RANNYELLY RODRIGUES DE OLIVEIRA

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1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO CEARÁ IFCE CAMPUS FORTALEZA PRÓ-REITORIA DE PESQUISA, PÓS-GRADUAÇÃO E INOVAÇÃO Programa de Pós-Graduação em Esio de Ciêcias e Matemática PGECM RANNYELLY RODRIGUES DE OLIVEIRA ENGENHARIA DIDÁTICA SOBRE O MODELO DE COMPLEXIFICAÇÃO DA SEQUÊNCIA GENERALIZADA DE FIBONACCI: RELAÇÕES RECORRENTES N- DIMENSIONAIS E REPRESENTAÇÕES POLINOMIAIS E MATRICIAIS FORTALEZA - CE 08

2 RANNYELLY RODRIGUES DE OLIVEIRA ENGENHARIA DIDÁTICA SOBRE O MODELO DE COMPLEXIFICAÇÃO DA SEQUÊNCIA GENERALIZADA DE FIBONACCI: RELAÇÕES RECORRENTES N- DIMENSIONAIS E REPRESENTAÇÕES POLINOMIAIS E MATRICIAIS Dissertação de Mestrado Acadêmico apresetada ao Programa de Pós-graduação em Esio de Ciêcias e Matemática do Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia do Ceará IFCE Campus Fortaleza, como exigêcia parcial para obteção do título de Mestre em Esio de Ciêcias e Matemática. Orietador: Prof. Dr. Fracisco Régis Vieira Alves. Coorietador: Prof. Dr. Paulo César Cavalcate de Oliveira. Área de cocetração: Esio de Matemática. FORTALEZA - CE 08

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5 Dedico esta dissertação ao meu amado pai Fracisco Nogueira de Oliveira.

6 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por mais uma coquista. Agradeço ao meu pai, Fracisco Nogueira de Oliveira, pela dedicação e icetivo aos estudos. Por sempre compreeder a miha ausêcia em muitos mometos de sua vida, como cosequêcia de miha ocupação com as atividades do Mestrado. Por acompahar meu desevolvimeto profissioal e acadêmico. E, por acreditar, icodicioalmete, o meu potecial. Agradeço ao meu orietador, Prof. Dr. Fracisco Régis Vieira Alves, pela sua paciêcia e dedicação os mometos de orietação. E, pelo icetivo à pesquisa. Além do mais, expresso meus agradecimetos: Ao meu coorietador, Prof. Dr. Paulo César Cavalcate de Oliveira, pela sua dispoibilidade e suas sugestões o desevolvimeto da pesquisa. Ao Prof. Dr. Gilvadeys Leite Sales, pelos mometos de apredizado, pela ateção e pelo icetivo à pesquisa. A miha mãe Rosagela de Oliveira, aos meus irmãos; David de Oliveira e Wilker de Oliveira, e ao meu esposo Karleoe Magalhães por permitirem compartilhar mihas vivêcias e coquistas acadêmicas. A miha amiga Helea de Adrade por sua preseça sigificativa esta fase da miha vida, pelo seu compaheirismo os mometos de estudos, descotração, dificuldades e superação. E, pelas experiêcias viveciadas e compartilhadas em viages e evetos. Por fim, aos meus amigos Loa Medeiros, Jeirla Moteiro, Madalea Matos e Leticia Almeida pelo icetivo e compaheirismo. E, aos colegas mestrados pelos cohecimetos compartilhados durate o curso.

7 Existe algo que é mais forte do que o taleto: chama-se determiação. Ory Rodrigues Krishamurti.

8 RESUMO Esta pesquisa apresetou uma ivestigação em situações de esio sobre o estudo do processo de complexificação do modelo recursivo uidimesioal f f f, com f0 0 e f a partir da iserção de variáveis e da uidade imagiária i. Essa relação recorrete represeta e matematiza a situação-problema sobre a reprodução de coelhos proposta por Leoardo Pisao em 0, costituido a gêese do modelo de Fiboacci (MF). Esta pesquisa teve o objetivo de estudar a complexificação da Sequêcia de Fiboacci (SF), a fim de explorar, em situações didáticas, as represetações complexas do MF. Nesse setido, foi feita uma trasposição didática do modelo complexo de Fiboacci, cosiderado seus aspectos epistemológicos, cogitivos e didáticos. Para isso, foi feita uma aálise o campo epistêmico-matemático através da abordagem de propriedades ieretes ao modelo complexo de Fiboacci. Iicialmete, com a iserção de compoetes imagiárias e, cosequetemete, do aumeto dimesioal da recorrêcia, são exploradas relações recorretes ui, bi, tri e - dimesioais para os úmeros Gaussiaos de Fiboacci, que descrevem os termos da SF a forma complexa. Além do mais, foram discutidas represetações matriciais e poliomiais a variável real e complexa. Nesse repertório, vale destacar a classe dos Poliômios Bivariados, os Quaterios e Octoios defiidos para o MF. À vista disso, este trabalho foi orgaizado de acordo com o percurso metodológico da Egeharia Didática (ED): aálises prelimiares, cocepção e aálise a priori, experimetação e aálise a posteriori e validação. E, as situações de esio foram elaboradas com efoque a Teoria das Situações Didáticas (TSD) e aplicadas através da proposição de situações-problema. As situações didáticas realizadas permitiram mobilizar o pesameto ituitivo do estudate em direção ao raciocíio iferecial, possibilitado a compreesão de determiadas propriedades dos Poliômios Bivariados e Complexos de Fiboacci com êfase a sua abordagem matricial e poliomial complexa, da fórmula variate de Biet e extesão da SF complexa para ídices iteiros. Fialmete, pode-se cocluir que foi oportuizado aos docetes de Matemática, em formação iicial, o desevolvimeto de uma cocepção epistemológica do esio de História da Matemática (HM), o que diz respeito a sua relação itríseca com a epistemologia das relações matemáticas Fiboacciaas evideciado, assim, sua evolução uma perspectiva histórica. De fato, algus aluos maifestaram essa cocepção. Palavras-chave: Egeharia Didática. Teoria das Situações Didáticas. Modelo Complexo de Fiboacci. Poliômios Bivariados de Fiboacci. Quaterios e Octoios de Fiboacci.

9 ABSTRACT This research preseted a ivestigatio i teachig situatios about the study of the process of complexificatio of the oe-dimesioal recursive model f f f, with f0 0 ad f from the isertio of variables ad the imagiary uit i. This recurret relatioship represets ad mathematicises the problem situatio o rabbit breedig proposed by Leoardo Pisao i 0, costitutig the geesis of the Fiboacci Model (MF). The aim of this research was to study the Fiboacci Sequece (SF) complexificatio i order to explore the complex represetatios of the MF i didactic situatios. I this sese, a didactic traspositio of the complex Fiboacci model was made, cosiderig its epistemological, cogitive ad didactic aspects. For this, a aalysis was made i the epistemic-mathematical field through the approach of properties iheret to the complex Fiboacci model. Iitially, with the isertio of imagiary compoets ad cosequetly the dimesioal icrease of recurrece, ui, bi, tri, ad -dimesioal recurret relatios are explored for the Gaussia Fiboacci umbers, which describe the terms of SF i complex form. I additio, matrix ad polyomial represetatios were discussed i the real ad complex variable. I this repertoire, it is worth metioig the class of Bivariate Polyomials, the Quaterios ad Octoios defied for the MF. I view of this, this work was orgaized accordig to the methodological course of Didactic Egieerig (ED): prelimiary aalysis, coceptio ad a priori aalysis, experimetatio ad a posteriori aalysis ad validatio. Ad, the teachig situatios were elaborated focusig o the Theory of Didactic Situatios (TSD) ad applied through the propositio of problem situatios. The didactic situatios allowed to mobilize the studet's ituitive thikig towards iferetial reasoig, allowig the uderstadig of certai properties of Bivariate Complex Fiboacci Polyomials with emphasis o their complex matrix ad polyomial approach, the Biet variat formula ad the extesio of the complex SF for iteger idices. Fially, it ca be cocluded that the developmet of a epistemological coceptio of the History of Mathematics (HM) was offered to the teachers of Mathematics, i iitial formatio, regardig its itrisic relatio with the epistemology of the mathematical relatios Fiboacciaas evidecig, thus, its evolutio i a historical perspective. I fact, some studets have expressed this view. Keywords: Didactic Egieerig. Theory of Didactic Situatios. Complex Fiboacci Model. Bivariate Fiboacci Polyomials. Fiboacci Quaterios ad Octoios.

10 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura Leoardo Pisao (Fiboacci) Figura Espiral de Fiboacci: costrução o Software GeoGebra... 4 Figura 3 Propriedade comutativa: visualização das matrizes do tipo Q X e X Q o CAS Maple... 5 Figura 4 Outros casos particulares da sequêcia dos Gaussiaos de Fiboacci visualizados o CAS Maple Figura 5 Teorema forecido por Harma (98)... 6 Figura 6 Produtos matriciais visualizados o CAS Maple Figura 7 º caso de visualização o CAS Maple: decomposição em fatores irredutíveis dos termos poliomiais Figura 8 º caso de visualização o CAS Maple: decomposição em fatores irredutíveis dos termos poliomiais Figura 9 Quaterios: vetores o espaço quadrimesioal (Software GeoGebra)... 6 Figura 0 Quaterios: subespaço bidimesioal isomorfo aos úmeros complexos (Software GeoGebra)... 6 Figura Octoios: Plao Fao (Software GeoGebra) Figura Primeiros termos das sequêcias bivariadas poliomiais de Fiboacci e Lucas 69 Figura 3 Matriz tridiagoal... 7 Figura 4 Quadro comparativo da SF com o modelo matemático dos PBCF Figura 5 Complexificação da Sequêcia Geeralizada de Fiboacci Figura 6 Números Gaussiaos de Fiboacci: plao de Argad-Gauss (Software GeoGebra) Figura 7 Relação etre SF e SPBCF (aluo A, fases de ação e formulação) Figura 8 Determiação de um termo da SPBCF (aluo A 4, fase de validação) Figura 9 Determiação de um termo da SPBCF (aluo A, fase de validação) Figura 0 Caracterização da matriz proposta por Asci & Gurel (0) como tridiagoal (aluo A, fase de ação)... 8 Figura Estudo do comportameto da matriz tridiagoal as ordes quadradas (aluo A, fase de ação)... 8 Figura Estudo do comportameto da matriz tridiagoal as ordes quadradas (aluo A 5, fase de ação)... 8

11 Figura 3 Idetificação do determiate das matrizes como sedo uma represetação dos elemetos da SPBCF (aluo A, fase de formulação)... 8 Figura 4 Idetificação do determiate das matrizes como sedo uma represetação dos elemetos da SPBCF (aluo A 4, fase de formulação)... 8 Figura 5 Passo idutivo (aluo A, fase de validação)... 8 Figura 6 Demostração de D0 ( x, y) 0 det D ( x, y) x f( x, y), 0, por idução matemática (aluo A, fase de validação)... 8 Figura 7 Demostração de D0 ( x, y) 0 det D ( x, y) x f( x, y), 0, por idução matemática iserção do passo idutivo (aluo A, fase de validação) Figura 8 Demostração da Fórmula Variate de Biet parte (aluo A ) Figura 9 Demostração da Fórmula Variate de Biet parte (aluo A ) Figura 30 Iterpretação histórica e evolutiva da SF (aluo A 3, fase de ação) Figura 3 Hiato histórico os estudos da SF (aluo A, fase de formulação) Figura 3 Fórmula de Biet (aluo A 4, fase de ação) Figura 33 Fórmula de Biet e sua variate (aluo A 4, fase de ação) Figura 34 Fórmula variate de Biet (aluo A, fase de formulação) Figura 35 Fórmula variate de Biet (aluo A 4, fase de validação) Figura 36 Verificação de f f( x, y) ( x, y) para casos particulares (aluo A 5 ) ( y)

12 LISTA DE TABELAS Tabela Esquematização da reprodução de coelhos imortais Tabela Idetidades ui, bi e tridimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci Tabela 3 Propriedades oriudas dos modelos de Fiboacci e Lucas Tabela 4 Idetidades do modelo de Fiboacci discutidas a variável complexa... 3 Tabela 5 Produto quateriôico... 5 Tabela 6 Produto octoiôico Tabela 7 TSD: Categorização dos mometos de resolução das situações-problema... 88

13 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS CEP Comitê de Ética em Pesquisa DM Didática da Matemática ED Egeharia Didática HM História da Matemática IFCE Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia do Ceará IREM Istitut de Recherche sur l Eseigemet des Mathématiques MDC Máximo Divisor Comum MF Modelo de Fiboacci OF Octoios de Fiboacci PBCF Poliômios Bivariados e Complexos de Fiboacci PBF Poliômios Bivariados de Fiboacci PUD Programa de Uidade Didática QCF Quaterios Complexos de Fiboacci QF Quaterios de Fiboacci SF Sequêcia de Fiboacci SGP Sequêcia Geeralizada Poliomial SPBCF Sequêcia dos Poliômios Bivariados e Complexos de Fiboacci SPF Sequêcia Poliomial de Fiboacci TCLE Termo de Cosetimeto Livre e Esclarecido TSD Teoria das Situações Didáticas

14 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...4. Aálises Prévias Revisão Bibliográfica Abordagem Didática e Cogitiva da Sequêcia de Fiboacci Problemática e Justificativa da Pesquisa Objetivos da Pesquisa Objetivo Geral Objetivos Específicos... 8 REFERENCIAL TEÓRICO...0. A Egeharia Didática e a Teoria das Situações Didáticas Aálises Prelimiares..... Cocepção e Aálise a Priori A Teoria das Situações Didáticas Experimetação Trasposição Didática e Cotrato Didático Aálise a Posteriori e Validação (Itera e Extera) O Modelo de Fiboacci CAMPO EPISTÊMICO-MATEMÁTICO: A COMPLEXIFICAÇÃO DO MODELO DE FIBONACCI Relações Recorretes de Fiboacci: Iserção da Uidade Imagiária e Crescimeto Dimesioal Modelo Recursivo Uidimesioal de Fiboacci e Idetidades Números Gaussiaos de Fiboacci e Teoremas Relações Recorretes Bidimesioais e Idetidades Relações Recorretes Tridimesioais e Idetidades Relações Recorretes -Dimesioais e Idetidades Poliômios Bivariados de Fiboacci (PBF) Poliômios Bivariados e Complexos de Fiboacci (PBCF) O Modelo de Fiboacci a Variável Complexa A Fórmula de Hosberger e as Idetidades de Cassii, d Ocage e Catala Extesão para Ídices Iteiros: Represetações a Variável Complexa As Represetações a Variável Complexa z...

15 3.4 Quaterios Complexos de Fiboacci (QCF) Represetações Matriciais para os Quaterios de Fiboacci Os Quaterios de Fiboacci a Variável Complexa Octoios de Fiboacci (OF) Os Octoios de Fiboacci a Variável Complexa UMA EXPERIÊNCIA DIDÁTICA: O ESTUDO DA COMPLEXIFICAÇÃO DO MODELO DE FIBONACCI NO CURSO DE LICENCIATURA Cocepção das Situações Didáticas Aálise a Priori das Situações Didáticas Experimetação ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS Aálise a Posteriori e Validação Itera da Pesquisa CONSIDERAÇÕES FINAIS...9 REFERÊNCIAS...95 APÊNDICE A QUESTIONÁRIO: SITUAÇÕES-PROBLEMA...0 APÊNDICE B TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO (TCLE)...04 APÊNDICE C ESTRUTURA DA PESQUISA: ENGENHARIA DIDÁTICA E TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS...07 APÊNDICE D CAMPO EPISTÊMICO-MATEMÁTICO: COMPLEXIFICAÇÃO DO MODELO DE FIBONACCI...0 APÊNDICE E DEFINIÇÕES INERENTES À ÁLGEBRA... ANEXO A MATRIZ CURRICULAR DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA (IFCE CAMPUS FORTALEZA)...3 ANEXO B PROGRAMA DE UNIDADE DIDÁTICA (PUD): DISCIPLINA DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA (IFCE CAMPUS FORTALEZA)...5 ANEXO C PARECER DO COMITÊ DE ÉTICA EM PESQUISA (CEP)...7

16 4 INTRODUÇÃO A Didática da Matemática (DM) abrage pesquisas que ivestigam a existêcia e o surgimeto de possíveis obstáculos apotados a costrução epistemológica de coceitos matemáticos em situações de esio. Nessa perspectiva, este trabalho faz um estudo sobre a evolução histórica do Modelo de Fiboacci (MF), com êfase o seu processo de complexificação, a fim de trasformá-lo em um coteúdo a ser esiado. Nesse setido, aspectos epistemológicos, cogitivos e didáticos são cosiderados como pressupostos desta pesquisa, que foi orgaizada e escrita coforme a estrutura metodológica da Egeharia Didática (ED) de Artigue (995) em complemetaridade com a Teoria das Situações Didáticas (TSD) de Brousseau (976). Doravate, será apresetado o percurso iicial traçado para se realizar esta pesquisa, assim, são feitas aálises prévias fudametadas a Egeharia Didática, em seguida, a problemática e a justificativa da pesquisa são discutidas. E, fialmete, a questão orteadora é apresetada e os objetivos gerais e específicos são defiidos.. Aálises Prévias De acordo com as cocepções de Almouloud & Silva (0), as aálises prévias desta pesquisa foram realizadas com base a ED. Dessa forma, esse processo foi orgaizado em duas etapas. Na primeira, foi realizada uma revisão bibliográfica sobre a metodologia de pesquisa, a teoria de esio e o MF. Na outra etapa, foi feita uma descrição da abordagem didática e cogitiva da Sequêcia de Fiboacci (SF) relativa ao cotexto em que se pretedia aplicar e desevolver a pesquisa... Revisão Bibliográfica Com o ituito de delimitar a problemática, o objeto e objetivos desta pesquisa, foi feito um levatameto bibliográfico de artigos, dissertações e livros que abordam a SF, ED e TSD. Nesse acervo, destaca-se a Dissertação de Mestrado de Satos (07) sobre a geeralização da SF através da ED. Todavia, este trabalho possui um campo epistêmico-matemático Complexo defiido para o modelo de Fiboacci, represetado, assim, uma ampliação da abordagem Fiboacciaa feita por Satos (07). Dessa forma, esta revisão bibliográfica,

17 5 podem-se destacar dois mometos: um para aálise matemática e outro para reflexão da metodologia de pesquisa e teoria de esio. No primeiro mometo, foram pesquisadas defiições, relações e propriedades matemáticas ieretes à gêese e ao processo histórico-evolutivo com êfase a complexificação do MF. Iicialmete, foram estudados os úmeros Gaussiaos de Fiboacci através de relações recorretes ui, bi, tri e -dimesioais presetes os trabalhos de Berzseyi (977), Harma (98), Pethe & Horadam (986), Horadam (993), Koshy (00), Oliveira, Alves & Paiva (07). Em seguida, foi realizado um estudo sobre a Sequêcia Poliomial de Fiboacci (SPF) abordada os artigos de Brother (963), Hoggatt & Log (974) e Witford (977). Além disso, os Poliômios Bivariados e Complexos de Fiboacci (PBCF) foram ivestigados com base a literatura matemática de Hoggatt & Log (974), Asci & Gurel (0), Alves & Catario (06; 07). E, o modelo de Fiboacci a variável complexa é discutido os artigos de Taskoprü & Altitas (05) e Alves & Oliveira (07). Aida sobre o campo epistêmico-matemático, foram explorados os Quaterios Complexos de Fiboacci e suas propriedades discutidas os artigos da Matemática Pura, os quais podem ser destacados os autores: Hamilto (848), Horadam (963; 993), Coway & Smith (003), Sagwie, Ell & Biham (0), Halici (0; 03), Flaut & Shpakivskyi (03), Dray & Maogue (05), Oliveira & Alves (08), Alves (08a). Além do mais, foram estudados os Octoios fudametado-se os trabalhos de Coway & Smith (003), Pedeza (006), Batista & Satos (0), Dray & Maogue (05), Satos (06) e Karataş & Halici (06). E, uma abordagem octoiôica da SF, foram usados como referêcias os seguites autores: Keçilioglu & Akkus (04), Savi (05), Halici (05), Ipek & Çime (06) e Alves (08a). Na seguda etapa, foram realizadas leituras sobre a ED e TSD. Nesse cotexto, destacam-se os autores: Brousseau (976; 008), Artigue (995), Pais (00), Almouloud (007), Almouloud & Silva (0), Almouloud (06), Alves (06a) e Silva & Almouloud (08) que ivestigam as situações de esio se orietado a vertete fracesa da DM uma abordagem teórica e metodológica. A seguir, será feita uma descrição do cotexto didáticocogitivo em que a SF está iserida.

18 6.. Abordagem Didática e Cogitiva da Sequêcia de Fiboacci Neste tópico, será descrito o cotexto didático-cogitivo em que a SF é abordada e, também, ode a pesquisa foi aplicada e desevolvida. Dessa forma, foi aalisada a matriz curricular do curso de Liceciatura em Matemática do Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia do Ceará (IFCE), campus Fortaleza. Esse curso foi escolhido por oferecer formação iicial para professores de Matemática. Logo, as emetas das disciplias que compõem a matriz do curso foram avaliadas, a fim de selecioar a que melhor se adequasse à proposta desta pesquisa. Após isso, foi defiida a disciplia de História da Matemática (HM) para aplicação e desevolvimeto da pesquisa. Dessa forma, vale cometar que a disciplia de HM é obrigatória a matriz curricular (ver Aexo A) do curso de Liceciatura em Matemática. Assim, foi verificado que a emeta da disciplia de HM (ver Aexo B) abrage os seguites assutos: o coceito de úmero e os sistemas de umeração; o processo histórico-evolutivo da Aritmética, Álgebra e Geometria; a biografia dos matemáticos que cotribuíram sigificativamete para esse processo e a História da Matemática o Brasil. Com isso, costatou-se que a SF é trabalhada a seção que discute a HM o cotexto da Idade Média, em que o matemático Leoardo de Pisa propõe, a sua obra Liber Abbaci, o problema que deu origem à SF. Além do mais, detre os livros adotados usualmete como aporte a disciplia de HM e dispoibilizados a biblioteca da istituição, destacam-se os dos autores: Estrada, et al. (000), Eves (004) e Boyer (006). Esses livros abordam a SF de forma pouco pormeorizada, cetrado a discussão a biografia de Leoardo Pisao e o cotexto do período histórico em que surgiu o MF. Além disso, apresetam a relação matemática de recursividade, mas ão discutem as relações matemáticas oriudas do modelo. Essa descrição cotextual permitiu descrever a problemática e a justificativa desta pesquisa, o que serão abordados o próximo tópico.. Problemática e Justificativa da Pesquisa Numa vertete histórica, justificou-se a problemática desta pesquisa o fato de que algus livros de HM apresetam discussões superficiais sobre os coceitos matemáticos e as relações oriudas da SF. Essa cocepção é reforçada por Alves & Borges Neto (0). Além do mais, Alves (07a) apota a existêcia de hiatos históricos, o cotexto da HM,

19 7 referetes a defiições matemáticas Fiboacciaas e explica que esses hiatos são caracterizados pela estagação epistemológica causada pelo aparecimeto de obstáculos, durate a costrução de determiados coceitos matemáticos. Assim, a superação desses obstáculos proporcioa o processo histórico-evolutivo do modelo matemático que, o caso desta pesquisa, efatiza a complexificação da sequêcia geeralizada de Fiboacci. Desse modo, a revisão bibliográfica apresetada, ateriormete, direcioa uma ivestigação dos elemetos de ordem epistemológica, cogitiva e didática uma perspectiva histórica e evolutiva da SF. Do poto de vista epistemológico, pode-se compreeder a existêcia da evolução do modelo recursivo uidimesioal da SF em direção a um processo de complexificação a partir da iserção de uidades imagiárias e variáveis. O MF tem sua gêese a situação-problema proposta por Leoardo Pisao em 0, relacioada à reprodução de coelhos. Todavia, a complexificação do MF é discutida, a priori, a literatura da Matemática Pura, assim, ão compodo a matriz curricular do curso de Liceciatura em Matemática. Dessa forma, com o objetivo de trasformar esse coteúdo em um tópico a ser esiado, as cosiderações de Alves (06a, p.) são relevates, pois esse autor explica que desde 980, pesquisadores, educadores matemáticos, estudam os feômeos ieretes ao esio de Matemática, através de teorias de esio relacioadas com a trasposição didática, esse cotexto, destacou-se a ED para fudametar esta atividade ivestigativa, buscado a complemetaridade a TSD. À vista disso, esta pesquisa foi orteada pela seguite questão: como desevolver um estudo sobre o processo de complexificação da sequêcia geeralizada de Fiboacci, de modo a realizar situações didáticas que oportuizem a ivestigação de seus teoremas e suas propriedades, explorado sua represetação complexa uma perspectiva epistemológica, o que diz respeito à sua origem e evolução histórica? Para isso, foram articulados algus aspectos das dimesões epistemológica, cogitiva e didática. Nesse setido, os aspectos cogitivos estão associados à apredizagem dos coceitos matemáticos, em que é possível mobilizar o pesameto ituitivo do aluo em direção ao raciocíio iferecial durate as etapas de ação, formulação e validação a resolução das situações-problema avaliada com efoque a TSD. No plao didático, foi destacada a efetivação da trasposição didática das defiições e relações matemáticas também

20 8 com aporte a TSD. Tais aspectos didáticos e cogitivos são cosiderados quado se propõe uma experiêcia de esio do modelo complexo de Fiboacci, o Esio Superior especificamete a disciplia de HM. E a dimesão epistemológica, foram cosiderados os elemetos ieretes à gêese e ao processo evolutivo do MF, com êfase a ivestigação do processo de complexificação do modelo recursivo uidimesioal. Fialmete, ressaltado que a disciplia de HM compõe a matriz curricular do curso de Liceciatura em Matemática, buscou-se com esta pesquisa, apresetar uma abordagem didática que oferecesse aos professores de Matemática em formação iicial, uma proposta de esio que os permita iserir a sua prática em sala de aula, especificamete o esio de HM, elemetos de caráter histórico e evolutivo uma perspectiva epistemológica das propriedades matemáticas. Cosiderado esse cotexto, a seguir, serão apresetados os objetivos gerais e específicos desta pesquisa..3 Objetivos da Pesquisa Astolfi & Develay (0) apresetam a cocepção de objetivos-obstáculos, essa expressão está relacioada com o fato de que a determiação dos objetivos está associada à previsão de possíveis obstáculos que veham surgir durate o apredizado de certos coceitos cietíficos. Por outro lado, uma vertete da DM, os objetivos gerais e específicos, deste trabalho, são defiidos cosiderado como pressupostos os elemetos de ordem epistemológica, cogitiva e didática. Dessa forma, o tópico a seguir, o objetivo geral será apresetado..3. Objetivo Geral Realizar uma trasposição didática do modelo complexo de Fiboacci. Ou seja, desevolver um estudo sobre o processo de complexificação da sequêcia geeralizada de Fiboacci, a fim de explorar, em situações didáticas, as represetações complexas através de teoremas e propriedades oriudas do MF. E, assim, oportuizar a compreesão do desevolvimeto histórico-evolutivo, isto é, epistemológico-matemático, da SF..3. Objetivos Específicos

21 9. Ivestigar os teoremas e propriedades ieretes: aos úmeros Gaussiaos de Fiboacci e suas relações recorretes -dimesioais, PBCF, Quaterios Complexos de Fiboacci e Octoios de Fiboacci;. Estudar represetações poliomiais do modelo de Fiboacci a variável complexa; 3. Explorar, em situações de esio, represetações matriciais, a extesão para ídices iteiros e a fórmula de Biet para a classe dos PBCF; 4. Apresetar o desevolvimeto histórico-evolutivo, isto é, epistemológico-matemático, da SF ierete ao seu processo de complexificação, através da proposição de situações-problema em sala de aula. Doravate, será discutido o aporte teórico desta pesquisa, o qual é composto pelo MF, pela ED e TSD, estas duas últimas são, respectivamete, metodologia de pesquisa e teoria de esio.

22 0 REFERENCIAL TEÓRICO O desevolvimeto de estudos direcioados à DM ocorreu a partir de 970 a Fraça, um cotexto histórico, o qual estava acotecedo a reforma da Matemática Modera, além disso, outros fatos como a criação do IREM (Istitut de Recherche sur l Eseigemet des Mathématiques), Istituto de Pesquisa sobre Esio da Matemática, e o êxito das teorias psicológicas de Piaget sobre o desevolvimeto da iteligêcia e a aquisição de coceitos fudametais, cotribuíram para se estabelecer um campo cietífico que ivestigasse a DM. A preocupação era estudar os problemas de esio de coceitos matemáticos em razão das exigêcias próprias do saber matemático (ALMOULOUD, 007, p. 5-6), levado em cosideração aspectos das dimesões epistemológica, cogitiva e didática (ARTIGUE, 995, p. 98). Assim, o: Coteúdo de cohecimeto é desigado como um saber a ser esiado, em seguida, sofre de um cojuto de mudaças adaptativas que o toram adequado para um lugar etre os objetos de esio. O "trabalho" que trasforma um objeto de saber para esiar em um objeto de esio é deomiado de trasposição didática (CHEVALLARD, 998, p. 45). Dessa forma, Pais (00, p. 9) explica que o estudo da DM está iteiramete associado às oções de coceitos, pois esse setido, podem-se compreeder problemas que são apotados a costrução epistemológica dos coceitos matemáticos e dos coceitos didáticos, quado cosiderados o plao pedagógico. Além disso: A didática da Matemática é uma das tedêcias da grade área da educação matemática, cujo objeto de estudo é a elaboração de coceitos e teorias que sejam compatíveis com a especificidade educacioal do saber escolar matemático, procurado mater fortes vículos com a formação de coceitos matemáticos, tato em ível experimetal da pratica pedagógica, como o território teórico da pesquisa acadêmica (PAIS, 00, p. ). A seguir, será discutida a ED em complemetaridade com a TSD, assim, como os elemetos de ordem epistemológica, cogitiva e didática uma vertete fracesa da DM, a fim de compreeder como tais aspectos estão iseridos e como iterferem o processo de esio da Matemática.. A Egeharia Didática e a Teoria das Situações Didáticas A ED teve sua gêese o iício de 980 o cotexto DM. Pais (00, p. 00) explica que o termo ED faz referêcia ao trabalho do pesquisador, estabelecedo uma comparação com o trabalho de um egeheiro quato aos mometos de cocepção, elaboração e execução

23 de um projeto arquitetôico, sedo essa uma trajetória, semelhatemete, traçada por um pesquisador a área de didática, que assim como o egeheiro também precisa de um modelo teórico para implemetar o seu projeto. Artigue (995, p ) descreve a ED como uma proposta de metodologia experimetal com efoque em situações de esio, com êfase a sala de aula, ode se podem realizar situações didáticas, as quais é observado e aalisado o processo de esio e apredizagem. Dessa forma, segudo Almouloud (007, p. 7), essa metodologia permite o professor, equato pesquisador, ter suas produções utilizadas em pesquisas que estudam os processos de esio e apredizagem de um dado objeto matemático e, em particular, a elaboração de gêesis artificiais para um dado coceito. Além do mais, Alves (06b, p. 70) relata que a pesquisa, fudametada ada ED, é orgaizada em duas categorias: a microegeharia, que ivestiga especificamete a complexidade dos feômeos associados à sala de aula e a macroegeharia, que estuda as dificuldades de ordem metodológica e/ou istitucioais ieretes ao processo de esio e apredizagem. Dessa forma, atetado-se para o fato de que as pesquisas têm sua fase de experimetação em sala de aula, Pommer (03, p. ) orieta que as questões a serem exploradas em sala de aula, devem ser propostas como situações-problema, que coduzam o processo de apredizagem e permitam que o professor istigue a criatividade e a autoomia dos aluos a formulação de estratégias de soluções, tedo como pressupostos seus cohecimetos prévios. Assim: As escolhas locais estão articuladas com previsões a respeito do comportameto dos aluos. Ao mesmo tempo em que explicamos como se vai tetar desevolver um cotrole das relações etre os setidos dos comportametos dos aluos e as situações didáticas propostas, formulamos hipóteses que serão comparadas com os resultados fiais, cotribuido para validação da Egeharia. Procuramos deixar claro, as setas do Mapa da Egeharia, que, croologicamete, tomar decisões e formular hipóteses são ações simultâeas. Ates do Plao, as hipóteses estão implícitas. Toram-se explícitas e verbalizadas após o delieameto do Plao de Ação, quado se tem idéia do todo (CARNEIRO, 005, p. 03). De acordo com a cocepção de Pais (00, p. 0), a ED é um sistema orgaizado em quatro fases cosecutivas: aálises prelimiares, cocepção e aálise a priori, experimetação e aálise a posteriori e validação. É válido acetuar que a experimetação desta pesquisa teve efoque a TSD a fim de mobilizar o pesameto ituitivo do aluo em direção ao raciocíio iferecial durate a costrução de coceitos e relações matemáticas.

24 Além disso, Pommer (03, p. ) descreve que durate a aálise a priori, tem-se a possibilidade de prever o comportameto dos aluos a situação didática (experimetação). Para isso, é ecessário escolher as variáveis didáticas relevates, que vão ortear os aluos durate a costrução de possíveis estratégias de solução. No mometo da aálise a posteriori, é feita uma comparação etre os objetivos defiidos e o desempeho dos aluos a situação de esio, a fim de validar as hipóteses didáticas estabelecidas. Numa vertete fracesa, Pais (00, p. 99) acetua que essa metodologia de Artigue (995) possibilita orgaizar um percurso para se realizar uma pesquisa cetrada o esio de Matemática, a qual se pretede ivestigar o vículo etre teoria e prática sem reduzir seus sigificados dimesioais. Por coseguite, serão discutidos aspectos de ordem epistemológica, cogitiva e didática, a fim de compreeder a articulação etre essas dimesões com as etapas da ED... Aálises Prelimiares Almouloud & Silva (0, p. 6) explicam que as aálises prelimiares são realizados: um levatameto bibliográfico sobre os coceitos matemáticos que se pretede ivestigar, uma aálise epistemológica do esio atual e seus efeitos, das cocepções dos aluos, dificuldades e obstáculos, e aálise do campo das restrições e exigêcias o qual vai se situar a efetiva realização didática. Segudo Pais (00, p. 0), é relevate que se faça uma descrição das dimesões epistemológica, cogitiva e didática ieretes ao objeto de pesquisa, fudametado-se em um quadro teórico. Além do mais, acetua-se que: Nesta aálise prelimiar é feita uma revisão bibliográfica evolvedo as codições e cotextos presetes os vários íveis de produção didática e o ambiete ode ocorrerá a pesquisa, assim como uma aálise geral quato aos aspectos históricoepistemológicos dos assutos do esio a serem trabalhados e dos efeitos por eles provocados, da cocepção, das dificuldades e obstáculos ecotrados pelos aluos detro deste cotexto de esio (POMMER, 03, p. 3). Nesse setido, o coceito de objetivos-obstáculos é discutido por Astolfi & Develay (0, p ), que idicam a ecessidade de defiir algumas fialidades quado se pretede trabalhar certos coteúdos uma situação de esio. Desse modo, esses objetivos são determiados partido da previsão e idealização do processo, o qual os aluos poderão ter dificuldade de ateder à meta proposta a resolução de uma situação-problema. Equato, os obstáculos são as dificuldades apotadas a costrução de um coceito cietífico. Assim,

25 3 esses autores explicam que os objetivos-obstáculos se restrigem à seleção de objetivos a partir da idetificação dos obstáculos epistemológicos e psicológicos. À vista disso, os elemetos de ordem epistemológica apresetam relevâcia uma pesquisa o esio de Matemática, através da aálise epistemológica a DM. Para isso, é válido compreeder a epistemologia como uma teoria do cohecimeto que, segudo Almouloud (007, p. 49), abrage um estudo sobre a composição dos cohecimetos cietíficos, assim, cosiderado sua origem histórica, sua recostrução metal em cada sujeito e seu comportameto em determiadas fases da costrução do saber cietífico. Dessa forma: [...] a didática da matemática cogrega coceitos de diversas disciplias: matemática, epistemologia, liguística, psicologia, sociologia, ciêcia da educação etc. A particularidade da didática em relação a essas disciplias se ecotra a dimesão epistemológica de sua problemática, que cosidera a especificidade dos cohecimetos em jogo (ALMOULOUD, 007, p. 49). Assim, os saberes matemáticos são aalisados epistemologicamete, a fim de compreeder os seus elemetos históricos, priorizado os coceitos matemáticos. Quado se trabalha uma metodologia de esio tradicioal, a Matemática é apresetada com certo rigor, ou seja, os seus coceitos e suas oções são apresetados como verdades absolutas. No etato, a aálise epistemológica, tem-se a possibilidade de ivestigar esses coceitos fudametais, isto é, de questioá-los. Almouloud (007, p. 5) destaca que [...] os problemas de fudameto ão são sempre os primeiros a ser estudados em matemática. Por exemplo: os fudametos teóricos da aálise foram estudados depois de séculos de utilização dos coceitos como ferrametas para a resolução de problemas. Além disso: A aálise epistemológica apoia-se o desevolvimeto histórico do coceito. Assim, permite idetificar as diferetes cocepções sobre um determiado objeto, como também permite agrupá-las em classes pertietes para que se possa fazer uma aálise didática. Esse tipo de aálise pode auxiliar o pesquisador em didática da matemática a eteder melhor as relações etre os objetos matemáticos e cotrolar as variáveis didáticas relacioadas com o processo de esio e apredizagem de tais objetos (ALMOULOUD, 007, p. 56). No âmbito da DM, a aálise epistemológica tem o propósito de ivestigar a origem do desevolvimeto da Matemática, equato cohecimeto cietífico, permitido perceber a existêcia da difereça etre o saber cietífico e o saber que se pretede esiar. Nesse setido, o terreo epistêmico pelo qual trasitamos ecessita de vigilâcia, pois tedo em vista sua atureza, obstáculos e etraves, muitas vezes itraspoíveis, podem surgir. E, esse cotexto é que falamos de um obstáculo epistemológico (ALVES, 06c, p.37).

26 4 Nessa perspectiva aalítica, o pesquisador em DM pode apotar os possíveis obstáculos, classificado-os em dois grupos: um que abrage as dificuldades de esio e apredizagem dos coceitos matemáticos e o outro grupo composto por barreiras itrísecas do desevolvimeto do cohecimeto cietífico. Dessa maeira, os obstáculos ão represetam a ausêcia do cohecimeto, ao cotrário, eles destacam a existêcia do cohecimeto, que se ecotra imobilizado e resistete a mudaças e reformulações de seus coceitos. Isso ocorre, segudo Pais (00, p. 39), porque há pessoas que acreditam que essas trasformações [...] ameaçam a estabilidade itelectual de quem detém o cohecimeto. Por outro lado, o cotexto da epistemologia da ciêcia, Bachelard (996, p.) idica que o historiador da ciêcia deve compreeder as ideias como se fossem fatos, equato, o epistemólogo deve compreeder os fatos como se fossem ideias, assim, icorporado-as a um cojuto de pesameto, de modo que, o obstáculo surge como um cotra-pesameto, que se origiou a partir da hermeêutica errôea dos fatos, o que para o historiador cotiua sedo apeas um fato. Em outras palavras, Bachelard (996, p.8-9) afirma que o cohecimeto adquirido pelo esforço cietífico pode decliar. [...] A partir daí, a atividade espiritual se iverte e se bloqueia. Um obstáculo epistemológico se icrusta o cohecimeto ão questioado. Aalogamete, o cotexto da epistemologia da Matemática, pode-se eteder que os obstáculos epistemológicos exercem uma fução importate o que diz respeito ao processo histórico e evolutivo do cohecimeto, porém eles são igorados explicitamete, quado se discute o saber esiado e/ou apredido (ALMOULOUD, 007, p. 39). Além do mais, quado se busca compreeder o coceito de obstáculos epistemológicos, tomado como referêcia o desevolvimeto dos coceitos matemáticos, se faz ecessário levar em cosideração a existêcia de dois processos distitos: o primeiro, que está associado à fase iicial da descoberta das oções e cocepções matemáticas, e o segudo, que se refere à forma (redigida), a qual se represeta os coceitos costruídos. Com isso, o cotexto da Matemática, pode-se dizer que os obstáculos surgidos durate a produção e apredizagem do cohecimeto, dificilmete serão registrados historicamete. Ou seja, [...] os avaços, retrocessos, dúvidas e erros cometidos a etapa em que as cojecturas são feitas pelo matemático, praticamete, desaparecem o resultado fial apresetado pelo texto cietifico (PAIS, 00, p. 4).

27 5 À vista disso, os obstáculos de origem epistemológica são aspectos peculiares do saber, desse modo, pode-se apotar como um obstáculo, a dificuldade que os matemáticos maifestam para compreeder e costruir determiados coceitos. Almouloud (007, p. 39) apreseta, como exemplo, a situação a qual se desevolveu o estudo da probabilidade, pois durate o desevolvimeto da teoria das medidas e teoria da itegração, as quatidades cotíuas represetaram uma barreira que impedia Borel e Lebesgue desevolverem esse coceito. No etato, puderam ser idetificados diversos paradoxos famosos graças a esse obstáculo, tal como o paradoxo de Bertrad. Pais (00, p. 48) ateta para o fato de que o espírito de vigilâcia é idispesável a geeralidade, pois como a ciêcia está sempre em busca de geeralizar suas teorias, a geeralidade pode se torar um empecilho a costrução do cohecimeto cietífico. Etretato, [...] a técica da idução matemática ão se baseia em uma lógica idutiva. A observação de casos particulares ão serve para fudametar uma demostração, o máximo, pode sugerir uma cojectura. Vale ressaltar que, a sequêcia adotada uma geeralização epistemológica de um coceito matemático, se iicia em um caso específico, desse modo ela deve ser cojecturada a partir de casos particulares e por meio de um leto processo que evolve idagações, reflexões, avaços e retrocessos, culmiado em uma demostração como sítese da elaboração do saber (PAIS, 00, p. 49). Alves (06c, p.39) apota o sistema simbólico otacioal como um icidete característico simbólico a HM, que atuou com um obstáculo o desevolvimeto evolutivo dos coceitos matemáticos. Isto é, o uso de certa represetação, quado observada uma perspectiva epistemológica, que efatiza o cotexto de resolução de problemas, poderá ser mais eficiete ou meos eficietemete icorporada ao patrimôio idividual e privado dos sujeitos em situação. Dessa forma, compreede-se que, o plao pedagógico: [...] vale a advertêcia do caráter epistemológico que reside em imprimir ao raciocíio do estudate, o caráter moossêmico e iferecial, característico das teorias formais. [...] Assim como os teoremas e as teorias fudates, que coferem seu caráter de certeza, se mostram etrelaçadas com uma teia epistêmica de cocepções e saberes que ão são egligeciados pela Didática da Matemática (ALVES, 06c, p. 40-4). Paradoxo de Bertrad: Dado um círculo com um triâgulo equilátero iscrito, quado se cosidera uma corda qualquer, qual a probabilidade dessa corda ter comprimeto maior que o lado do triâgulo? Esse paradoxo apreseta um problema que admite várias soluções, o que a pricípio prove cotraditório. E, isso acotece devido às diferetes iterpretações feitas do euciado do problema.

28 6 Por coseguite, para Pais (00, p. 45), a evolução histórica e epistemológica de um cohecimeto cietífico ocorre quado se tem uma ruptura epistemológica com os saberes atigos, que até etão permaeciam itactos a ciêcia. Nesse setido, Bachelard (996, p. -3) explica que o epistemólogo deve compreeder os coceitos cietíficos como resultados psicológicos efetivos e progressivos, além de relacioá-los a outros, o setido de que os coceitos são origiados a partir de outros coceitos. Isso permitirá [...] avaliar a eficácia epistemológica. O pesameto cietífico vai logo aparecer como dificuldade vecida, como obstáculo superado. Embora a oção Bachelardiaa teha iflueciado Brousseau a cocepção de suas teses, as oções de obstáculo epistemológico propostas por Bachelard e Brousseau diferem sigificativamete. Pois, para Bachelard, a úica área de cohecimeto que ão apresetou obstáculos epistemológicos foi a Matemática, de maeira que a oção só se aplica às ciêcias aturais (experimetais). Assim, a cocepção de Brousseau de obstáculo parte das cosiderações de Bachelard, porém, é ispirada e iflueciada por outras questões, como as de ordem didática, as quais ão são cosideradas por Bachelard. Nesse setido, Brousseau (976) discute os aspectos cogitivos dos sujeitos evolvidos o processo, buscado compreeder como eles se comportam quado estão em cotato com o cohecimeto matemático de origem epistemológica, ou seja, um cohecimeto a priori ão escolar. Para isso, parte da apresetação dos obstáculos de origem otogêica que, segudo Brousseau (976, p. 08), são aqueles que se origiam devido às limitações europsicológicas do sujeito o mometo do seu desevolvimeto, ele desevolve cohecimetos apropriados aos meios e metas. Além disso, vale cosiderar que: A epistemologia geética coloca em evidecia os estágios, as acomodações e o processo de assimilação (assimilatios), que às vezes, se assemelham às etapas de desevolvimeto dos coceitos pela lei de regulação que os fazem aparecer, e que diferem da atureza exata das limitações que determiam essa regulação (BROUSSEAU, 976, p. 08). Numa abordagem geética, os obstáculos psicológicos são apotados quado o idivíduo se depara com determiados aspectos o processo de apredizagem, os quais egam suas cocepções itrísecas ou iduz uma desestabilização iaceitável, como, por exemplo: a lógica matemática ão é a lógica da vida do dia-a-dia (ALMOULOUD, 007, p. 44). Todavia, Pais (00, p ) cometa que os obstáculos epistemológicos têm sua gêese a dimesão histórica, cultural e social, dessa forma, pode-se relacioá-los à apredizagem do idivíduo, pois a maioria deles é formada pelo imagiário do sujeito cogitivo. Nesse

29 7 setido, as dificuldades ieretes ao imagiário cogitivo de apredizagem dos cohecimetos impedem o avaço da Ciêcia. Na visão de Pais (00, p ), a cocepção de obstáculos epistemológicos surgiu detro do cotexto histórico e cietífico da pedagogia, por isso, é valido deomiar os obstáculos como didáticos que, por sua vez, são cosiderados como cohecimetos que estão itelectualmete estagados, dificultado a apredizagem de coteúdos escolares. Desse modo, como a DM pretede ivestigar o processo evolutivo de seus coceitos, etão, ela deve abrager em sua aálise os obstáculos ão somete em seu aspecto histórico e extero. A DM tem o objetivo de averiguar como se pode fazer a trasposição didática dos coceitos matemáticos para a área de esio e apredizagem, o etato, é ecessário que se compreeda o modo como se orgaiza os cohecimetos e como as ovas cocepções são iseridas a estrutura cogitiva do aluo. A chegada dos ovos coceitos permite apotar os possíveis obstáculos. Além disso, Pais (00, p. 55) apreseta os coceitos como sedo oções gerais e abstratas, que são desevolvidas em um determiado campo específico de cohecimeto, para produzir a característica itríseca de um grupo de objetos e situaçõesproblema articulados com aspectos do dia-a-dia. Assim, a cocepção de Almouloud (007, p. 4-4), os obstáculos didáticos surgem a trasposição didática, podedo ser apotados, durate a aplicação da metodologia de esio adotada pelo professor, quado se trabalha os coceitos matemáticos, cuja validade é questioada. Obstáculos desse tipo podem ser observados a seguite situação: Por exemplo, a apresetação atual dos decimais o ível elemetar é o resultado de uma loga evolução o cotexto de uma escolha educacioal (didactique) feita pelos eciclopedistas seguida por coveção [...]. Dada sua utilidade, os úmeros decimais seriam esiados o mais rápido possível, associados a um sistema de mesura e em referêcia às técicas de aplicação em um todo. Assim, hoje, os decimais são, para os aluos, iteiros aturais com uma mudaça de uidade, tão aturais (com uma vírgula) e medida. E este projeto, apoiado por uma mecaização do aluo, irá criar obstáculos até o D.E.U.G. É característico que o pricipal fator de discrimiação dos aluos em um questioário recete (IREM de Roue) seja o cálculo que evolve tato decimal como os produtos de uma potêcia de dez. Assim, é a compreesão mesma da defiição dos decimais que explica os comportametos dos aluos. Mas, atualmete, esse obstáculo tora-se, às vezes, didático e sociocultural (BROUSSEAU, 976, p. 08). À vista disso, Alves (06c, p.4) acetua que o plao de esio, o docete deve trabalhar a compreesão de coceitos matemáticos, ão apeas o que diz respeito a sua Primeiro período do esio superior.

30 8 atureza edógea, mas também a sua relevâcia didática costruída a partir das vivêcias e idiossicrasias particulares que proporcioa ao aprediz a origem de um repertório amplo de situações-problema que o permitam explorar e, paulatiamete, elaborar e reelaborar costruções e modelos metais de ação eficazes. Numa dialética da apredizagem, Alves (06c, p.43) relata que o aluo orgaiza dois tipos de esquemas metais para resolver ou ivestigar uma determiada situaçãoproblema, o primeiro, se mostra balizado por um corpus teórico particular, defiido a priori pelo expert e, relativamete ao qual, o estudate está autorizado a desevolver/elaborar suas iferêcias. Equato, o segudo esquema se fudameta um sigificado implícito e itríseco do aluo, ou seja, o atributo de difícil explicação, porém, ele se tora perceptível quado o idivíduo etra em ação diate da situação-problema, a fim de resolvê-la. Essa estrutura de raciocíio compõe o que se cohece como pesameto ituitivo. Dessa forma, Pais (00, p. 44) destaca o fato de que os obstáculos, de modo geral, têm sua origem a itersecção da ivestigação a dimesão itríseca da Ciêcia e da Didática, formado um âmbito favorável para se discutir o esio de Matemática. Nesse setido, o esio de Matemática abrage aspectos de caráter epistemológico dos coceitos matemáticos e otogêicos dos idivíduos que costroem esse cohecimeto, partido de uma trasposição didática, isto é, a trasformação do cohecimeto cietífico em um coteúdo escolar. Nessa vertete didática, Pais (00, p. 69) explica que o desevolvimeto cogitivo do aluo, ocorre o mometo em que o sujeito percebe a difereça etre o saber e o cohecimeto. O saber possui atureza histórica e impessoal, equato, o cohecimeto se maifesta quado o aluo é orietado a usá-lo em situações-problema. Almouloud (007, p. 3) acetua que essa situação está relacioada à epistemologia costrutivista de Piaget, o que diz respeito ao aspecto biológico, que permite ao idivíduo participar do processo de apredizagem através da adaptação. Além disso: Os obstáculos de origem epistemológica são aqueles que ão podem e ão devem escapar do fato de seu papel costitutivo estar o cohecimeto alvejado, eles podem ser ecotrados a história dos próprios coceitos. Isso ão sigifica que devemos multiplicar os seus efeitos ou devemos reproduzir a escola (milieu) as codições históricas em que ós os derrotamos (BROUSSEAU, 976, p. 08). Desse modo, Pais (00, p ) cometa que a adaptação é uma habilidade que o aluo desevolve a partir de seus cohecimetos prévios, quado estão diate de uma

31 9 situação-problema. Esse cotexto serviu como ispiração para Brousseau formular a TSD, destacado uma aproximação com os chamados esquemas de assimilação e acomodação, que foram descritos iicialmete por Piaget. Assim: O projeto de apredizagem, com base o estudo do desevolvimeto do cohecimeto em termos de obstáculos, difere sigificativamete da cocepção covecioal, especialmete em relação à fução e orgaização das situaçõesproblema. E isso, especialmete, desde que a questão desempehe um papel fudametal o processo (BROUSSEAU, 976, p. 08). O domíio de coteúdo e a experiêcia do professor são fatores fudametais para que ele possa selecioar ou elaborar um cojuto de situações-problema relacioadas com os coceitos matemáticos que se pretede trabalhar. As questões propostas devem permitir um avaço a apredizagem. Para isso, é ecessário que o docete adote uma metodologia de esio que possua uma estrutura composta por elemetos das dimesões epistemológica, cogitiva e didática e dê codições ao professor de prever a ação dos aluos, quado estes se deparam com a situação apresetada pelo professor (ALVES, 06c, p.45). No próximo tópico, será discutida a fase da ED referete à cocepção e aálise a priori, tedo como pressuposto a TSD... Cocepção e Aálise a Priori Na cocepção e a aálise a priori, são defiidas as variáveis que compõem o sistema de esio e que são relevates uma situação didática. Coforme Almouloud & Silva (0, p. 6), o professor-pesquisador deve selecioar certo úmero de variáveis de comado, sedo microdidáticas ou macrodidáticas, a fim de explorá-las uma situação de esio. Para ortear a defiição das variáveis, deve-se: Descrever as escolhas feitas o ível local (relacioado-as evetualmete com as seleções globais) e as características da situação adidática desevolvida; Aalisar o que poderia estar em jogo esta situação para o aluo, em fução das possibilidades de ação, seleção, decisão, cotrole e validação que o aluo terá durate a experimetação. Prever campos de comportametos possíveis e tetar demostrar como a aálise permite cotrolar seus sigificados e assegurar, particularmete, que se tais comportametos esperados ocorreram, é por cosequêcia do desevolvimeto visado pela apredizagem (ALMOULOUD & SILVA, 0, p. 7). Além do mais, essa fase o professor-pesquisador deve ter iteralizado que existe a possibilidade de trasformar um cohecimeto cietífico em um coteúdo que possa ser esiado e, também, devem ser elaboradas as hipóteses didáticas e as situações-problema, as

32 30 quais são defiidas por Almouloud (007, P. 74) como questões subjetivas / objetivas, cuja fução iicial é implícita e o decorrer de sua solução, tora-se explícita de coceitos matemáticos. Assim: Essas situações-problema devem permitir ao aluo ivestigar e distiguir camihos para resolver problemas, adquirir ovos cohecimetos/saberes e estratégias de resolução. Essas situações-problema devem auxiliar o aluo a costrução de cohecimetos e saberes, e o desevolvimeto de habilidades, como, por exemplo, saber ler, iterpretar e utilizar represetação matemática em demostrações de propriedades e teoremas etc. (ALMOULOUD, 06, p.3). Numa perspectiva metodológica de esio, a DM se referecia à TSD desevolvida pelo fracês Guy Brousseau. Essa teoria abrage três elemetos pricipais: o aluo, saber e meio (milieu), com o propósito de estudar como tais elemetos iteragem etre si. Por coseguite, a TSD será apresetada...3 A Teoria das Situações Didáticas A TSD se caracteriza como um cojuto de situações que são elaboradas para fis didáticos e, quado aplicadas em um cotexto escolar, têm como objetivo ivestigar o comportameto dos aluos. O objeto cetral de estudo essa teoria ão é o sujeito cogitivo, mas a situação didática a qual são idetificadas as iterações estabelecidas etre professor, aluo e saber (ALMOULOUD, 007, p. 3-3). Além disso, Almouloud (007, p. 35) explica que essa teoria, o milieu é um cojuto exterior ao aluo, que age o setido oposto ao sujeito, isto é, o milieu atua como um cojuto adidático, que ão possui propósitos didáticos, o etato, por meio de um efeito retroativo à ação do idivíduo, possibilita-o a participar ativamete do processo de esio e apredizagem. Nesse setido, segudo a teoria piagetiaa, a criaça aprede adaptado-se a um milieu uma situação ão didática. Almouloud (007, p. 37) apreseta três tipos de dialéticas, que são origiadas a partir das situações em que se aalisa o comportameto pelo qual se articula o saber em jogo com o milieu, assim, têm-se as seguites dialéticas: trocas diretas para uma ação ou uma tomada de decisão, trocas de iformações uma liguagem codificada, trocas dos argumetos. Com isso, pode-se compreeder que a TSD tem o propósito de aalisar os aspectos que iflueciam o processo de esio e apredizagem, além de oferecer suporte ao professor para elaborar, realizar e aalisar situações didáticas. Desse modo, pode-se cosiderar que:

33 3 Uma situação didática é formada pelas múltiplas relações pedagógicas estabelecidas etre o professor, os aluos e o saber, com a fialidade de desevolver atividades voltadas para o esio e para a apredizagem de um coteúdo específico. Esses três elemetos compoetes de uma situação didática (professor, aluo, saber) costituem a parte ecessária para caracterizar o espaço vivo de uma sala de aula. [...] Por outro lado, esses três elemetos ão são suficietes para abarcar toda a complexidade do feômeo cogitivo, daí a viculação que fazemos etre tais situações e outros elemetos do sistema didático: objetivos, métodos, posições teóricas, recursos didáticos, etre outros. Um dos desafios da didática é que cada um desses elemetos recebe ifluêcias diretas da especificidade do coteúdo em questão (PAIS, 00, p ). É valido discutir mais especificamete as oções de situações didáticas e adidáticas, pois o milieu, que cotém as variáveis didáticas selecioadas, está iserido a situação didática. Sedo essas variáveis resposáveis por proporcioar estratégias de esio e apredizagem (ALMOULOUD, 007, p. 36). Pais (00, p. 7) esclarece que, a situação didática, ocorre a aálise das situações adidáticas, as quais ão estão diretamete cotroladas o plao pedagógico, porém, isso ão igora sua relevâcia a apredizagem. Com isso, a didática da matemática reforça as codições de estudar situações problema potecialmete ricas em situações adidáticas. Almouloud (007, p ) destaca que em uma situação didática, as relações do aluo com as questões propostas pelo professor são cosideradas como um jogo. Nesse setido, a fase de devolução é caracterizada, pelo modo como se propõe uma situaçãoproblema ao aluo, tal mometo deve ter fialidade de icetivá-lo a participar ativamete o processo de apredizagem, possibilitado-o a desevolver sua autoomia. Além disso, as situações adidáticas são elaboradas em termos de jogo. Uma situação suscetível de provocar uma apredizagem será tal que o aluo dispõe de uma estratégia básica para começar a jogar. Tal estratégia deve permitir ao sujeito compreeder o problema e a regra do jogo (ALMOULOUD, 007, p. 36). Uma situação adidática tem fialidade pedagógica, porém, ão é revelada e explícita. Todavia, quado se plaeja uma situação didática, deve cosiderar os aspectos ão didáticos, pois de certa forma, eles vão itervir a apredizagem do aluo, já que fazem parte do cotexto o qual o aluo está iserido. Para Almouloud (007, p. 33), a situação adidática [...] é uma situação a qual a iteção de esiar ão é revelada ao aprediz, mas foi imagiada, plaejada e costruída pelo professor para proporcioar a este, codições favoráveis para a apropriação do ovo saber que deseja esiar.

34 3 Por coseguite, a fim de ivestigar o processo de esio e apredizagem, a TSD é orgaizada em quatro etapas (situações) distitas. Em cada fase o saber possui uma fução pedagógica diferete, assim, em cada mometo o aluo iterage, diferetemete, com o saber. Nessas fases iterligadas, podem se observar tempos domiates de ação, de formulação, de validação e de istitucioalização (ALMOULOUD, 007, p. 36). Doravate, serão discutidas as particularidades de cada etapa. A etapa iicial é chamada de situação de ação. Nesse mometo, o aluo tem a liberdade de iteragir sem precisar seguir regras, ou seja, o aluo pode refletir o resultado de sua ação e ajustá-lo. Isso pode acotecer sem a iterveção do professor, o caso de o milieu retroagir sobre a ação do sujeito. Assim, o aluo pode melhorar ou abadoar seu modelo para criar um outro: a situação provoca assim uma apredizagem por adaptação (ALMOULOUD, 007, p. 37). Assim, Pais (00, p. 7) argumeta que a situação de ação permite ao aluo realizar procedimetos imediatos, como tetativas, a partir da reflexão de seus cohecimetos prévios, a fim de resolver a situação-problema proposta. Logo, pode-se compreeder que esta etapa o aluo faz uso de um cohecimeto de atureza mais experimetal e ituitiva do que teórica. Mesmo que esses procedimetos estejam associados a alguma teoria, o que está em jogo ão é a explicitação dessa referêcia teórica. Desse modo, a dialética da ação, tem-se que: Questões de ação ou decisão matemática são aqueles em que o úico critério é a adequação da decisão - a elaboração deste sistema de decisão pode permaecer totalmete implícita a justificação dos mesmos. Não há restrições sobre isso ou formulação ou validação. Essa é a dialética mais geral, outros casos são apeas particulares. Isso levou à costrução o assuto de regularidades de esquemas, modelos de ação, mais frequetemete icoscietes ou implícitas (BROUSSEAU, 976, p. 0). Dado cotiuidade à etapa aterior, tem-se a situação de formulação, em que o aluo apreseta uma estratégia (escrita ou oral) de solução elaborada a partir de cocepções já cohecidas ou ovas. Posteriormete, ocorre também um processo de formalização da liguagem usada habitualmete, a fim de torar as iformações trocadas, comuicáveis. Portato, o objetivo dessa dialética de formulação é a troca de iformações (ALMOULOUD, 007, p. 38). Assim, essa etapa, aparece o colega e/ou professor. À vista disso, a dialética da formulação, diferetemete do que ocorre a fase de ação, o aluo apreseta um raciocíio de atureza teórica e mais elaborado, que o permite formular argumetos que, posteriormete, possam ser validados ou refutados. Desse modo, o

35 33 raciocíio aparece como um procedimeto experimetal e, para isso, tora-se ecessário aplicar iformações ateriores (PAIS, 00, p. 7). Dessa forma, quato à terceira etapa, a situação de validação cosiste em covecer o iterlocutor de que os argumetos utilizados a resolução do problema, são válidos, isto é, as cojecturas elaboradas são julgadas. Assim, Almouloud (007, p. 39) acetua que [...] a teoria fucioa, os debates cietíficos e as discussões etre aluos, como milieu de estabelecer provas ou refutá-las. Além do mais, a validação, o aluo já sabe utilizar métodos de provas e demostrações, além de compreeder determiados coceitos matemáticos. Por isso, esse mometo, o sujeito se apropria de uma liguagem de atureza mais cietífica (teórica). A partir disso, Pais (00, p. 73) relata que essa etapa está viculada à verificação da veracidade dos argumetos racioais. No etato, uma perspectiva epistemológica e didática, isso é um dos problemas mais complexos coceretes ao cohecimeto, pois é praticamete impossível assegurar a uiversalidade do coceito de verdade, tedo em vista a diversidade das posições filosóficas existetes. Tem-se aida que: Um problema de validação é mais um problema de comparação, de avaliação e de rejeição de evidêcias e da ivestigação da demostração. [...] Para uma abordagem de validação, o pesameto deve basear-se em formulações ateriores. A liguagem desevolvida, a dialética da formulação, é meos específica do que a da validação. A comuicação desempeha um papel importate em parte idepedete das questões de validade (BROUSSEAU, 976, p. 0). Com isso, a validação da TSD, o objetivo é a validação das asserções que foram formuladas o mometo de ação e de formulação, podedo se referir a diferetes íveis de validade: sitática, semâtica ou mesmo pragmática (relativa à eficácia do texto) (ALMOULOUD, 007, p. 40). Fialmete, tem-se a situação de istitucioalização, em que o professor retoma a situação-problema, a fim de idetificar, sistematizar e recohecer o saber costruído por meio de sua formalização e geeralização. Nesse setido, Pais (00, p. 74) explica que se trata de um mometo ode se teta proceder a passagem do cohecimeto, do plao idividual e particular, à dimesão histórica e cultural do saber cietífico. A evolução as discussões e utilizações dessa teoria foi eriquecida com as oções de cotrato e istitucioalização, etre outras. As situações de istitucioalização foram etão defiidas como aquelas em que o professor fixa covecioalmete e explicitamete o estatuto cogitivo do saber. [...] Depois da istitucioalização, feita pelo professor, o saber tora-se oficial e os aluos devem icorporá-lo a seus esquemas metais, torado-o assim dispoível para utilização a resolução de problemas matemáticos (ALMOULOUD, 007, p. 40).

36 34 Nesse viés, a TSD serve de fudametação para a cocepção e proposição das situações-problema, que irão compor uma realização didática. Em seguida, as estratégias de resolução podem ser avaliadas com efoque a TSD, ou seja, podem ser categorizadas, de acordo com as fases da TSD, em: ação, formulação e validação. A seguir, será abordada a fase de experimetação da ED...4 Experimetação Na experimetação, propõe-se a aplicação de situações-problema com efoque a TSD, para que acoteça a situação didática. Para isso, pretede-se estabelecer um cotrato didático, ou seja, busca-se icetivar o aluo a participar do processo de esio, através da resolução de situações-problema elaboradas a partir dos objetivos da pesquisa. Assim, Careiro (005) relata que: Durate a experimetação, coletamos e orgaizamos um corpus de pesquisa variado, composto por produção dos aluos, registro de pergutas, dúvidas e erros costatados durate o acompahameto de suas ações e diários de classe dos miistrates. A aálise desse material é essecial para a etapa da validação (CARNEIRO, 005, p. 05). Almouloud (007, p. 4) esclarece que, uma perspectiva cotratual o âmbito da DM, o estudate deve assumir o compromisso de admiistrar seu evolvimeto com o cohecimeto as situações de ação, formulação e validação, ou seja, de participar ativamete essas fases. Por outro lado, o professor tem a resposabilidade de istitucioalizar o saber, pois ele deve determiar a forma e o coteúdo do saber para o qual ele quer dar um estatuto oficial, levado em cota os efeitos da trasposição didática. Nesse setido, o próximo tópico, serão discutidas as oções de trasposição didática e cotrato didático...5 Trasposição Didática e Cotrato Didático Nesta seção, serão apresetadas as cocepções sobre a trasposição didática e o cotrato didático, a fim de complemetar a compreesão dos elemetos epistemológicos, cogitivos e metodológicos discutidos ateriormete, uma perspectiva da DM. A oção de trasposição didática foi desevolvida por Chevallard com o objetivo de distiguir os diferetes saberes evolvidos o processo de esio e apredizagem (ALMOULOUD, 007, p. ). Numa perspectiva didática, Almouloud (007, p. 3) explica que a teoria da trasposição didática busca aalisar epistemologicamete os objetos

37 35 de saber, os quais são classificados em: paramatemáticos e matemáticos: ambos são usados para estudar outros objetos matemáticos, o etato, este último pode estudar também a si mesmo, e os objetos protomatemáticos, que apesar de ão terem oficialmete a fução de estudar objetos, possuem propriedades para resolver questões matemáticas. Aida sobre os objetos, é valido cosiderar que: A trasformação do coteúdo de saber em uma versão didática desse objeto de saber, mais apropriadamete, é chamado de trasposició didáctica stricto sesu. Mas, o estudo cietífico do processo de trasposição didática (que é uma dimesão fudametal da Didática da Matemática) implica tedo em cota a trasposição didática sesu lato, represetada pelo esquema: objeto de saber objeto para esiar objeto de esio. O primeiro elo que marca a passagem do implícito para o explícito, da prática à teoria, do pré-costruído para costruído (Chevallard, 998, p.45). Dessa forma, pode-se compreeder, segudo Pais (00, p. 7), que a trasposição didática é um caso particular de traslação de saberes, a fim de cotribuir para o processo evolutivo e histórico do cohecimeto cietífico. Além do mais, a oção de trasposição, quado estudada o plao pedagógico, tem como objetivo aalisar a mobilidade do cogitivo em direção ao desevolvimeto do cohecimeto, restrita ao plao de elaborações subjetivas, pois é esse ível que ocorre o úcleo do feômeo. A coveiêcia em destacar essa dimesão da trasposição está associada à ecessária aplicação de cohecimetos ateriores para a apredizagem de um ovo coceito (PAIS, 00, p. 8). Numa aálise do processo de esio e apredizagem, cosiderado a existêcia de uma trasposição didática, Almouloud (007, p. 89) relata que a cocepção de cotrato didático possibilita compreeder que a situação didática está relacioada com a iteção de esiar, para isso, essa situação abrage uma situação-problema e um cotrato didático. A sigificação do problema e do coceito para o aluo depede do cotrato didático estabelecido; é o que permitirá a egociação do setido das atividades em jogo. Sobre o cotrato didático, deve-se cosiderá-lo como uma relação que determia explicitamete em pequea parte, mas sobretudo implicitamete aquilo que cada parceiro, professor e aluo, tem a resposabilidade de gerir e pelo qual será, de uma maeira ou de outra, resposável perate o outro (BROUSSEAU, 986 apud ALMOULOUD, 007, p. 89). Vale argumetar que, o cotrato didático em sempre se cocretiza, levado-o a sua ruptura, como o caso a seguir: Um primeiro exemplo de ruptura do cotrato didático pode ser dado pelo caso do aluo que mostra desiteresse pela resolução dos problemas propostos pelo

38 36 professor ou o caso em que ão há o evolvimeto ecessário as atividades propostas. Nessa situação, ocorre uma ruptura do cotrato, pois, mesmo que ão haja uma regra explicita e formal prevedo o evolvimeto dos aluos as atividades didáticas, o que se espera é que isso acoteça detro dos limites pertietes à atividade pedagógica (PAIS, 00, p. 8). À vista disso, Pais (00, p ) cometa que o cotrato didático tem a fução de estabelecer as obrigações do professor e do aluo, a fim de efetivar a relação etre docete, estudate e cohecimeto. Além disso, esse cotrato possui poucas regras explícitas, equato as implícitas são elaboradas a partir de atureza itríseca da Matemática, como formalismo, abstração e rigor, além de cosiderar as difereças habituais de cocepções dos professores de Matemática. Com isso, a fase de experimetação acotece, permitido que a pesquisa seja validada ou refutada a etapa fial da ED. Desse modo, a seguir, serão discutidos a aálise a posteriori e a validação da ED...6 Aálise a Posteriori e Validação (Itera e Extera) Almouloud & Silva (0, p. 7) explicam que esta fase acotece a aálise dos dados coletados a experimetação, isto é, durate a aplicação das situações-problema em sala de aula. Esse mometo deve ser registrado através de algus procedimetos como: relato de observações, registros fotográficos das produções escritas e gravações das etrevistas com os aluos. Nesse setido, a aálise a posteriori: [...] se caracteriza pelo tratameto dos dados colhidos e a cofrotação com a aálise a priori, permitido a iterpretação dos resultados e em que codições as questões levatadas foram respodidas. Assim, é possível aalisar se ocorrem e quais são as cotribuições para a superação do problema, caracterizado a geeralização local que permitirá a validação itera do objetivo da pesquisa (POMMER, 03, p. 6). Dessa forma, os autores acetuam que durate a aálise a posteriori, é realizada uma comparação etre os resultados obtidos a realização didática e o que foi defiido a aálise a priori da ED, a fim de validar ou refutar as hipóteses levatadas a ivestigação. Todavia, a ED admite dois tipos de validação: itera e extera. Na validação extera, é realizada uma comparação etre as produções iicial e fial dos estudates, a fim de avaliar o desempeho dos aluos durate a realização didática. Isso pode ser feito por meio da aplicação e aálise de etrevistas e/ou questioários. Além disso, esse tipo de validação, acotece a comparação etre as produções dos aluos iteros à sequêcia didática e dos aluos exteros a esse cotexto didático (LABORDE, 997, p. 05). Alves (08b) acetua que a validação extera se efetiva através da comparação de produções

39 37 exteras associadas a outros aluos que ão participaram da mesma sequêcia didática. O que ão foi feito esta pesquisa. Por outro lado, a validação itera, é feita uma descrição geérica dos aluos, observado seu comportameto, sua adaptação e seu desevolvimeto itelectual durate a realização didática, e uma categorização dos tipos de produção majoritária. Assim, é realizado um acompahameto de poucos aluos idividualmete. Diate disso, devem ser selecioadas as situações específicas que, ao serem avaliadas, cotribuem sigificativamete para a validação da pesquisa (LABORDE, 997, p. 05). Por fim, cosiderado que esta pesquisa abordou uma quatidade pequea de aluos participates (7 aluos), os quais foram avaliados em um tempo curto, e as suas produções ão foram comparadas com outras produções exteras a esta pesquisa, a validação desta pesquisa foi feita iteramete. Em seguida, será abordado o MF que fudameta o campo epistêmico-matemático desta pesquisa e que foi trasposto para situações de esio.. O Modelo de Fiboacci O MF está iserido o período Histórico da Idade Média da Europa. Nesse cotexto, vale destacar a quarta cruzada pregada pelo papa Iocêcio III. Essa cruzada tiha o propósito de plaejar um ataque cotra os mulçumaos o Egito a fim de recoquistar a costa da Palestia. Cotudo, a Igreja e as ações ocidetais cristãs ão possuíam recursos fiaceiros para custear esse ataque. Dessa forma, pediram ajuda à República de Veeza para levar os cruzados até o Oriete. Os cruzados ão tiham diheiro para egociar, assim, foram obrigados a aceitar que Veeza decidisse o roteiro das coquistas. A proposta da República era quitar a dívida com a tomada de Zara, um porto cristão, mas rival dos veeziaos o comércio do mar Adriático (DORÉ, 000, p.3). Desse modo, a Idade Média evolve um ceário, o qual a Europa sofre ifluêcia das cruzadas e do cotato com o Oriete. Nesse período, a área educacioal, são criadas as Uiversidades de Pádua, Nápoles, Paris, Oxford e Cambridge (EVES, 004, p. 95). No fial da Idade Média, os matemáticos atuavam em escolas religiosas, uiversidades e em atividades de egócios e comércio. Além do mais, pode-se destacar a expasão dos úmeros idoarábicos. Nesse caso, o século XIII, Alexadre de Villedieu (fracês), Joh de Halifax

40 38 (iglês) e Leoardo de Pisa (italiao) são três autores que cotribuíram sigificativamete com a difusão do sistema de umeração ido-arábico (BOYER, 006, p. 7). Com êfase o MF, de acordo com Boyer (006, p.73), vale destacar o matemático Leoardo Pisao (80-50) cohecido como Fiboacci ou filho de Boaccio (Figura ). Leoardo atuava a atividade comercial, a qual o oportuizou cohecer Egito, Síria, Grécia, detre outras. Em suas viages, ele coheceu os métodos algébricos árabes e os úmeros ido-arábicos, além disso, foi istigado a estudar aritmética. Em 00, Pisao retora à Itália e, em 0, ele escreve a obra Liber Abbaci. Apesar do título da obra fazer referêcia ao ábaco. O livro ão aborda o ábaco, e sim é um tratado muito completo sobre métodos e problemas algébricos o qual o uso de umerais ido-arábicos é fortemete recomedado. Figura Leoardo Pisao (Fiboacci). Fote: Eves (004, p. 93). Detre os problemas propostos por Leoardo o Liber Abbaci, pode-se destacar o seguite: Quatos pares de coelhos serão produzidos um ao, começado com um só par, se em cada mês cada par gera um ovo par que se tora produtivo a partir do segudo mês? (BOYER, 006, p.74). Esse problema origiou a SF,,, 3, 5,.... Os termos dessa sequêcia satisfazem à relação recorrete F F F, com F 0 0 e F (ALVES & CATARINO, 07). Portato, a situação-problema dos coelhos, a sequêcia e a recursividade matemática marcam a gêese do MF.

41 39 Além disso, Jacques Philippe Marie Biet ( ) foi um matemático fracês e dos precursores da teoria matricial, detre seus trabalhos destaca-se a Fórmula de Biet (RAMOS, 03, p. 7). E, de acordo com Alves (07b), a SF admite a Fórmula de Biet como uma fórmula fechada para a determiação de seus termos. A Fórmula de Biet, válida para, é: F É relevate saber que 5 e 5 são raízes da equação t² t 0. Logo, através de um processo idutivo, pode-se verificar a validade da Fórmula de Biet para SF. Assim, observe, a seguir, que essa Fórmula vale para F e F. 5 5 F F ( 5 5) ( 5 5) 4 5. E, de fato, assumido F e F, segue que:

42 F F F Ademais, Ramos (03, p. 3) discute a razão áurea e apreseta a seguite defiição: uma liha reta é cortada a razão extrema e média quado, assim como a liha toda está para a maior parte, a maior parte está para a meor parte. Com isso, seja um segmeto AB, assumido que AC x, CB, etão, AB x, ode AB AC CB, assim, segue que: AB AC x x AC CB x x² x 0. Logo, pode-se ver que as raízes da equação x² x 0 são 5 e 5. A raiz 5, forece o valor do úmero de ouro ( ). Além do mais, quado se avalia a razão etre dois termos cosecutivos da SF, pode-se verificar que Veja: F lim. F

43 4 / / 3 /,5 5 / 3,666 8 / 5,600 3 / 8,65 /3, /, / 34, F / F, Como, etão, 5 Biet, pode-se escrever que: 5 5 lim lim 0, de fato, pela fórmula de 5 5 F F

44 4 5 lim lim 5. Além do mais, Ramos (03, p. 4) discute defiições e propriedades sobre o retâgulo, o triâgulo e a espiral deomiados de áureos por ter suas medidas a Razão Áurea. Nessa abordagem, vale destacar a Espiral de Fiboacci, a qual represeta geometricamete a SF através da costrução de quadrados cujas medidas dos lados são os termos da SF:,,, 3, 5,.... Na Figura, tem-se a visualização da Espiral de Fiboacci o Software GeoGebra, em que os úmeros, detro dos quadrados, são as medidas de seus lados, além disso, o valor da área de cada quadrado pode ser visualizado a Jaela de Álgebra. Figura Espiral de Fiboacci: costrução o Software GeoGebra. Fote: Elaboração da autora.

45 43 Por fim, pode-se observar que a SF está relacioada com a Razão Áurea, o úmero de ouro e a Fórmula de Biet. E, cosiderado a revisão bibliográfica sobre as relações oriudas da sequêcia geeralizada de Fiboacci, pode-se compreeder que o MF passa por um processo evolutivo, o qual é discutido, a maioria das vezes, a literatura da Matemática Pura, sedo apresetado de forma pouco pormeorizada os livros de HM. Desse modo, assumido esta seção como fudametação e uma perspectiva evolutiva, doravate, será discutido o campo epistêmico-matemático que aborda o modelo complexo de Fiboacci.

46 44 3 CAMPO EPISTÊMICO-MATEMÁTICO: A COMPLEXIFICAÇÃO DO MODELO DE FIBONACCI A ivestigação sobre o processo de complexificação do MF é iiciada a partir da apresetação do úmero complexo de Fiboacci. Nesse setido, é feito um estudo das relações recorretes e idetidades ui, bi, tri e -dimesioais para os úmeros Gaussiaos de Fiboacci 3. Esse estudo tem como pricipal característica a compreesão do crescimeto dimesioal do modelo recursivo uidimesioal f f f, com f0 0 f a partir da iserção de uidades imagiárias. e Posteriormete, serão exploradas as represetações matriciais e a Fórmula de Biet para a classe dos Poliômios Bivariados de Fiboacci, a qual abrage os termos poliomiais da SF em um processo evolutivo da sua forma algébrica, de modo que, primeiramete, os poliômios são cosiderados com uma variável e duas variáveis, em seguida, esses poliômios são explorados a sua forma complexa, ou seja, com a iserção da compoete imagiaria i. E, por fim, os poliômios são discutidos a variável complexa. Fialmete, os Quaterios serão defiidos para o MF. Iicialmete, a parte escalar dos Quaterios é composta pelos úmeros reais de Fiboacci e, em seguida, essa parte é costituída pelos úmeros complexos de Fiboacci 4. Nesse cotexto, algus teoremas com aporte em represetações matriciais, a Fórmula de Biet, a extesão para ídices iteiros e a abordagem a variável complexa serão estudados para a sequêcia geeralizada de Fiboacci. 3. Relações Recorretes de Fiboacci: Iserção da Uidade Imagiária e Crescimeto Dimesioal O processo evolutivo do modelo Fiboacciao teve iício com os trabalhos de Brother (965) sobre a ampliação da SF para o cojuto dos iteiros. Ademais, uma perspectiva de geeralização da SF, Pethe e Horadam (986) propuseram uma represetação da SF por meio dos úmeros Gaussiaos de Fiboacci, assim, estabelecedo relações recursivas e idetidades, e Berzseyi (977) desevolveu uma forma complexa da sequêcia através dos Iteiros Gaussiaos. À vista disso, iiciado o estudo do processo de complexificação da SF, o 3 O Número Gaussiao de Fiboacci é descrito por: G f f f. i com G f 0 i e Gf (JORDAN, 965). 4 O Número Complexo de Fiboacci é descrito por: C f f. i com i ² (HORADAM, 963).

47 45 próximo tópico, serão exploradas algumas relações recorretes complexas, a partir da iserção de uidades imagiárias, e de suas idetidades ui, bi, tri e -dimesioais. 3.. Modelo Recursivo Uidimesioal de Fiboacci e Idetidades Kig (963, p. 6) descreve que a SF tem sua gêese a partir do problema matemático proposto por Leoardo Pisao sobre a reprodução de coelhos imortais. Fiboacci, um matemático italiao, em 0, escreveu Liber Abbaci, um trabalho que aborda coteúdos relacioados à Aritmética e Álgebra, tais como: úmeros do sistema ido-arábico, adição, subtração, multiplicação e divisão de iteiros, proporções e resoluções de problemas. Detre os problemas apresetados a obra Liber Abbaci, ecotra-se a solução para Rabbit Problem, que é uma situação-problema a qual se discute a reprodução de um par de coelhos, para descobrir quatos descedetes serão produzidos por este par em um ao se cada par de coelhos dar à luz a um ovo par de coelhos a cada mês, começado com o segudo mês de sua vida. É assegurado que as mortes ão ocorrem (KING, 963, p.6). O esquema reprodutivo está apresetado a Tabela. Tabela Esquematização da reprodução de coelhos imortais. Mês Pares de coelhos que Não reproduzem Reproduzem Nascem Total de pares de coelhos º 0 0 º 0 0 3º 0 4º 3 5º 5 6º º º º º 3 55 º º Fote: Elaboração da autora. Kig (963, p. 6) acetua que a sequêcia de úmeros observada a Tabela, dá origem à SF,,, 3, 5,.... Nesse setido, coforme Alves & Catario (07), essa problemática é represetada pelo aparato otacioal modero, f f f com os valores iiciais f0 0 e f, defiido, assim, o MF. Numa perspectiva de ampliar o

48 46 repertório de defiições e relações oriudas da SF, esse modelo recursivo uidimesioal, foi discutido por Koshy (00), que ivestigou algumas idetidades uidimesioais criadas por Fraçois Édouard Aatole Lucas (84 89). À vista disso, por defiição vale f f f f f f,, o que permite escrever os úmeros de Fiboacci, o esquema a seguir: f f f f f 3 f f f 3 4 f f f f f f f f f Tedo em vista isso, o estudo sobre o processo de complexificação do MF será iiciado a partir da apresetação de algumas idetidades uidimesioais para os úmeros f de Fiboacci e, posteriormete, sua discussão a forma complexa com a iserção da uidade imagiária i. Veja: Idetidade : O somatório, a seguir, descreve a soma dos úmeros de Fiboacci, até a ordem, de ídice ímpar (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07). i f f i Demostração: Partido dos úmeros de Fiboacci descritos através da defiição otacioal e cosiderado apeas os termos de ídice ímpar, tem-se que: fi f f3 f5... f f ( f4 f) ( f6 f4) ( f8 f6)... ( f f) f. i Idetidade : A soma dos úmeros de Fiboacci, até a ordem, de ídice par pode ser descrita por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): i f i f

49 47 Demostração: Novamete, partido da apresetação dos úmeros de Fiboacci através da defiição otacioal, porém, cosiderado apeas os termos de ídice par, veremos: fi f f4 f6... f ( f3 f) ( f5 f3) ( f7 f5)... ( f f ) f f f. i Idetidade 3: A soma dos primeiros úmeros de Fiboacci, até a ordem, de ídice maior que zero pode ser obtida quado se desevolve (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): fi f. i Demostração: Segue que: f f f f... f f f ( f f ) ( f f ) ( f f )... ( f f ) ( f f ) f f f i i fi f. i Idetidade 4: O somatório, a seguir, descreve a soma dos primeiros quadrados dos úmeros de Fiboacci (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07). i ( f )² f f i Demostração: ( f )² f f... f f f f ( f f ) f ( f f )... f ( f f ) i i f f f f f f f f f f... f f f f f f Idetidade 5: A soma de seis úmeros cosecutivos de Fiboacci é divisível por quatro, sedo descrita pelo somatório (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): 5 i0 f i 4. f 4 Demostração: 5 i0 f ( f f ) ( f f ) f f f f f f i

50 48 f f f ( f f ) 4. f Idetidade 6: O somatório, a seguir, represeta a soma de dez úmeros cosecutivos de Fiboacci é divisível por oze (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07). 9 i0 f i f 6 Demostração: 9 fi ( f f... f5) f6... f9 4. f4 f6 f7 f8 ( f7 f8) i0 4. f f [ f ( f f )] 4. f 3 f 4 f f 3 f 4( f f ) 4. f 4. f 7. f f A seguir, algumas dessas idetidades serão verificadas para os úmeros Gaussiaos de Fiboacci. Além do mais, serão discutidas algumas relações válidas para os Gaussiaos. 3.. Números Gaussiaos de Fiboacci e Teoremas Os úmeros de Fiboacci permitem uma represetação complexa. Nesse cotexto, podem ser citados os Iteiros Gaussiaos que são descritos por Berzseyi (977), posteriormete, Pethe e Horadam (986) apresetam os úmeros gaussiaos de Fiboacci e suas relações recorretes. Todavia, vale destacar que, segudo Jorda (965), os úmeros Gaussiaos de Fiboacci são escritos a forma: G f f f. i, tedo como valores iiciais G f0 i e Gf, além disso, admitem a recorrêcia G f G f, G f e, de acordo com Halici (03), também vale a igualdade G f f f. i. Segudo Jorda (965), a idetidade fi f pode ser verificada para o somatório dos úmeros Gaussiaos de Fiboacci, como por exemplo: i j0 3 j0 Gf Gf Gf Gf i i i (3 i) Gf j 0 Gf Gf Gf Gf Gf i ( i) ( i) 4 3 i (5 3 i) Gf j 0 3 3

51 49 4 j0 Gf Gf Gf Gf Gf Gf i ( i) ( i) (3 i) 7 5 i (8 5 i) Gf j j0 Gf Gf Gf Gf j Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf. j j 3 ( ) j0 j0 Além do mais, a idetidade fi f i também pode ser aplicada aos úmeros Gaussiaos de Fiboacci. Assim, cosiderado Gf Gf Gf Gf Gf Gf, segue que: Gf Gf Gf 0 Gf Gf Gf 3 Gf Gf Gf 3 4 Gf Gf Gf Gf Gf Gf 3 Gf Gf Gf Gf Gf Gf Todavia, cosiderado somete os úmeros de ídices ímpares, ao somar todos esses úmeros, tedo em vista os cacelametos sucessivos dos termos de ídice, obtém-se j Gf Gf Gf. Veja: j 0 Gf Gf Gf 0 Gf Gf Gf 3 4 Gf Gf Gf Gf Gf Gf 3 4 Gf Gf Gf Prosseguido a exploração dos somatórios que evolvem os úmeros Gaussiaos de Fiboacci, tem-se que: Gf Gf Gf Gf Gf Gf ( Gf Gf ) j j j 0 0 j j j

52 50 Gf Gf Gf Gf Gf Gf Além do mais, para 0 0. Gf Gf Gf, j j j j j j é relevate a seguite avaliação: G f G f G f Gf Gf Gf Gf j j j j j j 4 Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf ( Gf Gf ) j j j j j j Gf Gf Gf j j j j j j Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf j j j j j j j j j j j j Gf Gf Gf Gf Gf j j ( ) j j j j j j. Jorda (965) apreseta, algumas idetidades ieretes ao Teorema. Vale cometar que, as relações, a seguir, são discutidas, fazedo recorrêcia a argumetos matriciais. Gould (98) explica que essa tipologia de argumetos possibilita uma evolução da teoria, assim, eles compõem uma ova versão do método de Reiter (993), que é usado para determiar fórmulas de redução do modelo de Fiboacci. Desse modo, sejam as seguites matrizes i X i e f f Q 0 f f0, pode-se compreeder que det Q 0 e det X i 0, logo, as matrizes X e Q admitem iversa, além disso, pode-se avaliar o produto matricial etre as matrizes para, tal que: X Q i i i Gf Gf 3. i 0 i Gf Gf X Q i 3 i i Gf Gf 4 3. i i i Gf3 Gf X Q i 3 5 3i 3 i Gf Gf i 3 i i Gf4 Gf3 X Q Gf Gf Gf Gf X Q X Q Q Gf Gf Gf Gf 3 ( )... Gf Gf 0 Gf Gf

53 5 Além da determiação de X Q Gf Gf, Gf Gf pode-se verificar, com o uso do CAS Maple, a validade da propriedade comutativa o produto etre as matrizes X e Q. As potêcias matriciais do tipo Q X e iiciada a discussão do Teorema. X Q podem ser visualizadas a Figura 3. Destarte, será Figura 3 Propriedade comutativa: visualização das matrizes do tipo CAS Maple. Q X e X Q o Fote: Elaboração da autora. Teorema : Para os úmeros Gaussiaos de Fiboacci são válidas as seguites propriedades: ( i) Gf Gf ( i). f j ( ii) Gf Gf Gf Gf ( i) f p p p ( iii) Gf Gf. Gf Gf Gf i. f i. f ( iv). Gf Gf Gf 3. Gf Gf Gf Gf Gf Gf i. f () v Gf Gf j ( j) 0 Gf ( vi) Gf Gf Gf () j () ( vii)gf Gf Gf Gf ( i). f 3

54 5 Demostração: Com isso, assumido as igualdades: ( X Q ) ( X Q ) ( X Q ) X Q, pode-se escrever: Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf. Gf Gf. Gf ( X Q ) ( X Q ). Gf Gf Gf Gf Gf. Gf Gf. Gf Gf Gf i i f. f f i. f f i. f f i. f f i. f ( f ). f X Q i i 0 f f i. f f i. f f f f Desse modo, a partir de ( X Q ) ( X Q ) X Q, pode-se determiar a seguite propriedade: Gf Gf ( i). f. O que valida o item (i). Em seguida, de modo aálogo, para o item (ii), deve-se fazer p, de modo que se escreva: Gf Gf Gf Gf Gf. Gf Gf. Gf Gf. Gf Gf. Gf p p p p p p p ( X Q ) ( X Q ). Gf Gf p Gf p Gf. Gf p Gf. Gf p Gf. Gf p Gf. Gf Gf p i i f f f f. ( ). p p p p p X Q i i 0 f p f p f p f p Assim, p p ( X Q ) ( X Q ) X Q ( X Q ) ( X Q ) X Q, dessa última igualdade, observado os termos correspodetes, obtém-se a seguda propriedade Gf Gf p GfGf p ( i) f p. Posteriormete, avaliado ( X Q ) ( X Q ).( X Q ) ( X Q ).( X Q ) ( X Q ) X Q, segue que: Gf Gf Gf. Gf Gf. Gf Gf Gf ( X Q ) ( ). X Q Gf. Gf Gf. Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf i i i f f i f f X Q X X Q i i 0 i f3 f 3 0 i f3 f3 i i f3 f3. f3 i. f3 f3 i. f3. f i. f f i. f i.. i. i f3 f3 f3 i. f3 f3 f3 i. f3 f

55 53 Quado se observa os termos das posições de ª liha e ª colua da igualdade 3 3 ( X Q ) ( X Q ) X Q, Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf determia-se a equação. i f3 i f3 f3. Logo, para o item (iii), realizado algus cálculos, tem-se a seguite propriedade: Gf Gf. Gf Gf Gf 3 i f i. f. Veja: 3 3 Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf i f i. f f Gf Gf. Gf Gf Gf i f i. f f Gf Gf. Gf Gf Gf i f i. f Para o item (iv), será avaliado ( X Q ) ( X Q ) ( X Q ) X Q Desse modo, segue: 3 3 ( X Q ) ( X Q ) Gf Gf. Gf Gf GfGf GfGf Gf Gf Gf Gf GfGf GfGf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf i i i i f f f f X Q X X Q.. i f4 f i i 4 f4 f4. f4 f4 f4 f4 i.. f4 f4 f4 f4 Orgaizado a igualdade dos elemetos correspodetes das posições de ª liha e ª Gf colua das matrizes oriudas da equação ( X Q ) ( X Q ) X Q, pode-se obter a propriedade (iv). Observe: Gf Gf Gf Gf Gf Gf GfGf Gf Gf GfGf GfGf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf 4 4. Gf Gf Gf 3. Gf Gf Gf Gf Gf 4 Gf 4 i f 4 Para os ites (v) e (vi), deve-se cosiderar a extesão da SF para os ídices iteiros. Nesse âmbito, Koshy (00) discute essa extesão através da idetidade f ( ). f. O que é demostrado a seguir:

56 54 f ( ) f f f f0 0 f f ( ) f f 3 f 3 f f 3 3 ( ) f 3 f f 4 f4 3 ( ) f4 f f 5 f5 5 ( ) f5 f 8 f f6 8 ( ) f6 7 3 f7 7 f7 3 ( ) f7 f Aalogamete, para os úmeros Gaussiaos de Fiboacci, será cosiderada a relação recursiva Gf Gf( ) Gf( ) Gf( ) Gf Gf ( ). Dessa forma, cosiderado seus ídices iteiros egativos, podem ser escritos os seguites úmeros Gaussiaos: Gf Gf Gf 0 Gf Gf Gf Gf Gf Gf 3 0 Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf 3 Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf () () Gf Gf Gf () () Gf Gf Gf Gf Gf Gf () () () () Primeiramete, realizado a soma dos úmeros Gaussiaos com ídices ímpares egativos, obtém-se a propriedade (v): Gf( j) Gf0 Gf(). Por outro lado, somado j os úmeros com ídices pares egativos, determia-se (vi): Gf j Gf Gf( ). j Doravate, para o item (vii), será aalisado o comportameto das matrizes do tipo X Q : X X X Gf Gf Gf. Gf Gf. Gf 3 3 Q Gf. Gf3 Gf. Gf Gf Gf Gf Gf Gf. Gf Gf. Gf Q Gf3. Gf4 Gf. Gf3 Gf 3Gf Gf Gf Gf. Gf Gf. Gf Q Gf4. Gf5 Gf3. Gf4 Gf 4Gf 3

57 55 X Gf Gf Gf. Gf Gf. Gf Q Gf. Gf Gf. Gf Gf Gf 3 f4 f3 X Q ( i).. ( i). ( i). 0 f3 f f6 f5 X Q ( i).. ( i). ( i) f5 f f8 f7 X Q ( i).. ( i). ( i) f7 f6 X Q i f ( ). f f f Da soma das matrizes 4 6 X Q X Q X Q X Q, será cosiderado apeas o resultado da posição de ª liha e ª colua, assim, pode-se escrever: Gf Gf Gf Gf Gf ( i). f f f f ( i). f Gf Gf Gf Gf Gf ( i). f Gf 3 Gf Gf Gf Gf ( i). f 3 Vale cometar que os métodos matriciais aplicados, ateriorimete, são ecotrados de modo semelhate o trabalho de Jeffery & Pereira (04). À vista dos argumetos utilizados, Jorda (965, p. 35) apreseta o seguite teorema: Teorema : A fórmula de Cassii, para os úmeros Gaussiaos de Fiboacci, é descrita por: Gf Gf Gf i, com 0. i X det X i i Demostração: Cosiderado 0 f f 0 f f, Q det Q 0 f. f f e det( X ) det( Q ) i f. f f i i i. 0

58 56 Gf Gf X Q X Q Gf Gf Gf Gf Além disso, como det Gf det det( ).det( ). escrever: X Q X Q Gf Gf Gf i, etão, pode-se Corolário : Para todo 0, vale que: Gf Gf Gf det Gf Gf Gf3 ( ) ( i). Gf Gf3 Gf 4 Demostração: Coforme Martijak & Urbiha (06), serão realizadas algumas operações elemetares etre as lihas e coluas do determiate de ordem 3, assim pode-se observar: Gf Gf Gf det Gf Gf Gf3 Gf Gf 3 Gf 4 Gf Gf Gf det Gf Gf Gf3 Gf Gf Gf Gf Gf3 Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf det Gf Gf Gf det Gf Gf Gf Gf L L 3L 3 L 3 L L 3 3 Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf Gf det Gf Gf Gf Gf det Gf Gf Gf 0 L3 L 3 C C 3C 3 Gf Gf Gf Gf det Gf Gf det Gf Gf C C 3 C 3 C 3 C 3 Gf Gf 0 Gf Gf 0 det Gf Gf det Gf Gf 0 L L3 L L L3 L ( Gf Gf Gf ) ( ) ( i) ( ) ( i).

59 57 Figura 4 Outros casos particulares da sequêcia dos Gaussiaos de Fiboacci visualizados o CAS Maple. Fote: Elaboração da autora. Aida sobre os úmeros Gaussiaos de Fiboacci, pode-se verificar a validade das relações: Gf f f i e Gf f f i. Para isso, como: X Q i f f. i f f f f i f f i Gf Gf f fi f f i Gf Gf. Logo, pode-se ver que Gf f f i desde que G f0 i e Gf. Por outro lado, cosiderado i Y i i, pode-se fazer i i f f f fi f fi Gf Gf Y Q., de ode se tem: i f f f f i f f i Gf Gf Gf f f i desde que G f0 i e G f i. Vale destacar que determiada por idução (Figura 4). Observe também: Y Q Gf Gf Gf Gf é

60 58 Y Q i i Gf Gf i i Gf Gf0 Y Q 3i i Gf Gf 3 i i Gf Gf Y Q 3 5i 3i Gf Gf i i Gf3 Gf Y Q Gf Gf Gf Gf Além do mais, é relevate observar que se pode escrever ( X Q ) f f i f f i f fi f f i f f f i f i f f f f i f i f f fi f i f i. Por fim, esta seção, foram tratadas relações e propriedades uidimesioais, 0 isto é, cosiderado apeas uma variável, para os úmeros Gaussiaos de Fiboacci, os quais serão avaliados, a seguir, o cojuto de relações bidimesioais Relações Recorretes Bidimesioais e Idetidades Doravate, serão deduzidas determiadas idetidades emergetes de uma relação recorrete bidimesioal, ou seja, com duas variáveis, discutida por Harma (98), Oliveira, Alves & Paiva (07), a fim de explorar o aumeto dimesioal, a partir da iserção de uidades imagiárias, do modelo de Fiboacci. Para isso, tem-se a defiição a seguir para os úmeros de Fiboacci da forma G(, m ). Defiição : Assumido os seguites valores iiciais G(0,0) 0, G(,0), G(0,) i e G(,) i, podem-se escrever os úmeros da forma G(, m ) usado as seguites relações (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): G(, m) G(, m) G(, m). G(, m ) G(, m ) G(, m)

61 59 Ates de demostrar o Teorema 3 que atecede a discussão das idetidades bidimesioais, é ecessário apresetar o euciado e a validade do Lema. Desse modo, observe que: Lema : São válidas as seguites propriedades (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): G(,0) f G(0, m) f i G(,) f f i m G(, m) f f i m m. Demostração: aplica-se o segudo pricípio de idução sobre, variado = (0,,,3,...), cosiderado a relação G(, m) G(, m) G(, m) e os valores iiciais defiidos G(0,0) 0 G(,0) f, avalia-se a recorrêcia para m=0. Observe: f0 e G(,0) G(,0) G(,0) : G(,0) G(,0) G(0,0) f G(3,0) G(,0) G(,0) f G(4,0) G(3,0) G(,0) 3 f 3 4 G(,0) G(,0) G(,0) f G(,0) G(,0) G(,0) f G(,0) G(,0) G(,0) f f f. Desse modo, verifica-se que vale a propriedade G(,0) f. Aalogamete, também se prova a validade de G(0, m) fmi, quado se cosidera a relação G(, m ) G(, m ) G(, m) para G(0,0) 0 f0, G(,0) f e G(0,) assim, aalisa-se a recursividade para =0, ou seja, G(0, m ) G(0, m ) G(0, m), variado m = (0,,,3,...). Veja: i, G(0, m ) G(0, m ) G(0, m) G(0, ) G(0,) G(0,0) i 0 i f i G(0,3) G(0, ) G(0,) i i i f i G(0, 4) G(0,3) G(0, ) i i 3i f i 3 4 G(0, m) G(0, m ) G(0, m ) f i G(0, m ) G(0, m) G(0, m ) f i m G(0, m ) G(0, m ) G(0, m) fm i fmi fmi m

62 60 Seguido o mesmo pricípio de idução, demostra-se a propriedade G(,) f f i, cotudo em relação à G(, m) G(, m) G(, m) e assumido os valores G(0,0) 0 f0, G(,0) f, G(0,) i e G(,) i, avalia-se a recorrêcia para m=, isto é, G(,) G(,) G(,), com = (0,,, 3,...). Daí, segue que: G(,) G(,) G(,) G(,) G(,) G(0,) i i ( i) f. G(0,) f. G(,) G(3,) G(,) G(,) 3i i ( i) f. G(0,) f. G(,) 3 G(4,) G(3,) G(,) 3 5i i 3( i) f. G(0,) f. G(,) 3 4 G(,) G(,) G(,) f. G(0,) f. G(,) f f i G(,) G(,) G(,) f. G(0,) f. G(,) f f i G(,) G(,) G(,) f. G(0,) f. G(,) f f i 3 Por fim, segue a prova aáloga de G(, m) fm fmi. Porém, cosidera-se a relação G(, m ) G(, m ) G(, m) e os valores iiciais defiidos G(0,0) 0 f0, G(,0) f, G(0,) i e G(,) i, aalisa-se a recorrêcia para =, ou seja, G(, m ) G(, m ) G(, m), para m = (0,,,3,...). Note que: G(, m ) G(, m ) G(, m) G(, ) G(,) G(,0) i f f i 3 G(,3) G(, ) G(,) 3 i f f i 4 3 G(, 4) G(,3) G(, ) 5 3i f f i 5 4 G(, m) G(, m ) G(, m ) f f i m G(, m ) G(, m) G(, m ) f f i m m G(, m ) G(, m ) G(, m) fm3i fmi Com origem as relações de recorrêcias, os valores iiciais assumidos a Defiição e partido da validade do Lema, será ivestigado o comportameto de G(, m ) G(, m ) G(, m), para qualquer valor atural de, quado m = (0,,,3,..). Assim, teremos que: m Teorema 3: Para dois iteiros m,, os úmeros da forma G(, m) (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): são descritos por

63 6 G(, m) f f f f i. m m Demostração: Descreve-se que: G(, m ) G(, m ) G(, m) G(,) G(,) G(,0) G(,0) G(,) f G(,0) f G(,) G(,3) G(,) G(,) G(,0) G(,) f G(,0) f G(,) 3 G(,4) G(,3) G(,) G(,0) 3 G(,) f G(,0) f G(,) 3 4 G(, m) G(, m ) G(, m ) f G(,0) f G(,) f. f f ( f f i) m m m m f ( f f ) f. f i G(, m) f. f f. f i. m m m m m Figura 5 - Teorema forecido por Harma (98). Fote: Harma (98, p. 83). Vale cometar que, Harma (98, p. 83) comete um equívoco (ver Figura 5) ao apresetar esse teorema, pois o autor trocou o termo fm por fm, assim, evideciado a seguite expressão G(,m) fm f i f fm. Cotudo, Tasci & Yalci (03, p. 3) idicam a forma correta do teorema, que é represetado por G(,m) fm f fm f i. Com isso, costata-se a validade do Teorema 3, esse setido, serão demostradas certas idetidades bidimesioais para os úmeros de Fiboacci a sua forma complexa. Vale

64 6 ressaltar que as idetidades a seguir represetam uma extesão das uidimesioais, exploradas ateriormete. Idetidade 7: A soma dos úmeros G(, m) de ídice ímpar é determiada por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): G(i, m) f. fm ( f3 ) fmi.. i0 Demostração: Partido da relação G(, m) G(, m) G(, m) para qualquer valor atural de m, segue que: G(, m) G(, m) G(0, m) G(, m) G(, m) G(0, m) G(4, m) G(3, m) G(, m) G(3, m) G(4, m) G(, m) G(6, m) G(5, m) G(4, m) G(5, m) G(6, m) G(4, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) Recorredo à propriedade G(0, m) fmi e ao teorema G(, m) f fm f fmi, segue: i0 G(i, m) G(, m) G(3, m)... G(, m)... G(, m) G(0, m) G(, m) f i f. f f. f i G(i, m) f. f ( f ) f i. m m 3 m m 3 m i0 Idetidade 8: A soma dos úmeros G(, m) de ídice par ão ulo é determiada por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): G( i, m) ( f ) fm ( f ) fmi. i Demostração: Na sequêcia a seguir, cosidera-se apeas os úmeros de ídice par até a ordem, assim, tem-se que:

65 63 G(3, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(3, m) G(, m) G(5, m) G(4, m) G(3, m) G(4, m) G(5, m) G(3, m) G(7, m) G(6, m) G(5, m) G(6, m) G(7, m) G(5, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) Aplicado a propriedade G(, m) fm fmi e o teorema G(, m) f fm f fmi, tem-se que: i0 G( i, m) G(, m) G(4, m)... G(, m)... G(, m) G(, m) G(, m) ( f f i) f. f f. f i G( i, m) ( f ). f ( f ) f i. m m m m m m i0 Idetidade 9: A soma dos primeiros úmeros G(, m) com ídice maior que zero é determiada por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): i G( i, m) ( f ) f ( f ) f i. m 3 m Demostração: Recorredo a relação G(, m) G(, m) G(, m), serão somados os úmeros G(, m) até a ordem, para ídice maior que zero. Veja: G(, m) G(, m) G(0, m) G(, m) G(, m) G(0, m) G(3, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(3, m) G(, m) G(4, m) G(3, m) G(, m) G(3, m) G(4, m) G(, m) G(5, m) G(4, m) G(3, m) G(4, m) G(5, m) G(3, m) G(6, m) G(5, m) G(4, m) G(5, m) G(6, m) G(4, m) G(7, m) G(6, m) G(5, m) G(6, m) G(7, m) G(5, m) G(, m) G( 3, m) G( 4, m) G( 3, m) G(, m) G( 4, m) G(, m) G(, m) G( 3, m) G(, m) G(, m) G( 3, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) Aplicado as propriedades G(0, m) fmi, G(, m) fm fmi e ao teorema G m f f f f i, segue: (, ) m m

66 64 i G( i, m) G(, m) G(, m)... G(, m) G(, m) G(0, m) G(, m) G(, m) G(, m) f i ( f f f f i) ( f f i) ( f f f f i) m m m m m m m f f f f f ( f f f f f f ) i m m m m m m m ( f f ). fm ( f f ) f i m. i Idetidade 0: A soma dos primeiros quadrados dos úmeros G(, m) é obtida quado se aplica o somatório (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): i G( i, m)² [( f. f ) f f. f. f ] ( f f. f ) f. f i. m m m m Demostração: cotiuado o raciocíio da demostração da idetidade aterior, pode-se verificar que: G(, m)² [ G(, m) G(0, m)]. G(, m) G(, m) G(, m) G(0, m) G(, m) G(, m)² [ G(3, m) G(, m)]. G(, m) G(3, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(3, m)² [ G(4, m) G(, m)]. G(3, m) G(4, m) G(3, m) G(, m) G(3, m) G(4, m)² [ G(5, m) G(3, m)]. G(4, m) G(5, m) G(4, m) G(3, m) G(4, m) G(5, m)² [ G(6, m) G(4, m)]. G(5, m) G(6, m) G(5, m) G(4, m) G(5, m) G(, m)² [ G(, m) G(, m)] G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) G(, m) Dessa forma: i i G( i, m)² G (, m)² G(, m)²... G(, m)² G(, m). G(0, m) G(, m). G(, m) ( f f i) f i ( f. f f. f i)( f. f f. f i) m m m m m m m f. f i f f. f f f. f. f i f. f. f. f i f. f. f m m m m m m m m m G( i, m)² [( f. f ) f f. f. f ] ( f. f f. f. f f. f. f. f ) i. m m m m m m m m

67 65 Idetidade : A soma de seis úmeros G(, m) cosecutivos é divisível por quatro, sedo determiada por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): 5 i0 G( i, m) 4. G( 4, m). Demostração: Utiliza-se G(, m) f fm f fmi para descrever os úmeros G(, m) da seguite maeira: G(, m) f. f f. f i m m G(, m) f. f f. f i m m G(, m) f. f f. f i m 3 m G( 3, m) f. f f. f i 3 m 4 m G( 4, m) f4. fm f5. fmi ` G( 5, m) f. f f. f i 5 m 6 m Note que: 5 fi 4. f4. e i0 6 i f ( f f ) ( f f ) f f f f f f i f f f f f 4. f. Portato: i0 G( i, m) G(, m) G(, m) G(, m) G( 3, m) G( 4, m) G( 5, m) ( f f f f f f ) f ( f f f f f f ) f i m m 5 6 i. m i. m i0 i f f f f i 4. f. f 4. f. f i 5 i0 4 m 5 m 4( f. f f. f i) 4 m 5 m G( i, m) 4. G( 4, m). Idetidade : A soma de dez úmeros G(, m) cosecutivos é divisível por oze, é descrita por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): 9 i0 G( i, m). G( 6, m).

68 66 Demostração: Assim, como a demostração aterior, de modo aálogo, aplicado G m f f f f i para escrever os úmeros G(, m ), como (, ) m m 9 i0 f i f 6 e também: 0 i f ( f... f ) f... f i f f f f ( f f ) f f [ f ( f f )] f 3 f 4 f f 3 f 4( f f ) f 4. f 7. f f. 7 Segue que: 9 i0 G( i, m) G(, m) G(, m) G(, m)... G( 8, m) G( 9, m) ( f f f... f f ) f ( f f f... f f ) f i 8 9 m m 9 0 i. m i. m i0 i f f f f i. f. f. f. f i 9 i0 6 m 7 m ( f. f f. f i) 6 m 7 m G( i, m). G( 6, m). Além do mais, Harma (98, p. 83) explica que o teorema, a seguir, descreve através de uma fução G(, m ), um valor úico de G(, m ) correspodete para cada poto o plao ( m, ). Desse modo, (b) ão foi discutida pelo autor. Assim, segue: Teorema 4: Para os úmeros G(, m ) com ídices iteiros quaisquer, valem as seguites propriedades (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): ( a) G(, m ) G(, m ) G(, m) G(, m ) G(, m) ( b) G( ( ), ( m )) G( ( ), ( m )) G(, ( m )) G( ( ), m) G(, m)

69 67 Demostração: Como G(, m) G(, m) G(, m) e G(, m ) G(, m ) G(, m), pode-se observar que G(, m ) G(, m ) G(, m). Assim, aplicado a relação recursiva, tem-se: G(, m ) G(, m ) G(, m) G(, m ) G(, m ) G(, m) G(, m ) G(, m ) G(, m) G(, m) (a). À vista disso, pode-se compreeder que (, m ),(, m ),(, m) e ( m, ), são as coordeadas dos potos o plao. Desse modo, pode-se obter um úmero subsequete represetado por G(, m ). Essa propriedade, coforme Harma (98, p. 83), é uma iteressate versão bidimesioal da recorrêcia caracteristica de Fiboacci. Harma (98) ão discute G(, m) f( m) f fm f( ) i, cotudo, quado se avalia essa relação, pode-se ver G(, m) f f f f i ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f i m m ( m) m ( ) ( m) m ( ) ( ) f f ( ) f f i ( ) [ f f f f i], assim, tem-se m 3 m 3 m ( m) m ( ) ( m) m ( ) que ( m) G(, m) ( ) G(,m) é válida para todo par ( m, ) de iteiros quaisquer. Nesse setido, ao avaliar G( ( ), ( m )), segue que: (m) G( ( ), ( m )) ( ) G(, m ) ( m) 5 ( ) G(, m ) ( m) 5 ( ) [ G(, m ) G(, m ) G(, m) G(, m)] m3 m5 m5 m5 ( ) G(, m ) ( ) G(, m ) ( ) G(, m) ( ) G(, m) ( ( m ) m (, ) ( ) (, ) ( ) m m G m G m G(, m) ( ) G(, m) G( ( ), ( m )) G(, ( m )) G( ( ), m) G(, m) Fialmete, obtém-se G( ( ), ( m )) G( ( ), ( m )) G(, ( m )) G( ( ), m) G(, m) (b), que é uma relação aida ão discutida pelos autores cosultados. Destarte, os úmeros Gaussiaos de Fiboacci serão explorados para uma represetação da Fórmula de Biet. Para isso, segue o seguite corolário: Corolário : Os úmeros G (,m) são decritos, ( m, ), pelas seguites fórmulas variates de Biet (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07):

70 68 m m m G(,) ( i) ( i) ( a) G(, m) ( ) m m m ( m) G(,) ( i) ( i) ( b) G(, m) ( ) ( ) Demostração: Cosiderado G(, m) f fm f fmi e aplicado a Fórmula de Biet, pode-se ver: G m f f f f i (, ) m m m m m m i m m m m m m m m i i i ( ) ( ) m i m i m i ( ) ( ) ( ) ( ) m G m i m i (,) ( ) ( ). ( ) Logo, pode-se cocluir que m m m G i i G(, m) (,) ( ) ( ) ( ) para o item (a). E, de modo aálogo, aplicado a equivalêcia f ( ) f ( ) f para o item (b), obtém-se (, ) ( ) G m f f f f i f ( ) m f ( ) f ( ) m f i ( ) f f f f i ( ) G(, m). m m ( m) m ( m) ( ) m ( m) m Cotiuado a ivestigação do aumeto dimesioal do MF a forma complexa, a seguir, será feita uma abordagem tridimesioal da relação recorrete de Fiboacci Relações Recorretes Tridimesioais e Idetidades Harma (98, p. 8-85) explica que os úmeros deotados por G(, m ), são defiidos o cojuto de Gaussiaos Iteiros (, m) = + mi, ode e m são iteiros. Por aalogia direta com a recorrêcia clássica de Fiboacci. Nesse setido, os úmeros complexos de Fiboacci se estedem a dimesões superiores. A fim de se fazer essa verificação, esta seção, são esboçadas as idetidades ieretes à relação recursiva do caso

71 69 tridimesioal. Mas ates, aalogamete à versão bidimesioal, será verificada a validade do Teorema 5, partido da defiição e do lema a seguir: Defiição : Cosiderado os seguites valores iiciais defiidos: G(0, 0, 0) 0, G(, 0, 0), G(0,,0) i, G(0,0,) j, G(,,) i j, G(0,,) i j, G(,0,) j e G(,,0) i, têm-se que os úmeros da forma G(, m, p) devem satisfazer às seguites codições tridimesioais de recorrêcia (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p). G(, m, p ) G(, m, p ) G(, m, p) Lema : Valem as seguites propriedades (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): G(,0,0) f G(,,) f f i f j G(,,0) f f i G(,0,) f f j Demostração: Para a propriedade G(,0,0) f, cosidera-se a relação G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) e os valores iiciais G(0,0,0) 0 f0 e G(,0,0) f, dessa forma, avalia-se a recorrêcia para m=p=0, isto é, G(,0,0) G(,0,0) G(,0,0), variado = (0,,,3,...). Observe: G(,0,0) G(,0,0) G(,0,0) G(,0,0) G(,0,0) G(0,0,0) f G(3,0,0) G(,0,0) G(,0,0) f G(4,0,0) G(3,0,0) G(,0,0) 3 f G(5,0,0) G(4,0,0) G(3,0,0) 5 f G(,0,0) G(,0,0) G(,0,0) f De modo aálogo, para a propriedade G(,,) f f i f j, recorre-se à relação G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p), ode os valores iiciais são f0 0, f, G(,,) i j, e G(0,,) i j. Com isso, avalia-se a recursividade para m=p=, isto é, G(,,) G(,,) G(,,), sedo = (0,,, 3,...). Veja:

72 70 G(,,) G(,,) G(,,) G(,,) G(,,) G(0,,) i j f. G(0,,) f. G(,,) G(3,,) G(,,) G(,,) 3i 3 j f. G(0,,) f. G(,,) 3 G(4,,) G(3,,) G(,,) 3 5i 5 j f. G(0,,) f. G(,,) 3 4 G(5,,) G(4,,) G(3,,) 5 8i 8 j f. G(0,,) f. G(,,) 4 5 G(,,,) G(,,) G(,,) f. G(0,,) f. G(,,) f f i f j Sedo assim, prossegue-se para G(,,0) f f i, recorredo à G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) para f0 0, f, G(,,0) i e G(0,,0) A recorrêcia é avaliada para m= e p=0, isto é, G(,,0) G(,,0) G(,,0), variado = (0,,,3,...). Note que: i. G(,,0) G(,,0) G(,,0) G(,,0) G(,,0) G(0,,0) i f f i 3 G(3,,0) G(,,0) G(,,0) 3i f f i 3 4 G(4,,0) G(3,,0) G(,,0) 3 5i f f i 4 5 G(5,,0) G(4,,0) G(3,,0) 5 8i f f i 5 6 G(,,0) G(,,0) G(,,0) f f i Fialmete, cotiuado por idução, a propriedade G(,0,) f f j é provada através da aplicação da recorrêcia G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) cosiderado os valores defiidos f0 0, f, G(,0,) j e G(0,0,) j, desse modo, verifica-se a recorrêcia para m=0 e p=, ou seja, G(,0,) G(,0,) G(,0,), variado = (0,,,3,...). Segue que: G(,0,) G(,0,) G(,0,) G(,0,) G(,0,) G(0,0,) j f f j 3 G(3,0,) G(,0,) G(,0,) 3 j f f j 3 4 G(4,0,) G(3,0,) G(,0,) 3 5 j f f j 4 5 G(5,0,) G(4,0,) G(3,0,) 5 8 j f f j 5 6 G(,0,) G(, 0,) G(,0,) f f j. Aalogamete, aplicado o segudo pricípio idutivo sobre m as relações recursivas obtém-se as propriedades G(0, m,0) f i, m m m G(0, m,) f i f j, G(, m,0) fm fmi e

73 7 G(, m,) f f i f j. Ademais, por idução em p, costata-se as propriedades G(0,0, p) f j, m m m p p G(0,, p) f i f pj, G(,0, p) f p f pj e G(,, p) f p f pi f p j. Teorema 5 : Os úmeros da forma G(, m, p) são determiados, tais que, m, p, por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): G(, m, p) f f f f f f i f f f j. m p m p m p Demostração: Assim, quado se ivestiga o comportameto das propriedades apresetadas ateriormete para m =,, 3,...,m-, tem-se: G(0,0, P) ( f f ) i f f j f j 0 P p p G(0,, p) ( f f ) i f f j P G(0,, p) ( f f ) i f f j P 3 p p G(0, m, p) ( f f ) i f f j m P m p G(0, m, p) ( f f ) i f f j m P m p Desse modo, prova-se a veracidade do Teorema 5, por meio da sua aplicação para = (,, 3,...,-), a seguite situação: G(, m, p) f f f f f f i f f f j m p m p m p G(, m, p) f f f f f f i f f f j m p 3 m p 3 m p G(3, m, p) f f f f f f i f f f j 3 m p 4 m p 4 m p G(, m, p) f f f f f f i f f f j m p m p m p G(, m, p) f f f f f f i f m p m p fm p G(, m, p) f f f f f f i f f f j m p m p m p f j Nesse setido, como uma extesão das idetidades bidimesioais, serão discutidas as seguites idetidades tridimesioais para os úmeros de Fiboacci a sua forma complexa: Idetidade 3: A soma dos úmeros G(, m, p) de ídice ímpar é obtida por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07):

74 7 i0 G(i, m, p) f. f. f ( f ) f. f i ( f ) f. f j. m p 3 m p 3 m p Demostração: Partido da relação G(, m, p) G(, m,) G(, m, p), para qualquer valor atural de m e p, assume-se = (0,,,3,...), assim: G(, m, p) G(, m, p) G(0, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(0, m, p) G(4, m, p) G(3, m, p) G(, m, p) G(3, m, p) G(4, m, p) G(, m, p) G(6, m, p) G(5, m, p) G(4, m, p) G(5, m, p) G(6, m, p) G(4, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) Recorredo à propriedade G(0, m, p) fm. f pi fm. f p j e ao teorema G m p f f f f f f i f f f j, segue que: (,, ) m p m p m p i0 G(i, m, p) G(, m, p) G(3, m, p)... G(, m, p)... G(, m, p) G(0, m, p) G(, m, p) ( f. f i f. f j) f. f. f f. f. f i f. f. f j m p m p m p 3 m p 3 m p G(i, m, p) f. f. f ( f ) f. f i0 i ( f ) f. f j. m p 3 m p 3 m p Idetidade 4: A soma dos úmeros G(, m, p) de ídice par é determiada por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): i G( i, m, p) ( f ). f. f ( f ). f. f i ( f ) f. f j. m p m p m p Demostração: De modo aálogo à demostração da idetidade aterior, o etato, cosidera-se apeas os úmeros de ídice par até a ordem. Veja:

75 73 G(3, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(3, m, p) G(, m, p) G(5, m, p) G(4, m, p) G(3, m, p) G(4, m, p) G(5, m, p) G(3, m, p) G(7, m, p) G(6, m, p) G(5, m, p) G(6, m, p) G(7, m, p) G(5, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) Aplicado a propriedade G(, m, p) fm. f p fm. f pi fm. f p j e o teorema G m p f f f f f f i f f f j, assim, tem-se que: (,, ) m p m p m p i G( i, m, p) G(, m, p) G(4, m, p)... G(, m, p)... G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) ( f. f f. f i f. f j) f. f. f f. f. f i f. f. f j m p m p m p m p m p m p G( i, m, p) ( f ). fm. f p ( f m p m p i ). f. f i ( f ) f. f j. Idetidade 5: A soma dos primeiros úmeros G(, m, p) com ídice maior que zero é obtida pelo somatório (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): i G( i, m, p) ( f ) f f ( f ) f f i ( f ) f f j. m p 3 m p 3 m p Demostração: aplicado a relação G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p), deve-se somar os úmeros G(, m, p) até a ordem, para ídice maior que zero. Veja: G(, m, p) G(, m, p) G(0, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(0, m, p) G(3, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(3, m, p) G(, m, p) G(4, m, p) G(3, m, p) G(, m, p) G(3, m, p) G(4, m, p) G(, m, p) G(5, m, p) G(4, m, p) G(3, m, p) G(4, m, p) G(5, m, p) G(3, m, p) G(6, m, p) G(5, m, p) G(4, m, p) G(5, m, p) G(6, m, p) G(4, m, p) G(7, m, p) G(6, m, p) G(5, m, p) G(6, m, p) G(7, m, p) G(5, m, p) G(, m, p) G( 3, m, p) G( 4, m, p) G( 3, m, p) G(, m, p) G( 4, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G( 3, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G( 3, m, p)

76 74 G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) Recorredo às propriedades e ao teorema G(0, m, p) fm. f pi fm. f p j, G(, m, p) f. f f. f i f. f j segue o somatório: m p m p, m p G(, m, p) f fm f p f fm f p i f fm f p j, i G( i, m, p) G(, m, p) G(, m, p)... G(, m, p) G(, m, p) G(0, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) ( f. f i f. f j) f f f f f f i f f f j ( f. f f. f i f. f j) m p m p m p m p m p m p m p m p f f f f f f i f f f j m p m p m p ( f f ) f f ( f f ) f f i ( f f ) f f j m p m p m p ( f ) f f ( f ) f f i ( f ) f f j. m p 3 m p 3 m p Idetidade 6: A soma dos primeiros quadrados dos úmeros G(, m, p ) é determiada por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): i G( i, m, p)² ( f f f f f f f ) f ( f f f ) f f f i m m m p m m p ( f f f ) f f f j ( f f ).( f f f f i j f f j²). m p p m m p p m p Demostração: Cotiuado o raciocíio da demostração da idetidade aterior, pode-se verificar que: G(, m, p)² [ G(, m, p) G(0, m, p)]. G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(0, m, p) G(, m, p) G(, m, p)² [ G(3, m, p) G(, m, p)]. G(, m, p) G(3, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(3, m, p)² [ G(4, m, p) G(, m, p)]. G(3, m, p) G(4, m, p) G(3, m, p) G(, m, p) G(3, m, p) G(4, m, p)² [ G(5, m, p) G(3, m, p)]. G(4, m, p) G(5, m, p) G(4, m, p) G(3, m, p) G(4, m, p) G(5, m, p)² [ G(6, m, p) G(4, m, p)]. G(5, m, p) G(6, m, p) G(5, m, p) G(4, m, p) G(5, m, p) G(, m, p)² [ G(, m, p) G(, m, p)] G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p) Assim, segue que:

77 75 i G( i, m, p)² G (, m, p)² G(, m, p)²... G(, m, p)² G(, m, p). G(0, m, p) G(, m, p). G(, m, p) ( f. f f. f i f. f j). ( f. f i f. f j) m p m p m p m p m p ( f f f f f f i f f f j). ( f f f f f f i f f f j) m p m p m p m p m p m p f. f i.( f. f f. f i f. f j) f. f j ( f. f f. f i f. f j) m p m p m p m p m p m p m p m p f f f.( f f f f f f i f f f j) f f f i( f f f f f f i m p m p m p m p m p m p m p f f f j) f f f j( f f f f f f i f f f j) f f f i f f m p m p m p m p m p m m p m p f f f f ij f f f j f f f f ij f f j² f f f f f f f f f i m m p p m p p m m p p m p m p m m p f f f f f j f f f f i f f f f f f f f f f ij f f f f j m p p m m p m p m m p p m p p f f f f f f ij f f f f j² ( f f f f f f f ) f m m p p m p m m m p ( f f f ) f f f i ( f f f ) f f f j ( f f ) f f f f ij m m p m p p m m p p ( f f ) f f j². m p Simplificado: G( i, m, p)² ( f f f f f f f ) f ( f f f ) f f f i i m m m p m m p ( f f f ) f f f j ( f f ).( f f f f i j f f j²). Ou aida, m p p m m p p m p tem que: [ G( i, m, p)]² A ( f. f f )( B. i C. j) ( f. f )( D. i. j E. j²). i Para A( f f. f. f f. f. f ). f, B f. f. f, C f. f. f, D. f. f. f. f, E f. f. m m m p m m p m p p m m p p m p Idetidade 7: A soma de seis úmeros G(, m, p) cosecutivos é divisível por quatro, isso fica explícito por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): 5 i0 G( i, m, p) 4. G( 4, m, p). Demostração: Usa-se G(, m, p) f fm f p f fm f pi f fm f p j para escrever os úmeros G(, m, p ), daí:

78 76 G(, m, p) f. f. f f. f. f i f. f. f j m p m p m p G(, m, p) f. f. f f. f. f i f. f. f j m p m p m p G(, m, p) f. f. f f. f. f i f. f. f j m p 3 m p 3 m p G( 3, m, p) f. f. f f. f. f i f. 3 m p 4 m p 4 fm. f j G( 4, m, p) f. f. f f. f. f i f. f. f j 4 m p 5 m p 5 m p G( 5, m, p) f. f. f f. f. f i f. f. f j. 5 m p 6 m p 6 m p p 5 6 Como f 4. f e f 4. f. Assim: i 4 i 5 i0 i 5 i0 G( i, m, p) G(, m, p) G(, m, p) G(, m, p)... G( 5, m, p) ( f f f f f f ) f f ( f f f f f f ) f f i m p m p ( f f f f f f ) f f j m p fi. fm. f p fi. fm f pi fi. fm f p j i0 i i 4. f. f. f 4. f. f f i 4. f. f f j 4 m p 5 m p 5 m p 4. G( 4, m, p). Idetidade 8: A soma de dez úmeros G(, m, p) cosecutivos é divisível por oze, é expressa por (OLIVEIRA, ALVES & PAIVA, 07): 9 i0 G( i, m, p). G( 6, m, p). Demostração: Assim, como a demostração aterior, será utilizado G(, m, p) f f f f f f i f f f j para descrever os úmeros G(, m, p ). E, como m p m p m p 9 fi f6, e i0 0 i f i f. 7, segue que: 9 i0 G( i, m, p) (, m, p) G(, m, p) G(, m, p)... G( 9, m, p) ( f f... f ) f f ( f f... f ) f f i ( f f... f ) f f j 9 m p 0 m p 0 m p 9 0 fi. fm. f p fi. fm. f pi i0 i f f f j 0 i. m. p i

79 77. f f f. f f f i. f f f j 6 m p 7 m p 7 m p. ( f f f f f f i f f f j) 6 m p 7 m p 7 m p. G( 6, m, p). Doravate, o MF será discutido uma perspectiva -dimesioal com o aumeto do úmero de variáveis e suas respectivas uidades imagiárias. Assim, serão apresetados teoremas e defiições Relações Recorretes -Dimesioais e Idetidades Nesta seção, com bases os trabalhos de Harma (98), Oliveira, Alves & Paiva (07), são defiidas algumas relações recorretes -dimesioais, as quais desigam uma expressão geeralizada para úmeros hipercomplexos a forma G(,, 3,, ) com vaiáveis. Cosequetemete, serão apresetadas determiadas idetidades emergetes de um processo idutivo com origem a aálise dos úmeros Gaussiaos de Fiboacci, com uma variável, que satisfazem à recorrêcia G f G f, G f e, de acordo com Halici (03), igualdade G f. f f i, desde que G f0 i e G f i. Tabela - Idetidades ui, bi e tridimesioais para os úmeros complexos de Fiboacci. Idetidades para os úmeros complexos de Fiboacci Uidimesioais Bidimesioais Tridimesioais fi f i Gfi f i0 f3 i G(i, m) f. fm i0 ( f ) f i 3 m G (i, m, p) f. fm. f p i0 ( f ) f. f i ( f ) f. f j 3 m p 3 m p fi f i Gfi f i ( ) ( f ) i G( i, m) ( f ) fm i ( f ) f i m G( i, m, p) ( f ). fm. f p i ( f ). f. f i ( f ) f. f j m p m p

80 78 fi f i Gfi f i 3 ( ) ( f ) i G( i, m) ( f ) fm i ( f ) f i 3 m G( i, m, p) ( f ) fm f p i ( f ) f f i ( f ) f f j 3 m p 3 m p ( fi )² f f i i G ( i, m)² [( f. f ) f f. f f ] m m ( f f. f ) f f i m m i [ G( i, m, p)]² A ( f. f f )( B. i C. j) ( f. f )( D. i. j E. j²), para : A ( f f. f. f f. f. f ). f, m m m p B f. f. f, C f. f. f m m p m p p D. f. f. f. f, E f. f. m m p p m p 5 fi i0 5 Gfi i0 9 fi i0 9 Gfi i0 4. f 4 4. Gf f 4 6 Gf 6 5 i0 9 i0 G( i, m) 4. G( 4, m ). G( i, m). G( 6, m ). Fote: Elaboração da autora. 5 i0 9 i0 G( i, m, p) 4. G( 4, m, p ). G( i, m, p). G( 6, m, p ). Além do mais, é válido cosiderar as idetidades da Tabela, a qual apreseta uma esquematização de como os úmeros Gaussiaos de Fiboacci se expressam quado se isere outras variáveis e mais de uma compoete imagiária. Esse processo evolutivo é bastate relevate para a compreesão da geeralização das relações e propriedades -dimesioais. Defiição 3: Seja um úmero hipercomplexo G(,, 3,, ) com vaiáveis, para, vale, além da compoete imagiária i, o seguite cojuto de uidades imagiárias j, k,,. Quato às variáveis e sua otação, tem-se que. Desse modo, são defiidos os valores iiciais a seguir: G(0,0,0,,0) 0 G(,0,0,,0) G(0,,0,,0) i G(0,0,,0,,0) j G(0,0,0,,0,,0)

81 79 G(0,0,0,0,,0,,0) 3 G(0,0,0,,0,) G(,,,,) i G(0,,,,) i G(,0,,,) G(,,0,,,) i G(,,,,,0) i. 3 Com isso, os úmeros da forma G(,, 3,, ) devem satisfazer às seguites codições -dimesioais de recorrêcia: G(,,, ) G(,,, ) G(,,, ) G(,,, ) G(,,, ) G(,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,, ) 3 3 G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,, ) 3 3 Teorema 6: Os úmeros da forma G(,, 3,, ), tal que,, 3,,, são determiados por: 3 3 f f f f 3 f f f 3 f G(,,, ) f f f f f f f f i Demostração: Assim, já foram demostradas que as relações Gf f f i, G(, m) f fm f fmi e (,, ) m p m p m p G m p f f f f f f i f f f j são válidas. Dessa forma, por meio de um processo idutivo, pode-se verificar que: Gf f f i G(, m) f f f f i m m G(, m, p) f f f f f f i f f f j m p m p m p G(, m, p, q) f f f f f f f f i f f f f j f f f f k m p q m p q m p q m p q

82 80 (,,, ) 3 3 f f f f 3 f 3. f f f G f f f f f f f f i Idetidade 9: A soma dos úmeros G(,, 3,, ) de ídice ímpar é determiada por: i0 f3 f f 3 f i f f f 3 f f 3 f G (i,,, ) f f f f 3 i 3 i0 Demostração: Sabedo que valem os seguites somatórios: (, ) m 3 m i0 Gf f f i, m p m p m p i0 G i m f f f f i e (,, ) 3.. pelo processo idutivo, pode-se ter: i0 i0 i0 i0 i0 Gf f f i i 3 G(i, m) f f f f i m 3 m G i m p f f f f f f i f f j, m p 3 m p m p G (i, m, p) f f f f f. f i f. f j m p q 3 m p q m p q m p q G (i, m, p, q) f f f f f f f f i f f f j f f f k G (i,,, ) f f f f 3 f3 f f 3 f i f f f 3 f f 3 f Utilizado o Teorema 6, tem-se os seguites úmeros: G(,,,, ) G(,,,, ) G(0,,,, ) G(3,,,, ) G(4,,,, ) G(,,,, ) G(5,,,, ) G(6,,,, ) G(4,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(, G 3 G 3,,, ) (,,,, ) (,,,, )

83 8 G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) E, de fato: i0 G(i,,,, ) G(,,,, ) G(3,,,, )... G(,,,, )... G(,,,, ) G(0,,,, ) G(,,,, ) 3 3 f f f f f f f f i f f f f f f. 3 Idetidade 0: A soma dos úmeros G(,, 3,, ) de ídice par ão ulo é determiada por: G( i,,, ) ( f ) f f 3 f i. ( f ) f f f i f f f f f f i i Demostração: Sabedo que valem os seguites somatórios: Gf ( f ) ( f ) i, (, ) ( ) m ( ) m i m p m p m p i G i m f f f f i e (,, ) ( ) ( ) segue, por idução, que: G i m p f f f f f f i f f j, i i i Gf ( f ) ( f ) i i G( i, m) ( f ) f ( f ) f i m m G ( i, m, p) ( f ) f f ( f ) f f i f f j m p m p m p G ( i, m, p, q) ( f ) fm f p fq ( f ) fm f p fq i fm f p fq j fm f pf qk i i G ( i,,, ) ( f ) f f f 3 ( f ) f f f i f f f f f f

84 8 Utilizado o Teorema 6, tem-se os seguites úmeros: G(,,,, ) G(3,,,, ) G(,,,, ) G(4,,,, ) G(5,,,, ) G(3,,,, ) G(6,,,, ) G(7,,,, ) G(5,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) E, de fato: i G( i,,,, ) G(,,,, ) G(4,,,, )... G(,,,, )... G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) 3 3 ( f ) f f f ( f ) f f f i f f f f f f. 3 Idetidade : A soma dos primeiros úmeros G(,, 3,, ) com ídice maior que zero é determiada por i G( i,,, ) ( f ) f f f 3 ( f ) f f f i f f f f f f i i Demostração: Sabedo que valem os seguites somatórios: Gf ( f ) ( f 3 ) i, (, ) ( ) m ( 3 ) m i m p m p m p i G i m f f f f i e (,, ) ( ) ( 3 ) segue, pelo processo idutivo, que: G i m p f f f f f f i f f j, i i i Gf ( f ) ( f ) i i 3 G( i, m) ( f ) f ( f ) f i m 3 m G( i, m, p) ( f ) f f ( f ) f f i f f j m p 3 m p m p

85 83 i i G( i, m, p, q) ( f ) f f f ( f ) f f f i f f f j f f f k m p q 3 m p q m p q m p q G( i,,, ) ( f ) f f f ( f ) f f f i f f f f f f 3 Utilizado o Teorema 6, tem-se os seguites úmeros: G(,,,, ) G(,,,, ) G(0,,,, ) G(,,,, ) G(3,,,, ) G(,,,, ) G(3,,,, ) G(4,,,, ) G(,,,, ) G(4,,,, ) G(5,,,, ) G(3,,,, ) G( 3,,,, ) (,,,, ) ( 4,,,, ) 3 G 3 G 3 G(,,,, ) G(,,,, ) G( 3,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) E, de fato: 3 i G( i,,,, ) 3 G(,,,, ) G(,,,, )... G(,,,, ) G(,,,, ) G(0,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, ) ( f ) f ( f ) f f f 3 f f i f f f f f f Idetidade : A soma de seis úmeros G(,, 3,, ) cosecutivos é divisível por quatro, isso fica explícito por: 5 G i 3 G 3 i0 (,,,, ) 4. ( 4,,,, )

86 84 Demostração: Usado o Teorema 6 para escrever os úmeros da forma G(,, 3,, ) e sabedo que valem os seguites somatórios: 5 5 Gf 4. Gf, G( i, m) 4. G( 4, m ) i 4 i0 i0 e 5 i0 G( i, m, p) 4. G( 4, m, p ), pelo raciocíio idutivo tem-se que: 5 i0 5 i0 5 i0 5 i0 Gf i 4. Gf 4 G( i, m) 4. G( 4, m) G( i, m, p) 4. G( 4, m, p) G( i, m, p, q) 4. G( 4, m, p, q) 5 i0 G( i,,,, ) 4. G( 4,,,, ) 3 3 Utilizado o Teorema 6, tem-se os seguites úmeros: 3 3 f f f f f f f f f f f f 3 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f6 f f 3 f i f f f f f f f f 3 3 G(,,, ) f f f f f f f f i G(,,, ) f f f f f f f f i G(,,, ) f f f f f f f f i G( 3,,, ) f f f f f f f f i G( 4,,, ) f f f f f f f f i G( 5,,, ) f f f f 5 6 6

87 85 Logo: 5 i0 G( i,,,, ) 3 G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, )... G( 5,,,, ) f f f f3 f4 f5 f f 3 f i f f f f f f 3 3 f f f3 f4 f5 f6 f f 3 f 4. G( 4,,,, ). 3 Idetidade 3: A soma de dez úmeros G(,, 3,, ) cosecutivos é divisível por oze e é expressa por: 9 G i 3 G 3 i0 (,,,, ). ( 6,,,, ) Demostração: Usado o Teorema 6 para escrever os úmeros da forma G(,, 3,, ) e sabedo que valem os seguites somatórios: 9 i i0 Gf Gf, 6 9 i0 G( i, m). G( 6, m ) e 9 i0 G( i, m, p). G( 6, m, p ), pelo raciocíio idutivo tem-se que: 9 i0 9 i0 9 i0 9 i0 Gf i Gf 6 G( i, m). G( 6, m) G( i, m, p). G( 6, m, p) G( i, m, p, q). G( 6, m, p, q) 9 i0 G( i,,,, ). G( 6,,,, ). 3 3 De modo aálogo à demostração aterior, segue:

88 f f f f f f f f f f f f 3 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 3 3 G(,,, ) f f f f f f f f i G(,,, ) f f f f f f f f i G(,,, ) f f f f f f f f i G( 3,,, ) f f f f f f f f i f f f f f f f f 3 3 G( 9,,, ) f f f f f f f f i Logo: 9 i0 G( i,,,, ) f f f f9 f f 3 f f f f 3 f 0 f f 3 f i f f f 3 f f f 3 3 G(,,,, ) G(,,,, ) G(,,,, )... G( 9,,,, ) G( 6,,,, ). 3 A seguir, será discutido o MF para a classe dos poliômios com duas variáveis e, em seguida, com a itrodução da uidade imagiária i, serão abordados os poliômios bivariados e complexos. 3. Poliômios Bivariados de Fiboacci (PBF) Nesta seção, serão discutidos teoremas e propriedades oriudos do modelo de Fiboacci através de represetações poliomiais e matriciais. Cotudo, também serão abordadas algumas relações ieretes à sequêcia de Lucas. Os poliômios de Fiboacci

89 87 foram estudados pela primeira vez por Eugèe Charles Catala (84 894) e Erest Erich Jacobsthal (88 965). Além disso, as represetações poliomiais foram defiidas, a priori, com a fialidade de se explorar o modelo Fiboacciao e discutir o seu processo de complexificação através da iserção de uma ou mais variáveis e, mais adiate, da uidade imagiária i. Tedo em vista que o Lema 3 e os Teoremas 7, 8, 9, 0 e são discutidos por Hoggatt & Log (974), Asci & Gurel (03), Alves & Catario (06), vale cohecer as seguites defiições: Defiição 4: A sequêcia poliomial de Fiboacci é dada por (ALVES & CATARINO, 06): f( x) x f ( x) f( x) com f( x), f( x) x e. Defiição 5: A sequêcia poliomial de Lucas é dada por (ALVES & CATARINO, 06): L ( x) x L ( x) L ( x) com L0( x), L( x) x e. Defiição 6: A sequêcia dos poliômios bivariados de Fiboacci é determiada pela relação recorrete (ALVES & CATARINO, 06): F ( x, y) x F ( x, y) y F ( x, y) com F0( x, y) 0, F( x, y) e. Defiição 7: A sequêcia dos poliômios bivariados de Lucas é determiada pela relação recorrete (ALVES & CATARINO, 06): L ( x, y) x L ( x, y) y L ( x, y) com L0( x, y), L( x, y) x e. Defiição 8: A sequêcia dos poliômios bivariados e complexos de Fiboacci { F( x, y)} é 0 determiada pela relação recorrete (ALVES & CATARINO, 06): F ( x, y) ix F ( x, y) y F ( x, y) com F0( x, y) 0, F( x, y) e. Defiição 9: A sequêcia dos poliômios bivariados e complexos de Lucas {L (x, y)} é 0 determiada pela relação recorrete (ALVES & CATARINO, 06): L ( x, y) ix L ( x, y) y L ( x, y) com L0( x, y), L( x, y) ix e.

90 88 Por volta dos aos seteta, algus pesquisadores como: Bickell (970), Hoggatt & Bickell (973a, 973b), Hoggatt & Log (974), Webb & Parberry (969), Alves & Catario (06) abordam, em seus trabalhos, algus critérios de divisibilidade discutidos o cotexto das fuções poliomiais obtidas através das relações recursivas oriudas do modelo de Fiboacci. À vista disso, a seguir, serão apresetados algus teoremas e propriedades deduzidos a partir da Defiição 6. Teorema 7: Para m0, 0, vale (ALVES & CATARINO, 06): F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) y F ( x, y) F ( x, y). m m m Demostração: Primeiramete, por idução sobre e m 0, verifica-se a validade do Teorema 7, cosiderado a Defiição 6, para e, ou seja, F ( x, y ) e F ( x, y ). 3 Desse modo, assumido que valem Fm ( x, y) e F (, ), m x y pode-se escrever que: F ( x, y) F ( x, y) x F ( x, y) y F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) y F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) x F ( x, y) y F ( x, y) F ( x, y). F ( x, y) y F ( x, y) F ( x, y) 3 Fm ( x, y) Fm ( ) ( x, y) Fm ( x, y) F ( x, y) y Fm( x, y) F( ) ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) y. F ( x, y) F ( x, y) m m m F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) y. F ( x, y) F ( x, y) m m ( ) m De fato, para F (, ), m x y é feito: F ( x, y) x F ( x, y) y F ( x, y) m m m m(, ) (, ) y m(, ) (, ) m (, ) (, ) y m(, ) ( ) (, ) x F x y F x y F x y F x y y F x y F x y F x y F x y x F ( x, y) F ( x, y) y F ( x, y) F ( x, y) x y F ( x, y) F ( x, y) y y F ( x, y) F ( x, y) m m m m ( ) Fm ( x, y) F ( x, y) y. Fm ( x, y) F ( x, y). Lema 3: Para 0, tem-se que (ALVES & CATARINO, 06): MDC( y, F ( x, y)). Demostração: Pode-se verificar que para, tem-se que MDC( y, F ( x, y)) MDC( y,). Assim, assumido que vale para k, etão, pela Defiição 6, pode-se escrever que

91 89 Fk ( x, y) x Fk ( x, y) y Fk ( x, y). Dessa forma, tem-se que MDC( y, Fk ( x, y)) d( x, y). k d( x, y) F ( x, y) e d( x, y) y. Logo, d( x, y) Fk ( x, y) y Fk ( x, y) x Fk ( x, y). Porém, d( x, y) Fk ( x, y ) se MDC( y, Fk ( x, y)). E, d( x, y) x, desde que MDC( y, Fk ( x, y)). Teorema 8: Para 0, segue que (ALVES & CATARINO, 06): MDC( F( x, y), F ( x, y)). Demostração: Para 0, tem-se MDC( F0( x, y), F( x, y)) MDC(0,) e para, MDC( F ( x, y), F ( x, y)) MDC(, x). Além disso, assumido que também vale para k ode k é um iteiro, tal que, k. Dessa forma, tem-se MDC( Fk( x, y), Fk ( x, y)) d( x, y) d( x, y) Fk ( x, y) e d( x, y) Fk ( x, y). Ou aida, pela Defiição 6, tem-se: d( x, y) Fk ( x, y) x Fk ( x, y) y Fk ( x, y), isto é, d( x, y) y Fk ( x, y). Como MDC( y, F ( x, y)) (Lema 3), e MDC( Fk( x, y), Fk ( x, y)), etão se, F (, ) k x y ão é divisível por d( x, y ). Logo, d( x, y) cotradição. y, que é um poliômio irredutível a variável y, evideciado assim, uma Teorema 9: Para m, segue que (ALVES & CATARINO, 06): F ( x, y) F ( x, y) m. m Demostração: Primeiramete, será avaliada m F ( x, y) F ( x, y). Para isso, será cosiderada Fm ( x, y) Fk m( x, y), assim, para k, tem-se F m(x, y) F m(x, y). Dessa forma, por idução para k, assume-se que vale F ( x, y) F ( x, y). Pelo Teorema 7, avalia-se para F( ) ( x, y) : k m m ( k ) m kmm km m km m m F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) y F ( x, y) F ( x, y). Neste caso, como F ( x, y) F ( x, y) m k m k m e m m m ( k ) m m F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y). Logo, tedo em vista que m k m e m ( k ) m, pode-se cocluir que: m F ( x, y) F ( x, y). m Fialmete, será avaliada F ( x, y) F ( x, y) m. Neste caso, parte do pressuposto m de que ão é divisível por m. Assim, sejam q (quociete) e r (resto) em uma operação,

92 90 tem-se pelo algoritmo da divisão que: m q r, tal que 0 r m e qr,. Além disso, pelo Teorema 7, pode-se escrever que F ( x, y) Fm qr( x, y) Fm q( r) ( x, y) Fm q( x, y) Fr ( x, y) y Fm q( x, y) Fr ( x, y). Como foi visto: Fm ( x, y) Fm q( x, y) e Fm( x, y) F( x, y ), pode-se escrever: Fm ( x, y) F ( x, y) yfm q( x, y) Fr ( x, y) Fm q( x, y) Fr ( x, y) Fm ( x, y) Fm q( x, y) Fr ( x, y). E, pelo Teorema 8, como MDC( Fm q( x, y), Fm q( x, y)), etão, Fm( x, y) Fr( x, y ). O que é impossível, pois 0 r m, isto é, F ( x, y ) possui um termo de grau meor do que o de r F (, ) m x y. Logo, isso somete é possível, quado r 0 e, cosequetemete, m sedo m. Portato, F ( x, y) F ( x, y) m. m Teorema 0: Para m0, 0, tem-se que (ALVES & CATARINO, 06): MDC( F ( x, y), F ( x, y)) F ( x, y). m MDC ( m, ) Demostração: Cosiderado a existêcia de iteiros r e s, de modo que r 0 e s 0, tal que, MDC( m, ) r m s r m MDC( m, ) s. Desse modo, pelo Teorema 7, tem-se F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) y F ( x, y) F ( x, y) MDC ( m, ) s MDC ( m, ) ( s) MDC ( m, ) ( s) MDC ( m, ) ( s) Assim, seja d( x, y) MDC( F ( x, y), F ( x, y)), assim tem-se que, d( x, y) F ( x, y) d( x, y) F ( x, y), m d( x, y) F ( x, y) d( x, y) Fs ( x, y) e d( x, y) Fr m( x, y) yfmdc ( m, ) ( x, y) F s( x, y) FMDC ( m, ) ( x, y) F s( x, y) de ode se ver que d( x, y) FMDC ( m, ) ( x, y) F s( x, y). Quado d( x, y) FMDC ( m, ) ( x, y ), a demostração fica cocluída. Todavia, o caso de d( x, y) F s ( x, y), supõe-se que d '( x, y) MDC( d( x, y), Fs ( x, y)), etão, d '( x, y) d( x, y ) e d '( x, y) Fs ( x, y). Além disso, sabe-se que MDC( F s( x, y), F s( x, y)) e como d( x, y) F ( x, y) m rm rm e s d( x, y) F s ( x, y), etão, d( x, y), logo, MDC( d( x, y), Fs ( x, y)). Por fim, valida-se d( x, y) FMDC ( m, ) ( x, y). Teorema : Seja r r( x, y) um poliômio as variáveis x e y, se houver pelo meos um iteiro m positivo, tal que r( x, y) Fm ( x, y), etão (ALVES & CATARINO, 06): r( x, y) F ( x, y) m.

93 9 Demostração: Pelo Teorema 9, sabe-se que m F ( x, y) F ( x, y). Assim, pode-se assumir que existe um iteiro m positivo, tal que r( x, y) Fm ( x, y ) e, por trasitividade, obtém-se r( x, y) F ( x, y ). Assim, assumido que r( x, y) F ( x, y ) e ão é divisível por m, pode-se cosiderar, pelo algoritmo de Euclides, que existem iteiros q, s e 0 s m, tal que, m q s. Desse modo, pelo Teorema 7, pode-se escrever: F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) y F ( x, y) F ( x, y). Como r( x, y) F ( x, y ), r( x, y) F ( x, y) mq( s) mq s mq s e r( x, y) F ( x, y ). Assim, segue que r( x, y) F ( x, y) y Fm q( x, y) Fs ( x, y) Fm q( x,y) Fs ( x, y). Com isso, tem-se que r( x, y) Fm q ( x, y) Fs ( x, y) e como MDC( Fm q( x, y), Fm q( x, y)), etão, pode-se escrever r( x, y) F ( x, y ). Isso evidecia uma cotradição, em relação à codição s míima para m, uma vez que existe um iteiro m positivo que satisfaz r( x, y) Fm ( x, y ) e 0 s m, sedo divisível por m. m m mqs mq Seja Fp ( x ) um termo da sequêcia poliomial de Fiboacci, de acordo com Hoggatt & Log (974), Fp ( x ) é irredutível sobre o ael [ x ] se somete se p é primo. [ x ] abrage as fuções poliomiais a variável x. Além do mais, Alves & Catario (06b) ampliam essa discussão o ael [ xy,, ] isto é, com poliômios bivariados, com aporte o software CAS Maple. A seguir, têm-se algus termos irredutíveis sobre [ xy, ] com ídices primos: F ( xy, ) x 3 F ( x, y) 5 F x y 6 7(, ) 5 y 4 x 3x y y x x y 6x y y F ( x, y) x 7x y 0x y 455x y 00x y 87x y 94x y 330x y 45x y y 9 F x y x y x y (, ) x x y 90x y 969x y x y 6435x y 3003x y 75x y 66x y y F ( x, y) x 9x y 378x 6y 95x y 4950x y 5330x y 34596x y 4557x y x y 93930x y 84756x y 7558x y 8564x y 380x y x y y 4 5

94 9 Doravate, algumas propriedades matriciais e de divisibilidade serão discutidas para os úmeros da sequêcia de Lucas. De iício, será abordada a fatoração dos termos poliomiais da sequêcia de Lucas. Nesse setido, cosiderado a Defiição 7 e, também, com auxílio do CAS Maple pode-se observar que os termos com ídice primo são fatoráveis diferetemete do que acotece com o MF. Veja: L ( x, y) x 3 L x y 5 5(, ) 5 L ( x y 7 3 3xy x x y 5xy 7, ) 7 3 x x y 4x y 7xy L ( xy, ) x x y 44x y 77x y 55x y xy L ( x, y) 7 L y x x x y x y x y x y x y 74x y 04x y 7xy ( x, ) 9x y 5x y 665x y 79x y 77x y 508x y 54x y 85x y 9xy Numa abordagem matricial da sequêcia poliomial bivariada de Lucas, Catalai (004) defie as seguites matrizes: x A y 0 e B x y x xy. Desse modo, por um y processo idutivo, pode-se verificar BA L y L L. Veja: y L 3 x 3xy x y L3( x, y) L( x, y) BA y ( x y) y x y L ( x, y) y L ( x, y) 4 3 x 4x y y x 3xy L4( x, y) L3( x, y) BA y x xy y x y y L ( x, y) y L ( x, y) 3 ( 3 ) ( ) x 5x y 5xy x 4x y y L5( x, y) L4( x, y) BA 4 y ( x 4x y y 3 ) y ( x 3 xy) y L4( x, y) y L3( x, y) x 6x y 9x y y x 5x y 5xy L6( x, y) L5( x, y) BA y ( x 5x y 5 xy ) y ( x 4x y y ) y L5( x, y) y L 4( x, y) x 7x y 4x y 7xy x 6x y 9xy y L7( x, y) L6( x, y) BA y ( x 6x y 9 x y y ) y ( x 5x y 5 xy ) y L6( x, y) y L5( x, y) L L BA y L y L

95 93 Figura 6 Produtos matriciais visualizados o CAS Maple. Fote: Alves & Catario (06). Vale cometar que esses cálculos matriciais, também, foram verificados o CAS Maple (Figura 6) e, através de um raciocíio idutivo, pode-se determiar o termo geral. No caso dos poliômios bivariados de Lucas, esse software permite escrever a decomposição de seus termos poliomiais em fatores irredutíveis sobre o ael [ xy., ] Além do mais, baseadose as matrizes propostas por Asci & Gurel (0), são defiidas, para, as seguites matrizes: x 0 x 0 D ' ( x, y) 0 y x 0 H ' ( x, y) 0 y x y x 0 0 y x À vista disso, as matrizes acima permitem verificar que valem as relações det( D' ( x, y)) F( x, y) e det( H ' ( x, y)) L ( x, y) ambas para 0. Assim, foram cosiderados os termos poliomiais bivariados das sequêcias geeralizadas de Fiboacci e Lucas. Veja:

96 94 det( D' ( x, y)) F ( x, y) det( D' ( x, y)) x F ( x, y) det( D' ( x, y)) x y F ( x, y) 3 3 det( D' ( x, y)) x xy F ( x, y) det( D' ( x, y)) x 3 x y y F ( x, y) det( H ' ( x, y)) L ( x, y) 0 det( H ' ( x, y)) x L ( x, y) det( H ' ( x, y)) x y L ( x, y) 3 det( H ' ( x, y)) x 3 xy L ( x, y) det( H ' ( x, y)) x 4x y y L ( x, y) det( D' ( x, y)) F ( x, y) det( D' ( x, y)) F ( x, y) det( H ' ( x, y)) L ( x, y) det( H ' ( x, y)) L ( x, y) Nesse setido, pode-se escrever: det( H ' ( x, y)) L ( x, y) x 3 xy x( x 3 y) L ( x, y)( x 3 y) e det( H ' 5( x, y)) L 4( x, y) x 4x y y (Figura 7). Dessa forma, pode-se ver que L ( x, y ) é 4 irredutível sobre [ xy, ] quado se determia que L 3( x, y) L ( x, y)( x 3 y). Outro caso de 8 6 irredutibilidade sobre [ xy, ] pode ser visto, quado se avalia det( H ' 9( x, y)) L8( x, y) x 8x y x y 6x y y e, também é possível ver que det( H ' 3( x, y)) L ( x, y) x x y x y x y 05x y 36x y y ( x 4x y y )( x 8x y 0x y 6 x y y ) L ( x, y) L ( x, y) é fatorável. Isso pode ser visualizado o CAS Maple (Figura 8). 4 8 Figura 7 º caso de visualização o CAS Maple: decomposição em fatores irredutíveis dos termos poliomiais. Fote: Alves & Catario (06).

97 95 Além do mais, quado se avalia L (, ) x y, pode-se observar que, embora, L ( x, y ) ão é divisível por L ( x, y ), tedo em vista que L ( x, y ) e 4 L (, ) 8 x y são irredutíveis sobre [ xy., ] E, cosiderado o cojuto,,3,4,6, de divisores de, apeas L4 ( x, y) L ( x, y ) e, também, também ão é divisível por 8. Ademais, pode-se observar que L( x, y) L3( x, y ) e L ( x, y ) ão é divisível por L ( x, y ). Assim, seja 3,,4,8 o cojuto de divisores de 8 e como L (, ) 8 x y é irredutível, logo, ele ão divisível por L( x, y), L( x, y ) e L ( x, y ). 4 Figura 8 º caso de visualização o CAS Maple: decomposição em fatores irredutíveis dos termos poliomiais. Fote: Alves & Catario (06). Com isso, pode-se cocluir que a propriedade do MF correspodete à F ( x, y) F ( x, y) m para m ão é valida para a sequêcia poliomial bivariada de m Lucas. Isso pode ser verificado através da decomposição dos poliômios com auxílio do software CAS Maple quado se utiliza o comado factor [ ]. A seguir, tem-se a decomposição de outros termos dos poliômios bivariados de Lucas que são redutíveis sobre o ael [ xy., ]

98 96 det( H ( x, y)) L ( x, y) x 4x y 77x y 0x y 94x y 96x y 49x y y ( x y)( x x y 53x y 04x y 86x y 4 x y y ) L ( x, y) ( x x y 53x y xy 86x y 4 x y y ) det( H ( x, y)) L ( xy, ) x 5x y 90x y 75x y 450x y 378x y 40x y 5xy 6 5 x x y x x y y x x y x y x ( 3 )( 5 5 )( y y ) L ( x, y) ( x 3 y)( x 5x y 5 y ) ( x 7x y 4x y 8 x y y ) det( H9( x, y)) L8 ( x, y) x 8x y 35x y 546x y 87x y 78x y 386x y x y 8x y y ( x y)( x 4 x y y )( x x y 54x y x y 05x y 36 x y y ) ( x 4 x y y )( x x y 54x y x y x y 6x y L ( x, y) 05 3 y ) Tabela 3 Propriedades oriudas dos modelos de Fiboacci e Lucas. Propriedades aritméticas Modelo de Fiboacci Modelo de Lucas A propriedade correspodete ão Para k, IN, é verdadeira. Veja: Fm com k ímpar, x,y \ F x,y m\ 4 L4 (, x y) x 4x yy e etão, f \ fk e (Web & Parberry, 969) 6 x, y ) são irredutíveis. L \ Lk. L (, ) 9 x y é redutível sobre [, ]. Para k, IN, etão, f \ fk e L \ L. k Para m, IN e para d MDC( m, ), etão, MDC( fm, f) fd. (E. Lucas, 876). Para m, IN e para d MDC( m, ). Se os úmeros m, são ambos d d ímpares, etão MDC( Lm, L ) Ld. f, L m F x,y \ F x,y m\ (Web & Parberry, 969). F \ F m F \ m (Matijasevi c, 970) MDC(F (x,y),f (x,y)) F ( x, y) m MDC ( m, ) MDC(F (x,y),f (x,y)) F ( x, y) m MDC ( m, ) com a uidade imagiária i (PBCF) ( x, y) ( x, y) F ( x, y) ( x, y) ( x, y) com a uidade imagiária A propriedade correspodete ão é verdadeira. Veja: L ( x, y) L ( x, y) L ( x, y). 4 8 A propriedade correspodete ão é verdadeira. Veja: MDC(L (x,y),l (x,y)) L ( x, y) m MDC ( m, ) MDC(L (x,y),l 6(x,y)) L 6(x,y) (PBL) A propriedade correspodete ão é verdadeira. Veja: MDC(L (x,y),l (x,y)) L ( x, y) m MDC ( m, ) e L 8 (, ) é redutível. MDC(L 8(x,y),L 4(x,y)) L4 ( x, y) (PBCL) L ( x, y) ( x, y) ( x, y) com a uidade imagiária i. (PBCL)

99 97 f, L f ou p L, ode p p IN e é primo: f (Web & Parberry, 969). i. (a,z) (a,z) F (a,z) (a,z) (a,z) ode z é uma variável complexa. (Tasköprü & Altitas, 05) F (, ) p x y para p primo. Etão, F (, ) p x y é irredutível sobre o ael [ xy., ] (Hoggatt & Log, 974) Cojectura: F p (z) é irredutível sobre o ael [ xy, ] Fote: Alves & Catario (06), tradução da autora. L (a,z) (a,z) (a,z) ode z é uma variável complexa (Tasköprü & Altitas, 05) A propriedade correspodete ão é verdadeira. Veja L ( x, y) \ L ( x, y ) 3 L ( x, y) \ L ( x, y ) 9 L (, ) x y ão é divisível por L ( x, y ) e L ( x, y ). 3 Fialmete, pode-se compreeder que apesar dos modelos de Fiboacci e Lucas possuírem defiições e relações recorretes semelhates, pode-se observar que existem teoremas e propriedades de divisibilidade que ão são válidas cocomitatemete para os dois modelos. Isso fica explícito a Tabela 3. Vale acetuar que, esta seção, foram discutidas represetações poliomiais bivariadas, cotudo, sem a preseça da uidade imagiária i. Nesse viés, a seguir, serão discutidos os poliômios bivariados e complexos para o modelo de Fiboacci. 3.. Poliômios Bivariados e Complexos de Fiboacci (PBCF) A classe dos Poliômios Bivariados de Fiboacci (PBF), com êfase as propriedades de divisibilidade referetes ao Máximo Divisor Comum (MDC), apreseta um padrão algébrico matido o ael [ xy, ] durate o desevolvimeto das relações obtidas quado se isere a uidade imagiária i com i. Nesse setido, de acordo com os trabalhos de Alves & Catario (06; 07), os Teoremas 7 e 9 valem para os Poliômios Bivariados e Complexos de Fiboacci (PBCF). Além disso, os Teoremas 8, 0 e o Lema 3 também valem para os PBCF desde que MDC( x, y). Logo, os PBCF possuem demostrações aálogas às dos PBF. Iaki (977), Kig (968), Scott (968) e Waddill & Sacks (967) ivestigaram a complexificação do modelo de Fiboacci através da iserção da compoete imagiária i. Além do mais, Asci & Gurel (0) discutem as represetações poliomiais bivariadas e

100 98 complexas das sequêcias de Fiboacci e Lucas. Nesse cotexto, com êfase o MF, vale a compreesão da fução geradora e equação característica para os PBCF, tal que: 0 g( t) : F t F0 t F t F t Ft 0 ixt g( t) : ix F t ix F0 tix F t ix F t ix F t 0 3 yt g( t) : y. F t y. F0 t y. F t y. F t yf t 0 Assim, aplicado a defiição F ( x, y) ix F ( x, y) y F ( x, y) e fazedo g( t) ( ixt). g( t) ( yt²). g( t) F ( x, y) F ( x, y). t ix. F ( x, y). t 0 t, ecotra-se a fução geradora 0 0 t gt () ixt yt². Além disso, quado se assume F ( x, y) F t ( x, y) e (, ) x y lim t, tem-se F ( x, y) F ( x, y ) a equação característica t² ixt y 0. Note que, com base as Defiições 8 e 9, é possível determiar os termos poliomiais das sequêcias de Fiboacci e Lucas respectivamete: F ( x, y) 0 0 F ( x, y) L ( x, y) 3 3(, ) x y 3(, ) x L ( x, y) ix F ( x, y) ix L ( x, y) x F ( x, y) ix ixy L ( x, y) x 4x y y F ( x, y) x 3x y y L ( x, y) ix 5ix y 5ixy y F x y L x y i ixy À vista disso, a priori, serão discutidos algus teoremas e propriedades referetes às sequêcias de Fiboacci e Lucas. Todavia, será dada êfase aos PBCF. Nesse setido, é relevate que sejam cosideradas as matrizes, a seguir, propostas por Asci & Gurel (0) e defiidas, para. Veja: ix 0 ix 0 D ( x, y) 0 y ix 0 H ( x, y) 0 y ix y ix 0 0 y ix

101 99 As matrizes acima permitem verificar a veracidade das relações det( D ( x, y)) F ( x, y) e det( H ( x, y)) L ( x, y) ambas para 0. Destarte, foram cosiderados os termos poliomiais bivariados e complexos das sequêcias geeralizadas de Fiboacci e Lucas. Veja: det( D ( x, y)) F ( x, y) det( H ( x, y)) L ( x, y) 0 det( D ( x, y)) ix F ( x, y) det( H ( x, y)) ix L ( x, y) det( D ( x, y)) x y F ( x, y) det( D ( x, y)) ix ixy F ( x, y) det( D ( x, y)) x 3 x y y F ( x, y) det( H ( x, y)) x y L ( x, y) 3 det( H ( x, y)) ix 3 ixy L ( x, y) det( H ( x, y)) x 4x y y L ( x, y) det( D ( x, y)) F ( x, y) det( D ( x, y)) F ( x, y) det( H ( x, y)) L ( x, y) det( H ( x, y)) L ( x, y) Teorema : Seja a matriz complexa D ( x, y ) com, de ordem x e D ( x, y) 0 0 para 0, vale que (ALVES & CATARINO, 07): det( D ( x, y)) F ( x, y)., etão, Demostração: Por idução sobre, sabe-se que, para e, tem-se respectivamete que det( D( x, y)) F( x, y) e det( D( x, y)) ix F( x, y), dessa forma, supõe-se que det( D ( x, y)) F ( x, y), e det( D( x, y)) F( x, y) sejam válidas, assim: det( D ( x, y)) ix.det( D ( x, y)) y.det( D ( x, y)) ix. F ( x, y) y. F ( x, y) F ( x, y). Teorema 3: Para 0, tem-se que (ALVES & CATARINO, 06): ( x, y) ( x, y) F ( x, y) ( x, y) ( x, y). L ( x, y) ( x, y) ( x, y) Demostração: Cosiderado a equação característica t ix t y 0, têm-se as seguites

102 00 ix 4y x relações: ( xy, ), à Defiição 8 e por idução sobre, pode-se avaliar que: ix 4y x ( xy, ), e ( x, y) ( x, y) y. Assim, recorredo F ( x, y) ix F ( x, y) y F ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ix y ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ix y ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ix y ( xy, ) ( x, y) y ( x, y) ( x, y) ix ( x, y) ix ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ix x y x y ix x y x y x y x y x y x y ( x, y) ( x, y) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y). ( x, y) ( x, y) Ates disso, pode-se ver F ( x, y) ( x, y) ( x, y) e ( x, y) ( x, y) F ( x, y) ix. ( x, y) ( x, y) E, de modo aálogo, sabedo que L ( x, y) ( x, y) ( x, y) ix, L ( x, y) ( x, y) ( x, y) x y e aplicado a Defiição 9, pode-se escrever: L ( x, y) ix L ( x, y) y L ( x, y) (, ) (, ) (, ) (, ) ix x y x y y x y x y ( x, y) ( x, y) ix ( x, y) ( x, y) y ( x, y) ( x, y) ix ( x, y) ix ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) y ( x, y) ( x, y) ( x, y) y ( x, y) y ( x, y) y ( x, y) ( x, y) ( x, y). Corolário 3: As raízes da equação característica t ix t y 0 admitem as seguites propriedades (ALVES & CATARINO, 06):

103 0. ( x, y) L ( x, y) F ( x, y) ( x, y) ( x, y). L ( x, y). ( x, y) F ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) F ( x, y) Demostração: Já foi visto que as equações do sistema ( x, y) ( x, y). são L ( x, y) ( x, y) ( x, y) válidas. Dessa forma, ao resolver esse sistema, ecotram-se as seguites relações:. ( x, y) L ( x, y) F ( x, y) ( x, y) ( x, y) e L ( x, y). ( x, y) F ( x, y). ( x, y) ( x, y) Corolário 4: Para 0, vale (ALVES & CATARINO, 06): F (, ) (, ) L (, ) x y F x y x y. Demostração: Pelo último teorema, pode-se escrever que F ( x, y) ( x, y) ( x, y). E, ( x, y) ( x, y) F( x, y) ( x, y) ( x, y) L( x, y ) pelo corolário aterior, são obtidas as igualdades: ( xy, ) L( x, y) F( x, y) ( x, y) ( x, y) e ( xy, ). Desse modo, segue que: F ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) F ( x, y) ( x, y) ( x, y) L ( x, y) L ( x, y) F ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) 4 F( x, y) L( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) 4 F ( x, y) L ( x, y). Teorema 4: Para, vale (ALVES & CATARINO, 07):

104 0 F F ( x, y) ( x, y). y Demostração: Avaliado a relação F ( x, y) ix. F ( x, y) y. F ( x, y) para casos particulares como 0, e 3, são obtidas as igualdades abaixo, as quais direcioam um raciocíio idutivo para determiação de F F ( x, y) ( x, y). y F ( x, y) 0 : F ( x, y) ix. F0 ( x, y) y. F( x, y) F( x, y) y F ( x, y) : F0 ( x, y) ix. F ( x, y) y. F ( x, y) F ( x, y) y F3 ( x, y) : F ( x, y) ix. F ( x, y) y. F 3( x, y) F 3( x, y) 3 y 3: F ( x, y) ix. F ( x, y) y. F ( x, y) F 3 4 F F ( x, y) ( x, y). y F ( x, y) ( x, y) y E, assumido (, ) (, ) ( ) (, ) F x y F x y F x y y e (, ) (, ) ( ) (, ) F x y F x y F x y, y obtém-se a relação F ( x, y) F ( x, y) ix. F ( x, y) y. F ( x, y) F ( x, y). Além do y mais, sabedo que o MF admite a extesão da sua sequêcia geeralizada para ídices iteiros e pela Fórmula variate de Biet determiada, ateriormete, para os PBCF, pode-se validar que: F ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y)

105 03 F (, ) x y. y Teorema 5: Para, vale que (ALVES & CATARINO, 07): Q F ( x, y) y. F ( x, y) ( x, y). F( x, y) yf ( x, y) Demostração: Por idução sobre, segue que: F( x, y) y. F( x, y) ix y Q ( x, y) F( x, y) yf0( x, y) 0 F3( x, y) y. F( x, y) Q ( x, y) Q ( x, y) Q ( x, y) F( x, y) yf( x, y) 3 F4( x, y) y. F3( x, y) Q ( x, y) Q ( x, y) Q ( x, y) F3( x, y) yf( x, y) 4 3 F5( x, y) y. F4( x, y) Q ( x, y) Q ( x, y) Q ( xy, ) F4( x, y) yf3( x, y) Q x y Q x y Q x y F ( x, y) y. F ( x, y) (, ) (, ) (, ). F ( x, y) yf( x, y) Teorema 6: (Idetidade de Cassii) Para, vale que (ALVES & CATARINO, 07): (, ) (, ) (, ). F x y F x y F x y y Demostração: Pelo teorema aterior, tem-se a matriz (, ) ix y Q x y, isso implica que 0 det( Q ( x, y)) det Q ( x, y) det Q ( x, y) y. Por outro lado, pode-se determiar fatores F ( x, y) y. F ( x, y) F( x, y) yf ( x, y) que Q ( x, y) det( Q ( x, y)) yf ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) det( Q ( x, y)) y F ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) y. E, fazedo, tem-se: (, ) (, ) (, ) F x y F x y F x y y.

106 04 Teorema 7: Para, vale que (ALVES & CATARINO, 07): Q F ( x, y) y. F ( x, y) ( x, y). F ( x, y) yf ( x, y) Demostração: Supodo que a matriz (, ) Q x y admite a iversa Q ( x, y) Q ( x, y), será aplicada a relação Q ( x, y). Q ( x, y) I para ecotrá-la. Desse modo, seja Q (, ) a b, x y c d tem-se a seguite igualdade matricial: F ( x, y) y. F( x, y) a b 0 F( x, y) yf ( x, y). c d 0 E, resolvedo essa equação ecotra-se que: F ( x, y) F( x, y) y a b y y F ( x, y) y. F ( x, y) Q c d F( x, y) F ( x, y) F ( x, y) yf ( x, y) y y y ( x, y). E, de fato, pode-se verificar que Q ( x, y). Q ( x, y) I. Logo, obtém-se uma represetação para ídices iteiros da matriz Q (, ). x y Por fim, este tópico, foram discutidas relações ieretes à classe dos PBCF. Nesse setido, foi visto que existe uma relação algébrica etre as sequêcias de Fiboacci e Lucas, quado se cosidera suas represetações poliomiais bivariadas e complexas, que oportuiza a gêese de teoremas e propriedades relevates para o processo evolutivo dos dois modelos. Nesse viés, prosseguido a ivestigação da complexificação do MF, a seguir, as variáveis serão cosideradas complexas. 3.3 O Modelo de Fiboacci a Variável Complexa Na seção aterior, observa-se uma geeralização do MF com êfase as suas represetações poliomiais. Nesse setido, prosseguido a ivestigação do processo de complexificação da SF e partido da oção de PBF, as formas poliomiais serão tratadas a

107 05 variável complexa. Desse modo, serão exploradas três idetidades clássicas; de Cassii, d'ocage e Catala; e a Fórmula de Ross Hosberger. Assim, primeiramete, serão feitas uma abordagem poliomial com duas variáveis, em seguida, a extesão para ídices iteiros e, fialmete, a discussão do caso particular para represetações com apeas uma variável. A idetidade f f f f ( ), para 0, foi descoberta pelo matemático italiao Giovai Domeico Cassii (65 7) e trabalhada, em 753, pelo matemático escocês Robert Simso ( ). A seguda idetidade ( ) f f f f r f, com r r r m, foi cocebida, em 879, pelo matemático belga Eugèe Charles Catala (84 894). Além do mais, tem-se a idetidade f f f f ( ) m f, para m, m m m deduzida pelo matemático fracês Philbert Maurice d'ocage (86 938). E, por fim, a Fórmula de Ross Hosberger (99 06), fm f fm f f com m 0, criada por m Hosberger (985) e estudada por Koshy (007). À vista disso, vale destacar que o Lema 4 e os Teoremas 8 e 9 foram discutidos por Taskoprü & Altitas (05) e Alves & Oliveira (07). Dessa forma, serão discutidas algumas defiições, lemas e teoremas que evolvem a oção de fução geradora discutida por Iaki (977), equação característica, Fórmula de Biet, detre outras relações oriudas do MF. Ademais, coforme os artigos de Taskoprü & Altitas (05) e Alves & Oliveira (07), podem ser euciadas as seguites defiições: Defiição 0: A Sequêcia Geeralizada Poliomial (SGP) F a z 0 (, ), as variáveis a e z, é defiida pela seguite recursividade de seguda ordem (ALVES & OLIVEIRA, 07): F ( a, z) a z F ( a, z) a F ( a, z) com F0( a, z) 0, F( a, z) e. Defiição : A Sequêcia Poliomial de Fiboacci (SPF), a variável z, para a, é defiida pela seguite relação recorrete (ALVES & OLIVEIRA, 07): e. f( z) z f ( z) f( z) com f0( z) 0, f( z) Lema 4: Para, vale (ALVES & OLIVEIRA, 07): F a a f z (,z) ( ).

108 06 0 Demostração: Sejam F ( a, z) a a f ( z) e F ( a, z) az a z a f ( z), e aplicado as Defiições 0 e, por idução matemática sobre e, assim, assumido que 3 F ( a, z) a f ( z) e F ( a, z) a f ( z) são válidas, segue que: F ( a, z) a z F ( a, z) a F ( a, z) a z a f ( z) a a f ( z) 3 ( ( ) ( )) a z f z f z a f z ( ). Teorema 8: A fução geradora da SGP é (ALVES & OLIVEIRA, 07): g F t () t. az t a t Demostração: Aplicado a relação de recorrêcia F ( a, z) a z F ( a, z) a F ( a, z) 0 e cosiderado a soma formal seguites operações: gf( t) F( a, z) t para t, pode-se cosiderar as 0 0 g( t) : F( a, z) t F0 ( a, z) t F ( a, z) t F ( a, z) t F ( a, z) t 0 azt g( t) : az F ( a, z) t az F0 ( a, z) t az F ( a, z) t az F ( a, z) t az F ( a, z) t 0 3 a² t g( t) : a². F ( a, z) t a². F0 ( a, z) t a². F( a, z) t a². F ( a, z) t a² F( a, z) t 0 Assim, segue que: g t az t g t a t g t F ( ). F ( ). F ( ) F ( a, z) t. F ( a, z) az. t. F ( a, z) F ( a, z) az F ( a, z) a² F ( a, z) t. 0 0 Logo: F ( ). F ( ). F ( ) 0(, ) (, ).. 0(, ) 0 g t az t g t a t g t F a z tf a z az t F a z t

109 07 g t az t g t a t g t t F ( ). F ( ). F ( ). t gf () t az t a t Teorema 9: (Fórmula de Biet) Para 0, vale (ALVES & OLIVEIRA, 07): ( a, z) ( a, z) F ( a, z). ( a, z) ( a, z) Demostração: A partir da teoria das equações recorretes homogêeas, tem-se a equação az a z 4 característica t az t a 0, cujas raízes são ( az, ) e Cosequetemete, pode-se escrever que ( a, z) ( a, z) a z 4 az a z ( az, ) ( a, z) ( a, z) az, ( a, z) ( a, z) a 4 e. Isso implica as relações ( a, z) az ( a, z) a 0 e ( a, z) az ( a, z) a 0. Além disso, são válidas as igualdades ( a, z) az ( a, z) a ( a, z) e ( a, z) az ( a, z) a ( a, z). Com isso, pela hipótese idutiva e pela defiição escrever: F ( a, z) a z F ( a, z) a F ( a, z), para, pode-se F ( a, z) a z F ( a, z) a F ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) az a ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) az a ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( az, ) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) az a ( a, z) ( a, z) ( a, z).( a, z)( ( a, z) ( a, z)) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) az a ( a, z) ( a, z) ( a )( ( a, z) ( a, z)) az ( a, z) az ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) az ( a, z) az ( a, z) ( a, z) ( a²) ( a, z) ( a²) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z)

110 08 az a z a a z az a z a a z ( a, z) ( a, z) (, ) (, ) ( (, ) (, )) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) Teorema 0: Para todo iteiro, vale que (ALVES & OLIVEIRA, 07): F ( a,z) F (,z) a. ( ) a Demostração: A partir da Fórmula variate de Biet demostrada o teorema aterior, segue que: F ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( ( a, z) ( a, z)) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a ) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( az, ) ( ) a ( a, z) F (, ) a z ( ) a Particularmete, quado se assume somete uma variável complexa z e cosiderado a, pode-se obter a Fórmula variate de Biet a variável complexa e realizar sua extesão para ídices iteiros. Assim, sejam f (z) (z) (z) (z) (z) e F ( a, z) (, ) ( ) a F a z. E, pelo Lema 4, tem-se que F (, ) ( ) a z a f z para. Com isso, segue que:

111 09 ( a, z) ( a, z) F( a, z) a f( z) ( a, z) ( a, z). ( a, z) ( a, z) f( z) a ( a, z) ( a, z) Além do mais, quado as matrizes A az F ( a, z) F ( a, z) a 0 a F( a, z) a F0( a, z) e A que: F ( a, z) F( a, z) a F( a, z) a F ( a, z) são avaliadas para, tem-se, por um processo de idução, F ( a, z) F( a, z) az a F( a, z) a F ( a, z) a 0 A A A azf ( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) az a F ( a, z) a a F ( a, z) a F ( a, z) F( a, z) F ( a, z). a F ( a, z) a F( a, z) E, logo, o determiate da matriz A é det A a. Doravate, com aporte em represetações matriciais, será discutida a geeralização das idetidades clássicas; de Cassii, d'ocage e Catala; e a Fórmula de Hosberger as variáveis complexas a e z A Fórmula de Hosberger e as idetidades de Cassii, d'ocage e Catala Neste tópico, serão discutidas as idetidades geeralizadas de Cassii, d'ocage e Catala e a Fórmula de Hosberger, cosiderado suas represetações poliomiais com variáveis complexas a e z. Nesse setido, a partir da matriz A F ( a, z) F( a, z), a F( a, z) a F ( a, z) serão euciados algus teoremas. Vale destacar que os Teoremas,, 3 e 4 são discutidos por Taskoprü & Altitas (05) e Alves & Oliveira (07). Teorema : Seja, para a idetidade geeralizada de Cassii, vale que (ALVES & OLIVEIRA, 07): F a z F a z F a z a (, ) (, ) (, ) ( ).

112 0 Demostração: Avaliado o comportameto do determiate da matriz A, tem-se que: deta F ( a, z) F( a, z) det a F( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) a ( F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)). Por outro lado: det A det( A A... A) det(a)... det(a) a a... a vezes ( ) a. Portato: deta a ( F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)) ( ) a. F a z F a z F a z a (, ) (, ) (, ) ( ). Teorema : Seja m, 0, para a Fórmula de Hosberger, vale que (ALVES & OLIVEIRA, 07): F a z F a z F a z a F a z F a z m(, ) (, ) m(, ) (, ) m(, ). Demostração: Seja a idetidade matricial m m A A A, pode-se escrever: A m F m( a, z) F m( a, z) a F m ( a, z) a F m( a, z) A (, ) (, ) (, ) (, ) m F a z F a z Fm a z Fm a z A. a F ( a, z) a F ( a, z) a Fm ( a, z) a Fm ( a, z) Assim, cosiderado o produto matricial m m A A A, segue que:

113 F m( a, z) F m( a, z) F ( a, z) Fm ( a, z) a F ( a, z) Fm ( a, z) F ( a, z) Fm ( a, z) a F ( a, z) Fm ( a, z) 4 4 a F m( a, z) a F m( a, z) a F ( a, z) Fm ( a, z) a F ( a, z) Fm ( a, z) a F ( a, z) Fm ( a, z) a F ( a, z) Fm ( a, z) De imediato, a Fórmula de Hosberger é determiada a igualdade acima, quado se cosidera os elemetos correspodetes da ª liha e ª colua. E, de modo aálogo, mp m p assumido A A A A, pode-se determiar a relação: F m p ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) m p m p a F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z). 4 m p m p Lema 5: Para r 0, vale que (ALVES & OLIVEIRA, 07): B r F r( a, z) F ( a, z) a F r( a, z) a F ( a, z). Demostração: Assumido F 0( a, z) F ( a, z) B0 a F 0( a, z) a F ( a, z) e F ( a, z) F ( a, z) B a F ( a, z) a F ( a, z). Assim, por idução, determia-se a matriz B r, matedo fixa a seguda colua da matriz B e, para todo r 0, operado as matrizes r a F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) r r r 4 4 r r aa e a z F r( a, z) a z F ( a, z) a z Br. Desse modo, segue que: a z a F r( a, z) a z a F ( a, z) a F r( a, z) az F r ( a, z) F ( a, z) Br 4 a F r ( a, z) az a F r( a, z) a F ( a, z) F r3( a, z) F ( a, z) a ( a F r ( a, z) az F r( a, z)) a F ( a, z) F r3( a, z) F ( a, z). a F r( a, z) a F ( a, z)

114 Teorema 3: Seja m, para a idetidade geeralizada de d Ocage, vale que (ALVES & OLIVEIRA, 07): F a z F a z F a z F a z a F a z. (, ) m(, ) (, ) m(, ) ( ) m(, ) Demostração: Assumido a matriz B F ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z), a matriz B é gerada 0 com a primeira colua da soma da matriz a F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) 4 4 aa com a matriz a z F( a, z) a z F( a, z) a z B0 3 3 a z F ( a, z) a z F ( a, z), matedo fixa a seguda colua da matriz B 0. Dessa forma, obtém-se que: B az F ( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z). a F ( a, z) a F ( a, z) 3 a ( az F ( a, z) a F ( a, z)) a F ( a, z) De modo aálogo, cosiderado a soma da primeira colua da matriz a F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) 4 4 aa com a primeira colua da matriz az F3( a, z) az F( a, z) az B 3 3 a z F( a, z) a z F ( a, z), determia-se F4( a, z) F( a, z) B. Logo, segue a F3( a, z) a F ( a, z) que: F3( a, z) F( a, z) B a F( a, z) a F ( a, z) F4( a, z) F( a, z) B a F3( a, z) a F ( a, z) F5( a, z) F( a, z) B3 a F4( a, z) a F ( a, z) F6( a, z) F( a, z) B4 a F5( a, z) a F ( a, z) F7( a, z) F( a, z) B5 a F6( a, z) a F ( a, z) B r F r( a, z) F ( a, z). a F r( a, z) a F ( a, z)

115 3 E, cosiderado o Teorema, tem-se que: detb F ( a, z) F ( a, z) det a F ( a, z) a F ( a, z) 0 F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) 0 F3( a, z) F( a, z) detb det a F( a, z) a F ( a, z) a ( F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)) 3 a ( ) a 4 ( ) a F ( a, z) detb F ( a, z) F ( a, z) det a F ( a, z) a F ( a, z) 4 3 ( (, ) (, ) (, ) (, )) a F 4 a z F a z F 3 a z F a z a [( F ( a, z)( a z F ( a, z) a F ( a, z)) F ( a, z)( a z F ( a, z) a F ( a, z))] 3 a [ F ( a, z) a z F3( a, z) F ( a, z) a z F ( a, z)]. z.( (, ) (, ) ²(, )) a a F a z F 3 a z F a z a. a z.[( ). a ] 4 ( ). a F ( a, z). F5( a, z) F( a, z) detb3 det a F4( a, z) a F ( a, z) ( (, ) (, ) (, ) (, )) a F 5 a z F a z F 4 a z F a z a [( a z F ( a, z) a F ( a, z)) F ( a, z) ( azf ( a, z) a F ( a, z)) F ( a, z)] a (( a² z² a²) F ( a, z) F3 ( a, z) ( a² z² a²) F ²( a, z)) ( (, ) (, ) ²(, ))( ² ² ²) a F a z F 3 a z F a z a z a a (( ) a ) F3 ( a, z) 4 ( ) a F3 ( a, z). E, pelo processo idutivo, assumido que segue que: F r( a, z) F ( a, z) 4 detbr det ( ) (, ) a Fr a z, a F r( a, z) a F ( a, z)

116 4 detb F ( a, z) F ( a, z) det a F ( a, z) a F ( a, z) r3 r r azf r( a, z) a F r ( a, z) F ( a, z) det a ( azf r( a, z) a F r ( a, z)) a F ( a, z) F r( a, z) F ( a, z) F r( a, z) F ( a, z) az det a det a F r( a, z) a F ( a, z) a F r ( a, z) a F ( a, z) az.( F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z). F ( a, z)) a²( F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) F ( a, z)) r r r r 4 az a F a z ] a [( ) a F ( a, z)] 4 [( ) r (, ) 4 ( ) a az Fr( a, z) a Fr ( a, z) 4 ( ) a Fr ( a, z). r Fialmete, realizado a substituição m r e como detb r 4 r r r a F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) ( ) a F ( a, z), isso que implica a a F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) ( ) a F.( a, z). 4 m m m validade de Lema 6: Para s, vale (ALVES & OLIVEIRA, 07): C s F s ( a, z) F rs ( a, z) a F ( a, z) a F r ( a, z). Demostração: Por idução, deve-se determiar a matriz Cs. Para isso, a primeira liha da matriz C F ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) deve ser multiplicada por a e adicioada à primeira s rs s r F s ( a, z) F rs ( a, z) liha da matriz Cs a F ( a, z) a F r ( a, z) multiplicada por az. E, assim, tem-se que: C a F ( a, z) az F ( a, z) a F ( a, z) az F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z). a F ( a, z) a F ( a, z) s s rs rs s rs s a F ( a, z) a F r ( az) r Ademais, observe que a seguda liha de Cs à ª liha da matriz C s. Logo, pode-se escrever: ão é alterada a operação defiida, sedo igual

117 5 F s ( a, z) F rs ( a, z) det detc a F ( a, z) a F r ( a, z) az detc a detc s s F s( a, z) F rs( a, z) F s( a, z) F rs( a, z) az det a det. a F ( a, z) a F r ( a, z) a F ( a, z) a F r ( a, z) s Lema 7: Para s, vale (ALVES & OLIVEIRA, 07): F s ( a, z) F rs ( a, z) r r detcs det ( ) a F (, ) (, ) r a z Fs a z. a F ( a, z) a F r ( a, z) Demostração: Cosiderado det C a F ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) e r r 0 r det C a ( F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)), além disso, substituido por r a 4 ( r) ( r) 4 relação det B ( ) a F ( a, z), obtém-se det B detc ( ) a F ( a, z) ( ) r r a Fr ( a, z) r, assim, segue que: r r r detc a ( F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)) ( ) a F ( a, z) r r r r r detc ( F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)) ( ) a F ( a, z) F ( a, z) r r r r r Seguido por idução sobre s e aplicado a idetidade det C az det C a det C, podese determiar: s s s detc az detc a detc 0 az a F a z r r ( ) r (, ) 0 r r ( ) a Fr ( a, z) F ( a, z) detc az detc a detc 3 az [( ). a F ( a, z) F ( a, z)] a [( ). a F ( a, z) F ( a, z)] r r r r r r ( ). a F ( a, z)( az. F ( a, z) a F ( a, z)) r r r ( ) r. r a Fr ( a, z). F3 ( a, z). Por fim, partido da idetidade det C az det C a det C para s, segue que: s s s

118 6 det C az det C a det C s s s az[( ). a F ( a, z) F ( a, z)] a [( ). a F ( a, z) F ( a, z)] r r r r r s r s ( ) a F ( a, z).( az F ( a, z) a F ( a, z)) r r r s s r r ( ) a Fr( a, z) Fs( a, z). Teorema 4: Seja m, para a idetidade geeralizada de Catala, vale que (ALVES & OLIVEIRA, 07): F a z F a z F a z F a z a F a z F a z. r r (, ) m(, ) r (, ) mr(, ) ( ) mr (, ) r(, ) F ( a, z) F r ( a, z) Demostração: Seja a matriz defiida C0 a F ( a, z) a F ( a, z) e sabedo que B r F r( a, z) F ( a, z), ao substituir por a F r( a, z) a F ( a, z) r a matriz B r obtém-se: F r r( a, z) F r ( a, z) C a F r r( a, z) a F r ( a, z) F ( a, z) F r( a, z). a F ( a, z) a F r ( a, z) Posteriormete, a costrução da matriz C, a primeira liha de C 0 é multiplicada por a e somada à primeira liha da matriz C multiplicada por az. E, por defiição, sabe-se que F ( a, z) a F ( a, z) az F ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) a z F ( a, z). Dessa forma, r r r tem-se que: C a F ( a, z) az F ( a, z) a F ( a, z) a z F ( a, z) F ( a, z) F r( a, z). a F ( a, z) a F r ( a, z) r r a F ( a, z) a F r ( a, z) Em seguida, a matriz C 3 é gerada pela operação, em que a primeira liha da matriz C multiplicada por a é adicioada à primeira liha da matriz C multiplicada pelo termo az.

119 7 Além disso, a seguda liha ão é alterada. Como a F ( a, z) az F ( a, z) F ( a, z), etão: r r r3 C a F ( a, z) az F ( a, z) a F ( a, z) az F ( a, z) F 3( a, z) F r3( a, z) a F ( a, z) a F r ( a, z) r r 3 a F ( a, z) a F r ( a, z) De modo aálogo, a matriz C 4 é obtida, quado a primeira liha da matriz C é multiplicada por que: a e somada à primeira liha da matriz C 3 multiplicada por az. Assim, segue C a F ( a, z) az F ( a, z) a F ( a, z) az F ( a, z) F 4( a, z) F r4( a, z). a F ( a, z) a F r ( a, z) 3 r r3 4 a F ( a, z) a F r ( a, z) De fato, fudametado-se os dois lemas ateriores, que abordam o comportameto da represetação geeralizada das matrizes do tipo C s, avalia-se detcs F s ( a, z) F rs ( a, z) det ( (, ) (, ) (, ) (, )) a F r a z F s a z F rs a z F a z a F ( a, z) a F r ( a, z) fazedo a substituição s m r com m e rs, 0. O que permite escrever que a ( F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)) a ( F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)), r mr rmr r mr m logo, segue que: r r a ( F r ( a, z) Fm r ( a, z) Fm ( a, z) F ( a, z)) ( ) a Fr ( a, z) Fs ( a, z). r r ( Fm ( a, z) F ( a, z) F r ( a, z) Fm r ( a, z)) ( ). a Fr ( a, z) Fm r.( a, z) Fialmete, avaliado algus casos particulares, pode-se observar que ao cosiderar m a idetidade geeralizada de Catala, pode-se escrevê-la a forma F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) ( ) a F ( a, z) F ( a, z) ( ) a F ( a, z), que quado r r r r r mr mr r r assume r, passa a represetar a idetidade de Cassii: F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)

120 8 ( ) a F ( a, z) ( ) a. A seguir, as relações estudadas esta seção, serão discutidas para ídices iteiros Extesão para Ídices Iteiros: Represetações a Variável Complexa Neste tópico, fudametado-se o artigo de Alves & Oliveira (07), serão abordadas as represetações com ídices iteiros para as idetidades geeralizadas de Cassii, d'ocage e Catala e a Fórmula de Hosberger. Primeiramete, como uma extesão das represetações matriciais para os ídices iteiros, para a matriz 0, pode- se aplicar o Teorema 0, de forma que: (, ) (, ) F a z F a z A com a F( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) A a F ( a, z) a F ( a, z) F ( ) ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) a F ( ) ( a, z) F ( ) (, ) (, ) a z F a z ( ) a ( ) a a F (, ) a z a F ( ) ( a, z) ( ) a ( ) a F ( a, z) F (, ) a z ( ) a ( ) a a F (, ) a z a F ( a, z) ( ) a ( ) a a² F ( a, z) F( a, z). ( ) a a F( a, z) F ( a, z) Idetidade 4: Para iteiro qualquer, a idetidade geeralizada de Cassii é represetada por (ALVES & OLIVEIRA, 07): F a z F a z F a z a (, ) (, ) (, ) ( ). Demostração: F a z F a z F a z (, ) (, ) (, ) F a z F a z F a z ( ) (, ) ( ) (, ) (, )

121 9 F ( ) ( ) (, ). ( ) ( ) (, ) (, ) a z F a z F a z ( ) a ( ) a ( ) a F ( a, z). F ( a, z) F ²(, ) 4 a z ( ) a ( ) a ( ) a F 4 (, ) (, ) ²( a z F a z F 4 a, z) ( ) a ( ) a ( F 4 ( a, z) F ( a, z) F ²( a, z)) ( ) a ( ). ( ) a 4 a ( ) a ( ) a. Idetidade 5: Para m e iteiros quaisquer, a idetidade geeralizada de d Ocage é represetada por (ALVES & OLIVEIRA, 07): F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) ( ) a F ( a,z). m m m m m Demostração: F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) m m F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) ( ) m ( m) F (, ) (, ) (, ) (, ) a z Fm a z F m m a z F m m m a z ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a m m ( F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z)) m m m ( ) a Fm ( a, z). m ( F ( a, z) F (, ) (, ) (, )) m m m a z F a z Fm a z ( ) a ( ) ( ) a F ( m ) ( ) ( a, z) m m ( ) a Idetidade 6: Para m, e r iteiros quaisquer, a idetidade geeralizada de Catala é represetada por (ALVES & OLIVEIRA, 07):

122 0 F a z F a z F a z F a z a F a z F a z (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) m r m r m r mr mr (, ) r(, ). Demostração: F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) m ( r) ( mr) F ( a, z) F (, ) (, ) (, ) m a z F m m r r r a z F m r m r mr a z ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a a F (, ) m m a z F m m m ( ) m r mr ( a, z) F r ( a, z) Fm r ( a, z) ( ) a ( F ( a, z) Fm ( a, z) F (, ) (, )) m m r a z Fm r a z ( ) a r r ( ) a F (, ) (, ) m m mr a z F r a z ( ) a mr mr ( ) a Fm r ( a, z) F r ( a, z). Idetidade 7: Para m e iteiros quaisquer, a Fórmula geeralizada de Hosberger é represetada por (ALVES & OLIVEIRA, 07): F ( a,z) F ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) F ( a, z) ( ). a. F ( a,z). m m m m m m Demostração: F m ( a, z) F a z F a z a F a z F a z (, ) m(, ) (, ) m(, ) F a z F a z a F a z F a z ( ) (, ) ( m) (, ) (, ) m(, ) F (, ) (, ) (, ) (, ) a z F m m m a z a F a z F m m m a z ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( a². F m m ( a, z) Fm ( a, z) F ( a, z) Fm ( a, z)) ( ) a m m ( ). a. Fm ( a, z). A seguir, as idetidades de Cassii, d Ocage, Catala e a Fórmula de Hosberger serão discutidas para o caso particular a variável complexa z.

123 3.3.3 As Represetações a Variável Complexa z Nesta seção, será explorado o caso particular, o qual as represetações das idetidades de Cassii, d Ocage, Catala e a Fórmula de Hosberger possuem apeas uma variável complexa z. Para isso, o Lema 4 será aplicado, de modo que as idetidades, a seguir, são válidas. Idetidade 8: Para, a idetidade geeralizada de Cassii é represetada por (ALVES & OLIVEIRA, 07): f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z f z f z f z. Demostração: F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) a f ( z) a f ( z) a f( z) a f( z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) ( ) a a ( f ( z) f ( z) f ( z) f ( z)) ( ) a ( f ( z) f ( z) f ( z) f ( z)) ( ). Idetidade 9: Para m, a idetidade geeralizada de d Ocage é represetada por (ALVES & OLIVEIRA, 07): f ( z) f ( z) f ( z) f ( z) ( ) f ( z). m m m Demostração: m m F ( a, z) Fm ( a, z) F ( a, z) Fm ( a, z) a f ( z) a fm( z) a f( z) a fm ( z) F ( a, z) Fm ( a, z) F ( a, z) Fm ( a, z) ( ) a Fm ( a, z) a ( f ( z) f ( z) f ( z) f ( z)) ( ) a F ( a, z) m m m m m f ( z) f ( z) f ( z) f ( z) ( ) a. F ( a, z) m m m f ( z) f ( z) f ( z) f ( z) ( ) f ( z). m m m

124 Idetidade 30: Para m, a idetidade geeralizada de Catala é represetada por (ALVES & OLIVEIRA, 07): r f ( z). f ( z) f ( z) f ( z) ( ) f ( z) f ( z). m r mr mr r Demostração: F a z F a z F a z F a z a f z a f z a f z a f z r r F ( a, z) Fm ( a, z) F r ( a, z) Fm r ( a, z) ( ) a Fm r ( a, z) Fr ( a, z) m r mr (, ) m(, ) r (, ) mr (, ) ( ) m( ) r ( ) mr ( ) m r r a ( f( z). fm( z) fr ( z) fmr ( z)) ( ) a F ( a, z) F ( a, z) mr f z f z f z f z a F a z F a z r mr ( ). m( ) r ( ) mr ( ) ( ). mr (, ) r (, ) r f ( z). f ( z) f ( z) f ( z) ( ) f ( z) f ( z). m r mr mr r r Idetidade 3: Para m, 0, a Fórmula geeralizada de Hosberger é represetada por (ALVES & OLIVEIRA, 07): f ( z) f ( z) f ( z) f ( z) f ( z). m m m Demostração: F a z F a z F a z a F a z F a z m(, ) (, ) m(, ) (, ) m(, ) a f z a f z a f z a a f z a f z m m m m( ) ( ) m( ) ( ) m( ) f ( z) f ( z) f ( z) f ( z) f ( z). m m m Por fim, a Tabela 4 apreseta um resumo das idetidades clássicas; de Cassii, d'ocage e Catala; e a Fórmula de Hosberger abordadas esta seção, evideciado o processo de geeralização dessas relações defiidas para o MF. Com isso, pode-se compreeder, uma temática epistemológica da Matemática, que a sequêcia geeralizada de Fiboacci admite uma discussão da represetação poliomial a variável complexa e, posteriormete, sua extesão para ídices iteiros. O que deixa explícito um processo evolutivo do MF.

125 3 Tabela 4 - Idetidades do modelo de Fiboacci discutidas a variável complexa. Geeralização da idetidade de Cassii f f f f ( ) F ( a, z) F Giovai Domeico Cassii (65 7) Robert Simso ( ) ( a, z) F ( a, z) ( ) a, para (, ) (, ) (, ) ( ),. F a z F a z F a z a para iteiro qualquer. f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z f z f z f z para. Geeralização da idetidade de d Ocage f ( ) m m f fm f f, para m. m Philbert Maurice d'ocage (86-938) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) ( ) a F ( a, z), com m. m m m m m F ( a, z) F m( a, z) F ( a, z) F m( a, z) ( ) a Fm ( a,z), para iteiros quaisquer. f ( z) f ( z) f ( z) f ( z) ( ) f ( z), para m. m m m Geeralização da idetidade de Catala ( ) f r f fr fr f, m. r Eugèe Charles Catala (84 894) r r F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) ( ) a F ( a, z) F ( a, z), para m. m r mr mr r mr mr (, ) m(, ) r (, ) mr (, ) ( ) mr (, ) r (, ) F a z F a z F a z F a z a F a z F a z, para iteiros quaisquer. r f ( z). f ( z) f ( z) f ( z) ( ) f ( z) f ( z). para m. m r mr mr r Geeralização da Fórmula de Hosberger fm f fm f fm Ross Hosberger (99 06) F ( a, z) F ( a, z) F( a, z) a F ( a, z) F ( a, z), para m, 0. m m m m(,z) (, ) m(, ) (, ) m(, ) F a F a z F a z a F a z F a z, para iteiros quaisquer. f ( z) f ( z) f ( z) f ( z) f ( z), para m, 0. m m m Fote: Elaboração da autora. Por coseguite, cotiuado o estudo sobre o processo de complexificação da sequêcia geeralizada de Fiboacci, serão discutidos os Quaterios Complexos de Fiboacci, os quais compõem uma Álgebra com quatro dimesões e com uma estrutura algébrica defiida com a iteção de geeralizar os úmeros complexos bidimesioais em dimesões superiores. Dessa forma, o MF será explorado a álgebra quateriôica a partir da iserção de uidades imagiárias.

126 4 3.4 Quaterios Complexos de Fiboacci (QCF) Os Quaterios são estudados a área da Álgebra Liear, sedo assim, determiadas operações fudametais da Álgebra como, por exemplo, as partes vetoriais e escalares, os cojugados, as semi-ormas, as formas polares e os produtos iteros, detre outras, são defiidas para os Quaterios. A priori, existem duas estruturas quateriôicas: os Quaterios sobre, os quais possuem compoetes reais, e os Biquaterios sobre o, que possuem compoetes complexas. Dessa forma, os Quaterios represetam um subcojuto dos Biquaterios (Quaterios complexificados) (SANGWINE, ELL & BIHAM, 0, p. 608). Os Quaterios foram desevolvidos por Willia Rowa Hamilto ( ) em 843. Ates disso, em 833, Hamilto fudametou a defiição dos úmeros complexos como pares ordeados de úmeros reais para uma represetação geométrica. Atualmete, os úmeros complexos bidimesioais são localizados o plao de Argad-Gauss. Todavia, Meo (009, p ) explica que os Quaterios sugiram a partir da tetativa de geeralização dos úmeros complexos a forma z a bi em três dimesões. Para isso, Hamilto defiiu os tripletos com a seguite forma algébrica: t a bi cj ode abc,, com as uidades imagiárias i e j, de modo que i j. Nesse setido: Em meados do século XIX, Hamilto iiciou o estudo das geeralizações através desses tripletos, mas deparou-se com um problema: com as regras acima itroduzidas e outras que buscou estabelecer, os tripletos ão obedecem à propriedade de fechameto o caso da multiplicação, o que leva, por exemplo, a uma álgebra que ão pode ser geeralizada a outras dimesões. Após 5 aos de estudos e várias tetativas, descobriu que a itrodução de uma terceira uidade imagiária, com propriedades, como veremos, bem defiidas, levava a uma estrutura fechada. Esses ovos objetos com quatro compoetes e 3 uidades imagiárias foram itroduzidos por Hamilto em 843 e por ele deomiados quaterios (MENON, 009, p ). Os Quaterios são úmeros hipercomplexos, ou seja, represetam uma extesão dos úmeros complexos a forma z a bi, com ab,, ode se tem a parte real Re(z) a, parte imagiária Im(z) b e a uidade imagiária i. Halici (0, 03) e Oliveira & Alves (08) explicam que um Quaterio é defiido pela equação q q0. q. e q. e q. e, assim, ele também tem duas partes: uma escalar real composta por 3 3 ( q0, q, q, q3 ) e uma vetorial formada pela base (, e, e, e 3), ode e, e e e3 complexos que satisfazem à ( e )² ( e )² ( e3 )² e. e. e3. são úmeros

127 5 Semelhatemete, segudo Horadam (963, 993) e Sagwie, Ell & Biham (0), pode-se cosiderar a equação, que determia os Quaterios, escrita a forma q q. q. i q. j q. k ode i, j e k são as uidades imagiárias. Assim, a 0 3 composição de q é orgaizada em: parte escalar S( q) q 0. q 0 e parte vetorial V ( q) q. i q. j q. k. Logo, pode-se escrever que q S( q) V ( q). Além do mais, 3 o cojugado de um Quaterio é dado por: q S( q) V ( q) q q 0. q. i q. j q 3. k. Nesse setido, coforme o trabalho de Niahuaca (05, p.8), pode-se compreeder a existêcia do Quaterio deomiado de puramete escalar, que possui parte vetorial ula e, cosequetemete, tem um subespaço uidimesioal. E, o Quaterio puro ou puramete vetorial que tem apeas a parte vetorial, ou seja, sua parte escalar é ula, como cosequêcia, apreseta subespaço vetorial tridimesioal. Além disso, Niahuaca (05, p. 9) descreve um Quaterio como uma soma direta de dois subespaços, ou seja, a soma direta do cojuto dos reais com o cojuto dos vetores em três dimesões. Essa soma é deotada por: H= 3, assim, o Quaterio é o cojuto gerado pela base caôica (, i, j, k ), em que, (,0,0,0), i (0,,0,0), j (0,0,,0) e k (0,0,0,). A otação H para a Álgebra Quateriôica é em homeagem à Hamilto. À vista disso, compreede-se que os Quaterios são somas formais de escalares com vetores usuais do espaço tridimesioal, desse modo, esses úmeros hipercomplexos possuem quatro dimesões. Assim, em busca de uma represetação geométrica, os Quaterios são vetores o espaço quadrimesioal, ode a dimesão da parte escalar é cosiderada como dimesão auxiliar (4ª dimesão) (Figura 9). Por outro lado, o produto quateriôico é liear, de maeira que Horadam (993) apreseta: i j k, ij k ji, jk i kj e ki j ik. Veja a Tabela 5. Tabela 5 Produto quateriôico. i j k i i j j k k i j k i i i ij k ik j j ji k j jk k k ki j kj i k Fote: Elaboração da autora. i j

128 6 Figura 9 Quaterios: vetores o espaço quadrimesioal (Software GeoGebra). Fote: Elaboração da autora. Figura 0 Quaterios: subespaço bidimesioal isomorfo aos úmeros complexos (Software GeoGebra). Fote: Elaboração da autora.

129 7 E, pode-se avaliar os Quaterios da forma q( ) a b ode i, j, k com ab,. Nesse caso, a parte vetorial é uitária, ou seja, cotém apeas uma uidade imagiária. Desse modo, os Quaterios a forma q ( ) possuem partes vetoriais paralelas e formam um subespaço bidimesioal isomorfo aos úmeros complexos, além disso, vale acetuar que esse subespaço é gerado pelo vetor (,0,0,0) Quaterio puramete vetorial uitário (ver Figura 0). de dimesão escalar e pelo Além do mais, vale efatizar que os Quaterios são discutidos os artigos da Matemática Pura, os quais podem ser destacados os autores: Hamilto (848), Horadam (963, 993), Coway & Smith (003), Sagwie, Ell & Biham (0), Halici (0, 03), Flaut & Shpakivskyi (03), Dray & Maogue (05), Oliveira & Alves (08), Alves (08a). Nesse repertório, há os Quaterios defiidos para o MF. Nesse setido, um Quaterio de Fiboacci (QF) é determiado pela equação Q F F e F e F e ode a parte escalar Real é composta por 3 3, ( F, F, F, F 3), com os úmeros reais de Fiboacci, e a parte vetorial possui a base (, e, e, e 3). E, de modo aálogo, quado a parte escalar é composta pelos úmeros de Fiboacci a sua forma complexa, C F i. F com i ², determia-se um Quaterio Complexo de Fiboacci, o qual é descrito por R Q i.q (HALICI, 03). Dessa forma, pode-se escrever um Quaterio Complexo de Fiboacci (QCF) pela seguite equação: R C C e C e C3 e3, assim: R Q i.q ( F F e F e F e ) i.( F F e F e F e ) ( F i. F ) ( F i. F ) e ( F i. F ) e ( F i. F ) e C C e C e C e. 3 3 À vista disso, serão euciadas algumas defiições e discutidos teoremas oriudos da geeralização do MF através dos Quaterios. Primeiramete, será apresetada a fução geradora G( x, t ) para os QCF da forma R, posteriormete, serão abordadas: a Fórmula variate de Biet para os QCF e sua extesão para ídices iteiros. Assim:

130 8 0 G( x, t) : R( x) t R0 t R t R t R t 0 t G( x, t) : R ( x) t R0 t R t R t R t 0 3 t G( x, t) : R ( x) t R0 t R t R t R t 0 Como R R R 0, desde que R C C e C e C 3 e, segue: 3 G( x, t) t G( x, t) t G( x, t) R t R t R t R R R t R R R t R R R t R R t R t. 0 0 Logo: G x t t t R R t R (, ) 0 0 t R0 R R0 t G( x, t). tt Defiição : Sedo ( e )² ( e )² ( e3 )² e. e. e 3, o Quaterio de Fiboacci é defiido pela equação (OLIVEIRA & ALVES): Q F F. e F. e F. e. 3 3 Defiição 3: Sedo i² j² k ² i. j. k, o Quaterio de Fiboacci é defiido pela equação (HALICI, 0): Q F F i F j F k 3. Defiição 4: Sedo ( e )² ( e )² ( e3 )² e. e. e 3, o Quaterio Complexo de Fiboacci é defiido pelas equações (OLIVEIRA & ALVES): R Q i.q R C C e C e C e. 3 3

131 9 Teorema 5: Seja R R F R 0F para 0, a Fórmula variate de Biet para os QF é determiada por (OLIVEIRA & ALVES): R 0 0 A B ( R. R. ) ( R. R. ). Demostração: Como R0 C0 Ce Ce C3e3 e R C C e C 3 e C 4 e 3, etão, para a recursividade R Q iq, será cosiderada a equação característica t² t 0, cujas raízes são 5, e. e. Assim, aplicado F 5, desse modo, tem-se as relações: em R R F R0 F, segue:. 0 R R R R. R 0 R. R0 R0 R ( ) ( ) 0 0 ( R. R. ) ( R. R. ) A B. Teorema 6: A Fórmula variate de Biet para os QF com ídices iteiros é dada por (OLIVEIRA & ALVES): R R R R R C D 0 0.

132 30 Demostração: Aalogamete à demostração do teorema aterior, tem-se que: R R F R F 0 R F R F 0 ( ) R0 R R R 0 R R R0 R0 R R R R 0 0. A seguir, os Quaterios defiidos para o MF, serão discutidos uma abordagem matricial a fim de apresetar algus teoremas e propriedades Represetações Matriciais para os Quaterios de Fiboacci As represetações matriciais para os Quaterios Fiboacciaos são geradas através de uma combiação liear em dois casos: o primeiro que evolve a parte escalar real ( F, F, F, F ) formada pelos úmeros de Fiboacci e a base composta pelas matrizes 3 S0, S, S e S 3. E, o segudo caso, ode se cosidera a parte escalar complexa ( C, C, C, C ) costituída pelos úmeros complexos de Fiboacci. Para isso, Halici 3 (03) cosidera as matrizes defiidas, sedo i², a seguir. 0 0 i i 0 0 i S0, S, S, S3, 0, i 0 0 i 0 i Cosiderado as matrizes S0, S, S e S 3, podem-se verificar os produtos matriciais a seguir. Com isso, pode-se observar que valem as equações: SS SS S3, SS3 S3S S e S 3 S S S 3 S. E, sedo S 0 uma matriz idetidade, logo, ela é o elemeto eutro em um produto matricial, assim, pode-se costatar a igualdade S0. Sh Sh. S 0 ode h 0,,,3.

133 S. S. S S. S. S S. S. S S. S. S S3. S. S S. S3. S Teorema 7: O Quaterio de Fiboacci Q ( F, F, F, F 3,) pode ser descrito a forma (OLIVEIRA & ALVES, 08): F F F F 3 F F F 3 F Q F. S0 F. S F. S F 3. S3. F F 3 F F F 3 F F F Demostração:

134 3 Q F. S F. S F. S F. S i i F. F. F. F i 0 0 i F. F F F F F F F 3 0 F 0 0 F F 0 0 F F F F F F 0 0 F 0 0 F 0 0 F F F F F 3 F F F 3 F. F F 3 F F F 3 F F F Teorema 8: O Quaterio Complexo de Fiboacci R (C,C,C,C 3), pode ser escrito a forma (OLIVEIRA & ALVES, 08): C C C C3 C C C3 C R C. S0 C. S C. S C3. S3. C C3 C C C3 C C C Demostração: Como R Q i.q, de ode se tem R ( C, C, C, C3) C e C. e C. e C. e, assim, segue que: R C. S C. S C. S C. S i i C. C. C. C i 0 0 i C. C C C

135 33 C C C C3 C C C3 C. C C3 C C C3 C C C K Além do mais, Halici (03) defie o seguite produto matricial: 0 I sedo 0 0 e I I4 0 4 I4 I Isso permite escrever uma I represetação matricial para os QF com oito compoetes dessa forma, são cosideradas as matrizes a seguir: S0 0 S 0 A0 I S0, A I S, 0 S 0 0 S S 0 S 0 A I S, A I S S S3 Defiição 5: Cosiderado as matrizes A e B de dimesões (m x ) e (p x q) respectivamete, tem-se que o produto de Kroecker etre as matrizes A e B é a matriz, cuja dimesão é (mp x q), determiada por (SINGER, NOBRE & ROCHA, 07): ab a B a B ab ab ab AB. amb amb amb Cosiderado as matrizes A0, A, A e A 3, podem-se verificar os produtos matriciais a seguir. Com isso, pode-se observar que valem as equações A A A A A 3, A A A A A, A A A A A e A A A I E, sedo a matriz A 0 uma idetidade, logo, ela é o elemeto eutro em um produto matricial, assim, pode-se costatar que A0. Ah Ah. A 0 e 0 h 0 8 A A A I para h,,3.

136 S S 0 AA.. A3 0 S 0 S S S 0 A. A. A3 0 S 0 S S S A. A3. A 0 S 0 S S S A3. A. 0 A S3 0 S S S A3. A. 0 A S3 0 S

137 S S AA. 3. A 0 S 0 S S S A. A0 I8 0 S 0 S S S A. A0 I8 0 S 0 S S S A3. A I 0 S3 0 S Teorema 9: O Quaterio de Fiboacci pode ser escrito pela equação (OLIVEIRA & ALVES): R ( F KF ) A ( F KF ) A ( F KF ) A ( F KF ) A

138 36 F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 3 F 4 F F F F F F F 4 F 3 F F F F F 3 F 4 F F F F F F F 4 F 3 F F F 3 F F F Demostração: Seja a equação R ( F A0 KF A0 ) ( F A KF A ) ( F A KF 3A ) ( F A KF A ) e usado os resultados, a seguir, de F. I4. S0 F I. S, posteriormete, cada parcela será calculada F. I. S. I. S, 4, 3 4 e F I 0 0 F. I4. S0 F.. 0 I 0 F 0 I I. 0 I 0.. F 0 I 0 I 0 i 0 F. I4. S F.. 0 I 0 i F F I. i 0. 0 I. i F.. 0 I 0 0 F3. I4. S F3.. 0 I F I. 0. I I. F 3 I 0 0 0

139 37 I 0 0 i F4. I4. S3 F4.. 0 I i 0 F F 4 4 F I. i. I. i Para a primeira parcela, segue que: S0 0 0 I4 S0 0 F A0 KF A0 F.. F. 0 S 0 I4 0 0 S F. I4 S0 0 F F. I4 0 0 S F F. I4. S0 0 0 F. I. S F F. I 0 0 F F. I 0 0 F. 0 0 F. I F. 0 0 F. I 0 0 F. 0 0 F. I 0 0 F. 0 0 F. I F. I 0 F F. I 0 F. 0 F F F F F F F F F F F F F F F F

140 38 F F F F F F F F. F F F F F F F F Para a seguda parcela, segue que: S 0 0 I4 S 0 ( F A KF A ) F.. F. 0 S I4 0 0 S i i F. I4 S 0 F i 0 F. I4 0 0 S i F i i i 0 F. I4. S i F. i F. 0 0 F. i F. 0 0 F. i 0 F F. i 0 F F. I. S F. i 0 F. 0 0 F. i 0 F. F. 0 F. i 0 0 F. 0 F. i F. 0 F. 0 0 F. 0 F. F. 0 F. 0 0 F. 0 F. 0 F F 0 0 F F F F F 0 0 F F 0 0 F F F F F F 0 F.

141 39 Para a terceira parcela, segue que: S 0 0 I4 S 0 F A KF 3 A F.. F 3. 0 S I4 0 0 S F 3. I4 S 0 F F 0 3. I4 0 0 S F F. I. S F 0 3. I4. S F F3. I F F3. I F. 0 0 F3. I F. 0 0 F3. I F. 0 0 F3. I F. 0 0 F3. I 0 0 F3. I 0 F. 0 F3. I 0 F F F F F3 F F F F F F F F F F F F 0 0 Para a quarta parcela, segue que: S3 0 0 I4 S3 0 ( F 3A3 KF 4A3 ) F 3.. F 4. 0 S 3 I4 0 0 S3 0 i 0 0 i F 4. I4 S3 0 F i F 4. I4 0 0 S3 0 0 i 0

142 40 0 i 0 0 i F 4. I4. S3 F i F 4. I4. S i 0 0 F3. i F4. F 3. i F F 3. i 0 F F 3. i 0 F F3. i 0 F4. F3. i 0 F F4. 0 F3. i F4. 0 F3. i 0 0 F 3. 0 F 4. F F. 0 0 F4. 0 F3. F 4. 0 F F F4 0 0 F F4 0 0 F F4 0 0 F F F F F F3 0 0 F F3 0 0 F F Por fim, cosiderado que a matriz Q é dada pela equação Q F S0 F S F S F3S3, pode-se fazer Q' F S0 F S F 3S F 4S3 as parcelas, segue que:, assim, reuido R ( F A KF A ) ( F A KF A ) ( F A KF A ) ( F A KF A ) F F F F 3 F F F 3 F 4 F F F 3 F F F F 4 F 3 F F 3 F F F 3 F 4 F F F 3 F F F F 4 F 3 F F F F F 3 F 4 F F F F 3 F F F 4 F 3 F F F 3 F F 3 F 4 F F F F 3 F F F 4 F 3 F F F 3 F F F

143 4 Q Q' Q' Q. Teorema 30: O Quaterio de Fiboacci Q ( F, F, F, F 3,) pode ser escrito pela equação (OLIVEIRA & ALVES, 08): F F F F 3 F F F 3 F Q F. S0 F. S F. S F 3. S3.. F F 3 F F F 3 F F F Demostração: Aplicado a idetidade de Koshy (00) F. F, segue que: Q F. S F. S F. S F. S i i F. F F 0 F i 0 0 i F. F. F. F F.. F.. F F F F F F 3 0 F 0 0 F F F F F F F F 0 0 F 0 0 F 0 0 F F F F F 3 F F F 3 F.. F F 3 F F F 3 F F F

144 4 Teorema 3: O Quaterio Complexo de Fiboacci R (C,C,C,C 3) pode ser escrito pela equação (OLIVEIRA & ALVES, 08): R C. S C. S C. S C. S C C C C C C C C C C C C C C C C F if F i. F F i. F 3 F 3 i. F 4 F i. F F if F 3 i. F 4 F i. F 3 F i. F 3 F 3 i. F 4 F if F i. F F i. F F i. F F i. F F if Demostração: De modo aálogo ao Teorema 8, pode-se escrever que R C. S0 C. S C. S C3. S3 cosiderado que C F i.f C F i.f idetidade F. F, segue que:. E aplicado a. R C C C C C C C C C C C C C C C C F i.f F i.f F i.f 3 F 3 i.f 4 ( F i.f ) F i.f ( F 3 i.f 4) F i.f 3 ( F i.f 3) F 3 i.f 4 F i.f ( F i.f ) ( F 3 i.f 4) ( F i.f 3) F i.f F i.f. F if. F i. F. F i. F 3. F 3 i. F 4.. F i. F. F if.. F 3 i. F 4. F i. F 3.. F i. F 3. F 3 i. F 4. F if.. F i. F.. F 3 i. F 4.. F i. F 3. F i. F. F if F if F i. F F i. F 3 F 3 i. F 4 F i. F F if F 3 i. F 4 F i. F 3.. F i. F 3 F 3 i. F 4 F if F i. F F i. F F i. F F i. F F if 3 4 3

145 43 Teorema 3: Para os Quaterios de Fiboacci, vale a equação (OLIVEIRA & ALVES, 08): R ( F KF ) A ( F KF ) A ( F KF ) A ( F KF ) A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F. F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 4 F 3 F F F 3 F F F Demostração: Aalogamete ao Teorema 9, porém, cosiderado os ídices iteiros e a idetidade F. F, segue que:. R ( F KF ) A ( F KF ) A ( F KF ) A ( F KF ) A F F F F 3 F F F 3 F 4 F F F 3 F F F F 4 F 3 F F 3 F F F 3 F 4 F F F 3 F F F F 4 F 3 F F F F F 3 F 4 F F F F 3 F F F 4 F 3 F F F 3 F F 3 F 4 F F F F 3 F F F 4 F 3 F F F 3 F F F F. F. F 3. F 4. F. F. F. F 3. F. F. F. F. F. F. F. F 3. F 3. F 4. F. F. F. F. F. F 3. F 4. F 3. F. F. F 3. F. F. F 3 F F F F 3 F F F 3. F 4 F F F 3 F 3. F. F. F 4. F 3 F F 3 F F 3. F 3. F 4. F. F F 3 F F F. F 4. F 3. F. F

146 44 F F F F 3 F F F 3 F 4 F F F 3 F F F F 4 F 3 F F 3 F F F 3 F 4 F F F 3 F F F F 4 F 3 F F. F F F 3 F 4 F F F F 3 F F F 4 F 3 F F F 3 F F 3 F 4 F F F F 3 F F F 4 F 3 F F F 3 F F F Q Q'.. Q' Q Fialmete, o resultado é simplificado, de modo que, Q F. S0 F. S F. S F. S Q' F S F S F S F S Defiição 6: São defiidos os cojutos: H Q : Q F, F, F, F w z úmero real de Fiboacci, e H ' P : P z w isomorfismo etre H e 3, ode H ' uma aplicação Q P (HALICI, 0). F é um para wz,, de modo que existe Teorema 33: Para 0, desde que através de uma aplicação Q P, pode-se obter: 0 i i E, I, J, K 0 0 i 0 i 0 e P C C C C. Demostração: Por meio de uma aplicação Q P, pode-se escrever que 0 i i P F F F F i 0 i 0 Desse modo, para 0, verifica-se que 0 i i F 0 0 i. F F i. F C C 3 P0 F0 F F F i 0 i 0 F i. F3 F0 i. F C C 0

147 45 Destarte, pelo processo idutivo, segue que: 0 i i F 3 i. F F3 i. F C C 4 P F F F3 F4 0 0 i 0 i 0 F3 i. F4 F i. F C3 C 0 i i F i. F3 F4 i. F5 C C4 P F F3 F4 F5 0 0 i 0 i 0 F4 i. F5 F i. F3 C4 C 0 i i F i. F4 F5 i. F C C 6 P3 F3 F4 F5 F6 0 0 i 0 i 0 F5 i. F6 F3 i. F4 C5 C 3 0 i i F i. F F i. F 3 P F F F F i 0 i 0 F i. F 3 F i. F C C C C 0 i 0 0 i i P P F 4 F F F F 3 F 4 i i 0 i 0 F i F F i F C C 4. F 3 i. F 4 F i. F C3 C Teorema 34: Para, desde que 0 i i E, I, J, K 0 0 i 0 i 0 e através de uma aplicação Q P, pode-se obter uma represetação com ídices iteiros, tal que: P C C F i. F F i. F 3.. C F i. F 3 F i. F C Demostração: Por meio de uma aplicação Q P, pode-se escrever que P F E F I F J F K. Dessa forma, pelo processo idutivo e aplicado a 3 idetidade F. F, pode-se verificar que: 0 i i F i. F0 F i. F C C P F F0 F F 0 0 i 0 i 0 F i. F F i. F0 C C

148 46 0 i i F 0 i. F F0 i. F C C P F F F0 F 0 0 i 0 i 0 F0 i. F F i. F C0 C 0 i i F3 i. F 3 F i. F C C 0 P 3 F3 F F F0 0 0 i 0 i 0 F i. F0 F3 i. F C C 3 0 i i F i. F F i. F P F F F F i 0 i 0 F i. F 3 F i. F C C C C 0 0 i 0 i i : P P F F 4 F F F 3 F 4 0 i i 0 i 0 F i. F F 3 i. F 4 C C3. F 3 i. F 4 F i. F C3 C Teorema 35: Sejam P H' e det P 0, a matriz iversa de P é dada por: P C C.. det( P ) C C Demostração: Cosiderado a relação.. P P I P P, pode-se avaliar que: P. P I C C a a 0. C C a a 0 C. a C. a C. a C. a 0. C. a C. a C. a C. a 0 Resolvedo o sistema da equação matricial e como det( P ) C. C C. C 3, F F F F ecotra-se a seguite matriz iversa:

149 47 P C C. C C. C C. C C. C C C. C C. C C. C C. C C C C.. det( P ) C C C E, de fato, pode-se verificar que: C C C C C C C C ( P ). P.. det( P ) C. C C. C C. C C. C. det( P ) C. C C. C C. C C. C 0 I. 0 Propriedade : Para 0, a matriz P satisfaz à: det P.det P. Demostração: Como que segue que: det( P ) C. C C. C e det( P ) C. C C. C det( P )², det( P ).det( P ) C. C C. C ( C. C C. C). det( P )².

150 48 Propriedade : Para 0, a matriz P satisfaz à: P P. Demostração: Avaliado a recorrêcia ( P ).( P ) I ( P ).( P ), segue que: b b 0 C C det( P ) C b b 0 C ( P ).( P ) I.. C. b C. b C. b C. b 0. det( P ) C. b C. b C. b C. b 0 C C ( P ) P. C C De fato: P C C C det( P ) C C C ( P ).( ).. C. C C. C C. C C. C det( P ) det( P ) C. C C. C C. C C. C det( P ) det( P ) 0 I. 0 C C Propriedade 3: Para 0, a matriz P satisfaz à: P P P P...

151 49 Demostração: Primeiramete, calculado a iversa P. P, deve se verificar as igualdades ( P. P ).( P. P ) I ( P. P ).( P. P ). Dessa forma, segue que: ( P. P ).( P. P ) I 0 a b 0. 0 c d 0 a b 0 c d 0 0 ( P. P ) 0 Por outro lado, tem-se que ( P. P ).( P. P ) Assim, de fato: C C C C det( P) det( P) P. P. C C C C det( P) det( P) C. C C. C C. C C. C det( P ) det( P ) C. C C. C C. C C. C det( P ) det( P ) det( P ) 0 det( P) det( P ) 0 det( P ) det( P) det( P) 0. 0 A seguir, os Quaterios serão discutidos uma abordagem da variável complexa, evideciado a Fórmula de Biet e sua represetação para ídices iteiros.

152 Os Quaterios de Fiboacci a Variável Complexa Nesta seção, os Quaterios serão discutidos uma abordagem da variável complexa. Dessa forma, os termos da sequêcia geeralizada de Fiboacci serão represetados com a otação F ( a, z ) ode a e z são variáveis complexas. Para isso, vale recordar que, de modo geral, um Quaterio é descrito a forma q q0. q. i q. j q3. k ode i, j e k são as uidades imagiárias e os coeficietes são úmeros reais. E, o cojuto dos Quaterios é cohecido como uma Álgebra de quatro dimesões (IAKIN, 977, IAKIN, 98, PLAZA & FALCÓN, 008, ALVES & OLIVEIRA, 07). À vista disso, a seguir, serão discutidas defiições e relações quateriôicas para o MF a variável complexa. Defiição 7: Os Quaterios de Fiboacci de ordem são descritos, as variáveis a e z, por (ALVES & OLIVEIRA, 07): Q ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k, para 0. 3 Essa defiição permite determiar algus termos da sequêcia geeralizada quateriôica para o MF, deotada por Q ( a, z). Veja: ` IN Q ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k 0 () i az j ( ) 3(, ) 4(, ) 5(, ) ( a z a ) a z a ) k Q ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k az i ( j ( a z a ) a z a z) k Q ( a, z) F ( a, z F a z i F a z j F a z k az i ( a z a z) j ( a z 3a z a ) k Q ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k. 3 Teorema 36: Para os Quaterios de Fiboacci de ordem, as variáveis a e z, vale a seguite relação recorrete (ALVES & OLIVEIRA, 07): Q ( a, z) az Q ( a, z) a Q ( a, z), iteiro 0. Demostração: Aplicado a Defiição 7 e agrupado os termos, coveietemete, de acordo com a base caôica, i, j, k, tem-se que: az Q a z a Q a z (, ) (, ) az( F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k) a ( F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k) 3 ( azf ( a, z) a F ( a, z)) ( a z F ( a, z) a F ( a, z)) i ( a z F ( a, z) a F ( a, z)) j ( a z F ( a, z) a F ( a, z)) k 3

153 5 F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k 3 4 Q ( a, z). Corolário 5: Um Quaterio de Fiboacci de ordem é descrito, as variáveis a e z, para ídices iteiros, por (ALVES & OLIVEIRA, 07): Q ( a, z) ( ) a F ( a, z) a² F ( a, z) i a F ( a, z) j a F ( a, z) k Demostração: Pelo Teorema 0, pode-se escrever: Q ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k 3 F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k ( ) ( ) ( 3) F ( a, z) F (, ) 4 (, ) 6 3(, ) a z i F a z j F a z k ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a 4 6 F ( a, z) a² F (, ) (, ) 3(, ) a z i a F a z j a F a z k ( ) a ( ) a F ( a, z) a² F ( a, z) i a F ( a, z) j a F ( a, z) k Lema 8: A equação característica t az t a 0, cujas raízes são ( az, ) e ( az, ), satisfaz às relações a seguir, iteiro 0 (ALVES & OLIVEIRA, 07): ( a, z) ( a, z) F( a, z) a F ( a, z) ( a, z) ( a, z) F( a, z) a F ( a, z). Demostração: As sequêcias dos úmeros a forma Q ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) i F( a, z) j F3( a, z) k e F ( a, z) 0 possuem propriedades semelhates. Desse modo, por substituição direta de ( az, ) a equação característica, tem-se que: t az t a 0 ( a, z) az ( a, z) a ( a, z) ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z). Posteriormete, por idução e assumido segue que: ( a, z) ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z),

154 5 ( a, z) ( a, z) ( az, ) ( a, z) ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) ( a, z) F ( a, z) ( a, z) a F ( a, z) az ( a, z) a F ( a, z) ( a, z) a F ( a, z) az F ( a, z) ( a, z) a F ( a, z) a F ( a, z) ( a, z) ( az F ( a, z) a F ( a, z)) ( a, z) a F ( a, z) F a z a z a F a z (, ) (, ) (, ). De modo aálogo, determia-se ( a, z) ( a, z) F( a, z) a F ( a, z) 0. 3 Teorema 37: Sejam (a,z) (a,z)i (a,z) j (a,z) k e (a, z) (a, z)i (a, z) j 3 (a, z) k, a Fórmula de Biet para os Quaterios de Fiboacci de ordem, as variáveis a e z, é (ALVES & OLIVEIRA, 07): ( a,z) ( a, z) ( a,z) ( a, z) Q ( a, z) ( a,z) ( a,z), 0. Demostração: Sabedo que Q ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F 3( a, z) k e cosiderado segue que: ( a, z) ( a, z) F( a, z) a F ( a, z) e ( a, z) ( a, z) F( a, z) a F ( a, z), ( a, z) Q( a, z) a Q ( a, z) ( a, z) F ( a, z) F ( a, z) i F ( a, z) j F ( a, z) k 3 ( (, ) (, ) (, ) (, ) ) a F a z F a z i F a z j F a z k ( a, z) F ( a, z) ( a, z) F ( a, z) i ( a, z) F ( a, z) j ( a, z) F ( a, z) k 3 a F ( a, z) a F ( a, z) i a F ( a, z) j a F ( a, z) k ( ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z)) ( ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z)) i ( ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z)) j ( ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z)) k 3 3 ( a, z) ( a, z) i ( a, z) j ( a, z) k 3 ( a, z)( ( a, z) i ( a, z) j ( a, z) k) ( a, z) ( a, z).

155 53 Assim, determia-se E, de modo ( a, z) Q( a, z) a Q ( a, z) ( a, z) ( a, z). aálogo, obtém-se escrever o seguite sistema: Com isso, pode-se ( a, z) Q( a, z) a Q ( a, z) ( a, z) ( a, z). ( a, z) Q ( a, z) a Q ( a, z) ( a, z) ( a, z) a Q ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) Q ( a, z) ( a, z) Q ( a, z) a Q ( a, z) ( a, z) ( a, z) a Q ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) Q ( a, z) Igualado as equações relativas à a Q a z (, ), tem-se que: ( a, z) ( a, z) ( a, z) Q ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) Q ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) Q ( a, z) ( a, z) Q ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) Q ( a, z) ( a, z) ( a, z) Corolário 6: Para todo iteiro, a Fórmula de Biet para os Quaterios de Fiboacci de ordem, as variáveis a e z, é (ALVES & OLIVEIRA, 07): ( a,z) ( a, z) ( a,z) ( a, z) Q( a, z) a². ( a,z) ( a,z) Demostração: Pelo teorema aterior, pode-se escrever que: Q ( a, z) ( a,z) ( a, z) ( a,z) ( a, z) ( a,z) ( a,z) ( a,z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( ) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) a² ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) a². ( a, z) ( a, z)

156 54 A seguir, uma perspectiva de geeralização dos Quaterios, os Octoios serão defiidos e discutidos, evideciado a Fórmula de Biet e sua represetação para ídices iteiros. 3.5 Octoios de Fiboacci (OF) Coway & Smith (003, p.8) explicam que logo após a descoberta dos Quaterios feita por Hamilto, surgiram os Octoios, os quais foram desevolvidos em 843 por Joh T. Graves, um amigo de Hamilto. Posteriormete, em 845, os Octoios também foram redescobertos, idepedetemete, por Arthur Cayley (8-895) e, em sua homeagem, os Octoios também são cohecidos como úmeros de Cayley. Vale destacar que os Octoios, assim como os Quaterios, represetam uma extesão dos úmeros complexos bidimesioais. Porém, quado se faz esse processo de geeralização e o cojuto umérico é ampliado, cosequetemete, ocorre a perda de algumas propriedades algébricas. Por exemplo, os Quaterios ão apresetam a propriedade comutativa da multiplicação. E, os Octoios, por sua vez, ão são associativos a multiplicação, a ausêcia dessa última propriedade foi idetificada por Hamilto. Isso permitiu a costrução de ovas estruturas algébricas em dimesões superiores, cotribuido para o desevolvimeto de diferetes Álgebras. Nesse setido, Batista & Satos (0, p.3) descrevem que a álgebra de divisão dos Quaterios é um caso particular das Álgebras de Clifford, as quais são deomiadas de álgebra geométrica e são costruídas a partir de uma forma quadrática em um espaço vetorial. Por outro lado, Pedeza (006, p.5) explica que a álgebra do Octoios também é cohecida como Álgebra de Cayley. Segudo Satos (06), os Octoios represetam uma extesão ão-associativa dos Quaterios. Todavia, eles costituem uma álgebra com oito compoetes de base, formado uma álgebra de divisão ormada com oito dimesões sobre. Dessa forma, os Octoios possuem 7 compoetes imagiárias: i, j, k, l, li, lj, lk e, assim, os úmeros octoiôicos são descritos a seguite forma algébrica: x x xi x3 j x4k x5l x6li x7lj x8 lk.

157 55 Com isso, x, de modo que ele pode ser cosiderado com um poto ou vetor em 8. Além do mais, o Octoio x é composto por duas partes: a parte escalar positiva x e uma parte vetorial costituída por x i x j x k x l x li x lj x lk. De acordo com Pedeza (006, p.7), sedo o cojuto dos Octoios, estes podem ser escritos como uma soma direta, tal que, V, ode é o corpo dos reais e V é um espaço Euclidiao. Tabela 6 Produto octoiôico. Números octoiôicos i j k l li lj lk i j k l li lj lk i i k j li l lk lj j j k i lj lk l li k k j i lk lj li l l l li lj lk i j k li li l lk lj i k j lj lj lk l li j k i lk lk lj li l k j i Octoios de Fiboacci - adaptação e e e 3 e 4 e5 e 6 e 7 e e e 3 e 4 e5 e 6 e 7 e e e 3 e e 5 e4 e 7 e 6 e e e 3 e e 6 e7 e 4 e 5 e 3 e 3 e e e 7 e6 e 5 e 4 e 4 e 4 e 5 e 6 e 7 e e e 3 e 5 e 5 e 4 e 7 e 6 e e 3 e e 6 e 6 e 7 e 4 e 5 e e3 e e7 e7 e6 e 5 e 4 e 3 e e Fote: Elaboração da autora. Assim, assumido as uidades imagiárias como uma base ortoormal da Álgebra 8- dimesioal, pode-se verificar a multiplicação dos Octoios a Tabela 6 e esquematizá-la pelo diagrama deomiado de Plao Fao (Figura ). Os potos do Plao Fao são os elemetos da base dos Octoios, ou seja, as compoetes imagiárias. E, as setas

158 56 determiam os siais dos resultados da multiplicação. Dessa forma, sobre os axiomas de Gio Fao, segue que: O ome do diagrama é devido aos axiomas de Gio Fao (89), um italiao que defiiu as primeiras fudametações à geometria projetiva: Axioma : Existem uma reta e um poto que ão são icidetes. Axioma : Toda reta é icidete com pelo meos três potos distitos. Axioma 3: Dois potos distitos são icidetes com exatamete uma reta. (PENDEZA, 006, p.8) Figura Octoios: Plao Fao (Software GeoGebra). Fote: Elaboração da autora. Além do mais, vale cometar que os Octoios são discutidos a literatura da Matemática Pura, a qual podem ser destacados os autores: Coway & Smith (003), Pedeza (006), Batista & Satos (0), Dray & Maogue (05), Satos (06) e Karataş & Halici (06). Assim, uma abordagem da sequêcia geeralizada de Fiboacci, os Octoios são defiidos para o MF e isso pode ser evideciado os artigos de: Keçilioglu & Akkus (04), Savi (05), Halici (05), Ipek & Çime (06) e Alves (08a). Com isso, a seguir, serão apresetadas as defiições e relações recorretes octoiôicas para o MF, tedo o trabalho de Keçilioglu & Akkus (04) como referêcia pricipal. Além disso, será cosiderada a equação característica t² t 0, cujas raízes são 5 5, e. Dessa forma, pode-se escrever as relações:. e. E, assim, essas raízes podem escritas a Fórmula de Biet, tal que, F.

159 57 Defiição 8: Sedo e0, e i, e j, e3 k, e4 e, e5 ie, e6 je, e7 ke e e 7 ke. O Octoio de Fiboacci é defiido, para 0, por (KEÇILIOGLU & AKKUS, 04): O F e0 F e F e F 3e3 F 4e4 F 5e5 F 6e6 F 7e7 7 O F e s0 s s Defiição 9: O Octoio cojugado de um Octoio de Fiboacci é defiido da seguite forma (KEÇILIOGLU & AKKUS, 04): O F e0 F e F e F 3e3 F 4e4 F 5e5 F 6e6 F 7e7 O F e F e 0 s s s 7 Defiição 0: O Octoio de Fiboacci é represetado, com ídices iteiros, por (KEÇILIOGLU & AKKUS, 04): O F e0 F e F e F 3e3 F 4e4 F 5e5 F 6e6 F 7e7 7 ( ) s s0 O F e s s Aplicado F ( ) F, tem-se que: O F e F e F e F e F e F e F e F e F e F e F e F e F e F e F e F e 0 ( ) ( ) ( 3) 3 ( 4) 4 ( 5) 5 ( 6) 6 ( 7) ( ) ( ) F e0 ( ) F( ) e ( ) F( ) e ( ) F( 7) e 7 7 s0 s ( ) F e s s Defiição : O Octoio cojugado de um Octoio de Fiboacci, com ídices iteiros, é defiido da seguite forma (KEÇILIOGLU & AKKUS, 04): O F e0 F e F e F 3e3 F 4e4 F 5e5 F 6e6 F 7e7

160 58 7 s ( ) 0 ( ) s s s O F e F e À vista disso, são obtidas as seguites relações: 7 7 s s 0 s s s0 s O O F e F e F e O O F e s s O O ( ) F ses ( ) F e0 ( ) F ses s0 s O O ( ) F e 0 Teorema 38: A Fução Geradora para o cojuto dos OF é (KEÇILIOGLU & AKKUS, 04): 7 xx s0 g( x) F F x e s s s Demostração: Seja g( x) : O x, pode-se escrever que: 0 3 g( x) O0 O x O x O3 x O x 3 x g( x) O0 x O x O x O x O x 3 4 x g( x) O0 x O x O x O x O x Assim, segue que: g( x) x g( x) x g( x) O O O x O O O x O O O x O0 O O0 x F F x e F F x e F F x e F e F e F e F e F e F e F e F e F e x F F x e s0 s s s

161 59 Portato: 7 g( x) x x F F x e s0 7 g( x) F s Fs x es xx s0 s s s Teorema 39: Sejam 7 s * e s e s0 7 s * e s, para 0 s0 os OF é descrita por (KEÇILIOGLU & AKKUS, 04):, a Fórmula de Biet para O * * Demostração: Recordado que a Fórmula de Biet é F, pode-se escrever que: O F e F e F e F e F e F e F e F e e0 e e e7 7 7 ( e0 e e7 ) ( e0 e e7 ) 7 7 ( e0 e e e7 ) ( e0 e e e7 ) 7 7 s s es es s0 s0 * * Teorema 40: Para todo iteiro, a Fórmula de Biet para os OF é descrita por: O * *

162 60 Demostração: Como, segue que: O * * * * * * * * * * Teorema 4: A Idetidade de Catala para os OF, com, r, é dada por: r r * * ( ) r r r O O O Demostração: Como O * * e, segue que: O O r O r * * * r * r * r * r * * * * r r r r * * r r r r r * * r r r

163 6 * * r r r r r r r r r r * r * r r r * * * * r r. Teorema 4: A Idetidade de Cassii para os OF, com, é dada por: * * ( ) O O O Demostração: Como O * * e, segue que: O O O * * * * * * * * * * * * * * * * * * a * * ( )

164 6 * * ( ) * * ( ) Teorema 43: A Idetidade de d Ocage para os OF, com, m, é dada por: * * m m Om O Om O Demostração: Como O * *, segue que: O O O O m m * m * m * * * m * m * * * m * * * m * m * * * m * * m m * * m m * * m m A seguir, os Octoios serão discutidos uma abordagem da variável complexa, evideciado a Fórmula de Biet e sua represetação para ídices iteiros. Além disso, o próximo tópico é uma extesão da discussão realizada sobre os Quaterios a variável complexa Os Octoios de Fiboacci a Variável Complexa

165 63 Nesta seção, os Octoios serão discutidos o cotexto da variável complexa. Semelhatemete à abordagem quateriôica, os termos da sequêcia geeralizada de Fiboacci serão represetados com a otação F ( a, z ) ode a e z são variáveis complexas. Além do mais, este tópico amplia a discussão dos QF para uma álgebra de oito dimesões. Apresetado, assim, uma extesão das relações quateriôicas discutidas, a priori, por Alves & Oliveira (07), uma abordagem da variável complexa. Nesse setido, destaca-se a Fórmula variate de Biet e sua extesão para ídices iteiros. A seguir, serão discutidas defiições e relações octoiôicas para o MF a variável complexa. Defiição : Os OF de ordem são descritos para 0, as variáveis a e z, por: O ( a, z) F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e O ( a, z) F ( a, z) e s s s0 Com isso, essa defiição permite determiar algus termos da sequêcia geeralizada octoiôica para o MF, deotada por O ( a, z) ` IN. Veja: O ( a, z) F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e O ( a, z) F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e O ( a, z) F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e O( a, z) F ( a, z) e0 F ( a, z) e F ( a, z) e F 7( a, z)e7 Teorema 44: Para os OF de ordem, as variáveis a e z, vale a seguite relação recorrete: O ( a, z) az O ( a, z) a O ( a, z), iteiro 0. Demostração: Como 7 O ( a, z) F ( a, z) e, etão, pode-se escrever: s s s0 az O a z a O a z (, ) (, ) az( F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e ) a ( F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e ) ( azf ( a, z) a F ( a, z)) e ( a z F ( a, z) a F ( a, z)) e ( a z F ( a, z) a F ( a, z)) e F ( a, z) e0 F ( a, z) e F 3( a, z) e F 8( a, z) e7

166 64 O (, ). a z Corolário 07: Um OF de ordem é descrito, as variáveis a e z, para ídices iteiros, por: Q ( a, z) ( ) a ( F ( a, z) e a² F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e ) Demostração: Como F ( a,z) F (,z) a, pode-se escrever: ( ) a O ( a, z) F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e 0 ( ) ( ) ( 7) 7 F ( a, z) e0 F (, ) 6 4 7(, ) a z e F a z e 7 ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( F ( a, z) e a² F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e a F ( a, z) e ) Teorema 45: Sejam (a,z) e (a,z) e (a,z) e (a,z) e (a,z) e (a,z) e (a,z) e (a,z) e 7 e (a,z) e (a,z) e (a,z) e (a,z) e (a,z) e (a,z) e (a,z) e a Fórmula de Biet para os OF de ordem, as variáveis a e z, é: 7 (a,z) e7, ( a,z) ( a, z) ( a,z) ( a, z) O ( a, z) ( a,z) ( a,z), 0. Demostração: Sabedo que 7 O ( a, z) F ( a, z) e s s s0 e cosiderado que: ( a, z) ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) ( a, z) ( a, z) O ( a, z) a O ( a, z) ( a, z) ( a, z) F ( a, z) a F ( a, z) ( a, z) ( a, z) O ( a, z) a O ( a, z). Segue que:

167 65 ( a,z) O( a, z) a O ( a, z) ( a, z)( F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e ) a ( F ( a, z) e F ( a, z) e F ( a, z) e ) ( a,z) F ( a, z) a F ( a, z) e0 ( a,z) F ( a, z) a F ( a, z) e ( a,z) F 7( a, z) a F 6( a, z) e7 ( a,z) e ( a,z) e ( a,z) e ( a,z) e ( a,z) e ( a,z) e ( a,z) e ( a,z) e ( a,z) e ( a,z) e ( a,z) ( a,z) Dessa forma, determia-se E, de ( a, z) O( a, z) a O ( a, z) ( a, z) ( a, z). modo aálogo, obtém-se Assim, pode-se ( a, z) O( a, z) a O ( a, z) ( a, z) ( a, z). escrever o seguite sistema: ( a, z) O ( a, z) a O ( a, z) ( a, z) ( a, z) a O ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) O( a, z) ( a, z) O ( a, z) a O ( a, z) ( a, z) ( a, z) a O ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) O( a, z) Igualado as equações referetes à a O a z (, ), tem-se que: ( a, z) ( a, z) ( a, z) O ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) O ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) O ( a, z) ( a, z) O ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) O ( a, z) ( a, z) ( a, z) Corolário 08: Para todo iteiro, a Fórmula de Biet para os OF de ordem, as variáveis a e z, é dada por: ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) Q( a, z) a². ( a, z) ( a, z) Demostração: Pelo teorema aterior, segue que:

168 66 O ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a,z) (, ) a z ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( az, ) a² ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) ( a, z) a². ( a, z) ( a, z) Fialmete, ecerra-se o capítulo sobre o campo epistêmico-matemático desta pesquisa. Além do mais, esse estudo do modelo complexo de Fiboacci é um aporte teórico que oferece ao professor-pesquisador um repertório de relações recorretes complexas defiidas para o MF, a fim de selecioar coteúdos que serão traspostos para situações didáticas.

169 67 4 UMA EXPERIÊNCIA DIDÁTICA: O ESTUDO DA COMPLEXIFICAÇÃO DO MODELO DE FIBONACCI NO CURSO DE LICENCIATURA Esta pesquisa teve sua fase experimetal desevolvida um curso de Liceciatura em Matemática a disciplia de HM, por meio da trasposição didática da complexificação do MF. Para isso, foi realizado um estudo do campo epistêmico-matemático, de modo que se pretedia explorar a sequêcia geeralizada de Fiboacci uma abordagem epistemológica e detro de um cotexto cogitivo-didático o âmbito da formação iicial de professores de Matemática. Para isso, foram elaboradas situações didáticas compostas por situações-problema. Essas situações foram cocebidas com efoque a TSD. Dessa forma, doravate, será discutido o percurso metodológico que atecede a realização didática, tal que, são apresetadas a cocepção das situações didáticas e a predição dos possíveis comportametos e soluções que os aluos possam maifestar durate a discussão das situações-problema. Isso caracteriza, respectivamete, a fase de cocepção e aálise a priori pregada pela ED. 4. Cocepção das Situações Didáticas Na seguda etapa da ED, vale destacar o mometo de cocepção das situações didáticas, se baseado as ideias de Pais (00, p. 0-0), em que as variáveis são defiidas uma perspectiva microdidática, a fim de determiar a relação etre o processo de complexificação da SF e a proposição das situações-problema. Segudo Almouloud (06, p.6), as situações-problema são questões abertas com euciados objetivos ou elaboradas em um cotexto mais ou meos matematizado, cuja fução pricipal é a utilização implícita, e depois explícita, de ovos objetos matemáticos, por meio de questões dos aluos o mometo da resolução do problema. Assim, vale ressaltar que, é ecessário trasformar as relações matemáticas Fiboacciaas em um coteúdo a ser esiado, tedo em vista que o modelo complexificado de Fiboacci, como já foi discutido ateriormete, é abordado a literatura da Matemática Pura. Dessa forma: Em decorrêcia, o levatameto dos diversos obstáculos a serem cosiderados permitirá aálise dos fatores que permitirão superar os problemas observados a apredizagem, em coformidade com os objetivos da pesquisa, o que viabiliza a etapa seguite: a cocepção da sequêcia didática. (POMMER, 03, p. 3).

170 68 Nesse setido, a cocepção da situação didática, compreede-se o processo de complexificação da SF como um coteúdo a ser trabalhado em sala de aula, assim, foi formulado a seguite hipótese didática: o desevolvimeto de um estudo sobre o processo de complexificação da SF, a fim de ivestigar seus teoremas e suas propriedades, objetivado explorar sua forma complexa detro de um cotexto de esio de HM, trabalhada com o viés didático da TSD, oportuiza mobilizar o pesameto ituitivo do estudate, coduzido-o ao desevolvimeto de um raciocíio iferecial. A hipótese foi elaborada, fudametado-se o fato de que a ED em complemetaridade com TSD apreseta pressupostos epistemológicos, didáticos e cogitivos, de modo que cetraliza suas pesquisas a ivestigação de relações matemáticas trabalhadas o cotexto da Didática da Matemática. Além do mais, a determiação da disciplia de HM, como um local para a realização didática, foi bastate relevate, pois a HM está, itrisecamete, associada à epistemologia dos coceitos matemáticos oriudos de um cotexto e período histórico. Assim, a costrução de teoremas e propriedades, os aluos tiveram que utilizar argumetos válidos em uma demostração matemática. Portato, a realização didática, foi efatizada a evolução da estrutura algébrica da SF uma perspectiva histórica. À vista disso, as aálises prévias da ED, a complexificação do MF foi defiida como campo epistêmico-matemático, que fudameta a cocepção das situações-problema. Nesse setido, vale recordar que relações recorretes para os úmeros Gaussiaos de Fiboacci, teoremas ieretes à classe dos PBF, recorrêcias quateriôicas e os Octoios foram assutos estudados, com a fialidade de especificar um coteúdo para ser trabalhado em sala de aula. Assim, os PBCF foi o coteúdo selecioado para elaboração das situações-problema. Além do mais, a classe dos PBCF foi selecioada como o coteúdo para ser trabalhado em sala de aula, pelo fato de que as relações matemáticas abordadas, esse repertório matemático, exigem poucos cohecimetos prévios e matemáticos dos aluos. Por exemplo, a maioria das propriedades matemáticas discutidas, as situações didáticas, é validada por idução matemática que é um coteúdo visto o iício do curso de Liceciatura em Matemática. Além disso, a disciplia de HM ão exige disciplias como pré-requisitos. Dessa forma, as situações-problema têm uma fução de ortear a compreesão da complexificação do MF, através da iserção da uidade imagiária i e de variáveis uma

171 69 abordagem poliomial e matricial da sequêcia geeralizada de Fiboacci. A seguir, a aálise a priori, é feita uma aálise das situações didáticas, buscado descrever possíveis comportametos dos aluos, diate da resolução das situações-problema propostas. 4. Aálise a priori das Situações Didáticas As situações didáticas foram estruturadas como um cojuto de situações-problema orgaizadas, uma perspectiva histórica e evolutiva das represetações algébricas do MF. Dessa forma, esse cojuto aborda questões ieretes à classe dos PBCF, o que diz respeito à forma geeralizada e complexa da SF. Ou seja, as situações de esio, as represetações matriciais, a extesão para ídices iteiros e a Fórmula de Biet são exploradas para a classe dos PBCF. Nesse setido, este tópico, será descrito o que se espera as etapas de ação, formulação, validação e istitucioalização da TSD durate a resolução das situaçõesproblema. Tedo em vista que as situações-problema são elaboradas com efoque a TSD. Doravate, serão discutidas as situações-problema que compõem o questioário aplicado (Apêdice A). Figura Primeiros termos das sequêcias bivariadas poliomiais de Fiboacci e Lucas Fote: Asci & Gurel (0). No artigo cietífico de Asci & Gurel (0), pode-se observar os primeiros termos da sequêcia dos PBCF (Figura ). A partir de etão, será discutido o cojuto de situações didáticas. Nesse cotexto, são propostas algumas questões orteadoras, tal como, a situaçãoproblema (): De acordo com essa tabela, pede-se para verificar se existe alguma relação da

172 70 mesma com a sequêcia (0,,,, 3, 5, 8, 3,,...), caso compreeda que sim, explicá-la detalhadamete, em seguida, determie outros dos termos presetes a sequêcia dos PBCF. Na situação-problema (), a etapa de ação, o aluo deve assumir a resposabilidade de resolver o problema proposto. Assim, partir da aálise da Figura, espera-se que o aluo busque estabelecer uma relação etre as sequêcias 0,,,, 3, 5, 8, 3,,... e 4 (0,, ix, x² y, x³ i xyi, x 3 x² y y²,...), observado que cada termo da seguda sequêcia é um poliômio as variáveis x e y, além de exergar a relação de seus coeficietes com a primeira sequêcia. Assim, os aluos deverão partir da defiição do modelo otacioal de Fiboacci f, f f para um iteiro, para se obter uma relação de recorrêcia para os PBCF. Na situação de formulação, este mometo, deve ocorrer a troca de iformações etre o aluo e o meio orgaizado, ou seja, a liguagem usada habitualmete deve passar pelo processo de formalização. Para isso, se faz ecessário que os aluos se apropriem de ovos cohecimetos para elaborar argumetos, que posteriormete, possam ser validados. Dessa forma, dado cotiuidade a fase aterior, o aluo deve iserir a defiição f f f com, as duas variáveis x, y e a uidade imagiária i, procurado determiar a seguite recorrêcia: f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y), para, assumido f ( x, y) 0 e 0 f ( x, y). A fase de validação é caracterizada por ter como objetivo, covecer os iterlocutores de que os argumetos utilizados para a resolução do problema são válidos, além do mais, possibilita ao aluo provar ou refutar as cojecturas elaboradas, por meio de uma liguagem matemática mais apropriada. À vista disso, esta etapa, o aluo prosseguirá realizado algus cálculos a relação f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y) para, partido dos valores iiciais f ( x, y) 0 e 0 f (, ) x y. E, assim fialmete, o estudate deverá ecotrar algus dos termos da sequêcia dos PBCF. A istitucioalização acotece com a mediação do professor, que deve deixar explícita sua iteção, ao coferir as propriedades costruídas, a fim de idetificar, sistematizar e recohecer o saber costruído por meio da formalização e geeralização. Dessa maeira, quado o docete retoma posse do problema, deve-se ter codições de verificar que a classe

173 7 dos PBCF represeta uma geeralização da SF, a forma bivariada e complexa, obtida a partir da iserção das variáveis x, y e da uidade imagiaria i. A seguir, será discutida a represetação dos termos da sequêcia dos PBCF, a forma de determiate de uma matriz defiida por Asci & Gurel. Assim, tem-se a seguite situaçãoproblema (): Na Figura 3, tem-se uma matriz proposta por Asci & Gurel (0). Explique, com suas palavras, a fução e as propriedades dessa matriz, iclusive, seu comportameto para as ordes x, 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, etc. Além disso, cosidere o teorema det D ( x, y) f ( x, y), 0. x Dessa forma, a situação-problema (), a etapa de ação é um mometo, em que o aluo deve aalisar o comportameto da matriz proposta, através de sua costrução as ordes x, 3x3, 4x4, e assim por diate, a fim de ecotrar uma geeralização e defiir a matriz como tridiagoal. Na formulação, espera-se que o aluo calcule os determiates das matrizes, além disso, cosiga idetificá-los como elemetos da sequêcia dos PBCF e, assumido D (, ) 0 0 x y, estabelecer uma relação com o teorema det D ( x, y) f ( x, y), 0. x Figura 3 Matriz tridiagoal. Fote: Asci & Gurel (0). Cotiuado o raciocíio da etapa aterior, a fase de validação, o aluo deve relacioar o teorema D0 ( x, y) 0 det D ( x, y) x f( x, y), 0, à recorrêcia f (, ) x y ixf ( x, y) yf ( x, y), para, com os valores iiciais f ( x, y) 0 e f ( x, y), e a 0 partir deste, por idução matemática provar a veracidade do teorema. Desse modo, a istitucioalização, o docete deve ter argumetos que permitam ivestigar o comportameto tridiagoal da matriz, com origem a sua represetação geeralizada, assim como a idetificação dos termos da sequêcia dos PBCF, como resultado do cálculo do determiate

174 7 da matriz, servido assim como pressupostos para a validação do teorema D ( x, y) 0 det D ( x, y) f ( x, y), 0. 0 x Dado prosseguimeto, será euciada a seguite situação-problema (3): A Fórmula de Biet cohecida por f foi formulada por Jacques-Phillipe-Marie Biet ( ). Existe uma fórmula aáloga para a classe dos PBCF? Caso exista, deduzir a mesma. Cosidere a equação t² ixt y 0. Neste caso, o mometo de ação, a partir da Fórmula de Biet, o aluo deverá propor a expressão ( x, y) ( x, y) f( x, y) ( x, y) ( x, y) para 0 como uma Fórmula variate de Biet, assim como foi formulado, a situação-problema (), com recorrêcia em f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y), para, f ( x, y) 0 e f ( x, y). 0 com os valores iiciais Na formulação, o aluo deve determiar as raízes da equação característica ix 4 y x² ix 4 y x² t² ixt y 0, obtedo como resultados: ( xy, ) e ( xy, ), além disso, deve-se propor escrever a defiição f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y), para, em fução da Fórmula variate de Biet f ( x, y) ( x, y) ( x, y), ( x, y) ( x, y) para 0. Na fase de validação, partido da formulação elaborada, desevolvedo-a, espera-se que o aluo valide ( x, y) ( x, y) f( x, y), ( x, y) ( x, y) para 0, cosiderado o ídice, com a obteção de f ( x, y) ( x, y) ( x, y), ( x, y) ( x, y) para 0. Na situação de istitucioalização, fialmete, deve-se ter argumetos para se determiar uma Fórmula aáloga para a classe dos PBCF. Numa perspectiva histórica, apreseta-se a situação-problema (4): Baseado-se a tabela da Figura 4, ao comparar a colua da esquerda com a colua da direita, é possível iterpretar e sigificar uma perspectiva histórica-evolutiva da sequêcia cocebida por Leoardo Pisao em 0?

175 73 Na situação-problema (4), a etapa de ação, iterpretado a Figura 4, por meio da comparação etre as duas coluas, o aluo deverá observar que houve um levatameto bibliográfico do MF e sua respectiva extesão represetada por propriedades dos PBCF. Na formulação, o aluo deve compreeder a existêcia de um hiato histórico da SF, o que diz respeito a sua represetação geeralizada, por meio da classe de poliômios bivariados a sua forma complexa, assumido também represetações matriciais e por meio de expressões como fuções geradoras e a Fórmula variate de Biet, assim como sua extesão para ídices iteiros. O que caracteriza uma evolução histórica do MF. Figura 4 Quadro comparativo da SF com o modelo matemático dos PBCF. Fote: Alves & Catario (07). Desse modo, a validação é feita uma vertete histórica das represetações matemáticas para o MF, assim, espera-se que o aluo ote que a geeralização apresetada a

176 74 Figura 4, para a SF, ocorre iicialmete através da discussão dos PBCF, sedo essa represetação possível devido à iserção das variáveis x, y e da uidade imagiaria i as relações recorretes do MF, expressado-o em diferetes expressões matemáticas, proporcioado formas geeralizadas da SF, detro de um processo evolutivo. Com isso, a istitucioalização, pode-se formalizar que Leoardo Pisao modeliza a SF a partir da situação-problema sobre a descrição da reprodução dos coelhos, de ode se obtém a sequêcia 0,,,, 3, 5, 8, 3,,.... Assim, a situação discutida esta fase, permite fazer uma iterpretação uma perspectiva histórica do desevolvimeto evolutivo da SF, quato a sua represetação geeralizada por meio dos PBCF. Fialmete, ecerra-se o cojuto de situações didáticas com a discussão da seguite situação-problema (5): Argumete e deduza qualquer propriedade da sequêcia de Fiboacci e que possa ser relacioada com o modelo matemático dos PBCF. Justifique essa relação e cosidere a equação x² x 0. Na ação, o estudate deve comparar as duas coluas (Figura 4) e selecioar uma propriedade, a fim de eteder como é feita a geeralização das propriedades para os PBCF. Na fase seguite, supõe-se que a propriedade selecioada caracterize uma extesão para ídices iteiros. Assim, a fase de formulação, o aluo deve pesar em escrever as propriedades f ( ). f e f f( x, y) ( x, y) em fução da Fórmula de Biet e da sua fórmula ( y) variate respectivamete. Desse modo, o mometo de validação, espera-se que o aluo desevolva os cálculos para ídices iteiros, primeiramete, para a expressão f, a fim de se obter f ( ). f. Em seguida, de modo aálogo para ( x, y) ( x, y) f( x, y), ( x, y) ( x, y) ecotrado f f( x, y) ( x, y). ( y) Para isso, vale cometar que, assim como foi estudado a situação-problema (3) para a equação t² ixt y 0, também se deve determiar as raízes para de x² x 0, a fim de realizar possíveis simplificações. À vista disso, a istitucioalização, deve formalizar e sistematizar os argumetos para verificar que as propriedades f ( ). f, que é uma

177 75 extesão da SF, e f f( x, y) ( x, y), que é uma extesão dos PBCF, fazem parte do ( y) processo de geeralização da SF, o cotexto dos ídices iteiros. A seguir, tem-se a fase de experimetação, a qual serão explicadas como e ode foram aplicadas as situaçõesproblema, os sujeitos da pesquisa e quais métodos foram usados para a coleta de dados. 4.3 Experimetação A experimetação acoteceu o Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia do Ceará (IFCE) o campus Fortaleza, o curso de Liceciatura em Matemática a disciplia de HM, 3º semestre. A pesquisa cotou com a participação de sete aluos matriculados essa disciplia. Além do mais, a pesquisa tem o parecer aprovado pelo Comitê de Ética em Pesquisa (CEP) (ver Aexo C), dessa forma, foi dispoibilizado o Termo de Cosetimeto Livre e Esclarecido (TCLE) assiado pelos aluos participates (ver Apêdice B). Com isso, a aplicação acoteceu durate oito dias, em formas de aulas de uma hora e meia, realizadas como situações didáticas com efoque a TSD. As situações-problema foram propostas em uma lista de exercícios que foram discutidos em grupo e as estratégias de soluções foram descritas o quadro e/ou papel. Nos três primeiros dias, foram apresetados o MF e sua perspectiva histórica e evolutiva, evideciado o viés epistemológico-matemático da SF. E, os demais dias foram orgaizados da seguite forma: para cada dia, foi discutida uma situação-problema distita. Além disso, foram realizados algus procedimetos para a coleta de dados como: observações, registros fotográficos das produções escritas e gravações dos depoimetos dos aluos. No próximo tópico, serão aalisados os dados e resultados obtidos durate a aplicação da TSD, assim, serão apresetadas as descrições e observações mais relevates para a validação da pesquisa.

178 76 5 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS A aálise dos dados, coletados durate a experimetação desta pesquisa, é feita de acordo com a fase de aálise a posteriori da ED, tedo como efoque a TSD, e tedo em vista a validação itera desta pesquisa. Dessa forma, a seguir, serão descritas observações sigificativas atietes aos mometos de aplicação. Além do mais, vale recordar que um dos objetivos da pesquisa foi ivestigar as represetações geeralizadas da SF uma abordagem complexa. Nesse setido, a Figura 5 ilustra a esquematização do processo de complexificação da sequêcia geeralizada de Fiboacci discutido esta pesquisa. Figura 5 Complexificação da Sequêcia Geeralizada de Fiboacci. Fote: Elaboração da autora.

179 77 Figura 6 Números Gaussiaos de Fiboacci: plao de Argad-Gauss (Software GeoGebra). Fote: Elaboração da autora. Assim, a Figura 5 apreseta o processo histórico-evolutivo da SF em duas abordages: poliomial e do crescimeto dimesioal das represetações Fiboacciaas. Dessa forma, primeiramete, a sequêcia geeralizada poliomial de Fiboacci é desevolvida em quatro categorias cosecutivas: com uma variável, com duas variáveis, poliômios complexos e a variável complexa. Isso acotece com a iserção das variáveis e da uidade imagiária i a relação recursiva uidimesioal de Fiboacci. Além do mais, vale destacar que a iserção de uidades imagiárias, como i, j e k, proporcioa um crescimeto dimesioal das represetações geeralizadas da SF. Desse modo, a priori, a iserção da compoete imagiária i possibilita a represetação algébrica da SF, a forma complexa com os úmeros Gaussiaos de Fiboacci, e sua visualização geométrica bidimesioal (Figura 6). Os úmeros bidimesioais fudametam o estudo das relações recorretes tridimesioais uma perspectiva -dimesioal. E, permitem explorar os termos da SF uma álgebra de quatro dimesões (Quaterios) e, posteriormete, em oito dimesões (Octoios). Numa perspectiva da trasposição didática, cosiderado o modelo complexo de Fiboacci, vale ressaltar que os PBCF foram selecioados para serem trabalhados a fase

180 78 experimetal desta pesquisa, ou seja, em situações didáticas. Para isso, a TSD foi utilizada com o propósito de fudametar o mometo de experimetação da ED. Dessa forma, o próximo tópico serão discutidas as fases de ação, formulação, validação e istitucioalização da TSD relativas ao mometo de aplicação desta pesquisa. Essas etapas foram idetificadas durate a resolução das situações-problema, além disso, foi observado como o aluo pesa a partir de seus cohecimetos prévios e desevolve um raciocíio iferecial. Nesse setido, as atividades foram elaboradas para se trabalhar, de modo implícito, a validade de teoremas e propriedades ieretes à SF, a fim de oportuizar a compreesão do processo histórico-evolutivo das represetações geeralizadas da SF. De fato, durate as aplicações, foram apotados obstáculos epistemológicos e cogitivos. Os etraves cogitivos estão relacioados com a dificuldade que, iicialmete, os aluos tiveram de compreeder que o modelo otacioal de Fiboacci para os aturais possui represetações matriciais, poliomiais e complexas, além de poderem ser exploradas as variáveis real e complexa. E, os obstáculos epistemológicos causam as dificuldades de apredizagem. A seguir, serão detalhadas as aálises feitas a posteriori e discutida a validação itera desta pesquisa. 5. Aálise a Posteriori e Validação Itera da Pesquisa As situações didáticas foram desevolvidas com os aluos, através da proposição de atividades compostas por questões orteadoras, de modo que as questões istigassem os aluos a se empehar para resolvê-las, isto é, para a efetivação do cotrato didático. Ademais, as situações-problema abordam a costrução de teoremas e propriedades, além de possibilitar a compreesão do processo de complexificação do MF o cotexto da classe dos PBCF. Nesse setido, a discussão das situações-problema, são cosideradas algumas variáveis didáticas. Essas variáveis estão relacioadas com a maeira como as questões foram propostas e resolvidas. Assim, as situações-problema direcioam os aluos à compreesão de que os PBCF surgem com a iserção, a relação recorrete uidimesioal da SF, das variáveis e da uidade imagiária i. Assim, de iício, o MF origial foi apresetado aos aluos, desse modo, os estudates sabiam que a Fórmula de Biet é uma fórmula fechada para determiação dos termos da SF. Com isso, as fases de validação, das questões que evolviam a discussão de teoremas e propriedades, foram caracterizadas pelo uso do método de idução matemática, tedo em vista que é um método de demostração que faz parte do cohecimeto

181 79 prévio da turma. Por fim, isso possibilitou a discussão de uma Fórmula variate de Biet e a extesão para ídices iteiros dos PBCF. À vista disso, a realização didática é iiciada através da distribuição da lista de exercícios aos aluos, orietado-os a iteragir etre si para refletirem sobre quais elemetos serão ecessários para a resolução das situações-problema. E, assim, buscado sistematizar uma estratégia de resolução para, em seguida, formular argumetos que possam ser validados posteriormete. Nesse mometo, as discussões e costruções feitas pelos aluos são coletadas por meio de gravações de áudios e registro de images de suas produções. Desse modo, a situação-problema (), com o objetivo de estabelecer uma relação etre as sequêcias de Fiboacci e dos PBCF, além de determiar outros termos da sequêcia dos PBCF, as fases de ação e formulação, pode-se observar a Figura 7 que o aluo A estabeleceu uma relação etre as sequêcias 0,,,, 3, 5, 8, 3,,... e (0,, ix, 4 x² y, x³ i xyi, x 3 x² y y²,...), além de descrever a defiição do modelo otacioal de Fiboacci f, f f com iteiro, buscado obter a relação de recorrêcia f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y) para dos PBCF. Figura 7 Relação etre SF e SPBCF (aluo A, fases de ação e formulação). Fote: Dados da pesquisa.

182 80 A fim de validar sua formulação, os aluos A e A 4 realizaram algus cálculos descritos as Figuras 8 e 9, recorredo à relação f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y), para, e como resultado determiaram um termo da Sequêcia dos Poliômios Bivariados e Complexos de Fiboacci (SPBCF). Figura 8 Determiação de um termo da SPBCF (aluo A 4, fase de validação). Fote: Dados da pesquisa. Figura 9 Determiação de um termo da SPBCF (aluo A, fase de validação). Fote: Dados da pesquisa. Dado cotiuidade, a situação-problema (), é apresetada aos aluos uma matriz proposta por Asci & Gurel (0), assim, propõe-se aos aluos que expliquem as fuções e propriedades dessa matriz, iclusive seu comportameto para as ordes quadradas como x, 3x3, 4x4, e assim por diate, cosiderado o teorema det D ( x, y) f ( x, y), 0. Dessa x forma, tem-se a situação de ação registrada a Figura 0. Assim, como o aluo A, o aluo A 5 também classifica a matriz proposta como tridiagoal quado argumeta: Aluo A 5 : [...] Essa matriz proposta por esses estudiosos vão origiar os Poliômios Bivariados. A matriz diagoal é aquela que todos os elemetos que ão estão a diagoal pricipal são zero. Comparado aqui, essa tem três camadas como sedo três diagoais [...]. Nesse setido, esses dois aluos também estudaram o comportameto da matriz as ordes quadradas, tal fato pode ser observado as Figuras e.

183 8 Figura 0 Caracterização da matriz proposta por Asci & Gurel (0) como tridiagoal (aluo A, fase de ação). Fote: Dados da pesquisa. Figura Estudo do comportameto da matriz tridiagoal as ordes quadradas (aluo A, fase de ação). Fote: Dados da pesquisa. Figura Estudo do comportameto da matriz tridiagoal as ordes quadradas (aluo A 5, fase de ação). Fote: Dados da pesquisa. Assim, o mometo de formulação, descrito as Figuras 3 e 4, possibilitou os aluos A e A 4 argumetarem a possível idetificação do determiate das matrizes, como sedo uma represetação dos elemetos da sequêcia dos PBCF, a partir do mometo em que se assume D (, ) 0 0 x y, estabelecedo, assim, para 0, uma relação com o teorema det D ( x, y) f ( x, y). x

184 8 Figura 3 Idetificação do determiate das matrizes como sedo uma represetação dos elemetos da SPBCF (aluo A, fase de formulação). Fote: Dados da pesquisa. Figura 4 Idetificação do determiate das matrizes como sedo uma represetação dos elemetos da SPBCF (aluo A 4, fase de formulação). Fote: Dados da pesquisa. A validação dessa situação-problema ocorreu a partir do passo idutivo assumido pelo aluo A, registrado a Figura 5, seguido do uso da formulação (teorema) D0 ( x, y) 0 det D ( x, y) x f( x, y), 0, recorredo à f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y), para. De fato, pode-se ver, a seguir, as Figuras 6 e 7, que o aluo A cosegue por idução matemática provar a veracidade do teorema. Figura 5 Passo idutivo (aluo A, fase de validação). Fote: Dados da pesquisa. Figura 6 Demostração de D0 ( x, y) 0 det D ( x, y) x f( x, y), 0, por idução matemática (aluo A, fase de validação). Fote: Dados da pesquisa.

185 83 Figura 7 Demostração de D0 ( x, y) 0 det D ( x, y) x f( x, y), 0, por idução matemática iserção do passo idutivo (aluo A, fase de validação). Fote: Dados da pesquisa. À vista disso, ao se aalisar a situação-problema (3), pode-se verificar que as discussões feitas as situações ateriores, permitiram que os aluos passassem a possuir argumetos para compreeder que a Fórmula de Biet, cohecida por f, admite uma fórmula aáloga para a classe dos PBCF. Assim, a fase da ação, os aluos propuseram a expressão ( x, y) ( x, y) f( x, y), ( x, y) ( x, y) para 0, como sedo uma fórmula variate de Biet para os PBCF, a partir de etão, formulou-se a hipótese de escrever a defiição f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y), para, em fução da fórmula variate proposta, cosiderado as raízes ix 4 y x² ( xy, ) e ix 4 y x² ( xy, ) da equação característica t² ixt y 0, para possíveis simplificações a fase de validação. No ultimo mometo, a fim de validar a fórmula variate de Biet, partido da formulação elaborada e desevolvedo-a, os aluos validaram sua veracidade, trabalhado com o ídice, cosequetemete, obtiveram f ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) 0. Além do mais, todos os aluos participaram dessa situação, o etato, é válido apresetar aqui a demostração do aluo A por se apresetar mais elaborada. Veja: para

186 84 Figura 8 Demostração da Fórmula Variate de Biet parte (aluo A ). Fote: Dados da pesquisa. Figura 9 Demostração da Fórmula Variate de Biet parte (aluo A ). Fote: Dados da pesquisa.

187 85 Na situação-problema (4), ao iterpretar a Figura 4, em busca de uma perspectiva histórica e evolutiva da sequêcia cocebida por Leoardo Pisao em 0, por meio da comparação etre as duas coluas, a Figura 30, o aluo A 3 relatou que houve um levatameto bibliográfico do MF e sua respectiva extesão com os PBCF. Cotiuado a fase de formulação, pode-se verificar que o aluo A (Figura 3) idetificou a existêcia de um hiato histórico as pesquisas sobre as represetações geeralizadas da SF. Além do mais, a fase de validação, o aluo A 5 compreedeu uma perspectiva histórica e evolutiva do MF, a partir da iserção das variáveis x, y e da uidade imagiária i, além de cosiderar os PBCF com uma extesão da SF a sua forma complexa. Isso pode ser observado a seguir a fala de A 5. Aluo A 5 : [...] a fórmula da primeira é muito básica, elemetar. Na seguda ele aperfeiçoou o que já existia, acrescetou as variáveis, agora dá pra trabalhar com poliômios a partir dessas fórmulas. Na última liha, ele já trabalhava com poliômios só que aí o Fiboacci, ele vai trabalhar os complexos. Sempre tedo uma extesão [...]. Figura 30 Iterpretação histórica e evolutiva da SF (aluo A 3, fase de ação). Fote: Dados da pesquisa. Figura 3 Hiato histórico os estudos da SF (aluo A, fase de formulação). Fote: Dados da pesquisa. A situação-problema (5) foi uma proposta para se argumetar e deduzir qualquer propriedade da SF, relacioado-a com a sequêcia dos PBCF. Desse modo, baseados a

188 86 tabela da Figura 4, os aluos decidiram ivestigar algumas propriedades, detre as quais se destaca f ( ). f e f f( x, y) ( x, y). ( y) Nesse setido, como partida de ação, seguida da formulação e cosiderado o fato de já ter discutido a situação-problema (3) que, a fórmula de Biet f possui a ( x, y) ( x, y) seguite fórmula variate: f( x, y) 0, os aluos formularam a ( x, y) ( x, y) hipótese de se escrever as propriedades f ( ). f e f f( x, y) ( x, y) ( y) em fução da Fórmula de Biet e da sua fórmula variate respectivamete. A demostração feita pelos aluos, para ídices egativos dessa propriedade caracteriza a fase de validação dessa situação. A seguir, pode-se observar as descrições de algus aspectos das fases de ação, formulação e validação as Figuras 3, 33, 34 e 35. Figura 3 Fórmula de Biet (aluo A 4, fase de ação). Fote: Dados da pesquisa. Figura 33 Fórmula de Biet e sua variate (aluo A 4, fase de ação). Fote: Dados da pesquisa.

189 87 Figura 34 Fórmula variate de Biet (aluo A, fase de formulação). Fote: Dados da pesquisa. Figura 35 Fórmula variate de Biet (aluo A 4, fase de validação). Fote: Dados da pesquisa. Além do mais, a partir da validação de f f( x, y) ( x, y), o aluo A 5 verificou ( y) sua descrição para casos particulares, como pode ser visto a Figura 36. Veja: Figura 36 Verificação de f f( x, y) ( x, y) ( y) para casos particulares (aluo A 5 ). Fote: Dados da pesquisa

190 88 Tabela 7 TSD: Categorização dos mometos de resolução das situações-problema. Situação-problema () Ação Estabelecimeto de uma relação etre a SF e SPBCF. Costrução da relação recorrete: Formulação f f f f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y),. Validação Determiação dos termos da SPBCF. Istitucioalização Geeralização dos PBCF como modelo de complexificação da SF. Situação-problema () Ação Idetificação da matriz D ( x, y ) x como tridiagoal e complexa. Recohecimeto dos determiates das matrizes D ( x, y ) x, com Formulação, como represetação dos termos da SPBCF. Demostração por idução matemática da relação: Validação det D ( x, y) f ( x, y) com 0. Istitucioalização Ação Formulação Validação Istitucioalização Ação Formulação Validação Istitucioalização Ação Formulação Validação Istitucioalização x Geeralização do teorema det D ( x, y) x f( x, y) com 0 para a classe dos PBCF. Situação-problema (3) Escrita da Fórmula de Biet com a iserção das variáveis, tal que: ( x, y) ( x, y) f( x, y) ( x, y) ( x, y) Escrita da relação f ( x, y) ixf ( x, y) yf ( x, y) em fução da Fórmula de Biet, tal que se teha: ( x, y) ( x, y) f ( x, y) ( x, y) ( x, y) Demostração por idução matemática da relação: ( x, y) ( x, y) f( x, y) ( x, y) ( x, y) Formalização e Geeralização da Fórmula Variate de Biet ( x, y) ( x, y) f( x, y), para a classe dos PBCF. ( x, y) ( x, y) Situação-problema (4) Comparação algébrica etre as propriedades da SF e SPBCF. Idetificação de hiatos históricos as pesquisas sobre a SF. Compreesão de um processo histórico e evolutivo do MF. Formalização do modelo complexificado de Fiboacci com a geeralização dos PBCF. Situação-problema (5) Seleção de duas propriedades: uma da SF e a outra da SPBCF. Verificação da validade de: f ( ). f. f( x, y) Demostração por idução matemática de: f( x, y). ( y) Formalização de que as sequêcias de Fiboacci e dos PBCF admitem extesão para ídices iteiros. Fote: Elaboração da autora.

191 89 Nos parágrafos ateriores, foi feita uma categorização dos mometos de resolução das situações-problema. Isso é esquematizado a Tabela 7. Assim, vale cometar que apesar da ED admitir dois tipos de validação: itera e extera. Todavia, a validação desta pesquisa é feita iteramete, com foco as situações didáticas. Ou seja, além desta pesquisa ter evolvido um úmero pequeo de participates (aluos), são aalisados apeas as produções e o desempeho dos estudates que foram observados esta pesquisa, ão havedo comparação com produções exteras a esta aplicação. Assim, a validação itera desta pesquisa, é feita uma comparação etre as fases de aálise a priori e a posteriori com base os dados coletados durate a realização didática. Em outras palavras, a validação itera desta pesquisa é uma cosequêcia da aálise a posteriori dos dados coletados, buscado comparar o que se foi aalisado a priori com os resultados obtidos a experimetação. Além do mais, a fase de istitucioalização da TSD tem muita relevâcia a validação itera desta pesquisa, pois é esta etapa, em que se evidecia o êxito obtido o processo do etedimeto da costrução dos coceitos matemáticos trabalhados em sala de aula. Todavia, vale cometar que durate a resolução das situações-problema, surgiram algus obstáculos epistemológicos e cogitivos típicos de um processo de apredizagem. Nesse cotexto, foi observado que algus aluos maifestaram dificuldade de lidar com a demostração matemática. Isso é evideciado o seguite argumeto de um aluo: ão sei usar idução matemática. Além disso, outro aluo afirma: pra mim só fica claro que pode usar idução matemática se tiver o euciado demostre por idução. Esses obstáculos foram superados o mometo da troca de iformação etre os aluos e com a iterveção do professor. Dessa forma, a Tabela 07, foram apresetados os resultados que satisfazem a predição feita a aálise a priori. Nessa perspectiva, a Tabela 07, pode-se observar a istitucioalização das relações e dos coceitos abordados as situações didáticas. Dessa forma, a primeira situação-problema, os aluos idetificaram a relação etre os termos da SF e da SPBCF, e coseguiram determiar os termos da SPBCF. Isso permitiu geeralizar os PBCF como modelo de complexificação da SF. Na seguda situação-problema, foi verificado o comportameto tridiagoal da matriz proposta por Asci & Gurel (0). E, avaliado o determiate dessa matriz, por um processo idutivo, coseguiu-se geeralizar um teorema, o qual descreve que o determiate dessas matrizes tridiagoais geram os termos da sequêcia dos PBCF.

192 90 Cotiuado a istitucioalização, a situação-problema (3), os estudates compreederam que, assim como a SF, os PBCF também satisfazem a uma fórmula fechada. Com isso, foi possível formalizar e geeralizar uma fórmula variate de Biet para a classe dos PBCF. Na situação-problema (4), ocorreu a formalização do modelo complexificado de Fiboacci com a geeralização das propriedades ieretes aos PBCF, além disso, é visto que isso acotece com a iserção de variáveis e da uidade imagiária i. Logo, tora-se perceptível o processo histórico-evolutivo da SF. Fialmete, a istitucioalização da quita situação-problema foi marcada pela discussão do MF, através de suas represetações com ídices iteiros para a SF e para os PBCF. Por fim, a discussão dos dados coletados esta pesquisa permitiu compreeder que os objetivos desta pesquisa foram alcaçados, assim, acotece uma validação itera desta pesquisa. Essa validação iicia-se com a aálise, feita as aálises prévias da ED, do campo epistêmico-matemático ierete ao modelo complexo de Fiboacci. O que permitiu alcaçar os dois primeiros objetivos específicos desta pesquisa. E, em seguida, a validação se efetiva a situação didática, evideciado-se com a istitucioalização da TSD. O que permitiu alcaçar os dois últimos objetivos específicos. É relevate otar que os dois objetivos específicos iiciais foram relacioados aos dois últimos objetivos específicos, através da trasposição didática (objetivo geral) realizada, iicialmete, a fase de cocepção e aálise a priori da ED. Além do mais, pode-se compreeder que foi oportuizado aos professores de Matemática em formação iicial, através de uma abordagem com o viés didático da TSD, o desevolvimeto de um raciocíio iferecial e de uma cocepção epistemológica do esio de HM. Isso valida a hipótese didática levatada. Além disso, a seguir, tem-se algus depoimetos de aluos. Aluo A 6 : [...] agora a gete vê que HM ão é só semiário sobre a vida dos matemáticos. Mas, também é a criação de propriedades e teoremas que devem ser demostrados matematicamete. Novas fórmulas fazem a Matemática evoluir. Isso faz parte da História da Matemática [...]. Aluo A 7 : [...] o modelo de Fiboacci tá mais do que evoluído. Dos úmeros para os poliômios. Dos aturais para os complexos. Mas, essa evolução ão é vista em toda aula de HM. Até porque os livros ão cotam a atual história da Matemática. Se preocupam mais com os matemáticos, que em existem mais, do que com os teoremas ovos que estão surgido. Com isso, ficou etedido que a HM têm uma relação itríseca com a epistemologia das relações matemáticas, detre as quais podem ser destacadas as recorrêcias Fiboacciaas

193 9 complexas, que podem ser exploradas o cotexto do esio de HM. De fato, algus aluos maifestaram a compreesão dessa cocepção. Vale recordar que esta pesquisa foi desevolvida a partir da trasposição didática do modelo complexificado de Fiboacci. O que articulou elemetos didáticos, cogitivos e epistemológicos, os quais são pressupostos da ED costruída esta pesquisa.

194 9 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Esta pesquisa apresetou uma abordagem epistemológica que efatiza o desevolvimeto algébrico das relações recorretes ieretes à sequêcia geeralizada de Fiboacci. Nessa perspectiva, esta pesquisa foi iiciada o campo epistêmico-matemático que abrage as formas complexas das relações Fiboacciaas, a partir da iserção de uidades imagiárias e de variáveis. Esse processo foi deomiado de complexificação do MF e idica uma evolução histórica, com êfase o desevolvimeto epistemológico-matemático, da SF. O estudo do modelo complexificado de Fiboacci é realizado através da aálise de artigos específicos da literatura da Matemática Pura. Logo, ão é comum discutir os coceitos e as propriedades complexas oriudas da SF, presetes esses artigos, um curso de Liceciatura em Matemática. Nesse repertório matemático, foi selecioada a classe dos PBCF como um coteúdo a ser trasposto para o cotexto didático-cogitivo. Com isso, esta pesquisa foi aplicada a disciplia de HM, tedo em vista que o curso de Liceciatura em Matemática oferece, em sua matriz curricular, a disciplia de HM, a qual permite discutir a evolução dos coceitos e das relações matemáticas. Além do mais, os livros clássicos de HM fazem referêcia ao modelo recursivo uidimesioal de Fiboacci. Todavia, há uma resistêcia eorme por parte de aluos e professores quato ao estudo de relações matemáticas e sua demostração as aulas de HM. Essa resistêcia é cosequêcia da cocepção de que a HM abrage apeas a biografia dos matemáticos e a descrição do período histórico em que as defiições foram estabelecidas e as relações matemáticas foram desevolvidas. Isso é uma cocepção equivocada que se reflete a matriz curricular do curso de Liceciatura em Matemática, em que a disciplia de HM ão exige prérequisitos para cursá-la. Assim, cabe a seguite reflexão: como se questioar a validade de propriedades e teoremas ou propor extesões geeralizadas dessas relações se os aluos podem ter um cohecimeto prévio matemático escasso? Além do mais, essa cocepção descrita ateriormete evidecia o descohecimeto histórico da Matemática atual e, assim, egligecia o atual processo evolutivo epistemológico-matemático de ovas relações matemáticas. Isso pode ser observado os livros usados como referêcias as aulas de HM, tais livros ão apresetam discussões de propriedades matemáticas recetes e atuais. Vale cometar que a costrução do repertório de relações matemáticas superou determiados obstáculos epistemológicos. Isso sigifica que os

195 93 coceitos e as relações matemáticas cohecidas atualmete foram criados a partir do questioameto de sua validade. Assim, esta pesquisa, pode-se observar isso quado se aalisa o processo de surgimeto dos Quaterios. Nesse setido, pode-se compreeder que os Quaterios surgiram como uma extesão dos úmeros complexos para quatro dimesões. E, essa extesão surgiu quado foi questioada a geeralização dos úmeros complexos bidimesioais para três dimesões, através dos tripletos. À vista disso, por apresetar pressupostos didáticos, cogitivos e epistemológicos, a ED, em complemetaridade com a TSD, foi assumida como aporte teórico que orteou o percurso metodológico desta pesquisa (ver Apêdice C). Isso cotribuiu, de modo geral, o que diz respeito à Matemática, para a compreesão do MF em suas diferetes represetações complexas, as quais foram categorizadas em dois grupos: uma abordagem poliomial e, outro, uma perspectiva de crescimeto dimesioal (ver Apêdice D). Dessa forma, vale destacar que o crescimeto dimesioal Fiboacciao é uma cosequêcia da iserção de uidades imagiárias, assim, são destacadas as relações recorretes bi, tri e -dimesioais. E, posteriormete, a SF foi explorada as Álgebras (ver Apêdice E) quateriôica e octoiôica, buscado uma geeralização dos úmeros Gaussiaos de Fiboacci em quatro e oito dimesões respectivamete. O que permitiu atigir os dois primeiros objetivos específicos desta pesquisa. Todavia, o cotexto da microegeharia didática e cosiderado os efeitos da trasposição didática, é relevate observar que o MF foi estudado em situações de esio através dos PBCF discutidos por meio da proposição de situações-problema, as quais oportuizaram a compreesão do processo histórico-evolutivo da SF uma abordagem poliomial, a partir da iserção de variáveis e da compoete imagiária i. Isso evidecia que os dois últimos objetivos específicos ieretes ao cotexto didático-cogitivo desta pesquisa foram alcaçados. Fialmete, esta pesquisa oportuizou aos aluos, professores em formação iicial, a ampliação de seu repertório de cohecimetos relativo às relações matemáticas oriudas da sequêcia geeralizada de Fiboacci. Além disso, possibilitou o desevolvimeto de uma cocepção epistemológico-matemática do esio de HM. Dessa forma, esse processo foi desevolvido através da trasposição didática fudametada em uma teoria de esio específica para a DM, que o caso desta pesquisa, destacou-se a TSD. Ao fim desta pesquisa, espera-se que esta dissertação sirva de paradigma para outras pesquisas que buscam explorar,

196 94 com o viés didático da TSD, outros modelos matemáticos ão triviais, isto é, ão estudados um curso de Liceciatura em Matemática.

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203 APÊNDICE A QUESTIONÁRIO: SITUAÇÕES-PROBLEMA 0

204 0

205 03

206 APÊNDICE B TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO (TCLE) 04

207 05

208 06

209 07 APÊNDICE C ESTRUTURA DA PESQUISA: ENGENHARIA DIDÁTICA E TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS ESTRUTURA DA PESQUISA ENGENHARIA DIDÁTICA

210 08

211 09 TEORIA DE ENSINO Fote: Elaboração da autora.

212 0 APÊNDICE D CAMPO EPISTÊMICO-MATEMÁTICO: COMPLEXIFICAÇÃO DO MODELO DE FIBONACCI CAMPO EPISTÊMICO-MATEMÁTICO Fote: Elaboração da autora.

213 APÊNDICE E DEFINIÇÕES INERENTES À ÁLGEBRA Defiição Um Espaço Vetorial E é um cojuto, cujos elemetos são chamados vetores, o qual estão defiidas duas operações: a adição, que a cada par de vetores u, ve faz correspoder Fote Espaço Vetorial Álgebra Liear Álgebra um ovo vetor u v E, chamado a soma de u e v, e a multiplicação por um úmero real, que a cada úmero e a cada vetor chamado o produto de v E faz correspoder um vetor v, ou v, satisfazer, para quaisquer, por v. Essas operações devem e u, v, we, as codições abaixo, chamadas os axiomas de espaço vetorial: Comutatividade: u v v u ; Associatividade: ( u v) w u ( v w ) e ( ) v ( v ); Vetor ulo: Existe um vetor 0E, chamado vetor ulo, ou vetor zero, tal que v 0 0 v v E ; Iverso aditivo: Para cada vetor v E existe um vetor ve, chamado o iverso aditivo, ou o simétrico de v, tal que v v v ( v ) 0; Distributividade: ( ) v v v e ( u v) u av ; Multiplicação por : vv. A Álgebra Liear é o estudo dos espaços vetoriais e das trasformações lieares etre eles. Além disso, esse estudo abrage matrizes e formas quadráticas. Uma Álgebra A será um espaço vetorial que está muido com uma aplicação biliear m: AA A chamada multiplicação e um elemeto diferete de zero A chamado de uidade de tal forma que m(, a) m( a,) a. Uma Álgebra A é fiitamete gerada sobre quado existe um subcojuto fiito X a,, a k A tal que todo elemeto de A pode ser obtido através de um úmero fiito de somas, multiplicações de elemetos de X e/ou multiplicações por escalares de, isto é, se u A, etão, u,, iai a i s ode a X e. ij i Lima (06) Lima (06) Satos (06)

214 Álgebra Uma Álgebra A é uma Álgebra com divisão, se dado a, b A com ab 0, etão a 0 ou b 0. Equivaletemete, A é uma Álgebra de divisão se as operações de multiplicação à esquerda e à direita por qualquer elemeto diferete de zero são ivertíveis. Satos (06) Uma Álgebra de divisão ormada é uma Álgebra com divisão que segue as codições de orma. Ou seja, uma Álgebra com divisão é dita ormada se é uma Álgebra A e também é um espaço vetorial ormado com ab a b. Fote: Elaboração da autora.

215 3 ANEXO A MATRIZ CURRICULAR DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA (IFCE CAMPUS FORTALEZA)

216 4

217 5 ANEXO B PROGRAMA DE UNIDADE DIDÁTICA (PUD): DISCIPLINA DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA (IFCE CAMPUS FORTALEZA)

218 6

219 ANEXO C PARECER DO COMITÊ DE ÉTICA EM PESQUISA (CEP) 7

220 8

221 9