ) ' ' (4.4) se escevemos as vaiações como: = ' (4.5) teemos; = (4.6) Figua 4.3 Toca de quantidade de movimento como esultado da inteacção ente duas atículas. A conclusão tiada desta exessão - é imediata - num sistema isolado de duas atículas em inteacção, a vaiação da quantidade de movimento de uma delas, duante um ceto intevalo de temo, é igual em módulo, e de sinal contáio, à vaiação da quantidade de movimento da outa atícula duante o mesmo intevalo de temo. Podemos sintetiza este conhecimento da seguinte maneia: "uma inteacção oigina seme uma toca de quantidade de movimento" de modo que a quantidade de movimento "edida" o uma das atículas em inteacção seja igual à quantidade de movimento "ganha" ela outa atícula. Nesta esectiva, a Lei da Inécia, é um caso muito aticula do incíio da consevação da quantidade de movimento. Com uma só atícula, constante e 0, ou equivalente, v = constante. = = Física Engenhaia Civil

6 Po exemlo, no disao de um dado tanquilizante, a ama disaada ecua aa comensa a quantidade de movimento adquiida elo ojéctil no seu movimento aa a fente. Inicialmente o sistema ama mais o dado está em eouso (elativamente ao agente), ou seja a quantidade de movimento total é zeo. O mesmo acontece quando da exlosão de uma ojéctil. A quantidade de movimento antes da exlosão é igual a soma das quantidades de movimento da totalidade dos fagmentos aós a exlosão. Figua 4.4 Consevação da quantidade de movimento numa exlosão. Figua 4.5 Consevação da quantidade de movimento numa colisão ente uma atícula α e um otão. (a) fotogafia do fenómeno, (b) esquema da inteacção. 4.. Redefinição de Massa Podemos eximi a vaiação da quantidade de movimento de uma atícula, como: = (mv) = m v (4.7) num sistema de duas atículas, m v = m v (4.8) consideando somente os módulos, m m v = (4.9) v a azão das massas é invesamente oocional ao módulo das vaiações das velocidades. Podemos assim obte uma definição dinâmica de massa. Se tomamos a massa m como a nossa "massa adão" (unitáia), aa a outa atícula em inteacção, odemos obte a sua massa m. (tomando a hiótese da constância da massa). Física Engenhaia Civil

7 4.3 A Segunda e Teceia Lei de Newton. Conceito de Foça Que o dificuldade, que oositadamente, é quase seme imossível de detemina as inteacções totais ente todas as atículas de um sistema muito numeoso, ou seja, conhece as quantidades de movimento da cada atícula. Se intoduzimos o conceito de Foça, odemos esolve este "oblema". Vamos elaciona as vaiações das quantidades de movimento, num intevalo de temo, t = t' t = (4.0) t t quando t 0, temos, d d = (4.) d t d t Daemos à vaiação temoal da quantidade de movimento de uma atícula o nome de "foça" A foça actuando numa atícula, seá: d F = (4.) d t - Matematicamente é a definição acima exlicitada. - Fisicamente é a exessão da inteacção ente a atícula e o estante sistema. A exessão efeida é a Segunda Lei de Newton aa o movimento, (é mais uma definição do que uma lei, e é consequência diecta do incíio de consevação da quantidade de movimento). Agoa odemos esceve, da exessão (4.); ou seja, F = F (4.3) "quando duas atículas inteagem, a foça sobe uma atícula é igual em módulo, e de sentido contáio, à foça sobe a outa atícula" O que coesonde ao enunciado da Teceia Lei de Newton aa o movimento, também conhecida como a Lei de Acção-Reacção (figua 4.6 a). Podemos ainda esceve a segunda lei, como, d d ( m v) d v F = = = m = m a (4.4) d t d t d t Física Engenhaia Civil

8 F = ma (4.5) Se a massa é constante, a foça é igual ao oduto da massa ela aceleação Poiedades da foça: - a foça e a aceleação têm a mesma diecção e sentido, F - se a foça fo constante, a aceleação, a = é também constante o movimento é m unifomemente aceleado. É o que ocoe eto da suefície da Tea. Po exemlo, os coos em queda live exibem um movimento com aceleação constante ( g ). A foça de atacção gavitacional da Tea sobe os coos é chamada de Peso, e é: P = mg (4.6) (ecodemos que o nosso valo medido de g é efectivamente dado o g = g 0 ω ( ω ), quando estamos em eouso ou a baixa velocidade elativamente à Tea. Exessão (3.97) do caítulo 3). Consideemos uma atícula (m) a inteagi com um númeo n de atículas, (m, m, m 3,...). Devido a essa inteacção, cada uma das atículas oduziá uma vaiação na quantidade de movimento da atícula (m), que se caacteiza elas esectivas foças ( F, F, F3...). A vaiação total da quantidade de movimento da atícula seá: d = F + F + F = F es (4.7) d t A foça F é chamada foça esultante que actua na atícula m. a) b) Figua 4.6 a) Pa acção-eacção. b) Foça esultante sobe uma atícula. Não estamos a enta em conta com as inteacções mútuas ente todas as atículas, mas somente a inteacção sobe a atícula m, de modo a simlifica a sua descição. Deste modo odemos discuti o movimento da atícula m, admitindo que a foça F é somente função das coodenadas da atícula, ignoando os movimentos das estantes atículas com as quais inteage. Esta aoximação é chamada Dinâmica de uma Patícula. Física Engenhaia Civil

9 No dia a dia sentimos o conceito de foça, como uma inteacção o contacto, o exemlo a matela um ego. Mas essa inteacção é exactamente igual à inteacção que existe ente a Tea e o Sol, oquanto as distâncias envolvidas sejam muito difeentes. Na ealidade os coos ou atículas são seme mantidos a distâncias ente eles de acodo com as suas massas e estutuas. Se a inteacção ocoe à distância, então teemos de ensa num mecanismo de tansmissão dessa mesma inteacção, e como as inteacções se oagam com velocidade finita (ossivelmente à velocidade máxima a da luz), teemos de eensa o conceito de foça e o seu ael. Na ática, e aa baixas velocidades e equenas distâncias, a nossa aoximação continua a se excelente e suficiente aa a descição das inteacções obsevadas Unidade da Foça. Definição É exessa em unidades de massa e de aceleação. Unidade da foça é o newton, eesentada o N (kg m s - ). Define-se o newton como a foça que, alicada a um coo de massa kg, oduz neste uma aceleação de m s -. Outa unidade fequentemente usada em engenhaia é o quilogama-foça (kgf ), definida como a foça igual ao eso de uma massa de kg. Assim, como o valo da aceleação da gavidade é g = 9,8 m s - (valo médio ao nível do ma), temos que o valo de kgf = 9,8 N. Exemlos: Um automóvel de massa 000 kg sobe uma ua inclinada de α = 0º com a hoizontal. Detemina a foça que o moto deve exece aa que o automóvel se mova: a) com movimento unifome, b) com aceleação de 0, m s -. Detemina também em cada caso, a foça que o solo exece no automóvel. Solução: a) F = 3350 N, b) F = 3550 N Figua 4.7 Foças alicadas no cao. Um coo de massa 0 kg está sujeito a uma foça F = (0t + 40) N, movendo-se em linha ecta. No instante t = 0 s o coo está em x 0 = 5 m, com velocidade v 0 = 6 m s -. Detemina a velocidade e osição do coo em qualque instante osteio. Solução: v(t) = 6t + 4t + 6 m s -, x(t) = t 3 + t + 6t + 5 m Física Engenhaia Civil

10 4.3. Foças de Atito Seme que quaisque dois coos estão em contacto, o exemlo um livo em eouso sobe uma mesa, existe uma esistência ao movimento elativo ente os dois coos. Se emua-mos o livo ao longo da suefície da mesa, obsevamos que ele diminui ogessivamente de velocidade até aa. A eda obsevada de velocidade (de quantidade de momento) - indica que uma foça se oõe ao movimento - foça essa chamada de atito de escoegamento. Ela é devida à inteacção das moléculas sueficiais dos dois coos em contacto (denominada de coesão ou adesão, deendendo dos coos seem constituídos ou não elo mesmo mateial). O atito é um fenómeno bastante comlexo e deende de muitos factoes, tais como; a condição e natueza das suefícies, a velocidade elativa, etc. Veifica-se exeimentalmente que o módulo da foça de atito F a é, aa a maioia dos casos, oocional à foça nomal (N) de contacto ente os coos (figua 4.8). A constante de oocionalidade é o chamado de coeficiente de atito (µ), um númeo adimensional, (que se ode eximi também em ecentagem). O seu valo máximo é: F a = µn (4.8) A foça de atito de deslizamento oõe-se seme ao movimento do coo, tendo assim uma diecção igual mas sentido oosto à velocidade do coo. Figua 4.8 Foça de atito na base de contacto ente um bloco e uma suefície. Veificamos ainda exeimentalmente a existência de dois tios difeentes de coeficientes de atito; - estático ( µ e ), quando multilicado ela foça nomal, dá a foça mínima necessáia aa inicia o movimento elativo ente os dois coos, inicialmente em contacto e em eouso elativo. - cinético ( µ c ), quando multilicado ela foça nomal, dá a foça necessáia aa mante os dois coos em movimento elativo unifome. Deteminações exeimentais mostam que os valoes de µ e são seme sueioes aos valoes de µ c, (ve tabela 4.). Física Engenhaia Civil

11 Tabela 4. - Valoes médios de coeficientes de atito aa divesos mateiais. Mateiais µ e µ c Aço duo / Aço duo 0,78 0,4 Aço doce / Aço doce 0,74 0,57 Chumbo / Aço doce 0,95 0,95 Cobe / Aço doce 0,53 0,36 Níquel / Níquel,0 0,53 Teflon / Teflon 0,04 0,04 Teflon / Aço 0,04 0,04 Boacha / Betão molhado 0,30 0,5 Boacha / Betão seco,0 0,8 Madeia / Madeia 0,5 0,4 Gelo / Gelo 0, 0,03 Pancha de ski / Neve molhada 0,4 0, Juntas humanas 0,0 0,003 Exemlo: Um coo de massa igual a 0,8 kg é colocado sobe um lano inclinado de α = 30º com a hoizontal. Que foças devem se alicadas no coo aa que ele se movimente, a) aa cima, b) aa baixo. Suonhamos em ambos os casos o coo a move-se unifomemente e com aceleação de 0,0 m s -. O coeficiente de atito cinético é de 0,30. a) b) Figua 4.9 Bloco de massa m. a) Foças alicadas na subida do bloco. b) Foças alicadas na descida do bloco. Solução: a) F = 5,95 N (m..u.) e F = 6,03 N, b) F =,88 N (m..u.) e F =,80 N 4.4 Movimento Cuvilíneo Já sabemos que quando a foça tem a diecção da velocidade, o movimento é ectilíneo. Paa se te um movimento cuvilíneo, a foça esultante deve foma um ângulo (difeente de 0 ou 80 ) com a velocidade, aa que a aceleação tenha uma comonente eendicula à velocidade, necessáia aa a vaiação de diecção do movimento da atícula. Po outo lado sabemos que a foça é aalela à aceleação, como odemos ve na figua 4.0. Física Engenhaia Civil

12 a) b) Figua 4.0 Foças num movimento cuvilíneo. a) Comonentes tangencial e nomal. b) Decomosição da foça nomal no sistema de eixos. Da ª lei de Newton, F = ma (exessão 4.4 e 4.5), concluímos (como já vimos) que, a comonente tangencial - foça tangencial, é: e a comonente eendicula - foça nomal, é: F T dv = mat = m ut (4.9) dt (ρ é o aio de cuvatua da tajectóia) F N mv = man = u N (4.0) ρ A foça nomal aonta seme aa o cento de cuvatua da tajectóia. A foça tangencial é esonsável ela vaiação do módulo da velocidade, e a foça nomal é esonsável ela vaiação da diecção da velocidade. Se a foça tangencial fo zeo, não haveá aceleação tangencial e o movimento seá unifome (m.c.u.). Se a foça nomal fo zeo, não haveá aceleação nomal e o movimento seá ectilíneo (m..u.). No caso aticula do movimento cicula, ρ é o aio R da cicunfeência e v = ω R, de modo que a foça nomal é denominada centíeta, F N = mω R (4.) No movimento cicula unifome só existe a aceleação nomal, que odemos esceve na foma vectoial como: v a = ω v (4.) (deivada temoal da exessão 3.53, do caitulo 3) v v assim, F = ma = mω v = ω ( mv) (4.3) ou seja, v F = ω (4.4) Física Engenhaia Civil

13 uma elação matemática muito útil ente a foça, a velocidade angula e a quantidade de movimento de uma atícula com movimento cicula unifome. Algumas vezes, tona-se conveniente o uso das comonentes ectangulaes da Foça. No caso do movimento no lano, o exemlo, a equação vectoial F = ma ode se decomosta nas duas seguintes equações: FX = ma X e FY = may Po integação destas duas equações obtemos a velocidade e a osição da atícula em qualque instante. d No caso geal, em que a massa do coo é vaiável, temos de usa F =. Mas sendo dt aalelo ao vecto velocidade é tangente à tajectóia. Exemlos: d d v F = = ut + u N (4.5) dt dt ρ Inclinação das cuvas As vias-féeas e as estadas são inclinadas nas cuvas de modo a oduzi a foça centíeta solicitada elos veículos em movimento nas cuvas. O ângulo de inclinação em função da velocidade do veículo na cuva, do aio de cuvatua desta e da gavidade é dado o: v tg α = ρg (4.6) Figua 4. Ângulo de inclinação de uma cuva, foças alicadas. (a) vista em cote (b) vista em lanta. O esultado é indeendente da massa do coo. Pêndulo cónico Um fio de comimento L, ligado a um onto fixo, tem numa extemidade uma massa m que gia em tono da vetical com velocidade angula ω (constante). Este disositivo é um êndulo cónico. Acha o ângulo que a coda faz com a vetical, na situação de equilíbio. F N = mω R = mω L sen α (4.7) tg α = FN ω L sen α = P g (4.8) g cos α = ω L (4.9) Figua 4. Foças alicadas num êndulo cónico. Física Engenhaia Civil

14 Quanto maio a velocidade angula ω maio seá o ângulo α, como nos mosta a exeiência. Po essa azão, há muito temo que o êndulo cónico é usado como egulado de velocidade; o exemlo, aa fecha a válvula de entada de vao quando a velocidade ultaassa um ceto limite é fixado, e aa a abi-la quando a velocidade diminui Momento Angula. Pincíio de Consevação do Momento Angula O momento angula (também denominado momento obital, ou momento da quantidade de movimento), em elação ao onto O, de uma atícula de massa m movendo-se com velocidade v (e otanto com quantidade de movimento = mv ) é definido elo oduto vectoial, L = (4.30) ou L = m v (4.3) Figua 4.3 Momento angula de uma atícula, em elação a O. O momento angula é otanto, um vecto eendicula ao lano deteminado o e v. De um modo geal, o momento angula de uma atícula vaia em módulo e diecção duante o movimento da atícula. Entetanto, se o movimento da atícula ocoe num lano, e se o onto O etence ao lano, a diecção do momento angula emanece constante e eendicula ao lano (figua 4.4), visto que e v estão contidos no lano (e definem o lano do movimento). a) b) Figua 4.4 Momento angula numa tajectóia lana. Comonentes da velocidade. No caso do movimento cicula, quando O é o cento da cicunfeência, os vectoes eendiculaes, e v = ω, de modo que L = m v =.m ω O sentido de L coincide com o sentido de ω (são vectoes aalelos), de modo que temos: e v são L = m ω (4.3) Se o movimento cuvilíneo é lano mas não cicula, odemos decomo a velocidade em comonentes adial e tansvesal (figua 4.4 b) v = v + v θ (4.33) Física Engenhaia Civil

15 e odemos eesceve o momento angula como: L = m ( v + v ) = m (4.34) θ v θ como, dθ vθ = temos que: dt L = m dθ dt (4.35) (os vectoes e v são aalelos, logo v = 0 ) Podemos esceve o momento angula como: x y z L = = X Y Z (4.36) u u u X Y Z Tomemos agoa a deivada em elação ao temo, isto é, dl d d = + (4.37) dt dt dt d como = v mv = 0, temos então que; dt dl = F = τ (4.38) dt "a vaiação temoal do momento angula de uma atícula é igual ao momento da foça alicada na atícula" O membo dieito da exessão (4.38) é o momento da foça τ (em elação a um mesmo onto). O que significa que a vaiação temoal do momento angula esulta da existência de um momento de uma foça alicada. Se o momento das foças alicadas fo nulo veificamos que o Momento Angula emanece constante ao longo do temo Este é o Pincíio de Consevação do Momento Angula. Física Engenhaia Civil