Análise de Desempenho e Complexidade da Decodificação Turbo Utilizando a Treliça Mínima Seccionada

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1 Análse de Desempenho e Complexdade da Decodfcação Turbo Utlzando a Trelça Mínma Secconada Gulherme Luz Mortz, Rchard Demo Souza, Isaac Benchmol, Ceclo Pmentel e Marcelo Eduardo Pellenz Resumo O desempenho e a complexdade de códgos turbo construídos com códgos convoluconas consttuntes de taxa k/n são nvestgados neste trabalho. Consderamos a utlzação dos módulos de trelça mínma, secconada e convenconal. A métrca de desempenho é a taxa de erro de bt, enquanto a complexdade é analsada em função do número de operações matemátcas requerdas pelo algortmo max-log-map. Os resultados mostram que o melhor desempenho é obtdo quando os k bts sstemátcos são agrupados em uma únca seção do módulo de trelça, o que é uma característca do módulo de trelça convenconal e de alguns secconamentos do módulo de trelça mínmo. Além dsso, mostramos também que é possível reduzr consderavelmente a complexdade de decodfcação com respeto ao módulo convenconal, se um dado secconamento da mínma é utlzado. Tal secconamento por vezes permte também o melhor desempenho, enquanto em outras vezes mpõe uma pequena perda de desempenho. Palavras-Chave Códgos Turbo, secconamento de trelça, trelça mínma, complexdade de trelça, códgos convoluconas. Abstract The performance and complexty of turbo decodng usng rate k/n consttuent convolutonal codes s nvestgated. The conventonal, mnmal and sectonalzed trells modules of the consttuent convolutonal codes are utlzed. The performance metrc s the bt error rate, whle complexty s analyzed based on the number of mathematcal operatons requred by the max-log-map decodng algorthm. Our results show that the best performance s acheved when the k systematc bts are grouped together n the same secton of the module. That s a characterstc of the conventonal trells module and of some of the sectonalzatons of the mnmal trells module. Moreover, we show that ts possble to consderably reduce the decodng complexty wth respect to the conventonal trells f a partcular sectonalzaton of the mnmal trells module s utlzed. Such sectonalzaton can be sometmes wthn the best performng group, whle at sometmes t mposes a small performance loss. Keywords Turbo codes, trells sectonalzaton, mnmal trells, trells complexty, convolutonal codes. I. INTRODUÇÃO Códgos turbo, ntroduzdos por Berrou e Glaveux [1], são utlzados em alguns padrões modernos de comuncação [2], [3]. Sabe-se, entretanto, que os códgos corretores de G. L. Mortz e R. D. Souza, CPGEI, Unversdade Tecnológca Federal do Paraná (UTFPR), Curtba-PR, Brasl. gulherme@eletrca.eng.br, rchard@utfpr.edu.br. I. Benchmol, CMDI, Insttuto Federal do Amazonas (IFAM), Manaus-AM, Brasl. bench@fam.edu.br. C. Pmentel, CODEC/DES, Unversdade Federal de Pernambuco (UFPE), Recfe-PE, Brasl. ceclo@ufpe.br. M. E. Pellenz, PPGIA, Pontfíca Unversdade Católca do Paraná (PUC- PR), Curtba-PR, Brasl. marcelo@ppga.pucpr.br. erros representam grande parte da potênca consumda de um sstema de comuncação [4]. O decodfcador convoluconal de um transceptor [5], que é menos complexo que um códgo turbo, pode ser responsável por até 35% da potênca consumda no processamento de banda base do snal [4]. Um códgo turbo, como orgnalmente proposto em [1], é a concatenação paralela de dos códgos convoluconas sstemátcos recursvos de taxa r = 1 2 através de um entrelaçador, resultando num códgo de taxa r = 1 3. Esta construção permte que o códgo possa ser decodfcado por um processo teratvo, o que faz com que seu desempenho se aproxme da capacdade teórca do canal. Para aumentar a taxa do códgo dos métodos podem ser utlzados, o prmero é denomnado punconamento, que consste em exclur, de manera regular, alguns bts de pardade do códgo [6], [7]. O segundo método consste na construção de códgos turbo com códgos consttuntes de taxa r = k n > 1 2 [8], [9]. Este método apresenta váras vantagens quando comparado com um códgo turbo clássco, como uma melhor convergênca do processo teratvo e menor redução de desempenho quando se utlza um algortmo de decodfcação smplfcado como o max-log-map [10]. Códgos turbo como os descrtos em [8], [9] são utlzados no WMAX [2]. Como desvantagem dos códgos turbo com códgos consttuntes de taxa r = k n > 1 2 tem-se o aumento exponencal da complexdade de decodfcação. Uma possbldade de reduzrse a complexdade é utlzar uma representação alternatva para as trelças dos códgos consttuntes. No presente trabalho utlzam-se trelças mínmas para códgos sstemátcos recursvos, construídas utlzando-se a técnca apresentada em [11], a qual por sua vez é baseada na técnca desenvolvda por McElece em [12] para códgos não recursvos. Estas trelças são denomnadas mínmas porque mnmzam váras métrcas de complexdade acetas na lteratura [13]. Além dsso, é possível aplcar à construção mínma o processo de secconamento proposto em [13], [14] que faz com que a representação fque mas compacta. Neste artgo analsa-se o desempenho e a complexdade da decodfcação turbo quando o algortmo max-log-map é utlzado em conjunto com as trelças convenconal, mínma e secconada dos códgos consttuntes de taxa r = k n. Expressões para a complexdade de decodfcação são desenvolvdas e smulações para determnação do desempenho das dferentes representações do códgo são executadas. Conclu-se que a trelça mínma não é efcente para a redução do número de operações artmétcas necessáras para a decodfcação utlzando o algortmo max-log-map. Além dsso, observa-se uma

2 redução de desempenho quando se compara a representação convenconal com a mínma. Observa-se, porém, que certos padrões de secconamento elmnam as característcas estruturas desvantajosas para o processo de decodfcação max-log- MAP, fazendo com que se atnja desempenho dêntco à trelça convenconal ao mesmo tempo em que é possível reduzr a complexdade da decodfcação. O restante deste artgo está organzado da segunte manera. A Seção II dscute as dferentes representações de trelça. A Seção III desenvolve a métrca de complexdade. Na Seção IV a relação entre desempenho e complexdade é avalada, enquanto a Seção V conclu o artgo. II. REPRESENTAÇÕES DE TRELIÇAS Códgos convoluconas podem ser representados por uma trelça sem-nfnta, que, salvo um curto transtóro no níco, é regular e peródca. O período da trelça é denomnado de módulo da trelça (M) [15]. Em termos geras, um módulo de trelça M para um códgo convoluconal C(n, k, ν) de taxa r = k n é consttuído de n seções de trelça (ndexadas da seção 0 até a seção n 1), 2 ν estados na seção, 2 b ramos que partem de cada estado na seção, e l bts de rótulo para cada ramo na seção para a seção + 1 (para 0 n 1). O número de memóras do codfcador convoluconal é ν. A representação de um códgo convoluconal geralmente utlzada é o módulo de trelça convenconal M conv, que possu uma estrutura regular consttuída de somente uma seção n = 1 com 2 ν estados ncas e 2 ν estados fnas; sendo cada estado ncal conectado nos estados fnas por 2 k ramos rotulados por n bts. Por exemplo, o módulo de trelça convenconal do códgo C(4, 2, 3) consttunte do códgo turbo do WMAX [2] possu somente uma seção (n = 1) com 2 ν = 8 estados, de cada estado partem 2 k = 4 ramos, rotulados por n = 4 bts. Por outro lado, o módulo de trelça mínma ntroduzdo por McElece e Ln em [12], e expanddo para códgos sstemátcos recursvos em [11], apresenta estrutura rregular consttuída de n = n seções com l = 1 bt por ramo. Esta representação é mínma sob o ponto de vsta de váras métrcas teórcas de complexdade [12], [13]. O módulo de trelça mínma do códgo consttunte do códgo turbo do WMAX está representada na Fgura 1, onde tem-se n = 4 seções rregulares, onde somente a prmera e a segunda contém bts de nformação (apenas um ramo parte de cada estado nas seções 2 e 3). Estados Seções Fg. 1. Módulo de trelça mínma do codfcador consttunte do códgo turbo do WMAX. que sejam possíves 2 n 1 formas de secconamento. O número de seções do módulo de trelça secconada vara de 1 (trelça convenconal) a n (trelça mínma). Defne-se um vetor bnáro de secconamento, denotado vetsec, com n 1 elementos. Caso o -ésmo elemento do vetor seja 1, ndca que o índce de M mn está secconado. A trelça mínma é defnda por vetsec = 0, = 1,..., n 1 e a trelça convenconal é defnda por vetsec = 1, = 1,..., n como a complexdade de estado da seção de índce, sendo que a seção possu 2 νsec estados; a complexdade de ramo da seção (número de bts 1. Além de vetsec defne-se ν sec de nformação que rotulam a seção ) é b sec bts de rótulo da seção é l sec. ; e o número de A. Módulo Secconado Para a construção do módulo secconado de trelça parte-se do módulo de trelça mínma M mn composto de n seções. O processo de secconamento de M mn na seção para = 1,, n 1 consste na remoção dos estados com índce conectando-se os estados de 1 dretamente aos estados de + 1, desde que exsta em M mn um camnho entre os estados de 1 e + 1. O rótulo dos ramos no módulo secconado é formado pela concatenação dos rótulos dos ramos dos camnhos entre 1 e + 1 em M mn. O módulo secconado resultante possu n = n 1 seções. O processo de secconamento pode então ser repetdo, fazendo Fg. 2. Um dos possíves secconamentos do módulo de trelça mínma do codfcador consttunte do códgo turbo do WMAX. Como exemplo, na Fgura 2 mostra-se um possível secconamento do módulo de trelça mínma da Fgura 1 com vetsec = (0, 1, 0), ou seja, M mn está secconada na seção 2 (os estados da seção 2 não estão representados, sendo os estados em = 1 lgados dretamente aos estados em = 3). Como consequênca, o número máxmo de estados, que era

3 de 32 no módulo de trelça mínma, fo reduzdo para 16 no módulo de trelça secconada. III. COMPLEXIDADE DO ALGORITMO MAX-LOG-MAP NA TRELIÇA SECCIONADA O processo de decodfcação utlzando o algortmo maxlog-map [10] consste em achar os bts mas prováves de terem sdo transmtdos em cada seção da trelça dada a sequênca recebda. Em um códgo turbo tradconal utlzando códgos consttuntes de taxa r = 1 2, a razão de verossmlhança logarítmca (log-lkelhood rato ou LLR) para cada bt é calculada ndvdualmente. Para códgos consttuntes de taxa r = k n, k > 1, utlzando a trelça convenconal, as LLRs dos bts são calculadas em grupo de k bts já que cada ramo da trelça convenconal agrupa k bts de nformação. Já quando se utlza a trelça secconada para decodfcação de um códgo de taxa r = k n, k > 1, a manera que as LLRs dos bts serão calculadas va depender de como os bts de nformação estão agrupados na trelça. Esta nformação é mportante na determnação do desempenho do códgo, e é detalhada na Seção IV. A complexdade de trelça, defnda em [12], determna a complexdade teórca para a decodfcação do algortmo de Vterb. Um dos objetvos do presente artgo é levantar uma nova métrca de complexdade para decodfcação do max-log- MAP, já que a métrca em [12] não reflete a complexdade do algortmo. Defne-se a complexdade como o número de operações artmétcas requerdas pelo algortmo em função dos parâmetros do módulo de trelça secconada dscutdos na Seção II-A. A. O Algortmo max-log-map Na execução do algortmo max-log-map são determnadas uma métrca de ramo ψ (q), com q = 0,, 2 bsec 1, para cada uma das possíves palavras de nformação que podem ser formadas com b sec bts. Uma dessas métrcas, ψ (0), é utlzada como referênca para o cálculo de ( 2 bsec 1 ) LLRs (Λ (q)): Λ (q) = ψ (0) ψ (q), (1) ψ (q) = max q l,l [α 1(l ) + γ (l, l) + β (l)] (2) onde 0 l 2 νsec 1 é um dos 2 νsec estados ncas e 0 l 2 νsec +1 1 é um dos 2 ν sec +1 estados fnas na seção de trelça secconada, enquanto q l, l sgnfca que esta palavra de nformação de b sec bts, denomnada q, gera uma transção do estado l para o estado l. Além dsso, α e β são defndos como α (l) = max [α 1 (l ) + γ (l, l)], (3) l,l β (l) = max [β +1 (l ) + γ +1 (l, l )] (4) l,l onde l, l sgnfca que o estado l está conectado a l, e l sec γ (l, l) = r,u x,u (l, l) + Λ e (l, l) (5) u=1 onde r,u é o u-ésmo símbolo da l sec -tupla recebda na seção, x,u é o símbolo BPSK que devera ter sdo transmtdo no nstante caso ocorresse a transção entre os estados l e l, Λ e (l, l ) é a nformação extrínseca (a pror) daquela transção 1. B. Métrca de Complexdade Para a análse proposta serão consderadas apenas operações de soma (S), multplcação (M) e comparação (C). Numa mplementação real város outros fatores nfluencam na complexdade fnal, como, por exemplo, acessos em memóra e dferenças nos pesos computaconas das operações envolvdas. Optou-se por não consderar outros fatores por estes serem dependentes de arqutetura e da mplementação. Faz-se, assm, uma análse puramente matemátca, que pode ser utlzada na comparação das dferentes abordagens de decodfcação e auxlar na análse a ser realzada após a defnção de arqutetura. Inca-se o cálculo com a complexdade da computação de γ (l, l) para cada um dos 2 νsec estados da seção. O somatóro em (5) possu l sec termos, cada um exgndo uma multplcação. Desta manera, são necessáros l sec M para os operandos mas (l sec 1) S para somá-los. Ao valor encontrado adcona-se a nformação extrínseca que contrbu com 1 S. Totalza-se, assm, l sec M + l sec S operações por ramo. Como cada um dos 2 νsec estados possu 2 bsec ramos obtém-se: { Tγ sec = 2 νsec l sec (M + S), se b sec > 0 2 νsec [l sec M + (l sec 1) S], se b sec = 0. (6) Observa-se que a complexdade de algumas etapas da decodfcação depende da ausênca/presença de bts de nformação na seção, já que seções sem bts de nformação não possuem nformação extrínseca para ser somada. Por esse motvo, faz-se (6) condconal, exclundo-se uma soma do resultado total caso não haja bt de nformação na seção. De forma smlar pode-se determnar o número de operações requerdas por (3), (4) e (1), obtendo-se: α = 2 (νsec ) S + β e TΛ sec = = 2 νsec 2 bsec (2 (νsec ) 2 νsec +1 ) C, (7) S + (2 νsec 2 νsec ) C (8) [( ) 2 ν sec +1 S + ( 2 νsec 1 ) C ] + ( 2 bsec 1 ) S, se b sec > 0 0, se b sec = 0 (9) tal que o número total de operações requerdas para o cálculo do algortmo seja defndo como: n 1 TMAP sec = =0 γ + α + β + Λ. (10) 1 As equações apresentadas nesta seção são uma extensão do caso de codfcadores consttuntes de taxa r = 1/2 desenvolvdo por exemplo em [10]. Uma dscussão nteressante sobre decodfcadores turbo para o caso de codfcadores consttuntes de taxa r = k n > 1 pode ser encontrada em [16]. 2

4 C. Exemplo Como exemplo da varação de complexdade de uma trelça em função do secconamento adotado, consdera-se todos os possíves secconamentos da trelça mnma do códgo consttunte do códgo turbo do WMAX, obtendo-se a Tabela I. Ressalta-se que o secconamento com vetsec = {0, 0, 0} representa o módulo de trelça mínma enquanto vetsec = {1, 1, 1} representa o módulo de trelça convenconal. TABELA I COMPLEXIDADE DO CÓDIGO CONSTITUINTE C(4, 2, 3) DO WIMAX [2] vetsec γ α β Λ Total S M S C S C S C S C M 0, 0, , 0, , 1, , 1, , 0, , 0, , 1, , 1, Observa-se que a mnmzação do módulo de trelça do W- MAX, vetsec = (0, 0, 0), reduz o número de multplcações requerdas quando comparado com a trelça convenconal, porém, no processo, o número adconal de somas e comparações acaba por comprometer o ganho obtdo. Além dsso, nota-se que em função do secconamento há uma grande varação em complexdade. IV. AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO DAS TRELIÇAS SECCIONADAS Já que é possível obter redução de complexdade quando se utlzam trelças secconadas, passa-se para o estudo de desempenho de tas trelças comparando-se com as trelças mínma e convenconal em termos de taxa de erro de bt (BER) versus razão snal-ruído (SNR). A SNR é defnda como E b /N 0, onde E b é a energa por bt de nformação e N 0 é a densdade espectral de potênca de ruído. A modulação é BPSK, e o canal é o Gaussano. Cada ponto da curva fo smulado até que 10 7 bts fossem transmtdos. Utlza-se 10 terações do algortmo de decodfcação e o entrelaçador de permutação proposto por Doullard e Berrou em [8]. A. Códgo Consttunte C(4, 2, 3) do WMAX O desempenho em termos de BER de todos os possíves secconamentos da trelça estão dsponíves na Fgura 3, onde utlzou-se um entrelaçador de 480 bts para gerar um códgo turbo de taxa 2/6. Observa-se que as oto curvas de desempenho formaram dos grupos. O desempenho das trelças nas quas os bts sstemátcos estão agrupados (como na convenconal) é superor aos das trelças que calculam a LLR ndvdualmente para os bts (como na trelça mínma). Esta dferença é de aproxmadamente 0, 6 db para uma BER de Além dsso, observa-se na Tabela I que o secconamento dado por vetsec = (1, 1, 0) reduz em 12% o número de multplcações requerdas para decodfcação turbo quando comparado com a trelça convenconal. Além dsso, a Fgura 3 ndca que o desempenho deste secconamento é tão bom quanto o da trelça convenconal. Assm, o secconamento vetsec = (1, 1, 0) resulta em menor complexdade de decodfcação sem alteração de desempenho. BER mínma, 001, 010 e 011 convenconal, 100, 101 e SNR [db] Fg. 3. Desempenho do códgo turbo do WMAX de taxa 2/6 com codfcador consttunte C(4, 2, 3), para um bloco de 480 bts. A legenda ndca os possíves secconamentos da trelça mínma. B. Códgo Consttunte C(5, 3, 5) Nesta seção consderamos o caso de um códgo consttunte de taxa r = 3/5, encontrado pelos autores, e cuja trelça mínma é apresentada na Fgura 4. O códgo turbo gerado com este codfcador consttunte tem taxa 3/7. O objetvo neste caso é o de nvestgar se as conclusões obtdas até então se mantém quando há mas possbldades de agrupamento dos bts sstemátcos no módulo de trelça. A complexdade de todos os possíves secconamentos do módulo de trelça mínma para este códgo são apresentadas na Tabela II. Num caso como este, onde k = 3, há quatro formas de se agrupar os bts sstemátcos no módulo. A Fgura 5 mostra que, como esperado, há quatro grupos correspondentes de desempenho em termos de BER. Aqu o secconamento menos complexo, vetsec = (0, 0, 0, 1), reduz consderavelmente o número de operações requerdas (64% menos somas, 60% menos comparações e 80% menos multplcações que a trelça convenconal), mas mpõe uma perda de 0, 5 db a uma BER de Por sua vez, o secconamento vetsec = (0, 1, 1, 1) atnge o mesmo desempenho que a convenconal, porém com uma redução de complexdade mas modesta (reduz a quantdade de somas em 8% e de multplcações em 17, 5%). Assm, fca evdente que exste uma relação de custo-benefíco entre desempenho e complexdade que pode ser explorada seleconando-se o secconamento da trelça mínma mas adequado para a operação em questão. V. CONCLUSÕES Neste artgo nvestga-se o custo benefíco em termos de desempenho e complexdade de se usar as trelças convenconal, mínma e secconada na decodfcação de códgos turbo. A

5 TABELA II COMPLEXIDADE DO CÓDIGO CONSTITUINTE C(5, 3, 5). vetsec γ α β Λ Total S M S C S C S C S C M 0,0,0, ,0,0, ,0,1, ,0,1, ,1,0, ,1,0, ,1,1, ,1,1, ,0,0, ,0,0, ,0,1, ,0,1, ,1,0, ,1,0, ,1,1, ,1,1, Estados Seções Fg. 4. Módulo de trelça mínmo para o códgo C(5, 3, 5). Os ramos sóldos representam bts codfcados 0 enquanto os ramos tracejados representam bts codfcados 1. BER mínma,0010,0100,1000,1010, ,0011,0101,1001,1011, , ,convenconal SNR [db] Fg. 5. Desempenho do códgo turbo de taxa 3/7 com codfcador consttunte C(5, 3, 5), para um bloco de 720 bts. A legenda ndca os possíves secconamentos da trelça mínma. complexdade é defnda como o número de multplcações, somas e comparações requerdas pela algortmo max-log-map, enquanto que a métrca de desempenho é a BER. Os resultados mostram que tanto o desempenho quanto a complexdade dependem do módulo de trelça utlzado. O melhor desempenho é obtdo quando os bts sstemátcos são agrupados em uma únca seção do módulo de trelça, o que é uma característca do módulo convenconal e de alguns secconamentos do módulo mínmo. A complexdade da decodfcação também é função do secconamento, entretanto não há uma regra evdente. Em város dos casos nvestgados pelos autores ao longo desta pesqusa o módulo menos complexo é também o de melhor desempenho, mas em outros casos não. Assm, conclu-se que há uma relação de custo-benefíco que pode ser explorada, e que cada códgo tem um comportamento partcular em relação ao secconamento de seu módulo de trelça mínma no que dz respeto à complexdade e desempenho. AGRADECIMENTOS Este trabalho fo parcalmente fnancado pelo CNPq e FAPEAM. REFERÊNCIAS [1] C. Berrou and A. Glaveux, Near optmum error correctng codng and decodng: Turbo-codes, IEEE Trans. Commun., vol. 44, no. 10, pp , Oct [2] IEEE Standard e-2005, IEEE standard for local and metropoltan area networks Part 16: Ar nterface for fxed and moble broadband wreless access systems, Feb [3] 3GPP TS V8.7.0, 3rd generaton partnershp project; techncal specfcaton group rado access network; evolved unversal terrestral rado access (E-UTRA); multplexng and channel codng (Release 8), [4] F. Kenle, N. Wehn, H. Meyr, On Complexty, energy- and mplementaton-effcency of channel decoders, IEEE Trans. Commun., vol. 59, no. 12, pp , Dec [5] IEEE Standard , Wreless LAN medum access control (MAC) and physcal (PHY) layer specfcatons: Hsh speed physcal layer n the 5 GHz band, [6] M. A. Kousa and A. H. Mugabel, Puncturng effects on turbo codes, IEE Proc. Commun., vol. 149, no. 3, pp , June [7] I. Chatzgeorgou, M. R. D. Rodrgues, and I. J. Wassell, The augmented state dagram and ts applcaton to convolutonal and turbo codes, IEEE Trans. Commun., vol. 57, no. 7, pp , July [8] C. Doullard and C. Berrou, Turbo codes wth rate-m/(m + 1) consttuent convolutonal codes, IEEE Trans. Commun., vol. 53, no. 10, pp , Oct [9] A. Graell Amat, G. Montors, and S. Benedetto, Desgn and decodng of optmal hgh-rate convolutonal codes, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 50, no. 5, pp , May [10] B. Vucetc and J. Yuan, Turbo Codes: Prncples and Applcatons, Kluwer Academc Publshers, [11] C. Pmentel, R. D. Souza, B. Uchôa-Flho, and I. Benchmol, Mnmal trells for systematc recursve convolutonal encoders, n Proc. IEEE Int. Symp. Inform. Theory (ISIT 2011), St. Petersburg, Russa, 2011, pp [12] R. J. McElece and W. Ln, The trells complexty of convolutonal codes, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 42, no. 6, pp , Nov [13] A. Vardy, Trells structure of codes, n Handbook of Codng Theory, vol. II, (V.S. Pless and W.C. Huffman, eds.), North-Holland, Amsterdam, The Netherlands (1998). [14] A. Lafourcade and A. Vardy, Optmal sectonalzaton of a trells, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 42, no. 3, pp , May [15] B. F. Uchôa-Flho, R. D. Souza, C. Pmentel, M. Jar, Convolutonal codes under a mnmal trells complexty measure, IEEE Trans. Commun., vol. 57, no. 1, pp. 1-5, Jan [16] M. R. Soleyman, Y. Gao, and U. Vlapornsawa, Turbo Codng for Satellte and Wreless Communcatons, Kluwer Academc Publshers, 2002.