Uma demonstração simples da Fórmula Integral de Cauchy

Universidde Federl de Mins Geris Instituto de Ciêncis Exts Deprtmento de Mtemátic Um demonstrção simples d Fórmul Integrl de Cuchy Hellen Lim de Pul Belo Horizonte - MG 204

HELLEN LIMA DE PAULA UMA DEMONSTRAÇÃO SIMPLES DA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY Monogr presentd o Curso de Especilizção em Mtemátic do Deprtmento de Mtemátic d Universidde Federl de Mins Geris, como requisito pr obtenção do Gru de Especilist em Mtemátic. Orientdor: Prof. Dr. Hmilton Prdo Bueno Belo Horizonte - MG 204

HELLEN LIMA DE PAULA UMA DEMONSTRAÇÃO SIMPLES DA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY Monogr presentd o Curso de Especilizção em Mtemátic do Deprtmento de Mtemátic d Universidde Federl de Mins Geris, como requisito pr obtenção do Gru de Especilist em Mtemátic. Aprovd em 24 de julho de 204. BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Hmilton Prdo Bueno - Orientdor UFMG Prof. Dr. Helder Cndido Rodrigues UFMG Prof. Dr. Grey Ercole UFMG Belo Horizonte - MG 204

A Deus, Ele tod honr e tod glóri.

Agrdecimentos Agrdeço Deus, por todo mor e cuiddo. À minh mãe e melhor mig, Mri de Fátim, que sempre foi o mior e melhor exemplo de retidão que eu poderi ter e por quem plvrs não podem expressr grtidão que sinto. Ao meu pi, Gerldo, e meus irmãos, Hugo e Higor, que sempre me mrm e poirm. Ao meu orientdor Hmilton Prdo Bueno, que creditou e conou n minh cpcidde cdêmic, judndo-me muito n conclusão dest Especilizção. Aos professores Helder Cndido Rodrigues e Grey Ercole, pelo uxílio e pel compreensão. E todos os meus migos, pelo compnheirismo e pciênci, em especil à Nt e à Mnu, que sempre estiverm presentes.

Resumo Este trblho é bsedo no rtigo A Note on Dixon's Proof of Cuchy's Integrl Theorem, de Peter A. Loeb, [6], que estbelece um resultdo elementr n teori de funções complexs e o plic num simplicção d elegnte prov dd por John D. Dixon pr Fórmul Integrl de Cuchy, em [4]. A demonstrção de Dixon us teori locl de Cuchy e é com isso que obtém-se prov de que se f é um função nlític em um região G e é um curv fechd reticável em G, então integrl f(w) f(z) dw w z é um função nlític pr todo z G, com o integrndo substituído por f (w) qundo z = w. Esse resultdo é mostrdo de mneir simples em [6] e plicdo n prov dd por Dixon. Neste trblho, presentmos de mneir clr o que foi feito por Dixon e por Loeb pr simplicr demonstrção d Fórmul e do Teorem Integrl de Cuchy.

Abstrct This work is bsed on A Note on Dixon's Proof of Cuchy's Integrl Theorem, of Peter A. Loeb, [6], tht estblishes n elementry result in complex function theory nd pplies tht result to simplify John D. Dixon's elegnt proof of the generl Cuchy integrl theorem nd formul, [4]. Dixon's proof uses locl Cuchy theory, bsed on this if f is nlytic on region G nd is closed rectible curve in G, then the integrl f(w) f(z) dw w z (with the integrnd replced by f (w) when z = w) is n nlytic function of z on ll of G. A simple proof of this fct is given in [6], nd pplied in Dixon's proof of Cuchy's integrl formul nd theorem. Here, we present clerly wht Dixon nd Loeb mde to simplify the proof of Cuchy integrl theorem nd formul.

Sumário Introdução Preliminres 2 2 Teori locl de Cuchy 7 2. O Teorem integrl de Cuchy em um triângulo........................ 7 2.2 O Teorem integrl de Cuchy em um disco.......................... 0 3 Resultdos Principis 7 4 A Fórmul Integrl de Cuchy 9

Introdução Jonh D. Dixon no rtigo A Brief Proof of Cuchy's Integrl Theorem, [4], present um demonstrção curt e elegnte do Teorem de Cuchy pr curvs homólogs 0. Su demonstrção é bsed em proprieddes locis de funções nlítics que seguem do Teorem Integrl de Cuchy em um disco e que podem ser comprds o trtmento ddo no livro Ahlfors, []. Ess versão d prov do Teorem Integrl de Cuchy não é só mis nturl do que versão homotópic, que prece em vários livros didáticos, como tmbém é de mis fácil compreensão. Peter A. Loeb, no rtigo A Note on Dixon's Proof of Cuchy's Integrl Theorem, [6], estbelece um resultdo elementr n teori de funções complexs que é plicdo n prov dd por John D. Dixon, mostrndo que se f é um função nlític em um região G e é um curv fechd reticável em G, então integrl f(w) f(z) dw, w z com o integrndo substituído por f (w) qundo z = w, é um função nlític pr todo z G. texto. No primeiro cpítulo deste trblho presentmos s denições que serão utilizds o longo do Introduzimos noção de curvs, e lgums proprieddes dels, pr denirmos ciclos em um conjunto berto. Denimos, ind, integrl de linh o longo de um curv e flmos sobre os conceitos de função diferenciável, nlític e inteir. Apresentmos, tmbém, exemplos de lgums ds denições dds pr fcilitr compreensão ds mesms. No segundo cpítulo demonstrmos o Teorem Integrl de Cuchy, primeirmente em um triângulo e depois em um disco, e outros resultdos que compõem teori locl de Cuchy. Concluímos esse cpítulo com resultdos fmosos como Estimtiv de Cuchy e o Teorem de Liouville. Aproveitmos, ind, pr presentr um demonstrção do Teorem Fundmentl d Álgebr que decorre fcilmente dos resultdos qui presentdos. No terceiro cpítulo presentmos dus proposições que serão diretmente utilizds n demonstrção d Fórmul Integrl de Cuchy em um berto qulquer e, portnto, fzem prte do conjunto dos resultdos principis deste trblho. Esss proposições presentm simplicção dd por Peter A. Loeb pr demonstrção d Fórmul Integrl de Cuchy feit por John D. Dixon. Por m, no qurto e último cpítulo, enuncimos e demonstrmos fórmul integrl de Cuchy denid em um berto qulquer, objeto principl de estudo deste trblho.

Cpítulo Preliminres Neste cpítulo presentmos conceitos e denições que serão utilizdos o longo deste trblho e exibimos exemplos pr elucidr lgums ds denições. Um curv é um função contínu : [, b] C, denid por dus funções reis x : [, b] R e y : [, b] R, denominds funções coordends de. Pr cd ponto t [, b] está ssocido o ponto do plno (t) = (x(t), y(t)) = x(t) + iy(t), como n Figur.. O conjunto { (t) ; t b} é chmdo trço de e o denotmos por {}. Os pontos () e (b) são chmdos ponto inicil e ponto nl d curv, respectivmente. No cso em que () = (b), dizemos que é um curv fechd. Figur.: Curv contínu. Se (t) existe pr cd t b e : [, b] C é um função contínu, então é um curv continumente diferenciável. Dizemos que é um curv diferenciável por prtes qundo existe um prtição do intervlo [, b], = t 0 < t <... < t n = b, tl que é um curv diferenciável em cd subintervlo [t j, t j ], j n. Um cminho é um curv continumente diferenciável por prtes. Observção: Dizer que função : [, b] C é diferenciável signic que tem derivd pr cd ponto t [, b], ou sej, o limite (t + h) (t) lim = (t) h 0 h existe pr cd t (, b) e, ind, existem os limites à direit e à esquerd qundo t = e t = b, respectivmente. 2

CAPÍTULO. PRELIMINARES 3 Exemplo.. O segmento de ret que une dois pontos no plno, P = (x, y ) e P 2 = (x 2, y 2 ), é o trço d curv : [0, ] C, dd por (t) = (( t)x + tx 2, ( t)y + ty 2 ), que é continumente diferenciável. Denimos o comprimento d curv : [, b] C como sendo distânci percorrid pelo ponto (t) qundo t vri de té b. Um curv é reticável se tem comprimento nito, nesse cso, o comprimento de é ddo por L () = b (t) dt. Se (t) = (x(t), y(t)), temos seguinte expressão pr o comprimento de, L() = b x (t) 2 + y (t) 2 dt. Exemplo.2. Sej : [0, 2π] C curv denid por (t) = (cos t, sin t), Figur.2, então é um curv reticável e seu comprimento é L() = 2π 2π ( sin t)2 + (cos t) 2 dt = dt = 2π. 0 0 Figur.2: Curv reticável. Denição.. Se : [, b] C é um curv reticável e f é um função denid e contínu em {}, então integrl (de linh) de f o longo de é Tmbém denotd por f = f (z) dz. b f ( (t)) (t) dt.

CAPÍTULO. PRELIMINARES 4 Exemplo.3. Sej f : C C função denid por f(z) = z 2. Vmos clculr integrl (de linh) de f o longo d curv determind pelo segmento [z, z 2 ], que lig o ponto z = 0 (P = (0, 0)) o ponto z 2 = 2 + i (P 2 = (2, )). Pr isso, usndo coordend y como o prâmetro t, prmetrizção do segmento [z, z 2 ] é dd por x = 2y, com 0 y. O integrndo z 2 é contínuo em C, em prticulr sobre {}, então z 2 = x 2 y 2 + 2xyi = 3y 2 + 4y 2 i. Tmbém, (x (t) + iy (t))dt = dx + idy = 2dy + idy = (2 + i)dy. Portnto, z 2 dz = 0 (3y 2 + 4y 2 i)(2 + i)dy = (3 + 4i)(2 + i) Denição.2. Se é um curv fechd reticável em C então, pr / {}, é o índice de com respeito o ponto. n (, ) = 2πi w dw 0 y 2 dy = 2 3 + 3 i. Geometricmente, o índice de um curv com respeito um ponto é o número de volts que curv dá em torno do ponto. As volts relizds em sentido nti-horário contm como positivs, e s relizds em sentido horário tem vlor negtivo. Figur.3: Índice de curvs com respeito diferentes pontos. N Figur.3, temos n(, ) = 2, n(, b) = e n(, c) = 0, enqunto que n(σ, ) = n(σ, b) = 0 e n(σ, c) =. Desde que, e σ estejm prmetrizds de mneir dr um únic volt complet sobre o seu trço. Um ciclo Γ é um conjunto nito de curvs fechds reticáveis { i, i n}. O seu trço, que é denotdo por {Γ}, é ddo por { i }. i

CAPÍTULO. PRELIMINARES 5 Pr qulquer função f contínu em {Γ}, denimos integrl f por Γ f = f. Γ i i Se C \ {Γ}, denimos o índice de Γ com respeito o ponto por n (Γ, ) = i n ( i, ) = 2πi i i w dw = 2πi Γ w dw. Dizemos que Γ é um ciclo em um conjunto berto G se {Γ} G. Denotmos, o longo do texto, o disco berto centrdo em z de rio r por D (z, r), {w C; w z < r}, e o disco fechdo {w C; w z r} por D (z, r). Denição.3. Sejm G um conjunto berto em C e f : G C. Dizemos que f é diferenciável em um ponto z G se existe o limite lim h 0 f(z + h) f(z). h Qundo esse limite existe, o denotmos por f (z) e o denominmos derivd de f em z. diferenciável em cd ponto de G, dizemos pens que f é diferenciável em G. Se f é Qundo f é diferenciável em G, temos que f dene um função f : G C e, se f é contínu, dizemos que f é continumente diferenciável. Um função f : G C é nlític se é continumente diferenciável em G e é inteir qundo el é nlític em todo o plno complexo C, isto é, qundo G = C. Exemplo.4. Consideremos s funções f(z) = z 2 e g(z) = z (onde z represent o conjugdo de z), mbs denids em todo C. A primeir dels tem derivd em todos os pontos de C, enqunto que segund não tem derivd em ponto lgum. De fto, f(z) f(z 0 ) z z 0 = z2 z 2 0 z z 0 = (z z 0)(z + z 0 ) z z 0 = z + z 0. Portnto, f f(z) f(z 0 ) (z 0 ) = lim = lim z + z 0 = 2z 0. z z 0 z z 0 z z 0 Já pr g temos g(z) g(z 0 ) z z 0 = z z 0 z z 0 = (z z 0) 2 z z 0 2 = (x x 0 + i(y 0 y)) 2 (x x 0 ) 2 + (y 0 y) 2 = (x x 0) 2 (y 0 y) 2 + 2i(x x 0 )(y 0 y) (x x 0 ) 2 + (y 0 y) 2. Agor, vmos fzer z tender z 0 e, como estmos no plno, há innits mneirs de fzê-lo. Então, se z é d form z = (t + x 0 ) + iy 0, expressão cim nos fornece (t + x 0 x 0 ) 2 (y 0 y 0 ) 2 + 2i(t + x 0 x 0 )(y 0 y 0 ) (t + x 0 x 0 ) 2 (y 0 y 0 ) 2 = t2 t 2,

CAPÍTULO. PRELIMINARES 6 enqunto, se z é d form z = x 0 + i(t + y 0 ), temos (x 0 x 0 ) 2 (y 0 t y 0 ) 2 + 2i(x 0 x 0 )(y 0 t y 0 ) (x 0 x 0 ) 2 (y 0 t y 0 ) 2 = t2 t 2. Portnto, o quociente g(z) g(z 0) ssume o vlor constnte o longo d ret y = y 0 e ssume z z 0 g(z) g(z 0 ) o vlor constnte - o longo d ret x = x 0. Concluímos, então, que lim não existe. z z 0 z z 0

Cpítulo 2 Teori locl de Cuchy Neste cpítulo mostrmos o Teorem Integrl de Cuchy pr um triângulo e depois Fórmul Integrl de Cuchy em um disco. Tmbém presentmos resultdos importntes como Estimtiv de Cuchy e o Teorem de Liouville. E provmos, tmbém, o Teorem Fundmentl d Álgebr, que decorre fcilmente dos resultdos qui presentdos. Concluímos o cpítulo com o Teorem Integrl de Cuchy pr um disco. 2. O Teorem integrl de Cuchy em um triângulo Sej {, b, c} um tripl ordend em C e denotndo por T {,b,c} o triângulo de vértices, b e c, Figur 2.. Sej f é um função denid e contínu sobre fronteir de T, então, T f = [,b] f + f + f, [b,c] [c,] onde [, b] é o trço do cminho [,b] : [0, ] C, determindo por [,b] (t) = ( t) +tb, nlogmente pr os cminhos [b, c] e [c, ]. Figur 2.: Triângulo de vértices, b e c. Antes de enuncirmos e demonstrrmos o Teorem Integrl de Cuchy pr um triângulo, vejmos seguinte proposição, que é um resultdo direto do Teorem Fundmentl do Cálculo pr integris de linh. 7

CAPÍTULO 2. TEORIA LOCAL DE CAUCHY 8 Proposição 2.. Sej f : G C um função nlític com derivd contínu em G. Então f = 0, pr todo cminho fechdo em G. Demonstrção. Sej : [, b] C, um cminho fechdo em G, ou sej, um cminho tl que () = (b). Então, pelo Teorem Fundmentl do Cálculo f (z) dz = b f ( (t)) (t) dt = f ( (b)) f ( ()) = 0. Teorem 2. (Teorem Integrl de Cuchy pr um triângulo). Sejm T {,b,c} um triângulo em um berto G, p G, f um função contínu em G e nlític em G \ {p}. Então f (z) dz = 0. T Demonstrção. Primeirmente, suponhmos que p / T {,b,c}. Sejm, b, e c os pontos médios de [, b], [b, c] e [c, ], respectivmente, e consideremos os triângulos t {,,c }, t {b,b, }, t {c,c,b } e t {,b,c }, como n Figur 2.2: Figur 2.2: Triângulos t {,,c }, t {b,b, }, t {c,c,b } e t {,b,c }. A integrl o longo de T será som ds integris o longo desses qutro triângulos. Chmndo de t o mior deles, temos T f (z) dz t 4 f (z) dz. Denotndo por L (T ) o perímetro do triângulo T e por L (t ) o perímetro do triângulo t, temos L (t ) 2 L (T ). Temos tmbém, denotndo por l(t ) e l(t ) o comprimento do mior ldo dos triângulos t e T, respectivmente,

CAPÍTULO 2. TEORIA LOCAL DE CAUCHY 9 l(t ) l(t ). 2 Repetindo esse procedimento, obtemos um sequênci {t n } n de triângulos tis que L (t n ) 2 n L (T ), t n+ t n e T f (z) dz t 22n f (z) dz. n Por termos um sequênci de triângulos (compctos) encixdos, existe z 0 n=t n. Como T é compcto e z 0 T, f é diferenciável em z 0, então ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que f (z) f (z 0 ) f (z 0 ) (z z 0 ) < ε z z 0, sempre que z z 0 < δ, e é possível encontrr n N tl que z z 0 < δ, pr todo z t n. Assim t n f (z) dz = t n (f (z) f (z 0 ) f (z 0 ) (z z 0 )) dz ε z z 0 L(t n ) < ε l(t n ) L(t n ). Pel Proposição 2. Com isso, t n [f(z 0 ) f (z 0 )(z z 0 )]dz = 0. Como isso vle pr todo ε > 0, temos T f (z) dz 2 2n t n f (z) dz 2 2n ε l(t n ) L(t n ) 2 2n ε 2 n l(t ) 2 n L(T ) = ε l(t ) L(T ). T f (z) dz = 0. Agor, vmos vlir os csos em que p T. Se p é um dos vértices do triângulo T, suponhmos, sem perd de generlidde, que p =. Consideremos pontos e 2, nos segmentos [, b] e [, c], respectivmente, como n Figur 2.3: Figur 2.3: Triângulo de vértices p =, b e c.

CAPÍTULO 2. TEORIA LOCAL DE CAUCHY 0 Então, Fzendo, 2, temos T f(z)dz = [, ] f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz. [, 2] [ 2,] T f(z)dz = 0. Se p não é vértice do triângulo T, tomemos os segmentos que ligm os vértices, b e c de T o ponto p, como n Figur 2.4, e teremos os triângulos t {,b,p}, t {b,c,p} e t {,c,p}, dos quis p é um vértice. Procedemos, então, como nteriormente. Figur 2.4: Triângulos t {,b,p}, t {b,c,p} e t {,c,p}. Com isso, mostrmos que f(z)dz = 0. T 2.2 O Teorem integrl de Cuchy em um disco Nest seção mostrmos que um função f, nlític em um conjunto berto G C, possui um expnsão em série de potêncis em cd ponto de G. Em prticulr, um função nlític é innitmente diferenciável. Começmos provndo Regr de Leibniz, um resultdo muito importnte de Cálculo. Proposição 2.2 (Regr de Leibniz). Sej ϕ : [, b] [c, d] C um função contínu e denimos g : [c, d] C por g (t) = b ϕ (s, t) ds. Então g é contínu. Mis ind, se ϕ existe e é um função contínu em [, b] [c, d] então g é t continumente diferenciável e b g ϕ (t) = (s, t) ds. t Demonstrção. Primeiro, vejmos que g é contínu em [c, d]. De fto, ddo ε > 0, tomemos δ > 0, que ε existe pel continuidde de ϕ, tl que, se t t 0 < δ e s [, b], vle ϕ(s, t ) ϕ(s, t 0 ) < (b ). Então

CAPÍTULO 2. TEORIA LOCAL DE CAUCHY g(t ) g(t 0 ) = = b ϕ(s, t )ds b b ϕ(s, t 0 )ds [ϕ(s, t ) ϕ(s, t 0 )] ds b ϕ(s, t ) ϕ(s, t 0 ) ds b ε (b ) ds = ε pr t 0, t [c, d] stisfzendo t t 0 < δ e s [, b]. O que mostr continuidde de g. Agor, se mostrrmos que g é diferenciável e que g é dd como no enuncido d dest proposição, teremos, pel primeir prte, continuidde de g, sempre que ϕ for contínu. Então, vmos mostrr t que b g ϕ (t) = (s, t) ds. t De fto, xndo t 0 [c, d], sej ε > 0. Suponhmos que ϕ sej contínu em [, b] [c, d], então existe t δ > 0 tl que ϕ ϕ (s, t) t t (s, t 0) < ε, sempre que t t 0 < δ e s b. Com isso, t t 0 [ ] ϕ ϕ (s, τ) t t (s, t 0) dτ ε t t 0, sempre que t t 0 < δ e s b. Ms, pr s [, b] xdo, função ϕ(s, t) t ϕ t (s, t 0) é um primitiv pr ϕ ϕ (s, t) t t (s, t 0). Pelo Teorem Fundmentl do Cálculo, t t 0 [ ] ϕ ϕ (s, τ) t t (s, t 0) dτ = = ϕ ϕ(s, t) t t (s, t 0) ϕ(s, t 0 ) + t 0 ϕ t (s, t 0) ϕ(s, t) ϕ(s, t 0) (t t 0 ) ϕ t (s, t 0) ε t t 0. Então, Portnto, ϕ(s, t) ϕ(s, t 0 ) ϕ t t 0 t (s, t 0) ε. g(t) g(t 0 ) t t 0 b ϕ t (s, t)ds ε (b ), qundo 0 < t t 0 < δ. Com isso, temos o resultdo.

CAPÍTULO 2. TEORIA LOCAL DE CAUCHY 2 Como consequênci d proposição nterior temos 2π 0 e is e is ds = 2π, z sempre que z <, o que será útil n demonstrção d próxim proposição. Proposição 2.3 (Fórmul Integrl de Cuchy no disco). Sejm f : G C um função nlític e D (, r) G, r > 0. Se (t) = + re it, 0 t 2π, então f (z) = f (w) 2πi w z dw, pr z < r. { } Demonstrção. Consideremos o conjunto G = (z ) ; z G e função g (z) = f ( + rz), denid r em G. Podemos ssumir, sem perd de generlidde, que = 0 e r =, ou sej, D (, r) G. Ou sej, Fixndo z, tl que z <, queremos mostrr que f (z) = 0 = 2π 2π 0 f (w) 2πi w z dw = 2π 2π 0 f ( e is) e is e is z ds. f ( e is) e is e is ds 2πf (z) z = 2π 0 [ ( ) ] f e is e is e is f (z) ds. z Vmos plicr Regr de Leibniz pr função pr 0 t e 0 s 2π. ϕ (s, t) = f ( z + t ( e is z )) e is e is z f (z), Como z+t ( e is z ) = z ( t)+te is <, ϕ está bem denid e é continumente diferenciável. Sej g (t) = 2π 0 ϕ (s, t) ds, então g tem derivd contínu. Precismos, então, mostrr que g () = 0, o que teremos se g (0) = 0 e g for um função constnte. g (0) = = 2π 0 2π 0 = f (z) = 0. ϕ (s, 0) ds [ ] f (z) e is e is z f (z) ds 2π e is e is ds 2πf (z) z 0

CAPÍTULO 2. TEORIA LOCAL DE CAUCHY 3 Pr mostrr que g é constnte, vmos clculr su derivd. Pel Regr de Leibniz, g (t) = onde ϕ 2 (s, t) = e is f ( z + t ( e is z )). 2π 0 ϕ 2 (s, t) ds, Fixndo 0 t, um primitiv de ϕ 2 é Φ (s) = it f ( z + t ( e is z )). Então, g (t) = Φ (2π) Φ (0) = 0, pr 0 t. E, como g é contínu, concluímos que g é constnte. teorem. A Fórmul Integrl de Cuchy no disco será especilmente útil n demonstrção do seguinte Teorem 2.2. Sej f um função nlític em D (, R), R > 0. Então f (z) = n (z ) n, pr z < R, onde n = n! f (n) () e ess série tem rio de convergênci mior do que ou igul R. Antes de demonstrrmos o Teorem 2.2, consideremos o disco berto z < r e suponhmos que w pertence o círculo w = r. Então, w z = w [ z w ] = (w ) n=0 ( ) n z, w um vez que z < r = w. Agor, multiplicndo os dois ldos por f(w) e integrndo no círculo 2πi = {w C : w = r}, teremos o ldo esquerdo igul f (z), pel Proposição 2.3. Consideremos, tmbém, o seguinte lem. Lem 2.. Sej um curv reticável em C e suponhmos que F n e F sejm funções contínus em {}. Se F n converge uniformemente pr F em {}, então F = lim F n. Demonstrção. Ddo ε > 0, existe um número nturl N tl que, se n N, F n (w) F (w) < pr todo w {}. O que nos dá, sempre que n N. F F n = Agor, vmos à prov do Teorem 2.2 : (F F n ) F (w) F n (w) dz ε, n=0 ε L (), Demonstrção. Sej 0 < r < R, então o disco D (, r) D (, R). Se (t) = + re it, 0 t 2π, então, f (z) = f (w) 2πi w z dw,

CAPÍTULO 2. TEORIA LOCAL DE CAUCHY 4 pr z < r. Ms, um vez que z < r e w {}, f (w) z n w n+ M r ( ) n z, r onde M = mx{ f (w) ; w = r}. Como f(w)(z ) n (w ) n+ converge uniformemente, pr todo w em {}. Então, f (z) = [ 2πi n=0 z r <, temos que f (w) (w ) n+ dw ] n=0 (z ) n. Se estbelecemos n = 2πi f (w) (w ) n+ dw, então n não depende de z, e expressão pr f (z) é um série de potêncis que converge sempre que z < r. Segue que n = n! f (n) (), de modo que o vlor de n não depende de, isto é, não depende de r. Assim, f (z) = n (z ) n, n=0 pr z < r. Como r foi tomdo rbitrário, r < R, temos f (z) = n (z ) n, pr z < R, mostrndo que seu rio de convergênci é no mínimo igul R. n=0 Corolário. Se f é um função nlític em G então f tmbém o é. Consequentemente, sendo nlític, função f é innitmente diferenciável. Corolário 2 (Fórmul Integrl de Cuchy pr derivds). Se f : G C é nlític e D (, r) G. Então, f (n) () = n! 2πi f (w) (w ) n+ dw, onde (t) = + re it, 0 t 2π. O próximo teorem estbelece, sob certs condições, um recíproc pr o Teorem 2.. Teorem 2.3 (Teorem de Morer). Sej f : G C um função contínu denid num berto conexo G C tl que f = 0, pr todo triângulo T G. Então, f é nlític em G. T Demonstrção. Se provrmos que f é nlític em cd disco contido em G, teremos f nlític em G. Por isso vmos ssumir que G = D(, R). Pr z G, sej F (z) = [,z] f(w)dw. Fixndo z 0 G, temos F (z) = [,z 0] f(w)dw + f(w)dw, [z 0,z]

CAPÍTULO 2. TEORIA LOCAL DE CAUCHY 5 então, F (z) F (z 0 ) z z 0 = = ( f(w)dw + z z 0 [,z 0] z z 0 [z 0,z] f(w)dw. [z 0,z] ) f(w)dw f(w)dw [,z 0] Com isso, Então, F (z) F (z 0 ) f(z 0 ) = (f(w) f(z 0 ))dw. z z 0 z z 0 [z,z 0] F (z) F (z 0 ) f(z 0 ) z z 0 z z 0 [z,z 0] f(w) f(z 0 ) dw. Como f é um função contínu, pr todo ε > 0, existe δ > 0 tl que f(w) f(z 0 ) < ε, sempre que w z 0 < δ. Bst, então, tomrmos z z 0 < δ e teremos F (z) F (z 0 ) f(z 0 ) z z 0 ε. temos: Combinndo-se o Teorem Integrl de Cuchy pr um triângulo e o Teorem de Morer, cim, Proposição 2.4. Sej f um função contínu em G e nlític em G \ {p}, p G. Então f é nlític em G. resultdo. Como consequênci d Fórmul Integrl de Cuchy pr derivds, em um disco, temos o seguinte Proposição 2.5 (Estimtiv de Cuchy). Sej f um função nlític em D (, R) e suponhmos que f (z) M pr todo z D (, R). Então, Demonstrção. Tomndo r < R qulquer, temos f (n) () = f (n) () n!m R n. n! 2πi f (w) (w ) n+ dw ( ) n! M 2π 2πr rn+ esquerd. = n!m r n Como tommos r rbitrrimente, r < R, o resultdo está provdo fzendo r tender R pel O próximo resultdo é um consequênci d Estimtiv de Cuchy.

CAPÍTULO 2. TEORIA LOCAL DE CAUCHY 6 Teorem 2.4 (Teorem de Liouville). Se f for um função inteir limitd, então f é constnte. Demonstrção. Suponh que f (z) M pr todo z C. Como f é inteir, el é nlític em qulquer disco D (z, R), R > 0. cd z C. Sbemos que f (z) M R e podemos tomr R rbitrrimente grnde, portnto, f (z) = 0 pr O Teorem de Liouville é um ferrment importnte em Análise Complex. A seguir, exibimos um prov simples pr o Teorem Fundmentl d Álgebr utilizndo-o. Teorem 2.5 (Teorem Fundmentl d Álgebr). Se p (z) = n z n +... + z + 0 for um polinômio, com n 0 (n N = {, 2,...}), então existe α C tl que p (α) = 0. Demonstrção. Suponhmos que p (z) 0, pr todo z C, e sej f denid por f (z) = p(z). Então f é um função inteir. Como n 0, lim z p (z) =, o que implic que lim z f (z) = 0. Dí, decorre que função f é limitd em C. Logo, pelo Teorem de Liouville, f é constnte e o polinômio p tmbém o é. Absurdo! Por m, mostrmos o Teorem Integrl de Cuchy em um disco: Teorem 2.6 (Teorem integrl de Cuchy em um disco). Sej f um função nlític no disco D (z, r) e suponhmos que é um curv fechd reticável em D (z, r). Então Demonstrção. Pelo Teorem 2.2, f(z) = F (z) = n=0 f = 0. n (z ) n, pr z < r. Sej n=0 ( ) n (z ) n+ = (z ) n + n=0 ( ) n (z ) n. n + Como lim (n + ) n =, ess série tem o mesmo rio de convergênci de f(z) = F está denid em D (, r). Mis ind, F = f, pr z < r. n (z ) n. Assim, Agor, sej um curv fechd em D (z, r) dd por (t), onde t [, b], então () = (b). Pelo Teorem Fundmentl do Cálculo, segue que f (z) dz = = = b b b f ( (t)) (t) dt F ( (t)) (t) dt (F ) (t) dt = F ( (b)) F ( ()) = 0. n=0

Cpítulo 3 Resultdos Principis Neste cpítulo presentmos s dus proposições feits por Loeb que simplicm demonstrção dd por Dixon pr Fórmul Integrl de Cuchy em um berto qulquer, que fzem prte do conjunto dos resultdos principis deste trblho. Proposição 3.. Se é um curv fechd em G, então pr qulquer z {} existe outr curv fechd σ em G, com z / {σ} tl que f = f, σ pr tod função f nlític em G. Demonstrção. Assumimos que existe z {} com z z, cso contrário o resultdo seri trivil. Tommos r > 0 de modo que D (z, r) G e z / D (z, r). Podemos supor que o cminho (t) stisfç (0) = () = z. Pel continuidde uniforme de, existe n N tl que, se s, t [0, ] e t s < n, então (t) (s) < r. Prticionmos, então, o intervlo [0, ] d seguinte form 0 < n < < n n <. Sejm 0 = x 0 < x < < x m = os pontos d form k n tis que ( k n) z. Se entre dois pontos djcentes x i e x i+ há lgum ponto d form k n, ou qulquer outro ponto t 0, tl que (t 0 ) = z, então o cminho (t), com x i t x i+, está inteirmente contido no disco D (z, r). Pelo Teorem Integrl de Cuchy plicdo o disco D (z, r), podemos substituir o cminho (t) no intervlo [x i, x i+ ] por um cminho que vá de (x i ) (x i+ ) no conjunto D (z, r) \ {z}. 7

CAPÍTULO 3. RESULTADOS PRINCIPAIS 8 Ess substituição não lter o vlor d integrl de qulquer função f nlític em G. O novo cminho não contém z. Proposição 3.2. Sej f um função nlític em G. Considere função ϕ: G G C, dd por f (w) f (z), se w z, ϕ (w, z) = w z f (w), se w = z. Então, pr cd z G, ϕ (, z) é nlític em G. Mis ind, função g, denid por g (z) = ϕ (w, z) dw, é nlític em G, pr qulquer curv fechd em G. Demonstrção. Ddo z G, temos que ϕ (, z) é contínu em G e nlític em G \ {z}. Portnto, ϕ (, z) é nlític em G. Se z / {}, então g (z) = ϕ (w, z) dw = = f (w) f (z) dw w z f (w) dw f (z) w z w z dw. A função g é nlític em G \ {}. Fixdo z {}, Proposição 3. nos permite substituir por um curv σ tl que z / {σ}. Portnto, existe um disco D (z, ε) onde os vlores de g não se lterm. Logo g é nlític em D (z, ε), sendo ssim, nlític em G.

Cpítulo 4 A Fórmul Integrl de Cuchy Finlmente, neste cpítulo, enuncimos e demonstrmos Fórmul e o Teorem Integrl de Cuchy em um berto qulquer. Teorem 4.. Sejm G um subconjunto berto de C e Γ um ciclo em G tl que n (Γ, ) = 0 pr cd ponto / G. Então, pr tod função f nlític em G e z G\{Γ}, vle Fórmul Integrl de Cuchy: Dí, decorre o Teorem Integrl de Cuchy: f (z) n (Γ, z) = f (w) 2πi Γ w z dw. Γ f (w) dw = 0. Demonstrção. Pr provr Fórmul Integrl de Cuchy, sejm f um função nlític em G, ϕ e g denids como n Proposição 3.2. O conjunto H = {z C \ {Γ} : n (Γ, z) = 0}, é um subconjunto berto de C tl que H G = C. Consideremos função nlític h, dd por h (z) = Γ f (w) dw z H. w z Pr os pontos z H G, g (z) = Γ f (w) f (z) dw. w z 9

CAPÍTULO 4. A FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY 20 Então, f (w) f (z) g (z) = dw Γ w z f (z) = h (z) w z dw Γ = h (z) f (z) 2πi n (Γ, z) = h (z). Assim, g (z) = h (z) pr z H G, de modo que podemos estender g pr um função inteir. Como lim g (z) = 0, do Teorem de Liouville concluímos que g 0 em C. z Então, pr todos os pontos z G \ {Γ}, temos f (z) n (Γ, z) = f (z) mostrndo Fórmul Integrl de Cuchy. = = = 2πi Γ w z dw f (z) 2πi Γ w z dw + 2πi g (z) 2πi Γ Agor xmos um ponto G \ {Γ}, Γ f (z) w z dw + 2πi Γ f (w) 2πi Γ w z dw, f (w) dw = Denindo F (w) = f(w) (w ), temos Γ f(w)dw = o que prov o Teorem Integrl de Cuchy. Γ Γ f (w) (w ) dw. w F (w) w dw = (2πi) n(γ, ) F () = (2πi) n(γ, ) f() ( ) = 0, f (w) f (z) dw w z

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