Feynman e as Integrais de Trajetória Feynman Path Integrals

Transcrição

1 Revsta Braslera de Ensno de Físca, vol. 40, nº 4, e406 (018) Seção especal - Celebrando os 100 anos de nascmento de Rchard P. Feynman cb Lcença Creatve Commons Feynman e as Integras de Trajetóra Feynman Path Integrals J. Davd M. Vana 1, 1 Unversdade de Brasíla, Insttuto de Físca, Centro Internaconal de Físca da Matéra Condensada, Campus Darcy Rbero, Brasíla, DF, Brasl Unversdade Federal da Baha, Insttuto de Físca, Campus Unverstáro de Ondna, Salvador, BA, Brasl Recebdo em 05 de Dezembro, 017. Revsado em 7 de Janero, 018. Aceto em 15 de Feverero, 018. O método de ntegras de trajetóra, desenvolvdo por Feynman no artgo Space-Tme Approach to Non- Relatvstc Quantum Mechancs de 1948, é uma das formulações da teora quântca que se junta, consderando a época do artgo, a duas anterores: () a formulação, de certa forma o padrão apresentado em lvros-textos, desenvolvda na década de 190 por Schrödnger, Hesenberg, Drac, Von Neumann, Born, Jordan e outros, e que se basea no espaço de Hlbert e operadores que atuam nesse espaço, e () a descrção no espaço de fase, também conhecda como a quantzação de Moyal, que se basea na função quas-dstrbução de Wgner proposta em 193 e na le de Correspondênca de Weyl de 197, e conduz à estrutura matemátca não comutatva baseada no produto estrela ( ). Neste trabalho, apresentamos uma revsão pedagógca de pontos consderados báscos para o desenvolvmento de Feynman. Destacamos a lnha de pesqusa de Drac na busca de analogas entre a Mecânca Clássca e a Mecânca Quântca, bem como os postulados formulados por Feynman no artgo acma ctado, aspectos mportantes para a compreensão da teora mas pouco conhecdos e pouco dvulgados de forma completa. Um exemplo é apresentado para elucdar o método e sua relação com a equação de Schrödnger dependente do tempo. Palavras-chave: mecânca quântca, ntegras de trajetóra, prncípo da ação mínma. The method of path ntegrals developed by Feynman n the paper Space-Tme Approach to Non-Relatvstc Quantum Mechancs of 1948, s one way of formulatng the quantum theory. Ths development jons prevous ones: () the formulaton developed by Schrödnger, Hesenberg, Drac, Von Neumann, Born and Jordan, whch s based on the Hlbert space, and () the phase space pcture also known as Moyal s Quantzaton whch s based on the quas- dstrbuton functon of Wgner proposed n 193 and leads to the non-commutatve mathematcal structure defned by the star product ( ). In ths work, we present a pedagogcal revew of ponts consdered basc for the development realsed by Feynman. We emphasze Drac s research lne n the search for analoges between the classcal and quantum mechancs as well a the postulates formulated by Feynman n the artcle quoted above. We note that these aspects although mportant for the comprehenson of the path ntegrals formulaton are lttle known and lttle dvulged of complete form. In order to elucdate the method an example s presented and ts relatonshp to tme-dependent Schrödnger equaton analyzed. Keywords: quantum mechancs, path ntegrals, the acton prncple. 1. Introdução Atualmente, entre as formas conhecdas de quantzar um sstema mcroscópco, pode-se destacar três formulações como mas usadas. A prmera, de certa forma o padrão apresentado em lvros-textos [1, ], é a baseada no espaço de Hlbert e operadores que atuam nesse espaço [3]; fo desenvolvda por Schrödnger [4], Hesenberg [5], Drac [6], von Neumann [7], Born e Jordan [8] e outros na década de 190. A segunda é a formulação no espaço de fase [9], também conhecda como a quantzação de Moyal [10]; baseado na função quas-dstrbução de Wgner proposta em 193 [11, 1] e na le de correspondênca de Weyl de 197 [13] entre operadores quântcos no espaço de Hlbert e funções no espaço de fase, esse desenvolvmento conduz Endereço de correspondênca: n1jdavd@gmal.com. à estrutura matemátca não-comutatva defnda pelo produto estrela ( ) [14 16]. A tercera refere-se à formulação conhecda por ntegras de trajetóra desenvolvda por Feynman [17]. É essa formulação o motvo do presente artgo. O método de ntegras de trajetóra de Feynman é reconhecdo atualmente como efcente em váras áreas e, em partcular, em teoras de gauge. Desde o surgmento do lvro de Feynman e Hbbs [18] város são os textos que tratam do assunto: alguns em caráter ntrodutóro ou concetual [19 1]; outros em Teora de Campos [, 3] e Mecânca Estatístca [4], e anda outros em aplcações a áreas específcas [5 7], havendo nclusve um Handbook de ntegras de trajetóra de Feynman [8] onde é possível encontrar uma tabela de ntegras de nteresse; deve-se também ctar a extensão do método de ntegras de trajetóra para férmons sendo referêncas mportantes Copyrght by Socedade Braslera de Físca. Prnted n Brazl.

2 e406- Feynman e as Integras de Trajetóra Berezn [9] e Coleman [30]. É usual em város desses textos, o que também se observa na ntrodução do artgo Space-Tme Approach to Non-Relatvstc Quantum Mechancs [17], a nformação que o desenvolvmento realzado por Feynman tem como orgem uma conjectura de Drac ou fo sugerdo por algumas observações de Drac com respeto à relação da ação clássca e a mecânca quântca. Entretanto, para o melhor de nosso conhecmento, não há uma exposção completa de como surgram essas sugestões e/ou conjectura de Drac. Em face desse fato e como forma de preencher essa possível lacuna na lteratura, procuramos nesse artgo abordar esse aspecto da formulação do método. O artgo está dvddo em seções: na seção trataremos dos desenvolvmentos de Drac relatvos ao assunto no texto The Prncples of Quantum Mechancs [6] e no artgo On the Analogy Between Classcal and Quantum Mechancs [31]; na seção 3, para enfatzar a relação do desenvolvmento de Feynman com os aspectos abordados por Drac, trataremos dos postulados propostos por Feynman [17]; na seção 4, como forma de elucdar a aplcação das deas de Drac e Feynman, consderamos um caso específco [18, 3] e mostraremos como a ampltude de transção na formulação de Feynman satsfaz a equação de Schrödnger usual. Na seção seguremos de perto a apresentação de Drac e, nesse sentdo, manteremos sempre que possível sua notação. Assm, para coordenadas, consderando um sstema com n graus de lberdade, temos q = (q 1, q,..., q n ); para os momenta p = (p 1, p,..., p n ); também serão usados q = (q 1, q,..., q n), q = (q 1, q,..., q n)... p = (p 1, p,..., p n), p = (p 1, p,..., p n) e para os correspondentes bras e kets, q, q, q, q, p, p, p, p, respectvamente; as funções quântcas serão notadas por F (q, p) onde q e p são operadores, e as correspondentes funções clásscas serão desgnadas por F c (q, p) onde q e p serão varáves clásscas. Na seção 3 seguremos Feynman e nas seções seguntes a notação acompanhará a convenção usual onde for possível. Neste sentdo deve-se observar que Drac nota a ação referente a um ntervalo de tempo por S(t, t +1 ) = t +1 t L(t) dt, enquanto Feynman nota a mesma ação por S(q +1, q ), ou seja, S(q +1, q ) = t +1 t L(t) dt smbolzando que q +1 refere-se a q no nstante t +1, e q refere-se a q no nstante t.. O desenvolvmento de Drac De acordo com alguns autores [19, 3], uma das lnhas de pesqusa de nteresse de Drac era a elaboração da Mecânca Quântca com base na analoga com a Mecânca Clássca. De fato, consultando o lvro The Prncples of Quantum Mechancs e o artgo On the Analogy Between Classcal and Quantum Mechancs observa-se, em váras seções, essa busca de analoga entre as duas mecâncas; em partcular há duas seções do lvro-texto, em que este fato é bem explícto sendo na seção The acton prncple onde Drac apresenta a possível relação entre o bra-ket q, t q, t 0 q t q t 0 e o prncípo da ação mínma. Para compreender como essa proposta surge remos, por razões hstórcas e porque essa dscussão não é apresentada nos desenvolvmentos da formulação das ntegras de trajetóra, segur Drac resumndo os aspectos de nteresse para o presente artgo..1. Movmento de pacote de ondas Em seu lvro-texto, na seção movmento de pacote de ondas, Drac chega ao resultado expresso por vemos deste modo como as equações clásscas do movmento são dervadas da teora quântca como um caso lmte. Para chegar a essa conclusão, Drac consdera um sstema dnâmco com operador Hamltonano H(q r, p r ) (r = 1,,..., n) tendo um sstema clássco análogo descrto pela Hamltonana H c (q r, p r ), função real obtda usando varáves algébrcas para os operadores q r, p r em H(q r, p r ), e fazendo 0 onde aparecer essa constante em H. Drac propõe, então, que a função de onda dependente do tempo na descrção de Schrödnger seja da forma: ψ(q, t) = Ae S (1) onde A e S são funções reas de q e t, e não varam de forma rápda com seus argumentos. Ao propor a expressão (1) para ψ(q, t), Drac procura verfcar se essa proposta leva a alguma nconsstênca e se há nterpretações físcas para as funções A e S; para sto leva a eq (1) à equação de Schrödnger o que resulta em ψ(q, t) = Hψ(q, t) () t A t A S t = e S H(qr, p r )Ae S (3) e, explorando o fato que U = e S pode ser vsto como um operador lnear untáro, mostra que as coordenadas q permanecem nalteradas por U e que, para p r, tem-se e assm e S pr e S e S H(qr, p r )e S = pr + S = H(qr, p r + S ) uma vez que as relações algébrcas são preservadas por U. Em consequênca tem-se, de (3), que: A t A S t = H(q r, p r + S )A (4) Chegando à eq (4) Drac consdera o lmte 0, abandonando os termos em que aparece, ou seja, em A t e em p r que é o operador aplcado à função de q r. Assm, (4) resulta em S t = H c(q r, S ) (5) Revsta Braslera de Ensno de Físca, vol. 40, nº 4, e406, 018

3 Vana e406-3 que é a equação dferencal para a função S, sendo ela assm determnada pela Hamltonana clássca H c. A eq (5), conhecda equação de Hamlton-Jacob da dnâmca clássca, permte que S seja real e mostra que não há nconsstênca em admtr a eq (1) como expressão para ψ(q, t). Para obter a equação dferencal para A, após um desenvolvmento relatvamente longo [6] obtém-se que: A t = j A em que a notação pj= S na expressão obtda, p j por S Hc (q j, p j ) p j p j= S (6) sgnfca que se deve substtur, de modo que no fnal se tenha uma função de q j apenas. Interpretando A, na eq (6), como a densdade de um fludo no ponto q e nstante t, Drac mostra que essa equação pode ser analsada como a equação de conservação desse fludo sendo sua velocdade dada por dq j dt = Hc (q r, p r ) p j e com p j defndo como S, segue que p j= S (7) dp j dt = d S = H c(q r, p r ) (8) dt ou seja, as equações (7) e (8) são equações clásscas de movmento na forma Hamltonana mostrando que, no lmte 0, são obtdas equações clásscas para o sstema quântco descrto por H(q r, p r )... O prncípo da ação Na seção.1 um dos pontos báscos do desenvolvmento é a ntrodução da eq (1) onde é defnda a função S dependente de q e t. Na seção sobre o prncípo da ação mínma Drac contnua explorando essa função e escreve com q, t q, t = 0 q t q = e S (9) q t = q T (t) (10) sendo T (t) o operador que satsfaz a equação: T t = H(t)T, T (0) = 1 A eq. (9) é agora a defnção de S, função das varáves q t, q e explctamente do tempo. Comparando a função S da eq. (9) com a função S da eq. (1) Drac observa que a ausênca da função A na eq. (9) exge que S agora seja complexa mas com sua parte real gual a S da eq (1), e sua parte magnára da ordem de. Desta forma, no lmte 0, o S da eq. (9) será gual ao S da eq. (1) e, portanto, satsfará a relação, na notação de Drac, onde S t = H c(q rt, p rt) (11) p rt = S q rt (1) e H c é o Hamltonano clássco nas varáves algébrcas q rt, p rt. Por outro lado, com q t0 = q, tem-se q t 0 q = δ(q t 0 q ) e o quadrado do módulo de q t q,.e. q t q, é a probabldade das coordenadas q terem valores q no nstante t > t 0 se elas tverem, com certeza, os valores q no nstante t 0. Neste contexto Drac observa que q t 0 e q t podem ser consderados um auto-ket e um auto-bra do operador posção na descrção de Hesenberg e, como em qualquer nstante os auto-kets da posção na descrção de Hesenberg consttuem um conjunto completo, tem-se naturalmente dq q t q t = 1. (13) Além dsso, q t q q t q t 0 será solução da equação complexo-conjugada de Schrödnger nas varáves q t 0, o que mplca na relações com S t 0 = H c (q r, p r ) (14) p r = S. (15) E Drac conclu que a consequênca das equações de Hamlton-Jacob, (1) e (15), é que a função S, sua solução, é a ação da Mecânca Clássca no ntervalo [t 0, t], sto é, a ntegral da Lagrangana L, S = t t 0 L(t ) dt (16) ou seja a função S defnda pela eq. (9) é o análogo quântco da função ação clássca e gual a ela no lmte 0. Para obter o análogo quântco da Lagrangana clássca ele consdera ntervalos de tempo nfntesmas colocando t = t 0 +δt e obtém q t 0+δt q t 0 como o análogo de exp[l(t 0 ) δt ], o que segue da eq. (9). Na sequênca, Drac procura determnar a que corresponde na teora quântca o prncípo da ação mínma e propõe a relação { t } { exp L(t ) dt = exp S(t, t } 0) = B(t, t 0 ) t 0 (17) onde B(t, t 0 ) corresponde a q t q t 0 na teora quântca. Daí, supondo que o ntervalo [t 0, t] seja dvddo em um Revsta Braslera de Ensno de Físca, vol. 40, nº 4, e406, 018

4 e406-4 Feynman e as Integras de Trajetóra grande número de pequenos ntervalos de tempo t 0 t 1, t 1 t,..., t m 1 t m, t m t, escreve para B(t, t 0 ) B(t, t 0 ) = B(t, t m )B(t m, t m 1 )... B(t, t 1 )B(t 1, t 0 ) (18) que afrma, pelas propredades conhecdas dos vetores base q m (vde eq. (13)), corresponde a equação quântca q t q 0 = q t q m dq m q m q m 1 dq m 1 q q 1 dq 1 q 1 q 0 (19) onde, para smplfcar a notação, q k sgnfca q tk. Drac faz então uma análse das equações (18) e (19) realçando alguns pontos: () que se deve olhar cada fator em (18) como uma função dos q s nos dos pontos extremos do ntervalo de tempo a que ele se refere; () que, em consequênca, o lado dreto da equação (18) é uma função não somente de q t e q t 0 mas também de todos os q s nos nstantes ntermedáros; () a equação (18) é válda para os valores de q efetvos (trajetóra real) nos nstantes ntermedáros; (v) pequenas varações em torno dos valores efetvos, dexando S estaconára, pela equação (17) também dexarão B(t, t 0 ) estaconáro; (v) é o processo de substtução em (18), dos valores de q nos nstantes ntermedáros, que corresponde em (19) à ntegração em q naqueles nstantes. E conclu que: o análogo quântco do prncípo da ação encontra-se na le de composção dada em (19). O tema de obter uma descrção quântca próxma à descrção clássca, em que as coordenadas q de um sstema dnâmco tenham valores defndos em qualquer nstante t, é retomado por Drac ao dscutr o conceto de probabldade no artgo On the Analogy Between Classcal and Quantum Mechancs. Nesse artgo Drac consdera uma sequênca de nstantes t 1, t, t 3,..., tão próxmos quanto possível um do outro, e trata de como descrever formalmente a probabldade consderando os valores de q, determnados em cada nstante e pertencentes em cada nstante a pequenos ntervalos espacas; explca então que, desta forma, terá uma probabldade formal para a trajetóra do sstema, em mecânca quântca, permanecer dentro de certos lmtes. Especfcamente, Drac consdera três nstantes t 1, t, t 3 e que, em cada nstante t, haja uma representação cujos vetores báscos sejam q, q ( = 1,, 3). Sendo f(q 1, q, q 3 ) uma função geral das coordenadas nesses nstantes e χ um estado arbtráro, ele mostra que: χ f(q 1, q, q 3 ) χ = f(q 1, q, q 3) χ q 1 dq 1 q 1 q dq q q 3 dq 3 q 3 χ (0) onde q são os valores de q no nstante t, e a ntegração é na regão onde os valores de q na trajetóra podem varar. Observa-se da exposção de Drac que as bases para o desenvolvmento de uma formulação quântca em termos de trajetóras estão delneadas na equação (0) que se refere dretamente a trajetóras, e nas equações (17), (18) e (19) que buscam uma correspondênca com a ação clássca. Há necessdade, no entanto, de um detalhamento para completar tal formulação, o que fo realzado por Feynman em seu artgo Space-Tme Approach to Non- Relatvstc Quantum Mechancs [17]. 3. As Integras de Trajetóra de Feynman Nesta seção apresentaremos os dos postulados elaborados por Feynman como base da sua formulação e que de certa forma resumem os desenvolvmentos da seção anteror O prmero postulado Feynman nca o artgo Space-Tme Approach to Non- Relatvstc Quantum Mechancs [17] stuando o trabalho como consequênca de observações de Drac sobre a relação da ação clássca com a mecânca quântca. Estabelece então a busca de uma ampltude de probabldade assocada a trajetóras no espaço-tempo em lugar da ampltude de probabldade assocada à posção da partícula em um partcular nstante de tempo. Com esse objetvo, baseado nos trabalhos que apresentamos na seção Feynman dscute, por smplcdade, o caso undmensonal de uma partícula cuja posção q pode assumr város valores e supõe que tenha sdo realzada uma quantdade enorme de meddas sucessvas separadas por pequenos ntervalos de tempo ε: as meddas da coordenada q nos nstantes t 1, t,..., t, t +1,... são notadas por q 1, q,..., q, q +1..., respectvamente, o que, com ε = t +1 t defne, do ponto de vsta clássco, uma trajetóra q(t) no lmte ε 0. Na sequênca Feynman analsa resumdamente o processo de medda comparando as teoras clássca e quântca e ntroduz o que denomna medda deal ; com essa denomnação caracterza, em lnhas geras, a stuação em que não é realzada uma medda detalhada da trajetóra no sentdo de determnar efetvamente cada ponto mas é possível afrmar que a trajetóra encontra-se em uma regão R do espaço-tempo. Complementando, Feynman afrma que a probabldade que a partícula seja encontrada por uma medda deal na regão R é o quadrado de um número complexo ϕ(r) ; o número ϕ(r) é denomnado ampltude de probabldade para a regão R e dado por ϕ(r) = lm Φ(..., q, q +1,... )... dq dq (1) ε 0 R onde Φ(..., q, q +1,... ) é uma função das varáves q defnndo a trajetóra. Em consequênca, ele formula o que denomna de prmero postulado da teora: Se uma medda deal é realzada para determnar se uma partícula tem uma trajetóra em uma regão R do espaço-tempo, então a probabldade que o resultado seja postvo é o Revsta Braslera de Ensno de Físca, vol. 40, nº 4, e406, 018

5 Vana e406-5 módulo ao quadrado de uma soma de contrbuções, uma de cada trajetóra na regão. Após esse postulado, Feynman tece consderações sobre o sgnfcado dos termos uma de cada trajetóra e explca: () que uma trajetóra é defnda pelas posções q determnadas na sequênca de ntervalos de tempo ε = t +1 t e que todos os valores das coordenadas na regão R têm peso gual; () que o valor desse peso depende de ε e pode ser escolhdo de forma que a probabldade de um evento ocorrer com certeza seja a undade; () o lmte ε 0 deve ser consderado no fnal dos cálculos. Deve-se observar na equação (1) que, no lmte ε 0, a quantdade Φ depende da trajetóra como um todo sendo natural consderá-la um funconal das trajetóras q(t). 3.. O segundo postulado Como explca Feynman, enquanto o prmero postulado estabelece o esquema matemátco exgdo pela teora quântca para o cálculo de probabldades, o segundo postulado trata de calcular a mportante quantdade Φ para cada trajetóra. Dz esse postulado: As trajetóras contrbuem gualmente mas a fase de suas contrbuções é a ação clássca S[q(t)] (em undade de ).e., a ntegral no tempo da Lagrangana ao longo da trajetóra. E Feynman explca que a contrbução Φ[q(t)] de uma dada trajetóra q(t) é proporconal a exp{ S[q(t)]}, com S[q(t)] = L(q(t), q(t))dt, () onde a Lagrangana L(q(t), q(t)) pode ser uma função explícta do tempo. Comparando os dos postulados, Feynman aponta que para o prmero postulado é necessáro defnr uma trajetóra dando apenas a sucessão de pontos q pelos quas a trajetóra passa em nstantes sucessvos t. Já para calcular S[q(t)], que aparece no segundo postulado, é necessáro conhecer a trajetóra em todos os pontos e não apenas em q o que conduz a admtr que a função q(t) é a trajetóra seguda por uma partícula clássca com Lagrangana L e que, partndo de q em t, chega a q +1 em t +1. Esta hpótese, afrma Feynman, permte aplcar o segundo postulado a trajetóras descontínuas; o ponto observado é que, apesar das mudanças abruptas de velocdade nos nstantes t, não há dfculdade no cálculo da ação já que L depende no máxmo da prmera dervada de q(t); como a trajetóra clássca é aquela que torna a ação mínma, pode-se escrever: S = S(q +1, q ) (3) o que exge da mecânca clássca somente o conhecmento da Lagrangana. Feynman também observa que, na expressão (3), mesmo para ε fnto a soma é nfnta por causa da extensão nfnta do tempo; daí, para que os postulados tenham sgnfcado, deve-se restrngr o ntervalo de tempo a um valor fnto embora sufcentemente grande. Combnando os dos postulados e a relação (3) podese escrever para (1) [ ] ϕ(r) = lm exp S(q +1, q )... ε 0 R dq +1 A dq A... (5) onde o fator de normalzação está dvddo em fatores 1 A para cada nstante de tempo e a ntegração é sobre os valores q, q +1,... que estão na regão R. Conclundo a seção, Feynman afrma que a equação (5), a defnção (4) de S(q +1, q ) e a nterpretação físca de ϕ(r) completam a nova formulação da mecânca quântca. A generalzação para um sstema com k graus de lberdade é medata: neste caso temos q = (q (1), q (),..., q (k) ) e uma trajetóra será uma sequênca de confgurações, em nstantes sucessvos, descrta no nstante t por q = (q (1), q (),..., q (k) ), ou seja, o valor de cada uma das coordenadas q (k) em um dado nstante t. O símbolo dq sgnfca neste caso o elemento de volume no espaço de confgurações no nstante t. Comentando o conteúdo desta seção, apontaríamos que os postulados enuncados por Feynman consttuem na realdade uma síntese e sstematzação das deas desenvolvdas por Drac em suas exposções a respeto da possível analoga entre a teora clássca e a teora quântca; neste contexto, um dos fetos de Feynman é ndcar como realzar o cálculo completo de (5) o que elucdaremos na seção 4 e no Apêndce. Devemos também observar que Feynman em seu artgo, após apresentar os postulados, consderou com sua formulação o conceto de função de onda, a equação de Schrödnger, o lmte clássco e outros aspectos como a álgebra de operadores, equação de Newton e uma possível generalzação, tens que não abordaremos no presente artgo por estarem além do proposto. 4. Aplcação Para melhor acompanhar o desenvolvmento adotaremos uma notação de bras e kets explctando posção e tempo, ou seja, em lugar de q t q t 0 escreveremos q, t q, t 0, por exemplo, e para a relação de completeza dos autokets da posção, em lugar da equação (13), usaremos: dq q, t q, t = 1 (6) onde t+1 S(q +1, q ) = mn L(q(t), q(t)) dt (4) t Com esta notação, aplquemos a formulação das ntegras de trajetóra para calcular a ampltude de transção para um sstema (uma partícula) no espaço-tempo r do Revsta Braslera de Ensno de Físca, vol. 40, nº 4, e406, 018

6 e406-6 Feynman e as Integras de Trajetóra ponto ncal (q 1, t 1 ) ao ponto fnal (q N, t N ), consderados fxos. De acordo com o exposto nas seções anterores devemos dvdr o ntervalo t 1 t N em (N 1) partes guas a ε, dadas por: ε = t j+1 t j = t N t 1 (7) N 1 e explorando a propredade de completeza dos auto-kets, segue que q N, t N q 1, t 1 = q N, t N q N 1, t N 1 dq N 1 q N 1, t N 1 q N, t N dq N q N, t N... q, t dq q, t q 1, t 1 (8) Para o ntervalo de tempo t j t j+1 (j = 1,,... ) é precso determnar a ampltude de probabldade q j+1, t j+1 q j, t j e, pela expressão (8), ntegrar em q, q 3,..., q j,..., q N 1 o que corresponde a consderar todas as trajetóras no plano (q, t) com os extremos (q 1, t 1 ) e (q N, t N ) fxos, já que dq vara no nstante t entre os lmtes que defnem a regão R onde a partícula pode ser encontrada. Nota-se assm que, para determnar a ampltude de transção q N, t N q 1, t 1 faz-se necessáro consderar todas as possíves trajetóras, ou seja, mesmo aquelas que não têm qualquer semelhança com a trajetóra clássca. Como Drac apontou ao analsar o prncípo da ação mínma, sto consttu um aspecto fundamental na dferença entre as duas mecâncas uma vez que na mecânca clássca há uma trajetóra defnda no plano (q, t) que é obtda consderando a condção de extremo δ tn t 1 dt L(q, q) = 0. (9) Anda, de acordo com Drac (vde seção 3.), para ε = t j+1 t j, { } exp S(t j, ) = B(t j, ) corresponde a q j q j 1 com S(t j, ) = t j L(t ) dt. Segue, portanto, de (8) que a contrbução de uma trajetóra defnda será N exp S(t j, ) ou, na notação de Feynman: N exp S(q j, q j 1 ) N S(t j, ) = exp = exp S(t N, t 1 ) N S(q j, q j 1 ) = exp = exp S(q N, q 1 ) Agora, para determnar q N, t N q 1, t 1, pelas seções e 3 deve-se consderar todas as trajetóras e, pelo segundo postulado de Feynman, tem-se: dqn 1 dqn ε 0 q N, t N q 1, t 1 = lm A dq A exp A N S(q j, q j 1 ) (30) ou seja: q j, t j q j 1, = 1 A(ε) exp S(q j, q j 1 ) com S(q j, q j 1 ) = tj (31) L(q(t), q(t)) dt (3) com L a Lagrangana clássca e o fator de normalzação dependente somente do ntervalo de tempo ε = t j e não do potencal. Para elucdar a aplcação de (31), (3) e a determnação de A(ε), seja o caso de uma partícula cuja Lagrangana é L(q, q) = m q V (q). Consderando o ntervalo de tempo ε bem pequeno, pode-se tomar a trajetóra entre dos nstantes sucessvos como uma lnha reta o que, da expressão S(q j, q j 1 ) = m q dt V (q), tj escrevendo q = qj qj 1 ε, resulta em tj S(q j, q j 1 ) = dt m ( ) qj q tj j 1 dt V (q) ε { ( ) ( ) } m qj q j 1 qj + q j 1 = ε V ε Em partcular, para o caso de uma partícula lvre, V (q) = 0 e tem-se, de (31) [ q j, t j q j 1, = 1 ( ) ] A(ε) exp εm qj q j 1 ε = 1 [ A(ε) exp m(qj q j 1 ) ] (33) ε o que possblta determnar o fator A(ε); de fato, como o mesmo ndepende do potencal e os kets satsfazem a relação: q j, t j q j 1, tj= = δ(q j q j 1 ), (34) usando para a função δ a expressão: δ(q q 1 ) = lm exp [ (q q ) ] 0 (π ) 1 (35) Revsta Braslera de Ensno de Físca, vol. 40, nº 4, e406, 018

7 Vana e406-7 obtém-se, de (33), (34) e (35), que: 1 m A(ε) = πε. Assm, para ε 0, segue pelo postulado de Feynman que m q j, t j q j 1, = πε exp S(q j, q j 1 ) (36) e, para a ampltude de transção q N, t N q 1, t 1, com t N t 1, fnto, ( 1 q N, t N q 1, t 1 = lm ε 0 A(ε) N dq ) (N 1) exp dq N 1 S(q j, q j 1 ) dq N (37) com 1 A(ε) = m πε, e os pontos do espaço-tempo (q N, t N ) e (q 1, t 1 ) fxos. A expressão (37) é usualmente escrta como: qn { } q N, t N q 1, t 1 = D[q(t)] exp q 1 S[q(t)] qn { tn } = D[q(t)] exp L c (q, q) dt q 1 t 1 (38) e denomnada Integral de Trajetóra de Feynman. Na equação (38) tem-se a expressão: qn q 1 ( m ) (N 1) D[q(t)] = lm dq N 1 ε 0 πε dq N dq (39) defnndo uma nova medda no sentdo matemátco e sgnfcando ntegrar sobre todas as trajetóras ndo do ponto (q 1, t 1 ) ao ponto (q N, t N ) fxos, t N t 1 fnto. Um fato a observar é que, de q, t q, t 0 com q, t 0 e q, t auto-ket e auto-bra do operador posção na descrção de Hesenberg, tem-se q, t q, t 0 = q e Ht e Ht0 q = q e H(t t0) q que é uma das expressões do propagador K(q, t; q, t 0 ). Assm alguns autores [1] ao dscutr o método de Feynman dão ênfase ao cálculo do propagador e suas propredades. No presente volume da RBEF, o conceto de propagador aparece nos trabalhos de Pletez e Agular A formulação de Feynman e a equação de Schrödnger Para analsar a equvalênca da formulação de Feynman com a formulação de Schrödnger, busca-se mostrar que a expansão de Feynman para q N, t N q 1, t 1 satsfaz a equação de Schrödnger dependente do tempo com relação às varáves q N e t N. Com esse objetvo é usual consderar a relação q N, t N q 1, t 1 = q N, t N q N 1, t N 1 dq N 1 q N 1, t N 1 q 1, t 1 que, com a Lagrangana L(q, q) = m q V (q) e a expressão de Feynman (36) para o bra-ket q N, t N q N 1, t N 1, nos dá: + m q N, t N q 1, t 1 = dq N 1 exp [( m πε ) (qn q N 1 ) q N 1, t N 1 q 1, t 1 ε εv Fazendo a mudança de varável η = q N q N 1 e supondo q N q e t N t + ε, segue que m + q, t + ε q 1, t 1 = dη πε ( mη exp ε ε m V ] ) q η, t q 1, t 1 (40) ( ) O fator exp mη ε oscla de forma muto rápda com η uma vez que ε é nfntesmal e é uma constante pequena. Quando uma função que oscla rapdamente multplca uma função bem comportada como o braket q η, t q 1, t 1 a ntegral tende a se anular devdo à varação aleatóra da fase da exponencal. Daí a contrbução efetva vem da regão onde a fase é estaconára; no presente caso é o ponto η = 0, sendo justfcável expandr q η, t q 1, t 1 em potêncas de η. Também é justfcável expandr q, t + ε q 1, t 1 e exp ( ) εv m em potêncas de ε, o que resulta em: q, t q 1, t 1 + ε t q, t q 1, t 1 = ( mη exp ε [ q, t q 1, t 1 + η m πε ) ( 1 V ε ) dη q q, t q 1, t ] (41) já que o termo lnear η é nulo quando ntegrado. Por outro lado + ( ) mη πε dη exp = ε m e + ( ) mη dη η exp = π ε ( ) 3 ε m Revsta Braslera de Ensno de Físca, vol. 40, nº 4, e406, 018

8 e406-8 Feynman e as Integras de Trajetóra o que nos dá, substtundo esses valores na relação (41) e mantendo os termos lneares em ε, a equação ε m ( ) ( ) 3 t q, t q ε 1, t 1 = π πε m 1 q q, t q 1, t 1 ( ) εv q, t q 1, t 1 ou anda ( ) t q, t q 1, t 1 = m q q, t q 1, t 1 + V q, t q 1, t 1 que é a equação de Schrödnger dependente do tempo. Conclundo essa seção frsaríamos, com as ref. [1, 3, 7], quatro pontos: () a defnção do fator de normalzação A(ε) não é um problema fácl e não se sabe como resolvê-lo em termos geras. O fator que aparece na equação (36) normalza a ampltude de transção, tem um valor prátco e com esse valor o lmte da equação (37) exste; () a soma sobre todas as trajetóras, necessára para determnar a ampltude de transção ϕ(b, a) entre dos pontos espaço-temporas (a, t a ) e (b, t b ), é outro conceto que anda merece análse cudadosa do ponto de vsta matemátco. Na realdade há dferentes formas de se defnr um subconjunto de trajetóras entre dos pontos fxos; a defnção a ser usada deve ser a melhor dentro de certos propóstos matemátcos. Mutos textos usam uma notação geral escrevendo como ndcado na equação (38) b { } ϕ(b, a) = exp S[b, a] D[q(t)] a com D[q(t)] representando a medda de ntegração adequada ou, como dzem alguns autores, o desconhecmento da natureza precsa da medda de ntegração. Trabalhos sobre a medda de ntegração podem ser encontrados nas ref. [1,6]; () a ntegral de ação, base de todo o desenvolvmento, aparece nas duas mecâncas mas de forma dferente: na mecânca clássca o que nteressa é a forma da ntegral de ação S = t b t a L(q, q, t) dt e sua varação. Já na teora quântca, tanto a forma da ntegral quanto o valor de seu extremo são de nteresse; (v) um aspecto mportante é como são compostos eventos em sucessão. Para compreender essa composção, deve-se lembrar que, se entre t a e t b houver um nstante ntermedáro t c, a ação ao longo de qualquer trajetóra entre a e b é dada por S[b, a] = S[b, c] + S[c, a] e em consequênca teremos para a ampltude de transção { ϕ(b, a) = exp S[b, c] + } S[c, b] D[q(t)], expressão que exprme o fato que é possível consderar uma trajetóra de a a b dvdda em duas partes,.e. de q a a q c e de q c a q b, sendo possível somar sobre todas as trajetóras de a para c e de c para b. Tem-se então, após efetuada a soma sobre todas as trajetóras de a a c, ϕ(b, a) = q c b c { } exp S[b, c] ϕ(c, a)d[q(t)] dq c e somando sobre as trajetóras de c a b, ϕ(b, a) = ϕ(b, c)ϕ(c, a) dq c (4) q c ou seja, as ampltudes para os eventos que ocorrem em sucessão se multplcam de acordo com a eq. (4). 5. Consderações fnas Neste trabalho, vsando preencher uma possível lacuna na lteratura, apresentamos uma breve revsão sobre pontos consderados báscos, para o desenvolvmento realzado por Feynman, do método de ntegras de trajetóra. Introduzmos com vsão pedagógca o estudo de Drac sobre analogas entre as mecâncas clássca e quântca. A relação entre o desenvolvmento de Drac e os postulados apresentados por Feynman é então apontada. Através de um exemplo conhecdo e smples, procuramos elucdar o método das ntegras de trajetóra e sua relação com a equação de Schrödnger dependente do tempo. No Apêndce procuramos resumr os passos a segur na aplcação do método das ntegras de trajetóra. Agradecmentos O autor agradece a Dra M. Graças R. Martns pela letura crítca e sugestões, a Dr. Marco C. B. Fernandes pelas sugestões e ndcação de referêncas, a Dr. Vcente Pletez por comentáro, ao Pedro D. Matos Perera pela dgtação e aos edtores Slvo R. A. Salns e Nelson Studart pelo convte para partcpar deste número da RBEF comemoratvo do centenáro de R. P. Feynman. Materal Suplementar O segunte materal suplementar está dsponível onlne: Apêndce Referêncas [1] A. Messah, Quantum Mechancs (North-Holland Publs Comp, Amsterdan, 1973). [] L. Landau e E. Lfchtz, Mécanque Quantque (Edtons MIR, Moscou, 1966). [3] R. P. Feynman, Scence 15, 699 (1966). [4] E. Schrödnger, Collected Papers of Wave Mechancs (AMS Chelsea Publs, Provdence, Island, 198). [5] W. Hesenberg, The Physcal Prncples of the Quantum Theory (Dover, New York, 1950). Revsta Braslera de Ensno de Físca, vol. 40, nº 4, e406, 018

9 Vana e406-9 [6] P.A.M. Drac The Prncples of Quantum Mechancs (Oxford Unversty Press, New York, 1947). [7] J. von Neumann, Mathematcal Foundatons of Quantum Mechancs (Prnceton Unversty Press, New Jersey, 1955). [8] W.A. Fedak and J.J. Prents, Am. J. Phys. 77, 19 (004). [9] Y-S Km and M.E. Noz, Phase Space Pcture of Quantum Mechancs: Group Theoretcal Approach (World Scentfc, Sngapore, 1991). [10] J.E. Moyal Math. Proc. Comb. Phlos. Soc. 45, 99 (1949). [11] E.P. Wgner, Phys. Rev. 40, 749 (193). [1] R.G.G. Amorm, M.C.B. Fernandes, A.R. Queroz, A.E. Santana and J.D.M. Vanna, Rev. Bras. Ens. Fs. 35, 3604 (013). [13] H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechancs (Dover, New York, 1931) [14] M.D. Olvera, M.C.B. Fernandes, F.C. Khanna, A.E. Santana and J.D.M. Vanna, Annals of Physcs 31, 49 (004). [15] T. Curtrght, D. Farle and C. Zachos, Phys. Rev. D 58, 0500 (1998). [16] P. Campos, M.G.R. Martns and J.D.M. Vanna, Phys. Lett. A 381, 119 (017). [17] R.P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 0, 367 (1948). [18] R.P. Feynman and A. Hbbs, Quantum Mechancs and Path Integrals (McGraw-Hll, New York, 1965). [19] J. Znn-Justn, Path Integrals n Quantum Mechancs (Oxford Unversty Pres, London, 004). [0] G. Roepstorff, Path Integral Approach to Quantum Physcs (Sprnger-Verlag, Berlm, 1996). [1] H.M. Nussenzweg, Integras de Trajetóra Curso Mnstrado na I Escola de Verão de Partículas e Campos (1981) [] U. Mosel, Path Integrals n Feld Theory: An Introducton (Sprnger-Verlag, Berlm, 004). [3] A.F.Rodrgues, A Integral de Feynman n: VIII Escola do CBPF (010). [4] A. Wpf, Path Integrals n Quantum and Statstcal Mechancs (Sprnger-Verlag, Berlm, 013). [5] H. Klenert, Path Integrals n Quantum Mechancs, Statstcs, Polymer Physcs and Fnancal Markets (World Scentfc, Sngapore, 006). [6] L.S. Schulman, Technques and Applcatons of Path Integrals (John Wley & Sons, New York, 1981). [7] K.C. Mundm, Métodos de Integras de Trajetóra e Sstemas Pseudo-Clásscos Não Relatvístcos. Dssertação de Mestrado, UnB, 198. [8] C. Grosche and F. Stener, Handbook of Feynman Path Integrals (John Wley & Sons, New York, 1981). [9] F.A. Berezn, The Method of Second Quantzaton (Academc Press, New York, 1966). [30] S. Coleman, The Uses of Instantons n: Internatonal School of Subnuclear Physcs Ettore Majorana (1977). [31] P.A.M. Drac, On the Analogy Between Classcal and Quantum Mechancs, Rev. Mod. Phys. 17, 195 (1945). [3] J.J. Sakura, Modern Quantum Mechancs (Addson- Wesley Publs Comp, New York, 1994). Revsta Braslera de Ensno de Físca, vol. 40, nº 4, e406, 018