ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE TALUDES

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1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE TALUDES PELOS MÉTODOS DE JANBU E SPENCER JOÃO LUÍS FERRÁS FERREIRA Dssertação submetda para satsfação parcal dos requstos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAÇÃO EM GEOTECNIA Orentador: Professor Doutor José Couto Marques Co-Orentador: Professor Doutor Manuel de Matos Fernandes FEVEREIRO DE 2012

2 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2011/2012 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Tel Fax Edtado por FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua Dr. Roberto Fras PORTO Portugal Tel Fax Reproduções parcas deste documento serão autorzadas na condção que seja menconado o Autor e feta referênca a Mestrado Integrado em Engenhara Cvl / Departamento de Engenhara Cvl, Faculdade de Engenhara da Unversdade do Porto, Porto, Portugal, As opnões e nformações ncluídas neste documento representam uncamente o ponto de vsta do respetvo Autor, não podendo o Edtor acetar qualquer responsabldade legal ou outra em relação a erros ou omssões que possam exstr. Este documento fo produzdo a partr de versão eletrónca fornecda pelo respetvo Autor.

3 Aos meus pas A dferença entre o possível e o mpossível está na vontade humana Lous Pasteur

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5 AGRADECIMENTOS Em prmero lugar agradeço ao meu orentador, Prof. José Couto Marques, pela prontdão, dedcação, pacênca, entusasmo e ânmo demonstrados no esclarecmento de todas as dúvdas que surgram no decurso deste trabalho e que muto contrbuíram para a valorzação deste trabalho. Ao meu colega João Paulo Slva agradeço todo o apoo, dsponbldade e motvação que me deu no esclarecmento de dúvdas relatvas ao funconamento e estrutura do programa. À mnha famíla, em especal aos meus pas, que sempre me acompanharam, apoaram e motvaram ao longo de estes anos. Por fm, agradeço a todos os meus colegas e amgos que me acompanharam e apoaram ao longo deste processo.

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7 RESUMO Atualmente a problemátca da establdade de taludes é um tema de grande mportânca dadas as necessdades de expansão urbana e de ocupação de locas cuja establdade é desconhecda. Os taludes naturas, sto é, os que exstem na Natureza sem a ntervenção da mão humana, são os que levantam mas reservas em termos de establdade. O escorregamento de terras é frequente, prncpalmente no tempo das chuvas. Este fenómeno deve-se à subda do nível freátco que altera a dstrbução de tensões no solo, ntroduz pressões neutras, dmnu as tensões efetvas e ntroduz forças de percolação, fazendo com que a resstênca ao corte do solo dmnua, levando a uma maor tendênca para a nstabldade. Com este trabalho pretende-se mplementar dos novos métodos de análse de equlíbro lmte ao programa desenvolvdo por João Paulo Slva de nome TALUDES_Mv1, o método de Spencer e método de Janbu, ambos rgorosos, sendo o prmero passível de aplcação à análse de superfíces de rotura de forma crcular e o segundo a superfíces de rotura de qualquer confguração. A lnguagem de programação utlzada é a lnguagem Matlab, a mesma utlzada no programa TALUDES_Mv1, que para além de ser muto atual, dspõe de uma grande capacdade de cálculo matrcal e de boas capacdades gráfcas para vsualzação de resultados. Deste modo, começa-se por fazer uma breve apresentação acerca da establdade de taludes, da Teora de Equlíbro Lmte e Método das Fatas. Posterormente, são apresentadas as prncpas característcas dos métodos mplementados no programa TALUDES_Mv1 sendo depos os resultados provenentes do cálculo com estes métodos comparados com os obtdos pelos programas Slde e Slope e dscutdos à luz das teoras que os permtem obter. PALAVRAS-CHAVE: establdade de taludes, equlíbro lmte, método de Janbu, método de Spencer, Matlab.

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9 ABSTRACT At present the problem of slope stablty s a theme of great mportance gven the necesstes of urban expanson and occupaton of areas where stablty s unknown. Natural slopes, that s, the ones that exst n nature wthout human nterventon, are the ones that rase more reservatons n terms of stablty. The landsldes are frequent, manly durng the rany season. Ths phenomenon s related wth the rse of the groundwater level that changes the stress dstrbuton n the ground, ncreasng pore pressure, dmnshng the effectve stress and ntroducng seepage forces, whch reduces the sol shear strength, leadng to an ncreased tendency to nstablty. Ths work ntends to mplement two new methods of analyss of lmt equlbrum n the program developed by João Paulo Slva called TALUDES_Mv1 - the Spencer method and the Janbu method, both rgorous methods, the frst beng applcable to the analyss of falure surfaces of crcular shape and the second to falure surfaces of any confguraton. The programmng language used s Matlab, the same used n the program TALUDES_Mv1, whch besdes beng very recent has a great capacty for matrx calculatons and good graphcs capabltes for dsplayng results. Thus, ths work begns wth a bref presentaton about the stablty of slopes, of the Lmt Equlbrum Theory and the Method of Slces. Subsequently, the man characterstcs of the methods mplemented n the program TALUDES_Mv1 are presented, beng then the results from the calculatons wth these methods compared wth those obtaned by the commercal programs Slde and Slope and dscussed from the pont of vew of the theores that provded them. KEYWORDS: slope stablty, lmt equlbrum, Janbu method, Spencer method, Matlab. v

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11 ÍNDICE GERAL AGRADECIMENTOS... I RESUMO... III ABSTRACT... V 1 INTRODUÇÃO MÉTODOS DE ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE TALUDES GENERALIDADES TEORIA DE EQUILÍBRIO LIMITE MÉTODO DAS FATIAS E MÉTODOS DE EQUILÍBRIO LIMITE MÉTODO DAS FATIAS COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS DE EQUILÍBRIO LIMITE DIFERENÇAS ENTRE MÉTODOS DE EQUILÍBRIO LIMITE Método de Fellenus Método de Bshop Método de Janbu (smplfcado) Método de Spencer Método de Morgenstern-Prce Método de Correa Método de Janbu AVALIAÇÃO DOS RESULTADOS FORNECIDOS PELOS DIFERENTES MÉTODOS Breve apresentação do Método de Equlíbro Generalzado (GLE) Apresentação dos resultados obtdos pelo GLE MÉTODO DE SPENCER INTRODUÇÃO DESCRIÇÃO DO MÉTODO DESCRIÇÃO DO ALGORITMO IMPLEMENTADO NO TALUDES_MV DETERMINAÇÃO DE FS LINHA DE IMPULSO E CÁLCULO DAS FORÇAS ATUANTES NAS FATIAS MÉTODO DE JANBU INTRODUÇÃO v

12 5.2. DESCRIÇÃO DO MÉTODO DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS IMPLEMENTADOS NO TALUDES_MV DETERMINAÇÃO DE FS Método Smplfcado Defnção da lnha de mpulso Método de Janbu generalzado Método de Janbu rgoroso LINHA DE IMPULSO E CÁLCULO DAS FORÇAS ATUANTES NAS FATIAS CASOS DE ESTUDO E ANÁLISE DE RESULTADOS GENERALIDADES CASO DE ESTUDO EXEMPLO Método de Spencer Método de Janbu Comparação com outros métodos EXEMPLO Método de Spencer Método de Janbu Comparação com outros métodos EXEMPLO Método de Spencer Método de Janbu Comparação com outros métodos EXEMPLO Método de Spencer Método de Janbu Comparação com outros métodos CASO DE ESTUDO EXEMPLO Método de Janbu Comparação com outros métodos EXEMPLO Método de Janbu Comparação com outros métodos EXEMPLO v

13 Comparação com outros métodos EXEMPLO CASO DE ESTUDO CONSIDERAÇÕES FINAIS BIBLIOGRAFIA x

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15 ÍNDICE DE FIGURAS Fg. 2.1 Medda de establzação de um talude (Gerscovch, 2009)... 3 Fg. 2.2 Escorregamento por rotação (Gerscovch, 2009)... 4 Fg. 2.3 Escorregamento por translação (Gerscovch, 2009)... 5 Fg. 2.4 Resstênca moblzável e resstênca moblzada (João Slva, 2011)... 6 Fg. 2.5 Dferentes superfíces de deslzamento ao longo do talude (Gerscovch, 2009)... 7 Fg. 2.6 Modelo de comportamento rígdo plástco... 9 Fg. 3.1 Dvsão de um talude em fatas Fg. 3.2 Possível dvsão de um talude real em fatas (Gomes, 2011) Fg. 3.3 Forças de nteração entre fatas Fg. 3.4 Fata genérca Fg. 3.5 Forças normas e de corte numa fata genérca Fg. 3.6 Método de Fellenus Forças aplcadas a uma fata de solo Fg. 3.7 Método de Bshop Forças aplcadas a uma fata de solo Fg. 3.8 Método de Janbu (smplfcado) Forças aplcadas a uma fata de solo Fg. 3.9 Método de Spencer Forças aplcadas a uma fata de solo Fg Determnação do fator de segurança (Spencer, 1967) Fg Método de Morgenstern-Prce Forças aplcadas a uma fata de solo Fg Método de Correa Forças aplcadas a uma fata de solo Fg Método de Janbu Forças aplcadas a uma fata de solo Fg Fator de segurança vs. λ (Krahn, 2003) Fg Fator de segurança vs. λ para uma superfíce msta (Krahn, 2003) Fg. 4.1 Forças atuantes numa fata de solo segundo o método de Spencer (1967) Fg. 4.2 Determnação do fator de segurança (Spencer, 1967) Fg. 4.3 Forças numa fata genérca para o algortmo de Spencer Fg. 4.4 Forças nas extremdades da prmera e últma fata Fg. 4.5 Forças numa fata genérca Fg Forças atuantes numa fata de solo segundo o método de Janbu (1954) Fg. 5.2 Superfíce de rotura assocada ao método de Janbu (Guedes de Melo, 1993) Fg Forças numa fata genérca para o método de Janbu Fg. 5.4 Varação do fator de segurança com o número de terações (L, 1986) Fg. 5.5 Fata genérca - defnção da lnha de mpulso x

16 Fg. 5.6 Segmento de reta e pontos genércos Fg. 5.7 Interseção de dos segmentos de reta Fg. 5.8 Segmento de reta método de L and Whte Fg. 5.9 Interseção de dos segmentos de reta método de L and Whte Fg Fata genérca método de Janbu Fg. 6.1 Exemplo Fg. 6.2 Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo TALUDES_Mv1) Fg. 6.3 Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo Slope) Fg. 6.4 Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo Slde) Fg. 6.5 Tensão normal na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.1) Fg. 6.6 Tensão de corte na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.1) Fg. 6.7 Dstrbução da força normal E (Método de Spencer, exemplo 1.1) Fg. 6.8 Dstrbução da força tangencal X (Método de Spencer, exemplo 1.1) Fg. 6.9 Lnha de mpulso (Método de Spencer, exemplo 1.1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.1 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.1 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.1 Slde) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.1) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.1) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 1.1) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 1.1) Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 1.1) Fg Exemplo Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.2 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.2 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.2 Slde) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.2) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.2) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Spencer, exemplo 1.2) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Spencer, exemplo 1.2) Fg Lnha de mpulso (Método de Spencer, exemplo 1.2) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.2 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.2 Slope) x

17 Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.2 Slde) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.2) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.2) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 1.2) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 1.2) Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 1.2) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.3 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.3 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.3 Slde) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.3) Fg Força tangencal na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.3) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Spencer, exemplo 1.3) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Spencer, exemplo 1.3) Fg Lnha de mpulso (Método de Spencer, exemplo 1.3) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.3 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.3 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.3 Slde) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.3) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.3) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 1.3) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 1.3) Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 1.3) Fg Exemplo Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.4 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.4 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.4 Slde) Fg Tensão normal efetva na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.4) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.4) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Spencer, exemplo 1.4) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Spencer, exemplo 1.4) Fg Lnha de mpulso (Método de Spencer, exemplo 1.4) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.4 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.4 Slope) x

18 Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.4 Slde) Fg Tensão normal efetva na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.4) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.4) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 1.4) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 1.4) Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 1.4) Fg Exemplo Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.1 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.1 Slde) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.1) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.1) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 2.1) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 2.1) Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 2.1) Fg Exemplo Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.2 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.2 Slde) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.2) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.2) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 2.2) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 2.2) Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 2.2) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.3 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.3 Slde) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.3) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.3) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 2.3) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 2.3) Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 2.3) Fg Exemplo xv

19 ÍNDICE DE QUADROS Quadro 2.1 Classfcação do talude em função de FS... 6 Quadro 3.1 Característcas dos métodos de equlíbro lmte Quadro 5.1 Quadro síntese método de Janbu Quadro 6.1 Propredades do materal Quadro 6.2 Fator de segurança (Método de Spencer, exemplo 1.1) Quadro 6.3 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 1.1) Quadro 6.4 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 1.1) Quadro 6.5 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce, Spencer e Janbu, exemplo 1.1) Quadro 6.6 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 1.1) Quadro 6.7 Propredades dos materas Quadro 6.8 Fator de segurança (Método de Spencer, exemplo 1.2) Quadro 6.9 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 1.2) Quadro 6.10 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 1.2) Quadro 6.11 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce, Spencer e Janbu, exemplo 1.2) Quadro 6.12 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 1.2) Quadro 6.13 Fator de segurança (Método de Spencer, exemplo 1.3) Quadro 6.14 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 1.3) Quadro 6.15 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 1.3) Quadro 6.16 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce, Spencer e Janbu, exemplo 1.3) Quadro 6.17 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 1.3) Quadro 6.18 Fator de segurança (Método de Spencer, exemplo 1.4) Quadro 6.19 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 1.4) Quadro 6.20 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 1.4) Quadro 6.21 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce, Spencer e Janbu, exemplo 1.4) Quadro 6.22 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 1.4) Quadro 6.23 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 2.1) Quadro 6.24 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 2.1) Quadro 6.25 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce e Janbu, exemplo 2.1) xv

20 Quadro 6.26 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 2.1) Quadro 6.27 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 2.2) Quadro 6.28 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 2.2) Quadro 6.29 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce e Janbu, exemplo 2.2) Quadro 6.30 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 2.2) Quadro 6.31 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 2.3) Quadro 6.32 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 2.3) Quadro 6.33 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce e Janbu, exemplo 2.3) Quadro 6.34 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 2.3) Quadro 6.35 Método de Janbu - 7 fatas Quadro 6.36 Método de Janbu 20 fatas Quadro 6.37 Método de Janbu 50 fatas Quadro 6.38 Método de Janbu 100 fatas xv

21 SÍMBOLOS E ABREVIATURAS b largura da fata [m]; c coesão [kpa]; c u resstênca não drenada [KPa]; E força de nteração normal aplcada na nterface entre fatas (kn/m); módulo de Young [MPa]; F forças atuantes (kn/m); F f fator de segurança assocado à equação de equlíbro de forças; F m fator de segurança assocado à equação de equlíbro de momentos; FS ou F s fator de segurança; f(x) função representatva das forças de nteração; f 0 fator corretvo [m]; h altura da fata [m]; h altura de um estrato numa superfíce de rotura [m]; k h coefcente sísmco horzontal; k v coefcente sísmco vertcal; l comprmento da base da fata [m]; M momentos atuantes (kn.m); N tensão normal moblzada na base das fatas [kn/m]; N tensão efetva normal moblzada na base das fatas [kn/m]; P b (ou U) resultante das pressões neutras na base das fatas [kn/m]; P w resultante das pressões neutras na face das fatas [kn/m]; Q resultante das forças de nteração atuantes na fata [kn/m]; sobrecarga (kn); r rao de crcunferênca [m]; S (ou T) tensões de corte moblzadas na base das fatas [kn/m]; u pressão nterstcal [kn/m]; W peso própro da fata [kn]; X força tangencal aplcada na nterface entre fatas [kn/m]; x c,y c coordenadas do ponto arbtráro C [m]; x m,y m coordenadas do ponto médo da base das fatas [m]; X máx força tangencal máxma na nterface entre fatas [kn/m]; y(x) função característca da superfíce; y (x) função característca da lnha de pressão ou lnha de mpulsos; xv

22 Z resultante das forças de nteração atuantes no lado da fata (kn/m); α nclnação da base de uma fata [º]; β nclnação do talude [º]; ɣ peso volúmco do solo [kn/m 3 ]; Δf varação da força de nteração; ΔE varação da força normal na nterface entre fatas; ΔX varação da força tangencal ou de corte na nterface entre fatas; θ nclnação da resultante das forças de nteração [º]; λ fator admensonal de escala; ξ coordenada horzontal admensonal das funções de nteração de forças; σ n tensão normal aplcada na base da fata [kpa]; ε deformação do solo; τ f resstênca moblzável [kn/m]; τ mob resstênca moblzada [kn/m]; τ r resstênca ao corte do solo [kn/m]; Ø ângulo de atrto do solo [º]; ω nclnação da sobrecarga com a vertcal [º]; MEF Método dos Elementos Fntos; xv

23 1 INTRODUÇÃO A análse de establdade de taludes é um tema com relevante mportânca na área de geotecna, por um lado, dada a crescente necessdade de ocupar novos espaços e crar novas nfraestruturas resultantes do aumento populaconal, por outro, pelos rscos (materas e humanos) a eles assocados no caso de rotura. Este aumento populaconal teve prncpal relevânca no níco do século XX, altura na qual se começaram a realzar uma sére de estudos que tnham como objetvo o desenvolvmento de métodos que permtssem avalar a resstênca dos taludes, sobretudo no que dz respeto à sua establdade. Exstem város exemplos onde este tpo de análse é fundamental: taludes naturas, aterros, establzação de escarpas, vas de comuncação, barragens de terra, etc. A maora dos métodos tem por base a Teora de Equlíbro Lmte, e anda hoje são bastante utlzados. A establdade de um talude é determnada exclusvamente por consderações de equlíbro adotando hpóteses de forma a resolver a ndetermnação estátca assocada a cada análse. Com o aparecmento e desenvolvmento dos computadores, a mplementação destes métodos tornou-se mas smples, nomeadamente naqueles em que o esforço de cálculo era maor vsto recorrerem a formulações matemátcas mas elaboradas. Com os computadores, dada a sua capacdade de cálculo, apareceram no mercado programas comercas aplcando estes métodos, fundamentados na Teora de Equlíbro Lmte. Estes programas tornaram possível resolver problemas cada vez mas complexos, quer em termos de geometra e estratgrafa dos taludes, quer pela nclusão de pressões neutras e de modelos de varação das forças de corte. Mas recentemente, com o desenvolvmento do Método dos Elementos Fntos fo possível uma nova abordagem dos problemas de establdade. Com este método tornou-se possível efetuar uma modelação mas realsta assm como realzar o cálculo tendo por base as relações tensão-deformação dos materas, possbltando especfcar a le de comportamento dos mesmos (lnear elástca, não lnear, elastoplástca, etc). Embora haja um maor rgor nos resultados obtdos, este tpo de análse exge um maor esforço computaconal e a ntrodução de um maor número de dados, dados esses que por vezes são nexstentes ou de dfícl obtenção. É fundamental para um profssonal de engenhara (Duncan,1996), perante estes dos tpos de análse (Teora de Equlíbro Lmte e Método dos Elementos Fntos), saber a resposta a determnadas questões tas como quas as dferenças em termos de resultados, entre a aplcação do Método dos Elementos Fntos e a aplcação de métodos baseados na Teora de Equlíbro Lmte?, para que 1

24 condções são eles precsos?, quas os métodos mas precsos e quas os menos precsos?, de forma a chegar uma decsão mas ponderada entre esforço de cálculo e fabldade nos resultados. Com este trabalho pretende-se efetuar a comparação de resultados obtdos através de város métodos baseados na Teora de Equlíbro Lmte. Para sso, o autor mplementou dos novos métodos, Spencer (1967) e Janbu (1954, 1957 e 1973, referdo em Segel, 1975), no programa em Matlab de cálculo de establdade de taludes desgnado por TALUDES_Mv1 (João Slva, 2011), sendo estes dos métodos rgorosos uma vez que garantem todas as condções de equlíbro. Este trabalho que se apresenta está estruturado da segunte forma. Na prmera parte é feta uma revsão geral dos métodos de análses de establdade, dando prncpal realce à Teora de Equlíbro Lmte, tpos de análse e métodos de cálculo com ela relaconados, assm como vantagens e lmtações mas relevantes. De seguda faz-se uma apresentação do método das fatas e dos correspondentes métodos de equlíbro lmte ndcando as vantagens e lmtações assocadas aos mesmos. Segudamente serão apresentados os métodos de Spencer e de Janbu, onde será feta uma abordagem teórca sobre os métodos e serão evdencadas as suas vantagens e lmtações e expostas as fases essencas da mplementação dos métodos no programa. Posterormente serão comparados os resultados obtdos num exemplo pré-defndo, através dos métodos mplementados no programa TALUDES_Mv1 com os fornecdos pelos programas comercas Slde (da Rocscence) e Slope (da Geo-Slope). Por últmo serão apresentadas as conclusões resultantes da dscussão dos resultados, utlzando as três ferramentas referdas. 2

25 2 MÉTODOS DE ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE TALUDES 2.1. GENERALIDADES A análse de establdade de taludes é um assunto vasto e complexo uma vez que envolve grandes massas de terras que têm a s assocadas uma grande heterogenedades e uma longa hstóra de tensões que nfluencam e condconam o seu comportamento. As análses de establdade de taludes podem ter város objetvos, consoante a orgem natural ou artfcal do problema analsado (Campos e Matos, 1980). Na natureza, os taludes naturas e as escavações têm um grau de establdade superor a 1, pretendendo-se, por sso, avalar se exste ou não necessdade de aplcar meddas de establzação para evtar que o grau baxe e se dê o colapso. A fgura segunte mostra um exemplo de um talude onde fo necessáro aplcar meddas de establzação para evtar o colapso. Fg. 2.1 Medda de establzação de um talude (Gerscovch, 2009) No caso de problemas de orgem artfcal, como são exemplos os aterros, o objetvo desta análse é encontrar a chamada solução ótma, ou seja, a nclnação adequada para os taludes de forma a que o fator de segurança seja superor a 1, e tendo em conta a segurança e os custos que estão assocados a este tpo de obras. 3

26 Quando se trata de taludes naturas, este tpo de análse torna-se mas complexa uma vez que, dados os varados tpos de rotura, torna-se dfícl encontrar um procedmento que avale a segurança de uma forma geral (Matos Fernandes, 2006). Exstem város tpos de movmento, dependendo esse movmento das característcas do talude. O movmento ocorre quando uma massa de solo/rocha, sob determnadas condções, se deslga da restante e ao perder a sua capacdade de equlíbro entra em movmento. Varnes (1978) classfca-os em: Quedas (assocados a rochas); Tombamentos (assocados a blocos); Escorregamentos (assocados a massas de solo e/ou rocha); Expansão (assocados a rochas); Fluxos (assocados a solos e/ou rochas); Complexos (com avalanches ou combnações de város tpos de movmento); Neste trabalho apenas serão analsadas nstabldades assocadas a movmentos de deslzamento de massas. Exstem dos tpos de deslzamentos de taludes, os escorregamentos por rotação e os escorregamentos por translação. Os escorregamentos por rotação ocorrem sobretudo em solos homogéneos ou com característcas não muto varáves, em que a superfíce de deslzamento que se desenvolve apresenta uma forma curva ou pratcamente crcular em mutos casos. Os escorregamentos por translação surgem prncpalmente quando exste a pouca profunddade e relatvamente paralelo à superfíce do talude, um estrato mas resstente subjacente à massa nstável. A superfíce de deslzamento que se desenvolve apresenta uma forma plana ou polgonal. Poderá anda exstr deslzamentos que são a conjugação dos dos anterores. Isto acontece quando no nteror de um estrato exste uma camada fna de um materal mas fraco, caso em que a superfíce de deslzamento apresenta uma forma crcular nas extremdades e polgonal no contacto com essa camada. As fguras seguntes mostram casos reas de um escorregamento por rotação (Fg. 2.2) e de um escorregamento por translação (Fg. 2.3). Fg. 2.2 Escorregamento por rotação (Gerscovch, 2009) 4

27 Fg. 2.3 Escorregamento por translação (Gerscovch, 2009) Este tpo de acdentes ocorre devdo a város fatores. Os mas frequentes, e apontados por város autores na bblografa exstente, são os seguntes: Varação do nível freátco ao longo do ano; Alteração da geometra do talude; Deteroração das característcas mecâncas do solo pela ação dos város agentes erosvos; Ocupação urbana; Ocorrênca de ssmos; A presença destes fatores resulta num aumento das solctações atuantes e/ou numa dmnução da resstênca do solo de tal forma que poderá levar a casos de nstabldade e consequente ocorrênca de deslzamentos. Quando se efetua uma análse de establdade de um talude, deve-se avalar também qual é a sua resstênca máxma, ou seja, qual o aumento de solctação que suporta antes de se transformar num mecansmo. Tal acontece quando forem ultrapassadas as tensões de corte máxmas moblzáves pelo solo ao longo de uma superfíce (sendo esta defnda pela maor ou menor resstênca moblzável entre partículas). O aumento de solctação atrás referdo é o resultado entre a dferença da resstênca moblzável e a resstênca moblzada, sendo a prmera, a resstênca ao corte máxma que aquele solo específco consegue oferecer quando atuado, e a segunda, a resstênca que sera necessára gastar para equlbrar o conjunto de cargas atuantes. Assm sendo, o fator de segurança do talude defne-se pela equação 2.1, sendo este o parâmetro que permte perceber qual a stuação de establdade em que o talude se encontra. FS f mob (2.1) Nesta equação f é a resstênca moblzável e mob a resstênca moblzada. 5

28 Fg. 2.4 Resstênca moblzável e resstênca moblzada (João Slva, 2011) A fgura 2.4 ajuda a perceber o que representa cada uma das grandezas anterormente descrtas: resstênca moblzável, é a força que se opõe ao movmento, resstênca moblzada é a força que dá orgem ao movmento. Mas à frente se verá que o cálculo do fator de segurança também pode ser feto va equlíbro de forças ou de momentos. Contudo a sua defnção mantém-se como sendo o valor pelo qual se deve dvdr a resstênca do macço para obter a resstênca moblzada (Matos Fernandes, 2006). Quadro 2.1 Classfcação do talude em função de FS Fator de Segurança (FS) FS<1 FS=1 1<FS<1,5 FS 1,5 Establdade Relatva Instável Equlíbro nstável Establdade ncerta Estável No quadro 2.1 apresenta-se a classfcação do talude de acordo com o valor do fator de segurança obtdo. A sua determnação pode ser realzada através dos métodos de equlíbro lmte ou da aplcação do método dos elementos fntos TEORIA DE EQUILÍBRIO LIMITE A Teora de Equlíbro Lmte é a base de cálculo dos métodos com esse nome presentes na bblografa. É utlzada de forma a estmar o equlíbro de uma massa de solo, cuja rotura ocorre ao longo de uma superfíce plana, polgonal, crcular ou msta, podendo ocorrer acma ou abaxo do pé do talude. A massa de solo que se encontra acma da superfíce de deslzamento é consderada como sendo um corpo lvre, em que todas as partículas que se encontram ao longo da lnha de rotura atngram a 6

29 condção de FS=1. Assm sendo, admte-se que o fator de segurança é o mesmo em todos os pontos, embora não seja o que realmente ocorre. A forma da lnha de rotura pode varar ao longo da extensão do talude, levando a que o valor do fator de segurança seja dferente de secção para secção (Fg. 2.5). Fg. 2.5 Dferentes superfíces de deslzamento ao longo do talude (Gerscovch, 2009) Uma vez que a análse se faz a duas dmensões, admte-se para o estudo a secção mas crítca do talude, que pode ser, por exemplo, a secção de maor altura. Assm sendo os efetos de confnamento lateral são desprezados. (Gomes, 2011). O cálculo do fator de segurança pode ser feto de três formas: Equlíbro de forças: Festablzadoras FS (2.2) F nstablzadoras Equlíbro de momentos: Equlíbro lmte ao corte: M establzadores FS (2.3) M nstablzadores f FS (2.4) mob 7

30 As equações 2.2 e 2.3 podem levar a alguma confusão no que dz respeto à defnção das componentes das forças e momentos que se opõem ao movmento e as que contrbuem para o mesmo (Aryal, 2006). As componentes das forças e dos momentos são consderadas postvas se tverem uma ação que contrbua para o mpedmento do movmento da massa de solo. Porém, essas mesmas componentes por vezes são ncluídas com snal negatvo em denomnador, por se consderar que determnam uma redução do valor da ação nstablzadora sobre o talude. Estas duas formas de análse podem levar a fatores de segurança dferentes, problema esse que não acontece se for utlzada a equação 2.4, em que o numerador é defndo pelo crtéro de rotura a utlzar. Contudo, e como se verá mas adante, a maor parte dos métodos de equlíbro lmte defnem o FS a partr da equação de equlíbro de momentos. A resstênca moblzável ( ) é calculada através do crtéro de rotura de Mohr-Coulomb: onde c ' é a coesão, f ' a tensão efetva e ( mob ) é feta pela segunte equação: f c' ' tan' (2.5) mob ' o ângulo de atrto. A avalação da resstênca moblzada ( c' ' tan') (2.6) FS Tal como fo referdo anterormente a resstênca moblzada resulta do quocente entre a resstênca moblzável pelo fator de segurança. As equações anterores são váldas para uma análse em tensões efetvas. Este tpo de análse pode ser realzado em tensões totas se na equação da resstênca moblzável entrarmos com a resstênca não drenada ( c u ), desta forma a resstênca moblzável é calculada como sendo: f c u (2.7) A opção entre efetuar uma análse em tensões totas ou em tensões efetvas dependerá sempre daquela que for consderada mas gravosa em termos de nstabldade. Segundo Gomes (2011) exstem város tpos de análse de establdade onde a Teora de Equlíbro Lmte é aplcada. Essas análses são resolvdas através da aplcação de um dos seguntes métodos: Métodos das Cunhas a massa de solo potencalmente nstável, dada a sua confguração e característcas resstentes, é dvdda em cunhas, e as condções de equlíbro são aplcadas a cada zona soladamente; Método das Fatas a massa de solo potencalmente nstável é dvdda em fatas, normalmente vertcas, e as condções de equlíbro são aplcadas a cada fata soladamente; Método Geral a toda a massa de solo potencalmente nstável, são aplcadas as condções de equlíbro, cujo comportamento se consdera o de um corpo rígdo. Para o presente trabalho nteressa o método das fatas, método este que terá uma breve explcação em capítulo própro, uma vez que os métodos de equlíbro lmte que nos permtem obter os fatores de segurança não são mas que a aplcação do método das fatas com a componente hperestátca resolvda. Importa salentar também, algumas característcas e lmtações assocadas as três métodos referdos (Duncan, 1996). A prmera prende-se com o facto do comportamento do solo ser do tpo rígdo plástco (Fg. 2.6). 8

31 Fg. 2.6 Modelo de comportamento rígdo plástco A rotura dá-se bruscamente sem que antes haja snas de deformação. Assm sendo, não exste nenhuma nformação no que dz respeto às tensões no nteror do talude nem quanto às suas varações ao longo da superfíce de deslzamento. Outra questão prende-se com o facto da possbldade da ocorrênca de rotura progressva. Não é de todo correto consderar que a rotura se dê ao mesmo tempo em todos os pontos da superfíce de deslzamento. Na realdade, nca-se em alguns pontos (pontos em que mob > f ), e à medda que a deformação va aumentando, outros pontos vão plastfcando atngndo por sso a rotura. Assm sendo, a rotura será progressva e não abrupta, fazendo com que, uma vez moblzada toda a resstênca numa pequena zona da superfíce de deslzamento, a moblzável noutras zonas da mesma superfíce será menor que a resstênca máxma calculada. Desta forma não há garantas que a máxma força possa ser moblzada smultaneamente em todos os pontos da superfíce. Assm sendo concluímos que o fator de segurança vara ao longo da superfíce de deslzamento, no entanto os métodos assumem-no como sendo constante ao longo de toda a superfíce. Por outro lado, uma vez que a rotura é progressva, sto coloca em causa um aspeto comum a todos os métodos, a valdade das equações da estátca até ao momento que ocorre a rotura. Uma vez que a rotura é progressva, trata-se de um processo dnâmco e não estátco, pelo que a aplcação de equações da estátca em processos dnâmcos não é de todo correta. Um últmo aspeto que mporta salentar está relaconado com as smplfcações adotadas para a resolução do problema da hperstatcdade. No caso das varantes do método das fatas, verfca-se que aquelas que apenas satsfazem o equlíbro de forças (e não de momentos) dão orgem a fatores de segurança menos fáves do que aquelas que satsfazem as três equações de equlíbro. 9

32 10

33 3 MÉTODO DAS FATIAS E MÉTODOS DE EQUILÍBRIO LIMITE 3.1. MÉTODO DAS FATIAS O método das fatas, tal como já fo referdo anterormente, é utlzado em grande parte das análses de establdade de taludes. A sua aplcação resde em arbtrar uma superfíce de deslzamento, podendo esta ter uma forma plana, crcular, polgonal ou msta, e efetuar o cálculo do equlíbro da massa de solo através das equações da estátca: F h 0 (3.1) F v 0 (3.2) M o 0 (3.3) A aplcação das expressões acma apresentadas é feta através da dvsão do solo acma da lnha de rotura em fatas de faces vertcas, e analsando o equlíbro das mesmas. Fg. 3.1 Dvsão de um talude em fatas 11

34 Fg. 3.2 Possível dvsão de um talude real em fatas (Gomes, 2011) Fg. 3.3 Forças de nteração entre fatas Fg. 3.4 Fata genérca 12

35 Tendo em conta as forças representadas na fgura 3.3, escrevendo uma equação de momentos em relação ao ponto O (fgura 3.4) vem: T M est r f, l AB, (3.4) M r nst W sn (3.5) onde M est é o momento das forças establzadoras (aquelas que obstam ao movmento da massa de solo), l, o comprmento do segmento de reta AB da base da fata genérca e M nst o momento das AB forças nstablzadoras (aquelas que contrbuem para o movmento da massa de solo). Substtundo na expressão 2.3 o denomnador e numerador pelas expressões anterores, o fator de segurança fca defndo por: FS T f, l AB, W sn (3.6) Tendo em conta a expressão 2.5 fcamos com: FS ( c' l AB, ' tan' l AB, ) W sn Smplfcando a expressão anteror pode ser escrta da segunte forma: FS ( c' l AB, W tan' N' ) sn (3.7) (3.8) Segundo a dreção horzontal, o equlíbro de forças é dado por: em que Z cos 1 Z cos N sn T cos 0 (3.9) 1 Z são as forças de nteração entre fatas, horzontal, N e tangencal ao nível da base da fata. a nclnação das forças de nteração com a T é a força são respetvamente a reação normal e a nclnação da base da fata e No que dz respeto ao equlíbro de forças na dreção vertcal temos: Z sn 1 Z sn W N cos T sn 0 (3.10) 1 Tal como já fo referdo anterormente, o cálculo do FS também podera ser feto através da equação de equlíbro de forças ou pela equação de equlíbro lmte ao corte, porém, a sua determnação através dos dferentes métodos de equlíbro lmte é feta na sua maora, utlzando a equação de equlíbro de momentos. Fellenus fo o prmero a ntroduzr um método de análse para uma superfíce de deslzamento crcular em 1936, método esse a que fcou assocado o seu nome, sendo também conhecdo como Método Sueco. Outros lhe sucederam como por exemplo, Janbu (1954), Bshop (1955), Morgenstern e Prce (1965), Spencer (1967), Correa (1988), entre outros. De seguda será feta uma pequena 13

36 abordagem sobre métodos anterormente apresentados, fazendo-se num capítulo segunte uma abordagem mas detalhada sobre os métodos de Janbu e Spencer, uma vez que foram os mplementados no programa TALUDES_Mv COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS DE EQUILÍBRIO LIMITE DIFERENÇAS ENTRE MÉTODOS DE EQUILÍBRIO LIMITE Tal como é referdo em Terzagh e Peck (1967), a aplcação dos métodos de equlíbro lmte generalzou-se em todos os tpos de obra dada a facldade de análse de geometras mas ou menos complexas, sendo possível anda consderar a presença de pressões neutras e de város tpos de solos. Contudo mporta compreender os dversos métodos de equlíbro lmte e avalar a consstênca de cálculo do fator de segurança, percebendo quas são os mas adequados para o tratamento de certos problemas. Fg. 3.5 Forças normas e de corte numa fata genérca Na fgura anteror são lustradas as forças normas e de corte que atuam na base e nas faces lateras das fatas, onde X e E representam respetvamente a força tangencal e normal entre fatas, e N e T representam a reação normal e de corte na base da fata respetvamente. Tal como refere Krahn (2003), as grandes dferenças que se verfcam entre métodos estão relaconadas com as equações da estátca que são satsfetas, nas forças entre fatas consderadas para o cálculo (normas e de corte), e na dstrbução das forças de nteração. No Quadro 3.1 apresentam-se as característcas dos prncpas métodos de equlíbro lmte. 14

37 Quadro 3.1 Característcas dos métodos de equlíbro lmte Métodos Superfíce F h 0 F v 0 M o 0 Força E Força X Z Fellenus Crcular Não Sm Sm Não Não Não exste Bshop Smplfcado Janbu Smplfcado Qualquer Não Sm Sm Sm Não Horzontal Qualquer Sm Sm Não Sm Não Horzontal Spencer Crcular Sm Sm Sm Sm Sm Constante Morgenstern- -Prce Qualquer Sm Sm Sm Sm Sm Varável Correa Qualquer Sm Sm Sm Sm Sm Varável Janbu Rgoroso Qualquer Sm Sm Sm Sm Sm Varável Importa salentar que através do número de equações da estátca consderadas no cálculo, os métodos são classfcados como rgorosos ou não rgorosos sendo esta classfcação atrbuída tendo em conta se satsfazem ou não as três equações da estátca. Desta forma podemos verfcar que os prmeros três métodos do Quadro 3.1 são métodos não rgorosos, os restantes quatro são métodos rgorosos. De referr também que o método de Janbu tem uma va smplfcada e outra rgorosa como se verá mas à frente Método de Fellenus O cálculo do fator de segurança através do Método de Fellenus (apresentado em 1936) é feto através de uma equação lnear, não sendo, por sso, necessáro qualquer processo teratvo. As forças de nteração entre fatas são consderadas como paralelas à base da fata, permtndo, desta forma, dspensá-las para o cálculo. Porém esta smplfcação não é verdadera, uma vez que, para as forças serem paralelas à base da fata, não podem ter a mesma nclnação em todas as fatas: quando se muda para a fata segunte a nclnação muda (Fredlund, 1977). Assm sendo, o prncípo da ação-reação de Newton não é satsfeto. O valor da reação normal na base das fatas ( N ) pode ser obtdo efetuando o equlíbro de forças segundo a dreção perpendcular à base ou através das equações de equlíbro segundo a dreção horzontal e vertcal. As forças aplcadas a cada fata encontram-se ndcadas na fgura

38 Fg. 3.6 Método de Fellenus Forças aplcadas a uma fata de solo O cálculo do fator de segurança é feto através da expressão ( c' l ( W cos u l) tan') FS (3.11) W sn Método de Bshop O método de Bshop fo apresentado em 1955 e tnha como ntuto ncal a análse de superfíces crculares, embora possa ser aplcado a superfíces não crculares. O cálculo do fator de segurança é feto gnorando as forças de corte entre as fatas, satsfazendo apenas o equlíbro de momentos. Os bons resultados do fator de segurança fornecdos por este método, desencadearam uma sére de estudos com o ntuto de efetuar um estudo mas aprofundado sobre o método. Zhu (2008) mostra que o facto de as forças de corte entre fatas não entrar na expressão de cálculo de FS, não quer dzer que estas sejam nulas, mas sm que um dos termos dessa equação seja zero. Isso acontece quando se adota uma dstrbução ajustada das forças de corte vertcas entre fatas que satsfaça, ao mesmo tempo, o equlíbro de forças horzontas. Daí resulta a sua precsão quando comparado com outros métodos. A reação normal na base da fata é obtda através do equlíbro de forças segundo a dreção vertcal. As forças aplcadas a cada fata encontram-se lustradas na segunte fgura. 16

39 Fg. 3.7 Método de Bshop Forças aplcadas a uma fata de solo O cálculo do fator de segurança é feto de forma teratva e é dado pela segunte expressão: W u b ( c' b tan ) FS c' l tan' cos (tan' sn ) FS FS (3.12) W sn Método de Janbu (smplfcado) O método de Janbu (smplfcado) gnora as forças normas e de corte entre fatas e satsfaz apenas o equlíbro de forças. Como se verá mas à frente com maor detalhe, exste uma varante deste método que pode ser nttulada como sendo o método de Janbu corrgdo. Esta varante ntroduz um fator corretvo f que é multplcado pelo fator de segurança resultante do equlíbro de forças. Este fator o corretvo exste para ter em conta as forças de nteração entre fatas desprezadas pelo método, e depende do tpo de solo que consttu o talude. A reação normal na base da fata é obtda através do equlíbro de forças segundo a dreção vertcal. A fgura 3.8 mostra as forças aplcadas a cada fata. 17

40 Fg. 3.8 Método de Janbu (smplfcado) Forças aplcadas a uma fata de solo O valor do fator de segurança é dado através de um processo teratvo aplcando a expressão FS 1 W tan [ c' b ( W 2 sec u b) tan' ] tan tan' 1 FS (3.13) Método de Spencer O método de Spencer, apresentado em 1967, é consderado como sendo um método rgoroso uma vez que satsfaz todas as equações de equlíbro (forças e momentos). Neste método as forças de nteração entre fatas ( X e E ) são substtuídas por uma resultante estatcamente equvalente, Q, atuante no ponto médo da base da respetva fata (fgura 3.9). A resultante Q resulta da manpulação das equações de equlíbro e tem a segunte forma: Q c' l ( W cos u l) tan' W sn FS FS tan' tan( ) cos( ) 1 FS (3.14) em que é a nclnação da resultante Q em cada fata. 18

41 Fg. 3.9 Método de Spencer Forças aplcadas a uma fata de solo Se a soma dos momentos das forças exterores em relação a um ponto arbtráro for nula, o mesmo sucede quanto à soma dos momentos das forças de nteração relatvamente a esse centro de rotação, sto é: onde r é o rao da superfíce de deslzamento. ( Q r cos( )) 0 (3.15) Tomando como hpóteses, rao constante; forças exterores ao talude em equlíbro, logo soma vetoral das forças de nteração nula; e resultantes das forças de nteração paralelas, logo sempre constante, tem-se: Q 0 (3.16) Desta forma a solução fnal é obtda arbtrando város valores de e para cada um determnando o FS para o equlíbro de forças ( FS ) e equlíbro de momentos ( FS ). Com os valores obtdos traça-se as curvas FS f e f FS m com e onde se der a nterseção corresponde ao valor de FS. m 19

42 Fg Determnação do fator de segurança (Spencer, 1967) Este método será analsado com maor detalhe no capítulo Método de Morgenstern-Prce O método de Morgenstern-Prce fo apresentado em 1965 e cumpre todas as condções de equlíbro, pertencendo por sso ao grupo dos métodos rgorosos. A aplcação do método recorre a equações dferencas que governam o equlíbro de momentos (equação 3.17) e o equlíbro de forças numa fata (equação 3.18). de dy' y ' 1y1) E1 X 0 (3.17) b b ( 1 c ' 2 tan' dw dx de de [1 tan ] tan u (1 tan 2 ) FS FS b b b b dx b tan dw b tan (3.18) Estas contêm contudo três ncógntas, as forças de nteração entre fatas ( X e E ) e a posção da lnha de pressão ( y ' ). O problema é, pos, estatcamente ndetermnado. De forma a tornar o problema estatcamente determnado, Morgenstern e Prce consderaram uma função arbtrára que descreve a varação da relação entre X e E e um fator de escala. X f ( x) E (3.19) Para se chegar ao valor do fator de segurança e de procede-se à ntegração das equações dferencas 3.17 e 3.18 e efetua-se um processo teratvo através do método de Newton-Raphson. 20

43 Fg Método de Morgenstern-Prce Forças aplcadas a uma fata de solo Método de Correa O método de Correa é um método de equlíbro lmte apresentado em 1988 aplcável a superfíces de escorregamento de qualquer forma. Tal como o método anteror, recorre a uma função f (x) para assegurar o cumprmento de todas as condções de equlíbro, X X f (x) (3.20) máx onde f (x) é uma função análoga à utlzada no método de Morgenstern-Prce e X máx é um parâmetro de escala. Fg Método de Correa Forças aplcadas a uma fata de solo 21

44 Este método tem uma vantagem em relação a todos os outros métodos dtos rgorosos por ser o únco em que o cálculo do fator de segurança é feto através de uma únca equação não lnear: onde A 1, A 2, A 3 e A 4 são funções de f. FS ) A A A A 0 (3.21) ( A sua dedução parte do equlíbro de forças na dreção horzontal e vertcal e de uma equação de momentos em torno de um ponto arbtráro. A resolução da equação não lnear é feta através do método de Newton-Raphson Método de Janbu O método de Janbu na sua forma rgorosa fo apresentado em Tal como o método de Spencer será exposto detalhadamente no capítulo 4. Este método permte fazer a análse de establdade de um talude admtndo superfíces de rotura com qualquer forma. O procedmento basea-se em equações dferencas, as quas comandam o equlíbro de forças e momentos da massa acma da superfíce adotada. O equlíbro de momentos é consderado em relação ao ponto médo da base de cada fata, tornando desde logo as contrbuções do peso ( dw ), e força normal ( dn ) nulas uma vez que atuam nesse mesmo ponto. Fg Método de Janbu Forças aplcadas a uma fata de solo O valor do fator de segurança resulta da aplcação da segunte expressão: 22

45 2 1 sec FS [ c' b ( W ( X n1 X n ) u b) tan'] E En W X n X n tan tan ' 0 [ ( 1 )]tan 1 FS (3.22) AVALIAÇÃO DOS RESULTADOS FORNECIDOS PELOS DIFERENTES MÉTODOS A comparação dos resultados obtdos para um problema de establdade de taludes obtdos pelos dferentes métodos de equlíbro lmte, pode ser efetuada através da análse de um método que fo desenvolvdo por Fredlund na Unversdade de Saskatchewan: o Método de Equlíbro Lmte Generalzado (Krahn, 2003). Este método tem a vantagem de ncorporar todas as hpóteses adotadas pelos restantes métodos, seleconando para cada caso apenas as que nteressam, nclundo as consderações relatvas à dstrbução das forças de nteração entre fatas. Desta forma este método permte obter os mesmos fatores de segurança de Bshop, Janbu, Morgenstern-Prce e Spencer quando aplcados ndvdualmente ao mesmo caso de estudo Breve apresentação do Método de Equlíbro Generalzado (GLE) O Método de Equlíbro Generalzado é uma extensão dos métodos de Spencer e de Morgenstern-Prce uma vez que também recorre a uma função arbtrára f (x) para determnar as forças de nteração entre fatas e a estmatva do FS é feta através do cálculo de dos fatores de segurança, um resulta do equlíbro de forças ( FS ) e outro resulta do equlíbro de momentos ( FS ). f m ( c' cos ( N u ) R tan'cos ) FS f (3.23) N sn Dcos ( c' R ( N u ) R tan' ) FS m Wx Nf Dd (3.24) onde, R, x, f e d são parâmetros geométrcos e D a lnha de mpulso (lnha que contem os pontos lateras onde estão aplcadas as forças de nteração entre fatas ao longo do talude). A varável N defne a força normal na base da fata e é obtda pela expressão

46 N c' sn tan' W ( X R X L ) ( FS f ou FS m ) (3.25) sn tan' cos ( FS ou FS ) f m Uma vez que no cálculo do N é utlzado o FS f ou o FS m, este dependerá do tpo de análse a efetuar e passará a utlzar as expressões 3.23 e Um aspeto relevante neste método tem a ver com a dependênca que o fator N tem com as forças de nteração entre fatas, desta forma esta força terá um valor dferente para os város métodos dependendo da forma como estes abordam as forças de nteração (Krahn, 2003). A comparação de resultados é feta através do traçado de um gráfco, para uma geometra e função de nteração defndas prevamente, em que as abcssas correspondem aos valores de e as ordenadas correspondem aos valores de FS. Nos métodos de Bshop e de Janbu as forças tangencas entre fatas não são consderadas ( = 0), por outro lado o prmero apenas satsfaz o equlíbro de momentos e o segundo o equlíbro de forças. Os fatores de segurança assocados aos dos métodos apresentam-se de seguda representados na fgura Fg Fator de segurança vs. λ (Krahn, 2003) Uma vez que os métodos de Morgenstern-Prce e Spencer cumprem todas as equações de equlíbro, o fator de segurança a que chegam corresponde à ordenada do ponto de nterseção das duas retas. O 24

47 fator de segurança será o de um ou de outro método medante a função adotada para traduzr o comportamento das forças de nteração Apresentação dos resultados obtdos pelo GLE Embora os métodos de Bshop e Janbu (smplfcado) não verfquem o equlíbro conjunto de forças e de momentos, os resultados que fornecem de FS têm uma precsão acetável. O GLE mostra que, caso a superfíce de deslzamento seja crcular, o equlíbro de momentos é ndependente das forças de corte entre fatas, mas no caso do equlíbro de forças sso já não se verfca. No caso de superfíces de rotura planas (tpo cunhas) acontece o contráro, ou seja, o equlíbro de momentos depende das forças de corte entre fatas e o equlíbro de forças é ndependente daquelas. Assm sendo, uma vez que o método de Bshop apenas verfca o equlíbro de momentos, fornece valores bastante acetáves para casos de superfíces deslzamento crculares, sendo por sso recomendado para análse de superfíces de deslzamento desse tpo. Por outro lado, o método de Janbu apenas verfca o equlíbro de forças sendo por sso aconselhado para análse de superfíces de deslzamento planares. Para superfíces mstas, o GLE mostra que ambas as equações de equlíbro estátco dependem das forças de corte entre fatas. O traçado das curvas em função de para os dos tpos de FS apresentados anterormente é lustrado na fgura Fg Fator de segurança vs. λ para uma superfíce msta (Krahn, 2003) Constata-se que o valor do fator de segurança dmnu com o valor de. Da análse do gráfco podemos conclur que, ao efetuar uma análse para este tpo de superfíces com o método de Bshop, este pode levar a que se chegue a fatores de segurança sobrestmados, por outro lado utlzando o método de Janbu (smplfcado) conduz a resultados muto afastados da realdade, embora do lado da segurança. Já quando se utlzam métodos rgorosos, como é o caso dos métodos de Correa, Morgenstern-Prce e Spencer, levam a valores ntermédos que parecem ser mas fáves. 25

48 Para casos em que haja cargas concentradas, ancoragens ou muros de suporte, constata-se que os dos fatores de segurança são muto sensíves à varação das forças de nteração pelo que não devem ser tdos em consderação em análses deste género. A função de nteração adotada pode ter nfluênca nos resultados para caso de taludes com dferentes estratos. Constatou-se que as curvas de FS e FS andam bastante próxmas uma da outra para f qualquer função, porém a nterseção das duas curvas pode dar-se para ordenadas bastante dferentes consoante a dstrbução da função, levando a que o fator de segurança tome valores bastante dstntos. Segundo Duncan (1996), a dferença máxma entre fatores de segurança calculados por métodos rgorosos é de cerca de 12% e geralmente menos, conclundo-se por sso que da sua utlzação se obtém uma boa resposta para o problema da establdade de taludes. Contudo a precsão dos resultados depende em boa parte da precsão dos parâmetros ntroduzdos no cálculo: geometra, pesos volúmcos, pressões neutras, etc. m 26

49 4 MÉTODO DE SPENCER 4.1. INTRODUÇÃO No âmbto deste trabalho, mplementou-se no programa TALUDES_Mv1 dos novos métodos rgorosos de cálculo, o método de Spencer e o método de Janbu que são objeto deste capítulo e do segunte. O programa TALUDES_Mv1 trata-se de um programa de análse de establdade de taludes que tem vndo a ser desenvolvdo ao longo dos anos no âmbto da dssertação em Geotecna. O método de Spencer fo desenvolvdo para análse de superfíces de rotura de forma crcular. É um método que cumpre todas as condções de equlíbro e de frontera daí ser consderado como um método rgoroso. Os resultados obtdos por este método são bastante satsfatóros e é um método bastante estável em termos de resolução numérca. De forma a tornar a utlzação do método prátca e expedta este fo automatzado com a sua nclusão num programa de cálculo DESCRIÇÃO DO MÉTODO O método de Spencer fo desenvolvdo para analsar superfíces de rotura de forma crcular. Começa por substtur em cada fata as forças de nteração por uma resultante estatcamente equvalente Q nclnada de um ângulo com a horzontal. Supondo a componente sísmca nula, e satsfazendo o equlíbro de momentos, a força Q deve passar pelo ponto de nterseção das forças W, T e N ou seja, pelo ponto médo da base da fata. A fgura 4.1 lustra as hpóteses de Spencer para uma dada fata genérca (com U u b sec ). 27

50 Fg. 4.1 Forças atuantes numa fata de solo segundo o método de Spencer (1967) Impondo o equlíbro de forças nas dreções normal e paralela à base de cada fata chegamos, respetvamente, às seguntes equações: N ' U W cos Qsn( ) 0 (4.1) T W sn Qcos( ) 0 (4.2) Consderando o crtéro de rotura de Mohr-Coulomb (equação 4.3), substtundo na expressão 4.2 chegamos à expressão 4.4. c' bsec N' tan' T (4.3) FS c' bsec N' tan' W sn Q cos( ) 0 FS (4.4) Resolvendo a equação anteror em ordem a N temos: FS c b N ' ' sec W sn Q cos( ) tan' FS (4.5) 28

51 Substtundo N ' na equação de equlíbro de forças em relação à dreção normal à base (equação 4.1) fcamos com: FS c' bsec W sn Qcos( ) tan' FS U W cos Qsn( ) 0 (4.6) Resolvendo esta expressão em ordem a Q, tem-se que a resultante Q pode ser obtda como: Q c' bsec ( W cos U ) tan' W sn FS FS tan' tan( ) cos( ) 1 FS (4.7) Se a soma dos momentos das forças exterores em relação a um ponto arbtráro for nula, o mesmo acontece quanto à soma dos momentos das forças de nteração relatvamente a esse centro de rotação, sto é: Qr cos( ) 0 (4.8) onde r é o rao da superfíce de deslzamento. Uma vez que r é constante, tem-se que: Q cos( ) 0 (4.9) Da mesma forma, se as forças exterores ao talude estão em equlíbro, a soma vetoral das forças de nteração das fatas deve ser nula, sto é: Q cos 0 (4.10) Q sn 0 (4.11) Consderando que as resultantes das forças de nteração entre fatas são paralelas, é sempre constante ao longo do talude, pelo que as duas equações acma ndcadas se transformam em: Q 0 (4.12) 29

52 A solução fnal pode então ser obtda do segunte modo. Escolhdos város valores de calcula-se, para cada um, o valor de FS que satsfaz as equações de equlíbro das forças de nteração e dos momentos por elas provocados (equações 4.9 e 4.12). Os valores de FS que satsfazem a equação das forças desgnam-se por FS e os que satsfazem a dos momentos por FS. Traçando as curvas de varação de FS f e f FS m com, o ponto de nterseção das duas curvas corresponde ao fator de segurança e nclnação que satsfazem as duas equações, sendo por sso esse, o valor do fator de segurança correspondente ao talude em estudo (Fg. 4.2). m Fg. 4.2 Determnação do fator de segurança (Spencer, 1967) As resultantes das forças de nteração para as váras fatas (forças Q ), determnam-se ntroduzndo na equação 4.7 os valores obtdos para FS e. De modo a determnar as forças de nteração entre fatas, X e E, nca-se o cálculo do equlíbro de forças a partr da prmera fata. Calculando os momentos em relação ao ponto médo da base de cada fata e ncando também o cálculo a partr da fata ncal, é possível determnar os pontos de aplcação dessas forças de nteração DESCRIÇÃO DO ALGORITMO IMPLEMENTADO NO TALUDES_MV1 O algortmo ntroduzdo no programa é o que fo descrto sumaramente até esta parte e fo apresentado por Spencer em É relatvamente smples e além dsso conduz a resultados satsfatóros e de uma forma efcente DETERMINAÇÃO DE FS Como já fo referdo, o valor de FS resulta da nterseção das curvas de varação de FS f e FS m com. Para tal, fo necessáro ntroduzr um algortmo no programa de forma a calcular os város valores 30

53 de FS f e tolerânca. FS m, e ntroduzr um crtéro de paragem quando atngdo um valor que cumpra uma dada As forças consderadas na formulação do algortmo encontram-se representadas na segunte fgura: Fg. 4.3 Forças numa fata genérca para o algortmo de Spencer De salentar que o peso da fata, W, é multplcado pelos coefcentes h k e 1 k ) relatvos à ação h ( v * sísmca sendo representados por W k e W respetvamente. Consderando esta, e tendo em conta o procedmento anterormente descrto para se obter a expressão para o cálculo da força Q, tem-se: Q c b sec ( W FS cos W k h sn U ) tan' W sn W k FS tan' tan( ) cos( ) 1 FS * ' * h cos (4.13) Para a obtenção dos valores de FS f e FS m, aplcou-se o método de Newton-Raphson. Este método permte acelerar o processo de convergênca fazendo com que se chegue mas rapdamente à raz da função. Para o arranque do processo tomou-se FS FS 1 e 0. O algortmo começa com o cálculo de f m FS f. Para tal, partndo da condção expressa em 4.12, multplcou-se o numerador e o denomnador por FS de forma a efetuar uma smplfcação da 31

54 expressão. De salentar que os valores de FS expressos nesta condção são os de escrta da segunte forma: FS f, podendo ser c' bsec ( W * cos W k FS f h sn U) tan' FS ( W cos( ) tan'sn( ) f * sn W k h cos ) 0 (4.14) De modo a facltar o cálculo e a escrta do algortmo consderou-se as seguntes constantes: A1 c' bsec ( W *cos W kh sn U) tan' (4.15) A2 W *cos W kh sn U (4.16) A 3 cos( ) (4.17) A 4 tan'sn( ) (4.18) Desta forma a expressão 4.14 pode ser escrta da segunte forma: A1 FS f A FS f A A (4.19) Posto sto, consdera-se que o somatóro anteror expresso por uma função Q FS ) em que: ( f Q( FS f ) Q 0 (4.20) Para a aplcação do método de Newton-Raphson, é necessáro calcular a dervada da função Q FS ), dada por: ( f A2 A4 A1 A3 Q' ( FS f ) (4.21) 2 ( FS f A3 A4) O algortmo começa por partr de um valor untáro para o Q ( FS f ) e Q '( FS f ). FS f e zero para e calcula as funções 32

55 Após sto, efetua-se um cclo, aplcando o método de Newton-Raphson, para se obter um novo valor de FS. f FS, f, 1 FS f, FS f (4.22) Onde FS f, é dado por: Q( FS f, ) FS f, '( ) (4.23) Q FS f, Com o novo valor de FS, calcula-se novamente Q FS ) e Q '( FS ) e volta-se a correr o cclo. O f cclo termna quando o valor absoluto de FS f ou de Q ( FS f ) atngem um valor nferor a uma tolerânca, tolerânca essa que se consderou de 1, O FS f fnal será o valor obtdo da ( f expressão 4.22 ao se ter atngdo um dos crtéros de paragem. f De seguda efetuou-se um procedmento dêntco para determnar segur é a expressa em 4.9 que se pode escrever: FS m. Neste caso, a condção a c' b sec ( W * cos W k h FS sn U) tan' FS m tan' tan( ) m ( W * sn W k h cos ) 0 (4.24) Desta forma podemos escrever as funções Q FS ) e Q '( FS ) como sendo: ( m m B1 FS f B2 h Q( FS m ) W k h (4.25) FS m B4 2r B2 B4 B1 Q' ( FS ) m (4.26) 2 ( FS m B4) onde B 1 e B 2 concdem com A 1 e A 2 dados pelas expressões 4.15 e 4.16 e B 4 é dado por: B 4 tan' tan( ) (4.27) Uma vez que se está a consderar as parcelas da ação sísmca, é necessáro acrescentar na função Q ( FS m ) o seu contrbuto. Na função Q '( FS ) essa parcela desaparece uma vez que não depende de FS m. m Os processos de cálculo seguntes para a obtenção de cálculo de FS f. FS m são equvalentes aos utlzados para o 33

56 Obtdos os valores de FS f e de FS m, calcula-se o FS como: FS FS m FS f (4.28) De seguda atrbu-se um novo valor a e volta-se a fazer uma nova corrda. O novo valor de é obtdo, no caso da prmera teração, adconando um prevamente estpulado com o valor de um grau. A partr da segunda aplca-se uma versão aproxmada do método de Newton-Raphson de forma a acelerar o processo de convergênca, passando o a ser calculado por: FS (4.29) FS FS 1 1 O processo termna quando o módulo de FS atnge um valor nferor a uma tolerânca fxada em 1,0 10-9, o que sgnfca que os valores de FS f e FS são pratcamente dêntcos podendo qualquer um deles ser consderado a solução do problema. m LINHA DE IMPULSO E CÁLCULO DAS FORÇAS ATUANTES NAS FATIAS A determnação da lnha de mpulso e das forças atuantes nas fatas é feta partndo dos pontos extremos do macço deslzante, uma vez que, nestes pontos as forças de nteração são conhecdas. Fg. 4.4 Forças nas extremdades da prmera e últma fata Uma vez calculado o FS e o ângulo, calcula-se a força Q para cada fata, substtundo estes na expressão Uma vez que Q é uma resultante estatcamente equvalente das forças de nteração X e E, a dferença destas entre fatas calcula-se por: 34

57 X Q sn (4.30) E Q cos (4.31) Assm, partndo do ponto extremo da superfíce de deslzamento onde X 1 e E 1 são conhecdos, faclmente se chega aos valores de X e E das fatas seguntes. X E X X 1 (4.32) E E 1 (4.33) As forças N ' e T resultam da aplcação do equlíbro de forças na dreção normal e paralela à base da fata respetvamente. N' ( W * X ) cos ( E W k ) sn U h (4.34) T ( W X ) sn ( E W k ) cos (4.35) * h A determnação da lnha de mpulso é feta a partr de uma equação de equlíbro de momentos para cada fata, em relação ao ponto médo da base. Fg. 4.5 Forças numa fata genérca Partndo na mesma da extremdade nferor do talude, local onde é conhecdo o ponto de aplcação das forças de nteração X 1 e E 1, efetuando o equlíbro de momentos em relação ao ponto médo da base da fata, a altura do ponto de aplcação das forças de nteração na outra extremdade da fata é dada por: 35

58 tan 2 tan 2 2 ) ( h E h k W b E b z E b X X z (4.36) Efetuando este procedmento para as restantes fatas do talude e tomando o últmo ponto concdente com a nterseção da superfíce de deslzamento com a do talude, obtêm-se a lnha de mpulso ao longo do conjunto de fatas consderado.

59 5 MÉTODO DE JANBU 5.1. INTRODUÇÃO O método de Janbu permte analsar a establdade de um talude admtndo superfíces de rotura de qualquer forma. O procedmento é baseado em equações dferencas, as quas governam o equlíbro de forças e momentos da massa de solo acma da superfíce de rotura adotada. A aplcação deste método leva a resultados não muto satsfatóros uma vez que este método apresenta bastante nstabldade de valores e dfculdade em convergr, levando a que mutas vezes não se obtenha nenhum valor em concreto ou se obtenha um valor dferente daquele que era esperado. De forma a tornar a utlzação do método prátca e expedta este fo automatzado com a sua nclusão num programa de cálculo DESCRIÇÃO DO MÉTODO O método apresentado por Janbu em 1954, permte fazer a análse da establdade de um talude admtndo superfíces de rotura de qualquer formato. O processo é baseado em equações dferencas, as quas governam o equlíbro de forças e momentos da massa acma da superfíce adotada. Fg Forças atuantes numa fata de solo segundo o método de Janbu (1954) 37

60 O equlíbro de momentos é consderado em relação ao ponto médo da base de cada fata, cuja largura é nfntesmal. Assm as contrbuções do peso, dw, e da força normal, dn, ambas consderadas como atuando nesse ponto, são nulas. O equlíbro de momentos é dado por: dy ( ' ) ( ) ( ' ') ( ) ( ) 0 2 dy 2 dx dx E y y E de y dy y dy X X dx 2 2 (5.1) onde de e dx representam as dferenças de valores de E e X entre as duas faces da fata, dx é a largura nfntesmal da fata e dy e dy ' são as dferenças dos valores tomados pelas ordenadas da superfíce de deslzamento, y (x), e da lnha de mpulso, y '( x), entre as duas faces da fata. Smplfcando a expressão e fazendo b tender para 0, a expressão aproxma-se do segunte lmte: dy' de E ( y' y ) X 0 (5.2) dx dx Efetuando o equlíbro de forças na vertcal e na horzontal na fata tem-se, respetvamente: dw dx dn cos dt sn 0 (5.3) de dn sn dt cos 0 (5.4) Desta forma, o equlíbro estátco de cada fata consderada é assegurado satsfazendo as equações 5.2, 5.3 e 5.4. Em relação ao equlíbro estátco global, consdera-se também o equlíbro vertcal, horzontal e de momentos da totaldade da massa de solo. Fg. 5.2 Superfíce de rotura assocada ao método de Janbu (Guedes de Melo, 1993) 38

61 Janbu mostrou que para haver equlíbro global das forças vertcas, o ntegral do dferencal das forças de corte de nteração entre fatas tem que estar em equlíbro com as forças de corte aplcadas nas fronteras da massa de solo, ou seja: dx X 0 X N (5.5) Por outro lado, para que haja equlíbro global de forças horzontas, o ntegral do dferencal das forças horzontas resultantes da nteração entre fatas tem que ser gual às componentes horzontas das forças aplcadas nas fronteras, sto é: de E0 E N (5.6) Relatvamente ao equlíbro de momentos, este é automatcamente satsfeto quando se consdera o equlíbro de momentos em cada fata, nclundo as extremas. Determna-se de seguda as forças na nterface entre fatas. Elmnando dn nas equações 5.3 e 5.4 tem-se: dt de ( dw dx ) tan (5.7) cos Substtundo na equação de equlíbro global 5.6, torna-se possível calcular para qualquer nterface as forças E. E E 0 0 dt ( dw dx ) tan cos (5.8) Para determnar as forças vertcas de corte na mesma nterface, de momentos na fata (equação 5.2). X dy' de E ( y' y ) (5.9) dx dx X, recorre-se à equação de equlíbro Para a determnação do fator de segurança, substtu-se de, obtdo na equação 5.7, na equação de equlíbro de forças horzontas e recorrendo ao cálculo aproxmado do ntegral tem-se: 2 EN E0 [( W ( X 1 X ) tan mx (1 tan )] (5.10) dado que T ( m x cos ). A resstênca ao corte moblzada na base de cada fata é dada por: De 5.3 conclu-se que a tensão normal m r c' tan' ( n u) (5.11) FS FS FS n é gual a: 39

62 n W x X 1 X x tan m (5.12) Substtundo m dado pela equação 5.11 na equação 5.10 e resolvendo em ordem ao fator de segurança tem-se: FS E 0 E N [ c' x ( W ( X 1 ( W ( X 1 X 1 X )) tan 2 sec ) ux) tan' ] tan tan' 1 FS (5.13) Para determnar o fator de segurança procede-se ao segunte. Tomando X X 0 para cada 1 fata, obtém-se através de um processo teratvo da equação 5.13, uma prmera aproxmação do valor do fator de segurança. De seguda, defnndo a posção para a lnha de pressão a 1/3 da altura das faces das fatas e concdente com os pontos extremos do talude, utlzando o valor obtdo para FS, pode ser determnada uma aproxmação para X 1 X através das expressões de equlíbro de forças e de momentos. Com sto pode ser calculado um novo valor para o fator de segurança. O processo será repetdo até que se obtenha um valor de FS ao qual esteja assocado um pequeno erro de convergênca. O processo, em geral, converge num número razoável de terações, contudo pode por vezes a convergênca não ser conseguda ou convergr para um valor afastado do que sera de esperar (Segel, 1975). Para tentar contornar este problema, aplcou-se duas dferentes formulações do método apresentadas na bblografa, ou ncluu-se alguns processos de cálculo ntercalares de forma a tentar aproxmar a solução da desejada. Esta problemátca assocada ao método será mas à frente analsada DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS IMPLEMENTADOS NO TALUDES_MV1 Os algortmos ntroduzdos no programa contemplam váras versões do método, tendo cada uma uma formulação dferente ou um processo de cálculo dstnto na tentatva de melhorar a convergênca do processo de solução. As formulações adotadas foram a apresentada por Janbu em 1954, e a apresentada por Fredlund, Krahn e Pufahl em DETERMINAÇÃO DE FS Para a determnação do fator de segurança foram desenvolvdas 33 versões, subdvddas em três categoras, smplfcada, generalzada e rgorosa. Para a categora smplfcada foram desenvolvdas 3 versões. Tal como o nome ndca, dz respeto ao método de Janbu na sua fórmula smplfcada, sto é, desprezando as forças de nteração entre fatas. A generalzada, dz respeto ao método de Janbu segundo a formulação apresentada por Fredlund, Krahn e Pufahl (1981), onde o cálculo de FS é feto contemplando as forças de nteração e baseado na força N de cada fata, sendo N calculado pela fórmula apresentada pelos autores. Foram desenvolvdas para esta 17 versões. Fnalmente a rgorosa traduz o método de Janbu segundo a formulação apresentada por Janbu (1954) tendo também em conta as forças de nteração entre fatas. Foram desenvolvdas 13 versões. 40

63 As forças consderadas na formulação do algortmo encontram-se representadas na segunte fgura, * onde W W(1 ) : k v Fg Forças numa fata genérca para o método de Janbu De seguda são apresentados os algortmos mplementados para as dferentes versões desenvolvdas Método Smplfcado 1ª Versão Nesta versão o método é mplementado segundo a formulação apresentada por Janbu na fórmula smplfcada. Desenvolvendo matematcamente a equação 5.13, e consderando o contrbuto da ação sísmca e das forças representadas na fgura 5.3 chegamos à segunte equação: FS E 0 * c' x ( W U X ) tan' 2 cos (1 tan tan' FS ) E * ( W X ) tan W N k h (5.14) Uma vez que na versão smplfcada as forças X de nteração entre fatas são desprezadas, a equação anteror toma a segunte forma: 41

64 FS * c' x ( W U ) tan' 2 cos (1 tan tan' FS ) * W tan W k h (5.15) Com base na equação anteror e de forma a smplfcar o cálculo e a escrta do algortmo consderou-se as seguntes constantes: * A c' x ( W U) tan ' (5.16) 0 B 0 W * tan W k h (5.17) m tan tan' cos 2 1 FS (5.18) Assm a equação para o cálculo do fator de segurança pode ser escrta como sendo: FS A m B 0 0 (5.19) Uma vez calculado o novo valor de FS através da equação 5.19 calcula-se o valor de FS FS 1 FS FS. No caso da prmera teração, uma vez que não é conhecdo o valor de FS 1, consderou-se este como sendo untáro; para as restantes este valor é conhecdo da teração anteror. O processo termna quando o FS atnge um valor em módulo nferor ao da tolerânca consderada 6 ( 1,0 10 ), caso contráro, com o novo valor de FS calcula-se m e repete-se o processo. Importa salentar que houve a necessdade de consderar uma tolerânca menos apertada do que a do método de Spencer em todas as versões mplementadas para que o método convergsse. Isto deve-se à sensbldade e flutuação de valores que o método apresenta na sua aplcação devdo à ocorrênca de dvsões por números pequenos durante o processo teratvo. Outro aspeto relevante prende-se com o facto de se ter lmtado o número máxmo de terações a 30. A experênca mostrou que quando não se consegue convergr com este número de terações as osclações tendem a aumentar, o que é corroborado por L (1986). 42

65 Fg. 5.4 Varação do fator de segurança com o número de terações (L, 1986) 2ª Versão Nesta versão, seguu-se o mesmo processo da versão anteror mas nclundo o método de Newton- Raphson de modo a acelerar a convergênca. Assm o novo valor de FS é dado por: em que FS é dado por: FS FS FS 1 (5.20) ( FS ) FS (5.21) '( FS ) A função (FS) é defnda por: ( FS ) FS A m B 0 0 (5.22) onde A 0, B 0 e m são obtdos da aplcação das equações 5.16, 5.17 e 5.18 respetvamente. 43

66 Dervando a equação anteror chegamos à segunte expressão: 1 '( FS ) 1 FS A m 0 tan tan' FS 1 tan tan' FS B 0 (5.23) De modo a facltar o cálculo e a escrta do algortmo consderou-se na mesma as constantes A 0, B 0 e m e uma nova constante defnda por: n tan tan' 1 (5.24) FS Efetuando algumas smplfcações matemátcas e consderando esta nova constante a expressão da dervada fca: 1 '( FS ) 1 FS A m 1 n B (5.25) Desta forma, partndo de um valor prevamente defndo para FS, efetua-se um cclo teratvo calculando um valor de FS que se soma ao valor de FS da teração anteror. O processo termna 6 quando o módulo de FS atnge um valor nferor ao da tolerânca consderada ( 1,0 10 ). 3ª Versão Na presente versão, seguu-se a formulação apresentada por Fredlund, Krahn e Pufahl (1981) aplcando-a na fórmula smplfcada, ou seja, desprezando as forças de nteração entre fatas. Incalmente começa-se por calcular a força N pela segunte equação: onde r é dado por: * ( c' l U tan' ) sn W N FS (5.26) r r cos sn tan' (5.27) FS Com o valor de N calcula-se o valor de FS como sendo: 44

67 FS c' l ( N U) tan' N sn W k h cos (5.28) Partndo de um valor do FS prevamente defndo calcula-se um novo valor de N e FS através da aplcação das equações 5.26 e 5.28 respetvamente. Com o novo valor de FS, calcula-se o FS defndo por: O processo termna quando o módulo de (1, ). FS FS 1 FS (5.29) FS atnge um valor nferor ao da tolerânca consderada Defnção da lnha de mpulso Nas formulações onde as forças de nteração entre fatas são consderadas (generalzada e rgorosa), o prmero passo é a determnação da lnha de mpulso ao longo do talude. Para tal consderam-se concdentes os pontos extremos da lnha de mpulso e da superfíce de deslzamento. De seguda calcula-se a posção da lnha de mpulso ao longo do talude consderando-a a 1/3 da altura das faces das fatas. Fg. 5.5 Fata genérca - defnção da lnha de mpulso yt, 1 yb, 1 y ' 1 yb, 1 (5.30) 3 Importa salentar que segundo alguns autores, no caso de solos arglosos a lnha de mpulso devera ser defnda mas acma do que a dos restantes solos, no entanto sso não fo consderado no programa por não se mostrar relevante nos resultados fnas. Numa tentatva de nvestgar a orgem da nstabldade numérca do método de Janbu, correu-se este método mas utlzando as lnhas de mpulso resultantes de outros métodos mplementados no programa (Correa, Morgenstern-Prce e Spencer). Concluu-se que a causa dos problemas numércos 45

68 não está relaconada com a fxação da lnha de mpulso ao terço da altura das fatas proposta por Janbu. Com a lnha de mpulso calculada é então possível aplcar as váras versões desenvolvdas para o método nas formulações dtas generalzada (Fredlund, Krahn e Pufahl, 1981) e rgorosa (Janbu 1973) Método de Janbu generalzado 1ª Versão Tal como fo dto anterormente, esta formulação tem em conta o contrbuto das forças de nteração entre fatas. Uma das abordagens que se tentou fo ver a nfluênca no cálculo do FS do valor das forças de nteração X e E na face exteror da últma fata (Fg. 5.2). n n Nesta versão efetuou-se o cálculo do FS sem obrgar que essas forças fossem nulas, ou seja, permtuse que fosse o programa a calculá-las, o que mutas vezes leva a valores dferentes de zero. Desta forma, a força N é obtda através da segunte expressão: * ( c' l U tan' ) sn W X N FS (5.31) r onde r é obtdo através da equação 5.27 e X representa a dferença entre as forças de nteração paralelas às faces das fatas. De modo a ncar o processo teratvo, consdera-se X nulo em todas as fatas, sendo posterormente calculados e guardados esses valores para ser utlzados na teração segunte. Com o novo valor de N determna-se a dferença entre as forças de nteração normas às faces das fatas ( E ). E c' l ( N U) tan' cos N sn W FS k h (5.32) Partndo da extremdade nferor do talude onde o valor da força E é conhecdo, o cálculo desta força ao longo das váras fatas é dado por: E1 E E (5.33) Do mesmo modo, calcula-se o valor de X E X como sendo: ( y' 1 y' ) E ( y' 1 yb, 1) W kh h 2 x X (5.34) Assm a força X ao longo do talude é dada por: X X X 1 (5.35) Tal como referdo anterormente, após calculados os valores de X, estes são guardados de modo a serem utlzados na teração segunte no cálculo da força N (equação 5.31). Fnalmente calcula-se o valor de FS pela equação

69 Partndo de um valor de FS prevamente defndo, desenvolve-se um processo teratvo calculando novos valores N e FS. Com os novos valores de FS calcula-se FS (equação 5.29). O processo termna quando o módulo FS atnge um valor nferor em módulo ao da tolerânca consderada (1, ). 2ª Versão Nesta versão, ao contráro da anteror, obrgou-se que as forças de nteração X n e Assm, a dferença em relação à versão anteror está relaconada com o cálculo de últma fata do talude, passando estes a ser calculados respetvamente por: De resto, todo o processo se mantem dêntco. E E E (5.36) n n n1 X X X (5.37) n n n1 E n fossem nulas. E e X na 3ª Versão Na presente versão, obrgou-se na mesma que as forças de nteração X n e E n fossem nulas e ntroduzu-se o método de Newton-Raphson na tentatva de acelerar o processo de convergênca. O processo é dêntco ao da versão anteror dferencando apenas no cálculo de FS. O cálculo de FS através do método de Newton-Raphson é dado pela fórmula expressa em 5.20 sendo FS calculado através da expressão Desta forma, consderou-se uma equação (FS) defnda por: l ( N U) tan' N sn W kh c' cos ( FS ) FS 1 (5.38) Dervando a equação anteror chegamos à segunte expressão: 1 d '( FS) 1 FS,1 N sn W kh c ' l ( N U) tan' N sn W k 2 h cos d,2 (5.39) Como se verfca pela equação anteror consderou-se duas novas constantes ( d, 1 e d, 2 facltar o processo de cálculo e de escrta do algortmo. Estas constantes são defndas por: ) de modo a 47

70 sendo n defndo pela equação * ( W X ) N cos tan' cos d, 1 (5.40) n * ( W X ) N sn cos d, 2 (5.41) n Assm, partndo de um valor prevamente defndo para FS, efetua-se um cclo teratvo calculando valores de FS e acrescentando ao valor de FS da teração anteror. O processo termna quando o 6 módulo de FS atnge um valor nferor ao da tolerânca consderada ( 1,0 10 ). 4ª Versão Nesta versão, todo o processo de cálculo é dêntco ao da versão anteror havendo apenas uma alteração no que dz respeto ao FS. Neste caso calculam-se dos valores de FS, um da mesma manera apresentada na versão anteror ( FS1 ) e outro através da equação 5.29 ( FS 2 ). A escolha do FS a acrescentar ao valor de FS é feta adotando-se o menor dos FS. 5ª Versão Na 5ª versão, obrgou-se na mesma que as forças de nteração X n e E n fossem nulas e ntroduzu-se uma nova combnação teratva desenvolvda por L e Whte. (1987). O processo de cálculo é dêntco ao das versões anterores dferencando apenas no cálculo teratvo de FS. Esta nova combnação teratva é faclmente explcada através da nterseção de duas retas. Imagne-se o segmento de reta e os pontos genércos representados: Fg. 5.6 Segmento de reta e pontos genércos 48

71 49 A equação da reta pode ser escrta como sendo: ) ( ) ( 1 1 x x m y y (5.42) onde m representa o declve e pode ser expresso por: x x y y m (5.43) Substtundo m na equação 5.42 e desenvolvendo matematcamente chegamos a uma expressão do tpo: ) ( ) ( ) ( ) ( y x x x y y y x x x y y (5.44) De forma a smplfcar consderaram-se as seguntes constantes: ( 1) y 2 y A (5.45) ( 2) x 1 x B (5.46) 1 y 1 B x A C (5.47) Consdere-se agora dos segmentos de reta que se ntersetam num certo ponto tal como mostra a fgura: Fg. 5.7 Interseção de dos segmentos de reta Desta forma temos as seguntes constantes: ) ( ) ( y B x A C x x B y y A 0 1 ) ( 1 ) ( y B x A C x x B y y A

72 50 As coordenadas do ponto de nterseção dos dos segmentos são obtdas da segunte forma pelo método de Cramer: B A A B B C B C x B A B A B C B C x (5.48) B A A B C A A C y B A B A C A C A y (5.49) Substtundo as constantes pelo que representam fcamos com: ) ( ) ( x y x y x y y x x (5.50) ) ( ) ( x y x y x y y x y (5.51) L e Whte aplcaram este conceto no cálculo do FS. O processo teratvo aplcado no programa pode ser explcado da segunte forma: Começa-se por consderar um parâmetro denomnado np FS, como sendo:, 1 np FS FS (5.52) De seguda, calcula-se um novo valor de FS que se denomnou como out FS,. h out k W N U N l c FS sn cos ' tan ) ( ', (5.53) Fg. 5.8 Segmento de reta método de L and Whte

73 Obrga-se o programa a realzar pelo menos três terações, quando o número de terações for superor a dos consdera-se um segmento de reta do tpo FS FS e que passe pela orgem. np out Fg. 5.9 Interseção de dos segmentos de reta método de L and Whte Assm, o valor de FS corresponderá à abcssa do ponto de nterseção dos dos segmentos. Tendo em conta a expressão 4.85 o valor de FS pode ser obtdo pela segunte expressão: FS np, 1 FS out, FS out, 1 FS np, FS (5.54) FS FS ) ( FS FS ) ( out, np, out, 1 np, 1 Efetuando algumas smplfcações e desenvolvmentos matemátcos a expressão anteror pode ser escrta como: FS FS FS 1 FS 1 FS ( FS np, np, 1 np, np, 1 out, 1 out, FS np, FS De forma a smplfcar a escrta do algortmo consderou-se a segunte parâmetro: FS fct FS 1 FS np, 1 out, 1 FS FS out, 1 np, ) (5.56) (5.55) Assm o novo valor de FS é calculado por: FS FS np, FS fct ( FS np, 1 FS np, ) (5.57) Desta forma podemos conclur que o processo teratvo apresentado por L e Whte procura achar um valor de FS ntermédo entre dos valores provenentes de terações consecutvas. Com o novo valor de FS calcula-se o FS através da expressão Partndo de um valor de FS prevamente defndo, desenvolve-se um processo teratvo termnando quando o módulo de FS tomar um valor nferor à tolerânca estpulada. 51

74 6ª Versão Esta versão, tem como base o método desenvolvdo na versão anteror aplcando-se o processo teratvo descrto na 4ª versão. Assm, o FS1 é calculado segundo o mesmo processo da versão anteror, e o FS 2 é calculado através da equação 5.29 onde FS é obtdo através da equação 5.28 e FS 1 representa o valor de FS da teração anteror obtdo através do método de L e Whte (equação 5.57). A escolha do FS a acrescentar ao valor de FS segue as mesmas regras descrtas na 4ª versão. 7ª Versão Tendo por base o processo descrto na 5ª versão, apenas se alterou o modo de cálculo de passando estes a ser calculados por: ( FS np, FS out, ) ( FS np, 1 FS out, 1 ) FS fct (5.58) FS FS np, np, 1 FS fct e FS, FS FS np, FS out, FS np, (5.59) FS fct Todo o restante processo se mantém gual ao apresentado na 5ª versão. 8ª Versão Segundo o processo descrto na 1ª versão, não se obrgou a que as forças X e n E fossem nulas, ntroduzndo apenas um recálculo da força N depos de calculados os novos valores de E e X através das equações 5.32 e 5.34 respetvamente. Com o valor recalculado de N calcula-se o valor de FS pelo mesmo processo da 1ª versão. n 9ª Versão Nesta versão, efetuou-se o cálculo de FS sem obrgar que as forças X n e E n fossem nulas, com recálculo de N e ntroduzndo o método de Newton-Raphson de modo a acelerar o processo teratvo. Assm, o processo segue a mesma lnha de cálculo do descrto na 8ª versão ntroduzndo posterormente o método de Newton-Raphson para chegar ao valor de FS aplcando respetvamente as equações 5.38, 5.39, 5.21 e ª Versão Na 10ª versão, calculou-se o FS obrgando as forças X e n E a serem nulas e efetuando o recálculo de N. Assm, à semelhança da 2ª versão calcula-se os valores de E e X pelas equações 5.36 e 5.37, sendo estes depos utlzados no recálculo da força N. Os valores de FS e FS resultam da n 52

75 aplcação das expressões 5.28 e 5.29 respetvamente sendo o crtéro de paragem o mesmo utlzado nas versões anterores. 11ª Versão Nesta versão, a semelhança da anteror, consderou-se na mesma as forças X n e E n nulas e o recálculo da força N, tendo-se ntroduzdo para além dsso, o método de Newton-Raphson de forma a acelerar o processo de cálculo de FS. Assm, é utlzada a mesma metodologa descrta na versão anteror sendo depos utlzadas respetvamente as equações 5.38, 5.39, 5.21 e 5.20 assocadas ao método ntroduzdo. 12ª Versão Na presente versão, o cálculo de FS fo feto consderando as forças X n e E n nulas, tendo efetuado o recálculo da força N e tendo ntroduzdo o processo teratvo desenvolvdo por L and Whte. Desta forma o processo mantem-se dêntco ao da versão anteror tendo sdo ntroduzdas para além dsso, as equações relatvas ao processo teratvo de L and Whte descrtas na 5ª versão. 13ª Versão Esta versão segue o mesmo processo aplcado na versão anteror tendo sdo desprezada a condção que mpõe que as forças X e E sejam nulas. n n 14ª Versão Nesta versão, o cálculo de FS fo feto sem terem sdo consderadas as forças X n e E n guas a zero, e adotando novos valores para o comprmento do braço no equlíbro de momentos para o cálculo de X. Fg Fata genérca método de Janbu 53

76 Os novos valores para o comprmento do braço consderados são: y lft y' y (5.60) M y rgt y' y (5.61) 1 M Assm o processo de cálculo de FS é dêntco ao apresentado na 1ª versão dferencando apenas no cálculo de X, passando este a ser calculado por: E yrgt, E 1 ylft, W kh h 2 X X 2 (5.62) x 2 15ª Versão Na presente versão seguu-se o mesmo processo apresentado na 14ª versão tendo apenas sdo adconado mas, o recálculo da força N depos de calculados os novos valores de E e X. 16ª Versão Tal como na versão anteror, consderou-se novos valores para o comprmento do braço no equlíbro de momentos e o recálculo da força N. Apenas fo acrescentada a condção que obrga as forças X e E n a serem guas a zero. n 17ª Versão Nesta versão o cálculo de FS é feto sem consderar as forças X n e E n guas a zero e calculando as forças vertcas de nteração entre fatas pela fórmula apresentada por Janbu. O processo é dêntco descrto na 1ª versão dferencando apenas no cálculo das forças X e de X. Com este método é possível chegar ao valor da força X sem antes ter de calcular a força N, podendo assm entrar logo de níco com o valor de X no cálculo da força N. Para tal, começa-se por consderar a dferença da força E entre duas fatas consecutvas relatvamente ao comprmento total formado pelas duas fatas. de dx E x De seguda, a força X é dada pela expressão: X 2 E x 1 (5.63) de W kh h 2 1 E tan t, y' (5.64) dx x onde tan t, representa a tangente do ângulo formado entre a lnha de mpulso e a horzontal para cada fata (Fg. 5.5) e y' representa a dferença entre a altura da lnha de mpulso ( y ' 1) e a altura do ponto da base da fata ( y b, 1 ) (Fg. 5.5). 54

77 Com os valores de X 1 efetua-se o cálculo de X como sendo: X X 1 X (5.65) Guardando este valor, este é utlzado na teração segunte no cálculo da força N Método de Janbu rgoroso 1ª Versão Nesta versão, o cálculo do FS é feto sem consderar as forças X n e E n guas a zero e calculando as forças vertcas de nteração segundo a formulação apresentada por Janbu. Começa-se por calcular o valor de X através da aplcação da equação No caso da prmera teração este valor será zero pos anda não são conhecdos os valores de X e X 1. Só a partr da segunda teração é que este toma um valor dferente de zero uma vez que foram calculadas na teração anteror as forças de nteração entre fatas. De seguda calcula-se o valor de onde A 0, B 0 e E e de E como sendo: 1 A0 X tan' E B0 X tan (5.66) FS m E E E 1 (5.67) m resultam da aplcação das equações 5.16, 5.17 e 5.18 respetvamente. Com estes valores determna-se o valor as forças vertcas de nteração (forças X ) aplcando as equações 5.63 e 5.64 respetvamente. O valor de FS é dado por: FS E 0 A E n 0 X tan' m B0 x tan (5.68) onde X é obtdo aplcando a equação 5.65 utlzando os novos valores de X e X 1 calculados anterormente. E 0 e E n correspondem às forças de nteração normas nas extremdades do talude (Fg. 5.2). Nos exemplos de aplcação consderados são nulas as forças X e E nas extremdades da massa deslzante. Com o novo valor de FS calcula-se o FS através da equação O processo termna assm que este toma um valor nferor à tolerânca estpulada. 2ª Versão Na 2ª versão seguu-se o mesmo processo da versão anteror, mas neste caso obrgou-se a que as forças X e E fossem guas a zero. n n 55

78 3ª Versão Nesta versão seguu-se o mesmo processo aplcado na versão anteror tendo apenas o X passado a ser calculado apenas uma vez e a ser guardado num vetor para a teração segunte. Desta forma partese na mesma de um valor nulo para X na prmera teração, mas após calculado o valor de E e de E determna-se o valor das forças X e de X pelas equações 5.64 e 5.65 sendo este últmo guardado para ser utlzado na teração segunte. 4ª Versão Na presente versão, efetuou-se o cálculo de FS consderando as forças X n e E n guas a zero, o armazenamento X de para a teração segunte e anda o recálculo das forças de nteração entre fatas. Assm, faz-se uma prmera abordagem obtendo valores de E, E, X, e X aplcando o mesmo processo anterormente descrto, de seguda volta-se a efetuar o cálculo destes mas desta vez utlzando os valores obtdos na prmera abordagem, guardando o valor de X de forma a poder ser utlzado na teração segunte. 5ª Versão Nesta versão seguu-se o mesmo processo descrto na 3ª versão ntroduzndo para além dsso o método de Newton-Raphson de modo a acelerar a convergênca. À semelhança de versões anterores, o valor de FS é obtdo pela equação 5.20 onde pela equação A função (FS ) é defnda por: A0 X tan' m ( FS ) FS (5.69) E E ( B X tan ) Dervando chegamos à segunte equação: n 0 A 0 X tan' m n '( FS ) 1 (5.70) FS E E ( B X tan ) Sendo n obtdo através da equação O crtéro de paragem é dêntco ao das versões anterormente apresentadas. 6ª Versão n FS é defndo Na 6ª versão, obrgou-se a que as forças X n e E n fossem guas a zero e aplcou-se a combnação teratva apresentada por L e Whte. Para tal, seguu-se o mesmo processo onde esta combnação teratva fo também aplcada. Assm que o número de terações é superor a dos calcula-se os valores de FS e FS através das equações 5.56 e 5.57 respetvamente. Com o novo valor de FS calcula-se o fct FS através da expressão O processo teratvo termna assm que FS toma um valor nferor à tolerânca defnda. 56

79 7ª Versão Tendo por base o processo descrto na versão anteror, alterou-se o modo de cálculo de passando estes a ser calculados pelas equações 5.58 e 5.59 respetvamente. Todo o restante processo se mantém dêntco ao da versão anteror. FS fct e FS, 8ª Versão Nesta versão, o cálculo de FS é feto segundo o mesmo processo apresentado na 5ª versão mas neste caso os valores de X não são guardados para a teração segunte sendo por sso calculados duas vezes durante o processo. 9ª Versão Na presente versão, o cálculo de FS é feto obrgando as forças X n e E n a serem guas a zero, aplcando o processo teratvo apresentado por L e Whte e com um novo processo para o cálculo das forças de nteração X. Com esta novo processo, o cálculo de X e X é feto logo no nco do processo, podendo utlzar esses valores ao longo do processo. Desta forma o processo não precsa de ser ncado consderando estes fatores nulos para a prmera teração assm como não está dependente da teração anteror para ter valores destes. Assm, os valores de X e X são obtdos da segunte forma: Começa-se por calcular o valor de X X como sendo: A 0 X E tan t B r m 0 2 d fac fac W kh h x De forma a smplfcar a escrta do algortmo consderou-se as constantes prmera obtda através da equação 5.18, as restantes são defndas respetvamente por: r fac tan y' 2 y 1 b, 1 x (5.72) 2 (5.71) m, r fac e d fac,sendo a onde y ' 1 y b, 1 representa a altura da lnha de mpulso em relação ao ponto extremo da base da fata (Fg. 5.5). Com o valor de tan' d tan fac 1 2 rfac (5.73) m X calcula-se os valores da força X através da equação Uma vez calculados estes valores das forças E e de FS segundo a mesma metodologa descrta na 6ª versão. 57

80 10ª Versão Nesta versão, seguu-se a mesma metodologa apresentada na 2ª versão, mas neste caso estudou-se a nfluênca do parâmetro y' no cálculo de FS. Para tal consderaram-se três valores de por: y', 1 y' 1. Tendo por base as fguras 5.5 e 5.10, estes são defndos y' y (5.74) y M ', 2 y' ym (5.75) y y (5.76) ', 3 y' 1 b, 1 11ª Versão Uma abordagem que se tentou fo, partndo da formulação do cálculo de FS apresentada por Fredlund, Krahn e Pufahl, tentar chegar à formulação apresentada por Janbu. A fórmula a que se chegou é bastante dêntca à apresentada por Janbu, porém apresenta lgeras alterações. Desta forma mplementou-se a fórmula a que se chegou no programa de forma a ver os resultados a que se chegava. Assm, o processo começa por uma versão smplfcada de modo a obter um valor de FS a partr do qual se ncará o cálculo com a versão rgorosa. À semelhança das versões anterores defnram-se constantes de forma a smplfcar a escrta do algortmo. As constantes defndas são: c' x U tan' A 0 ' W * tan' (5.77) 2 cos * W tan B0 ' W kh (5.78) n onde n é defndo pela equação O valor de FS é obtdo pela aplcação da segunte expressão: FS A n 0 ' B0 ' (5.79) Com o novo valor de FS calcula-se FS através da expressão O processo teratvo termna assm que este toma um valor nferor à tolerânca estpulada. 58

81 De seguda efetuou-se a versão rgorosa partndo como valor ncal de FS o valor obtdo na versão anteror. O processo segue a mesma metodologa descrta na 1ª versão da formulação rgorosa havendo apenas alterações na expressão de cálculo de FS, passando este a ser calculado por: FS A0 ' X tan' n ( W * X ) tan W K h n (5.80) Com os novos valores de FS calcula-se FS através da expressão 5.29, utlzando este como crtéro de paragem assm que toma um valor nferor à tolerânca. 12ª Versão Nesta versão, o cálculo de FS fo feto consderando as forças X n e E n guas a zero, e adotando uma nova metodologa para o cálculo das forças X baseada no valor do comprmento do braço no equlíbro de momentos. O processo segue a mesma metodologa aplcada na 2ª versão mas nestes caso as forças X são calculadas por: Onde y lft e X E y E y W k h 2 1 rgt lft h 1 X (5.81) x 2 y rgt são obtdos da aplcação das equações 5.60 e 5.61 respetvamente. 13ª Versão Nesta versão, à semelhança do que acontece na 10ª versão, estudou-se a nfluênca do parâmetro no cálculo de FS mas neste caso armazenando os valores de X para a teração segunte. y' O quadro segunte faz a síntese das váras versões anterormente descrtas. 59

82 Smp. V1 FKP Janbu Janbu* X Newton- Raphson Smp. V2 X X Smp. V3 Gen. V1 X X Quadro 5.1 Quadro síntese método de Janbu L e Whte < ΔFS X n=e n=0 Gen. V2 X X Gen. V3 X X X Gen. V4 X X X X Gen. V5 X X X Gen. V6 X X X X Gen. V7 X X X X Gen. V8 X X Gen. V9 X X X Gen. V10 X X X Gen. V11 X X X X Gen. V12 X X X X Gen. V13 X X X FS fct e FS Recalc N Gen. V14 X X Gen. V15 X X X Gen. V16 X X X X Gen. V17 X X X Rg. V1 X X Rg. V2 X X X Rg. V3 X X X X y lft e y rgt X e ΔX Vetor ΔX ΔX versão 2 Rg. V4 X X X X X Rg. V5 X X X X X Rg. V6 X X X Rg. V7 X X X X Rg. V8 X X X X Rg. V9 X X X X Rg. V10 X X X X Rg. V11 X Rg. V12 X X X Rg. V13 X X X X X Recalc ΔX e ΔE Δy LINHA DE IMPULSO E CÁLCULO DAS FORÇAS ATUANTES NAS FATIAS A defnção da lnha de mpulso, tal como se vu anterormente, é feta antes do cálculo de FS, sendo concdente com os pontos extremos do talude e defnda a 1/3 da altura das fatas ao longo do talude. As forças de nteração entre fatas são calculadas ao longo do processo, uma vez que estas são utlzadas para no cálculo de FS. As forças N e T são calculadas conforme a formulação que se segue. No caso da formulação apresentada por Fredlund, Krahn e Pufahl, estas forças são calculadas por: 60

83 61 U N N ' (5.82) FS U N c T ' tan ) ( ' (5.83) No caso da formulação apresentada por Janbu, são calculadas como sendo: h U k W E X W N sn ) ( cos ) * ( ' (5.84) cos ) ( sn ) * ( h k W E X W T (5.85)

84 62

85 6 CASOS DE ESTUDO E ANÁLISE DE RESULTADOS 6.1. GENERALIDADES Feta a apresentação das rotnas mplementadas no programa, apresentam-se agora alguns casos de estudo de forma a analsar e comparar os valores obtdos no programa TALUDES_Mv1 com os obtdos nos programas comercas Slope e Slde, assm como com os obtdos pelos métodos já mplementados e valdados no programa (método de Correa e método de Morgenstern-Prce). Serão apresentados 3 casos de estudo tendo como objetvo estudar os resultados obtdos da análse de superfíces crculares, da análse de superfíces polgonas e analsar a problemátca assocada ao método de Janbu. De forma a garantr que a análse pelos dferentes programas seja feta sobre a mesma superfíce de deslzamento, e uma vez que o modo de ncrementação de raos no programa Slde é dferente da utlzada nos outros programas, optou-se por defnr uma malha se centros com um dado espaçamento no programa Slde, retrando depos as coordenadas do centro e o rao da superfíce crítca para mplementar nos outros programas. Desta forma fca garantdo que todos os programas estão a analsar a mesma superfíce de deslzamento CASO DE ESTUDO 1 O prmero caso de estudo dz respeto a um talude apresentado no tutoral do programa Slde para o qual são realzados quatro estudos paramétrcos: talude consttuído por um materal homogéneo; talude consttuído por três materas dstntos; talude consttuído por três materas dstntos e com ntrodução de um coefcente de ação sísmca horzontal gual a 0,15; talude consttuído por três materas dstntos e com ntrodução de nível freátco à cota do pé do talude EXEMPLO 1.1 Para o prmero exemplo foram consderadas as propredades do materal consttunte e a geometra do talude apresentadas no quadro 6.1 e fgura 6.1 respetvamente. Quadro 6.1 Propredades do materal c ' (kn/m 2 ) ' ( ) (kn/m 3 ) 3,0 19,

86 Fg. 6.1 Exemplo 1.1 Para este caso, consderou-se no programa Slde uma malha de centros com as coordenadas (22,8 ; 62,6), (22,8 ; 42,3), (43,7 ; 62,6) e (43,7 ; 42,3) e com 20 ntervalos segundo a dreção horzontal e vertcal Método de Spencer Efetuando a análse do prmero exemplo pelo método de Spencer, obteve-se uma superfíce de deslzamento crítca com o centro em (29,070 ; 55,495) e rao gual a 30,496m, a que correspondem os seguntes valores do fator de segurança: Quadro 6.2 Fator de segurança (Método de Spencer, exemplo 1.1) TALUDES_Mv1 Slope Slde 0,985 0,985 0,986 As superfíces de deslzamento obtdas são consttuídas por 26 fatas e apresentam-se nas fguras 6.2 a 6.4: Fg. 6.2 Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo TALUDES_Mv1) 64

87 Fg. 6.3 Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo Slope) Fg. 6.4 Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo Slde) Analsando os valores apresentados no quadro 6.2 e as fguras 6.2, 6.3 e 6.4 conclu-se que em todos os programas fo estudada a mesma superfíce de deslzamento crtca, tendo estes apresentado valores do fator de segurança muto semelhantes. No que dz respeto aos valores das tensões normal e de corte na base das fatas obtdos pelos dferentes programas, estes encontram-se representados nas fguras 6.5 e 6.6: 65

88 τ (kpa) σ (kpa) Tensão normal - Método de Spencer Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Fg. 6.5 Tensão normal na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.1) Tensão de corte - Método de Spencer TALUDES_Mv1 Slope Slde Coordenada x (m) Fg. 6.6 Tensão de corte na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.1) Analsando os gráfcos obtdos verfcamos que todos os programas apresentam a mesma dstrbução de tensões na base ao longo da superfíce de deslzamento. No que concerne à dstrbução das forças de nteração entre fatas, estas encontram-se representadas nas fguras 6.7 e

89 Força tangencal (kn/m) Força normal (kn/m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Sup. do macço Desenvolvmento do talude (m) Fg. 6.7 Dstrbução da força normal E (Método de Spencer, exemplo 1.1) TALUDES_Mv1 Slope Slde Sup. do macço Desenvolvmento do talude (m) Fg. 6.8 Dstrbução da força tangencal X (Método de Spencer, exemplo 1.1) Pela observação das fguras percebe-se que todos os programas apresentam a mesma dstrbução de forças de nteração entre fatas. Uma vez calculadas as forças atuantes na base e nas faces das fatas, determna-se a lnha de mpulso ao longo do talude. A fgura 6.9 lustra a lnha de mpulso obtda. 67

90 Fg. 6.9 Lnha de mpulso (Método de Spencer, exemplo 1.1) Pela observação da magem verfca-se que a lnha de mpulso se encontra contda entre a superfíce de deslzamento e a superfíce do macço, o que sgnfca que toda a massa deslzante se encontra à compressão não havendo por sso necessdade de colocar uma fenda de tração para um cálculo mas realsta do fator de segurança Método de Janbu Analsando agora o mesmo problema mas utlzando as versões smplfcada e rgorosa do método de Janbu, obtveram-se respetvamente as superfíces de deslzamento com centro em (33,250 ; 45,345) e rao gual a 20,511m e com centro em (31,160 ; 51,435) e rao gual a 26,411m. Os valores do fator de segurança obtdos pelos programas apresentam-se nos quadros 6.3 e 6.4. Quadro 6.3 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 1.1) TALUDES_Mv1 Slope Slde 0,943 0,937 0,938 Quadro 6.4 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 1.1) TALUDES_Mv1 Slope Slde 0,989-0,990 Importa salentar que o programa Slope apenas permte calcular o fator de segurança utlzando a versão smplfcada do método. No caso do Slde é possível calcular pela versão smplfcada e pela versão corrgda em que, como fo dto anterormente, o valor do fator de segurança resulta da multplcação do valor obtdo pela versão smplfcada por um coefcente que depende do tpo de solo que consttu o talude. 68

91 Em relação ao programa TALUDES_Mv1, este permte o cálculo das duas versões (smplfcada e rgorosa), tendo sdo escolhdo entre as váras versões mplementadas relatvas à versão rgorosa, o valor que mas se aproxmava do obtdo pelos restantes métodos. Mas à frente será analsada a problemátca assocada ao método de Janbu no que dz respeto à convergênca dos resultados fnas do fator de segurança e das forças atuantes nas fatas. As superfíces de deslzamento obtdas são consttuídas por 26 fatas e encontram-se representadas nas fguras 6.10 a Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.1 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.1 Slope) 69

92 σ (kpa) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.1 Slde) Em relação às tensões atuantes na base das fatas, estas encontram-se representadas nas fguras 6.13 e Tensão normal - Método de Janbu Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.1) 70

93 Força normal (kn/m) τ (kpa) Tensão de corte - Método de Janbu Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.1) Da observação e análse das fguras anterores verfcamos que todos os programas apresentam a uma dstrbução de tensões semelhante ao longo das fatas. As dferenças de valores entre os város programas podem ser explcadas pelo facto de os três utlzarem dferentes formas de cálculo, sto é, no caso do TALUDES_Mv1, este utlza a versão rgorosa do método, no caso do Slope, utlza a versão smplfcada, e no caso do Slde, utlza a versão corrgda. Uma vez que tal acontece, adconou-se a dstrbução de tensões por outro método rgoroso, método de Morgenstern-Prce, de forma a ter-se termos equparáves. Pela observação da fgura verfcamos uma total concdênca de valores entre os métodos de Janbu e de Morgenstern-Prce. Em relação às forças de nteração entre fatas mporta salentar que os programas Slope e Slde apenas calculam as forças normas entre fatas. Desta forma apenas exstem valores das forças de nteração tangencas resultantes do programa TALUDES_Mv1. As fguras 6.15 e 6.16 mostram a dstrbução das forças de nteração entre fatas ao longo do talude Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Sup. do macço Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 1.1) 71

94 Força tangencal (kn/m) TALUDES_Mv1 Morg. - Prce Sup. do macço Desenvolvmento do talude (m) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 1.1) Da observação das fguras 6.15 e 6.16 verfcamos que todos os programas apresentam uma dstrbução de forças dêntca ao longo do taludo havendo porém lgeras dferenças que podem estar relaconadas com o facto de os três programas utlzarem métodos de cálculo dstntos. Em comparação com outro método rgoroso verfca-se que os dos métodos chegam a valores concdentes ou muto próxmos entre eles. Em relação à lnha de mpulso tal como fo dto anterormente esta é defnda antes do cálculo do fator de segurança e das forças atuantes nas fatas. Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 1.1) 72

95 Comparação com outros métodos Calculando o fator de segurança pelos város métodos mplementados no programa TALUDES_Mv1 obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.5 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce, Spencer e Janbu, exemplo 1.1) Correa Morgenstern-Prce Spencer Janbu 0,985 0,985 0,985 0,989 Assm, verfca-se que todos os métodos mplementados convergem para valores muto semelhantes. Outro facto nteressante está relaconado com o número de terações e o tempo necessáro para os métodos convergrem. O quadro segunte mostra o número de terações e o tempo necessáro para os dferentes métodos: Quadro 6.6 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 1.1) Correa Morgenstern-Prce Spencer Janbu nº terações tempo (s) 0,183 0,155 0,5 0,347 Pela observação do quadro verfca-se que o método mas rápdo é o método de Morgenstern-Prce tendo precsado de 7 terações e 0,155 segundos para convergr. Embora o método de Spencer seja um método que necesste de menos terações em comparação com o de Morgenstern-Prce ou Janbu, este demora mas tempo a convergr uma vez que o modo de cálculo a ele assocado exge um maor processamento de cálculo EXEMPLO 1.2 Para este exemplo fo consderada a mesma geometra do exemplo anteror mas neste caso o talude é consttuído por três materas dstntos. As propredades dos materas e a sua dstrbução no talude encontram-se apresentadas no Quadro 6.7: Quadro 6.7 Propredades dos materas c ' (kn/m 2 ) ' ( ) (kn/m 3 ) Solo 1 0,0 38,0 19,5 Solo 2 5,3 23,0 19,5 Solo 3 7,2 20,0 19,5 73

96 Fg Exemplo 1.2 Para a análse deste exemplo fo consderada uma malha de centros com as coordenadas (22,8 ; 55), (22,8 ; 34,7), (43,7 ; 55) e (43,7 ; 34,7) dvdda em 20 ntervalos segundo a dreção horzontal e vertcal Método de Spencer Da análse deste exemplo pelo programa Slde, resultou uma superfíce de deslzamento crítca com centro nas coordenadas (34,295 ; 42,820) e rao gual a 18,432m. Analsando esta superfíce pelos dferentes programas obtveram-se os seguntes valores do fator de segurança: Quadro 6.8 Fator de segurança (Método de Spencer, exemplo 1.2) TALUDES_Mv1 Slope Slde 1,373 1,372 1,374 Pela observação dos valores obtdos verfcamos que todos os programas chegaram a valores muto semelhantes entre eles havendo apenas uma pequena dferença na tercera casa decmal. Embora a geometra do talude seja gual à do exemplo anteror, verfca-se que houve uma aumento do valor do fator de segurança uma vez que os solos que consttuem o macço neste exemplo apresentam melhores propredades mecâncas do que o solo do exemplo anteror. As superfíces de deslzamento obtdas são consttuídas por 27 fatas e encontram-se representadas nas fguras 6.19 a 6.21: Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.2 TALUDES_Mv1) 74

97 Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.2 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.2 Slde) Em relação às tensões atuantes na base das fatas, estas encontram-se representadas nas fguras 6.22 e 6.23: 75

98 τ (kpa) σ (kpa) Tensão normal - Método de Spencer TALUDES_Mv1 Slope Slde Coordenada x (m) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.2) Tensão de corte - Método de Spencer Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.2) Da observação das fguras verfcamos que todos os programas apresentam uma dstrbução dêntca de tensões ao nível da base das fatas. Em relação à dstrbução de forças de nteração entre fatas ao longo da superfíce de deslzamento, esta encontra-se representada nas fguras 6.24 e

99 Força tangencal (kn/m) Força normal (kn/m) Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Sup. do macço Fg Dstrbução da força normal E (Método de Spencer, exemplo 1.2) Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Sup. do macço Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Spencer, exemplo 1.2) Verfca-se que todos os programas apresentam uma dstrbução de forças de nteração entre fatas equvalente. Uma vez calculadas as forças atuantes nas fatas defne-se a trajetóra da lnha de mpulso. 77

100 Fg Lnha de mpulso (Método de Spencer, exemplo 1.2) Da observação da fgura verfca-se que a lnha de mpulso se encontra na zona delmtada entre a superfíce de macço e a superfíce de deslzamento, o que sgnfca que toda a massa deslzante se encontra à compressão, não havendo por sso necessdade de ntroduzr uma fenda de tração para que o valor do fator de segurança seja o mas próxmo possível da realdade Método de Janbu Efetuando a análse deste exemplo utlzando agora a versão smplfcada e rgorosa do método de Janbu, a superfíce crtca assocada a este método, tanto na versão smplfcada como na rgorosa, tem como centro as coordenadas (35,340 ; 39,775) e rao de valor 16,063m. Após análse pelos város programas obtveram-se os seguntes valores do fator de segurança: Quadro 6.9 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 1.2) TALUDES_Mv1 Slope Slde 1,258 1,258 1,260 Quadro 6.10 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 1.2) TALUDES_Mv1 Slope Slde 1,379-1,357 Pela observação dos quadros verfcamos que embora os valores sejam dêntcos até à casa das décmas exstem lgeras alterações nas restantes casas decmas entre os programas. Esta dferença pode estar assocada à complexdade e à forma como o processo de cálculo é desenvolvdo nos dferentes programas. As superfíces de deslzamento são consttuídas por 27 fatas e encontram-se de seguda representadas: 78

101 Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.2 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.2 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.2 Slde) 79

102 τ (kpa) σ (kpa) No que dz respeto às tensões atuantes na base das fatas, estas encontram-se representadas nas fguras 6.30 e 6.31: Tensão normal - Método de Janbu Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.2) Tensão de corte - Método de Janbu Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.2) Pela observação das fguras verfca-se que os programas Slope e Slde apresentam uma dstrbução e valores muto semelhantes entre eles. Já o programa TALUDES_Mv1, numa prmera parte apresenta uma dstrbução dêntca à dos programas comercas mas a partr de um certo ponto dverge consderavelmente. Comparando com a dstrbução relatva ao método de Morgenstern-Prce, verfca-se que as duas dstrbuções são smlares havendo apenas pequenas dferenças na zona de tensão mas elevada. Em relação às forças de nteração entre fatas estas apresentam a segunte dstrbução: 80

103 Força tangencal (kn/m) Força normal (kn/m) Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Sup. do macço Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 1.2) TALUDES_Mv1 Morg. - Prce Sup. do macço Desenvolvmento do talude (m) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 1.2) Em relação às forças de nteração verfca-se que todos programas apresentam uma dstrbução dêntca. No que dz respeto à força normal, verfca-se uma proxmdade muto grande entre os valores apresentados pelo programa TALUDES_Mv1 e o programa Slde, havendo até uma parte onde os valores são concdentes. Comparando com o método de Morgenstern-Prce verfca-se total concdênca ao longo da superfíce de deslzamento. No que concerne à força tangencal, verfca-se uma concdênca de valores entre os dos métodos havendo apenas uma pequena parte onde os valores dferem um pouco entre eles. A lnha de mpulso é defnda antes do cálculo do fator de segurança e das forças atuantes na base e nas faces das fatas e tem a segunte confguração: 81

104 Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 1.2) Comparação com outros métodos Calculando o fator de segurança pelos outros métodos mplementados no programa TALUDES_Mv1 obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.11 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce, Spencer e Janbu, exemplo 1.2) Correa Morgenstern-Prce Spencer Janbu 1,371 1,373 1,373 1,379 Desta forma verfca-se que todos os métodos mplementados convergem para valores de fator de segurança muto semelhantes entre eles. No que dz respeto ao número de terações e tempo necessáro para a convergênca de valores obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.12 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 1.2) Correa Morgenstern-Prce Spencer Janbu nº terações tempo (s) 0,179 0,190 0,764 0,451 Da observação do quadro e em comparação com o exemplo anteror verfca-se que todos os métodos precsaram de mas tempo para convergr. Um facto curoso está relaconado com o método de Spencer em que, embora tenha demorado mas tempo, neste exemplo convergu em menos uma teração em comparação com o anteror. O método de Correa mostrou ser o método mas rápdo e o de Spencer o mas demorado, dada a necessdade de um maor processamento de cálculo a ele assocado. 82

105 EXEMPLO 1.3 Neste exemplo utlzou-se a mesma geometra e característcas dos materas do exemplo 1.2 mas adconou-se um coefcente de ação sísmca horzontal ( k ) de 0,15. h Para a análse deste exemplo escolheu-se a mesma malha de centros e o mesmo número de ntervalos utlzados no exemplo anteror Método de Spencer Da análse pelos dferentes programas obteve-se os seguntes valores do fator de segurança: Quadro 6.13 Fator de segurança (Método de Spencer, exemplo 1.3) TALUDES_Mv1 Slope Slde 0,990 0,990 0,990 Observando os valores obtdos verfcamos que todos os programas convergram para o mesmo valor do fator de segurança e que, embora a geometra e as característcas dos materas sejam as mesmas do exemplo anteror, o valor do fator de segurança é bastante menor dada a ntrodução do coefcente de ação sísmca. As superfíces de deslzamento obtdas são consttuídas por 26 fatas e encontram-se de seguda lustradas: Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.3 TALUDES_Mv1) 83

106 σ (kpa) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.3 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.3 Slde) Em relação às tensões atuantes na base das fatas, estas apresentam a segunte dstrbução: Tensão normal - Método de Spencer TALUDES_Mv1 Slope Slde Coordenada x (m) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.3) 84

107 Força tangencal (kn/m) Força normal (kn/m) τ (kpa) Tensão de corte - Método de Spencer Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Fg Força tangencal na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.3) Da análse das fguras verfca-se que os três programas apresentam uma dstrbução de tensões dêntca entre eles. Relatvamente às forças de nteração entre fatas resultaram as seguntes dstrbuções: Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Sup. do macço Fg Dstrbução da força normal E (Método de Spencer, exemplo 1.3) Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Sup. do macço Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Spencer, exemplo 1.3) 85

108 Pela observação das fguras concluímos que os programas apresentam uma dstrbução de forças de nteração dêntca entre eles. A lnha de mpulso apresenta a segunte confguração: Fg Lnha de mpulso (Método de Spencer, exemplo 1.3) Como se verfca a lnha de mpulso encontra-se na zona delmtada pela superfíce do macço e a superfíce de deslzamento o que sgnfca que toda a massa deslzante se encontra à compressão. Assm conclu-se que não é necessára a aplcação de uma fenda de tração para um estudo mas realsta do problema Método de Janbu Realzando agora a análse do problema mas através das versões smplfcada e rgorosa do método de Janbu, obtveram-se respetvamente as superfíces de deslzamento com centro em (35,340 ; 39,775) e rao gual a 10,063m, e com centro em (35,340 ; 40,790) e rao gual a 16,875m. Da análse pelos dferentes programas resultaram os seguntes valores do fator de segurança: Quadro 6.14 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 1.3) TALUDES_Mv1 Slope Slde 0,896 0,895 0,897 Quadro 6.15 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 1.3) TALUDES_Mv1 Slope Slde 0,987-0,964 Da observação dos quadros anterores verfca-se que exstem lgeras alterações entre os valores do fator de segurança sobretudo na versão rgorosa do método. Esta dferença pode estar assocada ao facto de no programa Slde, o fator de segurança é calculado pela versão corrgda do método, no 86

109 programa TALUDES_Mv1, o fator de segurança é calculado de forma rgorosa. Mas adante se verá que este valor se aproxma mas dos obtdos por outros métodos. As superfíces de deslzamento obtdas pelos dferentes programas são consttuídas por 26 fatas e apresentam-se nas seguntes fguras: Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.3 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.3 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.3 Slde) 87

110 τ (kpa) σ (kpa) Em relação às tensões atuantes na base das fatas obtveram-se os seguntes resultados: Tensão normal - Método de Janbu TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Coordenada x (m) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.3) Tensão de corte - Método de Janbu 60 TALUDES_Mv1 40 Slope Slde Morg. - Prce Coordenada x (m) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.3) Pela observação das fguras anterores verfca-se que a dstrbução de tensões apresentada pelo programa TALUDES_Mv1 apresenta uma dstrbução de tensões normas semelhante com a obtda pelos programas comercas, havendo apenas uma dferença de valores que pode ser explcada pelo facto de os programas comercas aplcarem o método segundo uma metodologa dferente. Comparando com o método de Morgenstern-Prce verfca-se que apenas na zona de tensões máxmas exste alguma dscrepânca de valores. Em relação às tensões de corte verfca-se que na parte ncal e fnal todos os programas apresentam uma dstrbução smlar mas na zona de tensões máxmas exste alguma dvergênca de valores. Comparando com o outro método rgoroso verfca-se que em grande parte do traçado os dos métodos apresentam valores equvalentes havendo apenas uma dferença na zona de tensões máxmas. No que concerne às forças de nteração entre fatas, as fguras seguntes mostram a dstrbução obtda pelos dferentes programas: 88

111 Força tangencal (kn/m) Força normal (kn/m) Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Sup. do macço Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 1.3) Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Morg. - Prce Sup. do macço Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 1.3) Analsando as fguras anterores verfca-se que as forças de nteração apresentam uma dstrbução ao longo da superfíce de deslzamento dêntca havendo algumas dferenças de valores que podem ser explcadas pelas mesmas razões anterormente apontadas. A lnha de mpulso assocada a este estudo encontra-se representada na segunte fgura: 89

112 Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 1.3) Comparação com outros métodos Calculando o fator de segurança pelos outros métodos mplementados no programa TALUDES_Mv1 obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.16 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce, Spencer e Janbu, exemplo 1.3) Correa Morgenstern-Prce Spencer Janbu 0,982 0,987 0,990 0,987 Da observação do quadro anteror verfca-se que todos os métodos convergram para um valor do fator de segurança muto próxmo entre eles, sendo apenas o método de Correa o que apresenta uma maor dferença em relação aos outros. Em relação ao número de terações e tempo necessáro para a convergênca obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.17 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 1.3) Correa Morgenstern-Prce Spencer Janbu nº terações tempo (s) 0,186 0,149 0,536 0,319 Analsando o quadro anteror verfcamos que neste caso o método de Morgenstern-Prce, embora tenha precsado de mas terações em comparação com os restantes métodos, fo o que convergu mas rapdamente. 90

113 EXEMPLO 1.4 Neste exemplo consderou-se a mesma geometra e propredades dos solos consderadas no exemplo 1.2, mas neste caso adconou-se o nível freátco à cota do pé do talude tal como mostra a segunte fgura: Fg Exemplo 1.4 Para a análse deste exemplo fo consderada a mesma malha de centros e espaçamentos dos dos exemplos anterores Método de Spencer Efetuando a análse pelo método de Spencer nos dferentes programas, obtveram-se os seguntes valores do fator de segurança: Quadro 6.18 Fator de segurança (Método de Spencer, exemplo 1.4) TALUDES_Mv1 Slope Slde 1,295 1,297 1,300 Analsando o quadro anteror verfca-se que todos os programas convergem para valores muto próxmos entre eles. Outro aspeto relevante está relaconado com os valores obtdos neste exemplo em comparação com os dos dos exemplos anterores. De facto nota-se uma dmnução do fator de segurança mas não tão acentuada quanto a nduzda por um ssmo. As superfíces de deslzamento obtdas pelos dferentes programas para este exemplo são consttuídas por 26 fatas e encontram-se representadas nas seguntes fguras: 91

114 Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.4 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.4 Slope) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Spencer, exemplo 1.4 Slde) 92

115 τ (kpa) σ (kpa) Em relação às tensões atuantes na base das fatas obtveram-se os seguntes resultados: Tensão normal - Método de Spencer Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Fg Tensão normal efetva na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.4) Tensão de corte - Método de Spencer Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Spencer, exemplo 1.4) Analsando as fguras anterores verfcamos que os programas apresentam uma dstrbução dêntca de tensões entre eles ao longo da superfíce de deslzamento. No que dz respeto às forças de nteração entre fatas, as fguras 6.57 e 6.58 mostram os resultados obtdos. 93

116 Força tangencal (kn/m) Força normal (kn/m) Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Sup. do macço Fg Dstrbução da força normal E (Método de Spencer, exemplo 1.4) Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Sup. do macço Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Spencer, exemplo 1.4) Pela observação das fguras anterores verfcamos que todos os programas apresentam uma dstrbução dêntca das forças de nteração ao longo da superfíce de deslzamento havendo apenas lgeras dferenças nas forças tangencas na parte ncal da superfíce de deslzamento. Com os valores das forças atuantes nas fatas é então possível defnr a trajetóra da lnha de mpulso. 94

117 Fg Lnha de mpulso (Método de Spencer, exemplo 1.4) Pela fgura anteror e à semelhança do que fo dto nos exemplos anterores, podemos conclur que toda a massa deslzante se encontra à compressão não sendo por sso necessára a ntrodução de uma fenda de tração Método de Janbu Analsando agora através do método de Janbu obtveram-se para as versões smplfcada e rgorosa, duas superfíces com as mesmas coordenadas de centro (35,340 ; 37,745) mas com raos dstntos, respetvamente 16,445m e 15,461m. Os valores do fator de segurança obtdos pelos város programas apresentam-se nos seguntes quadros: Quadro 6.19 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 1.4) TALUDES_Mv1 Slope Slde 1,141 1,142 1,148 Quadro 6.20 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 1.4) TALUDES_Mv1 Slope Slde 1,284-1,246 Analsando os quadros anterores verfca-se que nas duas versões os programas convergem para valores dêntcos, embora se verfque uma maor dferença entre eles em comparação com outro método. Verfca-se também que na versão rgorosa a dferença entre o valor obtdo entre os programas é maor do que na versão smplfcada. Esta dscrepânca pode estar relaconada pelo facto de no programa TALUDES_Mv1 o valor do fator de segurança é calculado de forma rgorosa, no programa Slde, o valor resulta da multplcação por um coefcente corretvo. Comparando estes valores com os obtdos nos exemplos 1.2 e 1.3 verfca-se que, como era de esperar a ntrodução de 95

118 nível freátco fez com que o valor do fator de segurança baxasse, embora essa redução não seja tão acentuada como a verfcada aquando da ocorrênca de um ssmo. As superfíces de deslzamento desenvolvdas pelos dferentes programas são consttuídas por 28 fatas e encontram-se lustradas nas seguntes fguras: Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.4 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.4 Slope) 96

119 σ (kpa) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 1.4 Slde) As tensões atuantes na base das fatas obtdas encontram-se representadas nas seguntes fguras: 200 Tensão normal - Método de Janbu Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Fg Tensão normal efetva na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.4) 97

120 Força normal (kn/m) τ (kpa) Tensão de corte - Método de Janbu Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 1.4) No que dz respeto à tensão normal, verfca-se que os dos programas comercas apresentam uma total concdênca de valores. O mesmo já não acontece com o programa TALUDES_Mv1, apresentando uma dstrbução dstnta dos dos programas comercas. Contudo a sua dstrbução é muto dêntca à apresentada pelo método de Morgenstern-Prce havendo apenas algumas flutuações de valores na zona de tensões máxmas. Relatvamente à tensão de corte verfca-se que em grande parte da superfíce de deslzamento os város programas apresentam valores muto dêntcos entre eles, mas a partr de um certo ponto os valores dvergem bastante. Em comparação com outro método rgoroso verfca-se que os valores são concdentes ao longo da superfíce de deslzamento, havendo apenas uma osclação de valores numa pequena parte da superfíce de deslzamento. Em relação às forças de nteração entre fatas, estas apresentam a segunte dstrbução: Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slope Slde Morg. - Prce Sup. do macço Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 1.4) 98

121 Força tangencal (kn/m) TALUDES_Mv1 Morg. - Prce Sup. do macço Desenvolvmento do talude (m) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 1.4) Analsando as fguras anterores verfca-se que todos os programas apresentam uma dstrbução de forças de nteração dêntca entre eles, havendo algumas dferenças nos valores das forças que podem estar relaconadas com o facto de os programas utlzarem dferentes metodologas de cálculo no método de Janbu. Em comparação com o método de Morgenstern-Prce verfca-se que as tensões normas são concdentes em grande parte da superfíce de deslzamento havendo apenas pequenas dferenças no topo do talude. Em relação às tensões tangencas os dos métodos apresentam uma dstrbução dêntca mas com algumas dferenças e flutuações de valores. Em relação à lnha de mpulso, a sua trajetóra é determnada antes do cálculo do fator de segurança e das forças atuantes nas fatas e tem a segunte confguração: Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 1.4) 99

122 Comparação com outros métodos Calculando o fator de segurança pelos outros métodos mplementados no programa TALUDES_Mv1 obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.21 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce, Spencer e Janbu, exemplo 1.4) Correa Morgenstern-Prce Spencer Janbu 1,302 1,300 1,295 1,284 Analsando os valores obtdos pelos dferentes métodos verfca-se que todos convergram para um valor bastante dêntco sendo apenas o método de Janbu o que apresenta uma maor dferença em relação aos outros. No que dz respeto ao número de terações e tempo necessáro para a convergênca de valores, estes encontram-se descrtos no segunte quadro: Quadro 6.22 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 1.4) Correa Morgenstern-Prce Spencer Janbu nº terações tempo (s) 0,181 0,156 0,530 0,256 À semelhança do exemplo anteror, o método de Morgenstern-Prce embora necesste de mas terações, fo o que convergu mas rapdamente. De salentar também que o método de Spencer fo na mesma o mas demorado, mas neste caso convergu em menos uma teração do que nos exemplos anterores CASO DE ESTUDO 2 Este caso de estudo tem como objetvo avalar os resultados obtdos para uma superfíce de deslzamento de forma polgonal pelo método de Janbu uma vez que, apenas este novo método mplementado no programa permte avalar superfíces de deslzamento de qualquer formato. Uma vez que o programa TALUDES_Mv1 apenas permte avalar uma superfíce de deslzamento específca, optou-se por segur os mesmos exemplos do caso de estudo anteror mplementando uma superfíce de deslzamento polgonal especfca. Os valores obtdos serão alvo de comparação com os obtdos pelo programa Slde uma vez que, à semelhança do programa TALUDES_Mv1, apenas este permte a análse de superfíces específcas EXEMPLO 2.1 Neste exemplo, utlzou-se as mesmas característcas do materal e geometra do talude do exemplo 1.1 do caso de estudo anteror. A superfíce de deslzamento consderada apresenta a segunte confguração: 100

123 Fg Exemplo Método de Janbu Da análse dos programas TALUDES_Mv1 e Slde resultaram os seguntes valores do fator de segurança: Quadro 6.23 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 2.1) TALUDES_Mv1 Slde 0,967 0,978 Quadro 6.24 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 2.1) TALUDES_Mv1 Slde 1,024 1,033 Importa salentar que à semelhança do caso de estudo anteror, os valores apresentados referentes à versão rgorosa do método no programa TALUDES_Mv1, dzem respeto a valores de uma das versões onde os resultados se mostraram próxmos dos obtdos pelos restantes métodos. Da análse dos quadros verfcamos que os dos programas convergram para valores próxmos do fator de segurança. As superfíces de deslzamento são consttuídas por 26 fatas e encontram-se lustradas nas seguntes fguras: Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.1 TALUDES_Mv1) 101

124 σ (kpa) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.1 Slde) Em relação às forças atuantes na base das fatas obtveram-se os seguntes resultados: Tensão normal - Método de Janbu TALUDES_Mv1 Slde Morg. - Prce Coordenada x (m) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.1) 102

125 Força normal (kn/m) τ (kpa) Tensão de corte - Método de Janbu Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slde Morg. - Prce Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.1) Da análse das fguras concluímos que os dos programas apresentam uma dstrbução de tensões dêntca numa prmera parte da superfíce de deslzamento mas a partr de um certo ponto os valores dvergem entre eles. Comparando com outro método rgoroso verfca-se uma total concdênca de valores ao longo de toda a superfíce de deslzamento. Em relação às forças de nteração entre fatas obtveram-se os seguntes resultados: TALUDES_Mv1 Slde Morg. - Prce Sup. do macço Desenvolvmento do talude (m) Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 2.1) 103

126 Força tangencal (kn/m) TALUDES_Mv1 Morg. - Prce Sup. do macço Desenvolvmento do talude (m) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 2.1) Pela observação das fguras verfca-se que a dstrbução das forças apresentados pelos dos programas e pelo método de Morgenstern-Prce são muto semelhantes. A lnha de mpulso assocada ao cálculo no fator de segurança e das forças atuantes nas fatas apresenta a segunte confguração: Comparação com outros métodos Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 2.1) Calculando o fator de segurança pelos outros métodos mplementados no programa TALUDES_Mv1 obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.25 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce e Janbu, exemplo 2.1) Correa Morgenstern-Prce Janbu 1,022 1,032 1,

127 Pela análse dos valores obtdos verfcamos que todos os métodos convergem para valores bastante próxmos entre eles. Em relação ao número de terações e tempo necessáro para a convergênca obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.26 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 2.1) Correa Morgenstern-Prce Janbu nº terações tempo (s) 0,251 0,182 0,227 Observando os valores obtdos verfcamos que o método de Morgenstern-Prce, embora necesste de mas terações, fo o que convergu mas rapdamente. O oposto acontece em relação ao método de Correa que, embora seja o que necesste de menos terações para convergr, é o método mas demorado em comparação com os restantes. O método de Janbu apresenta valores ntermédos em relação aos outros métodos supractados EXEMPLO 2.2 Para este exemplo, adotou-se a mesma geometra e característcas dos materas do exemplo 1.1, mplementando a superfíce de rotura consderada tal como mostra a segunte fgura: Método de Janbu Fg Exemplo 2.2 Efetuando a análse pelo método de Janbu nos dos programas consderados, chegou-se aos seguntes valores do fator de segurança: Quadro 6.27 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 2.2) TALUDES_Mv1 Slde 1,473 1,489 Quadro 6.28 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 2.2) TALUDES_Mv1 Slde 1,529 1,

128 Observando os valores apresentados nos quadros verfcamos que os dos programas convergram para valores próxmos do fator de segurança. As superfíces de deslzamento obtdas pelos programas são consttuídas por 27 fatas e encontram-se lustradas nas seguntes fguras: Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.2 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.2 Slde) Relatvamente às tensões atuantes na base das fatas obtveram-se os seguntes resultados: 106

129 τ kpa) σ (kpa) Tensão normal - Método de Janbu TALUDES_Mv1 Slde Morg. - Prce Coordenada x (m) Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.2) Tensão de corte - Método de Janbu TALUDES_Mv1 Slde Morg. - Prce Coordenada x (m) Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.2) Analsando as fguras anterores verfca-se que na parte ncal e fnal, os dos programas apresentam valores smlares entre eles, contudo verfca-se alguma dscrepânca de valores na zona méda da superfíce de deslzamento. Esta dferença pode estar relaconada pelo facto de o programa Slde e TALUDES_Mv1 aplcarem dferentes formulações do método. Comparando com o método de Morgenstern-Prce verfca-se que, apesar de alguma osclação de valores assocada ao método de Janbu, apenas na parte fnal da superfíce de deslzamento os valores dvergem consderavelmente entre os dos métodos. Em relação à dstrbução das forças de nteração entre fatas obtveram-se os seguntes resultados: 107

130 Força tangencal (kn/m) Força normal (kn/m) Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slde Morg. - Prce Sup. do macço Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 2.2) TALUDES_Mv1 20 Morg. - Prce Sup. do macço Desenvolvmento do talude (m) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 2.2) No que concerne às forças de nteração verfca-se que, para as forças normas os dos programas apresentam valores concdentes entre eles assm como com o método de Morgenstern-Prce, em relação às forças tangencas verfca-se alguma semelhança de valores na parte ncal da superfíce de deslzamento entre os dos métodos, contudo a partr de um certo ponto os valores dvergem consderavelmente. A lnha de mpulso assocada ao estudo deste exemplo encontra-se lustrada na segunte fgura: Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 2.2) 108

131 Comparação com outros métodos Calculando o fator de segurança pelos outros métodos mplementados no programa TALUDES_Mv1 obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.29 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce e Janbu, exemplo 2.2) Correa Morgenstern-Prce Janbu 1,508 1,528 1,529 Analsando os valores obtdos verfcamos que todos os métodos convergem para valores bastante dêntcos, sendo apenas o método de Correa o que apresenta o valor mas afastado em comparação com os outros. Relatvamente ao número de terações e tempo de cálculo obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.30 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 2.2) Correa Morgenstern-Prce Janbu nº terações tempo (s) 0,419 0,275 0,373 As conclusões a retrar são em tudo semelhantes às apresentadas no exemplo anteror EXEMPLO 2.3 Neste exemplo consderou-se a mesma geometra e propredades adotadas no exemplo anteror mas adconou-se um coefcente de ação sísmca horzontal de 0,15. Os valores do fator de segurança obtdos pelos programas apresentam-se nos seguntes quadros: Quadro 6.31 Fator de segurança (Método de Janbu smplfcado, exemplo 2.3) TALUDES_Mv1 Slde 1,047 1,057 Quadro 6.32 Fator de segurança (Método de Janbu rgoroso, exemplo 2.3) TALUDES_Mv1 Slde 1,084 1,117 Da observação dos quadros verfca-se que os dos programas convergram para valores um pouco dstntos entre eles o que mostra o problema de convergênca assocado ao método. As superfíces de deslzamento obtdas são consttuídas por 27 fatas e apresentam-se representadas nas seguntes fguras: 109

132 σ (kpa) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.3 TALUDES_Mv1) Fg Superfíce de deslzamento (Método de Janbu, exemplo 2.3 Slde) No que dz respeto às tensões atuantes na base das fatas, as fguras seguntes mostram os resultados obtdos: Tensão normal - Método de Janbu Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slde Morg. - Prce Fg Tensão normal na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.3) 110

133 Força normal (kn/m) τ (kpa) Tensão de corte - Método de Janbu Coordenada x (m) TALUDES_Mv1 Slde Morg. - Prce Fg Tensão de corte na base das fatas (Método de Janbu, exemplo 2.3) Da análse das fguras anterores verfca-se que na parte ncal e fnal da superfíce de deslzamento, os dos programas apresentam uma dstrbução smlar entre eles, havendo apenas alguma dscrepânca de valores na zona méda da superfíce de deslzamento. Comparando com a dstrbução apresentada pelo método de Morgenstern-Prce, apesar de alguma osclação de valores assocada ao método de Janbu, apenas se verfca uma maor dscrepânca de valores na parte fnal da superfíce de deslzamento. Relatvamente às forças de nteração entre fatas obtveram-se os seguntes resultados: Desenvolvmento do talude (m) TALUDES_Mv1 Slde Morg. - Prce Sup. do macço Fg Dstrbução da força normal E (Método de Janbu, exemplo 2.3) 111

134 Força tangencal (kn/m) TALUDES_Mv1 Morg. - Prce Sup. do macço Desenvolvmento do talude (m) Fg Dstrbução da força tangencal X (Método de Janbu, exemplo 2.3) Tal como nos exemplos anterores, verfca-se uma concdênca de valores entre o programa TALUDES_Mv1 e Slde, assm como com o método de Morgenstern-Prce. Já no que dz respeto às forças tangencas, essa concdênca de valores já não é verfcada, contudo em grande parte da superfíce de deslzamento verfca-se que os dos métodos apresentam valores muto semelhantes, havendo apenas uma maor dspardade na zona méda da superfíce de deslzamento. A lnha de mpulso assocada ao estudo deste exemplo encontra-se lustrada na segunte fgura: Fg Lnha de mpulso (Método de Janbu, exemplo 2.3) Comparação com outros métodos Calculando o fator de segurança pelos outros métodos mplementados no programa TALUDES_Mv1 obtveram-se os seguntes valores: Quadro 6.33 Fator de segurança (Métodos de Correa, Morgenstern-Prce e Janbu, exemplo 2.3) Correa Morgenstern-Prce Janbu 1,071 1,089 1,

135 Observando os valores obtdos verfcamos que todos os métodos convergem para valores dêntcos do fator de segurança, sendo apenas o método de Correa o que apresenta uma maor dscrepânca em relação aos outros valores. No que dz respeto ao número de terações e tempo de cálculo, o quadro segunte mostra os valores obtdos: Quadro 6.34 Número de terações e tempo para os város métodos (exemplo 2.3) Correa Morgenstern-Prce Janbu nº terações tempo (s) 0,178 0,150 0,186 Neste caso o método de Morgenstern-Prce mostra ser mas uma vez o mas rápdo, apesar de ter necesstado de realzar mas uma teração em comparação com o exemplo anteror. Já o método de Janbu mostrou ser para este caso o mas demorado, apesar de ter realzado menos duas terações em comparação com o exemplo anteror EXEMPLO 2.4 Para este exemplo consderou-se a mesma geometra e propredades utlzadas no exemplo 2.2 e adconou-se o nível freátco à cota do pé do talude. Fg Exemplo 2.4 Neste exemplo os resultados obtdos são concdentes com os obtdos no exemplo 2.2 uma vez que, tal como mostra a fgura 6.47, o nível freátco não abrange a superfíce de deslzamento. Desta forma não há ntrodução de forças provocadas pela água nas fatas sendo o estudo realzado, à semelhança do exemplo 2.2, apenas com o peso das fatas e as forças na base e de nteração entre fatas CASO DE ESTUDO 3 Este caso de estudo tem como objetvo analsar a problemátca nerente ao método de Janbu, no que dz respeto à convergênca de valores. Para tal, consderou-se a geometra e propredades do materal utlzadas no exemplo 1.1 e estudou-se uma superfíce crcular específca ndcada no tutoral do programa slde, consttuída por 25 fatas e com centro em (30,149 ; 51,471) e rao gual a 26,407. O fator de segurança esperado deverá ser próxmo de 0,986 tal como é referdo no tutoral. 113