Aul 9 A integrl de Riemnn: noções iniciis Objetivos Apresentr o processo de qudrtur de certs figurs plns como motivção pr o cálculo de áre por meio de integris. Estudr s noções de integrl definid e de integrl indefinid. Clculr integris definids usndo o teorem fundmentl do Cálculo. Um dos problems clássicos d Geometri é o do Cálculo de áres que, lém de sus plicções prátics, gerou importntes questões n Mtemátic, não pens ligdos à Geometri como tmbém outros rmos d Mtemátic. Esss questões se originrm no chmdo problem d qudrtur o qul consiste em, dd um figur qulquer, determinr, usndo pens régu e compsso, um qudrdo que possu mesm áre d figur dd. Este problem é solúvel, usndo métodos elementres, qundo figur é um polígono, ou té mesmo é um figur com ldos curvilíneos, como éo cso ds lúnuls de Hipócrtes, que serão desenvolvidos seguir, à guis de ilustrção e motivção. 1 Qudrturs A qudrtur do retângulo Pr fcilitr o entendimento fçmos, por pssos, qudrtur do retângulo. Consideremos um retângulo rbitrário ABCD, conforme figur 9.1. 189
190 Cálculo - ul 9 UFPA Fig. 9.1 Construmos, usndo pens régu e compsso, um qudrdo com áre igul à do retângulo ddo. Descrevmos o processo psso psso. Psso 1. Usndo um régu, prolongue, pr direit, o ldo AD. Psso 2. Centre o compsso em D, e com bertur té C, mrque o ponto E, isto é, DC = DE. Psso 3. Usndo régu e compsso, determine o ponto médio F do segmento AE. Psso 4. Centre o compsso em F e, com bertur FE = AF, constru o semicírculo como n figur 9.1. Psso 5. Usndo régu e compsso, trce um perpendiculr o segmento AE, pssndo por D, té encontrr o ponto G pertencente o semicírculo construído no Psso 4. Psso 6. Constru, com régu e compsso, o qudrdo GHID. Afirmmos que áre do retângulo ABCD é igul àáre do qudrdo GHID. De fto, Áre ( ABCD) = AD DC = AD DE = ( + b) ( b) = 2 b 2 = c 2 = Áre ( GHID) em que, b e c estão representdos n figur 9.1. A qudrtur do triângulo Consideremos o triângulo ABC, como n figur 9.2().
UFPA Cálculo - ul 9 191 Fig. 9.2() Fig. 9.2(b) Fçmos, como no cso nterior, qudrtur deste triângulo. Psso 1. Constru perpendiculr o ldo BC, pssndo pelo vértice A e intersectndo BC no ponto D. Psso 2. Determine o ponto médio E do segmento AD (ltur reltiv o ldo BC). Psso 3. Constru o retângulo FGHI de modo que FG = BC e FI = DE. Vej figur 9.2(b). Afirmmos que áre do triângulo ABC é igul à do retângulo FGHI. Com efeito, Áre ( ABC) = 1 BC AD 2 = BC AD 2 = BC DE = FG FI = Áre FGHI). Como prendemos, com qudrtur do retângulo, prtir dqui se pode construir qudrtur do triângulo. Pr não nos longrmos mis nest introdução, não fremos qudrtur de um polígono qulquer. A qudrtur d lúnul Nos exemplos cim, s qudrturs form efetuds usndo pens Mtemátic elementr. No entnto, qundo pssmos pr outrs figurs curvilínes, como o círculo ou prábol, s técnics té então conhecids revelm-se insuficientes. Foi Arquimedes o primeiro mtemático vislumbrr um método que contornv s dificulddes d Mtemátic de seu tempo pr fzer qudrtur de figurs curvilínes. Sus idéis, que continhm o gérmen do Cálculo Integrl, form inicilmente usds pr clculr áre de um setor d prábol. No lingujr moderno, o
192 Cálculo - ul 9 UFPA procedimento de Arquimedes está contido no primeiro exemplo dest ul. Antes, fçmos qudrtur de um Lúnul de Hipócrtes. Ao que prece, o primeiro mtemático clculr áre ext de um figur delimitd por curvs foi Hipócrtes de Chios, o mis fmoso mtemático grego do século V.C. Antes de efeturmos qudrtur d Lúnul, estbeleçmos seguinte proposição. Proposição 1. Segmentos circulres semelhntes estão n mesm rzão que os qudrdos de sus bses. Tl proposição tmbém é tribuíd Hipócrtes de Chios. Consideremos os segmentos circulres semelhntes conforme mostrdos, respectivmente, ns figurs 9.3() e 9.3(b). Fig. 9.3() Fig. 9.3(b) Designndo sus áres respectivs por S 1 e S 2 teremos, de cordo com Proposição 1, que S 1 = AB2 S 2 A B. 2 Pssemos à qudrtur de um Lúnul como feito por Hipócrtes de Chios. Construmos seguinte Lúnul, conforme figur 9.4. Fig. 9.4
UFPA Cálculo - ul 9 193 Consideremos o segmento AB cujo ponto médio é O. Trcemos o círculo de centro O e rio OB. Construmos o diâmetro do círculo perpendiculr AB e designemos sus extremiddes por C e D, conforme figur 9.4. Construmos o setor circulr centrdo em C e de rio AC, de cordo com figur 9.4, e que intersect o diâmetro CD no ponto E. Consideremos Lúnul AEBD. Proposição 2. A Lúnul AEBD é qudrável. Demonstrção. Designemos por S 1 áre de cd um dos dois segmentos circulres d circunferênci ACBD determindos pelos segmentos de rets AD e DB. PorS 2 denotemos áre d figur limitd pelo rco AEB e pelos segmentos AD e DB, epors 3 áre d região limitd pelo rco AEB e pelo diâmetro AB. A fim de usrmos Proposição 1 devemos observr que os segmentos circulres ABE e quele sobre circunferênci ACBD determind pelo segmento AD (ou DB) são semelhntes. Portnto, designndo por r o rio d circunferênci pssndo pelos pontos A, C, B e D, tem-se S 1 = ( 2r) 2 = 1 S 3 (2r) 2 2 o que implic S 1 = S 3 2. Dí, segue-se que Áre d Lúnul AEBD = 2S 1 + S 2 = S 2 + S 3 = Áre ( ABD) = 2r2 2 = r 2. que é extmente áre do qudrdo OBFC, conforme mostrdo n figur 8.4, o que conclui demonstrção de que Lúnul em estudo é qudrável. Muito embor o procedimento usdo por Hipócrtes de Chios sej extremmente elegnte e critivo, ele não se plic outrs figurs de ldos curvilíneos, como é o cso do círculo. Prov-se que não se pode efetur qudrtur de círculos usndo-se pens régu e compsso. Pr tis tipos de figurs fz-se necessário introduzir um método que envolve um processo de limite, cujs origens remontm Arquimedes, por meio de um técnic chmd Método de Exustão usd por ele em su obr A Qudrtur d Prábol 1. Remetemos o leitor o pêndice dest ul em 1 Qudrture of the Prbol, Gret Books of Western World, Vol. 10, pp. 527-537.
194 Cálculo - ul 9 UFPA que se mostr qudrtur d prábol de um modo semelhnte o que fezosábio de Sircus. O procedimento inugurdo por Arquimedes deu origem o chmdo Cálculo Integrl, cuj essênci será ilustrd nos dois exemplos seguir. Exemplo 88. Consideremos função f(x) =x, pr 0 x 1, e suponhmos que se queir clculr áre d região bixo do gráfico de f e cim do eixo ox, pr 0 x 1. Vide figurs 9.5. Fig. 9.5() Fig. 9.5(b) Fig. 9.5(c) Fig. 9.5(d) Inicilmente fçmos um proximção d figur por meio de retângulos. A prtir dqui o leitor deverá redobrr tenção fim de preender essênci do método que, muito embor estej sendo plicdo um cso específico, é bstnte gerl. Inicilmente, subdividmos o intervlo [0, 1] em n subintervlos de comprimentos iguis. Portnto, [0, 1] ficrá subdividido nos intervlos [ 0, 1 ] [ 1, n n, 2 ] [ n 1,..., n n, n ]. n A seguir, construmos os retângulos, conforme indicdo ns figurs 9.5, d seguinte mneir: Primeiro Retângulo. O primeiro retângulo tem como bse o intervlo [0, 1 ] e ltur f( 1 )= 1.Dí, segue-se que su áre é dd por n n n S 1 = 1 n 1 n = 1 n 2. Segundo Retângulo. O segundo retângulo tem como bse o intervlo [ 1, 2 ] e como ltur f( 2 ). Dí, segue-se que su áre é dd por n n n S 2 = 1 n 2 n = 2 n 2. i-ésimo Retângulo. O i-ésimo retângulo tem como bse o intervlo [ i 1, i ] e como ltur f( i )= i. Portnto, su áre é dd por n n n n S i = 1 n i n = i n 2.
UFPA Cálculo - ul 9 195 [ n 1 n n-ésimo Retângulo. O n-ésimo retângulo tem como bse o intervlo, 1] e como ltur f(1) = 1 = n. Portnto, su áre é dd por n S n = 1 n n n = n n. 2 Aáre totl A n desses retângulos é A n = S 1 + S 2 +...+ S i +...+ S n = 1 n + 2 2 n +...+ i 2 n +...+ n 2 n. 2 que pode ser reescrit como Usndo o fto de que teremos A n = 1 (1+2+...+ i +...+ n). n2 1+2+...+ i +...+ n = A n = 1 n(n +1) n2 2 = 1 2 n(n +1) 2 [ 1+ 1 ]. n Anlise figur e observe que o vlor de S proxim, por excesso, áre procurd. À medid que umentmos o vlor de n o erro cometido n proximção diminui, de modo que o vlor será exto qundo fizermos n +. Conseqüentemente, designndo por A áre ser determind, teremos [ 1 A = lim 1+ 1 ] = 1 n + 2 n 2 O ponto crucil ser observdo é que no processo do cálculo d áre usmos como ingrediente básico noção de limite, que somente começou ser desenvolvido com o dvento do Cálculo e que não er conhecido dos Gregos Antigos. Adintndo um pouco notção: o processo finl do procedimento cim é designdo por 1 xdx = 1 2. 0 Exemplo 89. Consideremos função f(x) =x 2 com x restrito o intervlo [ 1, 1]. Seu gráfico é o setor de um prábol conforme figur 9.6(). Nosso problem consiste em determinr áre d região OAB. Em virtude d simetri do gráfico é suficiente clculr áre d região OAC e multiplicá-l por dois. Inicilmente clculemos áre d figur OAD, que é região bixo do gráfico de f, conforme figur 9.6(b), com x restrito o intervlo [0, 1].
196 Cálculo - ul 9 UFPA Inicilmente, subdividmos o intervlo [0, 1] em n subintervlos de comprimentos iguis. Portnto, [0, 1] ficrá subdividido nos intervlos [ 0, 1 ] [ 1, n n, 2 ] [ n 1,..., n n, n ] n =1. A seguir, construmos os retângulos, conforme indicdo ns figurs 9.7, d seguinte mneir: Fig. 9.7() Fig. 9.7(b) Fig. 9.7(c) Fig. 9.7(d) Primeiro Retângulo. O primeiro retângulo tem como bse o intervlo [0, 1 n ] e ltur f( 1 n )= 1 n 2.Dí, segue-se que su áre é dd por S 1 = 1 n 1 n 2 = 1 n 3. Segundo Retângulo. O segundo retângulo tem como bse o intervlo [ 1, 2 ] e como ltur f( 2 22 )=. Dí, segue-se que su áre é dd n n n n 2 por S 2 = 1 n 22 n = 22 2 n. 3 i-ésimo Retângulo. O i-ésimo retângulo tem como bse o intervlo [ i 1, i ] e como ltur f( i i2 )=. Portnto, su áre é dd por n n n n 2 S i = 1 n i2 n 2 = i2 n 3.
UFPA Cálculo - ul 9 197 n-ésimo Retângulo. O n-ésimo retângulo tem como bse o intervlo [ n 1 n2, 1] e como ltur f(1) = 1 =. Portnto, su áre é dd por n n 2 S n = 1 n n2 n 2 = n2 n 3. Aáre totl A n desses retângulos é A n = S 1 + S 2 +...+ S i +...+ S n = 1 n + 22 i2 n2 +...+ +...+ 3 n3 n3 n. 3 que pode ser reescrit como Usndo o fto de que A n = 1 n 3 (12 +2 2 +...+ i 2 +...+ n 2 ). 1 2 +2 2 +...+ i 2 +...+ n 2 = 2n3 +3n 2 + n 6 edí A n = 1 n 2n3 +3n 2 + n = 1 3 6 3 + 1 2n + 1 6n. 2 Anlisemos s figurs 9.7 e observemos que o vlor de S proxim, por excesso, áre procurd. À medid que umentmos o vlor de n, o erro cometido n proximção diminui, de modo que o vlor será exto qundo fizermos n +. Conseqüentemente, designndo por A áre d figur ODA, representd n figur 9.6(b), teremos ( 1 A = lim n + 3 + 1 2n + 1 ) = 1 6n 2 3 Dí áre totl A p do segmento d prábol é A p =2 (1 1 3 )=2 2 3 = 4 3. Usndo notção como no exemplo nterior, teremos 1 0 x 2 dx = 1 3. 2 Áre sob um curv: o cso gerl Sej y = f(x), x b um função contínu e não-negtiv no intervlo fechdo [, b]. A áre sob curv que é o gráfico d função y = f(x), de x = té x = b, é
198 Cálculo - ul 9 UFPA áre A d região pln limitd pelo gráfico de y = f(x), pelo eixo ox e s rets x = e x = b. Pr clculr ess áre, seguiremos procedimentos semelhntes os desenvolvidos nos exemplos nteriores. Assim, inicilmente, subdividiremos o intervlo [, b] emn subintervlos [x i 1,x i ], de comprimentos não necessrimente iguis, considerndo n pontos x 0,x 1,x 2,...,x n 1,x n tis que = x 0 <x 1 <x 2 <...<x n 1 <x n = b. Fçmos Δx i = x i x i 1, i =1,...,n e sej λ = mx {Δx 1, Δx 2,...,Δx n }. As rets x = x 0,x = x 1,...,x = x n 1,x = x n dividem região em fixs verticis, conforme figur 9.8. Fig. 9.8 Sendo f contínu, e supondo que os intervlos tenhm comprimentos pequenos, vrição de f em cd subintervlo [x i 1,x i ] será bstnte pequen, de modo que um bo proximção de f(x), x [x i 1,x i ], será obtid escolhendo-se ξ i [x i 1,x i ] e fzendo-se f(ξ i ) = f(x) pr x [x i 1,x i ]. Aproximr f(x) porf(ξ i ) implic que áre de cd um ds fixs representds n figur 9.9 é proximdmente igul à áre do retângulo cuj bse é o intervlo [x i 1,x i ] e cuj ltur possui comprimento f(ξ i ).
UFPA Cálculo - ul 9 199 Fig. 9.9 A som ds áres destes retângulos é dd por n f(ξ i )(x i x i 1 )= i=1 n f(ξ i )Δx i. i=1 À medid que os comprimentos dos subintervlos [x i 1,x i ] diminuem, o erro cometido o proximr f(x) porf(ξ i ) torn-se cd vez menor, de modo que é nturl definir áre A como sendo A = lim P 0 n f(ξ i )(x i x i 1 ) = i=1 lim P 0 n f(ξ i )Δx i, que é, muttis mutndis, o que foi feito no exemplo 1, em que P = mx Δx i. Seguindo s notções introduzids nos exemplos 88 e 89, es- 1 i n crevemos A = b f(x)dx. 3 A definição de integrl As considerções nteriores nos conduzem, nturlmente, à seguinte definição de integrl. Dd um função y = f(x) definid em um intervlo [, b], sejm i=1 = x 0 <x 1 <x 2 <...<x n 1 <x n = b e ξ i um ponto rbitrário do subintervlo [x i 1,x i ], de comprimento Δx i = x i x i 1. O conjunto P = { = x 0 <x 1 <x 2 <...<x n = b} é chmdo um prtição do intervlo [, b]. Suponhmos que som n n f(ξ i )(x i x i 1 )= f(ξ i )Δx i i=1 i=1
200 Cálculo - ul 9 UFPA tenh um limite finito qundo P = mx {x 1 x 0,x 2 x 1,...,x n x n 1 } = mx {Δx 1, Δx 2,...,Δx n } tende zero (o número P é chmdo norm d prtição P ). Cso isso conteç, esse limite é chmdo integrl definid de f(x) no intervlo [, b] e designd por b f(x)dx. e diz-se então que f é integrável em [, b]. A integrl definid cim é tmbém chmd integrl de Riemnn e goz ds seguintes proprieddes: Se f,g :[, b] R forem funções integráveis no intervlo [, b] ese λ R, então: () f + g :[, b] R é integrável e b [(f + g)(x)]dx = (b) λf :[, b] R é integrável e b b (λf)(x)dx = λ f(x)dx + b b f(x)dx ; g(x)dx ; (c) Se f(x) 0, pr todo x [, b], então b f(x)dx 0 e este vlor represent áre sob o gráfico de f cim do eixo ox e entre s rets x = e x = b. Est propriedde é equivlente : se f(x) g(x) pr todo x [, b], então b f(x)dx b g(x)dx. Exemplo 90. Nos dois exemplos nteriores vimos que 1 xdx = 1 e 0 2 1 0 x2 dx = 1. Clculemos integrl de um função constnte. Sej 3 f(x) =k pr todo x [, b], em que k é um constnte. Consideremos um prtição P = { = x 0 <x 1 <x 2 <...<x n = b} e ξ i (x i 1,x i ) pr cd i =1,...,n. Teremos, então, n n n f(ξ i )(x i x i 1 )= k(x i x i 1 )=k (x i x i 1 )=k(b ). i=1 i=1 Isto signific que tods s soms como cim são iguis k e como o limite de constnte é própri constnte, teremos b kdx = k(b ). i=1
UFPA Cálculo - ul 9 201 4 Áre entre dus curvs Sejm f(x) eg(x) dus funções definids em um mesmo intervlo [, b]. Pr fixr s idéis, suponh que f(x) g(x) pr todo x [, b], como mostrdo n figur 9.10. Como se vê, o gráfico de f(x) está cim do gráfico de g(x). Fig. 9.10 Suponhmos que queirmos clculr áre d região limitd pelos dois gráficos, ou sej, áre d região DCFE. Observemos que e portnto Desde que segue-se que (Áre de bcd)+(áre de DCFE) =Áre de bf E, A = Áre de DCFE =(Áre de bf E) (Áre de bcd). Áre de bf E = A = b b f(x)dx b f(x)dx, (Áre de bcd) = g(x)dx, b g(x)dx = b [f(x) g(x)]dx. Percebe-se, pelo que foi desenvolvido nos dois exemplos vistos ntes, mesmo sendo csos simples, que clculr integrl de Riemnn usndo definição é lgo extremmente trblhoso pois mnipulr s soms prciis e depois clculr seu limite é lgo quse que imprticável qundo trtmos com funções que não sejm tão simples qunto f(x) =x ou f(x) =x 2. Em vist disso, devemos introduzir um resultdo, chmdo teorem fundmentl do Cálculo, que nos permitirá clculr grnde prte ds integris importntes que surgem no Cálculo Integrl.
202 Cálculo - ul 9 UFPA Pr isto necessitremos de um conceito preliminr. Dd um função f(x) definid em um intervlo I, diz-se que um outr função F (x), definid e derivável no intervlo I, é um primitiv ou ntiderivd de f(x) se df dx (x) =F (x) =f(x) pr todo x I. Por exemplo, F (x) = x2 é primitiv de f(x) =x, ssim como F 2 1(x) = x 2 + C, qulquer que sej constnte C, tmbém é primitiv d mesm 2 f, donde se conclui que primitiv de um função f, cso exist, pode não ser únic. Isto é um cso prticulr do teorem seguir. Teorem 14. Sejm F (x) e G(x) primitivs d função f(x) no intervlo I. Então existe um constnte C tl que F (x) = G(x) +C, ou sej, dus primitivs de um mesm função em um intervlo diferem por um constnte. Demonstrção. Como F (x) eg(x) são primitivs de f(x), tem-se que F (x) =f(x)eg (x) =f(x)edíf (x) =G (x) e ssim F (x) G (x) =0, pr todo x I. Como (F G) = F G, teremos (F G) (x) =0, pr todo x I. Assim, F (x) G(x) =C, pr lgum constnte C e dí F (x) =G(x)+C pr todo x I, o que conclui demonstrção do teorem. Exemplo 91. Consideremos função f(x) =x n pr n 1. Usndo regr de derivção dd n ul 5, temos que F (x) = xn+1 +C é primitiv n +1 de f(x). Exemplo 92. A função f(x) =3x 2 +2x + 4 tem F (x) =x 3 + x 2 +4x + C como su primitiv. Nesses dois exemplos s primitivs form obtids por simples inspeção, usndo o que se sbi ds técnics elementres de derivção. No entnto, nem sempre s coiss são tão simples. Bst observr função f(x) =x(x 2 + 10) 100 e tentr clculr su primitiv por meio de um simples mnipulção de derivds. Tente tmbém clculr um primitiv de f(x) =x cos x. Pr funções como esss, e outrs que precerão mis dinte, precismos de técnics mis sofisticds de primitivção (cálculo de primitivs), que serão vists n próxim lição. Sej F (x) um primitiv de f(x) no intervlo I. Pelo visto nteriormente, primitiv gerl de f(x) é dd por F (x)+c
UFPA Cálculo - ul 9 203 em que C é um constnte rbitrári. Est expressão é chmd integrl indefinid de f(x) sendo designd por f(x)dx. Assim f(x) =F (x)+c. Osímbolo é chmdo sinl de integrl, x é chmd vriável de integrção, f(x) é chmd integrndo e C é chmd constnte de integrção. Um observção útil, que segue d definição de integrl indefinid, é que d f(x)dx = f(x) dx e f (x)dx = f(x)+c. A operção que nos permite clculr primitivs é liner. Mis precismente, temos o seguinte teorem. Teorem 15. Suponhmos que f(x) e g(x) possum integris indefinids no mesmo intervlo I. Então [f(x)+bg(x)]dx = f(x)dx + b g(x), em que e b são constntes rbitráris. Demonstrção. Segue-se do que observmos cim que d [f(x)+ bg(x)]dx = f(x)+ bg(x). dx Por outro ldo, pels regrs usuis de derivção, tem-se [ ] d f(x)dx + b g(x)dx = d f(x)dx + b d dx dx dx g(x)dx = f(x)+bg(x). Conseqüentemente, [f(x)+bg(x)]dx = f(x)dx + b g(x)dx. o que conclui demonstrção.
204 Cálculo - ul 9 UFPA Deve-se observr que est propriedde éválid pr um número finito qulquer de funções. Mis precismente, sejm 1,..., n números reis e f 1,...,f n funções definids em um mesmo intervlo, então ( ) n n i f i (x) dx = i f i (x)dx. i=1 Exemplo 93. Pr ilustrr o uso deste teorem, clculemos (5x 4 6x 2 + 2x 2 ) dx. i=1 Usndo o teorem 2 e observção subseqüente, teremos (5x 4 6x 2 + 2x ) dx = 5 x 4 dx 6 x 2 dx +2 2 x 2 dx = x 5 2x 3 2 x + C. Observemos que o cálculo de integris definids usndo simplesmente definição é lgo quse que imprticável. No entnto, pr contornr est dificuldde existe um importnte teorem, o teorem fundmentl do Cálculo, que nos permitirá clculr integris definids, desde que conheçmos um primitiv d função ser integrd. Antes de bordr o teorem fundmentl do Cálculo, demonstremos o teorem do vlor médio pr integris. Teorem 16. (Teorem do vlor médio pr integris) Sej f : [, b] R um função contínu. Então existe c [, b] tl que b f(x)dx = f(c)(b ). Demonstrção. Desde que f é contínu no intervlo fechdo [, b] el tinge máximo M emínimo m neste intervlo. Assim, Um simples integrção nos fornece ou, equivlentemente, m f(x) M, pr todo x [, b]. m(b ) b f(x)dx M(b ) m 1 f(x)dx M b e, pelo teorem do vlor intermediário, existe c [, b] tl que f(c) = 1 b f(x)dx b o que conclui demonstrção do teorem. b
UFPA Cálculo - ul 9 205 Teorem 17. (Teorem fundmentl do Cálculo) Sej f um função contínu no intervlo fechdo [, b] e sej F (x) um primitiv de f. Então b f(x)dx = F (b) F (). tem-se Deve-se observr que, definindo F (x) = x f(t)dt, F (x) =f(x) ou d x f(t)dt = f(x) dx isto é, função F (x) é um primitiv de f. De onde se conclui-se que, usndo o fto de que tod função contínu é integrável em intervlos fechdos e limitdos, tod função contínu possui um primitiv dd por x F (x) = f(t)dt. Fçmos um demonstrção geométric do teorem fundmentl do Cálculo usndo interpretção d integrl de Riemnn como áre sob o gráfico de funções. Pr isto consideremos o gráfico d função contínu e positiv y = f(x) pr x b. Assim, integrl b f(x)dx represent áre d figur limitd superiormente pelo gráfico d função y = f(x), lterlmente pels rets verticis x = e x = b e inferiormente pelo eixo ox, conforme figur 9.11. 0 b Fig. 9.11
206 Cálculo - ul 9 UFPA Designemos por A(x) função A(x) = x f(t)dt qul represent áre d região hchurd n figur 9.12. 0 x b Fig. 9.12 Clculemos da (x). Pr tl fim, tome x edê ele um créscimo Δx que, dx pr simplificr os cálculos, será considerdo positivo. Logo, F (x +Δx) F (x) Δx = x+δx = 1 Δx = f(ξ) x+δx x f(t)dt Δx f(t)dt x f(t)dt em que ξ [x, x+δx] é obtido vi teorem do vlor médio pr integris. Por continuidde, f(ξ) f(x), qundo Δx 0 e ssim F (x) =f(x), o que conclui demonstrção do teorem fundmentl do Cálculo. Exemplo 94. O complicdo cálculo de b xdx no exemplo 88 pode ser substituído de mneir simples, usndo o teorem fundmentl do Cálculo, observndo que F (x) = x2 2 é um primitiv d função f(x) =x. Assim, b [ ] x 2 b xdx = = b2 2 2 2 2 = 1 2 (b2 2 )
UFPA Cálculo - ul 9 207 Exemplo 95. Outro exemplo que foi resolvido de mneir bstnte trblhos foi o d integrl 1 x 2 dx 0 e que pode, usndo o teorem fundmentl do Cálculo, ser resolvido em pens um linh se observrmos que F (x) = x3 3 é um primitiv d função f(x) =x 2. Assim 1 [ ] x x 2 3 1 dx = = 1 0 3 0 3 5 Exercícios resolvidos 1. Clculr áre d região R situd entre os gráficos ds funções f e g no intervlo [0, 2] sendo f(x) =x(x 2) e g(x) = x 2. Solução. Os gráficos estão representdos n seguinte figur g f 0 2 Desde que f g no intervlo [0, 2], podemos escrever áre A(R) d região R como 2 2 ( ) 5 A(R) = [g(x) f(x)]dx = 2 x x2 dx = 7 3. 0 2. Encontre equção d curv pssndo por (1, 5) e cuj tngente em (x, y) possui inclinção 4x. Solução. Relembrndo que derivd de um função y = f(x) represent inclinção d ret tngente o seu gráfico, tem-se que f (x) =4x. Desse modo, deve-se encontrr primitiv de 4x que, escrit n notção introduzid nest ul, é dd por f(x) = 4xdx =2x 2 + C 0
208 Cálculo - ul 9 UFPA por hipótese, o gráfico d função pss pelo ponto (1, 5), ou sej, f(1) = 5 e dí f(1) = 2+C = 5. Assim C = 5. Logo f(x) =2x 2 +5. 3. Clcule (x + 1)(x 1)dx Solução. (x + 1)(x 1)dx = = (x 2 1)dx x 2 dx dx 4. Clcule [g(x)] 3 g (x)dx = x3 3 x + C Solução. Usndo regr d cdei, obtemos de modo que d dx [g(x)]4 =4[g(x)] 3 g (x) [ ] d 1 dx 4 g(x)4 =[g(x)] 3 g (x) Em vist disso, 1 4 [g(x)]4 é um primitiv de [g(x)] 3 g (x). Por conseguinte, [g(x)] 3 g (x)dx = 1 4 [g(x)]4 + C, em que C é constnte de integrção. 6 Exercícios propostos 1. Achr áre sob s curvs dds, entre os extremos indicdos () f(x) =x 3 entre x =1ex =5; (b) f(x) =x entre x =0ex =2; (c) f(x) =x 4 entre x = 1 ex =4; (d) f(x) = 1 entre x =1ex =2. x2 2. Achr áre entre s curvs y = x e y = x 2. 3. Achr áre entre s curvs y = x e y = x 3. 4. Achr áre entre s curvs y = x 2 e y = x 3.
UFPA Cálculo - ul 9 209 5. Achr áre entre curv f(x) =(x 1)(x 2)(x 3) e o eixo ox, entre 1 x 3. Esboce curv. 6. Clcule s seguintes integris () (x +1)dx; (b) (3x 2)dx; (c) (x 2 + x 3 + x 4 )dx; (d) x 3 4 ; (e) x 2 (x 2 1)dx.
210 Cálculo - ul 9 UFPA 7 Resposts dos exercícios propostos 1. () 156 (b) 2 (c) 205 (d) 1 2 2. 1 6 3. 1 4 4. 1 12 5. 0 6. () x2 2 + x + C (b) 3 2 x2 2x + C (c) x3 3 + x4 4 + x5 5 + C (d) 4 7 x 7 4 + C (e) x5 5 x3 3 + C Nest ul você prendeu: o processo de qudrtur de certs figurs plns; noção de integrl definid e integrl indefinid; clculr integris definids usndo o teorem fundmentl do Cálculo.
UFPA Cálculo - ul 9 211 8 Apêndice A qudrtur d prábol segundo Arquimedes A Qudrtur d Prábol,jácitd nest ul, é um ds obrs fundmentis de Arquimedes que prim pel elegânci e estétic como tmbém é ogérmen do Cálculo Integrl. N Introdução d Qudrtur d Prábol, dirigid um certo Dositheus, Arquimedes fz menção um problem que preocupv os geômetrs de então que hvim tentdo, sem muito sucesso, encontrr um áre retilíne igul àdeumcírculo ou de um segmento de círculo, ou sej, tis geômetrs tentvm fzer qudrtur do círculo. Mis dinte ele firm ter conseguido encontrr solução pr o cálculo d áre de um segmento de prábol. Antes de chegr o seu método, vários resultdos são demonstrdos. Enunciemos lguns deles, à guis de ilustrção. Ele começ com seguinte proposição. Proposição 1. Se de um ponto P sobre um prábol for trçd um linh ret que é ou o seu eixo ou prlel o seu eixo, como PV,eseQQ for um cord prlel à tngente à prábol em P encontrndo PV em V, então QV = VQ. Reciprocmente, se QV = VQ,cordQQ será prlel à tngente em P. Vej figur 9.13. Fig. 9.13 Outro resultdo é proposição 21 enuncid seguir. Proposição 21. Se Qq for bse e se P forovértice de lgum segmento prbólico, e se R for o vértice do segmento prbólico determindo por PQ, então PQq =8 PRQ. Estmos representndo por ABC áre do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C. Vej figur 9.14 pr um visulizção dess proposição.
212 Cálculo - ul 9 UFPA Fig. 9.14 Muito embor não sej dito explicitmente, n Proposição 21 o segmento de ret Qq é prlelo à ret tngente à prábol em P. Observe, tmbém, e isto é enftizdo o finl d demonstrção d Proposição 21, que PQq =8 Prq. Assim, 2 PQq =8 PRQ+8 Prq eentão PRQ+ Prq = 1 4 PQq No próximo resultdo Arquimedes demonstr o seguinte. Proposição 22. Se existir um série de áres A,B,C,D,... cd um ds quis é qutro vezes seguinte, e se mior, A, for igul à do triângulo PQq inscrito em um segmento prbólico PQq e tendo mesm bse que do triângulo e igul ltur, então A + B + C + D + < (Áre do Segmento PQq). O leitor interessdo deverá consultr obr de Arquimedes (já citd nteriormente) pr estudr s demonstrções ds proposições 1, 21 e 22, como tmbém de outrs, ssim como deverá consultr George F. Simmons 2 Pr verificrmos como executr o método de Arquimedes, chmdo Método de Exustão, introduzido por Eudóxio, pois consiste em exurir o segmento prbólico por meio de triângulos nele inscritos, consideremos o segmento prbólico ilustrdo n figur 9.15. 2 George F. Simmons, Cálculo com Geometri Anlític, Vol. 2, pág. 682-684, Ed. McGrw-Hill
UFPA Cálculo - ul 9 213 Fig. 9.15 Como visto nteriormente PRQ+ Prq = 1 4 PQq. Vejmos o que contece com o segmento prbólico PRQ se procedermos como neste primeiro processo. Fçmos um mplição d figur 9.15. Fig. 9.16 Assim, Pr 1 R + Rq 1 Q = 1 4 PRQ e procedendo de mneir nálog conforme figur 9.17 Fig. 9.17 teremos Pr 2 r + rq 2 q = 1 4 Prq.
214 Cálculo - ul 9 UFPA Desse modo, som ds áres de todos os triângulos construídos té gor (que é menor do que áre do segmento prbólico PQq)é dd por PQq+ PRQ+ Prq+ Pr 1 R + Rq 1 Q + Pr 2 r + rq 2 q = PQq+ 1 4 PQq+ 1 4 PRQ+ 1 4 Prq = PQq+ 1 4 PQq+ 1 ( PRQ+ Prq)= 4 PQq+ 1 ( 2 1 4 4) PQq+ PQq = [ 1+ 1 ( ) ] 2 1 4 + PQq < (Áre do segmento PQq). 4 Repetindo este processo indefinidmente, teremos [ Áre do segmento PQq = PQq 1+ 1 ( ] 2 1 4 4) + + e relembrndo que som de um série geométric infinit com rzão r, 0 < r < 1, é dd por 1+r + r 2 + = j=0 = 1 1 r, Dess mneir Áre do segmento PQq = PQq [ j=0 1 = PQq 1 1 4 = 4 3 PQq. ( ) ] j 1 4 Vejm, então, que integrl de Riemnn jzi dormecid desde os idos d époc de Arquimedes.