Funções do 1 o Grau. Exemplos

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Funções do o Gru. Função constnte Um plicção f deremrrecee o nome de função constnte qundo cd elemento Rssoci sempre o mesmo elemento c R. f() = c O gráfico d função constnte é um ret prlel o eio dos pssndo pelo ponto (0, c). A imgem é o conjunto Im = {c}. Prof.: Rogério Dis Dll Riv Funções do o Gru. Função constnte.função constnte.função identidde.função liner.função fim 5.Gráfico 6.Imgem 7.Coeficientes d função fim 8.Zero d função fim 9.Funções crescentes ou decrescentes 0.Crescimento/decréscimo d função fim (0, c) 5 Funções do o Gru. Função constnte.sinl de um função.sinl d função fim.inequções.inequções simultânes 5.Inequçõesproduto 6.Inequçõesquociente Eemplos Construir os gráficos ds plicções der emrdefinid por: ) = ) = (0, ) 0 0 0 0 (0, ) 6

. Função identidde. Função liner Um plicção f deremrrecee o nome de função identidde qundo cd elemento Rssoci sempre o próprio, isto é: f() = O gráfico d função identidde é um ret que contém s issetrizesdo o e o qudrntes. A imgem é o conjunto Im = R. 7 0. Função identidde. Função liner (, ) (, ) (, ) (0, 0) 0 0 (, ) (, ) (, ) 5 Eemplos Construir o gráfico d função =. Considerndo que dois pontos distintos determinm um ret e no cso d função liner um dos pontos é origem, st triuir um vlor não nulo e clculr o correspondente =. = 8. Função liner. Função liner Um plicção f deremrrecee o nome de função liner qundo cd elemento Rssoci o elemento R em que 0 é um número rel ddo, isto é: f() =, 0 O gráfico d função liner é um ret que pss pel origem. A imgem é o conjunto Im = R. (, ) (0, 0) 0 0 9

. Função liner. Função fim Eemplos Construir o gráfico d função =. Anlogmente, temos: Notemos que, pr = 0, função fim = se trnsform n função liner = ; podemos, então, dizer que função liner é um prticulr função fim. = 6. Função liner 5. Gráfico 0 (0, 0) 0 (, ) O gráfico crtesino d função f() = ( 0) é um ret. 7. Função fim 5. Gráfico Um plicção f deremrrecee o nome de função fim qundo cd elemento Rssoci o elemento ( ) R em que 0 e são números reis ddos. f() =, 0 Eemplos ) = em que = e = ) = em que = e = c) = em que = e = d) = em que = e = 0 5 Aplicções o ) Construir o gráfico d função =. Considerndo que o gráfico d função fim é um ret, vmos triuir dois vlores distintos e clculr os correspondentes vlores de. = 0 O gráfico procurdo é ret que pss pelos pontos (0, ) e (, ). 8

5. Gráfico 5. Gráfico (, ) (0, ) 0 0 Eercício : Resolver nlític e grficmente os sistems de equções io: = 5 ) = = ) = 8 9 5. Gráfico 5. Gráfico o ) Construir o gráfico d função =. De modo nálogo, temos: = 0 Eercício : Resolver os sistems de equções: = ) = 5 = ) = Sugestão: Fç e. = = 0 5. Gráfico 5. Gráfico (0, ) (, ) 0 0 Eercício : Oter equção d ret que pss pelos pontos: ) (, ) e (, 5) e ) (, ) e (, ).

6. Imgem 7. Coeficientes d função fim O conjunto imgem d função fim f: R R definid por f() =, com 0 é R. Qulquer que sej R eiste = R tl que f ( ) = f = = Eercício : Oter equção d ret que pss pelo ponto (, ) e tem coeficiente ngulr igul. 5 8 7. Coeficientes d função fim 7. Coeficientes d função fim O coeficiente d função f() = é denomindo coeficiente ngulr ou declividde d ret representd no plno crtesino. O coeficiente d função = é denomindo coeficiente liner. Eercício 5: Oter equção d ret que pss pelo ponto (, ) e tem coeficiente ngulr igul. 6 9 7. Coeficientes d função fim 7. Coeficientes d função fim Eemplo N função = o coeficiente ngulr é e o coeficiente liner é. Oserve que, se = 0, temos =. Portnto, o coeficiente liner é ordenddo ponto em que ret cort o eio. Eercício 6: Oter equção d ret com coeficiente ngulr igul ½ e pssndo pelo ponto (, ). 7 0 5

7. Coeficientes d função fim 7. Coeficientes d função fim Eercício 7: Oter equção d ret que pss pelo ponto (, ) e tem coeficienteliner igul. 7. Coeficientes d função fim 7. Coeficientes d função fim Eercício 8: Oter equção d ret com coeficiente liner igul e pss pelo ponto (, ). 5 7. Coeficientes d função fim 8. Zero d função fim Eercício 9: Ddos os gráficos ds funções der em R, oter lei de correspondênci desss funções. Zero de um função é todo número cuj imgem é nul, isto é, f() = 0. é zero de = f() f() = 0 Assim, pr determinrmos o zero d função fim, st resolver equção do o gru = 0 que present um únic solução =. 6 6

8. Zero d função fim 8. Zero d função fim De fto, resolvendo = 0, 0, temos: = 0 = = (, ) 0 0 (/, 0) (0, ) 7 0 8. Zero d função fim 9. Funções crescentes ou decrescentes Eemplo O zero d função f() = é = ½ pois, fzendo = 0, vem = ½. Podemos interpretr o zero d função fim como sendo sciss do ponto onde o gráfico cort o eio dos. 8 Função crescente A função f: A B definid por = f() é crescente no conjunto A A se, pr dois vlores quisquer e pertencentes A, com <, tivermos f( ) < f( ). Em símolos: f é crescente qundo (, )( < f ( ) < f ( )) e isso pode ser posto ssim: f ( ) f ( ) (, ) > 0 8. Zero d função fim 9. Funções crescentes ou decrescentes Eemplo Fzendo o gráfico d função =, podemos notr que ret intercept o eio dos em = ½, isto é, no ponto (½, 0). N lingugem prátic (não mtemátic), isso signific que função é crescente no conjunto A se, o umentrmos o vlor triuído, o vlor de tmém ument. 0 9 7

9. Funções crescentes ou decrescentes 9. Funções crescentes ou decrescentes A função f() = é crescente em R, pois: < < pr todo R e todo R f ( ) f ( ) A função f() = é decrescente em R, pois: < > pr todo R e todo R f ( ) f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) A A 6 9. Funções crescentes ou decrescentes 9. Funções crescentes ou decrescentes Função decrescente A função f: A B definid por = f() é decrescente no conjunto A A se, pr dois vlores quisquer e pertencentes A, com <, tivermos f( ) > f( ). Em símolos: f é decrescente qundo (, )( < f ( ) > f ( )) e isso pode ser posto ssim: f ( ) f ( ) (, ) < 0 Notemos que um mesm função = f() pode não ter o mesmo comportmento (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio. É stnte comum que um função sej crescente em certos suconjuntos de D e decrescente em outros. O gráfico seguir represent um função crescente em R e decrescente em. R 7 9. Funções crescentes ou decrescentes 9. Funções crescentes ou decrescentes N lingugem prátic (não mtemátic), isso signific que função é decrescente no conjunto A se, o umentrmos o vlor triuído, o vlor de diminui. 5 8 8

0. Crescimento/decréscimo d função fim 0. Crescimento/decréscimo d função fim I) A função fim f() = é crescente se, e somente se, o coeficiente ngulr é positivo. Demonstrção f ( ) f ( ) f ( ) = é crescente > 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 > > > Eercício 0: Com se nos gráficos io, de funções der em R, especificr os intervlos onde função é crescente ou decrescente. 9 5 0. Crescimento/decréscimo d função fim 0. Crescimento/decréscimo d função fim II) A função fim f() = é decrescente se, e somente se, o coeficiente ngulr for negtivo. Demonstrção f ( ) f ( ) f ( ) = é decrescente < 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 < < < Eercício 0: Com se nos gráficos io, de funções der em R, especificr os intervlos onde função é crescente ou decrescente. 50 5 0. Crescimento/decréscimo d função fim 0. Crescimento/decréscimo d função fim Eercício 0: Com se nos gráficos io, de funções der em R, especificr os intervlos onde função é crescente ou decrescente. Eercício : Especificr pr cd um ds funções io, se é crescente ou decrescente em R. ) = 5 ) = c) = d) = e) = f) = 5 5 9

0. Crescimento/decréscimo d função fim. Sinl de um função Eercício : Estudr segundo os vlores do prâmetro m, vrição (crescente, decrescente ou constnte)d função = (m ). Oservemos, inicilmente, que interess o comportmento d curv = f() em relção o eio dos, não importndo posição do eio dos. Preprndo o gráfico com specto prático, temos: 55 58. Sinl de um função. Sinl de um função Sej função f: A B definid por = f(). Vmos resolver o prolem pr que vlores de temos f() > 0, f() = 0 ou f() < 0?. Resolver este prolem signific estudr o sinl d função = f() pr cd pertencente o seu domínio. Pr se estudr o sinl de um função, qundo função está representd no plno crtesino, st eminr se é positiv, nul ou negtiv ordend de cd ponto d curv. = f() 7 7 0 0 0 0 56 59. Sinl de um função. Sinl de um função Eemplo Estudr o sinl d função = f() cujo gráfico está io representdo. = f() Conclusão: f ( ) = 0 = ou = ou = ou = 7 f ( ) > 0 < < ou < < ou > 7 f ( ) < 0 < ou < < 7 7 57 60 0

. Sinl de um função. Sinl d função fim Eercício : Estudr o sinl ds funções cujos gráficos estão representdos io. 5 6 = f() 6 Considerndo que = /, zero d função fim f() =, é o vlor de pr o qul f() = 0, eminremos, então, pr que vlores ocorre f() > 0 ou f() < 0. Devemos considerr dois csos. o cso: > 0 f ( ) = > 0 > > f ( ) = < 0 < < 6. Sinl de um função. Sinl d função fim Eercício : Estudr o sinl ds funções cujos gráficos estão representdos io. Colocndo os vlores de sore um eio, o sinl d função f() =, com > 0, é: = g() 0 6 65. Sinl de um função. Sinl d função fim Eercício : Estudr o sinl ds funções cujos gráficos estão representdos io. = h() Um outro processo pr nlisrmos vrição do sinl d função fim é construir o gráfico crtesino. Lemremos que n função fim f() = o gráfico crtesino é um ret e, se o coeficiente ngulr é positivo, função é crescente. 6 66

. Sinl d função fim. Sinl d função fim Construindo o gráfico de f() = com > 0, e lemrndo que não import posição do eio, temos: Podemos nlisr o sinl d função f() = com < 0, construindo o gráfico crtesino. Lemremos que neste cso função é decrescente. 67 70. Sinl d função fim. Sinl d função fim o cso: < 0 f ( ) = > 0 > < f ( ) = < 0 < > Resumo ) A função fim f ( ) = nulse pr =. ) Pr >, temos: se > 0 então f ( ) = > 0 se < 0 então f ( ) = < 0 68 isto é, pr > função f ( ) = tem o sinl de. 7. Sinl d função fim. Sinl d função fim Colocndo os vlores de sore um eio, o sinl d função f() =, com < 0, é: 0 ) Pr <, temos: se > 0 então f ( ) = < 0 se < 0 então f ( ) = > 0 isto é, pr < função f ( ) = tem o sinl de (sinl contrário o de ). 69 7

. Sinl d função fim. Sinl d função fim Se colocrmos os vlores de sore um eio, regr dos sinis d função fim pode ser ssim representd: < f() tem o mesmo sinl de ou, simplesmente: = 0 = > f() tem o mesmo sinl de Eemplos o ) Estudr os sinis d função f() =. Temos: f ( ) = 0 = 0 = = < 0 e > 0 Logo: pr > f ( ) < 0 (sinl de ) pr < f ( ) > 0 (sinl de ) f() tem o mesmo sinl de 0 f() tem o mesmo sinl de 7 76. Sinl d função fim. Sinl d função fim Eemplos o ) Estudr os sinis d função f() =. Temos: f ( ) = 0 = 0 = = > 0 e < 0 Logo: pr > f ( ) > 0 (sinl de ) pr < f ( ) < 0 (sinl de ) 7 sinl de f() = 0 f() = 77. Sinl d função fim. Sinl d função fim f() = Eercício : Estudr o sinl ds funções definids em R. ) = ) = sinl de f() = 0 75 78

. Sinl d função fim. Sinl d função fim Eercício 5: Sej função der emr definid por f() = 5. Determine os vlores do domínio d função que produzem imgens miores que. Eercício 8: Ddos os gráficos ds funções f, g e h definids em R. Determinr os vlores de R, tis que: ) f ( ) > g( ) ) g( ) h( ) c) f ( ) h( ) d) g( ) > e) f ( ) 0 79 8. Sinl d função fim. Sinl d função fim g() h() f() Eercício 6: Pr que vlores do domínio d função der emr definid por f ( ) = imgem é menor que? 80 8. Sinl d função fim. Inequções Eercício 7: Sejm s funções f ( ) =, g( ) = h( ) = definids em R. Pr que vlores de R, temse: Definição Sejm s funções f() e g() cujos domínios são respectivmente D R e D R. Chmmos inequção n incógnit qulquer um ds sentençs erts, io: ) f ( ) g( )? ) g( ) < h( )? c) f ( ) h( )? f ( ) > g( ) f ( ) < g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) 8 8

. Inequções. Inequções Eemplos o ) > é um inequção em que f ( ) = e g( ) = o ) 5 < é um inequção em que f ( ) = 5 e g( ) = Nos eemplos nteriores, temos: o ) o ) D = R R = R D = R R = R ) D = R R = R o * * { R } { R } { R / e } D = = o ) / / 85 88. Inequções. Inequções Eemplos o ) é um inequção em que f ( ) = e g( ) = o ) é um inequção em que f ( ) = e g( ) = Solução O número rel 0 é solução d inequção f() > g() se, e somente se, é verddeir sentenç f( 0 ) > g( 0 ). Eemplo O número rel é solução d inequção >, pois > f () g() 86 é um sentenç verddeir. 89. Inequções. Inequções Domínio de vlidde Chmmos de domínio de vlidde d inequção f() < g() o conjunto D = D D, em que D é o domínio d função f e D é o domínio d função g. É evidente que, pr todo 0 D, estão definidosf( 0 ) e g( 0 ), isto é: ( e ) ( ( ) R e ( ) R) D D D f g 0 0 0 0 0 Conjunto solução Ao conjunto S de todos os números reis tis que f() > g() é um sentenç verddeir chmmos de conjunto solução d inequção. 87 90 5

. Inequções. Inequções Eemplo A inequção > tem o conjunto solução S = { R / > }, isto é, pr qulquer 0 S sentenç 0 > 0 é verddeir. Se não eistir o número rel tl que sentenç f() > g() sej verddeir, diremos que inequção f() > g() é impossível e indicremos o conjunto solução por S =. Princípios de equivlênci N resolução de um inequção procurmos sempre trnsformál em outr equivlente e mis simples, em que o conjunto solução poss ser otido com mior fcilidde. Surge, então, pergunt: Que trnsformções podem ser feits em um inequção pr se oter um inequção equivlente?. A respost ess pergunt são os dois princípios seguintes: 9 9. Inequções. Inequções Eemplo O conjunto solução d inequção > é S =, pois não eiste 0 Rtl que sentenç 0 > 0 sej verddeir. Resolver um inequção signific determinr o seu conjunto solução. Se 0 Ré solução d inequção f() > g(), então 0 é tl que f( 0 ) Re g( 0 ) R, isto é, 0 D (domínio de vlidde d inequção). Assim sendo, temos 0 S 0 D ou sej, o conjunto solução é sempre suconjunto do domínio de vlidde d inequção. 9 P.) Sejm s funções f() e g() definids em D e D, respectivmente. Se função h() é definid em D D, s inequções f() < g() e f() h() < g() h() são equivlentesem D D. 95. Inequções. Inequções Inequção equivlente Dus inequções são equivlentes em D Rse o conjunto solução d primeir é igul o conjunto solução d segund. Eemplos R { } R o ) 6 > 0 e > 0 são equivlentes em, pois o conjunto solução de ms é S = R / >. o ) < e < não são equivlentes em, pois 0 = é solução d primeir ms não o é d segund. 9 Eemplos Sej inequção > f ( ) g ( ) dicionemosh() = os dois memros: ( ) > ( ) f ( ) h( ) g( ) h( ) fçmos s simplificções possíveis > f ( ) h( ) g( ) h( ) portnto, como é equivlente, temos: S = { R / > } 96 6

. Inequções. Inequções N prátic, plicmos propriedde P com o seguinte enuncido: Em um inequção podemos trnspor um termo de um memro pr outro trocndo o sinl do termo considerdo. f() h() < g() f() < g() h() Assim, no eemplo nterior, terímos: > > > > o ) são equivlentes em. > 0 e > 0 R Notemos que segund foi otid d primeir por meio d multiplicção por > 0, R. N prátic, plicmos propriedde P com o seguinte enuncido: Em um inequção podemos multiplicr os dois memros pel mesm epressão, mntendo ou invertendo o sentido d desiguldde, conforme ess epressão sej positiv ou negtiv, respectivmente. 97 00. Inequções. Inequções simultânes P.) Sejm s funções f() e g() definids em D e D, respectivmente. Se função h() é definid em D D e tem sinl constnte,então: ) se h() > 0, s inequções f() < g() e f().h() < g().h() são equivlentes em D D. ) se h() < 0, s inequções f() < g() e f().h() > g().h() são equivlentes em D D. 98 A dupl desiguldde f() < g() < h() se decompõe em dus inequções simultânes, isto é, equivle um sistem de dus inequções em, seprds pelo conectivo e: f ( ) < g( ) (I) f ( ) < g( ) < h( ) e g( ) < h( ) (II) Indicndo com S o conjunto solução de (I) e S o conjunto solução de (II), o conjunto solução 0 d dupl desigulddeé S = S S.. Inequções. Inequções simultânes Eemplos o ) > e 6 9 > são equivlentes em R, pois segund inequção foi otid prtir d primeir por meio de um multiplicção por. o ) > e < são equivlentes em R, pois segund foi otid d primeir por meio de um multiplicção por e inversão do sentido d desiguldde. 99 Eemplo Resolver <. (I) Temos que resolver dus inequções: (I) < < < (II) (II) 0 7

. Inequções simultânes. Inequções simultânes A intersecção desses dois conjuntos é: S = R / < Eercício : Com se nos gráficos ds funções f, g e h definids em R, determinr os vlores de R, tis que: ) f ( ) < g( ) h( ) ) g( ) f ( ) < h( ) c) h( ) f ( ) < g( ) 0 06. Inequções simultânes. Inequções simultânes Eercício 9: Resolver s inequções em R. ) < < ) < 5 < 6 h g f 0 07. Inequções simultânes 5. Inequçõesproduto Eercício 0: Resolver os sistems de inequções em R. 5 < 0 ) 5 0 5 ) > < 6 05 Sendo f() e g() dus funções n vriável, s inequções f(). g() > 0, f(). g() < 0, f(). g() 0 e f(). g() 0 são denominds inequçõesproduto. Vejmos, por eemplo, como determinmos o conjunto solução S d inequção f(). g() > 0. De cordo com regr de sinis do produto de números reis, um número 0 é solução d inequção f(). g() > 0 se, e somente se, f( 0 ) e g( 0 ) não nulos, têm o mesmo sinl. Assim, são possíveis dois csos: 08 8

5. Inequçõesproduto 5. Inequçõesproduto o ) f() > 0 e g() > 0 Se S e S são, respectivmente, os conjuntos soluções desss inequções, então S S é o conjunto solução do sistem. o ) f() < 0 e g() < 0 Se S e S são, respectivmente, os conjuntos soluções desss inequções, então S S é o conjunto solução do sistem. o cso Cd um dos ftoresé positivo, isto é: > 0 > e > 0 > 09 5. Inequçõesproduto 5. Inequçõesproduto Dí concluímos que o conjunto solução d inequção do produto f(). g() > 0 é: S = (S S ) (S S ). Rciocínio nálogo seri feito pr inequção f(). g() < 0. A intersecção ds dus soluções é: S S = R / > 0 5. Inequçõesproduto 5. Inequçõesproduto Eemplo R Resolver em inequção ( )( ) > 0. Anlisemos os dois csos possíveis: o cso Cd um dos ftoresé negtivo, isto é: < 0 < e < 0 < 9

5. Inequçõesproduto 5. Inequçõesproduto A intersecção ds dus soluções é: { R } S S = / < Com o ojetivo de evitr cálculos lgéricos no estudo dos sinis do produto f(). g(), usremos o qudro io, que denominmos qudroproduto, no qul figurm os sinis dos ftores e o sinl do produto. / f() g() f().g() 5 S = R / < ou > 8 5. Inequçõesproduto 5. Inequçõesproduto O conjunto solução d inequção ( ) ( ) > 0 é: S = = > < ( S S ) ( S S ) R / { R / } portnto: S = R / < ou > Podemos estender o rciocínio empregdo no estudo dos sinis de um produto de dois ftores pr um produto com mis de dois ftores. Eemplo Resolver inequção ( ) ( ) ( ) < 0 em R 6 9 5. Inequçõesproduto 5. Inequçõesproduto Qudro de sinis Vejmos um outro processo, mis prático, pr resolvermos inequção ( ).( ) em. Fzemos inicilmente o estudo dos sinis ds funções f() = e g() =. sinl de f() 0 R f() = g() = Anlisndo os sinis dos ftores, temos: 0 0 sinl de g() 0 7 h() = 0 0 0

5. Inequçõesproduto 5. Inequçõesproduto Vmos, gor, construir o qudroproduto: / f() g() h() f().g().h() Resolvendo (I), temos: 5 S = R / < ou > Resolvendo (II), temos: S 5 =, S = R / < < ou > 5. Inequçõesproduto 5. Inequçõesproduto A inequção f(). g() 0 tem por conjunto solução S reunião do conjunto solução S d inequção f(). g() > 0 com o conjunto solução S d equção f(). g() = 0, isto é: f ( ) g( ) > 0 (I) f ( ) g( ) 0 ou f ( ) g( ) = 0 (II) O conjunto solução é: 5 5 S = S S = R / < ou >, ou sej: 5 S = R / ou 5 5. Inequçõesproduto 5. Inequçõesproduto Eemplo Resolver inequção ( ) ( 5) 0 em R A inequção ( ).( 5) 0 é equivlente : (I) ( ) ( 5) > 0 (II) ( ) ( 5) = 0 Eercício : Resolver emr s inequções: ) (5 ) ( ) ( ) > 0 ) (5 ) ( 7 ) 0 6

6. Inequçõesquociente 6. Inequçõesquociente Sendo f() e g() dus funções n vriável, s inequções f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) > 0, < 0, 0 e 0 g( ) g( ) g( ) g( ) são denominds inequçõesquociente. Considerndo que s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis são nálogs, podemos, então, construir o qudroquociente de modo nálogo o qudroproduto, oservndo o fto de que o denomindor de um frção não pode ser nulo. 7 Eercício : Resolver s inequções em R. ) 0 5 ) 0 0 6. Inequçõesquociente 6. Inequçõesquociente Eemplo Resolver emr inequção Temos: ( ) 0 0 5 Portnto: 0 8 Eercício : Resolver emr s inequções: 5 ) < 5 ) 6. Inequçõesquociente 6. Inequçõesquociente Fzendo o qudroquociente, temos: Eercício 5: Resolver inequção em R. f() = 5 /5 ( ) ) 0 (5 ) ( ) g() = f() / g() S = R / ou > 5 9

6. Inequçõesquociente Eercício 6: Resolver emr s inequções: ) > )