Uma proposta de situação didática no contexto de investigação histórica das relações recorrentes bidimensionais para os números complexos de Fibonacci

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1 ISSN: Número 53. Agosto 8 Págias Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Fecha de recepció: 4//8 Fecha de aceptació: 8/5/8 Resumo Resume Abstract Este trabalho apreseta uma proposta uma abordagem de ivestigação histórica, relativamete a um cotexto de esio superior, para proessores em ormação iicial. Ademais, aborda relações recorretes bidimesioais deiidas a partir dos valores da sequêcia de Fiboacci. Assim, com ispiração um artigo de Harma (98), busca discutir propriedades matemáticas dos úmeros G(,m) em situações didáticas de ivestigação evolvedo aspectos epistemológicos e históricos de idetidades descosiderados por este autor. Ademais, algumas das relações e órmulas abordadas podem esejar uturas ivestigações derivadas da geeralização do modelo de recorrêcia de Fiboacci. Palavras-chave: Situações didáticas, Ivestigação histórica, Relações recorretes, Números complexos de Fiboacci. Este trabajo preseta ua propuesta e u eoque de ivestigació histórica, para u cotexto de eseñaza superior, para proesores e ormació iicial. Además, aborda relacioes recurretes bidimesioales deiidas a partir de los valores de la secuecia de Fiboacci. Así, co ispiració e u artículo de Harma (98), busca discutir propiedades matemáticas de los úmeros G(,m) e situacioes didácticas de ivestigació evolviedo aspectos epistemológicos e históricos de idetidades descosideradas por este autor. Además, alguas de las relacioes y órmulas abordadas puede coducir a uturas ivestigacioes derivadas de la geeralizació del modelo de recurrecia de Fiboacci. Palabras clave: Situacioes didácticas, ivestigació histórica, relacioes recurretes, úmeros complejos de Fiboacci. This paper presets a proposal or a historical research approach to a cotext o higher educatio or teachers i iitial ormatio. I additio, it addresses recurret two-dimesioal relatioships deied rom the values o the Fiboacci sequece. Thus, ispired by a article by Harma (98), he seeks to discuss mathematical properties o umbers G(,m) i didactic research situatios ivolvig epistemological ad historical aspects o idetities disregarded by this author. I additio, some o the Número 53 - Agosto 8 Págia

2 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira relatios ad ormulas discussed may lead to uture ivestigatios derived rom the geeralizatio o the Fiboacci recurrece model. Keywords: Didactic situatios, historical research, recurret relatios, complex Fiboacci umbers.. Itrodução A proposição de atividades de ivestigação histórica, o âmbito da ormação iicial de proessores de Matemática, pode proporcioar e estimular uma percepção e o etedimeto acerca do processo evolutivo em Matemática que, em certos casos, pode ser observado por itermédio das etapas progressivas e gradativas soridas por um coceito cietíico ou um objeto teórico coceitual ao decorrer dos séculos e, em algus casos, ao logo de algumas décadas (Alves, 6a; 6b; 6c; 7). Por outro lado, quado se atém ao percurso evolutivo de um objeto, modelo matemático ou oção particular, de modo geral, ão se aprecia/ ecotra em otes históricas, livros de História da Matemática - HM (Estrada, ; Eves, 969; Herz, 998) que relatem tato os elemetos primordiais que cocorreram para o estadio de seu ascedouro, bem como, o estágio evolutivo hodiero e o iteresse atual coceretemete ao estado de arte do mesmo. De modo particular, este trabalho, será discutido um modelo matemático cujo estágio origial se torou cohecido pelo ome de Sequêcia de Fiboacci e que, por itermédio de uma iteção pedagógica de Leoardo Pisao, costumeiramete é lembrado pelo problema do ascimeto, ad iiitum, de pares de coelhos imortais mas, que, do poto de vista do modelo umérico e suas propriedades práticas e utilitárias, já era cohecido e empregado o comércio pelos idiaos algus séculos ates. Numa abordagem histórica, destaca-se que a quarta cruzada pregada pelo papa Iocêcio III, ocorreu em 4 e tiha como objetivo orgaizar um ataque cotra os mulçumaos o Egito e, em seguida, recoquistar a costa da Palestia. Todavia, a Igreja e as ações ocidetais cristãs ão tiham recursos iaceiros para custear esse plao. Desse modo, recorreram à República de Veeza com o propósito de coseguir um meio que levasse os cruzados até o Oriete. Os cruzados, como ão tiham com que pagar a cota, oram obrigados a aceitar que Veeza decidisse o roteiro das coquistas. A proposta da República era quitar a dívida com a tomada de Zara, um porto cristão, mas rival dos veeziaos o comércio do mar Adriático (Doré, ). Assim, vale cometar que Leoardo asceu por volta de 75 o cetro comercial de Pisa, a Idade Média que abrage um ceário marcado pela iluêcia das cruzadas à sociedade europeia e pelo cotato com o Oriete. Além do mais, esse cotexto, surgem as Uiversidades de Pádua, Nápoles, Paris, Oxord e Cambridge. Leoardo era um matemático atuate a atividade comercial, pelas quais visitou o Egito, a Síria, a Grécia, a Sicília, o sul da Fraça e a Costatiopla. Cotudo, essas viages, ele coheceu métodos algébricos árabes e os úmeros ido-arábicos, logo, oi istigado a estudar aritmética. Em, Pisao retora à Itália Número 53 - Agosto 8 Págia

3 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira e, em, ele escreve a obra Liber Abbaci, a qual aborda questões relacioadas à Álgebra e Aritmética, detre essas, ele propõe uma solução para o seguite problema: dado um par de coelhos, determie quatos serão produzidos por este par em um ao, se cada par de coelhos dar à luz a um ovo par de coelhos a cada mês, começado com o segudo mês de sua vida. É assegurado que as mortes ão ocorrem (Kig, 963). Esse problema deu origem ao modelo de Fiboacci que é discutido os livros de História da Matemática de orma pouco pormeorizada, a maioria das vezes, apresetado apeas a sua recursividade uidimesioal. A priori, as deiições e relações oriudas desse modelo, também são exploradas as pesquisas em Matemática Pura (Alves, 6a; 6b; 6c). Isso oportuiza a percepção e a compreesão de um processo evolutivo desse modelo, posibilitado a sua ivestigação o âmbito da Didática da Matemática. De modo particular, podem ser listados os seguites cojutos uméricos:,,,3,5,8,3,,34,55,89,44,33,377,6,987,597,,,, { } { },,, 34,, 3,8, 5,3,,,,,,,,3,5,8,3,,34,,,, {, i,, 8 5i,5 3i, 3 i, i, i,,, i, i,3 i,5 3i,8 5i,3 8i,, i, } e ( ) {, i,,,, i, i, i,3 4i,5 6i, 4 3i, 9 i,, i, }. (m ) ( ) m m m Prelimiarmete, com origem um olhar atecioso dos quatro cojutos acima, uma preocupação matemática elemetar cosistiria a determiação da orma geral dos seus elemetos. Assim, tedo em vista a emblemática relação de recorrêcia uidimesioal =,, de seguda ordem, cujo iteresse de discussão o meio cietíico oi devido ao matemático racês Fraçois Édouard Aatole Lucas (84 89), pode-se istigar o iteresse pela orma de determiação do termo geral, correspodetemete, a cada cojuto há pouco idicado. O ato é que, de modo simplista, a determiação dos elemetos dos quatro cojutos acima são codicioados por uma regra ou deiição ormal. Por outro lado, desde que se propuga o papel imprescidível do estabelecimeto de deiições matemáticas ormais para que se possa vislumbrar o processo evolutivo em Matemática, assiala-se que o processo de extesão e descrição dos úmeros de Fiboacci, para ídices iteiros, pode ser registrado, pela primeira vez a literatura cietíica, por exemplo, o trabalho de Brother (965). Brother (965, p. ) cometa a processo evolutivo da sequêcia umérica para valores (ídices) à esquerda de zero (igura ). Figura. Extesão dos úmeros de Fiboacci para ídices iteiros. Fote: Brother (965, p. ). Número 53 - Agosto 8 Págia

4 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Mas, ates de se delagrar a seção subsequete, quado se atém aos elemetos do tipo 3 8i, de imediato, pode-se apropriar de uma otação geral da orma i, para IN. O elemeto que, evetualmete, chama ateção esse caso, correspode à preseça da uidade imagiária i = e, assim, ituitivamete, passa a exergá-la como um úmero complexo (de Fiboacci). Posto isso, doravate, serão abordadas ideias relativas a situações didáticas, tedo em vista que se pretede explorar a complexiicação do modelo de Fiboacci o cotexto da Didática da Matemática uma perspectiva de ivestigação histórica.. Situações didáticas A Didática da Matemática (DM) teve seu marco iicial a Fraça em 97 e gahou destaque durate a reorma da Matemática Modera através da criação dos IREMs (Istituto de Pesquisa sobre Esio da Matemática) e da aceitação das teorias piagetiaas relacioadas ao desevolvimeto itelectual com êase o apredizado de coceitos. Desse modo, segudo Pommer (8), o Istituto oportuizava uma ormação complemetar para proessores que possibilitava a cocepção de recursos para serem usados em situações de esio. Dessa orma: A didática da Matemática é uma das tedêcias da grade área da educação matemática, cujo objeto de estudo é a elaboração de coceitos e teorias que sejam compatíveis com a especiicidade educacioal do saber escolar matemático, procurado mater ortes vículos com a ormação de coceitos matemáticos, tato em ível experimetal da pratica pedagógica, como o território teórico da pesquisa acadêmica. (Pais,, p. ). Assim, a DM tem em seu escopo, ivestigar possíveis percursos metodológicos que proporcioem a trasposição didática de coceitos matemáticos. Isso exige que se compreeda como as cocepções ovas são orgaizadas o cogitivo do aluo. Segudo Artigue (9, p.4), a apredizagem eetiva-se durate um processo de adaptação do estudate ao milieu. Almouloud (7, p. 35) explica que o milieu é um grupo de situações adidáticas compostas por cohecimetos exteros ao sujeito. Brousseau (976, p. 8) descreve, uma perspectiva da epistemologia geética, que os estágios de acomodação e assimilação do cohecimeto, se assemelham às etapas de desevolvimeto dos coceitos pela lei de regulação que os azem aparecer, e que dierem da atureza exata das limitações que determiam essa regulação. Desse modo, o paradigma cogitivo piagetiao istigou a cocepção de teorias de esio uma vertete da DM e que buscam idetiicar as ases de compreesão da costrução de coceitos matemáticos. Detre essas teorias, vale destacar a Teoria das Situações Didáticas (TSD) desevolvida por Brousseau (976). A TSD abrage, em seus estudos, o aluo, saber e milieu e como estes três atores estão associados diate de uma situação didática. Brousseau (8, p. 53) esclarece que uma iteração tora-se didática se, e somete se, um dos sujeitos demostra iteração de modiicar o sistema de cohecimetos do outro (os meios de decisão, o vocabulário, as ormas de argumetação, as reerêcias culturais). Número 53 - Agosto 8 Págia 3

5 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Uma maeira de simular as situações didáticas é a aplicação de situaçõesproblema elaboradas com eoque a TSD. Coorme Almouloud (7, p. 36), a TSD é sistematizada em quatro ases cosecutivas: ação, ormulação, validação e istitucioalização. Vale salietar que as três ases iiciais são realizadas, pricipalmete, pelos estudates com a participação míima do docete. Por outro lado, a istitucioalização é eita pelo proessor a im de avaliar o desempeho dos aluos as etapas ateriores. Alves (6c, p. 6) explica que a ase de ação, os aluos decidem resolver a questão proposta, para isso, o estudate mobiliza, de imediato, um pesameto ituitivo e operacioal. Equato a ormulação, esse pesameto passa por um processo de trasição a im de se estabelecer um raciocíio ierecial udametado um modelo teórico. Nesse setido, o estudate chega à ase de validação com argumetos mais elaborados recorredo a uma liguagem matemática mais apropriada e a métodos de demostração matemática com a ialidade de validar ou reutar as cojecturas elaboradas. Assim: Um problema de validação é mais um problema de comparação, de avaliação e de rejeição de evidêcias e da ivestigação da demostração. [...] Para uma abordagem de validação, o pesameto deve basear-se em ormulações ateriores. A liguagem desevolvida, a dialética da ormulação, é meos especíica do que a da validação. A comuicação desempeha um papel importate em parte idepedete das questões de validade. (Brousseau, 976, p. ). Além do mais, a TSD itegra elemetos de ordem epistemológica, cogitiva e social ieretes à Didática da Matemática, possibilitado o etedimeto das iterações sociais que ocorrem a sala de aula etre aluos e proessores e das codições e da orma com que o cohecimeto matemático pode ser apropriado e apredido (Teixeira e Passos, 3, p. 57). Ademais, quado se compreede a epistemologia como uma teoria do cohecimeto (Abbagao, 998, p.338), é relevate aceitar a cocepção de Almouloud (7, p. 49), que retrata a epistemologia como uma ivestigação a estrutura do cohecimeto cietíico que cosidera sua gêese histórica assim como sua (re) costrução a estrutura cogitiva dos apredizes. Nesse cotexto: [...] vale a advertêcia do caráter epistemológico que reside em imprimir ao raciocíio do estudate, o caráter moossêmico e ierecial, característico das teorias ormais. [...] Assim como os teoremas e as teorias udates, que coerem seu caráter de certeza, se mostram etrelaçadas com uma teia epistêmica de cocepções e saberes que ão são egligeciados pela Didática da Matemática. (Alves, 6d, p. 4-4). À vista disso, a TSD oportuiza a compreesão de teoremas e propriedades matemáticos através de suas etapas de ormulação e avaliação de cojecturas. Isso pode ser evideciado a ase de istitucioalização da TSD, em que o docete retoma a situação didática e veriica as produções dos aluos o setido de geeralizar os coceitos matemáticos explorados em sala de aula e, cosequetemete, ampliar o repertório cultural de saberes matemáticos (Alves, 6c, p. 6). Número 53 - Agosto 8 Págia 4

6 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Por im, um cojuto de situações-problema com eoque a TSD possibilita a realização de situações didáticas uma abordagem de ivestigação históricoevolutiva de relações matemáticas. Assim, a seguir será apresetado o modelo de Fiboacci e sua represetação histórico-evolutiva o que diz respeito ao processo de complexiicação. 3. Os úmeros complexos de Fiboacci o cotexto de ivestigação histórica Na seção atual, serão apresetados e demarcados os elemetos ecessários e evolvidos uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica. Pretede-se com essa proposta, realizar situações de esio, o âmbito de ormação iicial de proessores de Matemática, que oportuizem uma abordagem epistemológica das deiições e relações recursivas oriudas da complexiicação do Modelo de Fiboacci as aulas de História da Matemática. Kig (963, p.6) explica que a gêese do modelo de Fiboacci é cotextualizada pela situação-problema, Rabbit Problem, proposta por Leoardo Pisao em a obra Liber Abbaci sobre a reprodução de pares de coelhos imortais. Essa problematização deu origem à sequêcia de Fiboacci {,, 3, 5, 8,...}. Coorme, Alves e Catario (6), essa sequêcia é represetada pelo modelo recursivo uidimesioal =, para = e =. No cotexto histórico-evolutivo do MF, pode-se veriicar um processo de geeralização da SF sedo publicizado, iicialmete, a literatura de Brother (965) com a extesão da sequêcia para o cojuto dos úmeros iteiros. Além do mais, o modelo uidimesioal oi discutido por Koshy (), que ivestigou algumas idetidades uidimesioais, elaboradas por Fraçois Édouard Aatole Lucas (84 89), ieretes ao MF. À vista disso, este artigo, tem como campo epistêmico, o processo de complexiicação do MF através da iserção da uidade imagiária i e sua correspodete represetação algébrica bidimesioal. Destarte, têm-se represetações complexas para os úmeros de Fiboacci como, por exemplo, os úmeros de Fiboacci Gaussiao e suas relações recorretes apresetados por Pethe e Horadam (986) e os iteiros gaussiaos que é uma descrição eita por Berzseyi (977). Desse modo, prelimiarmete, pode-se vislumbrar a represetação geométrica da disposição dos iteiros Gaussiaos. Coway & Smith (3, p. 5) acetuam que Gauss deiiu a oção de úmeros complexos de modo aálogo, em itegralidade, com os úmeros reais. E, de modo particular, um úmero complexo (x iy) é cosiderado como um iteiro gaussiao se, justamete, suas partes real e imagiária são úmeros iteiros. Assim, como oi mecioado os parágraos ateriores, o modelo dos úmeros iteiros Gaussiaos permitiu o surgimeto de deiições matemáticas derivadas da SF origial. Com eeito, o cojuto de três deiições, a seguir, coirma um processo evolutivo, matemático e epistemológico ao decurso de algumas décadas. Número 53 - Agosto 8 Págia 5

7 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Deiição : Chamaremos de úmeros Gaussiaos de Fiboacci, os elemetos descritos pela seguite relação de recorrêcia G = G G, ode G = i,g = (Jorda, 965). Deiição : Para e m iteiros positivos, deiiremos os úmeros gaussiaos m m k de Fiboacci por mi = i k k= k (Berzseyi, 977). Deiição 3: Os úmeros da orma G(,m), devem satisazer às seguites codições bidimesioais de recorrêcia: G(,m) = G(,m) G(,m); G(,m ) = G(,m ) G(,m), com as codições: G(,) =, G(,) =, G(,) = i, G(,) = i (Harma, 98). Na igura, observa-se a represetação dos iteiros gaussiaos e, a partir da deiição, pode-se compreeder que os úmeros gaussiaos de Fiboacci costituem um subcojuto dos iteiros gaussiaos. Além disso, a deiição, costa uma relação que amplia o cojuto de ídices da sequêcia dos úmeros Gaussiaos. A deiição apesar de ão se mostrar com evidêcia o caráter de m m k recursividade uidimesioal, pode-se observar que: ( ) mi ( ) mi = i k k= k m m m m k m k m k i k = i ( k k ) = i k = mi mi = ( ) mi ( ) mi. Por outro k= k k= k k= k lado, a deiição 3, o MF é apresetado com duas variáveis m e. Figura. Descrição geométrica de um cojuto que impulsioou o iteresse pelas represetações dos úmeros de Fiboacci o plao. Fote: Coway & Smith (3, p. 5). Número 53 - Agosto 8 Págia 6

8 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Doravate, a partir da deiição 3, serão discutidas, de modo pormeorizado, determiadas propriedades costumeiramete ão explicitadas em artigos cietíicos em Matemática Pura. Nesse caso, as relações de recorrêcia são ditas bidimesioais (Harma, 98) e possibilitam a determiação de certas idetidades com uma iterpretaçao geométrica discutida por este autor, pela primeira vez a década de 9, do século XX. Logo em seguida, serão euciados e demostrados algus resultados primordiais para a discussão e cocepção da situação diática, o cotexto de ivestigação histórica, evolvedo os úmeros da orma G(,m), com,m iteiros quaisquer codicioados pelas relações recorretes. 4. Relações recorretes bidimesioais e propriedades Nesta seção, a priori, serão deduzidos um cojuto de propriedades (lema ), que desiga o teorema, oriudo de uma relação recorrete bidimesioal ivestigada por Harma (98), Oliveira, Alves e Paiva (7). Desse modo, a partir da deiição 3, pode-se veriicar o lema e o teorema a seguir. Lema : para os úmeros de Fiboacci da orma G(, m), valem as seguites propriedades: G(,) =, G(,m) = mi, G(,) = i e G(, m) = m mi (Oliveira, Alves e Paiva, 7). Demostração: para G(,) =, com origem a relação G(,m) = G(,m) G(,m) e cosiderado o caso particular m = G(,) = G(,) G(,), pelo pricípio de idução sobre, decorre o seguite comportameto iicial: para = G(,) = G(,) G(,) = =. Para outro valor, tem-se que: = G(3,) = G(,) G(, ) = = =. Pelo método de idução matemática, assume-se que 3 G(,) = e G(, ) =. Por im, tedo em vista a relação G(,) = G(,) G(,) = = =, obtém-se o resultado desejado. Aalogamete, para G(,m) = mi, será empregado =, assim G(,m ) = G(,m ) G(,m) e, para os valores particulares de m=, pode-se ver G(,) = G(,) G(,) = i = i. Pode-se, o seguite caso, observar que m = G(,3) = G(, ) G(,) = i i = i = 3i. De ovo, pelo processo idutivo, são cosiderados os passos iiciais idutivos, evolvedo a seguite propriedade G(,m) = mi e G(,m ) = m i. Por im, pode-se escrever a seguite expressão G(,m ) = G(,m ) G(,m) = m i mi = (m m)i = m i. Ou seja, vale que G(,m ) = i. Assim, segue o resultado desejado por idução matemática. m De modo aálogo, pode-se veriicar a propriedade G(,) = i, avaliado G(,m) = G(,m) G(,m) para m=: G(,) = G(,) G(,), assim, com = G(,) = G(,) G(,) = i = i ( i) =.G(,).G(,) e = G(3,) = G(,) G(,) = 3i = i ( i) =.G(,).G(,), assumido pelo passo idutivo 3 Número 53 - Agosto 8 Págia 7

9 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira G(,) = G(,) G(,) = i e G(,) = G(,) G(,) = i, obtém-se: G(,) = G(,) G(,) =.G(,).G(,) = 3i. Semelhatemete, para G(, m) = m mi, cosidera-se G(,m ) = G(,m ) G(,m) para =: G(, m ) = G(, m ) G(, m), desse modo, pode-se escrever m = G(, ) = G(,) G(, ) = i = 3 i e m = G(, 3) = G(, ) G(,) = 3 i = 4 3i. Assumido, por idução matemática G(, m) = G(, m ) G(, m ) = m mi e G(, m ) = G(, m) G(, m ) = m m i, logo, determia-se G(, m ) = G(, m ) G(,m) = i i. m 3 m Teorema : Os úmeros G(,m) são descritos por G(,m) = m m i, para dois iteiros,m (Oliveira, Alves e Paiva, 7). Demostração: Cosiderado o lema e a relação recorrete G(,m ) = G(,m ) G(,m), será avaliado m = G(,) = G(,) G(,) = = i = i. E, de modo similar, pode-se ver também 3 m = G(,3) = G(, ) G(,) = i i = 3 i = i. E, por 4 3 idução sobre m, tem-seg(,m) = m m i e G(,m ) = m m i. Fialmete, determia-se G(,m ) = G(,m ) G(,m) = m m i m m i = = ( ) ( ) i = m 3 m i, isto é, G(,m ) = m 3 m i. m m m m O corolário seguite permite uma descrição de recorrêcia bidimesioal para os úmeros G(,m) em ução da órmula de Biet, costumeiramete, idicada por α β = (para atural), descoberta pelo matemático racês, em 843, α β Jacques-Phillipe Marie Biet ( ). Etretato, Koshy (7, p. 36) observa que, já em 78, era empregada pelo matemático racês Abraham De Moivre ( ) (Tattersall, 5, p. 3). Todavia, por itermédio de métodos iovadores, que evolviam o uso de uções geradoras, Koshy (7, p. 37) acetua aida o trabalho idepedete do matemático e egeheiro racês Gabriel Lamé (795 87), o ao de 844, tedo em vista a obteção da mesma órmula. Corolário : Os úmeros G(,m) são descritos, em ução da órmula de Biet, por: m m m m ( α β )( i) α β ( βαi) α β ( αβi) G(,m) = ( α β), para,m IN. Demostração: Cosiderado o teorema e a órmula de Biet, cohecida m m m m α β α β α β α β α β por =, tem-se G(,m) = m m i =...i. E, α β α β α β α β α β azedo as cotas, determia-se a seguite órmula explícita para os termos: m m m m ( α β )( i) α β ( βαi) α β ( αβi) G(,m) =, para,m IN. α β ( ) Número 53 - Agosto 8 Págia 8

10 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Assim, o resultado aterior resulta de uma derivação da órmula de Biet, para o caso bidimesioal. Para cocluir, é relevate recordar que a presete secção, oram apresetadas, pormeorizadamete, propriedades relacioadas com os úmeros deiidos a partir da relação bidimesioal. Assim, podem-se veriicar itrísecas propriedades ieretes aos úmeros presetes a SF. Na próxima seção, serão abordadas algumas situações-problema propostas a im de se realizar situações didáticas uma perspectiva de ivestigação historica, capazes de permitir e estimular um etedimeto do estudate relativo ao processo de evolução e geeralização do modelo de Fiboacci. 5. Situações-problema uma proposta de ivestigação histórica Brousseau (8, p. 55) descreve as situações como recursos que oportuizam uma comuicação didática. Desse modo, Pommer (3, p. ) sugere que as situações didáticas sejam propostas através de situações-problema, de maeira que coduzam o desevolvimeto ierecial do estudate durate a elaboração, partido de seus cohecimetos prévios, de estratégias de soluções. Assim, este tópico, será apresetado um cojuto de situações-problema jutamete com uma predição dos possíveis argumetos que os estudates possam expresar durate a resolução. Com origem as propriedades discutidas ateriormete, oram ormuladas algumas situações que devem suscitar uma ação ivestigativa por parte dos aluos (proessores em ormação iicial), ruto da iteração do triômio proessor estudates cohecimeto matemático. Todavia, vale recordar algumas idetidades (tabela ) cometadas por Koshy () e que oram descobertas pelo matemático racês Fraçois Édouard Aatole Lucas (84 89). Descrição Soma dos úmeros de Fiboacci de ídice par (E. Lucas, 876). Soma dos úmeros de ídice ímpar Lucas, 876). Soma dos primeiros termos da sequêcia de Fiboacci (E. Lucas, 876). (E. Soma dos primeiros quadrados dos termos da sequêcia de Fiboacci (E. Lucas, 876). Idetidades uidimesioais de Fiboacci i =, para IN. i =, para IN., para IN. i =, para IN. Tabela. Idetidades elemetares evolvedo os úmeros de Fiboacci. Fote: Koshy (). À vista disso, segue a seguite situação-problema I: decidir se o cojuto umérico idicado por G(,m) possui propriedades semelhates, quado comparado com o seguite cojuto umérico {,,, 34,, 3,8, 5,3,,,, Número 53 - Agosto 8 Págia 9

11 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira,,,,3,5,8,3,,34,,, }. Além disso, pode-se cosiderar o cojuto {, i, i, i,3 4i,5 6i,4 3i, 9i,4 5i, }. Semelhatemete, ao caso da órmula de Biet, pode-se determiar uma órmula explícita para os termos acima, sabedo que são obtidos por itermédio da relação bidimesioal G(,m) = G(,m) G(,m) descrita por, com,m IN? G(,m ) = G(,m ) G(,m) Na ase de ação, os aluos devem ser estimulados a determiar/deiir os valores iiciais dos elemetos G(,m) a im de descrever de modo explícito um elemeto qualquer da sequêcia. Os valores iiciais sugeridos para este caso são dados por G(,) =,G(,) =,G(,) = i,g(,) = i. Os argumetos do teorema podem ser aplicados. Na ase de ormulação, vale assialar que a órmula G(,m) = m m i possibilita uma descrição memóica combiatória, posto que, tomado como reerêcia a ordem das variáveis (,m), a posição da primeira variável, o primeiro termo correspodete m possui uma uidade ierior ao ídice do termo correspodete a variável m. De modo semelhate, a posição da seguda variável m, quado se atém ao termo m i, a variável correspodete, detecta-se uma uidade ierior. Na validação, os aluos podem descrever os α β úmeros G(,m), ou seja o teorema, em ução da órmula de Biet =. α β Na situação subsequete, será explorado um raciocíio discutido pela primeira vez por Brousseau (963), distiguido pela idetidade = ( ) = ( ) que permite a extesão ao cojuto dos iteiros, relativamete ao cojuto de ídices. Nesse cotexto, tem-se a situação-problema II: cosiderado essa idetidade e o i, 6 6i, i, 5 5i, i, i,, de modo semelhate à seguite cojuto { } situação aterior, decida se é possível determiar uma órmula explícita para os termos G(, m). Com origem a situação aterior e, por itermédio da equivalêcia = ( ) = ( ), a ação, os estudates devem ser istigados a m determiar os termos do tipo G(, m) = ( ) m m i que possibilita avaliar os úmeros para quaisquer iteiros. De ato, durate a ase de ormulação, com origem o teorema, os aluos devem veriicar m m m G(, m) = i = ( ) ( ) i = ( ) ( ) ( ) ( ) i = m m (m ) ( ) m (m ) ( ) m ( ) m m m m = ( ) i = ( ) G(m, ). Na validação, vale observar que os úmeros G(, m) podem ser determiados, também, pela seguite órmula m m m m ( α β )( i) α β ( βαi) α β ( αβi) G(, m) =, azedo a substituição a ( α β) órmula de Biet (corolário ). Cotudo, os aluos devem ser estimulados a Número 53 - Agosto 8 Págia

12 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira ivestigar e compreeder que a idetidade ser veriicada. m = ão pode G(, m) ( ) G(,m) Na situação-problema III, tem-se o seguite euciado: sejam as idetidades uidimesioais de Fiboacci: 3 =, 4 6 =, 3 5 = e 3 = (tabela ), veriique se idetidades semelhates podem ser ieridas dos úmeros da orma G(,m), levado em cosideração as relações recorretes bidimesioais. Durate a resolução, de modo semelhate ao caso das demostrações das idetidades idicadas, os estudates devem veriicar propriedades semelhates para os úmeros G(,m) recorredo às relações bidimesioais (deiição 3). Dessa orma, a etapa de ação e ormulação, cosiderado a relação G(,m) = G(,m) G(,m) e azedo G(,m) = G(,m) G(,m), segue que: G(,m) = G(,m) G(,m) G(3,m) = G(4,m) G(,m) G(5,m) = G(6,m) G(4,m) G(7,m) = G(8,m) G(6,m) G(,m) = G(,m) G(,m) Após o cacelameto de algus termos, os aluos devem ecotrar G(,m) G(3,m) G(5,m) G(,m) = G(,m) G(,m) ou = i ( ). i Ou seja, m 3 m m m 3 m G(i,m) = G(,m) G(,m) = G( i, m) = m ( 3 ) m i. E, de modo aálogo, pode-se veriicar para a soma dos termos de ídice par ão ulo o seguite: G(,m) = G(3,m) G(,m) G(4,m) = G(5,m) G(3,m) G(6,m) = G(7,m) G(5,m). G(8,m) = G(9,m) G(7,m) G(,m) = G(,m) G(,m) Assim, após o cacelameto, tem-se que G(i,m) = G(,m) G(,m) = m m i i ( )i m m= m m m m, isto é, m m G(i,m) = ( ) ( ) i que estabelece Número 53 - Agosto 8 Págia

13 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira semelhaça com a idetidade 4 6 =. Equato que G( i, m) = m ( 3 ) m i preserva semelhaças em sua dedução com a idetidade 3 5 =. Por outro lado, sabe-se que G(3,m) = G(,m) G(,m) G(,m) = G(3,m) G(,m) e G(,m) G(,m) = (G(3,m) G(,m))G(,m) = G(,m)G(3,m) G(,m)G(,m). Assim, tem-se que: que G(,m) = G(,m)G(,m) G(,m)G(,m) G(,m) = G(,m)G(3,m) G(,m)G(,m) G(3,m) = G(3,m)G(4,m) G(3,m)G(,m) G(4,m) = G(4,m)G(5,m) G(4,m)G(3,m) G(5,m) = G(5,m)G(6,m) G(5,m)G(4,m) G(,m) = G(,m)G(,m) G(,m)G(,m) Mais uma vez, eetuado o cacelameto dos termos adequados, deve seguir G(,m) G(,m) G(3,m) G(4,m) G(,m) = G(,m)G(,m) G(,m)G(,m). De modo simpliicado, escreve-se a idetidade m m m m m m m m G(i,m) = G(,m)G(,m) G(,m)G(,m) = [(. ).. ] ( )i. Por im, aalogamete, os aluos podem determiar que G(i,m) = G(,m) G(,m) G(,m) G(,m), ou aida, a seguite idetidade G(i,m) = ( ) m ( 3 )mi. Na ase de validação da situação-problema III, espera-se que os aluos compreedam que existe uma represetação bidimesioal correspodete às idetidades uidimesioais de Fiboacci (tabela ). Além do mais, eles devem ser estimulados a corotação dos argumetos utilizados o caso uidimesioal, empregado por E. Lucas, com o caso bidimesioal. Na última situação, propõe-se a abordagem de algumas propriedades elemetares evolvedo o caráter de divisibilidade do somatório dos úmeros Fiboacciaos com os úmeros Gaussiaos de Fiboacci. Nesse setido, segue a situação-problema IV: airme ou iirme as seguites seteças: (a) a soma dos seis úmeros cosecutivos dos umeros complexos de Fiboacci é divisível por 4 e (b) a soma dos dez úmeros cosecutivos dos úmeros complexos de Fiboacci é divisível por. Durate a resolução desse problema, a etapa de ação, deve-se cosiderar 5 = 4 i 4. De ato, pode-se ver que Número 53 - Agosto 8 Págia

14 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira 5 = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = i = ( ) = = 4. Assim, o caso particular, costata-se a validade para a sequêcia origial. Destarte, cosiderado a soma 9 6, de modo similar, segue a seguite a soma 9 = ( ) = 4 = i = 4 ( ) = 4 = 4 ( ) ( ) = = 4 ( ) ( ) = E, assim, ecotra-se = 4 7 = i Doravate, o mometo de ormulação, espera-se que os estudates veriiquem essas idetidades uidimesioais para os úmeros G(,m). Isto é, o caso de 5 G( i,m) = G(,m) G(,m) G(,m) G( 3,m) G( 4,m) G( 5,m), pode-se ver: G(,m) = m m i G(, m) = i m m = m 3m G(,m) i G( 3,m) = 3m 4m i G( 4,m) = 4m 5m i G( 5,m) = 5m 6m i Assim, pode-se ter G( i,m) = i m i m i = (4 4) m (4 5) m i = = 4 ( i) = 4 G( 4,m). Além disso, pode-se repetir o argumeto 4 m 5 m aterior, a im de determiar que: Número 53 - Agosto 8 Págia 3

15 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira G(,m) = m m i G(, m) = m m i G(,m) = m 3m i G( 3,m) = 3m 4m i G( 4,m) = 4m 5m i G( 5,m) = 5m 6m i G( 6,m) = 6m 7m i G( 7,m) = 7m 8m i G( 8,m) = 8m 9m i G( 9,m) = 9m m i Colocado em evidêcia os termos do tipo m e m i e usado a idetidade aterior, pode-se deduzir que 9 G( i,m) = G( 6,m), m IN. Assim, a ase de validação, é possível compreeder veracidade da extesão da idetidades uidimesioais relativas à divisibilidade dos somatórios 9 6para os úmeros da orma G(,m). 5 = 4 i 4 e Descrição Soma dos úmeros de ídice par Soma dos úmeros de ídice ímpar Soma dos primeiros úmeros complexos de Fiboacci Soma dos primeiros quadrados dos úmeros complexos de Fiboacci Soma dos 6 termos cosecutivos é divisível por 4. Soma dos primeiros termos cosecutivos é divisível por. Idetidades uidimesioais = i i = i = ( i)² = 5 i 4 9 = 4. = i 6 Idetidades bidimesioais G(i,m) = ( ) ( ) i m m G( i, m) =. ( ) i m 3 m G(i,m) = ( ) ( ) i m 3 m m G (i, m)² = [(. ) m m m.. ] (. ). i 5 9 G( i,m) = 4.G( 4,m). G( i,m) =.G( 6,m). Tabela. Idetidades ui e bidimesioais oriudas do modelo de Fiboacci. Fote: elaboração dos autores. Número 53 - Agosto 8 Págia 4

16 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Fialmete, uma abordagem da istitucioalização da TSD, a tabela, apreseta-se uma sítese comparativa de algus dados discutidos a partir das situações-problema propostas aos estudates. Desse modo, os elemetos comparativos e o raciocíio por aalogia oportuiza istigar o raciocíio ierecial atiete a um modelo de recorrêcia tridimesioal para os úmeros complexos de Fiboacci, isto é, os úmeros da orma G(,m,p). À vista disso, uma perspectiva epistemológica, pode-se compreeder que o modelo de Fiboacci passa por um processo de geeralização que, o cotexto dessas situações didáticas, é estudado através das relações recorretes bidimesioais a partir da sequêcia origial Fiboacciaa com a ialidade de explorar o aumeto dimesioal do Modelo de Fiboacci e, com isso, caracterizado uma evolução a sua estrutura matemática recohecida o cotexto de ivestigação histórica. Cosiderações iais Neste trabalho, oi apresetada uma proposta didática de ivestigação histórica coceretemete a um coceito que, de modo geral, ão se mostra discutido pelos autores de livros de História da Matemática. Assim, com arrimo de algumas propriedades e cosequêcias do teorema, que proporcioa uma órmula explicita para os úmeros da orma G(,m), oi derivado sua deiição para ídices iteiros quaisquer e, a partir de um raciocíio aálogo, empregado a determiação de idetidades clássicas (tabela ) oriudas da sequêcia de Fiboacci. Ademais, a orma complexa de Fiboacci, os úmeros da orma i admitem propriedades que podem ser comparadas/corotadas com os elemetos idicados o teorema, que são desigadas por G(,m) = m m i e m G(, m) = ( ) G(m, ). E, esse caso, a órmula variate de Biet, possibilita as descrições geeralizadas: m m m m ( α β )( i) α β ( βαi) α β ( αβi) G(,m) = e m m m m ( α β) ( α β) ( α β )( i) α β ( βαi) α β ( αβi) G(, m) =,,m <. A prática proissioal quato a pesquisas a Didática da Matemática, que poderá ser perseguida em uturas ivestigações, possibilita o estudo de relações geeralizadas de recorrêcia tridimesioal, G(,m,p) = m p m p i m p j (Oliveira, Alves e Paiva, 7), visado uma represetação -dimesioal para os úmeros de Fiboacci (Horadam & Phete, 986; Horadam, 999). Por exemplo, os úmeros da orma G(m,m,m 3,,m,m ), com relações de recorrêcia semelhates ao caso de Fiboacci e valores iiciais coveietemete escolhidos, devem gozar da seguite propriedade geeralizada G(i,m,m 3,,m ) = G(m,m,m 3,,m ) G(,m,m,,m ) G(,m,m,,m ) e, semelhatemete ao teorema, a orma 3 3 Número 53 - Agosto 8 Págia 5

17 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira geeralizada (-dimesioal) será descrita comog(m,m,m 3,,m ) = (m m m m ) ( )e ( )e cosiderado as seguites uidades m m m m m m m m t imagiárias (e = i,e = j,e 3 = k,...,e t). Por im, ao logo do trabalho, buscou-se propor elemetos capazes de suscitar os estudates (uturos proessores), uma percepção ão estática (descrição de um cojuto de três deiições ormais) do modelo de Fiboacci que preserva, séculos e séculos de sua proposição em orma de problema, o iteresse de especialista o âmbito da pesquisa em Matemática Pura (Catario & Vasco, 3; Catario, 4; 6). E, através de uma trasposição didática, o cotexto da Didática da Matemática, oportuizar a ormação de uma cocepção epistemológica sobre a História da Matemática. Por im, a perspectiva da ivestigação histórica apresetada este trabalho, evolveu um estudo de um artigo cietíico (Harma, 98), em Matemática Pura que, de modo padrão, apreseta e discute dados parciais e com poucos pormeores, característicos de um estilo cietíico e que comuica iormações para um determiado grupo de especialistas que possuíam o iteresse a reerida temática, os aos 7 e 8, do século XX. Dessa orma, pode-se proporcioar aos estudates (proessores em ormação) um etedimeto sobre o processo evolutivo atual da pesquisa em toro do modelo de Fiboacci, a medida em que se busca propor atividades de ivestigação que desevolvem um trato pormeorizado de algus argumetos e algumas demostrações. Bibliograía Abbagao, N. (998). Dicioário de ilosoia.. ed. São Paulo: Martis Fotes. Almouloud, S. A. (7). Fudametos da didática da matemática. Curitiba: UFPR. Alves, F. R. V. (7). Fórmula de de moivre, ou de biet ou de lamé: demostrações e geeralidades sobre a sequêcia geeralizada de iboacci SGF. Revista Brasileira de Historia da Matemática. v. 7, º 33, 6. Acesso em de agosto de 7 em Alves, F. R. V. (6a). Sequêcia Geeralizada de Pell: aspectos históricos e epistemológicos sobre a evolução de um modelo. Revista THEMA, 3(),. [e líea]. Acesso em de agosto de 6 em Alves, F. R. V. (6b). Descobrido deiições matemáticas o cotexto de ivestigação histórica: o caso da sequêcia geeralizada de Fiboacci. Boletim GEPEM, 68(), 5. [e líea], 9. Acesso em de agosto de 6 em =98 Número 53 - Agosto 8 Págia 6

18 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Alves, F.R.V. (6c). Teoria das Situações Didáticas (TSD): sobre o esio de potos extremates de uções com arrimo da tecologia. Revista Eletrôica Sala de Aula em Foco, v. 5,., p Alves, F. R. V. (6d). Didática de Matemática: seus pressupostos de ordem epistemológica, metodológica e cogitiva. Iteraces da Educ., Paraaíba, v.7,., p.3-5. Alves, F. R. V.; Catario, P. M. M. C. (6). A classe dos poliômios bivariados de Fiboacci (PBF): elemetos recetes sobre a evolução de um modelo. Revista Thema, v. 4,., p Artigue, M. (9). Didactical Desig I Mathematics Educatio. to appear i C. Wisløw (ed.) Nordic Research i Mathematics Educatio. Proceedigs o NORMA8. Sese Publ. Berzseyi, G. (977). Gaussia Fiboacci Numbers. The Fiboacci Quarterly, 5. p Brother, U. A. (965). Itroductio o Fiboacci Discovery. Calioria: Sata Clara Uiversity. Brousseau, A. B. (963). Explorig Fiboacci Numbers. The Fiboacci Quarterly, v.,., p Brousseau, G. (976). Les obstacles épistémologiques et les problèmes em mathématiques. I J. Vahamme & W. Vahamme (Eds.), La problématique et l'eseigemet de la mathématiques. Comptes redus de la XXVIIIe reecotre orgaisée par la Commissio Iteratioale pour l'etude et l'amélioratio de l'eseigemet des Mathématiques. Louvai-la-Neuve, p. -7. Brousseau, G. (8). Coteúdos e Métodos de Esio. I: SILVA, Beedito Atôio da. Itrodução ao Estudo das Situações Didáticas. Tradução de: Camila Bogéa. São Paulo: Ática, 8 p. Catario, P. M. C. (4). O some idetities or k-fiboacci Sequece. Iteratioal Joural Cotemporary Mathematical Sciece. 9(), Catario, P. M. C. (6). The h(x)-fiboacci Quaterio Polyomials: Some combiatorial properties. Advaced Applied Cliord Algebra, 6(), Catario, P. M. C, Vasco, P. (3). Some basic properties ad a two-by-two matrix ivolvig the k-pell umbers. Iteratioal Joural o Mathematical Aalysis. 7(45), 9 5. Número 53 - Agosto 8 Págia 7

19 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Coway, Joh. H. & Smith, Derek. A. (3). O quaterios ad Octoios: their geometry, arithmetic ad symmetry. Lodo: A. K. Peters. Doré, Adréa. (). Diplomacia e relações comerciais etre o Oriete e o Ocidete: duas experiêcias do século XIII. Tempo. Rio de Jaeiro,., p Estrada, et al. (). História da Matemática. Lisboa: Uiversidade Aberta. Eves, Howard. (969). A itroductio to the History o Mathematics. Third editio. New York: Holt, Hiehart ad Wisto. Harma, C. J. (98). Complex Fiboacci Numbers. The Fiboacci Quarterly, v. 9,., p Herz, F. R. (998). A mathematical history o Golde Number. New York: Dover Publicatios Ic. Horadam, A. F; Phete, S. (986). Euclidea coordiates as geeralized Fiboacci products. The Fiboacci Quarterly, 4(4), Horadam, A. F. (999). Quaterio Recurrece relatios. Ulam Quarterly, (), 33. Jorda, J. H. (965). Gaussia Fiboacci ad Lucas Numbers. The Fiboacci Quarterly, v. 3,. 4, p Kig, C. (963). Leoardo Fiboacci. The Fiboacci Quarterly, v.,. 4, p Koshy, T. (). Fiboacci ad Lucas Numbers with Appllicatios. New York: Wiley ad Sos publicatios. Koshy. T. (7). Elemetary Number Theory ad Applicatios. secod editio, Bosto: Elselvier. Oliveira, R. R.; Alves, F. R. V.; Paiva, R. E. B. (7). Idetidades bi e tridimesioais para os úmeros de Fiboacci a orma complexa. REVISTA ELETRÔNICA PAULISTA DE MATEMÁTICA, v. ic, p Pais, L. C. (). Didática da Matemática: uma aálise da iluêcia racesa.. ed. Belo Horizote: Autêtica. Pommer, W. M. (8). Brousseau e a idéia de Situação Didática. SEMA Semiários de Esio de Matemática / FEUSP º Semestre. Coordeação: Pro. Dr. Nilso José Machado. Acesso em de outubro de 7 em: Número 53 - Agosto 8 Págia 8

20 Uma proposta de situação didática o cotexto de ivestigação histórica das relações recorretes bidimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Fracisco Regis Vieira Alves, Rayelly Rodrigues de Oliveira Pommer, W. M. (3). A Egeharia Didática em sala de aula: Elemetos básicos e uma ilustração evolvedo as Equações Dioatias Lieares. São Paulo, 3. Acesso em 3 de março de 7 em: ica3.pd Tattersall, J. J. (5). Elemetary Number Theory i Nie chapters. Cambridge: Cambridge Uiversity Press. Teixeira, P. J. M.; Passos, C. C. M. (3). Um pouco da teoria das situações didáticas (tsd) de Guy Brousseau. Zetetiké, FE/Uicamp, v.,. 39, p Autores: Fracisco Regis Vieira Alves. Doutor em Educação pela Uiversidade Federal do Ceará (UFC). Docete do Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia do Estado do Ceará (IFCE). Coordeador do Programa de Pós-Graduação em Esio de Ciêcias e Matemática (PGECM IFCE). Fortaleza/Brasil. regis@gmx.r Rayelly Rodrigues de Oliveira. Liceciada em Matemática pelo Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia do Estado do Ceará (IFCE). Mestrada o Programa de Pós-Graduação em Esio de Ciêcias e Matemática (PGECM IFCE). Fortaleza/Brasil. ay-rockstar@hotmail.com Número 53 - Agosto 8 Págia 9