2 Revisão Teórica: Métodos de volatilidades e covariâncias

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1 5 evisão eórica: Méodos de volailidades e covariâncias Nesa seção serão brevemene discuidos os méodos uilizados nese rabalho para a esimação de variâncias e covariâncias. Esa seção enconra-se subdividida em rês famílias de méodos: meodologia do iskmerics, modelos da família GACH e modelos de volailidade realizada... Meodologia do iskmerics (J.P. Morgan (997)) Uma primeira enaiva para a esimação de variâncias e covariâncias seria aravés de uma janela móvel, onde nesa janela os esimadores radicionais de variâncias e covariâncias seriam uilizados. Volailidades e covariâncias no dia seriam enão esimadas por: (3) i, ri, e ij, ri,rj, n n n n onde: r i e r j represenam os reornos (logarímicos) de dois aivos, i, a variância do aivo i no dia, ij, a covariância enre os reornos dos aivos i e j no dia e n é o amanho da janela. Esses esimadores são não-viesados e consisenes em se raando de variâncias e covariâncias incondicionais. No enano, não fica claro sobre quais hipóeses eses esimadores seriam não-viesados e consisenes em se raando de variâncias e covariâncias condicionais, o real objeo de esudo. Em especial, noe que odas as observações recebem o mesmo peso nese ipo de esimador e, apenas um reorno aberrane, irá maner as volailidades e covariâncias alas por um período de exaamene n dias, embora a volailidade do Conforme ressala Alexander (998), não exise evidência empírica de que o fao de assumir média zero para o reorno degrada a qualidade das variâncias e covariâncias esimadas.

2 6 aivo já possa er reornado para níveis normais há algum empo. Uma forma naural de corrigir ese problema seria aravés da aribuição de pesos maiores para os dias mais recenes, como nas equações abaixo: i, λ ri, λ ri,rj, n n e ij, -- λ n λ n, (4) onde λ é um parâmero que deerminará o peso das observações recenes em relação as observações mais anigas (quano menor λ maior o peso das observações recenes). A inrodução do faor de decaimeno λ permie não somene que reornos aberranes enham seu efeio sobre a volailidade diminuindo de forma gradaiva, como ambém permie maior velocidade de reação de volailidades e covariâncias a choques no mercado. Esa meodologia represenada pelas equações em (4) foi defendida pelo banco J.P.Morgan (997) no seu influene manual do iskmerics e, devido ao decaimeno exponencial nos pesos aribuídos as observações aneriores, ficou conhecida como EWMA, sigla do ermo em inglês Exponenial Weighed Moving Average. A uilização do méodo EWMA difundiu-se largamene, em pare devido a sua simplicidade e em pare devido aos bons resulados obidos por esa meodologia em comparação com as demais, e por isso servirá como benchmark nese rabalho. Para a uilização dese méodo será uilizado o valor de 0.94 para λ, conforme sugerido no manual do iskmerics 3 e, quano ao amanho da janela n, serão uilizadas as equações presenes em (4) quando n ende ao infinio 4 : Para comparações enre diferenes méodos de exração de volailidades e correlações veja, por exemplo, Lopez e Waler (00), Lund e Hansen (00) e Pagan e Schwer (990). 3 Considere λ i o valor do faor de decaimeno que minimiza o erro quadráico médio de previsão da variância da série i. O faor óimo de decaimeno é obido aravés da uilização de uma média ponderada dos λ i, uilizando-se um conjuno de 480 séries emporais de aivos americanos. Ver J.P.Morgan (997). Opou-se nese rabalho por não se uilizar ais méodos de oimização do parâmero λ uma vez que, conforme já ressalado, o méodo EWMA é uilizado apenas como benchmark para os demais méodos. 4 Exisem duas moivações para se uilizar n endendo ao infinio: a primeira devido a consaação empírica de que as volailidades e covariâncias possuem memória muio longa (veja Ding, Granger e Engle (993)) e a segunda, de menor imporância, devido a facilidade compuacional da fórmula recursiva em (6).

3 7 ( λ) λ ri, e ij, ( λ ri, rj,, λ) (5) i As equações em (5) podem ser reescrias na forma recursiva como: i, ( λ)ri, + λ i, e ij, ( λ)ri, rj, + λ ij, (6) Garane-se que as marizes de covariância condicionais obidas desa forma são posiivas definidas uma vez que se uilizou o mesmo valor de λ para odas as séries (ver J.P.Morgan (997))... Modelos da Família GACH Desde os seminais arigos de Engle(98) e Bollerslev(986) os modelos da família GACH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) difundiram-se como uma meodologia simples e flexível para a esimação e previsão de volailidades. Em paricular, o modelo mais parcimonioso GACH(,) foi amplamene uilizado na modelagem de variâncias de séries financeiras: r (7) i, i,ε i, ω + αr + βi, (8) onde: r i, é o reorno do aivo i no insane 5, é o desvio-padrão do aivo i no i, insane, ε é um ruído branco (geralmene supõe-se que ε é Gaussiano) e ω,α e β são parâmeros. Nese modelo, impõe-se que os parâmeros α e β sejam posiivos e que o parâmero ω seja esriamene posiivo. As condições de posiividade dos

4 8 parâmeros garanem que as variâncias condicionais ambém sejam posiivas e ω deve ser esriamene posiivo para garanir que o processo para r i, não degenere quando. Além disso, se α + β <, a variância incondicional de r i, é finia e o processo é esacionário de a ordem. E mais, no caso de ε Gaussiano, Nelson r i, (990) mosra que é esriamene esacionário mesmo quando α e β somam Ou seja, quando α + β, o processo GACH (,) é esriamene esacionário, embora sua variância incondicional não seja finia (noe que o EWMA é um caso paricular do GACH (,) quando ω0 e α + β ). A esruura para a variância condicional do GACH (,) (equação (8)) permie que o modelo capure o já ciado fao esilizado da exisência de clusering de volailidades, além de possibiliar a geração de disribuições lepocúricas para as séries de reornos dos aivos. Ese excesso de curose pode ser obido de duas diferenes formas: primeiramene devido a esruura dinâmica da variância condicional e, além disso, direamene aravés da aribuição de disribuições com caudas grossas para ε 7. No enano, séries de reornos financeiros são ambém caracerizadas por ouros faos esilizados, como uma auocorrelação de a ordem nos quadrados dos reornos baixa, mas com ala persisência para as defasagens seguines 8. E nese quesio, como ressalam eräsvira (996) e Carnero, Peña e uiz (00), os modelos GACH não são suficienemene robusos, sendo incapazes de acomodar simulaneamene os valores ípicos de excesso de curose e de auocorrelação nos quadrados dos reornos presenes em séries financeiras (mesmo quando ε possui uma disribuição de cauda grossa como uma de suden). Se por um lado o modelo GACH (,) não consegue capurar compleamene as regularidades empíricas de séries financeiras descrias acima, por ouro lado inúmeras exensões já foram desenvolvidas para capurar ouros faos esilizados como o efeio assimérico de choques posiivos e negaivos sobre 6. 5 A equação para a média condicional do reorno como em (7) pode ambém coner variáveis explicaivas, no enano, al práica não é comum em séries financeiras. 6 Nelson (990) mosra que o GACH (,) é esacionário desde que E[log( β + αε )], condição esa que no caso de ε Gaussiano é saisfeia mesmo quando α + β. 7 Para modelos GACH com disribuições condicionais com caudas grossas veja Engle e Gonzalez-ivera (99) e Hansen (994). <

5 9 a variância ou aé mesmo mudanças de regime nas volailidades 9. Porém, e mais imporane, no que ange ao progresso da modelagem univariada em direção a uma abordagem mulivariada, os avanços foram de cera forma mais discreos. E foram mais discreos não somene devido ao agravameno das dificuldades na hora de capurar regularidades empíricas de volailidades em conjuno com covariâncias, mas principalmene graças a problemas de ordem compuacional. Para ornar a discussão mais clara considere uma exensão naural do modelo GACH(,) para um conexo de dois aivos, onde se modela a variância de cada um dos aivos e a covariância enre eles: i, ω + αri, + αrj, + α3ri, rj, + βi, + β j, + β3ij, (9) j, ω + α4ri, + α5rj, + α6ri, rj, + β4i, + β5 j, + β6ij, (0) ij, ω + α β () 3 7ri, + α8rj, + α9ri, rj, + β7i, + β8 j, + 9 ij, O modelo represenado pelas equações (9), (0) e () foi denominado vech e apresenado em Engle e Kroner (993). A primeira dificuldade práica evidene é proveniene do elevado número de parâmeros: emos parâmeros a serem esimados em um modelo com apenas dois aivos e, por exemplo, já com 5 aivos são 465 os parâmeros a serem esimados. Como esses modelos são usualmene esimados por máxima verossimilhança, os problemas são comuns nas roinas numéricas de oimização e, com um número um pouco maior de aivos orna-se praicamene inviável. O segundo problema práico advém das dificuldades de se impor e verificar resrições sobre os parâmeros que garanam que a mariz de covariância seja quase ceramene posiiva definida. Ouras formulações para os modelos GACH mulivariados foram desenvolvidas, formulações esas que resringiam o espaço dos parâmeros de forma a diminuir a sua dimensionalidade e, além disso, simplificar as condições para a geração de marizes de covariância posiivas definidas. Exemplos desas formulações são o modelo BEKK de Engle e Kroner (993) e o modelo vech 8 Ver Loudon, Wa e Yadav (000).

6 0 diagonal de Bollerslev, Engle e Wooldridge (988). No enano, mesmo eses modelos sofrem de dificuldades operacionais em um ambiene com um grande número de aivos, como usualmene é relevane na práica. Dada esas resrições serão uilizados nese rabalho dois modelos mulivariados da família GACH que possuem uma caracerísica em comum: a esimação do modelo mulivariado é quebrada em uma série de esimações univariadas. ais modelos são o Consan Correlaion GACH de Bollerslev (990) e o GACH Orogonal de Alexander (000) Consan Correlaion GACH (Bollerslev (990)) No Consan Correlaion GACH (CCO) as covariâncias condicionais são paramerizadas para serem proporcionais aos respecivos desvios-padrão, resringindo assim o número de parâmeros e a carga compuacional necessária para a esimação. Além diso, al paramerização, facilia a imposição de condições para a geração de marizes de covariância quase ceramene posiivas definidas. Para ornar a discussão mais precisa suponha um ambiene com N aivos. Enão, aravés da hipóese de correlação condicional consane (ou equivalenemene, covariâncias condicionais proporcionais aos respecivos desvios-padrão), o modelo CCO pode ser escrio como: r () i, i,ε i, i i i, i i, ω + α r + β i,..., N (3) ij, ( i, j, ) i j ρ (4) ij ou, as equações (3) e (4) podem ser escrias na forma maricial como: 9 Para uma revisão veja Bollerslev, Engle e Nelson (994). 0 Noe que como serão uilizados nese rabalho apenas 5 aivos, modelos como o BEKK são viáveis. No enano, opou-se por rabalhar apenas com o Consan Correlaion GACH e o

7 H D Γ D (5) onde: ρ ij é a correlação condicional enre os aivos i e j que é suposa consane ao longo do empo, H é a mariz de covariância condicional em, D é uma mariz diagonal cujos elemenos são os desvios-padrão condicionais ( ) e Γ é uma mariz com elemeno ípico ρ ij. O número de parâmeros a serem esimados diminui significaivamene (por exemplo, quando N igual a são apenas 7 parâmeros a serem esimados em conraposição ao modelo vech que oaliza parâmeros) e, mais imporane, com a hipóese de reornos disribuídos de acordo com uma disribuição normal mulivariada, a esimação do modelo mulivariado é quebrada em várias esimações univariadas: esimam-se primeiramene os modelos GACH(,) univariados em (3) obendo-se os resíduos ε i,, de posse deses resíduos calculam-se as suas correlações incondicionais que serão as esimações das correlações condicionais ρij e, por úlimo, aravés da equação (4) recuperam-se as covariâncias condicionais. Além disso, da equação (5), verifica-se que a mariz de covariância será posiiva definida se, e somene se, a mariz Γ for posiiva definida, mas esa condição é quase ceramene garanida, dado que os elemenos de Γ são por consrução as correlações incondicionais dos resíduos. Apesar das vanagens compuacionais, obviamene a validade da hipóese de correlações condicionais consanes é uma quesão empírica, que pode ser inadequada em alguns casos. Para um ese formal desa hipóese veja Bera e oh (99). i,... GACH Orogonal (Alexander (000)) Uma oura possibilidade para conornar o excessivo número de parâmeros envolvidos em modelos GACH mulivariados seria aravés do uso de faores que seriam responsáveis pelos movimenos de oda mariz de covariância. al abordagem ficou conhecida como facor GACH e foi inroduzida por Engle, Ng GACH Orogonal, devido a efeiva possibilidade de uilização deses modelos em um conexo de dimensionalidade muio maior do que a presene.

8 e ohschild (990), que uilizaram o reorno de mercado como faor que origina os movimenos de oda a mariz de covariância. O modelo GACH Orogonal de Alexander (000) insere-se nese conexo de modelos facor GACH, endo como idéia principal o uso de faores orogonais que noreiam os movimenos da mariz de covariância. Eses faores são obidos aravés do uso da meodologia de componenes principais e, por serem orogonais, podem ser modelados individualmene aravés de modelos GACH univariados. Sejam n aivos cada qual com observações e considere os reornos (logarímicos) deses aivos armazenados na mariz ( x n). Enão a mariz de componenes principais P ( x n) é definida como: P W (6) onde: W (n x n) é a mariz de auoveores de e como al é uma mariz oronormal. É imediao modelar as variações da mariz de reornos originais a parir de variações da mariz de componenes principais P : - P W, pois W W (W é oronormal) (7) A represenação da mariz de reornos a parir da equação (7) é vanajosa, pois a mariz de componenes principais é uma mariz orogonal. Desa forma, a mariz de covariância dos reornos pode ser escria aravés da mariz de pesos W e da mariz de covariância de P, que por ser uma mariz orogonal, envolve apenas a modelagem de variâncias de forma univariada: Var( ) Var(P W ) W Var(P )W W D W (8) Para verificar que a mariz P é orogonal para da radicional fórmula de diagonalização de marizes siméricas: W Λ W W W Λ, onde Λ é a mariz de auovalore s de. Logo, P, pois W é oronormal. P W W W W Λ Λ Na práica, conforme ressala Alexander (000), a mariz de pesos W não varia muio ao longo do empo, podendo ser considera como consane e diminuindo ainda mais a carga compuacional.

9 3 onde D é uma mariz diagonal conendo as variâncias em da mariz de componenes principais P. Em ouras palavras, a mariz de covariância dos reornos esá sendo modelada a parir dos faores represenados pelas colunas da mariz de componenes principais P. Como ais faores são orogonais, para a esimação de suas marizes de covariância são necessários apenas méodos univariados da família GACH 3. A parir desa esimação das variâncias condicionais dos faores, reorna-se para a esimação de variâncias e covariâncias de oda a mariz de reornos, aravés da uilização da equação (8). O GACH Orogonal obém simplicidade compuacional ao reduzir a esimação mulivariada em uma série de esimações univariadas e, além disso, conorna o problema de geração de marizes de covariância posiivas definidas (como D é uma mariz diagonal com elemenos posiivos, por (8) resula que Var( ) será uma mariz posiiva definida). No enano, assim como os demais modelos GACH mulivariados, é baseado em algumas hipóeses simplificadoras: assumir em (8) que a mariz de covariância condicional dos componenes principais é uma mariz diagonal, consiui-se em uma hipóese, pois por consrução, os componenes principais são apenas incondicionalmene não correlacionados..3. Volailidade ealizada (Anderson e al. (003)) A meodologia de volailidade realizada é compuacionalmene rivial e possui um mecanismo direo: esimam-se as volailidades (covariâncias) diárias aravés da soma de reornos ao quadrado inradiários (produo cruzado dos reornos inradiários). Apesar da simplicidade, raa-se de um esimador nãoparamérico que dispensa uma dinâmica específica sobre a mariz de covariância (como, por exemplo, a dinâmica em (6)), e mais imporane, sob condições gerais, raa-se de um esimador não-viesado e consisene de volailidades e covariâncias. 3 Nese rabalho serão uilizados dois méodos univariados para a esimação de variâncias das componenes principais: o GACH (,) e o GACH Exponencial (EGACH) de Nelson (99). Quando o GACH(,) for uilizado em P, será manido o nome da meodologia desa seção em GACH Orogonal (OGACH), mas quando o EGACH for uilizado em P, a meodologia desa seção será denominada EGACH Orogonal (OEGACH).

10 4 Baseado em Oomen (00) será apresenado um modelo simples em empo discreo que possui duplo propósio: fixar a inuição e demonsrar as dificuldades práicas relacionadas a implemenação do esimador de volailidade realizada. Para uma versão em empo conínuo onde é suposo que o processo de preços segue um semi-maringal especial (se o processo de preços não admie arbiragem ele enconra-se nesa classe) veja Anderson, Bollerslev, Diebold e Labys (003). 4 Seja o reorno (logarímico) do aivo i no dia D e [, D,D,,D,..., N,D] o veor de reornos dos N aivos no dia D. Será suposo que o veor de reornos pode ser caracerizado por: D Σ ~ MVN(0, Σ D M,D N,D D ),D L N,D (9) O M L N,D onde: MVN(0, ΣD) indica a disribuição normal mulivariada de veor de média nulo e mariz de covariância. Σ D Um primeiro esimador para variâncias e covariâncias diárias comumene uilizado na lieraura consise simplesmene em uilizar o reorno diário ao quadrado como um esimador da variância diária e o produo dos reornos diários como um esimador das covariâncias diárias. Apesar de não-viesado, al esimador apresena claramene muio ruído, por uilizar apenas um dado para a esimação: E( E( ) j,d ) e Var( ij, e Var( ) 4 j,d ) ij,d + j,d (0) O ruído inerene ao esimador acima poderia ser conornado aravés da uilização das informações conidas em dados inradiários. Para ano, seguindo o modelo delineado para os reornos diários, considere m reornos inradiário r i, espaçados igualmene ao longo do dia (para simplificar a noação normalize o amanho de um dia para ): 4 Para eviar considerações sobre a média que complicariam a noação e não alerariam a essência da discussão abaixo, considere o reorno como o reorno em excesso.

11 5 r ~ MVN(0, Σ ), r [r,, r,,...,r N, ] /m, /m,..., Σ M, N,, L O M L N, N, () Com a suposição que os reornos inradiários são emporalmene descorrelaados, e dado que o reorno diário é a soma dos reornos inradiários (lembre-se que os reornos são logarímicos), é direo ober as seguines relações que ligam variâncias e covariâncias diárias a variâncias e covariâncias inradiárias: i, D ri, i, e ij,d ij, /m /m /m () Da expressão () vemos que a variância diária é a soma das variâncias inradiárias e, de forma similar, a covariância diária é a soma das covariâncias inradiárias. Cada variância inradiária poderia ser esimada aravés do respecivo reorno inradiário ao quadrado e enão oberíamos o seguine esimador para a variância diária: r i, / m. Analogamene cada covariância inradiária poderia ser esimada pelo produo dos respecivos produos inradiários e o esimador da covariância diária seria dado por r i r, / m j,. A eses esimadores aribuiu-se o nome de esimadores de volailidade realizada. Dado que os reornos inradiários são emporalmene não correlacionados, o esimador de volailidade realizada será não-viesado. A demonsração é imediaa: /m ri, ri, + ri, r (3) i, /m /m /m + /m i, D i, /m E( ) E( r ), dado que os reornos são emporalmene não correlacionados.

12 6 (a demonsração é análoga para o caso da covariância, sendo que enquano na variância é necessária a hipóese de que o reorno inradiário do aivo i em um insane do empo é não correlacionado com os reornos inradiários do aivo i em ouros insanes, na covariância usa-se que o reorno do aivo i é não correlacionado com os reornos dos aivos j i em ouros insanes do empo). Apresenam-se enão dois esimadores não-endenciosos para variâncias diárias, a saber, o quadrado do reorno diário e a soma dos quadrados dos reornos inradiários. Da mesma forma, apresenam-se dois esimadores para covariâncias diárias: o produo dos reornos diários e a soma dos produos dos reornos inradiários. No enano, ao explorar a informação conida nos dados inradiários, o esimador de volailidade realizada consegue diminuir o ruído da esimação. Veja o caso da esimação das variâncias: 4 r ( ) ( i, i, < i, i, D Var i, D / m / m / m Var ) (4) A inuição para o resulado acima é a seguine: o esimador de volailidade realizada obém a variância diária aravés da esimação de cada variância inradiária pelo respecivo reorno inradiário ao quadrado e cada uma desas esimações possui ruído, no enano, como eses esimadores são independenes, eses ruídos enderão a se cancelar. No limie, quando o número de reornos inradiários m, não exisiria mais ruído na esimação da variância e o esimador de volailidade realizada seria consisene. Para fixar idéias denro do conexo desa seção 5 suponha que as variâncias e covariâncias inradiárias são proporcionais às variâncias e covariâncias diárias, ou seja: i, D ij, D i, e m ij, (5) m Enão eríamos o seguine: 5 Para uma demonsração formal da consisência do esimador de volailidade realizada veja Anderson, Bollerslen, Diebold e Labys (003)

13 7 Var Var /m ri, r r i, j, /m /m /m 4 i, ij, + 4 /m m i, j, ij,d + m j,d m (6) E quando m, as variâncias dos esimadores de volailidade realizada iriam a zero, ou seja, os esimadores seriam consisenes em erro quadráico médio. O esimador de volailidade realizada apresena-se enão como um esimador não-viesado de variâncias e covariâncias e, eoricamene, na medida que reornos inradiários fossem amosrados em freqüências cada vez maiores, variâncias e covariâncias poderiam ser esimadas com um grau de precisão arbirariamene grande 6. No enano, na práica exise um rade-off enre eficiência e viés ao se deerminar a freqüência de amosragem dos reornos. Enquano amosragens em freqüências maiores ornam o esimador mais eficiene, elas ao mesmo empo inroduzem viés. A origem do viés fica clara aravés da equação (3). Quando os reornos inradiários são correlacionados, o segundo ermo da direia da equação não é zero em esperança e, conseqüenemene, o esimador de volailidade realizada ornase endencioso. Se o ermo /m r r i, i, /m + /m for ipicamene negaivo, o esimador enderá a superesimar a volailidade do reorno diário. Apesar de que no conexo de mercados eficienes possa parecer surpreendene que os reornos inradiários sejam negaivamene correlacionados, ese é um efeio ípico da presença de fricções de microesruuras de mercado 7. Faores como preços discreos, períodos com ausência de ransações e efeios advindos de limies de bid-ask, endem a gerar correlações nas coações quando esas são amosradas em janelas muio pequenas. Nese rade-off enre a uilização de janelas suficienemene pequenas de forma a não compromeer a precisão das esimaivas de volailidade realizada e, no enano, grandes o suficiene para miigar os efeios advindos de fricções de microesruuras de mercado, opou-se por amosrar os reornos inradiários a cada 5 minuos. Na próxima seção esa escolha será discuida. 6 Para uma discussão sobre consrução de inervalos de confiança para os esimadores de volailidade realizada veja Barndorff-Nielsen e Shephard (00) 7 Veja, por exemplo, o raameno de Campbell, Lo e MacKinlay (998).