Estimação Temporal da Deformação entre Objectos utilizando uma Metodologia Física

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1 Estmação emporal da Deformação entre Objectos utlzando uma Metodologa Físca João Manuel R. S. avares 1 Raquel R. Pnho 1 Prof. Auxlar, Dep. de Eng. Mecânca e Gestão Industral, Fac. de Engenhara da Unversdade do Porto, Investgador Sénor, Lab. de Óptca e Mecânca Expermental, Inst. de Engenhara Mecânca e Gestão Industral Aluna de Doutoramento, Fac. de Engenhara da Unversdade do Porto, Investgadora, Lab. de Óptca e Mecânca Expermental, Inst. de Engenhara Mecânca e Gestão Industral Rua Dr. Roberto Fras, s/n, Porto, PORUGAL {tavares, rpnho}@fe.up.pt Resumo. Neste artgo, é apresentada uma metodologa para estmar a deformação faseada entre dos objectos atendendo às suas propredades físcas. A referda metodologa, pode ser utlzada por exemplo, em aplcações de Vsão Computaconal ou de Computação Gráfca, e consste em modelar fscamente os objectos em causa, por ntermédo do Método dos Elementos Fntos, segudamente estabelecer a correspondênca entre alguns dos seus dados, por ntermédo de Emparelhamento Modal, e fnalmente, determnar o campo de deslocamentos, ou seja as formas ntermédas, através da resolução temporal da Equação Dnâmca de Equlíbro de Lagrange. Como em mutas das possíves aplcações da metodologa a apresentar, é necessáro quantfcar a deformação exstente, assm como estmar apenas a componente não rígda da deformação global envolvda, serão também apresentadas as soluções adoptadas para satsfazer tas propóstos. Palavras-Chave: Análse Modal, Computação Gráfca, Equação Dnâmca de Equlíbro, Energa de Deformação, Método dos Elementos Fntos, Morphng, Objectos Deformáves, Vsão Computaconal. (Recebdo para publcação em 03 de janero de 005 e aprovado em 8 de março de 005) emporal Estmaton of the Deformaton between Objects by a Physcal Methodology Abstract. In ths paper, s presented a methodology to estmate the deformaton nvolved between two objects attendng to ts physcal propertes. he methodology referred can be used, for example, n Computatonal Vson or Computer Graphcs applcatons, and conssts n physcally modelng the objects, by means of the Fnte Elements Method, establshng correspondences between some of ts data ponts, by usng Modal Matchng, and fnally, determnng the dsplacement feld, that s the ntermedate shapes, through the resoluton of the Lagrange s Dynamc Equlbrum Equaton. As n many of the possble applcatons of the methodology to present, t s necessary to quantfy the exstng deformaton, as well as to estmate only the non rgd component of the nvolved global deformaton, the solutons adopted to satsfy such ntentons wll be also presented. Key words: Modal Analyss, Computer Graphcs, Dynamc Equlbrum Equaton, Deformaton Energy, Fnte Elements Method, Morphng, Deformable Objects, Computatonal Vson. 1. Introdução Apesar de se verfcar um vasto trabalho na área da smulação da transformação exstente entre dos objectos usualmente desgnada por Morphng, nem sempre a deformação estmada é obtda de forma coerente com as propredades físcas dos objectos e com as cargas (forças) envolvdas. De forma a responder adequadamente a estes requstos, a metodologa a usar deverá consderar a modelação físca de cada objecto a deformar. A metodologa a apresentar neste artgo tem em conta tal pressuposto, e surge na sequênca de trabalhos prevamente realzados: Na consderação do elemento 1

2 fnto proposto por Sclaroff, [1-3], para modelar fscamente os objectos em causa por ntermédo do Método dos Elementos Fntos, [3, 4]; Na utlzação de Emparelhamento Modal, de forma a obter as correspondêncas entre os dados pontuas (nodos) dos objectos em causa, proposto por Shapro, [3, 5, 6]; Na estmatva da transformação exstente entre dos objectos, segundo prncípos físcos, e com a determnação analítca dos modos de vbração dos modelos, proposta por Nastar, [7-11]; No estudo realzado por avares sobre o emparelhamento, a análse de movmento e da deformação de objectos sntétcos e reas usando o elemento fnto proposto por Sclaroff e o Emparelhamento Modal de Shapro, [3, 1-15]. Assm, na metodologa a apresentar, [16, 17], consdera-se que são determnadas as correspondêncas entre os nodos dos objectos em causa, por ntermédo de Emparelhamento Modal, e construídas as matrzes de massa e rgdez de cada objecto, usando o Método dos Elementos Fntos, nomeadamente por ntermédo do elemento fnto de Sclaroff. Com a modelação físca consderada nesta abordagem, os modelos obtdos são preenchdos por um determnado materal e, desta forma, comportam-se de forma equvalente aos objectos reas; permtndo assm, estmar o alnhamento temporal entre os mesmos de acordo com as suas propredades físcas. Para obter a transformação temporal exstente entre dos objectos, ou seja a deformação faseada, prevamente modelados e emparelhados, é nesta abordagem resolvda computaconalmente a Equação Dnâmca de Equlíbro de Lagrange, [4, 16]. Assm, a referda equação é ntegrada no tempo até que sejam satsfetas certas condções de paragem especfcadas pelo utlzador. Contudo, uma vez que se pressupõe a não exstênca de nformação adconal acerca dos objectos, nem sobre a deformação exstente, para resolver a Equação Dnâmca de Equlíbro é necessáro estmar de forma adequada o vector de cargas mplíctas, assm como os vectores ncas de deslocamento e de velocdade. As soluções adoptadas nesta abordagem, para estmar tas varáves, são também apresentadas neste artgo. Em mutos casos, não exste emparelhamento entre todos os nodos dos objectos a consderar: os objectos são consttuídos por um número dferente de dados, a metodologa de emparelhamento consderada não obtém correspondêncas fáves para todos os nodos, etc. De forma a ultrapassar este problema, fo desenvolvdo um procedmento para determnar as cargas mplíctas nos nodos não emparelhados. Este procedmento permte obter resultados satsfatóros, mesmo nos casos referdos, e é também descrto neste artgo. A quantfcação da deformação exstente entre os objectos consderados, quer ao nível global quer ao nível local, é na abordagem adoptada obtda através da consderação dos valores da energa de deformação elástca, [3, 4, 16]. Uma solução que possblta a estmatva da componente não rígda da transformação global exstente entre dos objectos, passa por: estmar a transformação rígda exstente (global), ou seja a translação, a rotação e o escalonamento; aplcar a transformação rígda estmada ao prmero objecto; obter a transformação faseada entre o prmero objecto rgdamente transformado e o segundo objecto; desta forma, a estmatva obtda refere-se uncamente à componente local da deformação global envolvda. Esta solução fo consderada nesta abordagem, sendo a estmatva da transformação rígda exstente obtda pelo método proposto por Horn, [3, 18]. Utlzando uma mplementação desenvolvda para a abordagem descrta neste artgo, [3, 15, 16], é possível representar as formas ntermédas estmadas, pela resolução da Equação Dnâmca de Equlíbro, usando não só o tradconal nível de cnzento constante para cada nodo do modelo consderando, mas também consderar níves proporconas às cargas mplíctas estmadas ou aos valores da energa de deformação elástca. Desta forma, o utlzador pode vsualmente dentfcar quas as zonas do modelo mas sujetas à nfluênca das cargas e as mas deformadas. Com a mesma comoddade, o utlzador pode determnar a transformação rígda exstente, e obter apenas a estmatva da componente não rígda da deformação exstente. Na Fgura 1, está representado um esquema da abordagem global consderada neste trabalho. Este artgo está organzado do segunte modo: Segudamente, é realzada uma breve descrção do elemento fnto soparamétrco de Sclaroff, usado para modelar fscamente cada objecto; Posterormente, é apresentado o Emparelhamento Modal, consderado no estabelecmento das correspondêncas entre os nodos de dos modelos; No ponto segunte, é descrto o método de ntegração consderado na resolução computaconal da Equação Dnâmca de Equlíbro; Após esta descrção, segue-se a apresentação das soluções encontradas para estmar os vectores ncas de deslocamento e de velocdade, assm como o vector de cargas mplíctas, necessáros para resolver a Equação Dnâmca de Equlíbro; A descrção do processo de quantfcação da deformação exstente, através da energa de deformação elástca, consttu a secção segunte; Nesta mesma secção, é também abordado o procedmento adoptado para estmar uncamente a componente não rígda da deformação exstente entre dos objectos; Posterormente, são apresentados alguns resultados expermentas obtdos usando a abordagem descrta; Por

3 últmo, são apresentadas algumas conclusões fnas e enumeradas perspectvas de desenvolvmentos futuros. Entrada Dados pontuas consderados como nodos de um Modelo de Elementos Fntos Construção do Modelo Físco Determnação das matrzes de massa M e de rgdez K para cada modelo fnto Determnação dos Modos Própros Kφ = ω Mφ Resolução do problema de valores/vectores própros generalzado para cada modelo Emparelhamento Análse dos deslocamentos de cada nodo no respectvo espaço modal Saída Formas ntermédas estmadas atendendo às propredades físcas do materal utlzado Quantfcação da Deformação Cálculo dos valores da Energa de Deformação (global ou local) Determnação das Formas Intermédas t MU + CU + KU = R t t t Resolução temporal da Equação Dnâmca de Equlíbro Estmatvas Cargas Implíctas em cada nodos R (emparelhado ou não) Matrz de Amortecmento C Deslocamento U e Velocdade U ncas ransformação Rígda exstente Fgura 1: Esquema da metodologa global adoptada neste trabalho. Elemento soparamétrco de Sclaroff Usando o método de Galerkn, [3, 4, 19], para dscretzar um dado objecto real, pode-se obter um sstema de funções usualmente desgnadas por funções de forma, que relaconam o deslocamento de um determnado ponto do objecto modelado com o respectvo deslocamento dos restantes nodos do mesmo. Neste trabalho, tal é consegudo pela utlzação do elemento fnto proposto por Sclaroff, [1-3]. Para construr um modelo físco para um determnado objecto usando o referdo elemento, começa-se por construr uma matrz de proxmdade, G, que traduz as dstâncas entre os m nodos (dados pontuas) do mesmo objecto: g1( X1) g1( Xm) G =, (1) gm( X1) gm( Xm) usando funções Gaussanas: X X /( σ ) g ( X) = e, () onde X é o centro do objecto e σ é o desvo padrão que controla a nteracção entre os nodos. Como esta matrz G, é então possível obter a matrz de nterpolação H, que para um objecto D tem a forma: h1 ( X) hm ( X) 0 0 H = 0 0 h1 ( X) hm ( X), (3) sendo os seus elementos, ou seja as funções de forma: m h( X) a g ( X) =, (4) k k k = 1 onde a k são coefcentes tas que h ( X ) assuma valores não-nulos apenas no nodo e que consttuem a matrz A determnada por nversão da matrz G. Após a obtenção da matrz de nterpolação H, a construção das matrzes de massa, M, e rgdez, K, seguem os procedmentos usuas do Método dos Elementos Fntos, [1-4, 19]. Neste trabalho, tornou-se essencal, para o bom funconamento da abordagem adoptada, a consderação da matrz de amortecmento, C, pos sem amortecmento, as formas estmadas não se aproxmavam adequadamente para o objecto fnal. Assm, optou-se por consderar a matrz C como uma combnação lnear das matrzes de massa e rgdez: C = ˆ αm + ˆ β K, (5) onde ˆα e ˆβ são as constantes de massa e rgdez do amortecmento proporconal, determnadas em função das fracções de amortecmento crítco, [4, 0]. 3. Emparelhamento Modal O estabelecmento das correspondêncas entre os m e n nodos dos modelos de elementos fntos ncal, t, e fnal, t + 1, é nesta abordagem obtdo através da consderação do Emparelhamento Modal. Assm, começa-se por resolver o problema de valores própros generalzado de cada modelo: KΦ = MΦΩ, (6) onde, para um modelo bdmensonal com m nodos: 3

4 u 1 ω 1 0 u m Φ= [ φ1 φm ] = e Ω=, (7) v1 0 ω m v m sendo que o vector de forma do modo, φ, descreve o deslocamento ( uv, ) para cada nodo devdo a esse modo de vbração, e a matrz dagonal Ω é consttuída pelos quadrados das frequêncas de vbração ordenados de forma crescente. Segudamente, construídas as matrzes modas Φ t+1, para os modelos t e 1 Φ t e t +, as correspondêncas obtém-se por comparação dos deslocamentos de cada nodo no respectvo espaço modal. Assm, é construída uma matrz de afndade, Z, cujos elementos são, para casos bdmensonas: j 1,, j 1,, j Z = u u + v v. (8) Desta forma, a afndade entre os nodos e j será nula se o emparelhamento for perfeto e aumentará à medda que o emparelhamento pora, [3]. Na construção desta matrz, é normal desprezar os modos de mas alta ordem, essencalmente assocados a ruído, [3, 13]. A procura na matrz Z dos melhores emparelhamentos, pode ser realzada nesta abordagem por dos processos dstntos: 1) Usando uma busca local, [3, 13, 14]; sto é, para cada nodo procura-se o melhor canddato possível, dado pelo valor mínmo da respectva lnha, e o emparelhamento só é consderado váldo se para o nodo canddato também é o melhor emparelhamento, dado pelo valor mínmo da coluna assocada ao canddato. Este procedmento, tem a vantagem de obter apenas emparelhamentos com elevado grau de afndade. No entanto, não consdera a estrutura global do modelo em causa, pos cada nodo é consderado como um elemento ndependente dos restantes. ) Usando técncas de optmzação, de forma a obter globalmente os melhores emparelhamentos possíves para todos os nodos do objecto, [1, ]. Este procedmento, tem a vantagem de obter emparelhamentos em muto maor número, e de já consderar a estrutura global do objecto. No entanto, por vezes, alguns dos emparelhamentos obtdos não são os mas adequados. Nos resultados apresentados neste artgo, todos os emparelhamentos consderados foram obtdos usando o procedmento de busca local. al fo consderado, pos o objectvo prncpal deste artgo é a obtenção da estmatva faseada para a deformação exstente entre dos objectos. Logcamente que este problema será mas complexo, quanto menor o número de emparelhamentos consderado. 4. Equação Dnâmca de Equlíbro Como já referdo, nesta abordagem, a estmatva para deformação faseada segundo prncípos físcos é obtda através da ntegração temporal da Equação Dnâmca de Equlíbro: t t t t MU + CU + KU = R, (9) onde U é o vector de deslocamentos nodas que alnham nodos emparelhados. A componente deste vector relatva ao nodo tem a forma: U = X X, (10), 1, com X 1, a representar o -ésmo nodo do modelo ncal, e X, o do modelo fnal com o qual fo emparelhado. Para resolver computaconalmente a Equação Dnâmca de Equlíbro, podem ser utlzados város métodos de ntegração, [4, 16]. Neste artgo, consderase o método da Sobreposção de Modos usado em conjunto com o Método de Newmark Sobreposção de Modos Este método de ntegração, possblta que na resolução da Equação Dnâmca de Equlíbro apenas sejam utlzados nos cálculos alguns dos modos de vbração do modelo em causa, [4]. A referda medda, reduz o custo computaconal assocado ao processo de ntegração, uma vez que, sem afectar em demasa os resultados obtdos, pos são essencalmente desprezadas as componentes locas da transformação geralmente assocadas a ruído, dmnu-se as dmensões das matrzes e dos vectores envolvdos. Deste modo, o processamento é acelerado, sem consderável perda de nformação, o que poderá ser útl em aplcações em que o tempo de computação é restrngdo. O método da Sobreposção de Modos, consdera a transformação de coordenadas generalzada, Φ, para transformar os deslocamentos modas, X, nos nodas, U, e vce-versa: Ut () = Φ Xt (), (11) de forma obter as equações dnâmcas de equlíbro desacopladas e segundo os deslocamentos modas generalzados: X () t+φ CΦ Xt () +Ω Xt () =Φ Rt (), (1) onde X e X são a segunda e prmera dervada temporal do vector de deslocamentos modas, já que: Φ K Φ=Ω e Φ M Φ= I, (13) onde I representa a matrz dentdade. 4

5 De forma a resolver a equação (1), pode ser consderado o método de Newmark. O referdo método, consdera as seguntes aproxmações: t+ t t t t+ t X = X + ( 1 δ) X + δx t t+ t t t 1 t t+ t, (14) X = X + X t + αx + αx t onde α e δ são parâmetros a determnar de manera a que os resultados obtdos sejam satsfatóros e estáves, [4]. Consderando a substtução da equação (14), na Equação Dnâmca de Equlíbro dada pelo método da Sobreposção de Modos, equação (1), obtém-se: 1 δ t t+ t I + Φ CΦ+Ω X = α t α t t 1 δ t t R + I + Φ CΦ X α t α t. (15) 1 δ t t + I 1 Φ CΦ X α t α 1 α 1 α t t + I ( 1 δ) t tδ Φ CΦ X α α Este método de ntegração é ncondconalmente estável para α δ 0.5, [0]. Contudo, convém salentar que se δ = 0.5 então, ndependente do valor de α, este método não possu amortecmento numérco. Por outro lado, se δ > 0.5, então é ntroduzdo amortecmento artfcal e obtém-se valores menos exactos, uma vez que os resultados obtdos têm precsão de prmera ordem. Já quando: 1 1 α = δ + 4, (16) e δ > 0.5, então é maxmzada a dsspação de alta frequênca, [0]. Na prátca, verfcou-se que em alguns casos expermentas a redução da precsão, resultante da consderação de valores δ > 0.5, orgnou a dvergênca dos resultados obtdos. 4.. Estmatvas Nesta secção, descreve-se as soluções adoptadas para a resolução de alguns problemas, essencalmente relaconados com a falta de nformação sobre os objectos em causa, assm como sobre a deformação envolvda. Assm, serão apresentadas as soluções encontradas para estmar os vectores ncas de deslocamento e de velocdade, e também o vector de cargas mplíctas sobre os nodos do modelo ncal, quer estejam emparelhados ou não Deslocamento e velocdade ncas O método de ntegração utlzado no âmbto deste trabalho requer, para o arranque do processo resolutvo, os vectores ncas de deslocamento e de velocdade. A solução encontrada, nesta abordagem, para estmar o vector ncal de deslocamento consste em consderá-lo proporconal ao deslocamento total envolvdo. Deste modo, o vector de deslocamento ncal é dado por: 0 X = c ( X X ), (17) X, 1, 0 onde X representa a -ésma componente do vector ncal de deslocamento modal, e c X é uma constante a especfcar, função da aplcação em causa. De modo análogo, o vector ncal da velocdade modal é calculado em função do deslocamento modal ncal: 0 0 X () = cv X (), (18) onde c V é outra constante a defnr, função da aplcação. De salentar que neste trabalho, obedecendo a uma necessdade de comoddade da especfcação dos parâmetros de entrada por parte do utlzador da mplementação desenvolvda para a metodologa adoptada, consderou-se c X e c V guas para todos os nodos. Na prátca, verfcou-se que quanto maores os valores de c X e de c V, maores serão os desfasamentos entre terações sucessvas. al, orgna a aproxmação mas rápda ao objecto fnal Cargas mplíctas As cargas mplíctas nos nodos emparelhados com êxto, foram consderadas como proporconas ao deslocamento total envolvdo: R = k( X X ), (19), j, onde R representa a -ésma componente do vector de cargas no nodo emparelhado, X, as respectvas coordenadas no objecto fnal, X j, as coordenadas respectvas na forma assocada à etapa j da deformação, e k é uma constante global de rgdez. Neste trabalho, mas uma vez obedecendo ao crtéro de comoddade referdo, consderou-se esta constante gual para todas as componentes do vector R. O problema assocado aos nodos do modelo ncal que não foram devdamente emparelhados, consste em não serem conhecdas as respectvas coordenadas no modelo fnal. A solução encontrada para este problema fo a segunte, Fgura : para cada nodo não emparelhado B, compreenddo entre dos nodos A e C, respectvamente emparelhados com os nodos A ' e C ' do modelo fnal, a componente do vector de cargas R referente a este nodo B é dada por: B 5

6 Dtot D B' RB = k ( X, B' X1, B), (0) B' todos os Dtot nodos entre A' e C' onde D tot representa a soma das dstâncas de todos os nodos que nfluencam o nodo B, e D B' representa a dstânca do mesmo nodo B a um nodo não emparelhado compreenddo entre os nodos A ' e C '. A C B A ' C' Fgura : Estmação das cargas nos nodos não emparelhados Analsando a fórmula do vector ncal de deslocamento, equação (17), verfca-se que as componentes dos nodos não emparelhados também não estão defndas. A solução encontrada, fo especfcar o vector ncal de deslocamento em função do vector ncal de cargas: 0 cx X = R se k 0 k. (1) 0 X = 0 se k = 0 Note-se que desta forma, a menos que k seja nulo, o vector ncal de deslocamento modal dos nodos emparelhados com êxto, é dêntco ao que fo prevamente estpulado pela equação (17). Resumndo, com a solução adoptada, para cada nodo do modelo ncal não emparelhado, o respectvo deslocamento modal ncal va ser nfluencado, tal como a carga mplícta no mesmo nodo, pelos nodos do modelo fnal que estão compreenddos entre os nodos emparelhados com os vznhos do nodo em causa. O peso atrbuído a cada nodo do modelo fnal, no vector de deslocamento ncal, é gual ao atrbuído na determnação da respectva carga mplícta. Note-se que esta solução se basea no prncípo de vznhança: nodos vznhos no modelo ncal devem manter-se como tal ao longo da deformação. 5. Quantfcação e componente não rígda Uma vez que a metodologa utlzada nesta abordagem se basea em prncípos físcos, é possível calcular a energa de deformação elástca em cada nstante do processo resolutvo da Equação Dnâmca de Equlíbro. Os valores desta energa são usados neste trabalho para quantfcar a deformação exstente, quer ao nível global quer ao nível local. Como já fo prevamente referdo, a mplementação desenvolvda para a abordagem adoptada também permte a obtenção da estmatva relatva às componentes locas da deformação global exstente entre dos objectos; sto é, não consderar a transformação rígda global na estmatva da deformação exstente. Nesta secção, é então descrto o procedmento para calcular a energa de deformação elástca, e também a abordagem usada para desprezar a componente rígda da deformação Energa de deformação A energa de deformação elástca, E, pode ser calculada como, [3, 4, 13, 14]: E = U KU. () Assm, se: U u1 u e K un = k11 k1 k1 n k k k, (3) kn1 kn knn 1 n = a equação () da energa de deformação elástca pode ser reescrta como: n E u k u n =. (4) j j = 1 j= 1 Isto é, a energa de deformação elástca global é dada pelo somatóro das suas componentes locas. Pelo que, a energa de deformação local, e, assocada ao nodo, é: n e = u k u. (5) j j j= 1 Com este procedmento, uma vez obtdas as formas ntermédas dos objectos responsáves pela deformação global exstente, sto é o campo de deslocamentos, podese quantfcar a deformação assocada a cada uma destas formas usando os valores da energa de deformação elástca envolvda. Na mplementação desenvolvda, os valores da energa de deformação elástca podem também ser usados na representação das formas ntermédas estmadas, possbltando assm ao utlzador uma vsualzação da quantfcação da deformação exstente. 5.. Componente não rígda Como exstem váras aplcações possíves da metodologa desenvolvda, que só têm nteresse na 6

7 estmatva da componente local da deformação global exstente entre dos objectos, fo consderada uma solução que permte desprezar a componente rígda envolvda. A solução adoptada é consttuída pelas seguntes fases: 1) Estando os dos objectos com alguns dos seus nodos devdamente emparelhados, é estmada a transformação rígda exstente entre os mesmos. O método utlzado fo o proposto por Horn, [3, 18], e permte estmar a rotação, a translação e o escalonamento exstente entre os dos objectos emparelhados. ) A transformação rígda estmada é aplcada ao prmero objecto. Assm, o prmero objecto fca rgdamente alnhado com o segundo. 3) A metodologa desenvolvda para estmar as formas ntermédas entre dos objectos é aplcada entre o prmero objecto rgdamente transformando e o segundo objecto. Deste modo, as formas estmadas pela metodologa apresentada, estmam uncamente a componente não rígda, ou seja as componentes locas, da deformação global exstente entre os dos objectos. Nas Fguras 3 e 4 é apresentado um exemplo de estmação das componentes locas pela metodologa desenvolvda. lgados entre s. Já as formas ntermédas estmadas, estão representadas com os seus pontos undos por segmentos de recta, e segundo uma escala de cnzentos relaconada com a ntensdade da carga mplícta exstente ou com o valor da energa de deformação assocada. Neste caso, a valores mas reduzdos, de força ou de energa, correspondem níves mas escuros e vce-versa.) Como prmera experênca, consdere-se os contornos C e D da Fgura 5, ambos consttuídos por 6 nodos todos emparelhados com êxto por Emparelhamento Modal. Nas Fguras 6 e 7, pode-se verfcar dos resultados obtdos - neste caso, as formas estmadas estão representadas segundo os valores das cargas mplíctas - e constatar, que através dos valores da constante global de rgdez, k, se pode controlar adequadamente a aproxmação obtda ao objecto fnal. Nesta experênca, também constatamos que quanto maor a ntensdade da força mplícta consderada, através da consderação de um valor mas elevado para k, mas rápda será a convergênca obtda. No entanto, os valores de k deverão estar sempre entre os lmtes adequados para o materal consderado na modelação, pos caso contráro, os resultados podem dvergr. A' B A C D Fgura 3: Contornos A e B emparelhados, e A resultado da aplcação da transformação rígda estmada a A 6. Resultados expermentas Fgura. 4: Estmatva da componente não rígda da deformação entre A e B A metodologa desenvolvda, fo ntegrada numa plataforma genérca de desenvolvmento e ensao, de algortmos de processamento e análse de magem e de computação gráfca, prevamente desenvolvda, [3, 15]). Com a referda plataforma, o utlzador pode faclmente e comodamente especfcar todos os parâmetros da metodologa, assm como controlar a sua execução e verfcar e analsar os resultados obtdos. Nesta secção são apresentados alguns dos resultados expermentas obtdos pela utlzação da metodologa proposta neste artgo. (Apenas consderamos objectos do tpo contorno, uma vez que, ao desprezar os pontos do nteror dos mesmos, o custo computaconal é reduzdo sem perda relevante de nformação. odas as magens apresentadas nesta secção, ncluem os nodos dos objectos ncas e fnas com os seus dados não Fgura. 5: Contornos C e D emparelhados Fgura 6: Formas ncal e fnal estmadas com k = 60 Fgura 7: Formas ncal e fnal estmadas com k = 30 Para a segunda experênca, consdere-se os contornos E e F da Fgura 8, obtdos a partr de contornos reas de duas magens do coração, [3], cada um composto por 70 nodos dos quas 43 emparelhados com êxto por Emparelhamento Modal. Utlzando um passo de tempo t = 1, uma constante de rgdez k = 1, valores de amortecmento crítco entre 0.5% e 3%, poletleno como materal vrtual, e como crtéro de paragem, do processo computaconal, uma dstânca méda da últma forma estmada ao contorno fnal nferor a 60 pxels, foram necessáras 7 terações cujas formas estão representadas nas Fguras 9 e 10, de acordo com os valores da energa de deformação local e global. Em qualquer uma das Fguras 9 e 10, é possível verfcar que a energa de deformação va aumentando progressvamente, tal é devdo ao facto do deslocamento 7

8 entre terações também aumentar, Fgura 11. Contudo, caso o processo resolutvo não fosse nterrompdo pelo crtéro de proxmdade utlzado, o equlíbro sera atngdo com um número sgnfcatvamente mas elevado de terações. al orgnava deslocamentos cada vez mas reduzdos entre terações e a mplícta dmnução da energa de deformação. precsão não será sgnfcatva e os ganhos computaconas poderão ser relevantes. H G F E Fgura 1: Contornos G e H emparelhados Fgura 13: Formas ntermédas estmadas quando são consderados todos os modos de vbração Fgura 8: Contornos E e F emparelhados Fgura 9: Formas estmadas por valor da energa de deformação local Fgura 10: Formas estmadas por valor da energa de deformação global % Energa de Deformação Global e Evolução dos Deslocamentos Globas Deslocamentos Globas Energa de Deformação Global Iterações Fgura 11: Evolução da energa de deformação global para o caso dos contornos E e F da Fgura 8 Para a tercera e últma experênca, consdere-se os contornos G e H, representados na Fgura 1, obtdos a partr de magens reas de pedobarografa dnâmca [3, 1, 1], cada um consttuído por 61 nodos dos quas 59 emparelhados com êxto por Emparelhamento Modal. Com as mesmas condções de aplcação da experênca anteror, mas adoptando como crtéro de paragem uma dstânca ao contorno fnal nferor a 0 pxels, correspondente a uma aproxmação méda de cada nodo nferor a 3.7 pxels, e consderando a totaldade dos modos de vbração no método de Sobreposção de Modos, são necessáras 8 terações, Fgura 13. Contudo, se apenas se utlzarem /3 dos modos de vbração, já são necessáras 10 terações, Fgura 14. Nas fguras apresentadas para esta experênca, as formas ntermédas estmadas estão representadas segundo os valores das cargas mplíctas. Esta últma experênca, e outras por nós realzadas, permte conclur que, de um modo geral, a consderação de apenas uma parte dos modos de vbração reduz o custo computaconal assocado ao processo resolutvo, mas obvamente dmnu a precsão dos resultados obtdos. No entanto, em mutas aplcações, esta perda de Fgura 14: Formas ntermédas estmadas quando são consderados apenas /3 dos modos de vbração 7. Conclusões e Perspectvas de rabalho Futuro Neste artgo, fo apresentada uma metodologa que permte estmar a deformação temporal exstente entre dos objectos, segundo as propredades físcas dos mesmos. A referda metodologa, é baseada no Método dos Elementos Fntos, para modelar fscamente os objectos em causa, no Emparelhamento Modal, para obter correspondêncas entre os dados que consttuem os objectos, e na resolução temporal da Equação Dnâmca de Equlíbro, para obter as estmatvas pretenddas. No entanto, para ser possível ntegrar computaconalmente a Equação Dnâmca de Equlíbro, algumas varáves têm de ser estmadas. Nomeadamente, os vectores ncas de deslocamento e de velocdade, assm como o vector de cargas mplíctas. As soluções consderadas, nesta abordagem para obter tas estmatvas, foram também apresentadas. Outra solução por nós desenvolvda, está relaconada com o facto de nem todos os nodos dos objectos estarem necessaramente emparelhados. A solução encontrada para estes casos, fo consderar a carga mplícta assocada a cada nodo não emparelhado pela méda ponderada das cargas mplíctas que atraem esse nodo para os nodos do objecto fnal, compreenddos entre os nodos emparelhados correspondentes aos seus vznhos. Esta solução é baseada no crtéro de vznhança, e permte que a metodologa seja adequadamente utlzada e obtenha resultados satsfatóros, mesmo quando os nodos dos objectos não estão todos emparelhados com sucesso. Nesta abordagem, a quantfcação da deformação exstente entre dos objectos é conseguda pela 8

9 consderação da energa de deformação elástca. Deste modo, em cada nstante da resolução temporal da Equação Dnâmca de Equlíbro, a deformação assocada a cada forma nterméda, pode ser quantfcada globalmente pelo valor da energa de deformação global, ou então quantfcada localmente através da energa de deformação local assocada a cada nodo. Na mplementação desenvolvda para a metodologa apresentada, as formas estmadas podem ser representadas em magens com os seus pxés com valor constante, ou então a traduzr os valores das cargas mplíctas ou da energa de deformação elástca. Na mesma mplementação, também fo ncluído um procedmento que permte que a metodologa apresentada seja usada para apenas estmar a deformação local exstente entre dos objectos. O referdo procedmento basea-se na aplcação, ao prmero objecto, da transformação rígda estmada a partr dos emparelhamentos obtdos entre os dos objectos em causa. Pela análse dos resultados obtdos quando este procedmento é consderado, é possível verfcar que, como sera de esperar, quando se aplca prevamente a transformação rígda estmada, o número de terações necessáras até o equlíbro ser atngdo é sgnfcatvamente menor, assm como o desfasamento entre as formas ntermédas obtdas. Neste trabalho, a Equação Dnâmca de Equlíbro fo ntegrada computaconalmente através do método de Sobreposção de Modos, usado em conjunto com o método de Newmark. Dos resultados expermentas obtdos, verfca-se que quando se consdera apenas parte dos modos de vbração na ntegração, a exactdão dos resultados obtdos é necessaramente afectada, contudo o custo computaconal assocado é dmnuído. Assm, este método de ntegração pode ser nteressante em aplcações que apresentem elevados requstos de velocdade de execução, e menores exgêncas ao nível da exactdão das formas estmadas. Na abordagem apresentada, as cargas mplíctas são estmadas usando um valor global de rgdez constante, e a ntegração da Equação Dnâmca de Equlíbro é realzada consderando um ntervalo de tempo fxo. Estes dos parâmetros poderão ser varáves ao longo da estmatva temporal. Isto é, à medda que o objecto se va deformando, estes parâmetros poderão ser afnados no sentdo de adequar as estmatvas obtdas ao comportamento esperado para o objecto em causa. A estmatva das cargas mplíctas, também é um procedmento que poderá merecer algum trabalho no futuro. Assm, a solução descrta neste artgo poderá ser aperfeçoada a casos concretos de aplcação, através da procura de modelos alternatvos. Outra tarefa a consderar nos tempos futuros, será a necessára valdação da metodologa apresentada em exemplos reas de aplcação. Por exemplo, no domíno da Computação Gráfca, a abordagem proposta poderá ser utlzada para obter smulações de colsão entre objectos. 8. Referêncas Bblográfcas 1. Sclaroff, S.E., Modal Matchng: A Method for Descrbng, Comparng, and Manpulatng Dgtal Sgnals, n Massachusetts Insttute of echnology Sclaroff, S. and A. Pentland, Modal Matchng for Correspondence and Recognton, n IEEE ransactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence avares, J.M.R.S., Análse de Movmento de Corpos Deformáves usando Vsão Computaconal, n Faculdade de Engenhara. 000, Unversdade do Porto. 4. Bathe, K.-J., Fnte Element Procedures. 1996: Prentce Hall. 5. Shapro, L. and J.M. Brady, Feature-based correspondence: an egenvector approach, n Butterworth-Henemann Ltd Shapro, L. and J.M. Brady, A Modal Approach to Feature-based Correspondence. 199, Robotcs Research Group, Department of Engneerng Scence, Oxford Unversty. 7. Nastar, C. and N. Ayache. Fast Segmentaton, rackng, and Analyss of Deformable Objects. n Fourth Internatonal Conference on Computer Vson Berln, Germany. 8. Nastar, C. and N. Ayache, Fast Segmentaton, rackng, and Analyss of Deformable Objects. 1994, Insttut Natonal de Recherche en Informatque et en Automaton: Rocquencourt. 9. Nastar, C., Modèles Physques Déformables et Modes Vbratores pour l'analyse du Mouvement non-rgde dans les Images Multdmensonnelles, n L'École Natonale des Ponts et Chaussées Nastar, C., Analytcal Computaton of the Free Vbraton Modes: Applcaton to Non Rgd Moton Analyss and Anmaton n 3D Images. 1993, Insttut Natonal de Recherche en Informatque et en Automaton: Rocquencourt. 11. Nastar, C. and N. Ayache, Frequency-Based Nonrgd Moton Analyss: Applcaton to Four Dmensonal Medcal Images, n IEEE ransactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence avares, J.M.R.S., J. Barbosa, and A.J. Padlha. Matchng Image Objects n Dynamc Pedobarography. n RecPad'000-11th Portuguese Conference on Pattern Recognton Porto, Portugal. 13. avares, J.M.R.S., J. Barbosa, and A.J. Padlha. Determnação da Correspondênca entre Modelos 9

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